Skript zum - Physik-Department E18

Physik für Chemieingenieure und Restauratoren
PD Dr. F. Joachim Hartmann
Physik Department E18
Technische Universität München
Satz und Überarbeitung: Dipl. Phys. Andreas Frei
3. September 2007
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
12
1.1
Begleitliteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2
Was ist Physik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3
Einige Anwendungen physikalischer Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4
Gebiete der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5
Physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5.1
SI-Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.2
Abgeleitete SI-Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.3
Gebräuchliche SI-fremde Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.5.4
Wichtige Konstanten der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Etwas Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.6.1
Vektor und Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6.1.1
Multiplikation mit einem Skalar und Addition . . . . . . . . . . .
17
1.6.1.2
Vektoraddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6.1.3
Koordinaten eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6.1.4
Multiplikation von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.6
1.6.2
2 Mechanik
2.1
20
Grundlegende Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.1
Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.1.1
Kalender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.1.2
Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.1.3
Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1
INHALTSVERZEICHNIS
2.1.4
2.2
Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Kinematik des Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2.1
Der Ortsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2.2
Die Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2.2.1
26
2.2.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Konstante Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Wurfbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2.4.1
Freier Fall
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2.4.2
Senkrechter Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2.4.3
Waagrechter Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2.4.4
Schräger Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2.5.1
Drehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2.5.2
Frequenz und Winkelgeschwindigkeit
. . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2.5.3
Gleichförmige Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Dynamik des Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.3.1
Newtonsche Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.3.2
Reibungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.3.3
Gravitationskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3.3.1
Schwerkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.3.3.2
Schwere und Träge Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.3.4
Die Kepler-Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.3.5
Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.3.6
Federkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.3.7
Zerlegung von Kräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.3.8
Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.4.1
Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.4.2
Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.4.3
Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.2.4
2.2.5
2.4
Gleichförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Beschleunigung
2.2.3.1
2.3
2
INHALTSVERZEICHNIS
2.5
2.6
2.7
3
2.4.4
Konservative und dissipative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.4.5
Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.4.6
Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.5.1
Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.5.2
Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.6.1
Inelastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.6.2
Elastischer Stoß
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.7.1
Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.7.2
Kinematik des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.7.3
Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3 Schwingungen und Wellen
3.1
3.2
53
Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.1.1
Harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.1.2
Gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.1.3
Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.2.1
Huygenssches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.2.2
Wellenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.2.3
Wellengleichung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.2.4
Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.2.5
Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.2.6
Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.2.7
Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4 Wärmelehre
4.1
61
Temperatur und Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.1.1
Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.1.2
Temperaturskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
INHALTSVERZEICHNIS
4.2
4.3
4.4
4.1.3
Thermometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.1.4
Ausdehnung fester Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.1.4.1
Längenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.1.4.2
Flächenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.1.4.3
Volumenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.1.5
Ausdehnung von Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.1.6
Ausdehnung von Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.1.6.1
Volumenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.1.6.2
Druckänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.1.6.3
Druck und Volumen bei gleicher Temperatur . . . . . . . . . . . .
64
Das ideale Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.2.1
Zustandsgleichung des idealen Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.2.2
Barometrische Höhenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.2.3
Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.2.3.1
Freiheitsgrade und Gleichverteilungssatz . . . . . . . . . . . . . . .
67
Wärmetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.3.1
Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.3.2
Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.3.3
Wärmeübergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.3.4
Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Hauptsätze der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.4.1
Nullter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.4.2
Erster Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.4.3
Zweiter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.4.4
Dritter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5 Elektrizitätslehre
5.1
4
71
Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.1.1
Ladungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.1.2
Das Coulombsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.1.3
Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.1.4
Die elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
INHALTSVERZEICHNIS
5.2
5
5.1.5
Das elektrische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.1.6
Das Gesetz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.1.7
Der Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.1.7.1
Parallelschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.1.7.2
Reihenschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.1.7.3
Energie im elektrischen Feld des Plattenkondensator . . . . . . . .
76
5.1.7.4
Influenz im Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
5.1.7.5
Kapazität eines Plattenkondensators mit Dielektrikum
. . . . . .
78
5.1.8
Der elektrische Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.1.9
Das Ohmsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.1.10 Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen . . . . . . . . . . . . . .
80
5.1.10.1 Reihenschaltung von Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.1.10.2 Parallelschaltung von Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.1.11 Die Kirchhoffschen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.1.11.1 Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.1.11.2 Maschenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.1.12 Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.1.12.1 Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands . . . . . . .
83
5.1.12.2 Die differenzielle Form des Ohmschen Gesetzes . . . . . . . . . . .
84
5.1.13 Elektrische Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.1.14 Faraday-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
5.2.1
Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
5.2.2
Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.2.3
Das Amperesche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.2.3.1
Magnetfeld eines stromdurchflossenen Drahtes . . . . . . . . . . .
89
5.2.3.2
Magnetfeld einer kreisförmigen Leiterschleife . . . . . . . . . . . .
90
5.2.3.3
Magnetfeld im Inneren einer langen Zylinderspule . . . . . . . . .
90
Induktionserscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
5.2.4.1
Selbstinduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
5.2.4.2
Induktivität einer langen Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
5.2.4
INHALTSVERZEICHNIS
5.2.5
Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
92
6 Optik
96
6.1
Die Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
6.2
Das Fermat´sche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
6.3
Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
6.4
Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.5
Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.6
Abbildungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.7
Bestimmung der Brennweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.8
Das Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.9
Die Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.10 Das Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.11 Fernrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Atom- und Kernphysik
7.1
7.2
7.3
7.4
106
Quanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.1.1
Einsteinsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.1.2
Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.1.3
Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.1.4
Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2.1
Aufbau und Kennzeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2.2
Atommasse und Kernbindungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.3
Größe von Atomen und Kernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Die Atomhülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3.1
Bohrsche Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3.2
Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3.3
Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3.4
Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Kernphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4.1
Radioaktiver Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
INHALTSVERZEICHNIS
7
7.4.1.1
Stabilität des Kerns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4.1.2
α-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4.1.3
β − -Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4.1.4
β + -Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4.1.5
γ-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4.2
Statistik des Zerfalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4.3
Schwächung radioaktiver Strahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.4.3.1
γ-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.4.3.2
β-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.4.3.3
α-Strahlung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.4.4
Dosimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.4.5
Strahlenschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.4.6
Strahlennachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.4.7
Kernreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.4.8
Uranspaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Abbildungsverzeichnis
2.1
Schematische Darstellung eines atomaren Überganges . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Das Ur-Kilogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3
Rechtswendiges und linkswendiges Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.4
Bahnkurve im kartesischen Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.5
Weg-Zeit-Diagramm der gleichförmigen Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.6
Diagramm der konstanten Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.7
Der senkrechte Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.8
Der schräge Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.9
Definition des Drehwinkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.10 Reibungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.11 Übergang Haftreibung-Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.12 Abstandsabhängigkeit der Gravitationskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.13 Planeten bewegen sich auf Ellipsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.14 Flächengeschwindigkeit ist konstant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.15 Kreisbewegung eines Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.16 Federkräfte und Hooke’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.17 Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.18 Definition der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.19 Inelastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.20 Elastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.21 Äußere Kräfte am starren Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.22 Wirkungslinie einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.23 Definition des Drehmoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
8
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
9
3.1
Verlauf der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.2
Kinetische und potentielle Energie der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . .
55
3.3
Verlauf der gedämpften Schwingung samt einhüllender Kurve . . . . . . . . . . . .
56
3.4
Überlagerung von einfallender und reflektierter Welle ergibt eine stehende Welle . .
59
3.5
Reflexion ebener Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.1
Kinetische Theorie des idealen Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.1
Elektrisches Feld eines Plattenkondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.2
Parallelschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.3
Reihenschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.4
Ladungstrennung durch Influenz in elektrischen Leitern . . . . . . . . . . . . . . .
77
5.5
Polare Moleküle in Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
5.6
Nichtpolare Moleküle in Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.7
Plattenkondensator mit Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.8
Reihenschaltung von Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.9
Parallelschaltung von Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.10 Beispielhafter Stromkreis zur Herleitung der Kirchhoffschen Regeln . . . . . . . . .
81
5.11 Stromleitung im Elektrolyten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.12 Richtung der Lorenz-kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
5.13 Schematische Darstellung einer Hall-Sonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.14 Rechte-Hand-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.15 Magnetfeld einer Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
5.16 Magnetfeld einer langen Zylinderspule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
5.17 Hysteresekurve eines Ferromagnetikums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
6.1
Das Spektrum elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
6.2
Reflexionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
6.3
Brechungsgesetz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
6.4
Linsentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.5
Konstruktion des Linsenbildes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.6
Das Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.7
Die Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
10
6.8
Das Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.9
Astronomisches (Keplersches) Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.10 Galileisches Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1
Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2
Bindungsenergie pro Nukleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3
Die magnetische Quantenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4
Röntgenspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Tabellenverzeichnis
2.1
Typische Zeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Typische Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3
Typische Massen [kg] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4
Typische Reibungskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.5
Wichtige Daten der Planeten im Sonnensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.6
Trägheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
7.1
Qualitätsfaktor für verschiedene Strahlungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11
Kapitel 1
Einleitung
1.1
Begleitliteratur
• R. Pitka, S. Bohrmann, H. Stöcker, G. Terlecki, Physik – Der Grundkurs, Harri Deutsch,
Frankfurt, 2001; 19.80 EUR
• K. Hammer, Grundkurs der Physik I+II, Oldenbourg, 1994/95; je 19.80 EUR
• H. Hammer, K. Hammer, Physikalische Formeln und Tabellen, Lindauer, München, 2000
• H. Stöcker, Taschenbuch der Physik, Harri Deutsch, Frankfurt, 2000
1.2
Was ist Physik?
Die Physik ist die Wissenschaft von den Eigenschaften und Zustandsformen, dem inneren Aufbau
(”Struktur”) und den Bewegungen der unbelebten Materie, den diese Bewegungen hervorrufenden
Kräften oder Wechselwirkungen und den dabei wirkenden Gesetzmäßigkeiten.
[Physics is the science that deals with the structure of matter and the interaction of the fundamental constituents of the observable universe. . . . Its scope of study encompasses not only the
behavior of objects under the action of given forces but also the nature and origin of gravitational,
electromagnetic, and nuclear force fields. Its ultimate objective is the formulation of a few comprehensive principles that bring together and explain all the disparate phenomena (Encyclopedia
Britannica).]
[(Physik) ist die Wissenschaft, die sich mit der Struktur der Materie und der Wechselwirkung
der fundamentalen Bausteine des beobachtbaren Universums beschäftigt. ... Die Studien umfassen
nicht nur das Verhalten von Objekten unter der Wirkung gegebener Kräfte, sondern auch den
Ursprung der Gravitation und der Felder der elektromagnetischen und nuklearen Kräfte. Letztlich
will die Physik einige wenige umfassende Prinzipien formulieren, die alle unterschiedliche Phänomene vereint und erklärt.]
1.3
Einige Anwendungen physikalischer Gesetze
Mechanik: Warum fällt man beim Looping auf dem Oktoberfest im höchsten Punkt nicht aus
der Schleife?
12
KAPITEL 1. EINLEITUNG
13
Zentrifugalkraft vs. Schwerkraft.
Mechanik: Wie kommen Ebbe und Flut zustande?
Anziehung des Mondes, der um die Erde kreist, und der Sonne. Kompliziertes Wechselspiel
zwischen Gravitation und Zentrifugalkraft.
Hydrodynamik: Warum sind Verengungen der Herzkranzgefäße so gefährlich?
Hagen-Poiseuille’sches Gesetz: Blutstrom durch Adern ∝ r4 .
Wärmelehre: Wie funktionieren wärmedämmende Fenster?
Wärmeleitung / kinetische Gastheorie: Gase unter niedrigem Druck leiten die Wärme
schlecht; weniger Moleküle, weniger Stöße.
Optik: Wie entsteht eine Fata Morgana 1 ?
Lichtbrechung: Die Luftschichten knapp über der Erde haben verschiedene Temperatur und
daher unterschiedliche Brechungsindizes.
Kernphysik: Wie funktioniert die Radiokarbonmethode zur Altersbestimmung (zwischen 100
und 50000 Jahren)?
Zerfallsgesetz: Wenn eine Pflanze lebt, nimmt sie laufend 14 C auf, das durch kosmische
Strahlung aus dem Stickstoff der Luft entsteht. Es stellt sich ein Gleichgewicht ein. Ist die
Pflanze abgestorben, zerfällt das noch gespeicherte 14 C mit einer Halbwertszeit von 5730
Jahren.
1.4
Gebiete der Physik
• Mechanik (auch relativistische Mechanik)
• Elastomechanik und Hydrodynamik
• Schwingungen und Wellen
• Wärmelehre (Thermodynamik)
• Elektrizitätslehre
• Optik
• Atomphysik, Molekülphysik, Kernphysik, Teilchenphysik
1.5
Physikalische Größen
Physikalische Größen G bestehen immer aus dem Zahlenwert {G} und der Einheit [G]: G =
{G} · [G]. Gleicher Zahlenwert ergibt mit anderer Einheit eine vollständig andere Größe!
Beispiel: Geschwindigkeit v = 1 m/s = 3.6 km/h. Entweder {G} = 1 und [G] = m/s oder {G} =
3.6 und [G] = km/h.
1 Morgana:
Gestalt aus der Artussage, Schwester des Artus
KAPITEL 1. EINLEITUNG
1.5.1
14
SI-Einheiten
Physikalische Einheiten bestimmen die Dimension einer physikalischen Größe und deren Zusammenhang mit den SI-Basiseinheiten (SI = Système International d’Unités), welche folgendermaßen
definiert sind:
1 Meter (m) ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299792458
Sekunden durchläuft.
1 Kilogramm (kg) ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps.
1 Sekunde (s) ist das 9192631770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung.
1 Ampere (A) ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen elektrischen Stromes, der durch zwei
im Vakuum parallel im Abstand von 1 m voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich
lange Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je 1 m Leiterlänge die Kraft 2 · 10−7 N hervorrufen würde.
1 Kelvin (K) ist der 273.16-te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des
Wassers.
1 Mol (mol) ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen besteht, wie
Atome in 12/1000 kg des Kohlenstoffnuklids 12 C enthalten sind.2
1 Candela (cd) ist die Lichtstärke, mit der 1/600000 m2 der Oberfläche eines Schwarzen Strahlers
bei der Temperatur des beim Druck 101325 N/m2 erstarrenden Platins senkrecht zu seiner
Oberfläche leuchtet.
Abgeleitete SI-Einheiten sind Potenzprodukte der SI-Basiseinheiten. Eine große Zahl davon trägt
eigene Namen.
SI-Vorsätze für dezimale Vielfache und Teile:
Deka
da
10
10−1
d
Dezi
Hekto
h
102
10−2
c
Zenti
Kilo
k
103
10−3
m
Milli
Mega
M
106
10−6
µ
Mikro
Giga
G
109
10−9
n
Nano
Tera
T
1012
10−12
p
Piko
Peta
P
1015
10−15
f
Femto
Exa
E
1018
10−18
a
Atto
Zetta
Z
1021
10−21
z
Zepto
Yotta
Y
1024
10−24
y
Yocto
Des weiteren gibt es noch Einheiten die SI-fremd sind, die sich aber im Laufe der Zeit eingebürgert
haben und deshalb in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik noch immer verwendet
werden.
1.5.2
Abgeleitete SI-Einheiten
Die weiteren SI-Einheiten werden als Potenzprodukte aus den Basiseinheiten kohärent, also ohne
Verwendung von Zahlenfaktoren, abgeleitet. Alle anderen Einheiten sind inkohärent und somit
keine SI-Einheiten. Viele abgeleitete SI-Einheiten tragen eigene Namen, hier eine kleine Auswahl:
2 Bei der Verwendung des Mol müssen die Einzelteilchen des Systems spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein.
KAPITEL 1. EINLEITUNG
15
Aktivität A: Becquerel, Bq = 1/s
Äquivalentdosis H: Sievert, Sv = J/kg = m2 /s2
Arbeit W , Energie E: Joule, J = N · m = W · s = kg · m2 /s2
Beleuchtungsstärke E: Lux, lx = lm/m2 = cd · sr/m2
Brechwert D: Dioptrie, dpt = 1/m
Druck p: Pascal, Pa = N/m2 = kg/(m · s2 )
Energiedosis D: Gray, Gy = J/kg = m2 /s2
Fluß, magnetischer Φ: Weber, Wb = V · s = kg · m2 /(A · s2 )
Flußdichte, magnetische B: Tesla, T = Wb/m2 = V · s/m2 = kg/(A · s2 )
Frequenz f : Hertz, Hz = 1/s
Induktivität L: Henry, H = Wb/A = kg · m2 /(A2 · s2 )
Kapazität, elektrische C: Farad, F = C/V = A2 · s4 /(kg · m2 )
Kraft F : Newton, N = kg · m/s2
Ladung Q: Coulomb, C = A · s
Leistung P : Watt, W = J/s = kg · m2 /s3
Leitwert, elektrischer G: Siemens, S = 1/Ω = A/V = s3 · A2 /(kg · m2 )
Lichtstrom Φ: Lumen, lm = cd · sr
Raumwinkel Ω: Steradiant, sr = m2 /m2 = 1
Spannung, elektrische U : Volt, V = W/A = kg · m2 /(s3 · A)
Widerstand, elektrischer R: Ohm, Ω = V/A = kg · m2 /(s3 · A2 )
Winkel, ebener α, β, . . .: Radiant, rad = m/m = 1
1.5.3
Gebräuchliche SI-fremde Einheiten
Im Laufe der Zeit haben sich in Wissenschaft und Technik etliche SI-fremde Einheiten eingebürgert,
welche auch heute noch gelegentlich verwendet werden. Ein paar Beispiele:
• Ångström, Å = 10−10 m
• Bar, bar = 105 Pa
• Curie, Ci = 37 GBq
• Gauß, G = 10−4 T
• Kalorie, cal = 4.1868 J
• Maxwell, M = 10 nWb
• Oersted, Oe = 79.5775 A /m
• Pferdestärke, PS = 735.49875 W
KAPITEL 1. EINLEITUNG
16
• Pond, p = 9.80685 mN
• Rad, rd = 10 mGy
• Rem, rem = 10 mSv
• Torr, Torr = 133.3224 Pa
1.5.4
Wichtige Konstanten der Physik
Hier eine Auswahl der gebräuchlichsten Konstanten der Physik. Die Werte wurden gerundet,
so daß man sie sich besser merken kann. Genauere Werte findet man in jeder physikalischen
Formelsammlung.
Atomare Masseneinheit u = 1.66 · 10−27 kg
Avogadro-Konstante NA = 6.022 · 1023 1/mol
Boltzmann-Konstante kB = 1.38 · 10−23 J/K
Drehimpulsquant ~ = 1.055 · 10−34 Js
Elektrische Elementarladung e = 1.6022 · 10−19 C
Elektrische Feldkonstante ε0 = 8.85 · 10−12 F/m
Erdbeschleunigung g = 9.81 m/s2
Faraday-Konstante F = 9.65 · 104 C/mol
Gaskonstante, molare Rm = 8.315 J/(mol · K)
Gravitationskonstante γ = 6.67 · 10−11 N · m2 /kg2
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 3.00 · 108 m/s
Magnetische Feldkonstante µ0 = 4π · 10−7 H/m
Planck-Konstante h = 2π~ = 6.63 · 10−34 Js
Ruhemasse Elektron me = 9.1 · 10−31 kg = 511 keV/c2
Ruhemasse Neutron mn = 1.675 · 10−27 kg = 939.6 MeV/c2
Ruhemasse Proton mp = 1.673 · 10−27 kg = 938.3 MeV/c2
Stefan-Boltzmann-Konstante σ = 5.67 · 10−8 W/(m2 · K4 )
1.6
Etwas Mathematik
Die Mathematik ist eines der wichtigsten Werkzeuge der Physik. Viele physikalische Vorgänge
können mit Hilfe der Mathematik beschrieben werden, um so zu allgemein gültigen Aussagen zu
gelangen. Deshalb sind in diesem Abschnitt ein paar mathematische Grundlagen zur Gedächtnisauffrischung zusammengestellt.
KAPITEL 1. EINLEITUNG
1.6.1
17
Vektor und Skalar
Größen, deren Werte durch reelle Zahlen ausgedrückt werden können, heißen Skalare (z.B. Masse, Temperatur, Ladung, Energie usw.). Die Größen dagegen, die durch eine Zahlenangabe und
zusätzlich durch eine Richtung im Raum charakterisiert sind, nennt man Vektoren (z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft usw.). Ein Vektor im anschaulichen Sinne ist eine gerichtete Strecke
im Raum und wird als ~a geschrieben. Die Länge der gerichteten Strecke bezeichnet man als Betrag
des Vektors: |~a| = a. Einheitsvektoren sind Vektoren der Länge eins. Der Nullvektor ~0 ist ein Vektor, bei dem Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. Er besitzt den Betrag null, seine Richtung
ist unbestimmt. Alle Vektoren ~b, die durch Parallelverschiebung aus einem Vektor ~a hervorgehen,
sind identisch dem Vektor ~a: ~b = ~a.
1.6.1.1
Multiplikation mit einem Skalar und Addition
Ist b eine reelle Zahl und ~a ein Vektor, so besitzt der Vektor ~c = b · ~a den Betrag b · a und die
Richtung von ~a, also ~c = a · b · ~aa . Hierbei ist ~aa derjenige Einheitsvektor, der in Richtung von ~a
zeigt. Der Vektor −~a hat den gleichen Betrag wie der Vektor ~a, zeigt aber in entgegengesetzte
Richtung. Außerdem wird definiert: 0 · ~a = ~0.
1.6.1.2
Vektoraddition
Sie Summe ~c = ~a + ~b von zwei Vektoren ~a, ~b wird folgendermaßen erklärt: Man setze (durch
Parallelverschiebung) den Vektor ~b an die Spitze des Vektors ~a. Der Summenvektor ~c ist dann
derjenige Vektor, der den gleichen Anfangspunkt wie ~a und den gleichen Endpunkt wie ~b besitzt.
Sei γ der Winkel, den die Vektoren ~a und ~b einschließen, wenn man sie so parallelverschiebt, daß
beide denselben Anfangspunkt besitzen, dann gilt für den Betrag des Summenvektors (abgeleitet
aus dem Kosinussatz am allgemeinen Dreieck):
p
c = a2 + b2 + 2ab cos γ
(1.1)
Die Differenz ~a − ~b wird erklärt als die Summe von ~a und −~b. Es gelten folgende Rechenregeln:
~a + ~b
~a + (~b + ~c)
a(b~a)
(a + b)~a
a(~a + ~b)
= ~b + ~a
= (~a + ~b) + ~c
= (ab)~a
= a~a + b~a
= a~a + a~b
|a~a| =
1.6.1.3
|a| · |~a|
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
Koordinaten eines Vektors
Sind drei linear unabhängige Einheitsvektoren ~e1 , ~e2 , ~e3 vorgegeben, dann läßt sich jeder Vektor
~a eindeutig in der Form
~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3
(1.8)
darstellen. Die ai heißen Koordinaten des Vektors ~a bezüglich ~e1 , ~e2 , ~e3 . Ist das Koordinatensystem
mit den erzeugenden Einheitsvektoren festgelegt, so brauchen zur eindeutigen Beschreibung eines
KAPITEL 1. EINLEITUNG
18
Vektors nur seine Koordinaten angegeben werden:


a1
~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 =  a2 
a3
Der Betrag eines Vektors in Abhängigkeit von seinen Koordinaten ist:
q
|~a| = a21 + a22 + a23
1.6.1.4
(1.9)
(1.10)
Multiplikation von Vektoren
Skalarprodukt: Unter dem skalaren Produkt ~a~b versteht man die Zahl ~a~b = |~a| · |~b| · cos ϕ, wobei
ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) der von ~a und ~b eingeschlossene Winkel ist.
Vektorprodukt: Unter dem Vektorprodukt ~a ×~b der Vektoren ~a und ~b versteht man einen Vektor
der Länge |~a| · |~b| · sin ϕ (Flächeninhalt des von ~a, ~b aufgespannten Parallelogramms), der
auf ~a und ~b senkrecht steht, und zwar so, daß ~a, ~b, ~a × ~b ein rechtshändiges System bilden.
Es gelten folgende Rechenregeln:
~a~b = ~b~a
~a × ~b = −(~b × ~a)
(a~a)~b = a(~a~b)
(a~a) × ~b = a(~a × ~b)
~a(~b + ~c) = ~a~b + ~a~c
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c
~a~b = 0 falls ~a ⊥ ~b
~a × ~b = ~0 falls ~a k ~b
~a~a = ~a2 = |~a|2
~a × ~a = ~0
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
Sind die Vektoren ~a, ~b, ~c in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten mit den Einheitsvektoren ~ex ,
~ey , ~ez gegeben durch
~a = ax~ex + ay ~ey + az ~ez ~b = bx~ex + by ~ey + bz ~ez
~c = cx~ex + cy ~ey + cz ~ez
dann werden die Produkte folgendermaßen berechnet:
~a~b =
~a × ~b =
1.6.2
ax bx + ay by + az bz
(1.21)
(ay bz − az by )~ex + (az bx − ax bz )~ey + (ax by − ay bx )~ez
(1.22)
Trigonometrische Funktionen
Eine Möglichkeit besteht darin, die trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck zu
definieren. Wir betrachten also ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse c, den Katheten
a, b und den Winkeln α, β und γ = π/2, wobei der Winkel α der Seite a gegenüberliegt usw. Dann
KAPITEL 1. EINLEITUNG
19
gelten folgende Zusammenhänge:
a
c
b
c
a
b
=
sin α = cos β
(1.23)
=
sin β = cos α
(1.24)
=
tan α = cot β
(1.25)
Des weiteren gilt am rechtwinkligen Dreieck natürlich auch der Satz des Pythagoras:
a2 + b2 = c2
(1.26)
Der Kosinus ist der Sinus des Komplementwinkels und auch umgekehrt, ebenso wie Tangens und
Kotangens Funktion und Kofunktion zueinander sind. Also gilt:
´
³π
−ϕ
(1.27)
cos ϕ = sin
³ 2π
´
sin ϕ = cos
−ϕ
(1.28)
³ 2π
´
cot ϕ = tan
−ϕ
(1.29)
³ π2
´
tan ϕ = cot
−ϕ
(1.30)
2
Sinus und Kosinus besitzen eine Periodizität von 2π, Tangens und Kotangens von π. Des weiteren
gelten noch folgende nützliche Beziehungen:
sin2 ϕ + cos2 ϕ =
tan ϕ · cot ϕ =
tan ϕ =
cot ϕ =
1
1
sin ϕ
cos ϕ
cos ϕ
sin ϕ
(1.31)
(1.32)
(1.33)
(1.34)
Kapitel 2
Mechanik
Das Wort Mechanik stammt aus dem Griechischen und heißt übersetzt ”Maschinenkunst”. Die
Mechanik ist die älteste der grundlegenden Disziplinen der Physik.
Die Mechanik untersucht die Bewegung materieller Systeme (Körper) und ist aufgebaut auf den
physikalischen Größen Länge, Zeit und Masse. Man unterscheidet die Kinematik (Wie bewegen
sich Körper?) und die Dynamik (Warum bewegen sich Körper?).
Eines der wesentlichen Konzepte der Mechanik ist das des Massenpunktes, der sich selbst als
Körper oder Grundeinheit eines Körpers auffassen lässt. Der Massenpunkt hat zwar Masse, aber
kein Volumen. Diese Auffassung ist verwandt mit der Vorstellung des Atoms (griechisch: Das
Unteilbare) als kleinstem Baustein der Materie. Das Konzept des Massenpunktes leitet seine Berechtigung aus der heutigen Vorstellung über die Struktur des Atoms her. Tatsächlich ist die Masse
eines Atoms fast vollständig in dem Atomkern konzentriert, dessen Volumen etwa 1015 -mal kleiner
ist als das Atomvolumen.
2.1
2.1.1
Grundlegende Größen und Einheiten
Zeit
Historisch wurden Zeiten über die Dauer eines mittleren Sonnentags oder über die Dauer eines
Jahres gemessen. Dies ist natürlich eine sehr ungenaue Methode, so daß man heute eine andere
Meßvorschrift der Zeit anwendet:
Die Zeit t = 1 s ist das 9192631770-fache der Periodendauer der Strahlung beim Übergang zwischen
den Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklids 133 Cs.
Atomare Übergänge (siehe Abbildung 2.1) liefern sehr konstante Zeitdefinitionen mit hoher Genauigkeit (∆t/t ≈ 10−14 ) und sind an jedem Ort jederzeit reproduzierbar.
In der täglichen Praxis wurden und werden Zeiten etwa mittels eines Pendels oder mit verschiedenen Uhren (Sanduhr, Sonnenuhr, mechanische Uhr mit Pendel, Quarzuhr) gemessen. In den letzten
Jahren haben sich Funkuhren immer mehr etabliert. Diese empfangen Zeitsignale eines Langwellensenders (z.B. Mainflingen bei Frankfurt), welche aus der Cs-Uhr (z.B. bei der PhysikalischTechnischen Bundesanstalt) stammen.
Messungen sehr langer Zeiten (t > 1010 s) sind mit Hilfe des radioaktiven Zerfalls möglich. Dies
20
KAPITEL 2. MECHANIK
21
Abbildung 2.1: Schematische Darstellung eines atomaren Überganges
Alter des Universums
Alter der Erde
Lebenserwartung des Menschen
Jahr
Tag
Periode einer Schallschwingung (Hörbereich des Menschen)
Periode einer Lichtschwingung
≈ (11 ± 3) · 109 y
≈ 4.5 · 109 y
≈ 2.3 · 109 s
3.2 · 107 s
86400 s
50 µs − 50 ms
≈ 10−15 s
Tabelle 2.1: Typische Zeiten
ist zwar kein periodischer Vorgang, trotzdem gehorcht jeder radioaktive Zerfall der gleichen Gesetzmäßigkeit:
Die Anzahl von Kernen, die zerfallen können, halbiert sich innerhalb einer charakteristischen Zeit,
der sogenannten Halbwertszeit T1/2 .
Eine Auflistung typischer Zeiten zeigt Tabelle 2.1.
2.1.1.1
Kalender
Der Kalender dient zur weiteren Unterteilung von größeren Zeiträumen. Die Kalendersysteme
beziehen sich auf den Mondzyklus von ca. 28 Tagen und den Sonnenzyklus von ca. 365 Tagen.
Da diese nicht ineinander aufgehen, müssen Schalttage eingefügt werden. In Deutschland gilt der
Gregorianische Kalender, der seit 1582 den früheren Julianischen Kalender ersetzte, wobei die
Schaltregel für glatte Jahrhundertjahre verändert wurde. Seitdem fällt der Frühlingsanfang auf
den 21. oder 20. März. Der Julianische Kalender war in osteuropäischen Ländern teilweise bis
nach der Oktoberrevolution 1917 in Rußland in Gebrauch. Er wich zuletzt um etwa drei Wochen
vom Gregorianischen ab.
Ein Schalttag wird in allen durch 4 teilbaren Jahren am Ende des Februars eingefügt. Ausnahme:
volle Jahrhunderte, die nicht durch 400 teilbar sind (2000 ist Schaltjahr, 1900 nicht). Die Kalenderwoche unterteilt das Jahr in 52 oder 53 Wochen. Als erste Kalenderwoche eines Jahres zählt
jene, die den ersten Donnerstag des Jahres enthält. Der erste Wochentag der bürgerlichen Woche
ist der Montag, nach christlicher Tradition allerdings der Sonntag.
Gregorianische Kalenderjahre werden durch eine Jahreszahl fortlaufend numeriert. Jahre vor dem
Jahr 1 werden durch ”v.Chr.” (vor Christus) oder ”B.C.” (before Christ) bezeichnet. Es gibt kein
Jahr Null. Auf das Jahr 1 v. Chr. folgt direkt das Jahr 1 n. Chr.
KAPITEL 2. MECHANIK
22
Andere gebräuchliche Kalendersysteme sind der hebräische Kalender (Lunisolarkalender, Mischung aus Sonnen- und Mondkalender) mit unterschiedlich langen Jahren und Schaltmonaten. Die
Zählung der Jahre erfolgt ab dem 7. Oktober 2761 v. Chr. (”Erschaffung der Welt”, Jahresanfang
im September/Oktober, 1997 beginnt das Jahr 5758) und der mohammedanische Kalender (reiner
Mondkalender ohne Schaltmonat, Zählung der Jahre ab der Flucht Mohammeds aus Mekka am
16. Juli 622 n. Chr., das mohammedanische Jahr 1418 begann im Jahr 1997 des Gregorianischen
Kalenders).
2.1.2
Länge
Historisch gab es mehrere Ansätze eine Längeneinheit zu definieren. Zur Zeit der französischen
Revolution etwa wurde die Länge 1 m als der zehnmillionste Teil eines Viertels des Erdumfanges
festgelegt. Da nun aber die Erde keine exakte Kugel und da auch der Äquator kein exakter Kreis
ist, ist diese Definition für heutige Ansprüche zu ungenau. Ein zweiter Ansatz bestand in der
Anfertigung eines Urmeters, das unter kontrollierten Bedingungen aufbewahrt wurde.
Die heutige Definition der Länge benutzt die sehr genau bekannte Vakuumlichtgeschwindigkeit als
Grundlage:
Die Länge ` = 1 m ist diejenige Wegstrecke, die Licht im Vakuum während der Zeit t =
1/29979485 s zurücklegt.
In der Praxis gibt es diverse Methoden Längen zu messen:
Schieblehre: Der Nonius ist ein Hilfsmaßstab zum Ablesen von Zehnteln des Hauptmaßstabs. Er
hat 10 Einheiten, die zusammen so lang sind wie 9 Einheiten des Hauptmaßstabs.
Triangulation: Zur Landvermessung und für kleinere astronomische Distanzen (hier wird auch
der Winkel als physikalische Meßgröße mit seiner Einheit eingeführt).
Mikroskop: Die Auflösung ist durch die Wellenlänge des benutzten Lichts (z.B. grün: λ ≈
500 nm) begrenzt.
Laufzeitmessungen von elektromagnetischen oder Schall- Impulsen (Radar, Laser, Echolot).
In der Astronomie ist es nötig sehr große Entfernungen (` > 1022 m) zu messen. Eine Methode
hierfür, welche mit zunehmender Entfernung sogar genauer wird, beruht auf der Rotverschiebung,
die sich aus der Fluchtbewegung der Galaxien ergibt. Das Licht eines atomaren Übergangs mit
bekannter Wellenlänge λ0 wird auf der Erde mit der rotverschobenen Wellenlänge λ gemessen.
Aus der Rotverschiebung δ = λ/λ0 lässt sich die Entfernung der Galaxie berechnen:
`=
c δ2 − 1
·
H δ2 + 1
(2.1)
Hierbei ist c die Lichtgeschwindigkeit und H ≈ 2.5 · 10−18 1/s die Hubble-Konstante, aus deren
Kehrwert das Alter des Universums abgeleitet werden kann.
Die Messung kleiner Längen (` < 10−10 m) erfolgt mit Hilfe von Streuexperimenten. Solche Streuexperimente mit α-Teilchen haben eine entscheidende Rolle bei der Aufklärung der Atomstruktur
gespielt. Heute stellen sie eine der wichtigsten Experimentiertechniken zur Analyse von Mikrostrukturen dar, und sie werden in fast allen Bereichen der Experimentalphysik eingesetzt.
Eine Auflistung typischer Längen zeigt Tabelle 2.2.
KAPITEL 2. MECHANIK
23
Durchmesser der Milchstraße
Abstand Sonne-Erde
Durchmesser der Sonne
Durchmesser der Erde
Wellenlänge des sichtbaren Lichts
Atomdurchmesser
Durchmesser eines Atomkerns
≈ 7 · 1020 m
≈ 1.5 · 1011 m
≈ 1.4 · 109 m
≈ 12700 km
≈ 400 − 700 nm
≈ 0.3 nm
≈ 2 − 8 fm
Tabelle 2.2: Typische Längen
Abbildung 2.2: Das Ur-Kilogramm
2.1.3
Masse
Die Masse m = 1 kg ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps, einem Zylinder von
jeweils 39 mm Höhe und Durchmesser aus einer Pt-Ir-Legierung (90% Platin, 10% Iridium).
Das Kilogramm ist die einzige SI-Basiseinheit, die auch heute noch durch einen Prototyp-Körper
dargestellt wird. Das ”Ur-Kilogramm” ruht unter einer doppelten ”Käseglocke” in einem Labor des
”Bureau International des Poids et Mesures” (BIPM) in Sèvres bei Paris (siehe Abbildung 2.2). Die
nationalen Metrologie-Institute besitzen Kopien davon. Jedes der nationalen Prototype (es heißt
im Messwesen tatsächlich ’das’ Prototyp) wird regelmäßig mit seinem internationalen Gegenstück
verglichen. Doch die verschiedenen Kilogramm-Prototype weichen zunehmend voneinander ab.
Deshalb suchen die Wissenschaftler intensiv nach einem Weg, auch die Einheit der Masse auf eine
Fundamentalkonstante zurückzuführen.
Einige typische Massen sind in Tabelle 2.3 aufgelistet.
2.1.4
Dichte
Körper gleichen Volumens besitzen nicht gleiche Massen, wenn sie aus unterschiedlichem Material
bestehen. Die Masse eines Körpers hängt also außer von seinem Volumen auch von der Stoffart
ab.
KAPITEL 2. MECHANIK
24
Universum
Milchstraße
Sonne
Erde
Mond
Jumbojet (vollbeladen)
Größter Meteorit (Fund)
Liter Wasser (größte Dichte)
Rotes Blutkörperchen des Menschen
Eiweißmolekül
Uranatom (nat U)
Stickstoffmolekül (nat N2 )
Kohlenstoffatom (12 C)
Proton
Elektron
≈ 1053
einige 1042
1.993 · 1030
5.97 · 1024
7.35 · 1022
3.86 · 105
6.0 · 104
0.99997
≈ 43 · 10−10
einige 10−23
3.95 · 10−25
2.33 · 10−26
1.99 · 10−26
1.67 · 10−27
9.1 · 10−31
Tabelle 2.3: Typische Massen [kg]
Als Dichte % bezeichnet man das Verhältnis der Masse m eines Körpers zu seinem Volumen V :
m
%=
(2.2)
V
Im Allgemeinen ist die Dichte von Stoffen druck- und temperaturabhängig.
2.2
Kinematik des Massenpunktes
Die Kinematik beschäftigt sich mit der Beschreibung der Bewegungen von Körpern. Im Folgenden
wird dies auf die Beschreibung der Bewegung eines Massenpunktes beschränkt.
2.2.1
Der Ortsvektor
Um die Bewegung eines Massenpunktes mathematisch beschreiben zu können ist es zunächst notwendig, sich ein Koordinatensystem zu definieren. Im Rahmen dieser Vorlesung wird ausschließlich
das sogenannte kartesische Koordinatensystem verwendet. Es wird durch drei Einheitsvektoren ~ex ,
~ey und ~ez aufgespannt, die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Die x-, y- und z-Achsen zeigen
in dieser Reihenfolge wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand (Rechtssystem,
siehe Abbildung 2.31 ).
Wie in Abbildung 2.4 zu sehen ist folge der Massenpunkt der Bahnkurve s, welche durch den
Ortsvektor ~r wie folgt beschrieben wird:
~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez
2.2.2
(2.3)
Die Geschwindigkeit
Im Zeitintervall ∆t ändere sich der Ortsvektor um
∆~r = ~r(t + ∆t) − ~r(t)
1 °Verlag
c
Harri Deutsch AG
(2.4)
KAPITEL 2. MECHANIK
Abbildung 2.3: Rechtswendiges und linkswendiges Koordinatensystem
Abbildung 2.4: Bahnkurve im kartesischen Koordinatensystem
25
KAPITEL 2. MECHANIK
26
Abbildung 2.5: Weg-Zeit-Diagramm der gleichförmigen Bewegung
Das Verhältnis ∆~r/∆t ist für den Grenzfall ∆t → 0 ein Maß für die momentane zeitliche Änderung
des Ortsvektors und wird Momentangeschwindigkeit ~v genannt:
~v (t) =
d
dx(t)
dy(t)
dz(t)
~r(t) =
~ex +
~ey +
~ez = vx (t)~ex + vy (t)~ey + vz (t)~ez
dt
dt
dt
dt
(2.5)
Die Geschwindigkeit ist also die erste Ableitung der Ort-Zeit-Funktion nach der Zeit. Die Einheit
der Geschwindigkeit ist [v] = m/s.
Umgekehrt kann man natürlich bei bekannter Geschwindigkeit eines Massenpunktes durch Integration auf seinen Ort zum Zeitpunkt t schließen, wenn die Bewegung zur Zeit t = 0 beginne:
Z t
~r(t) =
~v (t0 )dt0
(2.6)
0
2.2.2.1
Gleichförmige Bewegung
Falls die Geschwindigkeit ~v (t) unabhängig von der Zeit t ist (also falls ~v (t) = const.) spricht man
von einer gleichförmigen Bewegung. Die Bahnkurve einer gleichförmigen Bewegung ist eine Gerade.
Ein Massenpunkt bewegt sich dann auf dieser Gerade mit der konstanten Geschwindigkeit
q
v0 = |~v | = vx2 + vy2 + vz2
(2.7)
Wir wollen nun das Koordinatensystem so legen, daß der Geschwindigkeitsvektor in Richtung der
x-Achse zeige, also daß gilt v0 = vx , vy = vz = 0. Dann erhält man den Ort x des Massenpunktes,
der sich zur Zeit t = 0 am Ort x(t = 0) = x0 befinde, zu einem beliebigen Zeitpunkt t durch die
einfache Integration:
Z
t
x(t) =
0
v0 dt0 = v0 t + x0
(2.8)
KAPITEL 2. MECHANIK
27
Eine graphische Auftragung dieses Zusammenhangs zeigt Abbildung 2.5. Die Geschwindigkeit v0
mit der sich der Massenpunkt bewegt ergibt sich in diesem Fall aus der Steigung der Geraden im
x-t-Diagramm:
∆x
v0 =
= tan α
(2.9)
∆t
2.2.3
Die Beschleunigung
Im Zeitintervall ∆t ändere sich nun der Geschwindigkeitsvektor um
∆~v = ~v (t + ∆t) − ~v (t)
(2.10)
Das Verhältnis ∆~v /∆t ist für den Grenzfall ∆t → 0 ein Maß für die momentane zeitliche Änderung
des Geschwindigkeitsvektors und wird Momentanbeschleunigung ~a genannt:
~a(t) =
d
dvx (t)
dvy (t)
dvz (t)
~v (t) =
~ex +
~ey +
~ez = ax (t)~ex + ay (t)~ey + az (t)~ez
dt
dt
dt
dt
(2.11)
Die Beschleunigung ist also die erste Ableitung der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion nach der Zeit.
Die Einheit der Beschleunigung ist [a] = m/s2 .
Da die Geschwindigkeit die erste Ableitung nach der Ort-Zeit-Funktion ist gilt folgender Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Ort:
~a(t) =
d2
d2 x(t)
d2 y(t)
d2 z(t)
~
r
(t)
=
~
e
+
~
e
+
~ez
x
y
dt2
dt2
dt2
dt2
(2.12)
Umgekehrt kann man natürlich bei bekannter Beschleunigung eines Massenpunktes durch Integration auf seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t schließen, wenn die Bewegung zur Zeit t = 0
beginne:
Z
t
~v (t) =
~a(t0 )dt0
(2.13)
0
2.2.3.1
Konstante Beschleunigung
Falls die Beschleunigung ~a(t) unabhängig von der Zeit t ist (also falls ~a(t) = const.) spricht man
von einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Ein Massenpunkt bewegt sich dann auf seiner
Bahn mit der konstanten Beschleunigung
q
a = |~a| = a2x + a2y + a2z
(2.14)
Wir wollen nun das Koordinatensystem so legen, daß der Beschleunigungsvektor in Richtung der
x-Achse zeige, also daß gilt a = ax , ay = az = 0. Dann erhält man die Beschwindigkeit v des
Massenpunktes, der sich zur Zeit t = 0 mit der Geschwindigkeit v(t = 0) = v0 bewege, zu einem
beliebigen Zeitpunkt t durch die einfache Integration:
Z t
v(t) =
adt0 = at + v0
(2.15)
0
Durch erneute Integration erhält man hieraus den Ort x des Massenpunktes zur Zeit t, falls er
sich zur Zeit t = 0 am Ort x(t = 0) = x0 befindet:
Z t
Z t
1
0
0
(2.16)
x(t) =
v(t )dt =
(at0 + v0 ) dt0 = at2 + v0 t + x0
2
0
0
KAPITEL 2. MECHANIK
28
Abbildung 2.6: Diagramm der konstanten Beschleunigung
Auflösen von Gleichung 2.15 nach t liefert:
t=
v − v0
a
Dies eingesetzt in Gleichung 2.16 ergibt:
x − x0 =
2
¢
1 (v − v0 )
v − v0
1 ¡ 2
2
2
a·
+
v
·
=
·
v
−
2vv
+
v
+
2vv
−
2v
0
0
0
0
0
2
a2
a
2a
Nach Vereinfachung dieser Gleichung ergibt sich ein nützlicher Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Ort:
v 2 − v02 = 2a(x − x0 )
(2.17)
Eine graphische Auftragung des Weges in Abhängigkeit von der Zeit bei der Bewegung mit konstanter Beschleunigung zeigt Abbildung 2.62 . Gleichung 2.16 läßt sich auch aus einer anderen
Überlegung herleiten. Der beim konstanten Beschleunigungsvorgang zurückgelegte Weg entspricht
der Strecke, die man bei einer gleichförmigen Bewegung mit der Mittleren Geschwindigkeit zurücklegt. Also gilt:
µ
¶
v + v0
1
1
1
v̄ =
= at + v0 ⇒ x = v̄t + x0 =
at + v0 · t + x0 = at2 + v0 t + x0
(2.18)
2
2
2
2
2.2.4
Wurfbewegungen
Die Beschleunigung mit der wir am besten vertraut sind, weil sie uns auf Schritt und Tritt begleitet,
ist die Erdbeschleunigung g. In Nähe der Erdoberfläche ist sie praktisch konstant und besitzt
den Wert g = 9.81 m/s2 . In den nächsten Abschnitten werden Bewegungen von Massenpunkten
unter dem Einfluß der konstanten Erdbeschleunigung betrachtet. Diese Bewegungen nennt man
Wurfbewegungen.
Um die Bahnkurven mathematisch zu beschreiben bedient man sich des Superpositionsprinzips:
Die Bewegungen in den drei Richtungen eines kartesischen Koordinatensystems sind unabhängig
voneinander.
2 °Verlag
c
Harri Deutsch AG
KAPITEL 2. MECHANIK
29
In den folgenden Abschnitten wollen wir davon ausgehen, daß die Erdbeschleunigung in Richtung
der negativen y-Achse wirke, also daß gilt ~g = −g~ey . Des weiteren sollen keine anderen Beschleunigungen auftreten, insbesonders keine in Richtung der x- oder z-Achse. Dann können wir die
Wurfbewegungen zweidimensional beschreiben, indem wir das Koordinatensystem so legen, daß
die z-Komponenten des Ortes und der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 verschwinden, also
daß gilt z(t = 0) = vz (t = 0) = 0. Die Komponente der Bewegung in x-Richtung bezeichnet man
dann als waagerecht, in y-Richtung als senkrecht.
2.2.4.1
Freier Fall
Der freie fall ist die einfachste Wurfbewegung. Sie tritt auf, wenn für die Anfangsbedingungen vx0 =
vz0 = x0 = 0 gilt. Die Anfangshöhe z0 sei gegeben. Dann ergibt sich für die Bewegungsgleichungen:
vy
y
vy2
= −gt
1
= − gt2 + y0
2
= −2g(y − y0 )
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Der freie Fall ist also eine eindimensionale Bewegung.
2.2.4.2
Senkrechter Wurf
Beim senkrechten Wurf lassen wir anders als beim freien Fall zusätzlich eine Anfangskomponente
der Geschwindigkeit in y-Richtung vy0 6= 0 zu.
vy
=
y
=
2
vy2 − vy0
=
−gt + vy0
1
− gt2 + vy0 t + y0
2
−2g(y − y0 )
(2.22)
(2.23)
(2.24)
Der senkrechte Wurf ist also ebenfalls eine eindimensionale Bewegung.
Eine graphische Auftragung der Zusammenhänge beim senkrechten Wurf zeigt Abbildung 2.73 .
2.2.4.3
Waagrechter Wurf
Beim waagrechten Wurf lassen wir anders als beim senkrechten Wurf zusätzlich eine Anfangskomponente der Geschwindigkeit in x-Richtung vx0 6= 0 zu. Allerdings gibt es hier keine Anfangskomponente der Geschwindigkeit in y-Richtung vy0 = 0.
vx
= vx0
(2.25)
vy = −gt
(2.26)
x = vx0 t
(2.27)
1 2
(2.28)
y = − gt + y0
2
Hier hat man es mit einer zweidimensionalen Bewegung zu tun. Die Bahnkurve y(x) ermittelt
man, indem man die Zeit t aus den Gleichungen 2.27 und 2.28 eliminiert:
g
y(x) = − 2 x2 + y0
(2.29)
2vx0
Die Bahnkurve des waagrechten Wurfes ist also eine Parabel mit dem Scheitelpunkt im Abwurfort.
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KAPITEL 2. MECHANIK
30
Abbildung 2.7: Der senkrechte Wurf
2.2.4.4
Schräger Wurf
Der schräge Wurf ist der allgemeinste Fall einer Wurfbewegung. Es gibt sowohl eine Anfangskomponente der Geschwindigkeit in waagrechter Richtung vx0 6= 0 als auch in senkrechter Richtung
vy0 6= 0. Der Einfachheit halber legen wir den Anfangsort in den Ursprung des Koordinatensystems
x0 = y0 = 0.
Der Vektor der Anfangsgeschwindigkeit ~v0 schließt mit der waagrechten x-Achse einen Winkel α
ein, wobei gilt:
q
2 + v2
(2.30)
v0 = |~v0 | =
vx0
yo
vx0
vy0
=
=
tan α
=
v0 cos α
v0 sin α
vy0
vx0
(2.31)
(2.32)
(2.33)
Hieraus ergeben sich die Beziehungen:
vx
= vx0 = v0 cos α
(2.34)
vy
x
= −gt + vy0 = −gt + v0 sin α
= vx0 t = v0 t cos α
1
1
= − gt2 + vy0 t = − gt2 + v0 t sin α
2
2
(2.35)
(2.36)
y
(2.37)
Die Bahnkurve y(x) erhält man durch eliminieren der Zeit t aus den Gleichungen 2.36 und 2.37:
y = x tan α −
2v02
g
x2
cos2 α
Die Bahnkurve des schrägen Wurfes ist also eine Parabel.
(2.38)
KAPITEL 2. MECHANIK
31
Abbildung 2.8: Der schräge Wurf
Eine graphische Auftragung der Bahnkurve des schrägen Wurfes zeigt Abbildung 2.84 .
2.2.5
Rotation
Die für Rotationsbewegungen (Drehbewegungen) geltenden Gesetze sind denen der Translationsbewegung analog. Die Gleichungen der Rotation ergeben sich aus denen der Translation, wenn
ersetzt werden:
Weg x
Geschwindigkeit v
Beschleunigung a
2.2.5.1
→
→
→
Drehwinkel ϕ
Winkelgeschwindigkeit ω
Winkelbeschleunigung α
Drehwinkel
In allen Gleichungen der Rotationsbewegung werden die Winkel stets in der Einheit Radiant (rad)
angegeben, oftmals auch Bogenmaß genannt. Sei ϕ der Winkel (im Bogenmaß), s die Länge des
von den Winkelschenkeln eingeschlossenen Kreisbogens (siehe Abbildung 2.95 ) und r der Radius,
dann gilt als Definitionsgleichung:
s
ϕ=
(2.39)
r
Die Einheit Radiant (rad= m/m) wird im allgemeinen nur mitgeschrieben, wenn die Möglichkeit
einer Verwechslung mit Grad (◦ ) besteht. Die Umrechnung zwischen Grad und Radiant erfolgt
durch die Festlegung, daß der Vollwinkel am Einheitskreis einerseits 360◦ , andererseits 2π beträgt.
Also gilt:
ϕ[rad]
ϕ[◦ ]
=
⇒ ϕ[◦ ] = 57.3 · ϕ[rad]
(2.40)
◦
360
2π
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KAPITEL 2. MECHANIK
32
Abbildung 2.9: Definition des Drehwinkels
2.2.5.2
Frequenz und Winkelgeschwindigkeit
Bei allen Rotationsarten wird der Begriff Frequenz f verwendet. Er bezeichnet die Anzahl N der
Umläufe pro Zeiteinheit ∆t:
N
f=
(2.41)
∆t
Die Einheit der Frequenz ist [f ] = 1/s = Hz. Der Kehrwert der Frequenz ist die Dauer T eines
Umlaufes:
1
T =
(2.42)
f
Ferner ist der Drehwinkel das Produkt aus der Anzahl der Umläufe und dem Winkel eines Umlaufes:
ϕ = 2πN
(2.43)
Die Winkelgeschwindigkeit ω ist die zeitliche Ableitung des Drehwinkels:
ω=
dϕ
dt
(2.44)
Beispiel: Der Strom ”aus der Steckdose” ist in Europa ein Wechselstrom, der eine Frequenz von
f = 50 Hz besitzt. In den USA ist die Wechselstromfrequenz f = 60 Hz.
2.2.5.3
Gleichförmige Rotation
Falls die Winkelgeschwindigkeit konstant ist (man spricht von gleichförmiger Rotation), folgt mit
den Werten für einen Umlauf:
2π
(2.45)
ω = 2πf =
T
Unter Verwendung von Gleichung 2.45 erhält man die Bahngeschwindigkeit v einer gleichförmigen
Rotation mit Radius r:
2πr
v=
= rω
(2.46)
T
KAPITEL 2. MECHANIK
2.3
33
Dynamik des Massenpunktes
Wir wollen uns nun mit der Frage beschäftigen, warum Körper ihren Bewegungszustand ändern.
Aus dem täglichen Leben wissen wir, daß es einer Kraft bedarf, um einen Körper in Bewegung zu
setzen. Allgemeiner ausgedrückt müssen zwischen Körpern also Wechselwirkungen existieren.
Die moderne Physik kennt vier fundamentale Typen von Wechselwirkungen, die an bestimmte
Eigenschaften von Körpern gebunden sind:
1. Gravitative Wechselwirkung:
• Kraft zwischen Objekten, die die Eigenschaft einer schweren Masse besitzen.
• täglich spürbar: Erdanziehung.
2. Elektromagnetische Wechselwirkung:
• Kraft zwischen Objekten, die die Eigenschaft einer elektrischen Ladung besitzen. Magnetische Kräfte haben ihren Ursprung üblicherweise in bewegten elektrischen Ladungen.
• tritt vielfach täglich in Erscheinung:
–
–
–
–
–
–
–
Elastizität
Muskelkraft
Chemische Bindungen
Elektrische und magnetische Kräfte
Reibung
Elektromotor
Permanentmagnet
3. Starke Wechselwirkung:
• Kraft zwischen Objekten, die die Eigenschaft einer starken Ladung (Farbe, Farbladung)
besitzen.
• Kraft zwischen den Bestandteilen der Atomkerne (den sog. Nukleonen): Protonen, Neutronen.
• Kraft zwischen den Bestandteilen der Nukleonen (Quarks): u,d,t,b,s,c Quarks (die
Buchstaben stehen für: up, down, top, bottom, strange, charmed)6 .
4. Schwache Wechselwirkung:
• Wechselwirkung zwischen Objekten, die die Eigenschaft einer schwachen Ladung besitzen. Ursache für den radioaktiven β-Zerfall.
• Wechselwirkung zwischen Quarks und Leptonen (z.B. Elektronen).
2.3.1
Newtonsche Axiome
Sir Isaac Newton gelang es Ende des 17. Jahrhunderts die Auswirkungen von Kräften auf den Bewegungszustand von Körpern in drei fundamentalen Axiomen zusammenzufassen. Ihm zu Ehren
trägt die Einheit der Kraft seinen Namen:
Die Kraft F = 1 N (Newton) ist diejenige Kraft, die benötigt wird, um der Masse 1 kg die Beschleunigung 1 m/s2 zu erteilen.
6 Dies
sei hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt und ist nicht Teil der Vorlesung.
KAPITEL 2. MECHANIK
34
Abbildung 2.10: Reibungskräfte
Newtonsche Axiome:
1. Newtonsches Axiom: Galiläischer Trägheitssatz. Ein Körper verharrt im Zustand der
Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, solange keine äußere Kraft auf ihn wirkt.
2. Newtonsches Axiom: Grundgesetz der Dynamik. Es existiert eine von Masse und Geschwindigkeit abhängige Größe, der sogenannte Impuls. Er ist definiert als p~ = m · ~v . Die
d~
p
zeitliche Änderung des Impulses eines Körpers ist gleich der einwirkenden Kraft F~ =
.
dt
3. Newtonsches Axiom: Reaktionsgesetz, actio = reactio. Übt ein Körper 1 auf einen
Körper 2 eine Kraft aus, so reagiert Körper 2 mit einer im Betrag gleichen, entgegengesetzt gerichteten Kraft.
Das zweite Newtonsche Axiom wird häufig in der Form F~ = m · ~a geschrieben. Dies ist immer
dann richtig, wenn sich die Masse m nicht ändert. Dies ist aber zum Beispiel bei Raketen oder in
der relativistischen Mechanik nicht der Fall.
2.3.2
Reibungskräfte
Für die Reibung, die ihre Ursache in den elektrischen van-der-Waals-Kräften hat, können wir
nur einige empirische Gesetzmäßigkeiten angeben. Es ist schwierig, in diesen Fällen ”saubere”
Bedingungen für Experimente zu schaffen.
Reibungskräfte treten immer dann auf, wenn ein Körper Kontakt mit einer Unterlage hat (siehe
Abbildung 2.10). Der Betrag der Reibungskraft ergibt sich als Produkt des Reibungskoeffizienten
µ mit der Normalkraft:
FR = µ · FN
(2.47)
Im Fall einer waagrechten Unterlage ist die Normalkraft gleich der Gewichtskraft.
Die Richtung der Reibungskraft ergibt sich erst dann, wenn eine äußere, beschleunigende Kraft F~
an dem Körper angreift. Die Reibungskraft ist dann immer der beschleunigenden Kraft entgegengesetzt gerichtet:
F~
F~R
=−
(2.48)
FR
F
In der Praxis wollen wir drei verschiedene Arten von Reibung unterscheiden:
KAPITEL 2. MECHANIK
35
Abbildung 2.11: Übergang Haftreibung-Gleitreibung
1. Haftreibung µH . Der Körper ruht. Erst wenn die angreifende Kraft F > FR,H = µH · FN
ist, wird der Körper beschleunigt.
2. Gleitreibung µGR . Der Körper ist bereits in Bewegung. Er gleitet auf der Unterlage. Entgegen der Bewegungsrichtung wirkt die Gleitreibungskraft FR,GR = µGR · FN .
3. Rollreibung µRR . Der Körper rollt auf der Unterlage (Räder), das heißt idealerweise ist die
Kontaktfläche zwischen Körper und Unterlage infinitesimal klein. Entgegen der Bewegungsrichtung wirkt die Rollreibungskraft FR,RR = µRR · FN .
Normalerweise gilt für die Reibungskoeffizienten:
µH > µGR > µRR
(2.49)
Dies hat zur Folge, daß man zuerst eine größere Kraft braucht, um die Haftreibung zu überwinden
(also um den Körper in Bewegung zu versetzten), dann reicht eine kleinere Kraft aus um die Gleitreibung zu kompensieren. Dieses Phänomen ist in Abbildung 2.117 zu sehen. Die an dem Körper
angreifende Kraft wird solange erhöht, bis die Haftreibung überwunden wird (FH,max ). Sobald
sich der Körper in Bewegung setzt, wirkt nun die Gleitreibung (FGR ). Da die Gleitreibungskraft
kleiner ist als die Haftreibungskraft, wirkt die Differenz als beschleunigende Kraft.
Einige typische Werte für Reibungskoeffizienten finden sich in Tabelle 2.4.
2.3.3
Gravitationskraft
Die Ursache der Gravitationskraft ist die schwere Masse von Körpern. Zwischen zwei punktförmigen, schweren Massen m1 und m2 , die sich an den Orten ~r1 und ~r2 befinden, beträgt die Gravitationskraft F~G :
m1 · m2 ~r
·
mit ~r = ~r2 − ~r1
(2.50)
F~G = −γ ·
r2
r
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KAPITEL 2. MECHANIK
Haftreibung µH
0.15 − 0.3 Stahl auf Stahl
0.1 Stahl auf Stahl mit Fett
0.04 Teflon auf Stahl
36
Gleitreibung µGR
0.1 − 0.3 Stahl auf Stahl
0.02 − 0.08 Stahl auf Stahl mit Fett
0.014 Stahl auf Eis mit Wasser
Rollreibung µRR
0.005 − 0.01 Stahl auf Stahl
Tabelle 2.4: Typische Reibungskoeffizienten
Abbildung 2.12: Abstandsabhängigkeit der Gravitationskraft
Die Richtung der Gravitationskraft ist also gleich der Richtung des Abstandsvektors zwischen den
Massenpunkten. Sie ist immer anziehend und ihr Betrag nimmt mit 1/r2 ab (siehe Abbildung
2.12). γ ist die sogenannte Gravitationskonstante, eine fundamentale Konstante. Ihr Wert ist:
γ = 6.673 · 10−11
2.3.3.1
m3
kg · s2
Schwerkraft
Als Schwerkraft bezeichnet man diejenige Gravitationskraft, die auf einen Massenpunkt mit der
schweren Masse m wirkt, welcher sich auf der Oberfläche eines Himmelskörpers (beispielsweise der
Erde) befindet. Da verschiedene Himmelskörper unterschiedliche Radien und Massen besitzen ist
natürlich auch die Schwerkraft auf der Oberfläche von Planet zu Planet verschieden.
Wir wollen uns die Schwerkraft auf der Erdoberfläche aus dem Gravitationsgesetz berechnen. Der
Radius der Erde ist ungefähr rE = 6.375 · 106 m, die Erdmasse beträgt mE = 5.977 · 1024 kg. Dann
wirkt auf einen Probekörper der Masse m auf der Erdoberfläche die Schwerkraft
m
m · mE
(2.51)
= m · 9.81 2 = m · g
Fg = γ ·
2
rE
s
Die Fallbeschleunigung g auf der Erdoberfläche läßt sich also aus der Gravitationskraft herleiten.
Anmerkung: Die Formel für die Gravitationskraft wurde in Abschnitt 2.3.3 nur für Punktmassen angegeben. Gleichung 2.51 liefert hier das richtige Ergebnis, obwohl die Erde natürlich keine
Punktmasse ist. Auf die exakte, wesentlich aufwendigere Herleitung wird hier verzichtet.
KAPITEL 2. MECHANIK
2.3.3.2
37
Schwere und Träge Masse
Newton lag bei der Formulierung seiner Axiome die Vorstellung einer trägen Masse zu Grunde.
Eine träge Masse hat hierbei die Eigenschaft, sich einer Änderung ihres Bewegungszustandes zu
widersetzen.
Die Eigenschaft einer schweren Masse ist es, auf eine andere schwere Masse eine anziehende Kraft
auszuüben, nämlich die Gravitationskraft.
Schon die Tatsache, daß sowohl schwere als auch träge Masse die gleiche Einheit tragen, legt die
Vermutung nahe, daß schwere und träge Masse identisch sind. Dies wurde experimentell mit Fallversuchen bestätigt, und im Rahmen der heutigen Messgenauigkeit ergibt sich keine Abweichung
zwischen schwerer und träger Masse.
2.3.4
Die Kepler-Gesetze
Die Mechanik der Himmelskörper war historisch die entscheidende Motivation für die Entwicklung der Kinematik. Wie wir bereits gesehen haben, wirkt zwischen den Himmelskörpern die
Gravitationskraft. Kepler gelang es durch Beobachtung der Planetenbewegungen um die Sonne
rein empirisch, die Planetenbahnen zu beschreiben. Eine Bestätigung der Kepler’schen Gesetze
erfolgte später mit der Newton’schen Dynamik. Die Kepler’schen Gesetze lauten wie folgt:
1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht (siehe
Abbildung 2.13).
p
r=
(2.52)
1 + ² cos ϕ(t)
Hierbei ist p = b2 /a und ² = d/(2a). Streng genommen bewegen sich Planet und Sonne
um den gemeinsamen Schwerpunkt. Weil aber die Sonnenmasse sehr viel größer ist als die
Planetenmasse, liegt dieser innerhalb der Sonne.
2. Der Vektor ~r (”Fahrstrahl”) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen, die Flächengeschwindigkeit ist also konstant (siehe Abbildung 2.148 ). Auf die mathematische Ableitung
wird hier verzichtet. Es ergibt sich:
dA
1 dϕ
= r2
= const.
dt
2 dt
(2.53)
Dies folgt aus dem Gesetz von der Erhaltung des Drehimpulses (wird in einem späteren Abschnitt behandelt). Bei zunehmendem Abstand Sonne-Planet sinkt die Bahngeschwindigkeit
und umgekehrt.
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten T verhalten sich zueinander wie die dritten Potenzen der
großen Halbachsen a.
a3
γ · mSonne
= const. =
(2.54)
2
T
4π 2
Die Keplerschen Gesetze gelten auch für künstliche Planeten in bezug auf die Sonne und für
künstliche Monde (Satelliten) in bezug auf die Erde oder andere Planeten. Gegebenenfalls
muß in Gleichung 2.54 die Sonnenmasse durch die entsprechende Planetenmasse ersetzt
werden.
In Tabelle 2.5 sind einige Daten der Planeten in unserem Sonnensystem zusammengefasst.
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KAPITEL 2. MECHANIK
38
Abbildung 2.13: Planeten bewegen sich auf Ellipsen
Abbildung 2.14: Flächengeschwindigkeit ist konstant
Planet
Merkur
Venus
Erde
Mars
Jupiter
Saturn
Uranus
Neptun
Pluto
Große Bahnhalbachse [106 km]
57.9
108.2
149.6
227.9
778
1427
2870
4496
5910
Umlaufzeit [a]
0.241
0.615
1.000
1.881
11.862
29.458
84.015
164.79
247.7
Durchmesser [km]
4840
12400
12756
6800
142800
120800
47600
44600
5850
Masse
[Erdmassen]
0.053
0.815
1.000
0.107
318.00
95.22
14.55
17.23
ca. 0.1
Rotationszeit
59 d
243 d
23 h 56 min
24 h 37 min
9 h 50 min
10 h 14 min
10 h 49 min
15 h 40 min
unbekannt
Tabelle 2.5: Wichtige Daten der Planeten im Sonnensystem
a3 /T 2
[10 m3 /s2 ]
3.36
3.37
3.37
3.36
3.37
3.37
3.37
3.37
3.38
18
KAPITEL 2. MECHANIK
39
Abbildung 2.15: Kreisbewegung eines Massenpunktes
2.3.5
Kreisbewegung
In Natur und Technik kommen oft Kreisbewegungen vor. Auch die Planetenbewegungen können
in den meisten Fällen als Kreisbewegungen angenähert werden, falls die Exzentrität der KeplerEllipse klein ist.
Bewegt sich ein Massenpunkt m auf einer Kreisbahn, so ist ständig eine zum Mittelpunkt gerichtete
Zentralbeschleunigung, die sogenannte Zentripetalbeschleunigung ~aZ wirksam. Voraussetzung für
die Kreisbewegung ist somit eine zum Drehzentrum gerichtete Kraft, die sogenannte Zentripetalkraft F~Z . Auch für sie gilt F~Z = m~aZ . Sei v die Bahngeschwindigkeit, ω die Winkelgeschwindigkeit
des Massenpunktes und r der Radius der Kreisbahn, dann gilt:
FZ = maZ = m
v2
= mω 2 r
r
(2.55)
Zur Herleitung der Zentripetalbeschleunigung betrachten wir Abbildung 2.15. Der Massenpunkt
bewege sich auf der Kreisbahn vom Punkt I (initial) zum Punkt F (final). Hierbei ändert sich sein
Geschwindigkeitsvektor um
∆~v = ~vF − ~vI
⇒
∆~vradial = ~vF,radial − ~vI,radial = 2v sin φ
(2.56)
mit v = vI = vF . Hieraus erhält man für die Radialbeschleunigung:
2v sin φ
sin φ v 2
v2
∆~vradial
= lim
= lim
·
=
∆t→0
∆φ→0 2rφ/v
∆φ→0 φ
∆t
r
r
~aradial = lim
2.3.6
(2.57)
Federkräfte
Nach dem 1. und 2. Newtonschen Axiom sind Kräfte die Ursache aller Änderungen des Bewegungszustandes eines Körpers. Darüber hinaus können Kräfte aber auch durch Druck- oder Zugwirkung
die Form eines Körpers verändern, zum Beispiel die Länge einer Feder. Kräfte sind also Ursache
von Beschleunigungen (dynamische Kraftwirkung) und von Formänderungen (statische Kraftwirkung).
Innerhalb der Elastizitätsgrenze eines Materials sind Kraft und Deformierung proportional. Diese
Tatsache bezeichnet man als Hooke’sches Gesetz. Der Proportionalitätsfaktor wird als Richtgröße
bzw. bei Federn als Federkonstante k bezeichnet (siehe Abbildung 2.169 ). Sei F die Kraft, die die
Länge einer Feder um s ändert, dann gilt also:
k=
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F
s
(2.58)
KAPITEL 2. MECHANIK
40
Abbildung 2.16: Federkräfte und Hooke’sches Gesetz
Zur Kraft, die an einer Feder angreift, gibt es eine Reaktionskraft (Federkraft, rücktreibende Kraft
Fr ), die zur angreifenden Kraft entgegengesetzt gerichtet ist:
Fr = −F = −ks
2.3.7
(2.59)
Zerlegung von Kräften
Wir haben gesehen, daß Kräfte Vektoren sind. Daher ist es möglich eine Kraft F~ in beliebig viele
Komponenten F~i zu zerlegen, solange nur gilt:
X
F~ =
F~i
(2.60)
i
Dieser Umstand wird oft ausgenutzt, um beispielsweise die Anteile einer Kraft in Richtung der
Koordinatenachsen zu erhalten. Hierbei zerlegt man die Kraft in linear unabhängige Komponenten.
Dies ist zwar oft sinnvoll, aber nicht zwingend notwendig.
Als Beispiel wollen wir den Fall einer schiefen Ebene betrachten (siehe Abbildung 2.1710 ). Die
schiefe Ebene sei um den Winkel α gegenüber der Waagrechten geneigt. Auf einen Körper auf
der schiefen Ebene wirkt die Gewichtskraft F~G . Diese Kraft kann in zwei Komponenten zerlegt
werden, in eine Komponente senkrecht zur Unterlage F~N (Normalkraft) und in eine Komponente
parallel zur Unterlage F~H (Hangabtriebskraft). Aus der Geometrie ergeben sich sofort folgende
Zusammenhänge:
FN = FG · cos α ; FH = FG · sin α
(2.61)
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KAPITEL 2. MECHANIK
41
Abbildung 2.17: Schiefe Ebene
2.3.8
Druck
Unter dem Druck p versteht man das Verhältnis einer senkrecht auf eine Fläche wirkenden Kraft
F zur Größe A dieser Fläche:
F
p=
(2.62)
A
Der Druck ist also eine skalare Größe, besitzt also keine Richtung. Die Einheit des Druckes ist
[p] = N/m2 = Pa.
2.4
Arbeit und Energie
Die Newton’sche Bewegungsgleichung lautet im allgemeinsten Fall:
d2~r
1 ~
=
· F (~r, ~v , t)
2
dt
m
(2.63)
Falls die Kraft F~ (~r) nur vom Ort ~r abhängt (und falls noch eine weitere Bedingung gilt, die wir
in Abschnitt 2.4.4 kennenlernen werden), spricht man von einer konservativen Kraft.
Zunächst wollen wir uns ein besonders einfaches Beispiel einer konservativen Kraft ansehen: F~ =
const. Wir wollen unser Koordinatensystem so orientieren, daß die x-Achse parallel zu ~r liegt,
und die Anfangsbedingungen so wählen, daß gilt: y0 = z0 = 0, vy0 = vz0 = 0. Dann können wir
die Bewegungsgleichungen integrieren und erhalten die bereits bekannte Lösung (siehe Abschnitt
2.2.3.1):
a =
v
=
x =
1
·F
m
1
v0 +
·F ·t
m
1
x0 + v0 t +
· F · t2
2m
(2.64)
(2.65)
(2.66)
KAPITEL 2. MECHANIK
42
Abbildung 2.18: Definition der Arbeit
Ersetzt man die Zeit t in Gleichung 2.66 durch Gleichung 2.65 erhält man:
F · (x − x0 ) =
1
1
mv 2 − mv02
2
2
(2.67)
In Gleichung 2.67 treten zwei neue physikalische Meßgrößen auf, nämlich die Arbeit W und die
kinetische Energie Ekin .
2.4.1
Arbeit
Wir definieren allgemein als Arbeit W , die längs eines Weges ~s gegen/durch eine Kraft F~ aufgewendet/gewonnen wird als (siehe Abbildung 2.18):
Z
W = F~ d~s
(2.68)
Vorzeichenregel: Ist W > 0 wird Arbeit gewonnen, ist W < 0 muß Arbeit aufgewendet werden.
Die Einheit der Arbeit ist [W ] = N · m = J.
In unserem einfachen Beispiel vereinfacht sich Gleichung 2.68 zu:
Z x
W =
F (x)dx = F · (x − x0 )
(2.69)
x0
2.4.2
Kinetische Energie
Wir definieren als kinetische Energie Ekin diejenige Bewegungsenergie, die ein Körper der Masse
m mit Geschwindigkeit v besitzt zu:
1
(2.70)
Ekin = mv 2
2
Die Einheit der kinetischen Energie ist [Ekin ] = kg · m2 /s2 = J.
In unserem Beispiel sagt Gleichung 2.67 also aus, daß einem Gewinn/Verlust an kinetischer Energie
einem Gewinn/Verlust an Arbeit entspricht. So können wir den Begriff Energie als Arbeitsfähigkeit
oder als gespeicherte Arbeit verstehen.
KAPITEL 2. MECHANIK
2.4.3
43
Potentielle Energie
Auch die potentielle Energie können wir als gespeicherte Arbeit verstehen, zum Beispiel als die
Arbeit, die beim Anheben eines Körpers im Schwerefeld der Erde aufgewendet werden muß, oder
als die Arbeit, die zum Zusammendrücken einer Feder geleistet werden muß.
Wir definieren allgemein die potentielle Energie Epot eines Körpers auf den eine Kraft F~ am Ort
~s wirkt als:
Z s
Epot (~s) = −
F~ (~s)d~s + Epot (~s0 )
(2.71)
s0
Offensichtlich ist die potentielle Energie nur bis auf eine additive Konstante Epot (~s0 ) definiert.
Gebräuchlich ist daher auch die differentielle Notation:
dEpot (s)
= −F (s)
ds
(2.72)
Die Einheit der potentiellen Energie ist [Epot ] = N · m = J.
In vielen Fällen der praktischen Anwendung vereinfacht sich Gleichung 2.71. Wird etwa eine
Masse m um die Höhe h im Schwerefeld der Erde angehoben, so gewinnt sie gegenüber dem
Ausgangsniveau die potentielle Energie:
Epot = mgh
(2.73)
Wird eine Feder mit Federkonstante k aus der Gleichgewichtslage um die Strecke s gestaucht oder
gedehnt, so steckt in ihr die potentielle Energie:
Epot =
2.4.4
1 2
ks
2
(2.74)
Konservative und dissipative Kräfte
Für konservative Kräfte die auf einen Körper wirken gilt, daß man sie immer aus der potentiellen
Energie ableiten kann. Ist eine Kraft nur vom Ort eines Körpers abhängig, so ist dies noch keine
hinreichende Bedingung dafür, daß sie konservativ ist.
Neben den konservativen Kräften gibt es auch dissipative Kräfte, für die gilt: ”Ich bekomme meine
aufgewendete Arbeit nicht in Form von kinetischer oder potentieller Energie zurück”. Ein häufig
auftretendes Beispiel hierfür sind Reibungskräfte. Meist tragen sie nur zur Erwärmung des Körpers
oder der Umgebung bei.
2.4.5
Energieerhaltung
Aus den Gleichungen, die die Energie mit der Arbeit verknüpfen, läßt sich sofort ableiten, daß
gilt:
∆Ekin = −∆Epot
(2.75)
Daher gilt auf Grund aller bisherigen experimentellen Ergebnissen, daß in einem abgeschlossenen
und konservativen System die Gesamtenergie erhalten bleibt:
Eges = Ekin + Epot
(2.76)
KAPITEL 2. MECHANIK
2.4.6
44
Leistung und Wirkungsgrad
Die Leistung P eines Systems (oder einer Maschine) ist definiert als die vom System geleistete
Arbeit pro Zeiteinheit:
dW
P =
(2.77)
dt
Die Einheit der Leistung ist [P ] = N · m/s = W.
Eine Maschine ist ein System, welches eine Form von Energie aufnimmt und in einer anderen
Energieform wieder abgibt. In der Praxis wird oft elektrische Energie aufgenommen und in kinetische Energie umgewandelt. In jeder realen Maschine gibt es aber bei dieser Umwandlung
Energieverluste durch dissipative Kräfte (meist Reibungskräfte). Um die Güte einer Maschine
zu charakterisieren definiert man die Größe Wirkungsgrad η als Verhältnis von abgegebener zu
aufgenommener Leistung:
Pab
η=
(2.78)
Pauf
Der Wirkungsgrad einer realen Maschine ist immer η < 1.
2.5
Impuls
Wir haben bereits bei der Formulierung des zweiten Newton’schen Axioms den Begriff Impuls
kennengelernt. Der Impuls p~ einer Masse m mit der Geschwindigkeit ~v ist allgemein definiert als:
p~ = m · ~v
(2.79)
Das zweite Newton’sche Axiom besagt, daß man mit einer Kraft F~ , die eine Zeit dt auf einen
Körper einwirkt, den Impuls ändern kann:
d~
p = F~ · dt
(2.80)
Die Integration von Gleichung 2.80 ergibt die Definition des Kraftstoßes:
Z p2
Z t2
d~
p = p~2 − p~1 = ∆~
p=
F~ dt
p1
2.5.1
(2.81)
t1
Schwerpunkt
Wir betrachten nun eine Erweiterung der bisherigen Vorgehensweise. Bisher wurden die Newton’schen Axiome und die Bewegungsgleichungen immer nur für einen Massenpunkt betrachtet.
Bei einem einzelnen Massenpunkt bringt die Formulierung des zweiten Newtonschen Axioms mit
dem Impuls allerdings nicht viel Neues.
Dies ändert sich, wenn man ein System betrachtet, das aus vielen einzelnen Massenpunkten besteht. Insbesonders taucht dann die Frage nach einem geeigneten Koordinatensystem zur Beschreibung solcher Systeme auf.
Wir betrachten ein System, das aus n Teilchen (Massenpunkten) besteht. Die Gesamtmasse mges
eines solchen Systems ist dann
n
X
mk
(2.82)
mges =
k=1
KAPITEL 2. MECHANIK
45
wobei mk die Masse des k-ten Teilchens ist. Jedes Teilchen wird durch seinen Orts- und Geschwindigkeitsvektor beschrieben. Daher ergibt sich der Gesamtimpuls p~ges des Systems zu
p~ges =
n
X
p~k =
k=1
n
X
n
mk~vk =
k=1
d X
mk ~rk
dt
(2.83)
k=1
Dies legt folgende Definition nahe:
Der Schwerpunkt ~rs eines Systems aus n Massenpunkten ist gegeben durch:
n
X
~rs =
n
X
mk ~rk
k=1
n
X
=
mk ~rk
k=1
mges
mk
(2.84)
k=1
Die Bewegung des Schwerpunkts wird daher durch die Schwerpunktsgeschwindigkeit ~vs beschrieben:
n
1 X
d~rs
~vs =
=
p~k
(2.85)
dt
mges
k=1
Dies macht die Definition des Schwerpunktsimpulses p~s sinnvoll:
p~s = mges~vs =
n
X
p~k
(2.86)
k=1
Der Schwerpunktsimpuls ist also die Summe aller Einzelimpulse.
2.5.2
Impulserhaltung
Wir stellen uns nun die Frage, wie sich ein System von Massenpunkten unter dem Einfluß von
Kräften bewegt. Dazu unterscheiden wir:
Innere Kräfte: Kräfte zwischen den Massenpunkten.
Äußere Kräfte: Kräfte von außen auf die Massenpunkte.
Wegen des dritten Newton’schen Axioms ist sofort einsichtlich, daß sich die inneren Kräfte eines
Systems gegenseitig kompensieren, also daß die Summe aller inneren Kräfte Null ist. Daher sind
innere Kräfte für die Schwerpunktsbewegung irrelevant.
Also gilt allgemein: Der Schwerpunkt bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse mges am Ort des
Schwerpunkts unter dem Einfluß aller äußeren Kräfte steht.
X
d~vs
d~
ps
= mges ·
=
F~j
(2.87)
dt
dt
j
Hierbei sind F~j die verschiedenen äußeren Kräfte.
Daraus ergibt sich der Impulserhaltungssatz:
X
Ein System ohne äußere Kräfte (
F~j = 0) bezeichnet man als abgeschlossenes System. In einem
j
abgeschlossenen System bleibt der Impuls erhalten:
p~s =
n
X
k=1
p~k = const.
(2.88)
KAPITEL 2. MECHANIK
46
Vorher
Nachher
m1 , v 1
m 2 , v2
m1+ m 2 , u
x
Abbildung 2.19: Inelastischer Stoß
2.6
Stoßprozesse
Als Stoß bezeichnet man das Zusammenprallen von zwei Körpern. Während der Berührung findet zwischen den Stoßpartnern Energie- und Impulsaustausch statt. Die Impulserhaltung ist das
entscheidende Werkzeug zur Behandlung aller Stoßprozesse. Der Einfachheit halber beschränken
wir uns auf die Beschreibung von geraden, zentralen Stößen zweier Körper. Alle Vektoren, die
zur Beschreibung nötig sind, liegen dann auf einer Geraden und wir können die Gleichungen mit
Skalaren aufstellen.
Konvention: Wir definieren eine x-Achse, die horizontal verlaufe. Der skalare Wert aller Vektoren,
die in Richtung der positiven x-Achse zeigen wird positiv gezählt, zeigen die Vektoren in Richtung
der negativen x-Achse wird deren skalarer Wert negativ gezählt.
2.6.1
Inelastischer Stoß
Wir bezeichnen einen Stoß dann als inelastisch, wenn sich nach dem Stoß beide Stoßpartner gemeinsam mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen. Die Körper besitzen keinerlei Elastizität und
”kleben” nach dem Stoß aneinander (siehe Abbildung 2.19). Hierbei wird ein Teil der kinetischen
Energie der Stoßpartner in Verformungsarbeit und Wärme umgewandelt. Es wirken also während
des Stoßvorganges nicht-konservative Kräfte. Somit bleibt die mechanische Energie nicht erhalten,
es gilt lediglich der Impulserhaltungssatz.
Seien m1,2 die Massen der Körper, v1,2 deren Geschwindigkeiten vor dem Stoß und u die Geschwindigkeit beider Körper nach dem Stoß, dann lautet der Impulserhaltungssatz für diesen Fall:
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )u
Umgeformt ergibt dies:
u=
m1 v1 + m2 v2
m1 + m2
(2.89)
(2.90)
Wir wollen nun noch diejenige Arbeit W berechnen, die für Verformung und Wärme beim Stoß
aufgewendet wird. Sie ergibt sich aus der Energiebetrachtung. Die Bewegungsenergieen Evor und
Enach beider Körper vor und nach dem Stoß sind:
Evor =
1
1
m1 v12 + m2 v22
2
2
,
Enach =
1
(m1 + m2 )u2
2
(2.91)
Setzt man Gleichung 2.90 in Gleichung 2.91 ein und formt ein wenig um, erhält man für die
Verformungsarbeit W :
W = Evor − Enach =
m1 m2
(v1 − v2 )2
2(m1 + m2 )
(2.92)
KAPITEL 2. MECHANIK
47
Nachher
Vorher
m 1 , v1
m 2 , v2
m 1, u 1
m2 , u 2
x
Abbildung 2.20: Elastischer Stoß
2.6.2
Elastischer Stoß
Wir bezeichnen einen Stoß dann als elastisch, wenn während des Stoßes nur konservative Kräfte
wirken. Die beiden Stoßpartner stoßen sich aufgrund ihrer Elastizität voneinander ab, es erfolgt
keine Umwandlung von Bewegungsenergie in plastische Verformungsarbeit oder Wärme (siehe
Abbildung 2.20). Daher gilt beim elastischen Stoß neben dem Impulserhaltungssatz auch der
Energieerhaltungssatz.
Seien m1,2 die Massen der Körper, v1,2 deren Geschwindigkeiten vor dem Stoß und u1,2 die Geschwindigkeiten der Körper nach dem Stoß, dann lauten der Impulserhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz für diesen Fall:
m1 v1 + m2 v2
1
1
m1 v12 + m2 v22
2
2
= m1 u1 + m2 u2
1
1
=
m1 u21 + m2 u22
2
2
(2.93)
(2.94)
Das Auflösen dieses Gleichungssystems nach den Geschwindigkeiten nach dem Stoß ergibt:
2.7
u1
=
u2
=
(m1 − m2 )v1 + 2m2 v2
m1 + m2
(m2 − m1 )v2 + 2m1 v1
m1 + m2
(2.95)
(2.96)
Starre Körper
Bisher waren Massenpunkte und Systeme von Massenpunkten die Objekte, mit denen wir uns
beschäftigt haben. Jetzt wollen wir uns dem starren Körper zuwenden:
Ein starrer Körper ist ein System von Massenpunkten, deren Abstände durch innere Kräfte fest
vorgegeben sind und die durch äußere Kräfte nicht verändert werden können.
Das ist natürlich eine Idealisierung. Real betrachten wir Massenelemente dm und Volumenelemente
dV (dV soll so groß sein, daß dieses Volumenelement genügend viele Massenpunkte enthält und
wir ihre Struktur daher nicht berücksichtigen müssen). Wir definieren dann in analoger Weise zu
Gleichung 2.2 die Dichte eines starren Körpers:
%(~r) =
Bei homogenen Körpern ist die Dichte konstant.
dm(~r)
dV
(2.97)
KAPITEL 2. MECHANIK
48
Abbildung 2.21: Äußere Kräfte am starren Körper
Den Schwerpunkt eines starren Körpers erhält man analog zu Gleichung 2.84:
Z
~r · dm
~rs = VZ
dm
(2.98)
V
Der starre Körper kann folgende Bewegungen durchführen:
Translation: Der Schwerpunkt bewegt sich
Rotation: Der Körper bewegt sich um den Schwerpunkt
2.7.1
Statik
Bevor wir uns mit den Bewegungen eines starren Körpers beschäftigen, wollen wir die Frage
untersuchen: Wann bewegt sich ein starrer Körper nicht, obwohl äußere Kräfte auf ihn wirken?
Dieses Gebiet der Mechanik wird als Statik bezeichnet. Statik bedeutet: Starre Körper sind im
Gleichgewicht.
Allgemein greifen an einen Körper irgendwelche äußeren Kräfte F~j an irgendwelchen Punkten ~rj
an. Abbildung 2.21 zeigt ein Beispiel für zwei Kräfte, die an zwei Punkten angreifen.
In diesem Beispiel gilt F~1 = −F~2 und ~r1 = −~rP
2 . In Abschnitt 2.5.2 wurde gezeigt, daß Gleichgewicht gegenüber Translation herrscht, falls gilt j F~j = 0. Diese Bedingung ist in unserem Beispiel
erfüllt. Daher bewegt sich der Schwerpunkt nicht.
Dreht sich der Körper um die feste Drehachse z, die durch den Schwerpunkt S geht? Unsere
Erfahrung sagt ja, da die Wirkungslinien der Kraftvektoren F~j nicht durch die Drehachse gehen,
sondern einen endlichen Abstand r⊥j von dieser Achse haben.
Die Linie, entlang der eine Kraft auf einen Körper wirkt, nennt man Wirkungslinie. Es gilt: Entlang
der Wirkungslinie können Kräfte beliebig verschoben werden, ohne daß sich an der Wirkung der
Kräfte auf den Körper etwas ändert (siehe Abbildung 2.22).
KAPITEL 2. MECHANIK
49
Abbildung 2.22: Wirkungslinie einer Kraft
Für den Abstand der Wirkungslinie von der Drehachse gilt r⊥j = rj · sin α, wobei α der Winkel
zwischen ~rj und F~j ist. Verantwortlich für die Rotation um die z-Achse ist offensichtlich die
physikalische Meßgröße Mj = rj · Fj · sin α. Das legt folgende Definition nahe:
~ = ~r × F~ wird als das Drehmoment bezeichnet, das die Kraft F~ mit Angriffspunkt
Die Meßgröße M
~ zeigt in die Richtung
~r in Bezug auf die Drehachse z durch S auf einen starren Körper ausübt. M
der Drehachse z. Die Einheit des Drehmoments ist [M ] = N · m.
Die Definition des Drehmoments erlaubt, die Gleichgewichtsbedingung
P ~ allgemein zu formulieren:
P
Gleichgewicht am starren Körper herrscht, falls j F~j = 0 und j M
j = 0 gilt. Dann erfährt der
starre Körper weder Translation noch Rotation.
Anmerkung: Die Gleichgewichtsbedingungen sind mit Hilfe einer festen Drehachse formuliert worden. Trotzdem sind sie davon unabhängig, denn es läßt sich beweisen:
Gelten die Gleichgewichtsbedingungen für eine bestimmte Drehachse, so gelten sie auch für jede
andere Drehachse.
Die Drehachse muß nicht einmal durch den starren Körper gehen. Daher bedeutet es keine Einschränkung, wenn wir die Drehachse durch den Schwerpunkt des starren Körpers legen.
Betrachten wir nun noch den wichtigen Spezialfall eines starren Körpers unter dem Einfluß der
Gravitationskraft. Wo muß ein starrer Körper unterstützt (oder in welchem Punkt muß er gelagert)
werden, damit er im Gleichgewicht ist? Die Auswertung der Gleichgewichtsbedingung lässt drei
verschiedene Möglichkeiten zu den Körper zu unterstützen (auf die Herleitung wird hier verzichtet):
Stabiles Gleichgewicht: Der Körper wird über dem Schwerpunkt unterstützt.
Labiles Gleichgewicht: Der Körper wird unter dem Schwerpunkt unterstützt.
Indifferentes Gleichgewicht: Der Körper wird im Schwerpunkt unterstützt.
2.7.2
Kinematik des starren Körpers
Jede Bewegung eines starren Körpers unter dem Einfluß eines Systems von Kräften kann beschrieben werden als eine Translation des Schwerpunktes und eine Rotation um den Schwerpunkt. Für
die translatorische Bewegung sind die äußeren Kräfte verantwortlich, für die Drehbewegung die
Drehmomente, die durch die äußeren Kräfte verursacht werden.
Die kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung hat zwei Beiträge. Zum einen ist es die Trans-
KAPITEL 2. MECHANIK
50
Körper (Masse m, Radius r, Länge `)
Trägheitsmoment
Homogene Kugel
2
2
5 mr
2
2
3 mr
1
2
2 mr
2
Dünnwandige Hohlkugel
Homogener Zylinder, Rotation um Symmetrieachse
Dünnwandiger Hohlzylinder, Rotation um Symmetrieachse
mr
Langer, dünner Stab, Rotation senkrecht zur Symmetrieachse
1
2
12 m`
1
2
2 mr
1
2
4 mr
Dünne Kreisscheibe, Rotation um Symmetrieachse
Dünne Kreisscheibe, Rotation senkrecht zur Symmetrieachse
Tabelle 2.6: Trägheitsmomente
lationsenergie der Schwerpunksbewegung
Etrans =
1
mges v 2
2
(2.99)
zum anderen die Rotationsenergie um den Schwerpunkt
Erot =
1 2
Iω
2
(2.100)
Die gesamte Bewegungsenergie eines starren Körpers ist dann natürlich Ekin = Etrans + Erot .
Bei der Rotationsenergie taucht eine neue physikalische Meßgröße auf, das Trägheitsmoment I.
Das Trägheitsmoment eines starren Körpers ist definiert als
Z
Z
2
dm =
(r2 − z 2 )dm
(2.101)
I=
r⊥
V
V
√
Hierbei ist r⊥ = r2 − z 2 der Abstand der Massenelemente dm von der Drehachse z. Die Einheit
des Trägheitsmoments ist [I] = kg · m2 .
Bei homogener Massenverteilung des Körpers, also falls % = dm/dV = const. gilt:
Z
Z
2
2
I=
(r − z )dm = % · (r2 − z 2 )dV
V
(2.102)
V
Durch eine geschickte Wahl der Volumenelemente kann das Volumenintegral oft in ein einfaches
Integral umgewandelt werden. Ein Massenpunkt der Masse m besitzt also bei Rotation im Abstand r um die Drehachse das Tragheitsmoment I = mr2 . Das Trägheitsmoment einiger anderer
geometrischer Körper ist in Tabelle 2.6 aufgelistet.
Die Drehachse wird nicht bei allen Problemen immer durch den Schwerpunkt des starren Körpers
gehen. Wir betrachten die Rotation eines Körpers um eine Drehachse D, die nicht durch den
Schwerpunkt S geht. Dann gilt der Steiner’sche Satz (auf die Herleitung wird hier verzichtet):
Das Trägheitsmoment I (D) eines Körpers um eine beliebige Achse ist gleich dem Trägheitsmoment
I (S) um eine parallele Achse durch den Schwerpunkt plus der Masse des Körpers mal dem Quadrat
des Abstands R zwischen beiden Achsen:
I (D) = I (S) + R2 · mges
(2.103)
KAPITEL 2. MECHANIK
51
Abbildung 2.23: Definition des Drehmoments
2.7.3
Drehimpuls
Der Drehimpuls ist eine physikalische Meßgröße, die man aus der Bewegungsgleichung erhält,
die die Rotationsänderung des starren Körpers mit den von Außen wirkenden Drehmomenten verknüpft. Wir wollen zum einfacheren Verständnis zunächst einen einzelnen Massenpunkt behandeln,
bevor wir uns dann wieder dem starren Körper zuwenden.
In Bezug auf den Koordinatenursprung außerhalb des Massenpunkts lautet die Definition des
Drehmoments auf den Massenpunkt (siehe Abbildung 2.2311 ):
p
d
~ = ~r × F~ = ~r × d~
M
= (~r × p~)
dt
dt
(2.104)
Der letzte Schritt der Umformung in Gleichung 2.104 gilt wegen
d
(~r × p~) =
dt
d~r
× p~
|dt{z }
+~r ×
d~
p
dt
(2.105)
=~
v ×~
p=m·(~
v ×~
v )=0
~ ist also definiert:
Der Drehimpuls L
~ = ~r × p~
L
(2.106)
Die Einheit des Drehimpulses ist [L] = J · s. Die Newton’sche Bewegungsgleichung für die Rotation eines Massenpunkts um eine Drehachse z außerhalb des Massenpunkts lautet dann unter
Verwendung des Drehimpulses:
~
~ = dL
M
(2.107)
dt
Eine Änderung des Drehimpulses kann nur durch äußere Kräfte und die dadurch vermittelten
Drehmomente erreicht werden. Die inneren Kräfte ergeben keine resultierenden Drehmomente, da
sie sich nach dem dritten Newton’schen Axiom kompensieren. In einem abgeschlossenen System
bleibt demnach der Drehimpuls erhalten:
~ = const. ,
L
11 °Verlag
c
Harri Deutsch AG
~
~ = dL = 0
M
dt
(2.108)
KAPITEL 2. MECHANIK
52
Ein sehr wichtiger Spezialfall ist die Bewegung eines Massenpunkts unter dem Einfluß einer Zentralkraft:
~r
F~ = f (r) ·
(2.109)
r
Für das Drehmoment heißt das nämlich in diesem Fall:
~ = ~r × F~ = f (r) · (~r × ~r) = 0
M
r
(2.110)
Also gilt für alle Zentralkräfte die Drehimpulserhaltung. Wir hatten diesen Umstand schon früher
bei der Formulierung des zweiten Kepler’schen Gesetzes gesehen.
Kapitel 3
Schwingungen und Wellen
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit oszillierenden Systemen und deren Auswirkungen, welche in der
Physik sehr häufig vorkommen. Das grundlegende Verständnis von Schwingungen und Wellen ist
nötig, um diverse Erscheinungen der Akustik, Optik und Elektrodynamik beschreiben zu können.
Wir werden uns in diesem Kapitel aber fast ausschließlich auf mechanische Schwingungen und
Wellen beschränken.
3.1
Schwingungen
Schwingungen sind zeitlich periodische Zustandsänderungen eines Systems (Oszillator), die auftreten, wenn
• ein System durch eine äußere Störung aus seinem mechanischen (elektrischen, thermischen)
Gleichgewicht gebracht wird,
• Kräfte wirksam werden, die das System wieder in Richtung des Gleichgewichts bewegen,
• das System durch Trägheit über den Gleichgewichtszustand hinausschießt.
Wir betrachten als erstes ein schwingendes System, das nur aus einem einzigen Massenpunkt
besteht. Der Massenpunkt befinde sich zur Zeit t am Ort x(t) und besitze den Impuls p(t). Wegen
des Superpositionsprinzips genügt es, die Vorgänge eindimensional zu beschreiben.
Die grundlegende Größe, welche jede Schwingung beschreibt, ist die Schwingungsdauer T . Sie
charakterisiert diejenige Zeit, nach der der Massenpunkt einmal komplett um seine Ruhelage
herumgeschwungen ist, also die zeitliche Länge einer Periode:
x(t + T ) = x(t)
und
p(t + T ) = p(t)
(3.1)
Aus der Schwingungsdauer abgeleitet ist die Frequenz f . Sie beschreibt die Anzahl der Schwingungen pro Zeit. Es gilt:
1
(3.2)
f=
T
Eng mit der Frequenz gekoppelt ist die sogenannte Kreisfrequenz ω. Sie ist die Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung, deren Projektion die Schwingung ergibt:
ω = 2πf =
53
2π
T
(3.3)
KAPITEL 3. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
54
Abbildung 3.1: Verlauf der harmonischen Schwingung
3.1.1
Harmonische Schwingung
Für die Existenz von harmonischen Schwingungen ist es notwendig, daß für das schwingende
System eine Rückstellkraft F existiert, die proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist. Dies
ist zum Beispiel bei einem Federpendel der Fall:
F = −k · x
(3.4)
Nach dem zweiten Newton’schen Gesetz ergibt sich somit die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung:
d2 x
m · 2 = −k · x
(3.5)
dt
Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist:
x(t) = A · sin(ω0 t + ϕ)
(3.6)
Hierbei ist A die Amplitude (maximale Auslenkung aus der Ruhelage), ω0 die Eigenfrequenz und
ϕ der Phasenwinkel. Die Werte für die Amplitude A und die Phase ϕ werden bestimmt durch die
Anfangsbedingungen, das heißt durch die Werte der Auslenkung x(t = 0) und der Geschwindigkeit v(t = 0). Dagegen ist die Eigenfrequenz ω0 eine das schwingende System charakterisierende
Größe. Abbildung 3.11 zeigt den zeitlichen Verlauf der harmonischen Schwingung. Geschwindigkeit
und Beschleunigung der Schwingung ergeben sich durch ein- bzw. zweimaliges Differenzieren von
Gleichung 3.6:
1 °Verlag
c
Harri Deutsch AG
v(t)
=
a(t)
=
dx
= Aω0 · cos(ω0 t + ϕ)
dt
dv
= −Aω02 · sin(ω0 t + ϕ)
dt
(3.7)
(3.8)
KAPITEL 3. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
55
Abbildung 3.2: Kinetische und potentielle Energie der harmonischen Schwingung
Durch zweimaliges Differenzieren von Gleichung 3.6 und Koeffizientenvergleich mit Gleichung 3.5
erhält man für die Eigenfrequenz
r
k
ω0 =
(3.9)
m
und damit die Differentialgleichung
d2 x
+ ω02 x = 0
(3.10)
dt2
Im schwingenden System steckt kinetische Energie
Ekin =
1
1
mv 2 = m ·
2
2
µ
dx
dt
¶2
=
1
mA2 ω02 cos2 (ω0 t + ϕ)
2
(3.11)
und potentielle Energie (mit k = mω02 )
Epot =
1 2
1
kx = mA2 ω02 sin2 (ω0 t + ϕ)
2
2
(3.12)
Kinetische und potentielle Energie sind jeweils zeitabhängig aber im Mittel gleich groß, die mechanische Gesamtenergie ist jedoch zu jeder Zeit konstant:
Eges = Ekin + Epot =
1
mA2 ω02
2
(3.13)
Abbildung 3.2 zeigt den zeitlichen Verlauf von kinetischer und potentieller Energie.
3.1.2
Gedämpfte Schwingung
In der Praxis ist es nicht möglich den Idealfall einer harmonischen Schwingung zu erhalten. Es
wirken praktisch immer bremsende Kräfte, wie etwa innere und äußere Reibung oder Luftwiderstand, die den Schwingungsvorgang dämpfen. Der häufigste Fall ist hierbei eine Reibungskraft FR ,
die der Geschwindigkeit proportional und ihr entgegengesetzt gerichtet ist. Der Proportionalitätsfaktor wird als Dämpfungskonstante β bezeichnet, also
FR = −β · v = −β ·
dx
dt
(3.14)
Für eine kompaktere Schreibweise der folgenden Gleichungen wird der Abklingkoeffizient δ definiert:
β
δ=
(3.15)
2m
KAPITEL 3. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
56
Abbildung 3.3: Verlauf der gedämpften Schwingung samt einhüllender Kurve
Aus dem zweiten Newton’schen Gesetz ergibt sich analog zum Fall der harmonischen Schwingung
die Differentialgleichung der gedämpften Schwingung:
d2 x
dx
+ 2δ
+ ω02 x = 0
(3.16)
dt2
dt
Die Dämpfung bewirkt eine vom Abklingkoeffizienten δ abhängige Veränderung der Eigenfrequenz.
Wenn ω0 die Frequenz der ungedämpften Schwingung des sonst gleichen Systems ist, so ergibt sich
die Eigenfrequenz ωd der gedämpften Schwingung zu:
q
ωd = ω02 − δ 2
(3.17)
Eine Lösung der Differentialgleichung 3.16 ist dann:
x(t) = A · e−δt · sin(ωd t + ϕ0 )
(3.18)
Dies ist eine Sinusschwingung, deren Amplitude exponentiell abnimmt. Eine graphische Auftragung dieser Funktion ist in Abbildung 3.3 zu sehen.
3.1.3
Erzwungene Schwingung
Kann ein schwingungsfähiges System nach einer einmaligen Anregung ungestört ausschwingen,
so spricht man von einer freien Schwingung. Wirkt dagegen auf das System von außen über eine
Kopplung eine periodisch veränderliche Kraft, die das System zum Mitschwingen zwingt, dann
handelt es sich um eine erzwungene Schwingung.
Auf das schwingungsfähige System wirken drei Kräfte, die Rückstellkraft FR = −kx, die Dämpfungskraft FD = −β ẋ und die Erregerkraft FE = F̂E cos ωt. Das Grundgesetz der Dynamik lautet
also in diesem Fall:
FE + FR + FD = F̂E cos ωt − kx − β ẋ = mẍ
(3.19)
KAPITEL 3. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
57
Mit β/m = 2δ und k/m = ω02 erhält man die Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung:
d2 x
dx
F̂E
+ 2δ
+ ω02 x =
cos ωt
dt2
dt
m
(3.20)
Nach dem Einsetzen der erregenden Kraft braucht das System eine gewisse Zeit, bis sich ein
stationärer Zustand einstellt. Dann befindet es sich im eingeschwungenen Zustand. Auf diesen
sind alle folgenden Gleichungen bezogen. Eine Lösung von Gleichung 3.20 ist
x = A · cos(ωt − α)
(3.21)
mit der Amplitude
F̂E
A= p
m2 (ω02
− ω 2 )2 + β 2 ω 2
(3.22)
und der Phasenverzögerung des Resonators gegenüber dem Erreger
α = arctan
2ωδ
ω02 − ω 2
(3.23)
Die Amplitude A ist auch bei einem gedämpften Resonator konstant. Sie ändert sich mit der Erregerkreisfrequenz ω und der Dämpfungskonstanten β. Sie kann (wenn ω → ω0 und β → 0 gehen)
noch vor Erreichen des stationären Zustands größer werden, als es die mechanischen Bedingungen
zulassen (Resonanzkatastrophe). Die Phasenwinkeldifferenz α zeigt, daß der Resonator jede Phase
des Erregers erst zu einem späteren Zeitpunkt erreicht, sofern nicht β = 0 ist, was jedoch nur
theoretisch möglich ist. Die erzwungene Schwingung besitzt die Frequenz des Erregers. Bei der
Resonanzkreisfrequenz ωR ist die Amplitude am größten. Es gilt:
q
ωR = ω02 − 2δ 2
(3.24)
Die Bedeutung der Resonanz in Technik und Alltag ist groß. Die meisten mechanischen Gebilde
sind schwingungsfähig und können durch äußere periodische Kräfte angeregt werden. Im Resonanzfall kommt es zum Aufschaukeln, das bis zur Zerstörung führen kann (Resonanzkatastrophe).
3.2
Wellen
Eine mechanische Welle ist ein Schwingungsvorgang in einem ausgedehnten Medium. Dieses besteht aus einer Vielzahl von schwingungsfähigen Teilchen, die alle miteinander gekoppelt sind.
Wird eines dieser Teilchen zum Schwingen angeregt, so wird es zum Zentrum einer sich ausbreitenden Wellenbewegung. Kinematisches Kennzeichen ist das Wandern der Schwingungsphase,
dynamisches Kennzeichen der Energietransport. Beides geschieht mit der Phasengeschwindigkeit
(Wellengeschwindigkeit).
Also ist eine Welle ein räumlich und zeitlich periodischer Vorgang. Es findet keine Teilchenwanderung, sondern lediglich eine Fortpflanzung des Schwingungszustandes statt. Wellen treten auf,
wenn
• ein System aus Teilsystemen besteht, die alle Schwingungen ausführen können,
• die Teilsysteme miteinander wechselwirken,
• mindestens eines der Teilsysteme durch eine äußere Störung aus seinem Gleichgewicht gebracht wird.
KAPITEL 3. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
3.2.1
58
Huygenssches Prinzip
Die Erscheinungen der Wellenausbreitung lassen sich leicht erklären und deuten, wenn man ihnen
das Huygenssche Prinzip zugrunde legt:
Jeder von einer Wellenbewegung erfaßte Punkt eines Mediums wird selbst zum Ausgangspunkt
einer neuen Welle, einer Elementarwelle. Die vielen entstehenden Elementarwellen kommen zur
Überlagerung. Als Ergebnis entsteht die der Beobachtung zugängliche Wellenfront aller Elementarwellen. Das Huygenssche Prinzip gilt für alle Wellenarten, auch für elektromagnetische Wellen.
3.2.2
Wellenarten
Wellen, bei denen die Richtung der Teilchengeschwindigkeit zur Richtung der Phasengeschwindigkeit senkrecht ist, nennt man transversale Wellen. Sind die Richtungen von Teilchen- und
Phasengeschwindigkeit gleich, so nennt man sie longitudinale Wellen.
Entsprechend ihrer Ausbreitungsmöglichkeit unterscheidet man lineare Wellen, Flächenwellen und
Raumwellen. Die Ausbreitungsrichtung einer Welle wird als Wellenstrahl bezeichnet. Senkrecht
zu diesem verläuft die Wellenfront. Sie ist der geometrische Ort aller Teilchen gleicher Phase.
Bei Flächen- und Raumwellen mit punktförmigem Erregerzentrum verlaufen die Wellenstrahlen
radial, die Wellenfronten sind Kreise bzw. Kugelschalen. Bei flächenhaften bzw. weit entfernten
Wellenzentren spricht man von ebenen Wellen. Die Wellenstrahlen sind parallel, die Fronten eben.
Als Wellenlänge λ bezeichnet man den Abstand zweier benachbarter Teilchen gleicher Schwingungsphase. Sie ist weder orts- noch zeitabhängig. Wenn c die Phasengeschwindigkeit und f die
Frequenz ist, mit der jedes Teilchen der Welle schwingt, dann gilt:
c = λf
3.2.3
(3.25)
Wellengleichung
Es werde angenommen, daß die Ausgangsschwingung der Welle harmonisch sei, und daß bei der
Ausbreitung der Welle im Medium keine Energieverluste austreten. Die Teilchen werden in yRichtung ausgelenkt, die Welle breite sich in x-Richtung aus. Dann ergibt sich (auf die Herleitung
wird hier verzichtet) die partielle Differentialgleichung einer linearen Sinuswelle zu
∂2y
1 ∂2y
− 2 2 =0
2
∂x
c ∂t
(3.26)
· µ
¶¸
h ³
t
x
x ´i
= A · sin 2π
−
y(x, t) = A · sin ω t −
c
T
λ
(3.27)
Eine Lösung von Gleichung 3.26 ist
3.2.4
Stehende Wellen
Zwei Wellen, die gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung durch das gleiche Medium laufen, überlagern sich zu einer stehenden Welle, vorausgesetzt, beide Wellen stimmen in Amplitude, Frequenz
und Wellenlänge überein. Am häufigsten entstehen stehende Wellen, wenn eine eindimensionale
Welle nach einer Reflexion mit sich selbst zur Überlagerung kommt.
KAPITEL 3. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
59
Abbildung 3.4: Überlagerung von einfallender und reflektierter Welle ergibt eine stehende Welle
Seien y1,2 die hin- und rücklaufenden Wellen mit
· µ
¶¸
t
x
y1,2 (x, t) = A · sin 2π
∓
T
λ
dann ergibt sich für die resultierende Welle yR = y1 + y2
½ · µ
¶¸
· µ
¶¸¾
³ x´
t
x
t
x
yR (x, t) = A · sin 2π
−
+ sin 2π
+
= 2A cos 2π
sin(ωt)
T
λ
T
λ
λ
(3.28)
(3.29)
Das ist die Gleichung einer Sinusschwingung mit ortsabhängiger Amplitude (siehe Abbildung 3.42 ).
Für bestimmte Werte von x, also für bestimmte Stellen der Welle ist die Amplitude 2A, für
andere 0. Diese Stellen der Welle bewegen sich nicht weiter und haben voneinander einen Abstand
von jeweils λ/2. Die Stellen, deren Amplitude immer 0 ist heißen Wellenknoten. Stellen, deren
Amplitude immer 2A ist heißen Wellenbäuche. In einem Medium mit begrenzter Länge ` kann
sich eine stehende Welle nur bilden, wenn ` ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge
λ/2 ist.
3.2.5
Interferenz
Durchlaufen mehrere Wellen ein Medium, so kommt es zur Überlagerung, auch Interferenz genannt.
Auch bei Wellen gilt das Superpositionsprinzip. Die resultierende Welle zur Zeit t am Ort x bei
der Überlagerung von zwei Wellen gleicher Frequenz beträgt:
· µ
¶¸
h ³
x ´i
x + ∆x
yR (x, t) = A1 sin ω t −
+ A2 sin ω t −
(3.30)
c
c
Hierbei ist ∆x der sogenannte Gangunterschied, also die Differenz der Laufstrecken beider Wellen
am Ort der Überlagerung. Abhängig vom Gangunterschied tritt konstruktive oder destruktive
Interferenz auf, das heißt für bestimmte ∆x wird die Gesamtamplitude maximal oder minimal.
Sei k eine ganze Zahl (k = 0, ±1, ±2, . . .), dann tritt konstruktive Interferenz auf, falls gilt
∆x = 2k ·
2 °Verlag
c
Harri Deutsch AG
λ
2
(3.31)
KAPITEL 3. SCHWINGUNGEN UND WELLEN
60
Abbildung 3.5: Reflexion ebener Wellen
und destruktive Interferenz falls gilt
∆x = (2k + 1) ·
λ
2
(3.32)
Falls beide Wellen gleiche Amplituden besitzen erfolgt im Falle der destruktiven Interferenz eine
Auslöschung der resultierenden Welle, im Falle der konstruktiven Interferenz addieren sich die
Amplituden.
3.2.6
Reflexion
Trifft eine ebene Welle an der Grenze des Mediums auf ein anderes, so tritt eine völlige oder
teilweise Reflexion auf. Die Konstruktion der reflektierten Strahlen erfolgt nach dem Huygensschen
Prinzip (siehe Abbildung 3.5).
Wenn α der Einfallswinkel und β der Ausfallswinkel ist, dann gilt das Reflexionsgesetz:
α=β
(3.33)
Beachte: Es werden immer die Winkel zum Lot gemessen ! Wird eine eindimensionale Welle (zum
Beispiel eine Seilwelle) an der Grenze Medium 1 - Medium 2 (ganz oder teilweise) reflektiert, so
tritt ein Phasensprung von π auf, wenn Medium 2 dichter ist, d.h. wenn Medium 2 eine kleinere
Phasengeschwindigkeit besitzt. Ein Phasensprung von π bedeutet, daß ein ankommender Wellenberg nach der Reflexion als Wellental zurückläuft (und umgekehrt).
3.2.7
Brechung
Trifft eine ebene Welle an der Grenze des Mediums in ein anderes über, so ändert sich mit der
Ausbreitungsgeschwindigkeit auch die Ausbreitungsrichtung. Der Strahl wird gebrochen. Seien α
und β die Brechungswinkel und c1 , c2 die Ausbreitungsgeschwindigkeiten in den Medien 1 und 2,
dann gilt das Snellius’sche Brechungsgesetz:
c1
n2
sin α
=
=
sin β
c2
n1
Hierbei sind n1,2 die Brechungsindizes der jeweiligen Medien.
(3.34)
Kapitel 4
Wärmelehre
Die Wärmelehre (Thermodynamik) beruht auf den Gesetzmäßigkeiten der Mechanik. Es muß
unterschieden werden zwischen dem Zustand (der Temperatur) eines Körpers und der Wärmeenergie. Für die Energie gilt natürlich auch wie bisher der Energieerhaltungssatz. Änderungen von
Temperatur und Zufuhr oder Abgabe von Energie sind nicht identisch !
4.1
Temperatur und Wärme
Die Temperatur eines Körpers ist ein Maß für die mittlere Bewegungsenergie je Molekül. Dies
ergibt sich aus der kinetischen Wärmetheorie, auf die wir später eingehen werden. In Festkörpern
schwingen die Moleküle um ihre feste Gleichgewichtslage. Sie besitzen potentielle und kinetische
Energie in allen drei Raumachsen. Bei Flüssigkeiten schwingen die Moleküle ebenfalls, führen
aber zusätzlich noch Stöße aus. In Gasen bewegen sich die Moleküle mit zum Teil erheblichen
Geschwindigkeiten, bei Raumtemperatur größenordnungsmäßig mit etwa 1000 m/s.
Viele physikalische Größen sind temperaturabhängig, wie zum Beispiel das Volumen, der elektrische Widerstand oder die Ausdehnung eines Körpers. Temperaturabhängige Größen können
zur Temperaturmessung verwendet werden. Hierbei kennzeichnet die Temperatur einen Zustand
eines Körpers, unabhängig von seiner Masse oder seiner stofflichen Zusammensetzung. Deshalb
bezeichnet man die Temperatur als Zustandsgröße.
4.1.1
Wärme
Um die Temperatur T eines Körpers zu erhöhen oder zu erniedrigen, muß man eine Wärmemenge
∆Q zuführen oder abführen. Hierbei gilt folgender Zusammenhang:
∆Q = c · m · ∆T
(4.1)
Die Stoffkonstante c wird spezifische Wärmekapazität genannt. Wärme ist also eine besondere
Form von Energie.
4.1.2
Temperaturskalen
Das Kelvin (K) ist eine Basiseinheit im SI-System. Die Temperatur 1 K ist definiert als der 273.15te Teil der Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.
61
KAPITEL 4. WÄRMELEHRE
62
Neben der Kelvin-Skala sind oder waren noch eine Reihe anderer Skalen gebräuchlich. Bekannt
ist vor allem die Celsius-Skala. In Großbritannien und Nordamerika wird ferner die FahrenheitSkala oftmals noch verwendet. Die Réaumur-Skala ist dagegen nur noch aus historischen Gründen
interessant. Im Detail werden diese Skalen wie folgt definiert:
Celsius: 0◦ C = Gefrierpunkt, 100◦ C = Siedepunkt des Wassers bei 101.325 kPa Luftdruck.
Fahrenheit: 32◦ F = Gefrierpunkt, 212◦ F = Siedepunkt des Wassers bei 101.325 kPa Luftdruck.
Réaumur: 0◦ R = Gefrierpunkt, 80◦ R = Siedepunkt des Wassers bei 101.325 kPa Luftdruck.
4.1.3
Thermometer
Thermometer zeigen immer ihre Eigentemperatur an. Erst nach einer gewissen Zeit stimmt diese
mit der Umgebung überein. Thermometer besitzen also eine gewisse Trägheit. Außerdem können
sie die zu messende Temperatur des Mediums verändern. Im Alltag gebräuchlich sind folgende
Arten von Thermometern:
Flüssigkeitsthermometer: Die Länge einer Flüssigkeitssäule (zum Beispiel Quecksilber oder
Alkohol) ist ein Maß für die Temperatur. Der Meßbereich ist begrenzt durch Siede- und
Erstarrungspunkt des verwendeten Stoffes. Meßfehler entstehen, wenn nicht die gesamte
Flüssigkeitssäule der gleichen Temperatur ausgesetzt ist.
Metallthermometer: Wesentliches Element ist ein Bimetallstreifen, also zwei miteinander verschweißte Streifen verschiedener Metalle. Infolge der ungleichen Ausdehnung beider Metalle
beim Erwärmen krümmt sich der Streifen. Längere Streifen werden zu einer Spirale gebogen,
bei der ein Ende befestigt wird. Am freien Ende befindet sich ein Zeiger, der auf einer Skala
die jeweilige Temperatur anzeigt.
Widerstandsthermometer: Der Widerstand von Metallen ändert sich mit der Temperatur. Der
in einem Stromkreis fließende Strom hängt vom Widerstand des Leiters und damit von dessen
Temperatur ab. Ein großer Vorteil solcher Thermometer ist, daß zwischen der Meßstelle und
dem Meßgerät ein großer Abstand möglich ist. Als Widerstand verwendet man meist dünne
Metall- oder Halbleiterdrähte, etwa aus Platin oder Germanium.
4.1.4
Ausdehnung fester Körper
Bei Erwärmung nimmt die Amplitude der schwingenden Moleküle zu, ihr gegenseitiger Abstand
vergrößert sich, und der Körper erfüllt einen größeren Raum. Feste Körper dehnen sich beim
Erwärmen nach allen Richtungen aus.
4.1.4.1
Längenänderung
Seien `1 die Anfangslänge des Körpers vor der Temperaturänderung, `2 die Endlänge des Körpers
nach der Temperaturänderung, ∆` = `2 − `1 die Längenänderung, ∆T = T2 − T1 die Temperaturänderung und α der materialabhängige, thermische Längenausdehnungskoeffizient, dann gilt
∆` = `1 α∆T
(4.2)
`2 = `1 (1 + α∆T )
(4.3)
und wegen `2 = `1 + ∆` = `1 + `1 α∆T
KAPITEL 4. WÄRMELEHRE
63
Der Längenausdehnungskoeffizient α ist der Quotient aus der relativen Längenänderung ∆`/`1
und der Temperaturänderung ∆T : α = ∆`/(`1 ∆T ).
4.1.4.2
Flächenänderung
Die Flächenänderung lässt sich für die Berechnung deuten als eine Längenänderung in zwei Dimensionen. Seinen A1,2 die Flächen vor und nach der Temperaturänderung, dann ergibt sich nach
kurzer Rechnung (auf die hier verzichtet wird):
∆A
A2
4.1.4.3
=
=
A1 2α∆T
A1 (1 + 2α∆T )
(4.4)
(4.5)
Volumenänderung
Die Volumenänderung lässt sich für die Berechnung als eine Längenänderung in drei Dimensionen
deuten. Seien V1,2 die Volumina des Körpers vor und nach der Temperaturänderung, dann gilt:
∆V
V2
4.1.5
=
=
V1 3α∆T
V1 (1 + 3α∆T )
(4.6)
(4.7)
Ausdehnung von Flüssigkeiten
Flüssigkeiten dehnen sich wesentlich stärker aus als Festkörper. Ihre Ausdehnung erfolgt ebenfalls
nach allen Richtungen. Wegen der leichten Verschiebbarkeit der Moleküle nehmen Flüssigkeiten
die Form des Gefäßes an, dessen Ausdehnung ebenfalls berücksichtigt werden muß. Die Ausdehnung ist also stets eine Volumenänderung. Sei γ = ∆V /(V1 ∆T ) der stoffabhängige, thermische
Volumenausdehnungskoeffizient der betrachteten Flüssigkeit, dann gilt in analoger Weise zum
Festkörper:
∆V
V2
=
=
V1 γ∆T
V1 (1 + γ∆T )
(4.8)
(4.9)
Die Änderung des Flüssigkeitsvolumens relativ zum Gefäß errechnet sich als Differenz der Volumenänderung von Flüssigkeit und Gefäß. Setzt man gleiches Anfangsvolumen und gleiche Temperaturdifferenz voraus, so ist in den Gleichungen 4.8 und 4.9 γ zu ersetzen durch (γ − 3α), wobei
α der Längenausdehnungskoeffizient des Gefäßes ist.
Nebenbemerkung: Wasser bildet im Vergleich zu den meisten Flüssigkeiten eine Ausnahme. Sein
Volumenausdehnungskoeffizient ist stark temperaturabhängig und im Bereich zwischen 0 und 4◦ C
sogar negativ (Anomalie des Wassers).
Beim Erwärmen ändert sich mit dem Volumen auch die Dichte der Flüssigkeit. Da Volumen und
Dichte umgekehrt proportional sind, gilt:
%1
%2 =
(4.10)
1 + γ∆T
4.1.6
Ausdehnung von Gasen
Beim Erwärmen eines Gases nimmt die Geschwindigkeit der Moleküle zu. Mit der Temperatur
steigt also das Produkt aus Druck und Volumen p · V . Zu einfachen Beziehungen gelangt man,
wenn man einen der beiden Faktoren konstant hält.
KAPITEL 4. WÄRMELEHRE
4.1.6.1
64
Volumenänderung
Wird während des Erwärmens der Druck konstant gehalten (man spricht von einer isobaren Zustandsänderung), so gilt Gleichung 4.9 sinngemäß. Der Volumenausdehnungskoeffizient γ ist bei
fast allen Gases gleich. In guter Näherung gilt oft der Ausdehnungskoeffizient des idealen Gases:
γ = 0.003661 K−1 =
1
1
=
273.15 K
T0
(4.11)
Das Volumen eines eingeschlossenen Gases ist also proportional zu dessen Temperatur, solange
der Druck nicht verändert wird. Dies ist das 1. Gesetz von Gay-Lussac:
T1
V1
=
V2
T2
bzw.
V
= const.
T
falls p = const.
(4.12)
Gleichung 4.12 gilt exakt nur für das ideale Gas. Für die meisten realen Gase gilt sie in guter
Näherung.
4.1.6.2
Druckänderung
Hält man während einer Temperaturänderung das Volumen konstant (man spricht von einer isochoren Zustandsänderung), so gelten für die Druckänderung sinngemäß die selben Gesetzmäßigkeiten wie bei der Volumenänderung mit konstanten Druck:
p2 = p1 · (1 + γ∆T )
(4.13)
Beim idealen Gas (und in guter Näherung bei vielen realen Gasen) ist der Druckkoeffizient γ
gleich dem Volumenkoeffizienten. Der Druck eines abgeschlossenen Gases ist also proportional zur
Gastemperatur, falls man das Volumen konstant hält. Dies ist das 2. Gesetz von Gay-Lussac:
p1
T1
=
p2
T2
4.1.6.3
bzw.
p
= const.
T
falls
V = const.
(4.14)
Druck und Volumen bei gleicher Temperatur
In den vorhergehenden Abschnitten wurden Druck- und Volumenänderungen in Abhängigkeit von
Temperaturänderungen betrachtet. Als Ergebnis hatten wir gesehen, daß sowohl der Druck p
als auch das Volumen V proportional zur Temperaturänderung waren. Also ist das Produkt p · V
proportional zur Temperatur T . Hält man nun die Temperatur konstant (isotherme Zustandsänderung), sind also Druck und Volumen zueinander umgekehrt proportional. Dies ist das Gesetz von
Boyle-Mariotte:
p1
V2
=
bzw. p · V = const. falls T = const.
(4.15)
p2
V1
4.2
Das ideale Gas
Das ideale Gas ist dadurch gekennzeichnet, daß die Gasteilchen wie Punktteilchen der klassischen
Mechanik ohne jede Wechselwirkung behandelt werden. Gasteilchen haben also kein Eigenvolumen
und Wechselwirken untereinander und mit den Behälterwänden nur durch elastische Stoßprozesse. Der Druck eines Gases auf eine Behälterwand kommt in dieser Vorstellung also durch den
Impulsübertrag der Teilchen bei der Reflexion an der Wand zustande.
KAPITEL 4. WÄRMELEHRE
65
Das ideale Gas ist ein einfaches Modell eines realen Gases, unter der Annahme, daß die Teilchen eine vernachlässigbare Ausdehnung und nur geringe Wechselwirkungen untereinander haben.
Diese Näherung ist umso besser, je stärker verdünnt ein Gas ist. Unter Normalbedingungen sind
Edelgase, Luft und Wasserstoff recht gut als ideale Gase beschreibbar.
4.2.1
Zustandsgleichung des idealen Gases
Die Gesetze von Gay-Lussac und Boyle-Mariotte setzen voraus, daß bei einer Temperaturänderung
entweder der Gasdruck oder das Gasvolumen konstant bleiben, bzw. daß die Temperatur gleichbleibt, wenn man Druck oder Volumen ändert. Dies ist in der Praxis eher selten der Fall. Deshalb
fasst man die beiden Gesetze von Gay-Lussac und das Gesetz von Boyle-Mariotte zu einem Gesetz
zusammen:
p·V
= const.
(4.16)
T
Bei einer bestimmten Menge bzw. Masse eines Gases ist das Produkt aus Druck und Volumen, dividiert durch dessen Temperatur konstant. Diese Konstante ist stoffunabhängig, lediglich die Anzahl
der Gasteilchen N bzw. die Stoffmenge n spielt eine Rolle. Dies ergibt folgenden Zusammenhang:
pV
= nR = N k
T
(4.17)
Hierbei ist R = 8.3145 J/(mol · K) die molare Gaskonstante und k = 1.38 · 10−23 J/K die
Boltzmann-Konstante. Zwischen der Stoffmenge und der Teilchenanzahl besteht der Zusammenhang n = N/NA mit der Avogadro-Konstante NA = 6.022 · 1023 1/mol.
4.2.2
Barometrische Höhenformel
Mit der Zustandsgleichung des idealen Gases kann man sich leicht die barometrische Höhenformel
des Luftdrucks ableiten. Wir betrachten ein Volumen V , welches ein Quader mit Grundfläche A
und Höhe z sei. Betrachtet man den Druck p in zwei verschiedenen Höhen z, so wird sich der Druck
ändern um ∆p = p2 − p1 , wenn sich die Höhe um ∆z = z2 − z1 ändert. Für eine Druckänderung
gilt:
F
ρgA∆z
∆p = − = −
= −ρg∆z
(4.18)
A
A
Für die Dichte ρ gilt unter Verwendung des idealen Gasgesetzes:
ρ=
Also folgt:
∆p = −
4.2.3
mmol
mmol · p
=
Vmol
R·T
mmol pg
· ∆z
RT
⇒
∆p
mmol g
=−
· ∆z
p
RT
(4.19)
(4.20)
Kinetische Gastheorie
Wie in den vorherigen Abschnitten schon einige Male erwähnt wurde, wollen wir der Frage nachgehen, wie eigentlich der Gasdruck zustande kommt. Hierzu denken wir uns zuerst ein würfelförmiges
Gefäß (siehe Abbildung 4.11 ). Seine Wände seien vollständig glatt und elastisch. In diesem Gefäß
befinde sich ein Molekül, welches wir uns als kleine, vollständig elastische und sehr harte Kugel vorstellen. Wir wollen zuerst annehmen, es fliege genau parallel zur in x-Richtung. Von der
1 °Verlag
c
Harri Deutsch AG
KAPITEL 4. WÄRMELEHRE
66
Abbildung 4.1: Kinetische Theorie des idealen Gases
Wirkung äußerer Kräfte wollen wir absehen. Dann wird die Wand von Zeit zu Zeit einen Stoß
bekommen. Wir berechnen zuerst den Impulsübertrag ∆p, der bei einem Stoß übertragen wird:
∆p = pnach −pvor = −mv − mv = 2mv
(4.21)
Der Abstand zwischen zwei Wänden sei `, dann ist die Zeit, die das Molekül von der betrachteten
Wand bis zur gegenüberliegenden und wieder zurück braucht 2`/v, d.h. die Zahl der Stöße eines
Moleküls gegen die Wand pro Zeit v/(2`), und der im ganzen pro Zeit auf die Wand übertragene
Impuls:
v
mv 2
2mv ·
=
(4.22)
2`
`
Haben wir nicht ein Molekül, sondern N1 Moleküle, die zueinander parallel unabhängig voneinander hin und her fliegen, so finden N1 -mal soviele Stöße pro Zeit statt, und die Kraft auf die Wand
wird N1 -mal so groß. Auf die Flächeneinheit der Wand wirkt daher der Druck
2
N1 · mv
N1 mv 2
`
px =
=
`2
V
(4.23)
mit dem Volumen V = `3 des Würfels und der kinetischen Energie Ekin eines Moleküls. In Wirklichkeit werden die Moleküle nicht parallel, sondern wirr durcheinander in alle Raumrichtungen
fliegen. Wir können das annähern, indem wir sagen, es fliege im Mittel ein Drittel aller N Moleküle
von links nach rechts, ein Drittel von oben nach unten, und ein Drittel von vorne nach hinten.
Dann ergibt sich folgender wichtiger Zusammenhang:
p · V = N · mv 2 =
2
· Ekin
3
(4.24)
Hierbei ist Ekin die gesamte kinetische Energie des Gases. Die Kombination der Gleichungen
4.17 und 4.24 bringt folgenden wichtigen Zusammenhang zwischen der Gastemperatur und der
kinetischen Energie der Gasteilchen:
3
(4.25)
Ekin = N kT
2
Dies bedeutet, daß man die Temperatur eines Gases als Bewegungsenergie der Teilchen deuten
kann.
KAPITEL 4. WÄRMELEHRE
4.2.3.1
67
Freiheitsgrade und Gleichverteilungssatz
Bei der bisherigen Ableitung der kinetischen Gastheorie wurde davon ausgegangen, daß Teilchen
nur durch translatorische Bewegungen in den drei Raumrichtungen Energie aufnehmen können.
Dies muss aber nicht zwangsläufig der Fall sein.
Einatomige Gase, wie zum Beispiel Edelgase, können nur durch Translation Energie aufnehmen.
Sie besitzen also f = 3 Freiheitsgrade der Translation in den verschiedenen Raumrichtungen.
Zweiatomige Gase, wie zum Beispiel Stickstoff oder Sauerstoff, besitzen f = 5 Freiheitsgrade,
nämlich 3 Freiheitsgrade der Translation und zwei Freiheitsgrade der Rotation um Drehachsen
senkrecht zu der Verbindungsachse der Atome. Die Rotation um die Molekülachse selbst zählt
hier nicht als Freiheitsgrad, da das zugehörige Trägheitsmoment sehr klein ist, und deshalb zur
Anregung sehr hohe Energien notwendig wären.
Mehratomige Moleküle haben meist drei anregbare Rotationsachsen und somit f = 6 Freiheitsgrade. Zu ihnen gehören beispielsweise Schwefeldioxid, Ammoniak und viele Kohlenwasserstoffe.
Schwingungsfreiheitsgrade werden in Gasen meist erst bei sehr hohen Temperaturen angeregt. Die
Zahl der Freiheitsgrade hängt somit über weite Temperaturbereiche stark von der Temperatur ab.
Der Gleichverteilungssatz, auch Äquipartitionstheorem genannt, schreibt den Freiheitsgraden eines
Systems gleiche Bedeutung bei der Energieaufnahme zu. Die Wärmeenergie wird statistisch gleichwertig auf die Freiheitsgrade verteilt. Jeder Freiheitsgrad besitzt im Mittel die gleiche Energie. Die
kinetische Energie eines Gases ist also:
Ekin =
4.3
f
N kT
2
(4.26)
Wärmetransport
Bei allen Arten des Wärmetransportes gilt der Grundsatz, daß die natürliche Transportrichtung
der Wärmeenergie von der höheren zur tieferen Temperatur verläuft.
4.3.1
Konvektion
Die Konvektion ist ein Transport von Wärme, der gebunden ist an die Strömung eines Mediums.
Man spricht von erzwungener Konvektion, wenn die Strömung von äußeren Kräften (Pumpen)
herrührt. Bei der freien Konvektion stellt sich eine Strömung als Folge von Dichteunterschieden
ein. Die Dichte flüssiger und gasförmiger Medien hängt von der Temperatur ab. Meist sinkt sie bei
zunehmender Temperatur, das heißt die Stoffe werden spezifisch leichter. So steigt zum Beispiel
erwärmte Luft (wenn sie von kälterer Luft umgeben ist) nach oben. Gase mit sehr kleinem Druck
können wegen ihrer kleinen Dichte kaum Wärme durch Konvektion übertragen. Deswegen wird
der Raum zwischen beiden Wandungen von Thermosflaschen (im Allgemeinen spricht man von
Dewar-Gefäßen) weitgehend evakuiert.
4.3.2
Wärmeleitung
Bei der Wärmeleitung wird Wärmeenergie innerhalb eines Körpers weitergeleitet. An Stellen
höherer Temperatur besitzen die Moleküle mehr Energie und übertragen einen Teil davon auf
KAPITEL 4. WÄRMELEHRE
68
Nachbarmoleküle geringerer Energie. Dies führt zu einem Abbau der die Wärmeleitung verursachenden Temperaturdifferenz, sofern diese nicht durch äußere Wärmezufuhr oder Abfuhr aufrechterhalten wird. Man bezeichnet die Wärmeleitung als stationär, wenn die Temperaturdifferenz ∆T
konstant ist. Anderenfalls ist die Wärmeleitung instationär.
Wir betrachten einen Wärmeleiter der Länge ∆x mit Querschnittsfläche A, zwischen dessen Enden
ein Temperaturunterschied ∆T herrscht. Abhängig von der Wärmeleitfähigkeit λ des Materials
stellt sich folgender Wärmestrom IQ ein:
∆T
(4.27)
∆x
Wird dieser Wärmestrom über eine Zeit ∆t konstant aufrechterhalten, so wird folgende Wärme
Q transportiert:
∆T
Q = IQ · ∆t = λ · A ·
· ∆t
(4.28)
∆x
In analoger Weise zum elektrischen Widerstand eines elektrischen Leiters kann man auch den
Wärmewiderstand RQ eines Wärmeleiters definieren:
IQ = λ · A ·
∆x
λ·A
Dann erhält man das Ohm’sche Gesetz der Wärmelehre:
1
IQ =
· ∆T
RQ
RQ =
4.3.3
(4.29)
(4.30)
Wärmeübergang
Flüssige oder gasförmige Medien, die mit einem festen Körper anderer Temperatur in Berührung
kommen, geben Wärme an ihn ab oder nehmen Wärme vom ihm auf. Diese Übertragung nennt
man Wärmeübergang. Ein praktisches Beispiel hierfür ist ein Heizkörper in der Wohnung.
Betrachtet man eine Wärmeübergangsfläche A mit der Temperaturdifferenz ∆T zwischen Körper
und umgebenden Medium, so ergibt sich für den Wärmestrom IQ in Abhängigkeit eines
Wärmeübergangskoeffizienten α:
IQ = α · A · ∆T
(4.31)
Der Wärmeübergangskoeffizient α ist abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit des Körpers,
sowie vom umgebenden Medium und dessen Bewegung.
4.3.4
Wärmestrahlung
Bei der Wärmestrahlung wird Wärmeenergie von einem Körper zum anderen durch Emission und
Absorption elektromagnetischer Wellen transportiert. Der von einem Körper auf Grund seiner
Temperatur ausgehende Strahlungsstrom IQ ist abhängig von der Größe der strahlenden Fläche
A, dem Emissionskoeffizienten ε und von der 4. Potenz der Körpertemperatur T :
IQ = ε · σ · A · T 4
(4.32)
Dies ist das Stefan-Boltzmann-Gesetz. Die Konstante σ ist eine elementare Konstante und wird
als Stefan-Boltzmann-Konstante bezeichnet:
W
(4.33)
σ = 5.67051 · 10−8 2
m · K4
Bei hohen Temperaturen überwiegt als Hauptmechanismus des Wärmetransports wegen der starken Temperaturabhängigkeit immer der Strahlungsanteil. Für einen idealen, schwarzen Strahler
ist der Emissionskoeffizient ε = 1, für andere Strahler gilt ε ≤ 1.
KAPITEL 4. WÄRMELEHRE
4.4
69
Hauptsätze der Thermodynamik
Eine durch wirkliche oder gedachte Wände von der Umgebung abgegrenzte Menge von Stoffen
beliebiger Zusammensetzung bezeichnet man als thermodynamisches System. Ein geschlossenes
System umfasst immer dieselbe Stoffmenge wie der Inhalt eines durch einen dicht schließenden
Kolben begrenzten Zylinders, dem durch die Wände Wärme und durch Verschieben des Kolbens
mechanische Energie zugeführt werden kann. Ein abgeschlossenes System steht mit seiner Umgebung in keinem Austausch von Stoff oder Energie. Treten durch die Systemgrenze Stoffströme ein
und aus, so spricht man von offenen Systemen.
Die Stoffe werden bei der Untersuchung und Darstellung ihrer thermodynamischen Eigenschaften
als geschlossene Systeme behandelt. Einfachste thermodynamische Systeme sind chemisch einheitliche Stoffe und homogene Gemische von konstanter Zusammensetzung.
Vorgänge in einem thermodynamischen System, bei denen sich Zustandsgrößen ändern, nennt man
thermodynamische Prozesse. Ist der Stoff am Ende eines Prozesses wieder im gleichen Zustand
wie zu Anfang, so hat er einen Kreisprozeß durchlaufen.
4.4.1
Nullter Hauptsatz
Verschiedene Systeme, die mit einem System im thermischen Gleichgewicht stehen, stehen auch
untereinander im thermischen Gleichgewicht.
Diese Eigenschaft ist so wichtig, daß sie meist als nullter Hauptsatz der Thermodynamik bezeichnet
wird. Auf ihm beruht die Wirkungsweise des Thermometers.
Bei allen Betrachtungsweisen ist der Aspekt des Gleichgewichts von großer Bedeutung. Alle betrachteten Zustandsänderungen sollen wieder in einen (anderen) Gleichgewichtszustand führen.
Fügt man zwei Systeme zusammen, so werden so lange Austauschprozesse erfolgen, bis sich die
intensiven Größen der Systeme angeglichen haben. Für das thermische Gleichgewicht findet so
lange ein Wärmeaustausch statt, bis die Temperaturen beider Systeme gleich sind.
4.4.2
Erster Hauptsatz
In der Physik ist das Prinzip der Energieerhaltung von fundamentaler Bedeutung, und alle Erfahrung bestätigt die Annahme, daß dieses Prinzip sowohl in makroskopischen als auch in mikroskopischen Dimensionen richtig ist. Man muß daher neben der Arbeit, die ein System leistet oder
aufnimmt, auch die mit der Umgebung ausgetauschte Wärme berücksichtigen. Wärme ist also eine
Energieform, die aus anderen Energien, z.B. elektrischer oder mechanischer Energie, erzeugt und
in solche umgewandelt werden kann.
Ist dQ die einem System bei einer Zustandsänderung zu- oder abgeführte Wärme, dW die dabei
vom System geleistete oder aufgenommene Arbeit, so ändert sich die innere Energie U des Systems
nach dem ersten Hauptsatz um:
dU = dQ + dW
(4.34)
Beschränkt man sich auf Flüssigkeiten, Gase und Dämpfe, so dient die äußere Arbeit W zum
Überwinden des äußeren auf die Oberfläche wirkenden Druckes, der bei langsamen, d.h. in einer
Folge von Gleichgewichtszuständen veraufenden (quasistatischen) Zustandsänderungen gleich dem
inneren Druck ist. Dann gilt:
dW = p · dV
(4.35)
KAPITEL 4. WÄRMELEHRE
70
Die Gesamtenergie eines Systems besteht aus der nur vom thermodynamischen Zustand abhängigen inneren Energie U . Nach der kinetischen Gastheorie ist U die Summe der Energien der Moleküle.
4.4.3
Zweiter Hauptsatz
Nach dem ersten Hauptsatz sind nur Vorgänge möglich, bei denen die Energiesumme konstant
ist. Beispielsweise wäre die restlose Umwandlung von Wärme in mechanische Energie kein Verstoß
gegen den ersten Hauptsatz (ein Stein kühlt sich ab und schnellt in die Höhe). Dennoch ist sie
unmöglich. Der zweite Hauptsatz engt die möglichen Prozesse weiter ein.
Bei der kinetischen Gastheorie hatten wir gesehen, daß bei der Erwärmung eines Gases die Bewegungsenergie der Moleküle zunimmt, falls keine mechanische Arbeit geleistet wird. Je größer
die Bewegungsenergie der Teilchen ist, um so größer wird also die Unordnung des Gesamtsystems
sein. Die Gasmoleküle werden das zur Verfügung stehende Volumen in statistisch gleichverteilter
Weise ausnutzen. Um dies mathematisch beschreiben zu können, wird Entropie S als extensive Zustandsgröße eingeführt. Sie beschreibt die Unordnung eines Systems. Die Entropieänderung kann
über die reduzierte Wärme definiert werden:
∆S =
∆Q
T
(4.36)
Alle Erfahrungen bestätigen, daß die Entropie im Gleichgewicht ein Maximum annimmt.
Es gibt verschiedene, zueinander äquvalente Formulierungen des zweiten Hauptsatzes:
• Es gibt keine natürlichen Prozesse, in denen die Gesamtentropie abnimmt: ∆S ≥ 0
• Es gibt kein Perpetuum mobile zweiter Art. Dies ist eine Maschine, die nichts anderes tut, als
unter Abkühlung eines Wärmereservoirs Arbeit zu leisten. Man braucht immer ein zweites
Reservoir, das sich aufheizt.
• Jedes abgeschlossene makroskopische System strebt nach dem wahrscheinlichsten Zustand.
Dies ist der Zustand, der durch die meisten mikroskopischen Realisierungsmöglichkeiten, also
durch die größte Entropie (Unordnung) gekennzeichnet ist.
Man unterscheidet reversible und irreversible Prozesse. Bei reversiblen Prozessen bleibt sie Entropie konstant: ∆S = 0. Bei irreversiblen Prozessen nimmt die Entropie zu: ∆S > 0. In der Praxis
sind reversible Prozesse nicht oder nur annähernd möglich.
4.4.4
Dritter Hauptsatz
Jeder Festkörper besitzt bei endlichen Temperaturen eine der Wärme entsprechende innere Anregungsenergie. Der dritte Hauptsatz definiert den absoluten Nullpunkt.
Jeder Körper besitzt am absoluten Nullpunkt die Entropie Null: S = 0 bei T = 0. Am absoluten
Nullpunkt besitzt ein Körper keine Anregungsenergie mehr. Der absolute Nullpunkt ist experimentell nie erreichbar. Jede noch so kleine Wärmemenge bewirkt eine endliche Temperaturerhöhung.
Kapitel 5
Elektrizitätslehre
Elektrizität ist eine physikalische Erscheinung, die aus dem Alltag fast nicht mehr wegzudenken ist.
Sei es nun, daß wir einen Schalter umlegen und somit eine Glühbirne zum Leuchten bringen, oder
vor einem Computer sitzen, welcher für uns komplexe Berechnungen in kürzester Zeit durchführt.
Praktisch alle Anwendungen der Technik beruhen auf der Elektrizität oder nehmen diese zu Hilfe.
Welch große Auswirkungen die Elektrizität auf unser tägliches Leben hat, kann man am besten
dann sehen, wenn ein Stromausfall das komplette öffentliche Leben lahm legt.
Die Physik teilt die Elektrizitätslehre in die Elektrostatik und die Elektrodynamik auf. Ähnlich wie
in der Mechanik befasst sich die Elektrostatik mit unbewegten elektrischen Ladungsverteilungen
und deren Eigenschaften, die Elektrodynamik mit den Auswirkungen bewegter Ladungen.
5.1
Elektrostatik
Die Quelle aller elektrischen Erscheinungen ist die elektrische Ladung Q. Sie tritt nur in Vielfachen
der Elementarladung e auf: e = 1.6022 · 10−19 C. Die Einheit der Ladung ist das Coulomb: 1 C =
1 As. Atome sind aufgebaut aus:
• positiven Elementarladungen, den Protonen
• negativen Elementarladungen, den Elektronen
• elektrisch neutralen Bausteinen, den Neutronen
Nach heutigen Erkenntnissen ist die positive Elementarladung betragsmäßig gleich der negativen
Elementarladung, positive und negative Ladung neutralisieren sich also gegenseitig.
Atome sind normalerweise nach außen hin elektrisch neutral. Dies ist dann der Fall, wenn die Zahl
der Elektronen in der Atomhülle ne gleich der Zahl der Protonen im Atomkern Z ist. Nach außen
hin geladene Atome bezeichnet man als Ionen. Ist ne > Z spricht man von negativen Ionen, ist
ne < Z von positiven Ionen.
5.1.1
Ladungsmessung
Zwischen elektrisch geladenen Körpern wirken Kräfte. Gleichartig geladene Körper stoßen sich ab,
ungleichartig geladene Körper ziehen sich an.
71
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
72
Deswegen sitzen die Ladungen leitender Körper (dies sind Körper in denen die Ladungsträger frei
beweglich sind) stets an der Oberfläche. Das Innere ist ladungs- und damit feldfrei. Die Verteilung
der Ladungen hängt von der Geometrie der Körper ab. An stärker gekrümmten Stellen sitzen die
Ladungsträger dichter. An Spitzen und Kanten können sie so dicht sitzen, daß sie das umgebende
Medium ionisieren können (Spitzenwirkung).
In einem ungeladenen Leiter sind die Ladungsträger (meist sind dies die Elektronen) gleichmäßig
verteilt. Unter der Einwirkung eines äußeren elektrischen Feldes sammeln sich die Elektronen auf
einer Seite des Körpers, auf der anderen Seite herrscht Elektronenmangel. Diesen Vorgang nennt
man Influenz. Demnach werden auch neutrale Körper von geladenen Körpern angezogen. Ein
Ladungsnachweis kann also nur durch Abstoßung erfolgen.
Zum Nachweis und zur Messung von Ladungen verwendet man Elektrometer. Sie bestehen im
wesentlichen aus einem starren und einem beweglichen Metallstab. Werden beide mit einem geladenen Körper in Kontakt gebracht, spreizt sich der bewegliche Stab ab, weil beide Stäbe gleiche
Ladungen tragen.
5.1.2
Das Coulombsche Gesetz
Ungleichartig geladene Körper ziehen sich an, gleichartig geladene stoßen sich ab. Die Größe der
zwischen ihnen wirkenden Kraft F~ lässt sich durch das Coulombsche Gesetz bestimmen:
Q1 · Q2 ~r
F~ =
·
4πε0 · r2 r
(5.1)
Hierbei sind Q1 und Q2 zwei punktförmige Ladungen, die voneinander den Abstand r haben. Die
elektrische Feldkonstante ist ε0 = 8.85 · 10−12 As/Vm. Die Gleichung gilt in guter Näherung auch
für Kugeln, wenn deren Abstand voneinander groß ist im Vergleich zu deren Radius. In diesem
Fall ist r dann der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel.
5.1.3
Das elektrische Feld
Die Stärke des elektrischen Feldes wird durch die Kraft ausgedrückt, die auf eine kleine Punktladung (Probeladung) in diesem Feld wirkt. Unter der Feldstärke versteht man das Verhältnis
der auf eine Ladung im Feld wirkenden Kraft zur Größe dieser Ladung. Dies lässt sich aus dem
Coulombschen Gesetz ableiten: Sei q eine Probeladung im Feld einer Ladung Q, dann ist
F~ = q ·
Also gilt allgemein:
Q
~r
~ r)
· = q · E(~
4πε0 · r2 r
~
~ = F
E
Q
⇒
~ =
E
Q
~r
·
4πε0 · r2 r
(5.2)
(5.3)
In inhomogenen Feldern ist die Kraft örtlich verschieden, Gleichung 5.3 liefert also nur bei homogenen Feldern die für das gesamte Feld geltende Feldstärke.
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
5.1.4
73
Die elektrische Spannung
Die potentielle Energie entspricht der Arbeit die verrichtet werden muss, um mit einer Probeladung
vom Punkt a zum Punkt b zu gelangen.
Z b
Z b
~ · d~s = Q · Uab
Wpot,ab =
F~ · d~s = Q ·
E
(5.4)
a
a
Die Spannung lässt sich dann berechnen durch:
Z
Uab =
b
~ · d~s
E
(5.5)
a
Betrachtet man umgekehrt das elektrische Feld, welches aufgrund einer Spannungsdifferenz dU
über einer Strecke ds erzeugt wird, erhält man
E=
5.1.5
dU
ds
(5.6)
Das elektrische Potential
Das elektrische Potential ϕ ist definiert durch die Arbeit die verrichtet werden muss, um eine
Punktladung aus dem Unendlichen an eine Ladungsverteilung heranzuführen.
Z a
Wpot (a) =
F~ · d~s
(5.7)
∞
Das Potential ist dann gegeben durch die Arbeit pro Ladung, die verrichtet werden muss.
ϕ (~r) =
Wpot
Q
(5.8)
Grundsätzlich ist das Bezugspotential und damit die Lage des Bezugspunktes willkürlich. Häufig
wählt man (wie hier geschehen) einen unendlich entfernten Punkt, oder auch einen Punkt auf der
Oberfläche eines Leiters. Legt man den Bezugspunkt ins Unendliche, dann sind alle Potentiale um
einen positiv geladenen Körper positiv.
Die Bewegung einer Ladung Q von einem Punkt a zu einem Punkt b bedeutet einen Übergang
vom Potential ϕa zum Potential ϕb . Damit ergibt sich eine Vereinfachung für die Spannung:
Uab = ϕ (~rb ) − ϕ (~ra )
(5.9)
Als Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes bezeichnet man deren Potentialdifferenz.
5.1.6
Das Gesetz von Gauß
Wir wollen jetzt einen neuen Zusammenhang zwischen dem elektrischen Feld und seinen Quellen,
den Ladungen, kennenlernen, den Gaußschen Satz. Diese neue Beziehung ist allgemeiner als das
Coulomb’sche Gesetz, da sie auch für bewegte Ladungen seine Gültigkeit behält.
Zur Formulierung des Gaußschen Satzes müssen wir zuerst den Begriff Fluß eines Vektorfeldes
vertiefen. Für strömende Teilchen einer Flüssigkeit hat der Teilchenfluß eine besonders anschauliche Bedeutung, die wir zunächst genauer betrachten wollen. Wir stellen uns dazu ein kleines
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
74
Flächenelement dA vor, durch das Teilchen mit der Geschwindigkeit ~v strömen. Diese Fläche sei
so klein, daß ~v über den gesamten Bereich von dA als konstant angesehen werden kann. Das
Flächenelement steht hierbei nicht unbedingt senkrecht auf der Teilchengeschwindigkeit, sondern
der Normalenvektor auf die Fläche ~n möge einen Winkel θ mit der Teilchengeschwindigkeit bilden.
Die Zahl der Teilchen, welche pro Zeiteinheit durch dA fließen, nennt man den Teilchenfluß dΦ.
Ist ρ die Zahl der Teilchen pro Volumeneinheit, so ergibt sich:
dΦ = ρ · v · dA · cos θ = ρ · ~v · ~n · dA
(5.10)
Wir führen nun in diese Beziehung zwei neue Größen ein, nämlich den sogenannten Flächenvektor
~ = dA ·~n und die vektorielle Stromdichte ~ = ρ ·~v . Damit erhält der differentielle Fluß die Form:
dA
~
dΦ = ~ · dA
(5.11)
Nun stellen wir uns eine große, geschlossene Fläche vor, etwa die Oberfläche eines beliebig geformten Luftballons. Wir wollen berechnen, wieviele Teilchen aus dieser gesamten Fläche herausfließen.
Dazu teilen wir diese Fläche in N kleine Flächenelemente dAi , durch die jeweils der Teilstrom ~i
~ i senkrecht auf der Oberfläche. Wir wollen
fließen soll. In jedem Flächenelement steht der Vektor dA
als Konvention festlegen, daß er nach außen gerichtet sei. Der Gesamtfluß durch die geschlossene
Fläche ist demnach:
N
X
~i
Φ=
~i · dA
(5.12)
i=1
Oder integriert:
I
~
~ · dA
Φ=
Das Symbol
H
A
(5.13)
A
stellt hierbei das Flächenintegral über die geschlossene Fläche A dar.
~
Wir wollen nun diese Flußdefinition, die für beliebige Vektorfelder gilt, auf das elektrische Feld E
anwenden. Stellen wir uns vor, der Luftballon befinde sich in einem beliebigen elektrischen Feld
~ Dann ist der Fluß des elektrischen Feldes aus einer geschlossenen Fläche A:
E.
I
~ · dA
~
Φ=
E
(5.14)
A
Betrachten wir als einfaches Beispiel eine Kugeloberfläche, in deren Zentrum eine Ladung q sitzt.
Das elektrische Feld an der Oberfläche hat den Wert
E=
1
q
· 2
4πε0 r
und zeigt in Richtung der Flächennormale nach außen. Damit ist der Fluß des elektrischen Feldes
aus der Kugeloberfläche:
q
q
1
·
· 4πr2 =
(5.15)
Φ = E · 4πr2 =
4πε0 r2
ε0
Der Fluß ist also unabhängig vom Radius r der Kugel. Diese Tatsache kann sogar noch etwas
verallgemeinert werden, wobei hier auf die Herleitung verzichtet wird: Der Fluß eines elektrischen
Feldes aus einer beliebigen Fläche, die eine Punktladung q umschließt, ist q/ε0 :
I
~ · dA
~= q
Φ=
E
(5.16)
ε0
A
Es lässt sich auch zeigen, daß der Fluß aus einer geschlossenen Fläche Null ist, wenn die Ladung
q sich außerhalb der Fläche A befindet, also nicht von ihr umschlossen wird. Äußere Ladungen
führen also nicht zu einem Fluß aus einer geschlossenen Fläche:
I
~ · dA
~=0
Φ=
E
(5.17)
A
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
75
Abbildung 5.1: Elektrisches Feld eines Plattenkondensators
Damit haben wir den Gaußschen Satz der Elektrostatik abgeleitet. Wir wollen ihn wie folgt formulieren.
Der gesamte Fluß aus einer geschlossenen Fläche A ist gleich der gesamten Ladung, die sich
innerhalb der Fläche A befindet, dividiert durch ε0 .
Falls die Ladung im Volumen V innerhalb von A durch eine kontinuierliche
R Ladungsverteilung mit
der Ladungsdichte ρ beschrieben wird, gilt für die Gesamtladung Q = V ρ · dV , und wir erhalten
folgende Form für den Gaußschen Satz:
I
Z
1
~
~
E · dA =
·
ρ · dV = Q
(5.18)
ε0 V
A
Der Gaußsche Satz ist eine dem Coulombgesetz äquivalente Darstellung der Elektrostatik. Er gilt
allerdings nicht nur für elektrische Felder ruhender Ladungen, sondern auch für bewegte Ladungen.
5.1.7
Der Plattenkondensator
Auf einem Plattenkondensator (siehe Abbildung 5.1) mit der Fläche A befindet sich auf der einen
Seite die Ladung Q, auf der anderen Seite die Ladung −Q. Der Abstand der beiden Platten beträgt
d. Mit Hilfe des Gaußschen Satzes ε0 · E · A = Q und der Definition der Spannung U = E · d gilt:
Q=
ε0 · A
·U =C ·U
d
C wird die Kapazität des Plattenkondensators genannt: Kapazität=
C=
5.1.7.1
Q
ε0 · A
=
d
U
(5.19)
Ladung
Spannung
(5.20)
Parallelschaltung von Kondensatoren
In einer Parallelschaltung (siehe Abbildung 5.2) addieren sich die Ladungen und damit auch die
Kapazitäten:
Q = Q1 + Q2 + Q3 = C1 · U + C2 · U + C3 · U = C · U
(5.21)
⇒ C = C1 + C2 + C3
(5.22)
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
76
Abbildung 5.2: Parallelschaltung von Kondensatoren
Abbildung 5.3: Reihenschaltung von Kondensatoren
5.1.7.2
Reihenschaltung von Kondensatoren
In einer Reihenschaltung (siehe Abbildung 5.3) addieren sich die Spannungen. Also addieren sich
die Kehrbrüche der Kapazitäten zum Kehrbruch der Gesamtkapazität:
Ugesamt = U1 + U2 + U3 =
Q1
Q2
Q3
+
+
C1
C2
C3
(5.23)
Da die Ladung auf allen Kondensatoren gleich ist Q = Q1 = Q2 = Q3 folgt sofort
⇒
5.1.7.3
1
1
1
1
=
+
+
Cgesamt
C1
C2
C3
(5.24)
Energie im elektrischen Feld des Plattenkondensator
Wenn man einen Kondensator aufladen will, so muß man Arbeit leisten gegen die abstoßenden
Kräfte der schon auf dem Kondensator vorhandenen Ladungen. Nehmen wir an, ein Kondensator
mit der Kapazität C trage bereits eine Ladung q und habe daher die Spannung U = q/C. Um
dazu noch eine weitere Ladung dq aus dem Unendlichen auf den Kondensator zu bringen, muß
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
77
Abbildung 5.4: Ladungstrennung durch Influenz in elektrischen Leitern
Abbildung 5.5: Polare Moleküle in Isolatoren
man die Arbeit leisten:
q
· dq
(5.25)
C
Die insgesamt erforderliche Arbeit, um auf den Kondensator die Ladung Q aufzubringen, ist daher:
dW = U · dq =
Z
W =
0
5.1.7.4
Q
Q2
1
q
· dq =
= · C · U2
C
2·C
2
(5.26)
Influenz im Plattenkondensator
Die Influenz ist allgemein die Ladungstrennung durch das elektrische Feld.
Leiter: In elektrischen Leitern trennen sich die Ladungen (siehe Abbildung 5.4).
Isolatoren: Polare Moleküle richten sich nach dem elektrische Feld aus (siehe Abbildung 5.5).
Nichtpolare Moleküle werden polarisiert und richten sich dann aus (siehe Abbildung 5.6).
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
78
Abbildung 5.6: Nichtpolare Moleküle in Isolatoren
5.1.7.5
Kapazität eines Plattenkondensators mit Dielektrikum
Befindet sich in einem Kondensator ein Dielektrikum εr 6= 1 (siehe Abbildung 5.7) so verändert
sich das elektrische Feld und damit auch die Kapazität des Kondensators.
εr ist die Permittivitätszahl. Im Vakuum ist εr = 1. ε ist die Permittivität oder auch Dielektrizitätskonstante.
Enthält ein Kondensator ein Dielektrikum, dann gilt für die Kapazität:
C = εr · ε0 ·
A
A
=ε·
d
d
(5.27)
~ und die elektrische Verschiebungsdichte D
~ gilt:
Für das elektrische Feld E
~ = εr · ε0 · E
~ =ε·E
~
D
(5.28)
Für den Betrag der elektrischen Verschiebungsdichte D gilt beim Plattenkondensator folgender
Zusammenhang mit der Flächenladungsdichte σ:
D=
5.1.8
Q
=σ
A
(5.29)
Der elektrische Strom
Wenn elektrische Ladungen (Elektronen, Ionen) durch einen elektrischen Leiter fließen, so entsteht
ein elektrischer Strom. Dieser ist definiert durch die fließende Ladung pro Zeiteinheit:
I=
∆Q
Q
=
t
∆t
(5.30)
Die elektrische Stromdichte j durch einen Leiter mit der Querschnittsfläche A ist also gegeben
durch:
I
j=
(5.31)
A
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
79
Abbildung 5.7: Plattenkondensator mit Dielektrikum
Wir betrachten einen stromdurchflossenen Leiter der Querschnittsfläche A. Wenn am Ladungstransport n Ladungsträger (mit Ladung q) pro Volumeneinheit beteiligt sind, die sich alle mit
einer mittleren Geschwindigkeit v in dieselbe Richtung durch den Leiter bewegen, dann ergibt sich
der Gesamtstrom
I =A·n·q·v =A·j
(5.32)
5.1.9
Das Ohmsche Gesetz
Besteht zwischen den Enden eines Leiters der Länge ` eine Potentialdifferenz ∆ϕ (wird also an
einen Leiter eine Spannung U angelegt), dann erfahren die freien Ladungsträger eine elektrische
Kraft und erzeugen durch ihre Bewegung durch den Leiter einen elektrischen Strom I. Diese Bewegung durch den Leiter erfolgt nicht völlig ungehindert. Abhängig von den Materialeigenschaften
des Leiters stoßen die fließenden Ladungsträger mit den Atomen oder mit anderen Ladungsträgern
zusammen, was die Bewegung hemmt. Jeder normale Leiter besitzt also einen gewissen elektrischen Widerstand R. In vielen praktischen Fällen ist dieser Widerstand annähernd konstant. Dann
fließt natürlich umso mehr Strom, je größer die angelegte Spannung ist:
U =R·I
(5.33)
Dieser Zusammenhang wird als Ohm’sches Gesetz bezeichnet. Gehorcht ein Widerstand diesem
Gesetz, spricht man von einem ohm’schen Widerstand. Der Kehrwert des elektrischen Widerstandes ist der elektrische Leitwert G:
1
G=
(5.34)
R
Für die Einheiten gilt:
V
= Ω (Ohm)
[R] =
A
1
A
=
= S (Siemens)
[G] =
V
Ω
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
80
Abbildung 5.8: Reihenschaltung von Widerständen
Abbildung 5.9: Parallelschaltung von Widerständen
5.1.10
Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen
Analog zu den Regeln in Reihen- und Parallelschaltung von Kondensatoren, kann man auch Regeln
für die Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen erstellen.
5.1.10.1
Reihenschaltung von Widerständen
Schaltet man zwei Widerstände in Serie (siehe Abbildung 5.8), so addieren sich die Widerstände
zum Gesamtwiderstand:
U = R1 · I + R2 · I ⇒ Rges = R1 + R2
(5.35)
5.1.10.2
Parallelschaltung von Widerständen
Schaltet man zwei Widerstände parallel (siehe Abbildung 5.9), so addieren sich die Kehrbrüche
zum Kehrbruch des Gesamtwiderstandes.
U = R1 · I1 = R2 · I2
U1
U2
U
= I1 + I2 =
+
R
R1
R2
1
1
1
=
+
⇒
Rgesamt
R1
R2
⇒ Iges =
(5.36)
(5.37)
(5.38)
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
81
Abbildung 5.10: Beispielhafter Stromkreis zur Herleitung der Kirchhoffschen Regeln
5.1.11
Die Kirchhoffschen Regeln
Aus den Regeln für Parallel-und Reihenschaltung kann man nun die Kirchhoffschen Regeln herleiten. Wir betrachten hierzu einen Stromkreis wie in Abbildung 5.10 gezeigt.
5.1.11.1
Knotenregel
Als Knotenpunkt in einem Stromkreis bezeichnen wir eine Stelle, an der mindestens zwei Leitungen
aufeinandertreffen. In Abbildung 5.10 ist das an der Stelle 1, 2, 3 oder 4 der Fall. Auf Grund der
Ladungserhaltung (Ladungen können nicht einfach aus einem Stromkreis heraus verschwinden
oder aus dem Nichts erzeugt werden) können wir sofort die Knotenregel formulieren:
An einem Knotenpunkt muss die Summe der zufliessenden Ströme gleich der Summe der abfliessenden Ströme sein.
X
X
Ii,zufliessend =
Ik,abfliessend
(5.39)
i
k
Üblicherweise definiert man die Stromrichtung als positiv, in der eine positive Ladung sich bewegen
würde, also von dem positiven Pol einer Spannungsquelle zum negativen Pol (dies ist natürlich eine
willkürliche Definition). Ebenso können wir an einem Knotenpunkt beispielsweise die zufließenden
Ströme positiv, und die abfließenden Ströme negativ zählen. Dann lässt sich die Knotenregel für
einen Knoten, an dem n Ströme zu- und abfließen schreiben als:
X
In = 0
(5.40)
n
5.1.11.2
Maschenregel
Als Masche (oder Schleife) bezeichnen wir einen beliebigen Weg durch einen Stromkreis, der an
derselben Stelle (also auf dem selben Potential) beginnt und endet. Wir betrachten also die Spannungen, die auf einem geschlossenen Weg durch einen Stromkreis an den verschiedenen Elementen
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
82
abfallen oder von diesen Elementen erzeugt werden. Wiederum wählen wir als willkürliche Definition solche Spannungen positiv, die an Widerständen abfallen, und solche Spannungen negativ,
die von Spannungsquellen erzeugt werden. Da eine Masche auf gleichem Potential beginnt und
endet, können wir als Maschenregel schreiben:
X
Un = 0
(5.41)
n
Die Summe aller Teilspannungen in einer Masche muss gleich Null sein.
Nach dem Ohmschen Gesetz berechnen sich hierbei diejenigen Spannungen Ui , die an Widerständen Ri abfallen, durch welche ein Strom Ii fließt zu:
Ui = Ri · Ii
(5.42)
In Abbildung 5.10 sind die Wege 1-2-4 oder auch 1-3 Beispiele für Maschen.
Beispiel zu den Regeln
1. Maschenregel
UV = U2 ⇒ RV · IV = R2 · I2
(5.43)
Auflösen nach I2 ergibt
I2 = IV ·
RV
R2
(5.44)
2. Knotenregel
µ
I1 = I2 + IV = IV ·
Noch eine Masche
RV
+1
R2
¶
(5.45)
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
83
U = R1 · I1 + R2 · I2
·
µ
⇒ U = IV · R1 ·
¶
¸
RV
+ 1 + RV
R2
(5.46)
(5.47)
Setzt man foldende Werte ein: U=10 V; R1 =90 Ω, R2 =11 Ω, RV = 100 Ω
Sso ergeben sich folgende Endresultate:
IV = 10 mA; I1 =100 mA; I2 =90 mA
5.1.12
Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit
Der Widerstand R hängt für viele Leiter nicht vom Strom ab, der durch diesen Widerstand fließt.
Solche Leiter heißen Normalleiter und gehorchen dem Ohmschen Gesetz. Experimentelle Beobachtungen zeigen weiter, daß der Widerstand immer linear mit der Länge ` eines Leiters zunimmt
und sich umgekehrt proportional zu der Querschnittsfläche A verhält:
R=ρ·
`
A
(5.48)
Hier nennt man die Proportionalitätskonstante ρ den spezifischen Widerstand. Er ist nur vom
Material eines Leiters und dessen Temperatur abhängig. Die spezifische Leitfähigkeit σ ist der
Kehrbruch zum spezifischen Widerstand (vgl. Leitfähigkeit - Widerstand)
σ=
5.1.12.1
1
ρ
(5.49)
Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands
Der spezifische Widerstand hängt von der Art des Leiters ab. Im Metall z.B. hat man immer
freie Elektronen zum Stromtransport zur Verfügung; im Halbleiter hängt die Elektronendichte
stark von der Temperatur ab. Damit kann auch der spezifische Widerstand von der Temperatur
abhängen. Die allgemeine Formel zur Berechnung des spezifischen Widerstands bei Temperatur T
lautet:
ρ(T ) = ρ(T0 ) · [1 + α (T − T0 )]
(5.50)
Hier ist α ein Temperaturkoeffizient der vom Leitermaterial abhängt.
Reine Metalle sind die besten Stromleiter die wir kennen. Die Leitung erfolgt hierbei durch bewegliche Elektronen, die von den an den Gitterplätzen fest gebundenen Ionen abgegeben werden.
Dies führt zu einer außerordendlich großen Dichte von freien Elektronen, die zur Stromleitung zur
Verfügung stehen.
Isolatoren sind meist Stoffe, die aufgrund chemischer Bindungen nur voll besetzte Elektronenschalen aufweisen. Um ein Elektron aus einer vollen Schale zu befreien, und damit der Stromleitung
zuzuführen, bedarf es einer vergleichsweise hohen Energie. Daher muß man bei Isolatoren schon
sehr hohe Spannungen anlegen, bevor ein Stromfluß zustande kommt.
Im Gegensatz zu Metallen sinkt bei Halbleitern das Leitvermögen mit sinkender Temperatur,
so daß sie bei tiefen Temperaturen als gute Isolatoren betrachtet werden können. Die Ursache
hierfür liegt in der mit der Temperatur rasch fallenden freien Ladungsträgerdichte, die bei Metallen annähernd konstant bleibt. Die halbleitenden Elemente Ge und Si, sowie die halbleitenden
Verbindungen aus Elementen der III. und V. Spalte des periodischen Systems der Elemente (etwa
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
84
InSb oder GaAs) bilden die wohl wichtigsten Materialien für die moderne Informationstechnik.
In Halbleitern lässt sich das Leitvermögen durch Dotieren mit Fremdatomen um viele Größenordnungen bis hin zu metallischen Werten erhöhen.
In einer großen Zahl von Metallen und Metall-Legierungen bricht bei hinreichend tiefer Temperatur der elektrische Widerstand plötzlich ganz zusammen. Diese Erscheinung der Supraleitung
wurde 1911 von dem holländischen Physiker Kamerling-Onnes zum ersten Mal an Quecksilber bei
4.2 K beobachtet. Inzwischen sind viele weitere supraleitende metallische Legierungen entdeckt
worden, ohne daß man bis heute klar voraussagen kann, welches Metall supraleitend sein soll und
welches nicht. In der Theorie wird die Supraleitung meist als Phasenübergang eines Quantengases von Elektronenpaaren beschrieben, worauf hier aber nicht näher eingegangen werden soll. Für
praktische Anwendungen und industrielle Lösungen sind Supraleiter mit hoher Sprungtemperatur,
die auch bei hohen Strömen diese Eigenschaft nicht verlieren, besonders interessant.
5.1.12.2
Die differenzielle Form des Ohmschen Gesetzes
Bis jetzt wurde nur die integrale Form des Ohmschen Gesetzes betrachtet. Oft ist es aber nötig, mit
der differenziellen Form zu rechnen. Diese lässt sich aus den bisher eingeführten Formeln schnell
herleiten. Aus I = U/R folgt nämlich mit Hilfe von Gleichung 5.48
I
1 U
= ·
A
ρ `
oder mit Gleichung 5.6
5.1.13
~
~ = σ · E
(5.51)
Elektrische Leistung
Wenn sich ein Ladungsträger mit der Ladung q in einem elektrischen Feld bewegt und dabei
insgesamt eine Potentialdifferenz bzw. Spannung U durchquert, so leistet das elektrische Feld an
der Ladung die Arbeit
W =q·U
(5.52)
Wenn ein Strom I durch einen Widerstand R fließt, laufen insgesamt
I=
dq
dt
(5.53)
Ladungen pro Zeiteinheit durch dieselbe Potentialdifferenz, so daß das elektrische Feld pro Zeiteinheit die Arbeit
dW
=P =U ·I
(5.54)
dt
an den Ladungsträgern leistet. Für die an einem ohmschen Widerstand abgegebene elektrische
Leistung P gilt insbesonders:
U2
P = U · I = I2 · R =
(5.55)
R
Diese den Ladungsträgern pro Zeiteinheit zugeführte Energie verlieren sie wieder durch Stöße mit
ihrer Umgebung, so daß sich durch einen Strom im allgemeinen die ungeordnete kinetische Energie
und damit die Temperatur im Widerstand erhöht.
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
85
Abbildung 5.11: Stromleitung im Elektrolyten
5.1.14
Faraday-Gesetz
Wir betrachten die Stromleitung in einem Elektrolyten, wie in Abbildung 5.11 gezeigt.
Reines, destilliertes Wasser besitzt eine sehr geringe Leitfähigkeit. Löst man dagegen ein Salz
(NaCl) darin auf oder schüttet Säure hinzu, so steigt die Leitfähigkeit stark an. Es gibt viele
experimentelle Hinweise darauf, daß der Ladungstransport in einem Elektrolyten immer mit einem
Materialtransport verbunden ist. So findet man beim Stromdurchgang durch einen Elektrolyten
eine räumliche Trennung der positiv und negativ geladenen Ionen des gelösten Salzes: Die positiven
Ionen (Kationen) wandern zur Kathode, die negativen Anionen zur Anode, was man oft an einem
Niederschlag auf der entsprechenden Elektrode erkennt. Diese Beobachtungen legen den Schluß
nahe, daß die elektrostatische Bindung zwischen den Ionen eines Moleküls (Na+ Cl− ) bei der
Lösung in Wasser aufgebrochen wird, so daß das positive Ion (Na+ ) und das negative Ion (Cl− )
im elektrischen Feld in entgegengesetzten Richtungen wandern können.
Die an den Elektroden beim Stromdurchgang durch den Elektrolyten abgeschiedene Menge eines Elements wächst proportional mit der transportierten Ladung. Bei einer Ladungsmenge von
Q = 96485 C wird unabhängig von der Art des Elements genau 1 Mol einer einwertigen Substanz
bzw. der p-te Teil eines Mols einer p-wertigen Substanz abgeschieden. Dies ist das sogenannte
Faraday-Gesetz der Elektrolyse. Da 1 Mol einer Substanz genau NA Atome bzw. Moleküle entsprechen, ist die pro Atom aufgewendete Ladungsmenge gerade ein ganzzahliges Vielfaches der
Elementarladung:
Q
96485 C
q=
=p·
=p·e
(5.56)
NA /p
NA
Diese Beobachtungen, die auf Faraday zurückgehen, zeigen, daß jedes Ion eine seiner chemischen
Wertigkeit p entsprechende Zahl von Elementarladungen trägt. Das Faraday-Gesetz verbindet zwei
wichtige Größen miteinander, die Avogadro-Konstante und die Elementarladung.
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
86
Abbildung 5.12: Richtung der Lorenz-kraft
5.2
Magnetostatik
In der Magnetostatik werden zeitlich konstante Magnetfelder und magnetische Erscheinungen behandelt, die von Permanentmagneten oder stationären Strömen hervorgerufen werden. Magnete
gibt es grundsätzlich nur als Dipole. Monopole wie einzelne Ladungen in der Elektrostatik existieren nicht. Jeder Magnet hat zwei verschiedene Pole, einen Nord- und einen Südpol. Genau gleich
wie in der Elektrostatik die Ladung, so stoßen sich in der Magnetostatik gleichnamige Pole ab und
ungleichnamige Pole ziehen sich an.
5.2.1
Lorentz-Kraft
~ bewegen, wirkt eine
Auf Ladungen q, die sich mit einer Geschwindigkeit ~v in einem Magnetfeld B
Kraft, die sogenannte Lorentzkraft. Sie hängt ab von der Ladung, der Geschwindigkeit und unter
~ v und F~ aufeinander
welchem Winkel sie zum Magnetfeld bewegt wird. Im Idealfall stehen B,~
senkrecht (Drei-Finger-Regel, siehe Abbildung 5.12)
Es gilt:
~ = q · v · B · sin α
F~ = q · ~v × B
(5.57)
Stärke und Richtung eines Magnetfeldes kann also an jeder Stelle des Raumes durch die Messung
der Lorentz-Kraft für ein bekanntes q und ~v experimentell bestimmt werden. Die Einheit des
~ ist [B] = T = Vs/m2 .
magnetischen Feldes (genauer gesagt der magnetischen Flußdichte) B
Die magnetischen Feldlinien sind stets ringförmig geschlossen. Im Gegensatz zu elektrischen Feldlinien besitzen sie daher weder Anfang noch Ende. Alle Versuche ”magnetische Ladungen” zu
finden, aus denen Feldlinien herausquellen, sind bisher ergebnislos verlaufen. Magnetische Felder
sind stets quellenfreie Wirbelfelder.
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
87
Abbildung 5.13: Schematische Darstellung einer Hall-Sonde
5.2.2
Hall-Effekt
Wir haben bereits gesehen, daß man mit Hilfe von geladenen, sich bewegenden Teilchen die Stärke
eines Magnetfeldes ausmessen kann. Dies wird auch für praktische Anwendungen genutzt. Man
könnte sich zum Beispiel überlegen, einen stromdurchflossenen Draht in ein Magnetfeld zu bringen,
um die Kraft zu Messen, die auf die sich durch den Leiter bewegenden Elektronen einwirkt.
Betrachten wir also einen Draht der Länge `, in dem ein Strom I fließt und der senkrecht zu einem
~ orientiert ist. Die Lorentz-Kraft, welche auf ein solches Leiterelement einwirkt, ist
Magnetfeld B
~
F~ = n · A · ` · q · ~v × B
(5.58)
In diesem Ausdruck ist n die Zahl der Ladungsträger q pro Volumeneinheit, und ~v ihre Driftgeschwindigkeit durch den Leiter. Mit dem vektoriellen Strom I~ = nAq~v ergibt sich für die Kraft
auf den Draht:
´
³
~ ·`
(5.59)
F~ = I~ × B
Wenn der Strom senkrecht zum Magnetfeld fließt, ist der Betrag dieser Kraft F = I`B. Direkte
Kraftmessung wird aber in der Praxis eher selten zur Bestimmung der Magnetfeldstärke benutzt,
da es schwierig ist sehr kleine Kräfte sauber zu messen.
Wie aber wirkt sich ein äußeres Magnetfeld auf die Verteilung der Ladungsträger im Inneren eines
Leiter aus ? Betrachten wir hierzu Abbildung 5.13.
An einem dünnen Silberplättchen wird ein Strom angelegt. Gleichzeitig wird senkrecht zu dem
Plättchen eine Magnetfeld angelegt. Jetzt kann man senkrecht zum Strom und zum Magnetfeld
eine Spannung abgreifen, die Hallspannung.
Im Plättchen geschieht nämlich folgendes: Die bewegten Ladungen (Elektronen) werden durch
das Magnetfeld abgelenkt und an die eine Seite hin beschleunigt. Auf einer Seite herrscht also
ein Überschuß an negativen Ladungsträgern, auf der anderen Seite ein Mangel. Durch diese lokale
Störung der Ladungsneutralität entsteht ein elektrisches Feld E im Leiter, welches versucht, die
Ladungsneutralität wieder herzustellen. Also wird sich sehr schnell ein Gleichgewicht einstellen
zwischen Lorentz-Kraft und rücktreibender elektrischer Kraft. Somit kann zwischen den Seiten der
Hall-Sonde eine statische Spannung gemessen werden, die Hallspannung. Nach kurzer Rechnung,
auf die hier verzichtet wird, ergibt sich für diese der Ausdruck:
UH = AH ·
I ·B
d
(5.60)
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
88
Hierbei ist AH ist die Hallkonstante, welche vom Material des Leiters abhängt und d die Dicke der
Hall-Sonde.
5.2.3
Das Amperesche Gesetz
Ähnlich wie beim elektrischen Feld, wollen wir zur quantitativen Beschreibung der Eigenschaften
des magnetischen Feldes den magnetischen Fluß betrachten. Den Fluß Φ eines magnetischen Feldes
durch eine Fläche A wollen wir analog zu dem des elektrischen Feldes definieren:
Z
~ · dA
~
Φ=
B
(5.61)
A
Aus der Tatsache, daß die magnetischen Feldlinien stets ringförmig geschlossen sind, folgt, daß der
Fluß des Magnetfeldes aus einer geschlossenen Fläche A heraus stets Null sein muß: Magnetfelder
sind quellenfrei. Also gilt immer:
I
~ · dA
~=0
B
(5.62)
A
Betrachten wir nun noch eine andere Größe eines Vektorfeldes, die sogenannte Zirkulation. Sie ist
definiert als das Linienintegral einer geschlossenen Kurve im Vektorfeld.
Im Falle des elektrischen Feldes ergibt sich für die Zirkulation:
I
~ · d~s = 0
E
(5.63)
C
Die Zirkulation des elektrischen Feldes ist immer gleich Null. Das elektrische Feld ist also wirbelfrei.
Oder anders ausgedrückt: Eine Probeladung, die längs eines geschlossenen Weges im Feld einer
elektrischen Punktladung bewegt wird, leistet insgesamt keine Arbeit.
Als Nächstes
betrachten wir die Zirkulation des Magnetfeldes, die analog definiert ist als LinienH
~ · d~s über einen geschlossenen Integrationsweg.
integral B
OhneH Herleitung ergibt sich für das magnetische Feld das Amperesche Gesetz: Das Linieninte~ · d~s über einen beliebigen, geschlossenen Integrationsweg C ist gleich µ0 mal dem vom
gral B
Integrationsweg eingeschlossenen Strom I:
I
~ · d~s = µ0 · I
B
(5.64)
C
Hierbei ist µ0 die magnetische Feldkonstante:
µ0 = 4 · π · 10−7
V·s
A·m
~
Ein Stromfluß führt also zu einem Magnetfeld, genauer gesagt zu einer magnetischen Erregung H.
~
~
Der Zusammenhang zwischen der magnetischen Flußdichte B und der Erregung H im Vakuum
ist:
~ = µ0 · H
~
B
(5.65)
Also lässt sich das Amperesche Gesetz auch schreiben als:
I
~ · d~s = I
H
(5.66)
C
Für einen stromdurchflossenen Leiter kann man mit Hilfe der Rechten-Hand-Regel die Orientierung
des Magnetfeldes erkennen. Die Feldlinien sind konzentrische Kreise senkrecht zur Leiterachse
(siehe Abbildung 5.14).
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
89
Abbildung 5.14: Rechte-Hand-Regel
5.2.3.1
Magnetfeld eines stromdurchflossenen Drahtes
Wir betrachten einen stromdurchflossenen Draht mit Drahtradius d und wenden das Amperesche
Gesetz an. Hierbei müssen wir zwei Fälle unterscheiden:
Im Draht ergibt das Amperesche Gesetz, wenn wir über einen Kreis mit Radius r ≤ d integrieren:
B(r) · 2πr = µ0 · I ·
r2
d2
Hierbei haben wir angenommen, daß die Stromdichte über den ganzen Drahtquerschnitt
konstant ist. Daraus folgt für das Magnetfeld im inneren des Drahtes:
B(r) =
µ0 I
·r
2πd2
(5.67)
Die Feldstärke verschwindet also in der Mitte des Drahtes (r = 0) und nimmt nach außen
hin (r ≤ d) linear mit r zu.
Außerhalb des Drahtes ergibt die Integration:
B(r) · 2πr = µ0 I
Oder umgestellt:
µ0 I 1
·
2π r
Außerhalb des Drahtes fällt das Magnetfeld also mit 1/r ab.
B(r) =
(5.68)
Betrachten wir nun zwei parallele Drähte mit Abstand r, in denen die Ströme I1 und I2 fließen.
Jeder Draht befindet sich nun im Magnetfeld des jeweils anderen Drahtes. Somit erfahren die
Ladungsträger in beiden Drähten eine Lorentzkraft. Man kann sich leicht überlegen, daß die Drähte
sich anziehen, wenn beide Stromrichtungen parallel sind, und daß sie sich abstoßen, wenn die
Stromrichtungen antiparallel sind. Für die Kraft F , die pro Leiterlänge ` auf die Drähte wirkt
ergibt sich aus der Definition der Lorentzkraft sofort:
µ0 I1 I2
F
=
·
`
2π
r
(5.69)
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
90
Abbildung 5.15: Magnetfeld einer Leiterschleife
Abbildung 5.16: Magnetfeld einer langen Zylinderspule
5.2.3.2
Magnetfeld einer kreisförmigen Leiterschleife
Fliesst ein Strom in einer kreisförmigen Leiterschleife, so richtet sich das Magnetfeld senkrecht im
Sinne der Rechten-Hand-Regel aus (siehe Abbildung 5.15).
Im Mittelpunkt der Leiterschleife gilt dann:
I
2·R
(5.70)
A·I
2 · π · r3
(5.71)
B = µ0 ·
Außerhalb in großem Abstand gilt auf der Achse:
B = µ0 ·
Hierbei sind:
R: Radius der Leiterschleife
A: Fläche der Schleife
r: Abstand von der Schleife
5.2.3.3
Magnetfeld im Inneren einer langen Zylinderspule
In einer stromdurchflossenen langen Zylinderspule bildet sich in erster Näherung ein homogenes
Magnetfeld aus (siehe Abbildung 5.16):
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
91
Anwenden des Ampereschen Gesetzes ergibt für das Magnetfeld im Spuleninneren:
B = µ0 ·
N ·I
`
(5.72)
Hierbei sind:
N : Windungszahl
I: Spulenstrom
`: Spulenlänge
Außerhalb der Zylinderspule ist das Magnetfeld identisch mit dem, eines entsprechend langen
Stabmagneten.
5.2.4
Induktionserscheinungen
Bisher haben wir die Erzeugung magnetischer Felder durch Ströme kennengelernt. Nun wollen
wir uns mit der umgekehrten Frage beschäftigen: Kann man mit Hilfe von Magnetfeldern Ströme
erzeugen ? Faraday konnte als erster 1831 demonstrieren, daß ein sich zeitlich ändernder magnetischer Fluß, z.B. durch eine Spule, eine elektrische Spannung in der Spule hervorruft. Solche
Vorgänge nennt man Induktion.
Bei allen Induktionsvorgängen gilt die Lenz’sche Regel: Die durch Induktionsvorgänge entstehenden elektrischen Felder, Ströme und Kräfte behindern stets den die Induktion eingeleiteten
Vorgang.
Eine Flußänderung in einer Spule mit N Windungen führt zu einer Induktionsspannung:
Uind = −N ·
dΦ
dt
(5.73)
Induktionsvorgänge haben in der Technik weitreichende Anwendungsmöglichkeiten, etwa vom
Transformator bis hin zu Wirbelstrombremsen oder dem scheinbar schwebenden Transrapid.
5.2.4.1
Selbstinduktivität
Nach der bisherigen Diskussion könnte der Eindruck entstehen, daß eine Induktionsspannung, etwa
in einer Drahtschleife oder Spule, nur dann auftritt, wenn der sich zeitlich ändernde magnetische
Fluß Φ von außen erzeugt wird. Diese Einschränkung ist jedoch unnötig. In diesem Abschnitt
wollen wir zeigen, daß das Induktionsgesetz auch auf den Fall angewendet werden kann, in dem
eine Drahtschleife den magnetischen Fluß, bzw. die Änderung des Flusses selbst erzeugt.
Da das von einem Strom erzeugte Magnetfeld und somit bei konstantem Querschnitt A auch
der Fluß Φ nach Gleichung 5.61 immer linear vom erzeugenden Strom abhängen, tritt nach dem
Induktionsgesetz in einer Stromschleife immer dann eine induzierte Spannung auf, wenn sich der
magnetische Fluß Φ, d.h. wenn sich der Strom I, der den Fluß erzeugt, ändert. Da also Φ ∝ I gilt,
können wir schreiben:
dI
dΦ
= −L ·
(5.74)
Uind = −
dt
dt
Das negative Vorzeichen drückt aus, daß die Induktionsspannung einer Stromänderung entgegenwirkt. Die Proportionalitätskonstante L heißt Selbstindutivität oder auch kurz Induktivität. Ihr
Wert hängt nur von der Geometrie der Stromschleife ab. Die Einheit von L wird in Henry (H)
gemessen: [L] = Vs/A = H.
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
92
Eine selbstinduzierte Spannung bei einer Spule tritt z.B. immer dann auf, wenn man den Strom einoder ausschaltet. Dann ist naturgemäß dI/dt und daher auch die Induktionsspannung besonders
groß.
5.2.4.2
Induktivität einer langen Spule
Für einen gegebenen Strom I beträgt nach Gleichung 5.72 das Feld im Inneren einer langen Spule
mit Windungszahl N und der Länge `: B = µ0 IN/`. Somit ist der Fluß durch die Querschnittsfläche A jeder Windung:
A·N
·I
Φ = B · A = µ0 ·
`
Die pro Windung induzierte Spannung ist −dΦ/dt, und über die ganze Spulenlänge summiert
ergibt sich deshalb:
dΦ
A · N 2 dI
dI
Uind = −N ·
= −µ0 ·
·
= −L ·
dt
`
dt
dt
Die Selbstinduktivität L einer Spule ist also:
L=
µ0 · A · N 2
`
(5.75)
Sie wächst quadratisch mit der Windungszahl der Spule an, da die Flußänderung jeder Windung
in jeder anderen eine Spannung induziert.
5.2.5
Materie im Magnetfeld
Welche Kräfte im Magnetfeld auf bewegte Ladungen ausgeübt werden, haben wir bereits in den
vorherigen Abschnitten beschrieben. Hier wollen wir zeigen, daß auch elektrisch neutrale Materie,
wie z.B. Atome oder Kristalle, eine Wechselwirkung mit dem Magnetfeld zeigen, nämlich dann,
wenn die Materie im Feld ein magnetisches Dipolmoment besitzt.
Ein Dipolmoment tritt immer dann auf, wenn es Kreisströme gibt. Betrachten wir also einen Strom
I, der auf einem Kreis mit Fläche A fließt, so ist das magnetische Moment definiert als:
m
~ = I · A · ~e⊥
(5.76)
Hierbei ist ~e⊥ der Einheitsvektor, der senkrecht auf der Kreisfläche A steht.
Kreisströme treten in Atomen immer auf. Das Elektron als Träger einer Elementarladung kreist
um den Kern, und besitzt zusätzlich noch eine Eigendrehung, den Spin. Je nachdem, wie sich diese
verschiedenen Momente in einem Atom abhängig von der Elektronenkonfiguration addieren, gibt
es Elemente die natürlicherweise ein Dipolmoment besitzen.
Bringen wir Atome mit einem magnetischen Dipolmoment m
~ in ein homogenes Magnetfeld, so
tritt eine partielle Ausrichtung der Dipolachsen zum Feld auf. Ein Dipol der parallel zum Feld
~ leisten,
orientiert ist besitzt ja die geringste potentielle Energie. Man muß also die Arbeit m
~ ·B
wenn man die Dipolachse aus der parallelen Lage senkrecht zum Feld drehen will. Abhängig von
der Temperatur eines Stoffes besitzen die Atome eine thermische Energie, welche diese Arbeit
unter Umständen leisten kann.
Alle Substanzen, in denen der Grad der atomaren Orientierung mit wachsendem Feld B und der
reziproken Temperatur 1/T zunimmt, nennt man paramagnetische Substanzen. Die Voraussetzung
für paramagnetisches Verhalten ist eine hinreichend kleine magnetische Wechselwirkung zwischen
den einzelnen Dipolen, so daß die Wechselwirkungsenergie sehr viel kleiner ist als die thermische
Energie der magnetischen Dipole.
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
93
Alle Substanzen, die eine solche Orientierung mit zunehmendem Feld und fallender Temperatur
nicht zeigen, nennt man diamagnetisch.
Wird die Wechselwirkung zwischen benachbarten magnetischen Atomen sehr groß, wie dies z.B.
beim Eisen der Fall ist, wird die parallele Ausrichtung aller magnetischen Dipole in makroskopischen Bereichen durch diese sogenannte Austausch-Wechselwirkung erzwungen, selbst ohne
ein äußeres Feld. Solche makroskopischen Bereiche (die im Eisen größenordnungsmäßig 0.01 mm
Durchmesser haben) nennt man Weißsche Bezirke. Erst beim Überschreiten einer charakteristischen Temperatur, der sogenannten Curie-Temperatur bricht die spontane Kopplung und Ausrichtung aller magnetischen Dipole auf, und das Material wird paramagnetisch. Dieses Verhalten wird
nicht nur beim Eisen beobachtet, sondern auch bei vielen anderen Stoffen, die man ferromagnetisch
nennt.
Wir wollen uns jetzt überlegen, was geschieht, wenn man ein paramagnetisches oder ferromagnetisches Material in eine langgestreckte, stromdurchflossene Spule bringt. Wir wollen insbesonders
diskutieren, wie das magnetische Feld im Inneren der Spule durch die magnetischen Dipolfelder
des eingebrachten Materials verändert wird.
Wir betrachten also eine langgestreckte Spule mit n Windungen pro Längeneinheit und mit einer
Querschnittsfläche A. Ein Strom I erzeugt im Inneren der zunächst leeren Spule ein homogenes magnetisches Feld der Größe B0 = µ0 nI. Sobald wir nun das Innere der Spule mit einem
magnetischen Material ausfüllen, wird das Magnetfeld B durch die Gegenwart der Dipolfelder
einen von B0 abweichenden Wert erreichen. Experimentell kann man feststellen, daß für para- und
ferromagnetische Stoffe in der Spule das Feld B immer größer ist als B0 .
Wie können wir uns das erklären ? Unter den Einfluß des axialen homogenen Magnetfeldes der
Spule zeigen die atomaren magnetischen Dipole des Materials ebenfalls eine axial gerichtete Vorzugsrichtung. Dies führt zu einer sogenannten Magnetisierung des Materials. Wir definieren also
~:
den Magnetisierungsvektor M
~ = magnetischesMoment
M
Volumen
(5.77)
~ gibt die Orientierung des gesamten magnetischen Moments im Volumen V
Die Richtung von M
an.
Diese Magnetisierung des Materials addiert sich zum Magnetfeld B0 einer Luftspule wie folgt:
~ =B
~ 0 + µ0 · M
~
B
(5.78)
~ 0 als das magnetisierende Feld bezeichnen. Es hängt nur vom Strom durch die Spule
Wir wollen B
~ eines para- oder ferromagnetischen Stoffes sind, wie wir gesehen
ab. Für die Magnetisierung M
~
haben, permanente atomare magnetische Momente verantwortlich, die sich im Feld ausrichten. M
~ 0.
liegt daher für diese Stoffe parallel zu B
Für paramagnetische Stoffe nimmt die Magnetisierung linear mit dem Feld zu. Das Verhältnis
µ0 · M/B bezeichnet man als magnetische Suszeptibilität χ. Also gilt:
~ =χ·B
~
µ0 · M
(5.79)
~ mit der magnetischen
Schreibt man diese Gleichung statt mit der magnetischen Flußdichte B
~
Erregung H erhält man:
~ =χ·H
~
M
(5.80)
Wir definieren eine weitere Größe, die magnetische Polarisation J~ als:
~
J~ = χ · µ0 H
(5.81)
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
94
Abbildung 5.17: Hysteresekurve eines Ferromagnetikums
Dann erhält man für die magnetische Flußdichte in einer Spule mit paramagnetischem Material:
³
´
~ =B
~ 0 + J~ = µ0 H
~ +M
~
B
(5.82)
Betrachten wir nun noch die Magnetisierung einer ferromagnetischen Probe. In einem solchen
Material sind die atomaren magnetischen Dipole parallel ausgerichtet. Die Magnetisierung ergibt
sich dann einfach zu:
~ =n·m
M
~
(5.83)
Hierbei ist n die Zahl der Dipole pro Volumeneinheit und m
~ das atomare magnetische Dipolmoment. Diese Magnetisierung ist spontan, d.h. sie tritt auch ohne ein äußeres Feld auf, wie sie bei
jedem Permanentmagneten beobachtet wird.
Auch in einer Eisenprobe, die nicht magnetisch ist, ist diese spontane Magnetisierung bei Raumtemperatur vorhanden. Sie wird jedoch makroskopisch nicht beobachtet, da die atomaren Elementarmagnete nur in den Weißschen Bezirken parallel angeordnet sind. Diese Bezirke sind in einer
nicht magnetisierten Eisenprobe gerade so statistisch orientiert, daß die Gesamtmagnetisierung
verschwindet. Erst bei Anlegen eines äußeren Magnetfeldes ist eine makroskopische Magnetisierung der Eisenprobe zu beobachten, da die Weißschen Bezirke, deren spontane Magnetisierung
parallel zum äußeren Feld liegt, auf Kosten der anderen wachsen. Bei genügend hohem äußeren
Feld nähert sich die Magnetisierung der Probe einem Maximalwert an, d.h. in diesem Fall sind
alle atomaren magnetischen Momente der Probe parallel ausgerichtet. Dies bedeutet, daß für Ferromagnetika die Magnetisierung nicht proportional zu B0 ist, d.h. die Suszeptibilität χ ist im
Unterschied zu paramagnetischen Proben eine Funktion von B0 beziehungsweise vom Magnetfeld
der Luftspule H.
In Abbildung 5.17 ist die Funktion B(H), die sogenannte Magnetisierungskurve, eines Ferromagnetikums dargestellt. Geht man von einer nicht magnetisierten Probe aus, so bewegt man sich
bei Erhöhung des magnetisierenden Feldes H längs der sogenannten Neukurve und erreicht bei
großen Feldern eine Sättigungsmagnetisierung. Verringert man nun wieder das äußere Feld H, so
folgt man nicht mehr der Neukurve, sondern einer höher liegenden Kurve. Insbesonders bleibt für
KAPITEL 5. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
95
H = 0 eine Restmagnetisierung, die sogenannte Remanenz, erhalten, die erst durch ein bestimmtes, entgegengesetzt gerichtetes Feld Hc , das man als Koerzitivkraft bezeichnet, zum Verschwinden
gebracht werden kann. Dieses ”Nachhinken” des Magnetfeldes hinter dem magnetisierendem Feld
führt zu der beobachteten Hytereseschleife.
Kapitel 6
Optik
Das wohl wichtigste Wahrnehmungsorgan des Menschen ist das Auge. Es erlaubt ihm, seine Umgebung zu sehen. Dieser Sehvorgang und die Eigenschaften des beteiligten Lichtes haben seit dem
Altertum die Neugierde der Menschen erregt. Die Optik, die Lehre vom Licht, wurde aus dieser
Neugierde heraus entwickelt. Von unserer Kenntnis der Elektrodynamik wissen wir heute, daß
Licht eine elektromagnetische Welle ist. Dabei besitzt das für den Menschen sichtbare Licht Frequenzen in einem schmalen Spektralbereich (siehe Abbildung 6.1). Das für das Auge sichtbare
Licht erstreckt sich vom tief Dunkelroten bei einer Frequenz von etwa f = 385 THz über das Rote,
Gelbe, Grüne, Blaue, bis hin zum Violetten bei f = 770 THz.
In der Praxis ist jedoch die Optik nicht auf den Bereich des sichtbaren Lichtes eingeschränkt.
Die Gesetzmäßigkeiten der Optik sind bei höheren Frequenzen bis weit in den Röntgenbereich
anwendbar (f ≈ 1019 Hz). Bei niedrigen Frequenzen erstreckt sich eine sinnvolle Anwendung bis
in den Radiofrequenzbereich.
6.1
Die Geometrische Optik
In der geometrischen Optik wird die Ausbreitung von Licht in Form von Strahlen (Strahlenoptik)
behandelt. Dabei sind die Grundgesetze der geometrischen Optik die geradlinige Ausbreitung
in homogenen Medien, das Reflexionsgesetz und das Snellius´sche Brechungsgesetz. Der Begriff
”Lichtstrahl” soll hier kurz definiert werden. Man betrachtet die Wellenfront, die von einer sehr
kleinen praktisch punktförmigen Lichtquelle ausgeht. Durch Einbringen einer Blende wird aus der
Kugelwelle ein begrenztes Lichtbündel ausgeblendet. Verringert man den Durchmesser der Blende,
so kann man ein ideal dünnes Lichtbündel, eben einen Lichtstrahl erzeugen. Die Ausbreitung des
Lichtes wird nun auf die Ausbreitung des Lichtstrahls zurückgeführt.
6.2
Das Fermat´sche Prinzip
Die Beschreibung der Lichtausbreitung in inhomogenen Medien, d.h. in Medien, bei denen sich der
Brechungsindex (kontinuierlich) mit dem Ort ändert, ist mit Hilfe von Brechungs- und Reflexionsgesetz allein häufig nicht möglich. In diesem Fall kann jedoch mit Hilfe eines Variationsprinzips
– dem Fermat’schen Prinzip – der Weg der Lichtausbreitung berechnet werden. Das Fermat’sche
Prinzip besagt:
96
KAPITEL 6. OPTIK
97
Abbildung 6.1: Das Spektrum elektromagnetischer Wellen
Die Lichtausbreitung erfolgt derart, daß der optische Weg – das Produkt aus Brechungsindex und
zurückgelegter Strecke – auf dem tatsächlich benützten Pfad S0 gegenüber benachbarten Pfaden
Si einen Extremwert besitzt, d.h. daß der optische Weg W für S0 maximal oder minimal ist.
Für Licht, das von einer Lichtquelle am Ort Q zu einem Beobachtungspunkt P gelangt, kann
man den tatsächlich benützten Pfad S0 (Q → P ) also folgendermaßen bestimmen: Man berechnet
zunächst den optischen Weg W (S) für einen beliebigen Pfad S und sucht dann den Pfad S0 , in
dessen Nähe sich der optische Weg nicht ändert:
Z
W (S) =
n(~x)ds
(6.1)
µ
S(Q→P )
δW (S)
δS
¶
=0
(6.2)
S0
Hierbei ist n der materialabhängige Brechungsindex eines Mediums.
Aus dem Fermat’schen Prinzip folgt, daß ein Strahlengang i.A. umkehrbar sein muß, da Hin- und
Rückweg gleich lang sind.
Ein Extremum des optischen Weges wird dann erreicht, wenn ein Minimum oder ein Maximum der
optischen Weglänge W vorliegt. Für die meisten Fälle wird dabei der optische Weg und damit auch
die zum Durchlaufen benötigte Zeit minimal. Man spricht deshalb auch häufig vom ”Prinzip der
kürzesten Zeit”. Es lassen sich jedoch auch Bedingungen konstruieren, unter denen der tatsächlich
durchlaufene Lichtweg maximal ist.
Das Gesetz der geradlinigen Lichtausbreitung in homogenen Medien folgt direkt aus dem Fermat’schen Prinzip. Da in homogenen Medien der Brechungsindex n konstant ist, wird das Fermat’sche Prinzip auf einen Extremwert des Weges zurückgeführt. Aus der Geometrie wissen wir
aber, daß die kürzeste Verbindung zweier Punkte P und Q die Gerade P Q ist. Das Licht breitet
sich daher in homogenen Medien geradlinig aus.
6.3
Reflexion und Brechung
Bei Reflexion eines Lichtstrahls an einer spiegelnden Fläche ist der Einfallswinkel gleich dem
Ausfallswinkel (siehe Abbildung 6.2).
KAPITEL 6. OPTIK
98
Abbildung 6.2: Reflexionsgesetz
Abbildung 6.3: Brechungsgesetz
Wird ein Lichtstrahl gebrochen, so tritt das Brechungsgesetz von Snellius in Kraft. Dieses Gesetz
beschreibt das Verhältnis von Einfallswinkel zu Ausfallswinkel in Abhängigkeit der verschiedenen
Brechungsindizes (siehe Abbildung 6.3).
sin ε1
n2
=
sin ε2
n1
(6.3)
Hierbei sind n1 und n2 die Brechungsindizes. Sie werden folgendenermaßen mit der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c und der Lichtgeschwindigkeit im Medium c1,2 verknüpft:
n1,2 =
c
c1,2
(6.4)
KAPITEL 6. OPTIK
99
Abbildung 6.4: Linsentypen
6.4
Totalreflexion
Für eine Totalreflexion an der Grenzfläche zwischen zwei Medien sind mehrere Bedingungen zu
erfüllen. Wenn man an einer Grenzfläche von einem Medium n1 in ein Medium n2 eine Totalreflexion haben will, so muss gelten:
n1 > n2
(6.5)
Des weiteren muss gelten:
sin ε2 = 1
(6.6)
Daraus folgt dann:
n2
n1
Daraus ergibt sich für den Grenzwinkel der Totalreflexion:
µ ¶
n2
εtotal = arcsin
n1
sin εtotal =
(6.7)
(6.8)
Bei jedem Winkel der größer ist als εtotal tritt Totalreflexion auf. Praktische Anwendung hierfür
ist z.B. ein Lichtleiter oder Glasfaserkabel. Das eingeführte Licht wird immer an den Wänden des
Kabels total reflektiert.
6.5
Linsen
Linsen bestehen aus Glas, Kunststoff oder anderen durchsichtigen Materialien. Beim Durchlaufen
einer Linse werden die Lichtstrahlen zweimal gebrochen. In Zeichnungen und Rechnungen ersetzt man jedoch die Brechung an beiden Oberflächen durch Brechung an zwei Hauptebenen. Bei
dünnen Linsen, deren Dicke gegenüber den Krümmungsradien klein ist, fallen die Hauptebenen
praktisch zusammen und liegen in der Mittelebene der Linse. Alle Abstände (Brennweite, Bildund Gegenstandsweite) sind auf diese Mittelebene bezogen, die auch in Zeichnungen anstelle der
Linse dargestellt wird.
Es gibt verschiedene Arten von Linsen (siehe Abbildung 6.4):
Konvexlinsen (Sammellinsen) sind durch zwei Kugelflächen so begrenzt, daß sie in der Mitte dicker als am Rand sind. Parallel zur optischen Achse durch eine Konvexlinse tretende
KAPITEL 6. OPTIK
100
Abbildung 6.5: Konstruktion des Linsenbildes
Strahlen werden im Brennpunkt F gesammelt. Sein Abstand von der Linse ist die Brennweite
f.
Konkavlinsen (Zerstreuungslinsen) sind durch zwei Kugelflächen so begrenzt, daß sie in der
Mitte dünner als am Rand sind. Parallel zur optischen Achse durch eine Konkavlinse tretende
Strahlen werden so gebrochen, als kämen sie von einem vor der Linse liegenden Brennpunkt
F . Sein Abstand von der Linse ist die Brennweite f , die hier negativ ist (f < 0) und auch
als Zerstreuungsweite bezeichnet wird.
Den Kehrwert der Brennweite f bezeichnet man als Brechwert D:
D=
1
f
(6.9)
Die Einheit des Brechwertes ist [D] = Dioptrie(dpt) = 1/m. Der Brechwert von Zerstreuungslinsen
ist negativ.
6.6
Abbildungsgesetze
Zur Bildkonstruktion benutzt man mindestens 2 der 3 Hauptstrahlen, deren Verlauf nach der
Brechung bekannt ist (siehe Abbildung 6.5).
• Der Parallelstrahl wird zum Brennpunktstrahl.
• Der Brennpunktstrahl wird zum Parallelstrahl.
• Der Mittelpunktstrahl geht ohne Richtungsänderung durch die Linse.
Wir führen einige Bezeichnungen ein: Sei β der Abbildungsmaßstab, G die Gegenstandsgröße, B
die Bildgröße, g die Gegenstandsweite, b die Bildweite, f die Brennweite, dann gilt entsprechend
der Zeichnung 6.5 für den Abbildungsmaßstab:
β=
b
B
=
G
g
(6.10)
KAPITEL 6. OPTIK
101
Abbildung 6.6: Das Auge
Ferner folgt aus der Zeichnung 6.5:
G
g−f
g
=
=
B
f
b
⇒
g
f
g
− =
f
f
b
Nach einer Division durch g und entsprechender Umstellung erhält man die Abbildungsgleichung:
1
1 1
= +
f
g
b
(6.11)
Bildweiten, die auf der Gegenstandsseite liegen sind negativ. Es handelt sich dann um virtuelle
Bilder. Bei Zerstreuungslinsen sind Brennweite und Bildweite negativ.
6.7
Bestimmung der Brennweite
Die Brennweite einer Linse hängt vom Linsenmaterial, den Krümmungsradien der begrenzenden
Kugelflächen und dem umgebenden Medium ab. Sei n der Brechungsindex des Linsenmaterials, nM
der Brechungsindex des umgebenden Mediums (bei Luft ≈ 1), r1 der Krümmungsradius der stärker
gekrümmten Linsenseite und r2 der Krümmungsradius der schwächer gekrümmten Linsenseite,
dann gilt für dünne Linsen:
µ
¶ µ
¶
1
n
1
1
=
−1 ·
+
(6.12)
f
nM
r1
r2
Hierbei gelten folgende Vorzeichenkonventionen: Die Krümmungsradien der nach außen gewölbten
Flächen sind positiv, die Krümmungsradien der nach innen gewölbten Flächen sind negativ. Der
Krümmungsradius einer Ebene ist ∞.
Systeme dünner Linsen wirken wie eine Linse, wenn ihr Abstand d voneinander klein ist gegenüber
ihren Brennweiten f1 und f2 . Die Brennweite solcher Kombinationen ergibt sich aus den einzelnen
Brennweiten:
1
1
d
1
=
+
−
(6.13)
f
f1
f2
f1 f2
KAPITEL 6. OPTIK
6.8
102
Das Auge
Mit Hilfe der konvexen Augenlinse (siehe Abbildung 6.6) wird ein verkleinertes, umgekehrtes und
reelles Bild des betrachteten Gegenstandes auf der Netzhaut erzeugt. Die Anpassung an die verschiedenen Objektentfernungen erfolgt – da die Bildweite unveränderlich ist – durch Veränderung
der Brennweite. Mit einem Muskel kann der Krümmungsradius der Augenlinse verändert werden.
Dieses Scharfstellen erfolgt unbewußt und heißt Akkomodation. Bei einem normalsichtigen Auge
reicht der Akkomodationsbereich von dem im Unendlichen liegenden Fernpunkt (bei entspanntem
Auge) bis zum Nahpunkt, der etwa 8 bis 10 cm vor dem Auge liegt. Dieser Wert vergrößert sich
mit zunehmendem Alter.
Der kleinste Betrachtungsabstand, auf den ein normalsichtiges Auge ermüdungsfrei akkomodieren
kann, die ”deutliche Sehweite”, liegt bei etwa 25 cm. Für Rechnungen wurde die (konventionelle)
Bezugsweite s = 25 cm vereinbart.
Bei Weitsichtigkeit ist der Abstand des Nahpunktes vom Auge zu groß. Mit einer zusätzlichen
Sammellinse wird der Brechwert der Augenlinse vergrößert. Bei Kurzsichtigkeit ist der Augapfel
zu lang. Der Abstand des Fernpunktes ist kleiner als unendlich. Der Brechwert der Augenlinse
muß mit einer zusätzlichen Zerstreuungslinse verkleinert werden.
Als Sehwinkel bezeichnet man den Winkel, den die äußersten vom betrachteten Gegenstand kommenden Strahlen miteinander bilden. Er bestimmt die Größe des Netzhautbildes. Für den Sehwinkel σ gilt:
G
(6.14)
tan σ =
g
Die Augenlinse erzeugt das Bild des Gegenstandes auf der Netzhaut. In ihr mündet der Sehnerv in
feinsten Verästelungen, den Zäpfchen (für das farbige Sehen bei Helligkeit) und den Stäbchen
(für das Schwarz-Weiß-Sehen bei Dunkelheit). Zwei Gegenstandspunkte können nur dann getrennt wahrgenommen werden, wenn ihre beiden Bildpunkte auf zwei verschiedene Zäpfchen oder
Stäbchen fallen. Dies entspricht einem Sehwinkel von mindestens 10 .
Der Sehwinkel σ, unter dem ein Gegenstand auf der Netzhaut abgebildet wird, kann aus zwei
Gründen zu klein sein: Die Objektgröße G ist zu klein, so daß selbst eine Verkleinerung der
Objektweite g bis auf das Minimum g = s = 25 cm keinen ausreichenden Sehwinkel ergibt. Abhilfe
kann hier mit einer Lupe oder einem Mikroskop geschaffen werden. Oder die Objektweite g ist zu
groß, was man mit einem Fernrohr ausgleichen kann.
Die genannten optischen Geräte haben die Aufgabe, den Sehwinkel σ zu vergrößern. Ihre wichtigste
Kenngröße ist deshalb die Vergrößerung Γ. Man definiert sie als Verhältnis der Sehwinkel mit (σ)
und ohne (σ0 ) optisches Gerät:
tan σ
Γ=
(6.15)
tan σ0
6.9
Die Lupe
Als Lupe bezeichnet man eine Sammellinse, die (meist) unmittelbar vor das Auge gehalten wird.
Der Gegenstand befindet sich innerhalb der Brennweite (g < f ). Das Bild entsteht auf der Objektseite (b < 0) und ist vergrößert, aufrecht und virtuell (siehe Abbildung 6.7).
Für die Vergrößerung ergibt sich also:
Γ=
s
tan σ
=
tan σ0
g
(6.16)
KAPITEL 6. OPTIK
103
Abbildung 6.7: Die Lupe
Abbildung 6.8: Das Mikroskop
Hierbei muß das Auge auf die Bildweite b < ∞ akkomodieren. Bei längeren Beobachtungen ist
b = ∞ anzustreben. Für ein im Unendlichen entstehendes Bild muß das Objekt in der Brennebene
der Linse liegen. Es ergibt sich als minimale Vergrößerung bei nicht akkomodiertem Auge g = f
die Normalvergrößerung zu:
s
(6.17)
Γ=
f
Die Vergrößerung ist also umso stärker, je kleiner die Brennweite ist. Lupen lassen Vergrößerungen
von etwa 10 bis 15 zu. Stärkere Vergrößerungen führen zu unzureichender Bildqualität.
6.10
Das Mikroskop
Ein Mikroskop (siehe Abbildung 6.8) besteht aus zwei konvexen Linsensystemen, dem Objektiv
(Brennweite f1 einige Millimeter) und dem Okular (Brennweite f2 mehrere Zentimeter).
KAPITEL 6. OPTIK
104
Abbildung 6.9: Astronomisches (Keplersches) Fernrohr
Das Objektiv befindet sich unmittelbar vor dem Brennpunkt F1 . Mehr als zwei Brennweiten
hinter dem Objektiv entsteht ein reelles, vergrößertes Zwischenbild. Es liegt unmittelbar hinter
dem Brennpunkt F2 des Okulars und dient dem als Lupe wirkenden Okular als Gegenstand. Das
virtuelle Endbild ist vergrößert und (auf den Gegenstand bezogen) umgekehrt. Den Abstand `
zwischen den inneren Brennpunkten F10 und F2 nennt man optische Tubuslänge. Dann gilt für die
Vergrößerung des Mikroskops:
`s
Γ = β 1 Γ2 =
(6.18)
f1 f2
Wegen der Wellennatur des Lichts sind beim Mikroskop nur Vergrößerungen bis etwa 2000 sinnvoll.
6.11
Fernrohre
Fernrohre haben die Aufgabe, bei sehr weit entfernten Objekten den Sehwinkel zu vergrößern. Es
gibt drei verschiedene Grundtypen von Fernrohren:
Astronomisches Fernrohr: Es besteht aus zwei Linsensystemen (siehe Abbildung 6.9). Das
Objektiv entwirft ein reelles, umgekehrtes Zwischenbild des Objektes, das dann durch das als
Lupe wirkende Okular betrachtet wird. Da die Objektweite g fast unendlich ist, entsteht das
Zwischenbild unmittelbar hinter der Brennebene des Objektivs. Zum Scharfstellen wird das
Objektiv dem Okular genähert, bis das Zwischenbild innerhalb der Okularbrennweite liegt.
0
und Fok fallen dann praktisch zusammen. Das Endbild ist
Die inneren Brennpunkte Fob
vergrößert, virtuell und (auf den Gegenstand bezogen) umgekehrt. Die Länge des Fernrohres
(d.h. der Abstand zwischen Objektiv und Okular) ist ` = fob +fok , und für die Vergrößerung
ergibt sich:
fob
(6.19)
Γ=
fok
Allgemein wird das Fernrohr so eingestellt, daß die von einem sehr weit entfernten Gegenstand praktisch parallel ankommenden Strahlen auch wieder parallel aus dem Okular
austreten und so in das Auge gelangen. So ist eine Betrachtung auch mit nicht akkomodiertem Auge möglich.
Terrestrisches Fernrohr: Es entspricht in allem dem astronomischen Fernrohr. Um im Verhältnis zum Gegenstand jedoch aufrechte Bilder zu erhalten, ist eine Umkehrlinse in den Strahlengang eingefügt. Das Zwischenbild entsteht zwei Brennweiten vor der Umkehrlinse. Diese
KAPITEL 6. OPTIK
105
Abbildung 6.10: Galileisches Fernrohr
erzeugt ein zweites Zwischenbild zwei Brennweiten hinter ihr. Das Fernrohr verlängert sich
dadurch um vier Brennweiten der Umkehrlinse
Galileisches Fernrohr: Es besteht aus einem konvexen Linsensystem, dem Objektiv, und aus
einem konkaven Okular (siehe Abbildung 6.10). Im Gegensatz zu den anderen Fernrohren
entsteht bei ihm kein Zwischenbild. Das konvergente Strahlenbündel trifft noch vorher auf
das Okular und wird von diesem wieder divergent gemacht. Das Bild ist virtuell, schwach
vergrößert und aufrecht, jedoch lichtstark. Die Vergrößerung erhält man auch hier mit Gleichung 6.19. Seine Länge ergibt sich zu ` = fob + fok , wobei natürlich fok < 0 ist.
Kapitel 7
Atom- und Kernphysik
Die Atomphysik ist ein vergleichsweise junger Teilbereich der Physik. Vor etwa 100 Jahren wurde
damit begonnen Atommodelle zu schaffen, mit denen man die Vorgänge im Atom und die Interaktion von Atomen und Molekülen untereinander realistisch beschreiben kann. Der Aufbau der
Atome ist heute sehr gut verstanden und die aktuelle Forschung konzentriert sich im Wesentlichen
auf Vielteichensysteme und deren Wechselwirkung untereinander, was beispielsweise für die Chemie relevant ist. In der Kernphysik ist der Forschungsprozeß bei weitem noch nicht abgeschlossen.
Es existieren zwar mehrere gute Kernmodelle, allerdings ist es den Experimentatoren bislang noch
nicht gelungen, alle Aspekte dieser theoretischen Modelle experimentell nachzuweisen oder sie zu
widerlegen.
7.1
Quanten
Bevor wir uns mit Atom- und Kernmodellen beschäftigen, ist es nötig über Quanten und Quantisierungsbedingungen zu sprechen. Nach Planck ist jede Strahlung (auch das Licht) aus Energiequanten, also aus kleinsten Energiekorpuskeln zusammengesetzt. Strahlungsenergie ist also stets
ein ganzzahliges Vielfaches der Energie eines einzelnen Strahlungsquants. Diese Energie bestimmt
die Frequenz f der Strahlung. Es gilt:
E =h·f
(7.1)
Hierbei ist h das sogenannte Plancksche Wirkungsquantum mit h = 6.626 · 10−34 Js = 4.141 ·
10−21 MeV ·s. Strahlungsquanten mit Frequenzen bzw. Wellenlängen im Bereich des sichtbaren
Lichtes werden auch als Lichtquanten bezeichnet.
7.1.1
Einsteinsche Gleichung
Energie und Masse jeder Materie sind durch eine von Einstein gefundene Gleichung verknüpft:
E = mc2
(7.2)
Hierbei ist c = 3·108 m/s die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Jeder Masse entspricht also eine Energie
und umgekehrt. Diese Relation impliziert auch, daß man aus Energie Masseteilchen erzeugen kann,
nämlich immer ein Teilchen und ein Antiteilchen. Auch kann man Materie und Antimaterie in reine
Energie zerstrahlen.
106
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
107
Abbildung 7.1: Compton-Effekt
7.1.2
Photonen
Wegen der Quantelung der Energie kann man jede Strahlung als einen Teilchenstrom ansehen.
Diese Teilchen nennt man Photonen. Sie sind keine Teilchen im klassischen Sinne, denn sie bewegen
sich immer mit Lichtgeschwindigkeit und besitzen keine Ruhemasse (d.h. in Ruhe existieren sie
nicht), sondern lediglich eine ”bewegte Masse”, die ihrer kinetischen Energie entspricht. Aus den
Gleichungen 7.1 und 7.2 kann man für die Masse eines Photons ableiten:
mph =
hf
h
=
c2
λc
(7.3)
Natürlich besitzen Photonen auch einen Impuls. Dieser ist:
p = mph c =
hf
h
=
c
λ
(7.4)
Bei einer Absorption oder Reflexion erzeugen Photonen wegen ihres Impulses auch einen Druck,
den sogenannten Strahlungsdruck.
Natürlich können Photonen auch Stoßprozesse mit anderen Teilchen durchführen. Betrachten wir
beispielsweise den elastischen Stoß eines Photons mit einem Elektron. Der Einfachheit halber
wählen wir zur Betrachtung ein Bezugssystem, in dem das Elektron vor dem Stoß in Ruhe ist.
Nach dem Stoß hat das Photon auf das Elektron einen Teil seiner Energie übertragen, und das Elektron besitzt dann den Impuls me~v . Der Energieverlust des Photons kann aber nicht zu einer Geschwindigkeitsänderung führen, da sich Photonen immer mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Also
führt der Stoß beim Photon zu einer Frequenzverkleinerung, bzw. zu einer Wellenlängenerhöhung.
Dieser Effekt wird als Compton-Effekt bezeichnet. In Abbildung 7.1 sind die Impulsvektoren der
Stoßpartner gezeigt. Das ankommende Photon mit der Frequenz f0 vor dem Stoß wird um den
Winkel ϕ aus seiner ursprünglichen Richtung gestreut und hat nach dem Stoß die Frequenz f .
Unter Verwendung einiger geometrischer Beziehungen kann die Frequenzänderung ∆f = f0 − f ,
bzw. die Wellenlängenänderung ∆λ = λ − λ0 berechnet werden. Es ergibt sich:
∆λ =
h
· (1 − cos ϕ) = λC (1 − cos ϕ)
me c
(7.5)
Hierbei wurden die Konstanten zur sogenannten Compton-Wellenlänge λC = 2.4263106 pm zusammengefasst. Die Wellenlängenänderung ist unabhängig von der Frequenz des auftreffenden
Photons, weshalb sie sich bei kleinen Wellenlängen prozentual am stärksten bemerkbar macht.
∆λ ist auch abhängig vom Streuwinkel ϕ. Am größten ist sie bei entgegengesetzt zur Einfallsrichtung gestreuten Photonen (ϕ = 180◦ ).
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
7.1.3
108
Materiewellen
Den Dualismus Welle-Teilchen, wie er der Energiestrahlung eigen ist, Übertrug DeBroglie auch
auf Ströme von Teilchen mit Ruhemasse. Die Wellenlänge solcher Teilchen, die sogenannte Materiewellenlänge oder DeBroglie-Wellenlänge, ist eine Funktion von Masse und Geschwindigkeit der
Teilchen:
h
h
=
(7.6)
λ=
mv
p
Jedem Strahl aus Teilchen gleicher Masse und einheitlicher Geschwindigkeit läßt sich also eine
Welle der Wellenlänge λ zuordnen.
7.1.4
Unschärferelation
Heisenberg fand, daß niemals einem Teilchen zugleich ein Ort x und ein Impuls p mit beliebiger
Genauigkeit zugeschrieben werden können. Diese Tatsache führt zur Heisenbergschen Unschärferelation:
h
∆x∆p ≥
= ~ = 1.05457266 · 10−34 Js = 6.582122 · 10−22 MeVs
(7.7)
2π
Jede Steigerung der Genauigkeiten in der Ortbestimmung eines Teilchens geht stets auf Kosten der
Genauigkeit in der Impulsbestimmung und umgekehrt. Diese Ungenauigkeit ist prinzipieller Natur
und unabhängig von den technischen Meßmöglichkeiten. Im Prinzip gilt die Unschärferelation auch
für makroskopische Körper. Da sie aber klein ist gegenüber den technischen Meßfehlern spielt sie
dann keine Rolle.
7.2
Atome
Alle Stoffe, ob fest, flüssig oder gasförmig, bestehen aus Atomen oder Molekülen. Dem Aufbau
aller Atome liegen gemeinsame Gesetzmäßigkeiten zugrunde.
7.2.1
Aufbau und Kennzeichnung
Jedes Atom besteht aus einem Kern und einer Hülle, die beide aus Elementarteilchen zusammengesetzt sind. Typische Kerndurchmesser liegen im Bereich von einigen 10−15 m, Atomdurchmesser
im Bereich von einigen 10−10 m. Zur Kennzeichnung eines Atoms verwendet man folgende Schreibweise:
A
Z Elementsymbol
Hierbei bezeichnet man Z als die Ordnungszahl, welche der Anzahl der Protonen im Kern entspricht, als der Kernladungszahl, und die beim nichtionisierten Atom auch gleich der Zahl der
Elektronen in der Hülle ist. A nennt man die Massenzahl, d.h. die Anzahl der Nukleonen (Protonen und Neutronen) im Kern (A = Z +N ). Da die Ordnungszahl bereits durch das Elementsymbol
festgelegt ist, läßt man diese auch häufig weg.
Atomkerne eines Elements können eine unterschiedliche Anzahl von Neutronen besitzen. Man
bezeichnet sie als isotope Nuklide oder kurz als Isotope dieses Elements. Isotope haben also gleiche
Ordnungszahl Z, aber ungleiche Massenzahl A.
Atomkerne verschiedener Elemente können gleiche Massenzahl A haben. Man bezeichnet sie als
Isobare. Isobare haben also ungleiche Ordnungszahl Z.
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
109
Abbildung 7.2: Bindungsenergie pro Nukleon
Atomkerne verschiedener Elemente können gleiche Neutronenzahl N haben. Man nennt sie Isotone.
Sie haben also ungleiche Ordnungszahl Z und ungleiche Massenzahl A, aber gleiche Neutronenzahl
N = A − Z.
7.2.2
Atommasse und Kernbindungsenergie
Zur Kennzeichnung der Masse von Atomen, Molekülen und Teilchen verwendet man die relative
Atommasse Ar . Sie ist eine Verhältniszahl und bezieht sich auf das Kohlenstoffatom 12
6 C, dessen
relative Masse gleich 12 gesetzt wird. Die absolute Masse eines Atoms kann in der SI-Einheit kg
angegeben werden. Besser eignet sich jedoch die für den Gebrauch in der Atomphysik zulässige
atomare Masseneinheit u. Also ist 1 u gleich 1/12 der Masse eines 12
6 C Atoms.
1 u = 1.6605402 · 10−27 kg = 931.49432 MeV /c2
Somit ergibt sich für die Masse mA eines Atoms:
mA = Ar · 1 u
(7.8)
Mit Massenspektrometern sind Kernmassen mit höchster Genauigkeit bestimmbar. Es zeigt sich,
daß die Masse eines Atomkerns stets kleiner ist, als die Summe der Nukleonenmassen. Diese
Erscheinung bezeichnet man als Massendefekt B:
B = Zmp + N mn − mK
(7.9)
Ursache für den Massendefekt ist die beim Zusammenschluß der Nukleonen frei werdende Kernbindungsenergie. Die der Kernbindungsenergie entsprechende Masse, der Massendefekt, ergibt sich
dann aus der Einstein-Beziehung.
Die Nukleonen eines Kerns werden durch Kernkräfte, die aus der starken Wechselwirkung resultieren, zusammengehalten. Sie sind größer als die abstoßend wirkende elektrostatische Kraft zwischen
den Protonen. Ein Zerlegen des Kerns erfordert die Überwindung dieser Kräfte und damit einen
Energieaufwand. Beim Zusammenschluß von Nukleonen zu einem Kern muß dieser Energiebetrag
dagegen frei werden. Man bezeichnet ihn als Kernbindungsenergie EB . Sie hat für jede Kernart
einen anderen Wert. Besonders wichtig ist die Bindungsenergie pro Nukleon wie in Abbildung 7.2
gezeigt. Nuklide mit einer Massenzahl um 50 (wie etwa verschiedene Isotope des Eisens) besitzen die größte Bindungsenergie pro Nukleon. Daraus folgt, daß eine Gewinnung von Kernenergie
nur möglich ist, wenn durch eine Umwandlung die mittlere Bindungsenergie pro Nukleon vergrößert wird. Beim Verschmelzen leichter Kerne (Kernfusion) oder beim Spalten schwerer Kerne
(Kernspaltung) kann Kernenergie freigesetzt werden, weil sich bei diesen Prozessen die mittlere
Bindungsenergie pro Nukleon vergrößert. Der Zusammenhang zwischen Kernbindungsenergie und
Massendefekt folgt aus der Einstein-Beziehung:
EB = Bc2 = (Zmp + N mn − mK )c2
(7.10)
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
7.2.3
110
Größe von Atomen und Kernen
Kernradien sind heute sehr gut experimentell bestimmbar. Meist stellt man sich den Kern √als
Kugel vor, dessen Volumen sich mit der Massenzahl A, bzw. dessen Radius sich dann mit 3 A
vergrößert. Empirisch gilt für Kernradien folgende Näherungsformel:
√
3
rK ≈ 1.4 A fm
(7.11)
Die Größe der Atomradien ergibt sich aus den Radien der kernfernsten Elektronenbahnen. Emiprisch wurde folgende Näherungsformel für die Bestimmung von Atomradien aus der Atommasse
und der Dichte ρ eines Stoffes gefunden:
r
mA
rA ≈ 0.5 3
(7.12)
ρ
7.3
Die Atomhülle
Zur Veranschaulichung des Aufbaus der Atomhülle wurden Atommodelle entwickelt und im Laufe der Zeit verbessert. Den ersten entscheidenden Ansatz für ein modernes Atommodell lieferte
Rutherford. Er fand, daß fast die gesamte Masse eines Atoms im Kern, welcher um fünf Größenordnungen kleiner als das Atom ist, vereinigt ist, und daß die Elektronen den Kern auf Keplerbahnen
umkreisen, ähnlich wie Planeten die um die Sonne kreisen. Die dafür erforderliche Zentripetalkraft
ist die elektrostatische Anziehungskraft zwischen dem positiven Kern und den negativen Elektronen. Dabei müßte nach den Gesetzen der Elektrodynamik jedoch das ständig zentralbeschleunigte
Elektron (wie jede andere beschleunigte Ladung) Energie abstrahlen und würde nach kurzer Zeit in
den Kern stürzen. Bohr erweiterte das Modell durch Postulate, die bestimmte strahlungsfreie Elektronenbahnen erklären. Schließlich ergänzte Sommerfeld die strahlungsfreien Kreisbahnen durch
strahlungsfreie elliptische Bahnen verschiedener Form und Lage. Trotz einiger Mängel hat dieses
Schalenmodell auch heute noch Bedeutung und kann viele Phänomene erklären. Eine lückenlose
Erklärung der Vorgänge in der Hülle liefert heute ein quantenmechanisches Wellenmodell.
7.3.1
Bohrsche Postulate
Zur Verbesserung des Rutherfordschen Modells postulierte Bohr Quantisierungsbedingungen für
die Elektronenbahnen. Er forderte, daß der Bahndrehimpuls L eines Elektrons nur ganzzahlige
Werte des Drehimpulsquantums ~ annehmen darf:
L = me rv = n~
(7.13)
Jeder nach der Quantenbedingung zulässigen Elektronenbahn entspricht ein Energieniveau. Der
Übergang von einer kernferneren zu einer kernnäheren Bahn erfolgt sprunghaft und unter Abgabe
eines Strahlungsquants. Also gilt für diese Strahlung die Frequenzbedingung:
∆E = Em − En = hf =
7.3.2
hc
λ
(7.14)
Das Wasserstoffatom
Das Wasserstoffatom ist das einfachste aller Atome. Es besteht aus nur einem Proton und einem
Elektron. Man spricht von einem Ein-Elektronensystem. Mit den Bohrschen Postulaten ist es
möglich Bahngeschwindigkeit, Bahnradius sowie Energie und Frequenz der Strahlungsquanten zu
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
111
berechnen. Mit dem Ansatz Zentripetalkraft=Coulombkraft und der Quantisierungsgleichung 7.13
erhält man nach kurzer Rechnung:
vn
=
rn
=
1
e2
·
4πε0 ~ n
4πε0 ~2 2
·n
me e2
(7.15)
(7.16)
Zu jeder möglichen Elektronenbahn gehört ein bestimmtes Energieniveau, das sich als Summe
von potentieller Energie und kinetischer Energie des Elektrons berechnen lässt. Für die kientische
Energie gilt unter Verwendung von Gleichung 7.15:
Ekin =
me e4
1
1
me vn2 =
· 2
2
2
2
2
32π ε0 ~ n
(7.17)
Die potentielle Energie wird für r = ∞ mit null festgesetzt. In einem endlichen Abstand r < ∞
vom Kern muß sie demnach kleiner, d.h. negativ sein. Sie entspricht der Arbeit, die erforderlich
ist, um das Elektron gegen die anziehende Coulombkraft von r nach ∞ zu bewegen:
Z r
Z r 2
e
dr
e2
Epot =
F dr =
· 2 =−
4πε0 r
∞
∞ 4πε0 r
Unter Verwendung von Gleichung 7.16 erhält man:
Epot = −
1
me e4
· 2
2
2
2
16π ε0 ~ n
(7.18)
Das Energieniveau ergibt sich als Summe von potentieller und kinetischer Energie:
En = −
7.3.3
m e e4
1
1
·
= −13.6057 eV · 2
32π 2 ε20 ~2 n2
n
(7.19)
Quantenzahlen
Spektroskopische Messungen zeigen, daß die Elektronen einer Schale geringe Energieunterschiede
zeigen, die auf besondere Formen und Lagen der Bahnen zurückzuführen sind. Mit Hilfe der
Quantenzahlen ist eine Klassifizierung der Bahnen möglich.
Wie wir bereits gesehen hatten, legt die Hauptquantenzahl n die generelle Lage der Kreisbahn fest:
n = 1, 2, 3, . . . Diese Energieniveaus bezeichnet man als Schalen. Anstatt der Hauptquantenzahl
n = 1, 2, 3, . . . spricht man auch von der K, L, M, N, . . . Schale.
Neben der Kreisbahn sind Ellipsenbahnen unterschiedlicher Exzentrizität möglich. Für sie gelten
folgende Bedingungen:
• Auf jeder dieser Bahnen hat das Elektron die gleiche Energie.
• Der Bahndrehimpuls des Elektrons auf diesen Bahnen ist stets ein ganzzahliges Vielfaches
des Drehimpulsquantums ~ (Bohrsche Quantenbedingung): L = `~
Die Nebenquantenzahl ` kennzeichnet die Bahnform. Zur Hauptquantenzahl n gehören n verschiedene Bahnformen: Die Kreisbahn und (n − 1) Ellipsenbahnen unterschiedlicher Exzentrizität. Für
` sind also folgende Werte möglich: ` = 0, 1, 2, . . . , (n − 1). Dabei ergibt ` = (n − 1) die Kreisbahn
und ` = 0 die Ellipse mit der größten Exzentrizität. Zur Kennzeichnung ersetzt man die Zahlen
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 durch die Buchstaben s,p,d,f,g,h,i,k. Für die Form der Ellipse gilt:
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
112
Abbildung 7.3: Die magnetische Quantenzahl
• Große Halbachse a = rKreisbahn
• Kleine Halbachse b = a(` + 1)/n
Die Quantenmechanik liefert für den Bahndrehimpuls die exaktere Beziehung L =
p
`(` + 1)~.
Die magnetische Quantenzahl m kennzeichnet die räumliche Lage der Ebenen einer Elektronenbahn. Sie kann (2` + 1) verschiedene Werte annehmen. Das umlaufende Elektron stellt einen
Ringstrom dar, dessen Magnetfeld in Wechselwirkung steht mit einem von außen angelegten Ma~ (siehe Abbildung 7.3). Dadurch ergeben sich für die Elektronenbahnebene durch ganzgnetfeld H
zahlige magnetische Quantenzahlen gekennzeichnete Lagen. Für m sind folgende Werte möglich:
0, ±1, ±2, . . . , ±`. Die Bahnlage wird bestimmt durch den Winkel δ zwischen der Richtung des
magnetischen Feldes und der Achse senkrecht zur Bahnebene. In klassischer Betrachtungsweise
gilt für denpBahnneigungswinkel cos δ = m/`, die Quantenmechanik liefert den exakteren Wert
cos δ = m/ `(` + 1). Betrachtet man die Nebenquantenzahl ~` als Vektor (mit der Richtung des
~ so sind nur solche Raumlagen möglich, für die die Projektion von ~` auf die
Bahndrehimpulses L),
Magnetfeldrichtung eine ganze Zahl (m) ist.
Die Spinquantenzahl s kennzeichnet den Eigendrehsinn des Elektrons in bezug auf die Umlaufbahn. Sie kann zwei verschiedene Werte besitzen, nämlich +1/2 und −1/2, wobei der positive
Wert die Gleichsinnigkeit von Eigenrotation und Umlauf, der negative dagegen die Gegensinnigkeit ausdrückt. Zwischen Links- und Rechtsrotation des Elektrons muß nach der Bohrschen Quantenbedingung die Drehimpulsdifferenz ~ auftreten. Demnach ergibt sich für den Eigendrehimpuls
~ = ± 1 ~ = s~.
S
2
Wie werden nun die Schalen in der Atomhülle von den Elektronen besetzt ? Hierfür gibt es zwei
Grundregeln. Jedes Elektron versucht zuerst einen möglichst niedrigen Energiezustand zu besetzen
(Bevölkerung der Schalen von innen nach außen). Gleichzeitig gilt das Pauli-Prinzip, welches
besagt, daß sich je zwei Elektronen eines Atoms in mindestens einer Quantenzahl unterscheiden
müssen. Aus den Variationsmöglichkeiten der verschiedenen Quantenzahlen ergibt sich daher, daß
auf jeder Schale maximal 2n2 Elektronen Platz haben.
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
113
Abbildung 7.4: Röntgenspektrum
7.3.4
Röntgenstrahlung
Röntgenstrahlen sind aus der modernen Medizin und Technik kaum mehr wegzudenken. Deshalb
werden wir kurz darauf eingehen, wie diese Strahlung entsteht.
Üblicherweise bestehen Röntgenröhren aus einem evakuierten Kolben, der eine Glühkathode und
eine Bremsanode enthält. Elektronen werden aus der Kathode freigeheizt und anschließend durch
eine Hochspannung (einige 10 kV) zur Anode hin beschleunigt. Die Anregung der Atome in der
Anode erfolgt also durch Elektronen, die mit großer Energie auftreffen. Hierbei erfolgen zwei
verschiedene Prozesse.
Die auftreffenden Elektronen werden beim Eindringen in die Atomhülle abgebremst und geben
einen Teil ihrer Energie in Form von elektromagnetischen Wellen beliebiger Frequenz bzw. Wellenlänge ab. Dieser Teil der Röntgenstrahlung heißt deshalb Bremsstrahlung. Ihr Spektrum ist
kontinuierlich. Es durchläuft ein Maximum und nähert sich mit zunehmender Wellenlänge aymptotisch dem Wert Null. Auf der kurzwelligen, d.h. hochenergetischen Seite, setzt die Bremsstrahlung
bei einer bestimmten Wellenlänge λ0 abrupt ein. Dies liegt an der maximal möglichen Energie, die
die Elektronen abgeben können: Emax = eU . Also berechnet sich die minimale Wellenlänge zu:
λ0 =
hc
eU
(7.20)
Dem Spektrum der Bremsstrahlung überlagert ist das Linienspektrum der charakteristischen
Strahlung. Diese entsteht, wenn ein Elektron inelastisch mit einem Atom des Anodenmaterials
stößt und hierbei ein kernnahes Elektron auf ein höheres Energieniveau hebt. Beim Nachrücken
von kernferneren Elektronen auf diesen freien Platz in der inneren Schale werden Strahlungsquanten abgestrahlt, deren Wellenlängen im Bereich der Röntgenstrahlung liegen, und die für das
Anodenmaterial charakteristisch sind. Ein typisches Röntgenspektrum ist in Abbildung 7.4 gezeigt.
Wird ein Elektron aus der K-Schale (n = 1) entfernt, so sind Übergänge auf den frei gewordenen
Platz aus der L-Schale (n = 2), der M-Schale (n = 3) usw. möglich. Diese Übergänge bezeichnet
man als K-Serie, und unterscheidet mit einem griechischen Index die Schale, aus der das Elektron nachrückt. Also entsteht z.B. die Kα -Linie durch ein Elektron, welches von der L-Schale in
die K-Schale übergeht, die Kβ -Line durch Elektronenübergang von der M-Schale in die K-Schale.
Für die Kα -Linie des Röntgenspektrums gilt das Moseleysche Gesetz, welches die Wellenlänge
λ der charakteristischen Strahlung mit der Ordnungszahl Z des Elements des Anodenmaterials
verknüpft:
3
1
= R(Z − 1)2
(7.21)
λ
4
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
114
Hierbei ist R die Rydbergkonstante:
R=
7.4
me e4
1
= 1.1 · 107
8ε20 h3 c
m
Kernphysik
Nachdem wir uns mit dem Atomaufbau beschäftigt haben, wenden wir uns nun dem Atomkern
zu. Wir haben bereits gesehen, daß der Kern aus Protonen und Neutronen aufgebaut ist. Diese
sind selbst keine Elementarteilchen, sondern besitzen ihrerseits eine Unterstruktur, die sogenannten Quarks. Die Protonenanzahl bestimmt die chemischen Eigenschaften eines Elements. Je mehr
Protonen in einem Kern sind, um so mehr Neutronen braucht man, um die elektrostatische Abstoßung der Protonen untereinander zu kompensieren. Hierfür ist die sogenannte starke Kernkraft
verantworlich. Sie ist sehr kurzreichweitig (einige fm) und unabhängig von der elektrischen Ladung
stets attraktiv. Das Verhältnis von Protonen zu Neutronen im Kern bestimmt, ob der Kern stabil
ist oder radioaktiv zerfällt.
Als Radioaktivität bezeichnet man die Fähigkeit bestimmter Kernarten (Radionuklide), sich unter
Aussenden von Strahlung umzuwandeln. Dieser Vorgang ist ein rein statistischer Prozeß, den
man als radioaktiven Zerfall bezeichnet. Wir unterscheiden folgende Grundarten von radioaktiven
Zerfällen, die in der Natur besonders häufig vorkommen:
α-Strahlung: Sie setzt sich aus α-Teilchen (42 α), also Heliumkernen, zusammen. Aufgrund ihrer
positiven Ladung sind sie durch elektrische und magnetische Felder ablenkbar. Typische
kinetische Energien von α-Teilchen sind einige MeV.
β-Strahlung: Sie besteht aus Elektronen mit kinetischen Energien im Bereich von keV bis MeV.
Wegen ihrer negativen Ladung werden Sie in elektrischen und magnetischen Feldern entgegengesetzt zu den α-Teilchen abgelenkt.
γ-Strahlung: Sie ist eine elektromagnetische Strahlung mit Wellenlängen etwa im pm Bereich.
In elektrischen und magnetischen Feldern ist sie nicht ablenkbar.
7.4.1
Radioaktiver Zerfall
Wir wollen im Folgenden etwas genauer betrachten, was bei den verschiedenen Zerfällen passiert.
7.4.1.1
Stabilität des Kerns
Das Verhältnis von Neutronenzahl N zu Protonenzahl Z nimmt mit steigender Massenzahl zu. Es
zeigt sich, daß Kerne nur dann stabil sind, wenn ein bestimmtes Neutronen-Protonen-Verhältnis
annähernd erreicht ist. Empirisch wurde hierfür folgende Näherung gefunden:
N
≈ 1 + 0.015A2/3
Z
für A < 250
(7.22)
Von den zur Zeit etwa 1700 bekannten Isotopen sind etwa 270 stabile Nuklide und etwa 1430
instabile Nuklide.
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
7.4.1.2
115
α-Zerfall
Er tritt in der Natur nur bei Kernen mit hoher Massenzahl auf (A & 200). Da aus dem Kern ein
Helium-Kern abgetrennt wird, muß die Massenzahl um 4, die Kernladungszahl um 2 abnehmen:
A
Z K1
4
→A−4
Z−2 K2 +2 α
(7.23)
Dieser Zerfall ist ein Zweikörperprozess. Die kinetische Energie des α-Teilchens ist wohldefiniert.
Da die Tochterkerne sehr viel schwerer als die α-Teilchen sind, nehmen sie kaum Rückstoßenergie
auf. Lediglich bei sehr kurzlebigen Nukliden tritt aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation
eine Varianz in der kinetischen Energie der α-Teichen auf.
7.4.1.3
β − -Zerfall
Er tritt bei Kernen mit realtivem Neutronenüberschuß auf. Das ausgestoßene Elektron entsteht
durch die Umwandlung eines Neutrons in ein Proton. Auch freie Neutronen sind nicht stabil:
n→p+e+ν
(7.24)
Das Antineutrino besitzt (zumindest nach heutigen Erkenntnissen) keine Ruhemasse und keine
Ladung. Es bindet nur einen Teil der Zerfallsenergie. Die entstehenden β-Teilchen haben demnach keine einheitliche Energie. In Tabellen wird meist die Maximalenergie Emax angegeben. Die
häufigste Energie beträgt etwa Emax /3. Da beim β − -Zerfall ein Elektron ausgestoßen wird, muß
bei konstanter Massenzahl die Kernladungszahl um 1 wachsen:
A
Z K1
7.4.1.4
−
0
→A
Z+1 K2 +−1 e + ν
(7.25)
β + -Zerfall
Er tritt bei Kernen mit relativem Protonenüberschuß auf. Solche Kerne sind in der Natur sehr
selten, aber bei künstlichen Kernumwandlungen können solche Isotope entstehen. Es wandelt sich
ein Proton um in ein Neutron und ein Positron (das Antiteilchen des Elektrons). Die Massenzahl
bleibt bei diesem Zerfall konstant, die Kernladungszahl des neuen Kerns wird um 1 kleiner:
A
Z K1
0 +
→A
Z−1 K2 +1 e + ν
(7.26)
Wie auch beim β − -Zerfall übernimmt das Neutrino einen Teil der Zerfallsenergie. Daher haben
die Positronen keine einheitliche Energie.
7.4.1.5
γ-Strahlung
Sie ist eine Begleiterscheinung der bisher genannten Zerfallsarten. Nach einem Zerfall entsteht
oft ein angeregter Kern, der nach einem Umsetzungsprozeß durch Abstrahlen von γ-Quanten
in einen energieärmeren Grundzustand übergeht. Dabei bleiben Kernladungs- und Massenzahl
unverändert.
7.4.2
Statistik des Zerfalls
Der Zerfall von Kernen ist ein statistischer Prozeß. Wegen der großen Anzahl der in radioaktiven
Stoffen enthaltenen Kerne kann man für den Zerfall statistische Gesetzmäßigkeiten formulieren.
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
116
In einem bestimmten Zeitintervall dt zerfallen dN Kerne. Dabei ist die Zahl der zerfallenen Kerne
dN der Zahl der noch vorhandenen, zerfallsfähigen Kerne N proportional: dN/dt ∝ −N . Den
Proportionalitätsfaktor nennt man Zerfallskonstante λ:
dN
= −λN
dt
(7.27)
Diese Differentialgleichung kann mittels Variablenseparation leicht integriert werden. Man erhält
dann das Zerfallsgesetz:
N (t) = N0 · e−λt
(7.28)
Hierbei ist N0 die Anzahl von vorhandenen Kernen zu Anfang, N (t) die Anzahl noch vorhandener
Kerne nach der Zeit t.
Unter der Halbwertszeit T1/2 versteht man die Zeit, in der jeweils die Hälfte der vorhandenen,
zerfallsfähigen Kerne zerfällt. Durch Einsetzen von N (t) = N0 /2 in Gleichung 7.28 berechnet sich
die Halbwertszeit zu:
ln 2
(7.29)
T1/2 =
λ
Oft wird beim Zerfall auch von der mittleren Lebensdauer τ gesprochen. Diese ist definiert als:
τ=
T1/2
1
=
λ
ln 2
(7.30)
Als Aktivität A eines radioaktiven Stoffes bezeichnet man die Anzahl der radioaktiven Zerfälle
pro Zeiteinheit:
dN
A(t) = −
= λN (t) = λN0 · e−λt = A0 · e−λt
(7.31)
dt
Hierbei ist A0 die Aktivität zu Beginn, A(t) die Aktivität nach Ablauf der Zeit t. Die Einheit der
Aktivität ist das Becquerel [A] = Bq = 1/s.
7.4.3
Schwächung radioaktiver Strahlungen
Die effektive Abschirmung von radioaktiver Strahlung ist im Hinblick auf den Strahlenschutz ein
wichtiges Thema. Wir wollen deshalb betrachten, wie verschiedene Strahlungsarten abgeschirmt
werden können.
7.4.3.1
γ-Strahlung
Die Intensität der γ-Strahlen nimmt mit dem Quadrat der Entfernung ab, wenn von zusätzlicher
Absorption abgesehen wird. Deshalb ist ein möglichst großer Abstand eine wichtige Forderung
des Strahlenschutzes. Die Absorption von γ-Strahlung in stofflichen Medien beruht auf folgenden
Effekten:
Fotoeffekt: Ein Photon (γ-Quant) dringt in die Hülle eines Atoms ein und setzt ein Elektron
(meist aus der K-Schale) frei. Dieser Effekt überwiegt bei γ-Energien unter 500 keV.
Compton-Effekt: Ein Photon trifft auf ein äußeres Hüllenelektron und überträgt diesem einen
Teil seiner Energie. Dadurch verändert es seine Richtung und vermindert seine Energie bzw.
Frequenz.
Paarbildung: Ein Photon dringt bis in unmittelbare Kernnähe ein. Beträgt seine Energie mindestens 1.02 MeV (dies entspricht der doppelten Ruhemasse eines Elektrons), so kann es sich
in ein Elektron-Positron-Paar umwandeln. Die unmittelbare Kernnähe ist erforderlich, da
dieser aus Gründen der Impulserhaltung den Rückstoßimpuls aufnehmen muß.
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
117
Die Abnahme der Intensität in stofflichen Medien lässt sich bestimmen. Dabei versteht man unter
der Intensität I das Produkt aus der Anzahl von Teilchen pro Zeiteinheit und der Energie je
Teilchen. Man findet für γ-Strahlen folgenden Zusammenhang:
I = I0 · e−µd
(7.32)
Hierbei ist µ der Stoff- und Energieabhängige Schwächungskoeffizient und d die Dicke der durchstrahlten Schicht.
7.4.3.2
β-Strahlung
Das Absorptionsgesetz (Gleichung 7.32) gilt auch hier in guter Näherung. Zweckmäßigerweise wird
der Exponent mit der Absorberdichte ρ erweitert:
µd =
µ
dm
m
· dρ = µm ·
= µm ·
= µm · m00
ρ
V
A
Man bezeichnet µm als Massenschwächungskoeffizient und m00 als Flächenmasse. Dann schreibt
sich das Absorptionsgesetz für β-Strahlung als:
I = I0 · e−µm m
00
(7.33)
Der Massenschwächungskoeffizient hängt von der Energie der β-Teilchen ab. Da diese aber uneinheitlich ist, wird der Maximalwert der Energie benutzt.
7.4.3.3
α-Strahlung
Wegen der starken ionisierenden Wirkung haben α-Strahlen in festen Stoffen meist eine vernachlässigbare Reichweite. Prinzipiell ist sie von der Anfangsenergie der α-Teilchen und vom
Absorbermaterial abhängig. Für die Reichweite RL von α-Strahlung in Luft unter Normalbedingungen wurde folgende empirische Formel gefunden:
RL = 0.476 cm ·(E/MeV)1.5
(7.34)
Aus der Reichweite in Luft kann mit einer Genauigkeit von etwa ±10% die mittlere Reichweite in
anderen Stoffen bestimmt werden. Man findet folgende Gleichung, die von der Dichte ρ des Stoffes
und von seiner Massenzahl A abhängt:
A
R = 3.2 · 10−4 RL ± g
ρ cm3
7.4.4
(7.35)
Dosimetrie
Die Wirkung ionisierender Strahlung (Strahlung radioaktiver Stoffe einschließlich Neutronen- und
Röntgenstrahlung) wird durch die Energie ausgedrückt, die ein bestrahlter Körper absorbiert.
Unter der Energiedosis D versteht man das Verhältnis der absorbierten Energie zur Masse des
bestrahlten Körpers:
E
E
=
(7.36)
D=
m
ρV
Die Einheit der Energiedosis ist das Gray [D] = Gy = J/kg
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
Qualitätsfaktor Q
Röntgen, γ-Strahlung
β-Strahlung
thermische Neutronen
schnelle Neutronen
α-Teilchen
schwere Ionen
118
in Sv/Gy
1
1
2.3
10
20
20 und mehr
Tabelle 7.1: Qualitätsfaktor für verschiedene Strahlungsarten
Für den Strahlenschutz ist die biologische Wirkung ionisierender Strahlung auf lebendes Gewebe
von Bedeutung. Sie wird mit Hilfe der Äquivalentdosis H bestimmt. Da die Äquivalentdosis nicht
direkt meßbar ist, wird sie mit Hilfe eines empirisch ermittelten Bewertungsfaktors q aus der
Energiedosis D bestimmt:
H = qD
(7.37)
Die Einheit der Äquivalentdosis ist das Sievert [H] = Sv = J/kg. Der Bewertungsfaktor q setzt sich
zusammen aus dem Qualitätsfaktor Q, der die Strahlungsart berücksichtigt, und einem Faktor N ,
der die räumliche und zeitliche Verteilung der Strahlung bewertet q = QN . Für die Bestrahlung
eines Körpers von außen ist N = 1. Der Qualitätsfaktor Q wird von den Behörden in der Strahlenschutzverordnung festgelegt. Eine Auflistung von Q für verschiedene Strahlungsarten zeigt Tabelle
7.1.
7.4.5
Strahlenschutz
Wegen der großen Gefährlichkeit ionisierender Strahlung bestehen umfangreiche gesetzliche Sicherheitsbestimmungen. Mit ihnen sollen die Bevölkerung und beruflich strahlenexponierte Personen
vor gesundheitlichen Schäden bewahrt werden.
Die mittlere Strahlenbelastung eines Menschen in Deutschland beträgt etwa 4 mSv/a. Sie setzt sich
zum einen zusammen aus der natürlichen Belastung (etwa 2 mSv/a) durch Umwelt, Ernährung
und Atemluft. Besonders zu nennen sind hierbei die kosmische Strahlung (Höhenstrahlung, besonders bei großen Flughöhen zu beachten), die terrestrische Strahlung (natürliche radioaktive Stoffe
im Boden, im Gestein oder in Baumaterialien) und die Eigenstrahlung des Körpers (natürliche Radionuklide die durch Luft, Wasser oder Ernährung aufgenommen werden, z.B. Radon, Kalium-40).
Zum anderen trägt die zivilisationsbedingte Strahlenbelastung bei (auch ca. 2 mSv/a), die etwa
durch Röntgendiagnostik, Nuklearmedizin, Kerntechnische Anlagen, Kernwaffentests oder sonstige
berufliche Exposition zustande kommt. Der überwiegende Anteil der zivilisatorischen Belastung
ist der Röntgendiagnostik zuzuschreiben.
Die zusätzliche berufliche Strahlenbelastung unterliegt strengen Überwachungskriterien. Nicht
überwachte Personen dürfen maximal mit 1 mSv/a zusätzlich belastet werden, Personen der Strahlenüberwachungskategorie B mit maximal 6 mSv/a und Personen der Kategorie A mit höchstens
20 mSv/a. Eine einmalige Dosis von 4−5 Sv ist tödlich. Vom Strahlenschutz überwachte Personen
müssen sich jährlichen medizinischen Untersuchungen unterziehen und werden regelmäßig über die
geltenden Vorschriften und einzuhaltenden Sicherheitsmaßnahmen unterwiesen.
Als kleine Merkregel, wie man unnötige Strahlenbelastung vermeiden kann, gilt die AAA-Regel:
Abstand, Abschirmung, Aufenthaltsdauer. Die Dosis nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab,
sie sinkt exponentiell mit der Dicke der Abschirmung und wächst linear mit der Aufenthaltsdauer
im Strahlungsbereich an.
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
7.4.6
119
Strahlennachweis
Für den Nachweis ionisierender Strahlung und für die Messung der Strahlendosis werden häufig
folgende Messverfahren verwendet:
Ionisationszähler: Diese bestehen aus einem geladenen Kondensator, welcher mit einem Gas
gefüllt ist. Sobald Strahlung eintritt und das Gas ionisiert, driften die Ladungsträger zu
den Kondensatorplatten und entladen den Kondensator. Die Restladung ist ein Maß für
die Strahlungsdosis. Als Stabdosimeter werden Ionisationszähler bei der beruflichen Strahlenüberwachung häufig eingesetzt.
Geiger-Müller-Zählrohre: Sie sind vom Aufbau her den Ionisationszählern ähnlich. An einem
gasgefüllten Kondensator wird eine hohe Spannung angelegt. Wird das Gas durch Strahlung
ionisiert, werden die freien Ladungsträger beschleunigt und ionisieren weitere Gasatome.
Dies führt zu einem Lawineneffekt und zu einem hohen Stromfluß, welcher gemessen wird.
Geiger-Müller-Zähler werden oft zur Ortsdosimetrie eingesetzt.
Wilsonsche Nebelkammern: Die Strahlungsteilchen dringen in ein Volumen ein, welches mit
übersättigtem Dampf gefüllt ist und hinterlassen Kondensspuren.
Szintillationszähler: Die auftreffende Strahlung regt bestimmte Leuchtstoffe zur Lichtemission
an. Man kann die Lichtblitze durch eine Lupe beobachten und auszählen oder auch auf eine
Fotokathode fallen lassen und die dort herausgeschlagenen Elektronen in Sekundärelektronenvervielfachern verstärken.
Filmdosimeter: Die einfallende Strahlung schwärzt ein fotographisches Material. Filmdosimeter
finden Anwendung und der Personendosimetie in Überwachungsbereichen.
7.4.7
Kernreaktionen
Jede Umwandlung eines Kerns, mit Ausnahme des natürlichen radioaktiven Zerfalls, wird von
außen verursacht. Treffen energiereiche Teilchen (α, β, n, p) auf den Kern, dann können verschiedenartige Reaktionen ausgelöst werden. Diese ”Geschosse” können einem radioaktiven Zerfall entstammen oder künstlich beschleunigt worden sein. Kernreaktionen schreibt man in Form
von Reaktionsgleichungen an. Ein Zielkern K1 wandelt sich beim Auftreffen eines energiereichen
Teilchens um und schleudert dabei ein ein anderes Teilchen aus:
K1 + a → K2 + b
oder
K1 (a, b)K2
Einige Beispiele: Erste Kernumwandlung (Rutherford 1919)
14
N + α →17 O + p
14
N(α, p)17 O
Entdeckung des Neutrons (Chadwick 1932)
9
Be + α →12 C + n
9
Be(α, n)12 C
Entstehung von Transuranen
238
U + α →241 Pu + n
238
U(α, n)241 Pu
(7.38)
KAPITEL 7. ATOM- UND KERNPHYSIK
7.4.8
120
Uranspaltung
Das Element Uran gehört zu den Kernen mit großer Massenzahl. Bei solchen Kernen ist die Bindungsenergie je Nukleon kleiner als bei Kernen mittlerer Massenzahl. Die Spaltung eines Urankerns
in zwei kleinere Kerne bedeutet einen Übergang zu einer größeren Bindungsenergie je Nukleon und
führt damit zum Freisetzen von Energie. Damit verbunden ist ein Anwachsen des Massendefekts,
d.h. die Gesamtmasse wird geringfügig kleiner. 1938 gelang Hahn, Straßmann und Meitner die
erste Kernspaltung von Uran-235:
235
U + n → X + Y + 2.4n + 200 MeV
Es können sich verschiedene Spaltprodukte bilden, im Mittel entstehen 2.4 Neutronen und es
werden 200 MeV Energie frei. Bei jeder Uranspaltung stehen dem benötigten Neutron 2 bis 3
gebildete Neutronen gegenüber, die unter geeigneten Umständen in der Lage sind, weitere Kerne
zu spalten. Es tritt dann eine Kettenreaktion ein, bei der die Anzahl der Neutronen schnell ansteigt.
Weiterhin muß genügend spaltbares Material verhanden sein, damit die freigesetzten Neutronen
auf neue Kerne treffen können und nicht wirkungslos entweichen. Die Minimalmenge für eine
Kernreaktion nennt man kritische Masse. Bei jeder vollständigen Spaltung von 1 kg Uran-235
entsteht ein Massendefekt von rund 1 g. Das entspricht einer Energie von 9 · 1013 J oder 20000
Tonnen von TNT-Sprengstoff.