Schriftliche Abiturprüfung 1996 Fach Mathematik Gebiet G 3

Schriftliche Abiturprüfung 1996
Fach Mathematik
Gebiet G 3
Aufgabe 3.1
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Es wird angenommen, daß entlang einer Fahrtroute drei Ampeln 1, 2 und 3, die unabhängig
voneinander arbeiten, ausschließlich bei Grünschaltung passiert werden. Für die Grünschaltung der Ampeln sind folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt:
Ampel 1:
Ampel 2:
Ampel 3 :
P(A1) = 2 ,
3
P(A2) = 3 ,
4
P(A3) = 1 .
2
BE
3
4
a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm für alle möglichen Ergebnisse bei einer
Fahrt auf dieser Route.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten folgender
Ereignisse:
A: Alle drei Ampeln können ohne Halt passiert werden (d.h. beim
Erreichen einer Ampel ist sie jeweils auf Grün geschaltet).
B: Höchstens eine Ampel kann ohne Halt passiert werden.
b) Im folgenden wird untersucht, wie oft das Ereignis A (aus Aufgabe a) bei zehn
Fahrten auftritt.
5
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei mindestens 3 von 10
Fahrten das Ereignis A eintritt.
c) Die Ampel 2 wird nun in Abhängigkeit von der Ampel 1 geschaltet. Die
Wahrscheinlichkeit, Ampel 2 ohne Halt zu passieren, wenn Ampel 1 bereits
passiert wurde, beträgt dann 90%.
3
15
Berechnen Sie nunmehr die Wahrscheinlichkeit, die Ampeln 1 und 2
nacheinander ohne Halt zu passieren.
Schriftliche Abiturprüfung 1996
Fach Mathematik
Gebiet G 3
Aufgabe
BE
a
3
Aufgabe 3.1
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Hinweise, Lösungen
Zeichnen eines Baumdiagramms, z.B.
1
3
2
3
g
g
1
4
3
4
g
g
1
2
g
1
2
g
g : Grünschaltung;
1
2
g
1
4
3
4
g
1
2
g
1
2
g
g
1
2
g
1
2
1
2
g
g
g : keine Grünschaltung
3
Berechnen der Wahrscheinlichkeiten: z.B.
2 3 1 1
P( A ) = ⋅ ⋅ =
3 4 2 4
2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 7
P(B) = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 24
1
Berechnen der Wahrscheinlichkeit: z.B:
Bezeichnet die Zufallsgröße X die Häufigkeit des Ereignisses A bei 10
Fahrten, so ist X binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,25.
1
b
1
2
1
c
1
2
15
P(X≥ 3) = 1 - P(X < 3)
1  10 10  10 9  10 8 
⋅3 +
⋅3 +
⋅3 
P(X≥ 3) = 1 
 1
 2

4 10  0 
P(X≥ 3) = 0,47
Berechnen der Wahrscheinlichkeit: z.B:
P( A 1 ∩ A 2 )
P( A 2 | A 1 ) =
⇒
P( A 1 )
P( A 1 ∩ A 2 ) = P( A 2 | A 1 ) ⋅ P( A 1 )
9 2 3
⋅ =
P( A 1 ∩ A 2 ) =
10 3 5