Von einer geraden Straße s (siehe Skizze) zweigt im Ort A eine

Komplexaufgabe:
Straßenbau
Von einer geraden Straße s (siehe Skizze) zweigt im Ort A eine Straße unter einem Winkel von
48° nach links zum 12 km entfernten Ort C ab. Fährt man auf der Straße s von A aus 6 km
weiter bis zum Ort B, trifft man auf eine nach rechts unter einem Winkel von 32° abzweigende
Straße, die zu dem Ort D führt, der 18 km von B entfernt ist.
a)
b)
c)
d)
Vervollständige schrittweise eine eigene Skizze und beschrifte diese geeignet!
Von B führt ein geradliniger Wanderweg nach C. Wie lang ist der ?
Unter welchem Winkel trifft er in C auf die Straße AC ?
Die Orte C und D sollen durch eine geradlinige Straße verbunden werden. Wie lang wird
diese Straße?
e) Für die Straßenbauarbeiten von D von C stehen zunächst 4 schwere Baumaschinen zur
Verfügung. Mit diesen 4 Maschinen könnte man die geplante Straße in 96 Tagen fertig
stellen. Um wie viele Tage würde sich die Bauzeit verlängern, wenn nur 3 Maschinen
eingesetzt werden können?
f) Für 1 km Straße veranschlagen die Planer 100 000 €. Skeptiker dieser Finanzplanung
gehen davon aus, dass die Fertigstellungskosten wenigstens 30 % höher ausfallen. Sie
behaupten, die für den Straßenbau bereitgestellten 3 Millionen Euro reichen dann nicht
mehr aus. Haben sie recht?
g) Berechne den Flächeninhalt der Teildreiecke ABC und BDC.
Skizze nicht maßstabsgetreu!
Komplexaufgabe:
Lösung –
Straßenbau
geg.: α = 48°
ges.:
ß = 32°
a = 12 km
b = 18 km
c = 6 km
Preis = 100 000 €/km
p = 30 %  q = 1,30
Seite x
a) vervollständigte Skizze :
Winkel γ
C
Seite y
Arbeitszeitdifferenz d
γ
Kostengrenze ja/nein
a
x
φ
α
A
c
y
ß1
s
ß2
B
ß
b
D
C
b) Berechnung der Weglänge x im Teildreieck ABC:
γ
α wird von den Seiten a und c eingeschlossen  Kosinussatz
a
x
x² = a² + c² – 2·a·c·cosα
x = 12  6  2 12  6  cos 48
x = 9,145774581 km
x = 9,148 km
2
2
o
φ
α
A
c
y
ß1
s
ß2
B
ß
b
D
c) Berechnung des Winkels γ im Dreieck ABC:
C
Im Dreieck ABC sind 3 Seiten und 1 Winkel (α) bekannt  Sinussatz
sin 
c
γ

sin γ =
sin γ =
sin
x
sin  c
x
sin 48o  6
9 ,14577..
a
|·c
x
| shift sin | arc sin
–1
A
α
c
y
ß1
φ
s
ß2
B
ß
b
γ = 29,17857598°  γ = 29,18°
D
d) Berechnung der Straßenlänge y im Teildreieck BDC:
C
Es findet wieder der Kosinussatz Anwendung. Der Winkel ß2 wird von
den Seiten x und b eingeschlossen.
Von ß2 ist nur der Teilwinkel ß bekannt. ß1 fehlt. ß1 errechnet man mit
Hilfe von Winkelsummen.
γ
a
x
Zuerst φ: Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt 180°:
A
φ = 180° – α – γ
φ = 180° – 48° – 29,1785...°
φ = 102,821424°
φ
α
c
B
y
ß1
s
ß2
ß
b
D
Dann ß1: Straße s verläuft geradlinig durch A und B  gestreckter Winkel = 180°
ß1 = 180° – φ
ß1 = 180° – 102,821424°
ß1 = 77, 17857598°
ß2 = ß1 + ß
ß2 = 77, 178...° + 32°
ß2 = 109,17857598°
y² = x² + b² – 2·x·b·cos ß2
y=
9,145 ...2  18 2  2  9,145 ... 18  cos 109 ,178 ...o
y = 22,71139732 km
y = 22,711 km
e) Arbeitszeitdifferenz d:
Masch.
4
1
3
Tage
96
384
128
128 – 96 = 32
Die Zeit
verlängert
sich um
32 Tage!
f ) Kosten:
Kosten+30% = 22,711 km · 100 000 €/km · 1,30
= 2 952 481,651 €
ca. 2,95 Millionen €
Ja, das bereitgestellte Geld reicht auch bei einer
Kostensteigerung von 30 % !
C
g) Fläche:
γ
Beliebiges Dreieck mit zwei Seiten und dem
eingeschlossenen Winkel.
a
x
Flächeninhalt des Dreiecks ABC:
A=
1
2
·a·c·sin α
A=
1
2
·12·6·sin 48°
A
φ
α
c
A=
1
2
b
D
γ
a
x
·x·b·sin ß2
·9,145…·18·sin 109,178…°
A = 77,74359709 km²
A = 77,744 km²
ß
C
Flächeinhalt des Dreiecks BDC:
1
2
s
ß2
B
A = 26,75321371 km²
A = 26,753 km²
A=
y
ß1
A
φ
α
c
B
y
ß1
s
ß2
ß
b
D