Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen
Gerald Fangmeyer
Winkelmaße
Bisher haben wir Winkel in Grad gemessen und angegeben. Es gibt eine andere Art der
Beschreibung der Größe eines Winkels: das Bogenmaß.
Es ist die Länge der Strecke auf dem Kreis, die zwischen den Schenkeln eines Winkels liegt, wenn
der Radius des Kreises eine Längeneinheit beträgt.
Ein Winkel von 360° wird dann durch einen Vollkreisumfang beschrieben, der Kreisumfang
berechnet sich als: U = 2p r
Mit der folgenden Verhältnisgleichung kann dann der Winkel umgerechnet werden (r=1):
2p r b
b × 360°
2pa
Þ
=
a=
b=
360° a
2p
360°
Beispiele:
Winkel von 60°: 2p 60° = 1, 0472
360°
Winkel in Grad und Bogenmaß
Winkel in Grad
360°
Winkel im Bogenmaß
2p
Winkel im Bogenmaß von 3: 3 × 360° = 171,89°
2p
270°
180°
90°
0°
3
p
2
p
1
p
2
0
Definition: Bogenmaß ist der Quotient aus Länge des Kreisbogens zwischen den Schenkeln des
Winkels und dem Radius (gemessen in der Einheit Radiant, rad):
b
x = [ rad ]
r
.
Auf dem Taschenrechner begegnen uns drei Einstellungen:
Deg (Degree, Altgrad) für Grad, Rad (Radiant) für das Bogenmaß und Grad (Grad, Neugrad) für die
Winkelmessung in Gon (400 Gon sind ein Vollwinkel). Die international gebräuchliche Einheit ist
Rad.
Trigonometrische Funktionen
Die Trigonometrie beschreibt die Streckenverhältnisse der Seiten im rechtwinkligen Dreieck und
ihren Zusammenhang mit einem Winkel. Es ist:
Sinus:
Gegenkathete
Hypotenuse
Ankathete
cos a =
Hypotenuse
Gegenkathete
tan a =
Ankathete
sin a =
Kosinus:
Tangens:
Die Sinusfunktion
Die Eigenschaften der einfachen Sinusfunktion sind:
1
3
p
p
p
Winkel α (Rad)
0
2
2
sin (α)
0
1
0
-1
2p
0
Aus der einfachen Sinusfunktion entstehen durch Ergänzung von Faktoren:
Einfache Sinusfunktion gestreckt in y-Richtung (Amplitude):
Einfache Sinusfunktion gestreckt in x-Richtung (Periode):
Die Sinusfunktion f mit
die
2p
Periode p =
.
b
f ( x) = a × sin( x) , Streckfaktor ist a.
f ( x) = sin(b × x) , Streckfaktor ist
f ( x) = sin(b × x) mit a ¹ 0 und b > 0 hat die Amplitude
a
Anschauliche Definition der Periode: Die Periode gibt die Länge der Strecke an, nach der eine
vollständige Sinusschwingung abgeschlossen ist. Oder anders herum – und etwas unsauber formuliert: Es passen b Schwingungen in einen Vollwinkel von 360° ( 2p ).
Einfache Sinusfunktion verschoben in x-Richtung um c: f ( x) = sin( x - c ) .
Einfache Sinusfunktion verschoben in y-Richtung um d: f ( x) = sin( x ) + d
1
.
b
und
Untersuchungen trigonometrischer Funktionen
Amplitude, Periode, Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte
Die Amplitude ist ablesbar. Bsp.: f ( x) = 4sin( x)
a=4
Die Periode wird berechnet aus b. Bsp.: f ( x ) = sin(3x + 6) = sin 3(x + 2)
Extrempunkte:
Die allgemeine Sinusfunktion
æ1
H a1 ç p
è2
f ( x) = sin(x) hat im Intervall
[0; 2p [
p=
2p 2p
=
= 2, 094
b
3
den Hochpunkt
ö
æ3
ö
1÷ und den Tiefpunkt Ta1 ç p -1÷ .
ø
è2
ø
Bsp.: Wie können die Extrempunkte der Funktion
Streckfaktor in x-Richtung:
p
f ( x ) = 4 × sin( x ) bestimmt werden?
2
2
; Streckfaktor in y-Richtung: a = 4
p
Wir nehmen die x-Koordinaten der Extrempunkte mal dem x-Faktor und die y-Koordinaten mal
dem y-Faktor und erhalten die Extrempunkte
æ1 2
ö
æ3 2
ö
H1 ç p × 1× 4 ÷ = H1 (1 4 )
T1 ç p × (-1) × 4 ÷ = T1 ( 3 -4 )
è2 p
ø
è2 p
ø
Die allgemeine Sinusfunktion hat im Intervall
[0; 2p [
Wendepunkte bei Wa1 ( 0 0 ) und
Wa 2 (p 0 ) . So wie bei den Extrempunkten bestimmen sich die Wendepunkte der Funktion
p
æ 2
ö
æ 2
ö
f ( x) = 4 × sin( x) als W1 ç 0 × 0 × 4 ÷ = W1 ( 0 0 ) und W2 ç p × 0 × 4 ÷ = W2 ( 2 0 )
2
è p
ø
è p
ø
Die Bestimmung der Extrem- und Wendepunkte geht auch über die Ableitung, ist aber
rechenintensiver.
Ableitung:
f ( x ) = sin( x ) Þ f '( x) = cos( x)
f ( x ) = cos( x) Þ f '( x ) = - sin( x)
Die Symmetrie der trigonometrischen Funktionen
Sinus
Kosinus
Tangens