Geometrieaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Hochschule für
Technik und Wirtschaft Dresden
Fakultät Informatik / Mathematik
Geometrieaufgaben
zur Vorbereitung auf das Studium
Studiengänge
Kartographie/Geoinformatik
Vermessung/Geoinformatik
Dresden 201
Kenntnisse und Fähigkeiten:
Elementarkonstruktionen mit Zirkel und Lineal:
-
Verbindungsgerade g zweier Punkte A und B,
Schnittpunkt S zweier (nicht paralleler) Geraden g und h,
Kreis k um Mittelpunkt M mit Radius r,
Schnittpunkte S1 und S 2 einer Geraden g mit einem Kreis k,
- Schnittpunkte S1 und S 2 zweier Kreise k1 und k 2 .
Wichtige aus Elementarkonstruktionen zusammengesetzte
Grundkonstruktionen und
Konstruktionen mit weiteren Zeichengeräten wie Dreieck oder
Parallellineal:
- Winkelhalbierende w des von zwei Geraden g und h eingeschlossenen
Winkels,
- Mittelsenkrechte m zur Verbindungsstrecke AB zweier Punkte A und B,
- Mittelpunkt M der Strecke AB ,
- Lot auf Gerade g aus Punkt P (Senkrechte h zur Geraden g durch einen
Punkt P),
- Parallele h zu einer Geraden g durch einen Punkt P,
- Tangenten t1 und t 2 vom Punkt P an einen Kreis k,
- Abtragen eines Abstandes a (von einem gegebenen Punkt P auf einer
Kurve k).
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Wesentliche Aussagen und Sätze der Elementargeometrie:
- Winkelbeziehungen
(an zwei einander schneidenden Geraden und an geschnittenen
Parallelen),
- Ähnlichkeit,
- Strahlensatz,
- Peripherie- und Zentriwinkel,
- Satz des Thales.
Wichtige Eigenschaften des Dreiecks:
- Satz des Pythagoras,
- Kathetensatz,
- Höhensatz,
- Umkreis (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten),
- Inkreis (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden),
- Schwerpunkt (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden).
Weitere wichtige Grundkonstruktionen:
- Teilung einer Strecke in einem vorgegebenen Verhältnis,
- goldener Schnitt,
- Konstruktion regelmäßiger Vielecke
(Dreieck, Quadrat, Fünfeck, Sechseck, Zehneck).
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Übungsaufgaben:
Alle Maßangaben in den nachfolgenden Aufgaben beziehen sich auf die
Maßeinheit Zentimeter (cm).
1. Führen Sie die folgenden einfachen Konstruktionen nur mit Zirkel und
Lineal aus:
a) Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte m zur Verbindungsstrecke
AB der Punkte A 0 ; 8 und B 9;10 b) Fällen Sie das Lot l aus dem Punkt C 6;12 auf die Verbindungsgerade
v durch die Punkte A und B.
c) Konstruieren Sie die Winkelhalbierende w des kleineren von den
Geraden g und h
eingeschlossenen Winkels D , mit g als Verbindungsgerade der Punkte
D 2 ; 0 und E 10 ; 6 und h als Verbindungsgerade von F 10 ; 0 und
G 0 ; 6 .
d) Konstruieren Sie eine Parallele p zur Geraden g durch den Punkt
P 6 ; 5 nur mit Zirkel und Lineal und eine weitere Parallele q zur
Geraden g durch den Punkt Q 5 ;1 mit Hilfe von Zeichendreiecken
oder Parallellineal.
e) Konstruieren Sie die Tangenten s und t vom Punkt H 8 ; 7 an den
Kreis k mit dem Mittelpunkt M 4 ; 4 und dem Radius 2.
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2. Führen Sie diese Grundkonstruktionen aus:
a) Zeichnen Sie eine Strecke AB der Länge 6.
b) Konstruieren Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit AB als
Hypotenuse. Die Kathete BC habe die Länge 5, wobei der Punkt C
oberhalb von AB liegen soll.
c) Konstruieren Sie Umkreis, Inkreis und Schwerpunkt des Dreiecks ABC .
d) Konstruieren Sie ein zum Dreieck ABC ähnliches Dreieck ADE mit
der Hypotenuse der Länge 10, wobei B auf der Strecke AD liegen soll.
e) Ermitteln Sie konstruktiv (ohne Rechnen) von der Strecke AE den
3 Teil und von der Strecke DE den 4 Teil.
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3. Konstruieren Sie folgende regelmäßige Vielecke entsprechend der
jeweiligen Vorgaben:
a) ein gleichseitiges Dreieck mit dem Umkreisradius 5,
b) ein Quadrat mit der Seitenlänge 8,
c) ein regelmäßiges Fünfeck mit einer Seitenlänge 4,
d) ein regelmäßiges Sechseck , welches einem Kreis mit dem Radius 6
einbeschrieben ist,
e) ein regelmäßiges Zehneck mit dem Umkreisdurchmesser 9.
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