internetskriptum ws 10 ss 11 - Institut für Analysis und Scientific

Mathematik 3 für ET 10/11 (101.236)
Wolfgang Herfort
Institut für Analysis und Scientific Computing
Technische Universität Wien
c
2007–2011
W.Herfort
2
Vorwort: Das vorliegende Skriptum stellt mathematische Begriffe und Themen für das
Studium Bakkalaureat Elektrotechnik an der Technischen Universität Wien zusammen.
Das Wort “Mathematik” beinhaltet m.W. das Wort Kenntnis (im geistes- und naturwissenschaftlichen Sinn). Die Mathematik ist in diesem Sinne eine Sprache, welche (Er)kenntnisse
festhält, reproduzierbar und vergleichbar macht. Wie in natürlichen Sprachen ist ihr Gebrauch an eine Grammatik gebunden, die sie nicht nur Laien gelegentlich schwer zugänglich
erscheinen läßt. Dennoch ist sie eine lebende Sprache, ein Hilfsmittel, (Er)kenntnisse der Anschauung und des Geistes auszudrücken. In Grundlagenforschung, Modellbildung bis hin zu
numerischer Simulation komplexer physikalischer Vorgänge erscheinen hochschulmathematische Begriffe unabdingbar.
Das Skriptum kann durchaus auch im Alleingang gelesen werden, wobei es um das “Verdauen” mathematischer Begriffe geht, die meist in einem Kasten in knapper Weise formuliert
werden, und bessere Intuition sehr oft erst durch nachfolgende Beispiele entsteht (d.h. beim
ersten Lesen nicht “Hängenbleiben”). Etliches aus M1 und M2 findet sich hier in knapper
Darstellung. Andere Quellen (siehe z.B. Literaturverzeichnis) mitzubenützen, ist durchaus
empfehlenswert, etwa Wikipedia. Die Internetversion ist in einigen Dingen ausführlicher –
etliche Beweise wurden dort “ausgelagert”.
Meine Hoffnung ist es, Ihnen verwertbares mathematisches Wissen näherbringen zu können
und Freude und Selbstvertrauen, sich mathematischer Spezialliteratur und Vorlesungen bei
Bedarf zu nähern, zu heben.
Danksagung an: H.J.Dirschmid, daß er seine reiche Erfahrung als akademischer Lehrer
mir mitteilte, Peter Szmolyan für hilfreiche Grundsatzgespräche. Wolfram Hojka für Korrekturlesen des 2007-Manuskripts, wertvolle Vorschläge, sowie Feinarbeit zur optischen Gestaltung. W. Auzinger, G. Bergauer, W. Hojka, A. Slateff und J. Wiesenbauer für wertvolle
Diskussionen. Herrn A. Goiser für Folienmaterial und Diskussion, A. Kugi für hilfreiches Gespräch.
Vielen aufmerksamen Lesern der Internetversion während der vergangenen Studienjahre
für ihre Hinweise. Im voraus danke ich für Ihr geschätztes Interesse und Kommentare. Lassen
Sie mich wissen, wenn Begriffe, Probleme oder Fragen nicht ausreichend geklärt sind.
Herrn A. Prechtl danke ich für orientierungsweisende Gespräche hinsichtlich Stoffauswahl
und Präsentation, sowie Durchsicht des Manuskripts.
Besonderer Dank gebührt Dir, liebe Anna!
Änderungen gegenüber WS09/SS10: Die ausführliche Stoffübersicht ist nur in der
Internetversion. Der Abschnitt Wahrscheinlichkeitstheorie ist etwas ausführlicher, das Beispiel
mit der Saite ist im Internet, andere Teile des Skriptums wurden gekürzt. Etliche Referenzen
(z.B. A, B) beziehen sich auf den Anhang der Internetversion
http://www.math.tuwien.ac.at/∼herfort/ET/WS10 SS11/skr10.pdf
Wien, im Oktober 2010
Wolfgang Herfort
Inhaltsverzeichnis
0 Allgemeines
0.1 Lehrstoff der Vorlesung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Stoffübersicht der Studienkommission ET 2000 . . . . . . .
0.2.1 Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik . . . . . . .
0.2.2 Mengen und Mengenverknüpfungen . . . . . . . . .
0.2.3 Relationen, Abbildungen und Ordnungsstrukturen .
0.2.4 Verknüpfungen und verknüpfungstreue Abbildungen
0.2.5 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.6 Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.7 Lineare Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.8 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.9 Banach-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.10 Hilbert-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
9
9
9
10
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1 Grundlagen
1.1 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Prädikatenlogik 1.Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 “Naive” Mengentheorie, Mengen, Elemente, Teilmengen . . . . . . . .
1.2.2 Allgemeine Vereinigung und Durchschnitt, Partition, Potenzmenge, Produktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Äquivalenzrelation und Halbordnung, Quotientenmenge, Schnitt . . .
1.2.5 Funktionen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Kardinalität endlicher Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Wahrscheinlichkeitstheorie
2.1 Empirische und mathematische Wahrscheinlichkeit – W-Maße
2.1.1 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit . . . . . .
2.1.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Ereignisgraphen . . .
2.1.3 Totale Wahrscheinlichkeit, Formel von Bayes . . . . .
2.1.4 Unabhängigkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . .
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3
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4
Inhaltsverzeichnis
2.2
2.3
Zufallsvariable und Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Balkendiagramm und Verteilung einer Zufallsvariablen . . . . . . . . .
2.2.3 Erwartungswert µ, Varianz V und Schiefe . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Bedingter Erwartungswert und Randverteilungen für (X, Y ) : Ω → IR2
2.2.6 Einige sehr gebräuchliche Zufallsvariable und ihre Verteilungen . . . .
Approximation mathematischer durch empirische Wahrscheinlichkeit . . . . .
2.3.1 Ungleichung von Tschebyscheff und das Bernoulliexperiment . . . . .
2.3.2 Gesetz der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz (ZGWS) . . . . . .
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62
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75
81
82
84
93
93
98
3 Statistik
103
3.1 Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.1.1 Verteilung(sdichte), Erwartungswert und Streuung von Zufallsvektoren/variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.1.2 Einige diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1.3 Einige Verteilungsdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2 Kurze Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.2.1 Einleitung, Aufgaben der Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3 Schätz- und Testverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.1 Parameterschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.2 Intervallschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.3 Statistische Testverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4 Kovarianz und lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4 Algebra
4.1 Halbgruppen und Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Definitionen und Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Kongruenzen und Homomorphismen von Halbgruppen, Gruppen und
Wirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Unter(halb)gruppen, Nebenklassenzerlegung, Normalteiler . . . . . . .
4.1.4 Halbgruppen mit Kürzungseigenschaft und Erweiterung zu Gruppe von
Quotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Definitionen und Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Abstrakte Polynomdefinition als Terme . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Ringe von Quotienten in einem Integritätsbereich. . . . . . . . . . . .
4.2.4 Kongruenzen in kommutativen Ringen mit Einselement, Ideale . . . .
4.2.5 Kommutativer Polynomring, Algebraische Körpererweiterung . . . . .
4.2.6 Endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
135
136
140
143
149
150
150
155
157
158
160
163
Inhaltsverzeichnis
5
5 Metrische Räume
5.1 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . .
5.1.2 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen .
5.1.4 Offene, abgeschlossene, beschränkte, dichte und
eines metrischen Raumes . . . . . . . . . . . .
5.1.5 Approximationssatz von Stone-Weierstraß . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
kompakte
. . . . . .
. . . . . .
6 Lineare Funktionalanalysis
6.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Grundlagen, Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Teil-, Quotienten- und Komplementärraum . . . .
6.1.3 Lineare Hülle, Unabhängigkeit, Basen, Dimension
6.1.4 Lineare Abbildung, Kern, Bild und Rang . . . . .
6.1.5 Dualraum, Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Normierte lineare Räume, Banachräume . . . . . . . . . .
6.2.1 Norm, Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Abgeschlossene Teilräume, Dimension . . . . . . .
6.2.3 Lp und lp Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Soboleffnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Stetige lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Stetigkeit=Beschränktheit, Operatornorm . . . . .
6.3.2 (Topologischer) Dualraum . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Hilberträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Inneres Produkt, Prähilbertraum . . . . . . . . . .
6.4.2 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . .
A ANHÄNGE
A.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Modelltheorie . . . . . . . . . . . . .
A.1.2 Formale Logik . . . . . . . . . . . .
A.1.3 Axiomatische Mengentheorie . . . .
A.1.4 Kardinalität und unendliche Mengen
A.1.5 Relationsschemata . . . . . . . . . .
A.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Freie Monoide und Termersetzung .
A.2.2 Chomsky Grammatik . . . . . . . .
A.2.3 Reguläre Grammatik und Automat .
A.2.4 Kellerautomat und Turingmaschine .
A.2.5 Halbgruppenwirkungen . . . . . . .
A.2.6 Heterogene Algebren . . . . . . . . .
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169
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Teilmengen
. . . . . . . 183
. . . . . . . 188
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206
210
221
221
225
226
228
231
231
235
239
241
243
248
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259
259
259
259
261
263
265
266
266
271
274
276
277
283
6
Inhaltsverzeichnis
A.2.7 Gesetze in heterogenen Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.8 Erweiterter euklidischer Algorithmus im Euklidischen Ring und Partialbruchzerlegung im Quotientenkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.9 Eindeutige Faktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.10 Beweise zu Anmerkung 156 (S.163) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Konstruktion der Vervollständigung für einen metrischen Raum (X, d)
A.3.2 Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes Anmerkung 167 (S.176) . . .
A.3.3 Beweise der Aussagen über offene, abgeschlossene, kompakte, etc. Mengen in Anmerkung 172 (S.185) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Banachräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.1 Beweis für Anmerkung 216 (S.235) – Vollständigkeit des Dualraums .
A.4.2 Satz von Hahn-Banach* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.3 Nachweise der Aussagen in Anmerkung 221 (S.240) über kompakte
Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.4 Inneres Produkt im Cn bzw. IRn Zusammenfassung . . . . . . . . . .
A.4.5 Beweise zu Anmerkung 226 (S.245) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.6 Beweis für die Äquivalenz der in Anmerkung 234 (S.254) gegebenen
Charakterisierungen eines vollständigen ONS . . . . . . . . . . . . . .
A.4.7 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
286
288
292
295
296
296
298
299
300
300
302
304
307
310
312
314
B Saite - etwas mathematische Physik
B.1 Mathematisches Modell und Allgemeines zum Lösen . . . . . . . . . . . . . .
B.1.1 Die involvierten physikalischen Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.2 Mathematische Physik – Prinzip der kleinsten Wirkung - Variationsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.3 Variationsformulierung – distributionelle Lösung . . . . . . . . . . . .
B.1.4 Hilbertraumformulierung – Soboleffnormen . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.5 Lösungstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Eingespannte Saite unter Belastung in Ruhe, −(pu0 )0 = f , u(0) = u(1) = 0
und q = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1 Formulierung des Randwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.2 Hilbertraumformulierung - Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . .
B.2.3 Globale Minimumeigenschaft des Wirkungsintegrals J . . . . . . . . .
B.2.4 Konstruktion der Rieszabbildung – Konsequenzen . . . . . . . . . . .
B.3 Eingespannte Saite im Potentialfeld unter Krafteinwirkung . . . . . . . . . .
B.3.1 Physikalische Fragestellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.2 Hilbertraumformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.3 Bemerkungen zur Lösbarkeit – Fredholmalternative . . . . . . . . . .
321
321
321
C Logfile
351
323
323
324
324
328
328
328
329
329
330
330
331
332
Kapitel 0
Allgemeines
0.1
Lehrstoff der Vorlesung
Der Lehrstoff ist 2001 schlagwortartig durch ein Protokoll der Studienkommission festgelegt
worden. Das Manuskript geht (vorallem in den Anhängen im Internet) darüber hinaus. Es
wird empfohlen, sich mit den im Protokoll genannten Begriffen vertraut zu machen, einzusehen unter
http://www.math.tuwien.ac.at/∼herfort/ET/INHALTE/M3.pdf
bzw. mit etwas erläuterndem Kommentar versehen, im nachfolgenden Abschnitt. Es geht
vorallem darum, diese Begriffe intuitiv als auch formal gut zu erfassen. Durchaus so, daß
man sich imstande sieht, diese Dinge dem Interessierten selbst weitergeben zu können.
Nicht prüfungsrelevant, aber möglicherweise interessant sollten vorallem das Konzept des
Termersetzungssystems, das vieles aus der Algebra und Linguistik (theoretische Informatik) schnell zugänglich macht, sowie ein Abschnitt über die eingespannte Saite, der ein 1dimensionales Problem mit Hilbertraummethoden und FEM in Verbindung bringt, sein.
0.2
0.2.1
Stoffübersicht der Studienkommission ET 2000
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Die Stoffübersicht diesbezüglich findet man im oben zitierten Verzeichnis als Datei ‘./M1 2.pdf’.
Zum Prüfungsmodus: der 1.Test sollte dieses Material abdecken, sodaß hiezu bei der
Prüfung nicht mehr gefragt werden wird.
0.2.2
Mengen und Mengenverknüpfungen
Mengen, Teilmengen, Mengensysteme (im Skriptum Familien von Mengen), Durchschnitt Vereinigung - Differenz - Komplement (sind die üblichen Mengenverknüpfungen), die Beziehungen zwischen diesen Verknüpfungen wird durch Mengenalgebra, d.i. die Rechengesetze,
die erfüllt sind, beschrieben. Kartesisches Produkt ist grundlegend für den abstrakten Funktionsbegriff und Relationen.
7
8
0.2.3
Allgemeines
Relationen, Abbildungen und Ordnungsstrukturen
2-stellige Relation beschreibt die Beziehungen zwischen den Elementen 2er Mengen,
Äquivalenzrelation ist eine Form von Gleichheit oder Gleichartigkeit von Elementen einer
Menge. Z.B. gleicher Jahrgang. Äquivalenzklasse=alle Objekte mit gleichem Merkmal
(gleichem Jahrgang). Quotientenmenge=Menge der Äquivalenzklassen (alle Jahrgänge).
Ordnungsrelation beschreibt ordnenden Vergleich von Elementen einer Menge (etwa Hierarchiestrukturen). Nicht je 2 Elemente müssen vergleichbar sein. Kleinste und größte
Elemente sind mit allen Elementen vergleichbar und haben niemanden echt “drunter”
bzw. “drüber”, minimale und maximale Elemente haben lediglich niemand “echt drunter” bzw. drüber. Vollständig geordnet, wenn je 2 Elemente vergleichbar (z.B. reelle
Zahlen) - hier total geordnet genannt. Untere und obere Schranken beziehen sich meist
auf eine Teilmenge (z.B. jene, die durch irgendeine Eigenschaft herausgefischt werden).
Wohlordnung liegt vor, wenn jede nicht leere Teilmenge ein kleinstes Element hat. Diese
Eigenschaft haben die natürlichen Zahlen und darauf beruht vollständige Induktion.
Abbildungsbegriff auch Funktionsbegriff. Abbildungstypen sind injektive, surjektive und bijektive Funktionen. Zusammensetzung, auch Komposition oder Hintereinanderausführung
von Funktionen ist durch g ◦ f (x) := g(f (x)) definiert. Z.B. ist sin ◦ exp die Funktion,
welche etwa 0 die Zahl sin(1) zuordnet.
0.2.4
Verknüpfungen und verknüpfungstreue Abbildungen
Verknüpfung bedeutet, daß man (meist) 2 Elemente einer Menge nimmt, und ihnen (durch
irgendeine Prozedur) ein anderes Element der Menge zuordnet. Bei Funktionen werden 2
Funktionen genommen und deren Zusammensetzung gebildet – eine Verknüpfung im vorliegenden Sinn. Das übliche Addieren bzw. Multiplizieren von 2 Zahlen ist eine Verknüpfung
in diesem Sinn (wir werden in der Vorlesung von 2-stelliger Operation reden). Über äußere
Verknüpfungen wird nichts vorgetragen, es handelt sich dabei um Abbildungen mit mehreren
Argumenten aus ein und derselben Menge mit Werten in einer davon verschiedenen Menge.
Innere Verknüpfungen sind 2-stellige Operationen auf einer Menge, wie z.B. die Addition
natürlicher Zahlen, aber auch das Vektorprodukt ~a × ~b im IR3 . Als spezielle Eigenschaften
werden Assoziativität (=Assoziativgesetz) und Kommutativität (=Kommutativgesetz) vorgestellt, die schon in der Mengenalgebra aufscheinen. Dies führt zu Halbgruppen, Monoiden
und Gruppen. Homomorphie ist eine Abbildung von einer (Halb)gruppe in eine andere, sodaß die Operationen “respektiert” werden, d.h. f (x · y) = f (x) ∗ f (y) gilt für alle x, y im
Definitionsbereich von f . Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
0.2.5
Gruppen
Gruppenaxiome. Einfache Eigenschaften von Gruppen können Endlichkeit, abelsch (=kommutativ), trivial (nur ein Element enthaltend), zyklisch (z.B. die Drehungen eines gleichseitigen
Dreiecks) sein.
0.2. Stoffübersicht der Studienkommission ET 2000
9
(Halb)gruppen kodieren sehr oft Selbstähnlichkeiten bzw. Symmetrien von Objekten und
die Gruppenoperation entspricht der Komposition von Selbst- bzw. Symmetrieabbildungen
des Objekts in sich.
Entsprechend ist manchmal die multiplikative Schreibweise (Drehungen des gleichseitigen
Dreiecks), manchmal die additive (’+’, etwa bei Ornamenten - Parkettierungen) hilfreicher.
Die Rechengesetze, welche eine Gruppe erfüllt, lassen sich entsprechend formulieren.
Der Kern eines Gruppenhomomorphismus besteht aus allen Elementen, die auf das Einselement abgebildet werden. Bild sind jene Elemente, die durch Anwenden des Homomorphismus
entstehen.
0.2.6
Ringe und Körper
Ringe haben eine Addition, meist ’+’ geschrieben und eine Multiplikation, und es wird das
Distributivgesetz erfüllt. Beispiele sind die ganzen Zahlen, n × n-Matrizen (nicht kommutativ
für n ≥ 2). Andere Beispiele sind die Polynomringe.
Körper erlauben Division für Elemente6= 0. Beispiele sind die rationalen, die reellen, und
die komplexen Zahlen. Endliche Körper (der kleinste enthält nur 0 und 1 – Rechnen modulo
2) werden z.B. in der Kodierungstheorie benötigt.
0.2.7
Lineare Vektorräume
Vektorraumaxiome und Beispiele. Unterräume (=Teilräume), Basis, Dimension, Lineare Abbildung (es ist in der linearen Algebra eher üblich von Abbildung, denn als Funktion zu reden
– Grund: die Funktion y = kx+d wird in der Schule als “lineare Funktion” bezeichnet, ist aber
für d 6= 0 keine lineare Abbildung). Vektoren können auch Funktionen sein, man spricht dann
oft von einem Funktionenraum. Ein linearer Operator ist dasselbe wie eine lineare Abbildung.
Einfaches Beispiel für lineare Abbildung: Projektion auf die (x, y)-Ebene in z-Richtung.
Kern=alle Elemente, die unter der linearen Abbildung Null werden, im Beispiel die z-Achse.
Bild=alle Elemente, die unter der Abbildung entstehen, im Beispiel die ganze (x, y)-Ebene.
Ein anderes Beispiel entsteht, wenn man y 7→ y 00 betrachtet. Diese Abbildung ist linear, ihr
Kern sind Funktionen der Bauart y = kx + d, weil nur diese y 00 = 0 erfüllen, also Lösungen
der homogenen Gleichung sind.
Der Dualraum besteht aus den linearen Abbildungen in den Skalarkörper und ist selbst ein
Vektorraum. Die Elemente des Dualraums nennt man lineare Funktionale.
0.2.8
Metrische Räume
sind Mengen mit einem Abstandsbegriff=Metrik. Diesbezüglich können ähnlich wie im IRn
Konvergenz, Cauchyfolgen und Vollständigkeit bezüglich der Metrik formuliert werden. Die
häufigsten Beispiele sind normierte lineare Räume (siehe weiter unten). Bestapproximation
bezieht sich hier auf die Minimierung des Abstandes eines Punktes in einer kompakten Teilmenge zu einem festen Punkt. Bei Fixpunktsätzen geht man von der Idee aus, einen Fixpunkt
x = f (x) durch Vorgabe eines Startwertes x0 und Iteration xn+1 = f (xn ) zu approximieren. Um die Konvergenz zu sichern, wird hier als Hilfsmittel der Banachsche Fixpunktsatz
10
Allgemeines
vorgeführt. Anwendung sind iterative Lösungsverfahren (lineare Gleichungssystem und Nachiteration, Nullstellenmethoden, Newtonalgorithmus, Picard-Lindelöf u.v.a.)
0.2.9
Banach-Räume
Eine Norm ist ein verallgemeinerter Längenbegriff für Vektoren (Funktionen). Sie erfüllt
Eigenschaften, die sehr an die der übliche euklidische Länge eines Vektors im IR3 angelehnt
sind. Ein Vektorraum (über IR oder C) mit so einer Norm ist ein normierter linearer Raum.
Danach wird der normierte lineare Raum zu einem metrischen Raum, indem man als Distanz von Vektoren die Norm ihrer Differenz festlegt (induzierte Metrik). Ist er vollständig,
so nennt man ihn Banachraum. Stetige lineare Operatoren zwischen 2 gegebenen linearen
normierten Räumen können selbst mit einer Norm, der Operatornorm, als normierter linearer Raum aufgefaßt werden. Der (topologische) Dualraum besteht aus allen stetigen linearen
Funtionalen.
0.2.10
Hilbert-Räume
Wenn in einem Vektorraum (über IR oder C) eine Abbildung, die je 2 Vektoren einen Skalar
zuordnet, Eigenschaften des im IR3 (bzw. C3 ) üblichen Skalarprodukts aufweist, so spricht
man von einem inneren Produkt, und der Raum heißt Prähilbertraum (=euklidischer Vektorraum). Die Schwarzsche (genauer Cauchy-Bunjakowskiĭ-Schwarzsche) Ungleichung besagt
im IR3 , daß das innere Produkt zweier Vektoren betragsmäßig nie größer als das Produkt
der Vektorlängen ist. Eine solche Ungleichung kann p
aus den Axiomen des inneren Produkts
hergeleitet werden und impliziert, daß durch kvk := hv, vi eine Norm, die induzierte Norm,
entsteht. Somit ist jeder Prähilbertraum ein (spezieller) normierter linearer Raum und insbesondere ein metrischer Raum. Ist er vollständig, so ist er ein Hilbertraum. Orthogonalität
kann analog dem 3-dimensionalen Anschauungsraum durch Verschwinden des inneren Produkts ausgedrückt werden. Dementsprechend gibt es im Hilbertraum die Orthogonalprojektion
eines Punktes in einen abgeschlossenen Teilraum, die Bestapproximation des Problems, den
minimalen Abstand des Punktes vom Teilraum zu finden. Diese Aufgabe hat viele nützliche Anwendungen, zu ihnen zählen die Singulärwertzerlegung von Matrizen im IRn (überbestimmte lineare Gleichungssysteme– z.B. in der Varianzanalyse oder Ausgleichsrechnung),
und voran verallgemeinerte Fourierreihen. Die Lösung der Aufgabe gelingt, wenn im Teilraum
ein vollständiges Orthogonalsystem bekannt ist, durch Angabe jenes Fourierreihenabschnittes
des Punktes, der im Teilraum liegt. Der Rieszsche Darstellungssatz besagt, daß jedes stetige
lineare Funktional im Hilbertraum durch das innere Produkt in einfacher Weise beschrieben werden kann. Auf diesem Satz beruht die Methode der Greenfunktionen bei der Lösung
etlicher Randwertaufgaben.
Kapitel 1
Grundlagen
1.1
1.1.1
Logik
Aussagenlogik
In der Aussagenlogik geht man zunächst davon aus, daß jede Aussage genau einen Wahrheitswert, nämlich wahr oder falsch, abgekürzt W bzw. F hat, wobei zunächst nicht interessiert,
wie dieser Wahrheitswert zustande gekommen ist. Zwei Aussagen sind dann logisch äquivalent, wenn sie den gleichen Wahrheitswert haben. Somit hat man genau zwei Klassen von
Aussagen: wahre und falsche. Nun möchte man verstehen, welchen Wahrheitswert zusammengesetzte Aussagen, etwa “A und B”, “A oder B”, “aus A folgt B”, “nicht A” haben.
Diese Zusammensetzungen werden durch die Symbole “A ∧ B”, “A ∨ B”, “A ⇒ B” und
“¬A” abgekürzt. Nun ergibt sich “Kalkül”: Eine “Formel”, die unter der Verwendung dieser
Symbole durch Zusammensetzung von Aussagen entsteht, wird als Aussageform bezeichnet.
So ist F (A, B, C) := (A ∨ B) ∧ (¬(C ∨ A))1 eine Aussageform, in der die Aussagen A, B und
C zusammengesetzt wurden.
Zwei Aussageformen F (A1 , · · · , An ) und G(A1 , . . . , An ) sind logisch äquivalent, wenn sie
bei jeder Wahl der in ihnen vorkommenden Aussagen A1 , . . . , An den gleichen Wahrheitswert
haben. Man beobachtet nun, daß die Formel F (A1 , . . . , An ) stets den gleichen Wahrheitswert
wie die Formel F (B1 , . . . , Bn ) hat, soferne jedes Ai den gleichen Wahrheitswert wie Bi (i =
1, . . . , n) hat. Deshalb genügt es, die 2n Fälle der möglichen Wahrheitswertbelegungen von
(A1 , . . . , An ) durchzusehen. So etwa genügt es, für die Äquivalenz von (A ∧ B) und (B ∧ A)
die in der umseitigen Tabelle angegebenen vier Fälle zu untersuchen.
Es ist üblich, die Berechnung des Wahrheitswertes der elementaren logischen Operationen
aus jenen der vorkommenden Variablen mittels Wahrheitstafel zu beschreiben, wie dies in der
umseitigen Tabelle gezeigt wird.
Kurz zu dem Umstand, daß in der nachfolgenden Tabelle “A ⇒ B” den Wahrheitswert W
hat, falls A F und B W ist: Ein Beispiel mit Aussagen aus der Theorie der ganzen Zahlen:
Wenn X die Menge {0, 1} und A die Aussage “0 = 1” ist, so kann man hieraus “1 = 0”,
und daher durch Einsetzen die wahre Aussage B, die da lautet “0 = 0” bekommen. Somit
1
Wie liest man diese Aussage sprachlich?
11
A, B
A, B
A, B
A, B
Disjunktion
∨
Implikation
⇒
Äquivalenz
⇔
A
A oder B
A∨B
Beispiel 1 Beispiele zum Umgang mit logischen Aussagen:
A⇔B
A⇒B
A und B
A∧B
A
A
A
A
B
(logisch) äquivalent zu B
ist gleichbedeutend zu B
gilt genau dann, wenn B gilt
ist hinreichend und notwendig für
aus A folgt B
wenn A gilt, so auch B
A ist hinreichend für B
B ist notwendig für A
A impliziert B
A ist stärker als B
B ist schwächer als A
nicht A
Lesart(en)
¬A
Aus(logische)
sage(n) Verknüpfung
Konjunktion
∧
Negation
¬
Bezeichnung
w(A)
W
W
F
F
w(A)
W
W
F
F
w(A)
W
F
w(A)
W
W
F
F
w(A)
W
W
F
F
w(B)
W
F
W
F
w(B)
W
F
W
F
w(A ⇔ B)
W
F
F
W
w(A ⇒ B)
W
F
W
W
w(¬A)
F
W
w(B) w(A ∧ B)
W
W
F
F
W
F
F
F
w(B) w(A ∨ B)
W
W
F
W
W
W
F
F
Wahrheitstafel
12
Grundlagen
hat man aus der falschen Aussage A die wahre Aussage B hergeleitet. Dieses Folgern “⇒”
wird sehr wohl als W bewertet. Das Folgern an sich ist nicht falsch, man hat mit A ja nichts
Unkorrektes getätigt.
Nun die schon angekündigten Wahrheitstabellen:
1.1. Logik
1.
13
? Wie kann man die Aussage “ > 0, k > 0 und T ∈ [α, β]” mittels der obigen
Symbolik anschreiben?
Antwort: ( > 0) ∧ (k > 0) ∧ (T ∈ [α, β]).
2.
? Analog: “x ist entweder Null oder muß die folgenden Bedingungen erfüllen: x < 0,
x ist ganzzahlig und x ist durch 7 teilbar”.
Antwort: (x = 0) ∨ ((x < 0) ∧ (x ist ganzzahlig) ∧ (x ist durch 7 teilbar))
3.
? Analog: “Wenn n > 7 ist, so ist n < 0”.
Antwort: (n > 7) ⇒ (n < 0).
4.
? Man formuliere die nachstehende Aussage als ausgeschriebenen Satz ohne Benützung
der Symbole der Aussagenlogik:
((x > 0) ∧ (y < 0)) ∨ ((x < 0) ∧ (y > 0)).
Antwort: “x positiv und y negativ, oder es ist x negativ und y positiv.”
? Zusatzfrage: Ist “xy < 0” logisch äquivalent dazu?
Antwort: Die Frage ist nicht korrekt gestellt, sie kann im Rahmen der Logik nicht
beantwortet werden, sondern lediglich innerhalb der Theorie der reellen Zahlen.
5.
? Wie müssen die Wahrheitswerte von Aussagen A, B und C beschaffen sein, daß
(A ⇒ B) ⇒ C nicht den gleichen Wahrheitswert wie A ⇒ (B ⇒ C) hat?
Antwort: Eine gerne gepflegte Methode besteht in der Diskussion aller 8 Fälle und
Eintragen in eine erweiterte Wahrheitstafel. Die in dieser Form gefundenen Lösungen:
w(A)
F
F
6.
w(B)
W
F
w(C)
F
F
w(A ⇒ B)
W
W
w(B ⇒ C)
F
W
w((A ⇒ B) ⇒ C)
F
F
w(A ⇒ (B ⇒ C))
W
W
? Man zeige die logische Äquivalenz der Aussagen (A ⇒ B) und (¬A ∨ B), also die
Gültigkeit von (A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B).
Antwort: Auch hier ist
die Diskussion der 4
Fälle mittels erweiterter
Wahrheitstafel möglich:
w(A)
W
W
F
F
w(B)
W
F
W
F
w(A ⇒ B)
W
F
W
W
w(¬A)
F
F
W
W
w(¬A ∨ B)
W
F
W
W
Die erweiterten Wahrheitstafeln (siehe z.B. Beispiel 1 (S.12), 5. und folgende) aufzustellen ist
für komplizierter aufgebaute Aussagen mühsam. Daher interessiert man sich für Rechenregeln,
die das Rechnen mit Aussagen ermöglichen. Vorweg noch die folgende Definition:
14
Grundlagen
Definition 2 Eine stets wahre Aussage heißt Tautologie, eine stets falsche Kontradiktion
bzw. Widerspruch.
Da definitionsgemäß zwei Aussagen A und B als logisch äquivalent gelten, wenn w(A) =
w(B) gilt, können die nachstehenden Identitäten, die ∨, ∧, ¬ involvieren, teils mittels Wahrheitstafeln, teils durch formales Herleiten aus bereits Bewiesenem gezeigt werden:
Anmerkung 3 (Logische
knüpfungen)
A∨B
A∧B
(A ∨ B) ∨ C
(A ∧ B) ∧ C
(A ∨ B) ∧ C
(A ∧ B) ∨ C
A⇒B
¬(¬A)
¬(A ∨ B)
¬(A ∧ B)
(A ∧ B) ∨ A
(A ∨ B) ∧ A
A∨T
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
A∧T
A∨W
⇔ A
⇔ A
A∧W
⇔ W
Äquivalenz
B∨A
B∧A
A ∨ (B ∨ C)
A ∧ (B ∧ C)
(A ∧ C) ∨ (B ∧ C)
(A ∨ C) ∧ (B ∨ C)
(¬A) ∨ B
A
¬A ∧ ¬B
¬A ∨ ¬B
A
A
T
und
Rechengesetze
logischer
Ver-
Kommutativgesetz
Kommutativgesetz für ∧
Assoziativität von ∨
Assoziativität von ∧
Distributivität von ∧ bezüglich ∨
Distributivität von ∨ bezüglich ∧
wegen Beispiel 1 (S.12) 6.
Doppelnegation
Dualität
Dualität
Verschmelzungsgesetz
Verschmelzungsgesetz
für jede Tautologie T (Definition 2
(S.14))
für jede Tautologie T
für jeden Widerspruch W (Definition 2 (S.14))
für jeden Widerspruch W
Beispiel 4 Beispiele sollen den Vorteil des “Rechnens mit Aussagen” gegenüber erweiterten
Wahrheitstafeln illustrieren.
1.
? Zunächst leite man aus einer Wahrheitstafel die Aussage (X ⇔ Y ) ⇔ (¬X ⇔ ¬Y )
her. Diese logische Äquivalenz und Doppelnegation der ersten mit Dualität bezeichneten
Formel verwende man, um die zweite Formel dieser Art herzuleiten.
Antwort: Ersetzt man in der ersten Formel linke und rechte Seite durch die negierten
Formen und danach A durch ¬A sowie B durch ¬B, so egibt sich:
¬(¬(¬A ∨ ¬B)) ⇔ ¬(A ∧ B).
Jetzt verwendet man (X ⇔ Y ) ⇔ (¬X ⇔ ¬Y ) mit X und Y linke und rechte Seite der
obigen Äquivalenz.
1.1. Logik
2.
15
? Man beweise oder widerlege die logische Äquivalenz von (A ⇒ B) ⇒ C und A ⇒
(B ⇒ C). Im Falle, daß die Aussagen nicht äquivalent sind, gebe man ein einfaches
Beispiel von Aussagen (über natürliche Zahlen) an.
Antwort: Zunächst können beide Terme mittels der Regeln umgeformt werden:
(A ∧ ¬B) ∨ C,
¬A ∨ (¬B ∨ C).
Jetzt sieht man, daß es genügt, w(C) = w(A) = F zu wählen, dann kann B beliebigen
Wahrheitswert annehmen und man hat ein Gegenbeispiel, weil ja der erste Term den
Wahrheitswert F, der zweite W bekommt (vgl. auch Beispiel 1 (S.12) 5). Um ein
handfestes Beispiel mit Aussagen über natürliche Zahlen zu bekommen, nimmt man
z.B. A :=“1 = 0”, B :=“1 = 1” und C :=“1 = 0”.
3.
? Man zeige die Gültigkeit der Kontraposition: “A ⇒ B” ist logisch äquivalent zu
“¬B ⇒ ¬A”.
Antwort : Es ist w(A ⇒ B) = w(¬A ∨ B) und w(¬B ⇒ ¬A) = w(¬(¬B) ∨ ¬A) =
w(B ∨ ¬A) = w(¬A ∨ B).
4.
? Hier ein Programmausschnitt zur Definition der logischen (“Bool’schen”) Variablen
‘cond’:
var cond
: boolean;
x,loops
: integer;
userinput : string;
cond:=( (x=10) and ( (userinput=‘abbruch’) or (loops > 100))
and ( (userinput=‘abbruch’) or (x <> 10) ) );
Unter welchen Bedingungen ist der userinput relevant für das Zutreffen von cond? Wie
stellt sich die Bedingung in aussagenlogischer Form dar? Kann sie vereinfacht werden?
Wie sähe eine vereinfachte Programmzeile aus?
Antwort: Der Programmierer versucht, die Variable(n) zu analysieren, indem er sich
überlegt, was passiert wenn/wenn nicht die Eingabe ‘abbruch’ erfolgt. Er erkennt, daß
diese Eingabe nur für x = 10 relevant ist. Hingegen ist die Schleifenkontrolle mittels
loops überflüssig.
Im Folgenden soll das auf aussagenlogischem Weg gezeigt werden:
Nach Einführen der Bezeichnungen A :=“x=10”, B :=“userinput=‘abbruch”’ und
C :=“loops > 100” für die Aussagen findet man als Formulierung von cond:
cond ⇔ A ∧ (B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬A).
16
Grundlagen
Nun sollen die Rechengesetze in Anmerkung 3 (S.14) zur Vereinfachung herangezogen
werden:
A ∧ (B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬A)
⇔ (A ∧ (B ∨ ¬A)) ∧ (B ∨ C)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Ausgangssituation
Kommutativität und Assoziativität von ∧
((A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬A)) ∧ (B ∨ C) Distributivität von ∧ bezüglich ∨
(A ∧ B) ∧ (B ∨ C)
Der Widerspruch A∧¬A kann
fortgelassen werden
A ∧ (B ∧ (B ∨ C))
Assoziativität von ∧
(A ∧ (B ∨ (B ∧ C)))
Verschmelzungsgesetz
A∧B
Die Bedingung C ist redundant und als vereinfachte Programmzeile ergibt sich
cond:=(x=10) and (userinput=‘abbruch’);
1.1.2
Prädikatenlogik 1.Stufe
Es werden Elemente betrachtet, d.s. Objekte, die “mathematisch gesprochen” einem Universum der Betrachtung angehören, z.B. die natürlichen Zahlen. Danach gibt es Prädikate, das
sind Eigenschaften, die den Objekten im Universum zukommen können (etwa die Eigenschaft
P (n)=“ n ist gerade ”, die einer Zahl n zukommt). In der Aussagenlogik hat man sich für
Prädikate lediglich um Zusammensetzungen etwa der Art P (n) ∧ Q(k) gekümmert. Nun geht
es auch um das “Quantifizieren”, also die Verwendung von ‘∃’ (Existenzquantor) und ‘∀’
(Allquantor). Als Beispiel
(∀n)(∃k)P (n) ∧ Q(k).
In Worten: Zu jeder natürlichen Zahl n, die P (n) erfüllt, gibt es eine natürliche Zahl k, die
Q(k) erfüllt.
Die Gesetze der Prädikatenlogik 1.Stufe geben den “richtigen Umgang” mit dem Hinschreiben von Aussagen, die ‘∃’ und ‘∀’ enthalten. Deren Wahrheitsgehalt kann nur bei näherer
Kenntnis des Universums geprüft werden. Die danach wahren Aussagen nennt man die Sprache 1. Ordnung über das gegebene Universum. Als wesentliche Anwendung gilt das gezielte
Vereinfachen von Aussagen, ohne den Wahrheitsgehalt zu ändern. Deshalb benötigt man
Umformungen, welche bei jeder Belegung der Variablen (etwa das ‘n’ in P (n)) den Wahrheitsgehalt nicht abändern.
Eine solche Sprache, wie sie zur Beschreibung einfacher (mathematischer) Theorien benützt
wird, muß im Sinne der Prädikatenlogik nach folgenden Grundprinzipien aufgebaut sein:
Definition 5 (Sprache der Prädikatenlogik) Zunächst besteht das Alphabet einer prädikatenlogischen Sprache aus Symbolen folgender Art:
1. Logische Symbole
¬
nicht
⇒
folgt
⇔
gleichbedeutend
∃
es existiert
∀
für alle
=
gleich
1.1. Logik
17
Die Symbole ∃ und ∀ heißen Quantoren, genauer Existenz- beziehungsweise Allquantor.
2. Variablensymbole.
3. Konstantensymbole.
4. Symbole für Prädikate.
5. Funktionssymbole, die spezifisch für die zu beschreibende Sprache (etwa jener der Sätze
über natürliche Zahlen) sind.
Als nächstes wird festgelegt, wie man Terme bildet. Das geschieht rekursiv:
1. Jedes Variablen- und jedes Konstantensymbol ist ein Term.
2. Ist f ein n-stelliges Funktionssymbol und t1 , . . . tn Terme, so ist f (t1 , . . . , tn ) auch ein
Term.
Ein konstanter Term ist ein Term ohne Variablensymbole.
Nun werden Primformeln nach folgenden Regeln gebildet:
1. Gleichungen t1 = t2 , wobei t1 , t2 Terme sind.
2. Ist R ein n-stelliges Prädikat und t1 , . . . , tn Terme, so ist R(t1 , . . . , tn ) eine Primformel.
Nun wird (wieder rekursiv) festgelegt, wie man zu Formeln kommt:
1. Jede Primformel ist eine Formel.
2. Sind F und G Formeln und x ein Variablensymbol, so sind es auch die Ausdrücke ¬F ,
F ⇒ G, F ⇔ G, (∃x)F und (∀x)F .
Die Variable x in (∃x)F bzw. (∀x)F heißt gebunden, wenn vor der Variablen x kein Quantor
steht, ist sie frei. Weiters wird statt (∀x)((∀y)F ) die klammerfreie Version (∀x)(∀y)F geschrieben und ähnlich für mehrere Quantoren. Es ist (∀x)F (bzw. (∃x)F ) genau W, wenn F
für alle (bzw. für ein x) W ist.
Beispiel 6 Beispiele hierzu:
1.
? Man überlege sich die logische Äquivalenz von ¬(∃x)F und (∀x)¬F . Analog auch
die logische Äquivalenz von ¬(∀x)F und (∃x)¬F .
Antwort: Wenn es kein x gibt, welches F erfüllt, so muß ¬F für jedes x gelten. Also
gilt ‘ ⇒0 . Ist umgekehrt für alle x die Aussage ¬F richtig, so kann es kein x geben, auf
das F zutrifft. Somit hat man ‘ ⇐0 .
Die andere Aussage geht ähnlich.
18
Grundlagen
2.
? Man gebe (in der Theorie der natürlichen Zahlen) äquivalente Formulierungen für
¬(x < 3) ∧ (x < 7), (∃x)x2 = 4, ¬(∃l) l < 1. Welche der Variablen sind gebunden,
welche frei. Was kann über den Wahrheitswert der Aussagen gesagt werden?
Antworten:
(x = 3) ∨ (x = 4) ∨ (x = 5) ∨ (x = 6) und x ist frei, weil kein Quantor vorkommt.
x = 2 und x ist gebunden. Die neue Formel ist quantorenfrei, man spricht von Quantorenelimination aus (∃x)x2 = 4,
(∀l)l ≥ 1 und l ist eine gebundene Variable.
3.
? (Negation des -δ Stetigkeitskriteriums) Man zeige durch Anwenden logischer
Operationen2 , daß
¬ ( (∀ > 0) (∃δ > 0) (∀x) ( (|x| < δ) ⇒ (|f (x) − f (0)| < )) )
|
{z
}
{z
}
|
|
{z
}
logisch äquivalent zu
(∃ > 0)(∀δ > 0)(∃x)
ist.
((|x| < δ) ∧ (|f (x) − f (0)| ≥ ))
Antwort: “Wort und Satzanalyse” hilft weiter: wir setzen F für den Term (|x| < δ) und
G für (|f (x) − f (0)| < ) und setzen Klammern. Dann liest sich die Aussage2 als
¬ ( (∀ > 0) ( (∃δ > 0) ((∀x) (F ⇒ G)))) .
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
Mittels der Regeln bezüglich Negation von Quantoren (Definition 5 (S.16)) kann das
“¬” sukzessive von links nach rechts geschoben werden. Wir haben auch F ⇒ G in
¬F ∨ G umgeschrieben (Anmerkung 3 (S.14)):
⇔
⇔
⇔
⇔
1.2
¬( (∀ > 0)
(∃ > 0)
(∃ > 0)
(∃ > 0)
(∃ > 0)
( (∃δ > 0)
(¬((∃δ > 0)
( (∀δ > 0)
( (∀δ > 0)
( (∀δ > 0)
((∀x)
( (∀x)
(¬((∀x)
((∃x)
( (∃x)
(¬F ∨ G)) ) )
(¬F ∨ G)) ) )
(¬F ∨ G)) ) )
¬((¬F ∨ G)) ) )
(F ∧ ¬G))).
Mengen
Mengen dienen der axiomatischen “Fundierung” der Mathematik. Ein Abriss über axiomatische Mengenlehre ist im Unterabschnitt A.1.3 (S.261).
2
Die Unterklammerung dient lediglich als Lesehilfe.
1.2. Mengen
1.2.1
“Naive” Mengentheorie, Mengen, Elemente, Teilmengen
Mengen und Elemente, Aufzählung, Eigenschaft
19
20
Grundlagen
Mengen sind Zusammenfassungen wohl-unterschiedener Objekte, die man ihre Elemente
nennt, d.h., je zwei Elemente einer Menge M sind verschieden und zwei Mengen M und
N sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.
Ist die Menge M endlich, so schreibt man M := {x1 , . . . , xn } und spricht von einer “Auflistung
ihrer Elemente”.
Ist A(x) eine Eigenschaft oder Prädikat, die einem Element x zukommt, so versteht man
unter N = {x | A(x)} die Menge jener Elemente x, auf die A(x) zutrifft. Man spricht von
einer Beschreibung: “N wird durch die Eigenschaft A(x) ihrer Elemente x bestimmt.”.
Man schreibt x ∈ M , falls x ein Element von M ist und x 6∈ M für die Aussage ¬(x ∈ M )
(also wenn x kein Element von M ist).
Statt (x ∈ M ) ∧ (y ∈ M ) ∧ (z ∈ M ) schreiben wir des öfteren (x, y, z ∈ M ) etc.
Teilmenge, Obermenge
Wenn alle Elemente einer Menge N auch Elemente einer Menge M sind, so nennt man N
Teilmenge von M und schreibt N ⊆ M .
Es gilt demnach definitionsgemäß
(N ⊆ M ) ⇔ (∀x)(x ∈ N ⇒ x ∈ M ).
N
M
Statt N ⊆ M schreibt man auch M ⊇ N und nennt dann M eine Obermenge von N . Jedes
Element aus N kommt in M vor, und das ‘ ’ unter dem ‘⊂’ deutet an, daß M = N sein darf.
Aufgrund der Festlegung, wann zwei Mengen M und N gleich sind, ergibt sich,
(M = N ) ⇔ (M ⊆ N ) ∧ (N ⊆ M ).
Man schreibt N ⊂ M , bzw. M ⊃ N und sagt, N ist echte Teilmenge von M (bzw. M ist
echte Obermenge von N ), wenn N Teilmenge von M ist, jedoch M mindestens ein Element
enthält, das nicht zu N gehört. Als Formel
(N ⊂ M ) ⇔ ((N ⊆ M ) ∧ (∃x)(x ∈ M ∧ x 6∈ N )).
Leere Menge
Die Menge, welche keine Elemente enthält, heißt leere Menge, im Zeichen ∅. Sie kann z.B.
durch
∅ = {x | x 6= x}
definiert werden.
1.2. Mengen
21
Beispiel 7 Es sollen im Folgenden, wie üblich, IN , Q, ZZ, IR und C Symbole für die natürlichen, die ganzen, die reellen, bzw. die komplexen Zahlen sein.
1.
? Man beweise oder widerlege M = N für folgende Mengen. Welche der Aussagen
M ⊆ N , N ⊆ M , M ⊂ N , N ⊂ M trifft zu und welche dieser Aussagen ist die stärkste
von denen, die zutreffen:
M
N
{3, 5, 7}
{x | x ∈ IN ∧ x2 ≤ 50}
∅
{∅}
∅
{x | x ∈ IR ∧ x < 0 ∧ (x2 −
4x + 2.4444137 = 0)}
(0, 1]
{x ∈ IR | x > x2 ∨ x3 = 1}
{(p, q) ∈ IR2 | p2 − 4q = 0} {(p, q) ∈ IR2 | (∃x)((x2 + px +
q = 0) ∧ (2x + p = 0))}
Antworten:
{3, 5, 7} =
6 {x | x ∈ IN ∧ x2 ≤ 50}.
Um dies zu zeigen, genügt es, ein Element von N anzugeben, das nicht in M liegt. Es ist
x = 1 in N , weil x = 1 die beschreibende Eigenschaft von N erfüllt (es ist 12 ≤ 50), aber
es fehlt in der als Liste gegebenen Menge M . Es ist M ⊆ N , weil für jede der Zahlen
3, 5, 7 die beschreibende Eigenschaft von N zutrifft und es gilt die stärkere Aussage
M ⊂ N , weil 1 ∈ N , aber 1 6∈ M ist.
—————
∅=
6 {∅}, weil die leere Menge keine, jedoch die Menge {∅} immerhin als einziges Element
die leere Menge enthält. Es ist M ⊆ N , weil die leere Menge Teilmenge jeder Menge,
also auch von N ist. Die Aussage M ⊂ N ist stärker als M ⊆ N , und sie gilt, weil das
Element ∅ wohl zu N aber nicht zu M gehört.
—————
∅ = {x | x ∈ IR ∧ x < 0 ∧ (x2 − 4x + 2.444317 = 0)}.
Dazu genügt es, sich klar zumachen, daß es kein negatives reelles x gibt, das die beschreibende Eigenschaft von N erfüllt. Das folgt, weil der Ausdruck wie folgt nach
unten abgeschätzt werden kann: |{z}
x2 + (−4x) +2.444137 > 2.444137, also für beliebiges
| {z }
>0
>0
negatives x positiv sein muß.
Es gelten die Aussagen M ⊆ N und N ⊆ M , jedoch keine der Aussagen M ⊂ N bzw.
N ⊂ M.
—————
(0, 1] = {x ∈ IR | x > x2 ∨ x3 = 1}.
Wir zeigen zunächst M ⊆ N . Sei x beliebig im links offenen und rechts abgeschlossenen
Intervall (0, 1] gewählt. Dann erfüllt es definitionsgemäß die Ungleichungen 0 < x ≤ 1.
Für positives x darf man diese Ungleichung mit x multiplizieren, also bekommt man
22
Grundlagen
0 < x2 ≤ x, somit gilt die erste der Bedingungen in N , falls x < 1 und die zweite, falls
x = 1 ist.
Nun ist noch N ⊆ M zu zeigen. Sei zunächst x2 < x, so ist x positiv, und man kann
die Ungleichung mit x1 multiplizieren, um 0 < x < 1, also x ∈ (0, 1) zu bekommen.
Trifft auf ein reelles x die zweite Eigenschaft zu, so ist x = 1, und man hat x ∈ (0, 1].
Insgesamt hat man N ⊆ M .
Es gelten die Aussagen M ⊆ N und N ⊆ M , jedoch keine der Aussagen M ⊂ N bzw.
N ⊂ M.
—————
Es ist M = N . Zunächst zeigen wir M ⊆ N . Ist (p, q) ∈ M , so gilt p2 − 4q = 0. Dann
zeigt die Umformung x2 + px + q = (x + p2 )2 , daß x = − p2 Lösung von sowohl x2 + px + q
als auch 2x + p = 0 ist. Somit ist M ⊆ N .
Um N ⊆ M zu zeigen, nehmen wir (p, q) ∈ N an. Dann gibt es x, welches Lösung der
Gleichungen x2 + px + q = 2x + p = 0 ist. Einsetzen von x = − p2 in der quadratischen
Gleichung zeigt, daß p2 − 4q = 0 gelten muß. Also ist (p, q) ∈ M . Hier eine mögliche
Interpretation3 .
Es gelten die Aussagen M ⊆ N und N ⊆ M , jedoch keine der Aussagen M ⊂ N bzw.
N ⊂ M.
Durchschnitt, Vereinigung, Komplement, Mengendifferenz
Es sollen hier die im Titel genannten Mengenoperationen erläutert werden.
Definition 8 (Mengenoperationen) Es seien A und B Mengen.
Vereinigung: Als Vereinigung von A und B bezeichnet man die Menge jener Elemente, die
zu A oder zu B gehören:
A
B
A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B},
bzw.
(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)
3
Man stelle sich vor, daß (p, q) “Parameter” eines “Systems” sind, welches eine “Zustandsvariable” x hat.
Die rellen Wurzeln x der Gleichung x2 +px+q = 0 definieren 0,1,bzw. 2 mögliche Zustände. Ist ∆ := p2 −4q > 0,
so gibt es 2, ist ∆ = 0, einen (weil eine Doppelwurzel auftritt), und ist ∆ < 0 keinen Zustand.
1.2. Mengen
23
Durchschnitt: Als Durchschnitt von A und B bezeichnet man die Menge jener Elemente,
die sowohl zu A als auch zu B gehören:
A
B
A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B},
bzw.
(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)
Man sagt, A und B sind disjunkt, falls A ∩ B = ∅, also A und B keine Elemente
gemeinsam haben.
Differenz: Als (Mengen)Differenz von A und B bezeichnet man die Menge jener Elemente,
die zwar zu A, nicht jedoch zu B gehören.
A
B
A \ B := {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B},
bzw.
(x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x 6∈ B).
Ist B ⊆ A, so wird A \ B auch als Komplement von B in A bezeichnet. Man schreibt
dann CA (B) := A \ B.
Wird eine feste Menge M als Grundmenge ausgezeichnet, d.h., man betrachtet in einem
bestimmten Kontext lediglich Teilmengen von M , so werden wir statt CM (A) auch A0
schreiben.
Beispiel 9 Wie man die vorangegangenen Begriffe zur “modellhaften Beschreibung” verwenden kann, soll das folgende Beispiel zeigen.
1.
? Zwei nebeneinander postierte Scheinwerfer projizieren nächtens kreisrunde Scheiben
auf eine weiße Wand, und zwar einer in gelb (G) und einer in blau (B). Eine Plane (P)
deckt einen Teil des Strahlenganges ab.
Wie kann man die Lage der Scheiben und jener Teile, die in Mischfarben erscheinen,
mittels Mengen beschreiben? Wie die beleuchtete Fläche – einmal ohne daß die Plane
abdeckt, einmal wenn sie es tut?
Antwort: Die weiße Wand mag für unsere Zwecke als Menge IR2 beschrieben werden.
Jeder von einem Scheinwerfer projizierte Scheibe ist dann eine Kreisscheibe, also eine
24
Grundlagen
Punktmenge der Form
{(x, y) | (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2 }.
Somit hat man zwei solche Kreisscheiben G und B.
Sichtlich ist G∪B die beleuchtete Fläche und G∩B der Bereich, in dem eine Mischfarbe
erscheint.
Die Lage der Scheiben kann unterschiedlich sein. Es kann eine der beiden Scheiben in
der anderen enthalten sein, z.B. G ⊆ B. Keine der Scheiben ist in der anderen zur
Gänze enthalten genau dann, wenn G \ B und B \ G beide nicht leer sind! Schließlich
können die Scheiben disjunkt sein, also B ∩ G = ∅.
Wenn die Plane im Strahlengang ist, so ergibt sich als beleuchtete Fläche
(G ∪ B) \ P,
was zugleich (G \ P ) ∪ (B \ P ) ist. Weiters ist (G ∩ B) \ P jener Flächenanteil, der in
Mischfarbe erscheint.
2.
? Zeichenprogramme (etwa für Innenarchitekten) erlauben dem Benützer Objekte festzulegen, (etwa beim Grundriss eines Raumes die Position und Form von Möbeln). Es
seien Objekte R (der Raum), sowie T (Tisch), K (Kasten) und S (Sessel) gegeben.
Welche mengentheoretischen Bedingungen kann man für diese vier Objekte angeben,
damit sie (als Punktmengen in der Ebene – Draufsicht) eine Einrichtungsskizze ergeben, wenn man davon ausgeht, daß die Möbel alle am Fußboden stehen. Wie übersetzt
man die Bedingungen in Umgangssprache?
Antwort: T ∩S = T ∩K = S ∩K = ∅ und K ∪T ∪S ⊆ R. (Umgangssprache: Die Skizzen
der Möbel dürfen einander nicht überlappen und müssen alle im Raum R drinnen sein.
3.
? Einige der Axiome der Ebene lauten:
a) Ein Punkt ist etwas, das keine Teile hat.
b) Jede Gerade besteht aus Punkten.
c) Auf jeder Geraden liegen mindestens 2 Punkte.
d) Durch 2 voneinander verschiedene Punkte kann man genau eine Gerade legen.
e) Zwei voneinander verschiedene Geraden schneiden einander in höchstens einem
Punkt.
Wie können diese Aussagen mengentheoretisch formuliert werden?
Antwort:
a) Mengentheoretisch steht man heute auf dem Standpunkt, daß die (Euklidische) Ebene
aus Punkten besteht, somit diese Elemente der Ebene, als Menge aufgefaßt sind –
danach konstruiert man (motiviert durch die elementare Anschauung) eine Sprache
im Sinne von Definition 237 (S.259), um die Geometrie der (Euklidischen) Ebene zu
beschreiben. Somit soll im weiteren E die Menge aller Punkte, sein.
b) Ist G die Menge der Geraden, so gilt
1.2. Mengen
25
(∀g ∈ G) g ⊆ E.
c)
(∀g ∈ G) (∃p ∈ E) (∃q ∈ E)
(p 6= q) ∧ ({p, q} ⊆ g).
d)
(∀p ∈ E) (∀q ∈ E) (∃g ∈ G) (∀h ∈ G)
( (p 6= q) ⇒
(
({p, q} ⊆ g)
∧
( ({p, q} ⊆ h) ⇒ (h = g) )
)
).
e)
(∀g ∈ G) (∀h ∈ G) (∀p ∈ E) (∀q ∈ E)
(
( ({p, q} ⊆ g ∩ h) ∧ (g 6= h) ) ⇒ (p = q)
).
4.
? In der (x, y)-Ebene werden die Koordinatenachsen A(bszisse) und O(rdinate) gezeichnet. Welche Gleichungen muß ein Zahlenpaar (x, y) erfüllen, damit der Punkt P
mit den Koordinaten x und y folgende Relation erfüllt:
P ∈ A, P ∈ O, P ∈ A ∩ O, bzw. P ∈ A ∪ O.
Antwort y = 0, x = 0, x = y = 0, xy = 0.
5.
? Läßt sich die ebene Punktmenge im IR2
M := {(x, y) | xy(x2 + y 2 − 1) = 0}
als Vereinigung von Geraden und Kreisen beschreiben?
Antwort: Da xy(x2 + y 2 − 1) = 0 ⇔ (x = 0) ∨ (y = 0) ∨ (x2 + y 2 − 1 = 0), ist
M
= {(x, y) | (x = 0)}
∪{(x, y) | (y = 0)}
∪{(x, y) | (x2 + y 2 − 1 = 0)}
= A ∪ O ∪ K((0, 0); 1),
x=0
y=0
d $d
$d $d
x2 + y 2 = 1
wobei K((0, 0); 1) die Kreislinie mit Mittelpunkt Null und Radius 1 ist.
Die im Unterabschnitt 1.2.1 gegebenen Definitionen der Mengenoperationen erlauben die
Übertragung der Rechengesetze aus Anmerkung 3 (S.14):
26
Grundlagen
Anmerkung 10 (Rechengesetze für Mengenoperationen)
A∪B
A∩B
(A ∪ B) ∪ C
(A ∩ B) ∩ C
(A ∪ B) ∩ C
(A ∩ B) ∪ C
=
=
=
=
=
=
B∪A
B∩A
A ∪ (B ∪ C)
A ∩ (B ∩ C)
(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(A0 )0
(A ∪ B)0
(A ∩ B)0
= A
= A0 ∩ B 0
= A0 ∪ B 0
Kommutativgesetz für ∪
Kommutativgesetz für ∩
Assoziativität von ∪
Assoziativität von ∩
Distributivität von ∩ bezüglich ∪
Distributivität von ∪ bezüglich ∩
A ist das Komplement von A0
Dualität, De’Morgan
Dualität, De’Morgan
Viele dieser Identitäten können mit einfachen Zeichnungen “eingesehen” werden. Um jedoch
Fehler zu vermeiden, sind formale Beweise nötig. Wie das gehen kann, soll jetzt gezeigt
werden:
Beispiel 11
1.
? Man beweise die Identität A ∪ B = B ∪ A.
Antwort: Es genügt, die folgende logische Äquivalenz nachzuweisen:
(∀x)(x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ B ∪ A).
Sei x ein beliebiges Element in der Menge A ∪ B. Dann gelten die folgenden logischen
Äquivalenzen
x∈A∪B
⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) Definition von ∪
⇔ (x ∈ B) ∨ (x ∈ A) Kommutativgesetz für ∨
⇔ x ∈ (B ∪ A)
Definition von ∪
Beginn und Ende dieser Kette stellen die behauptete logische Äquivalenz dar.
2.
? Man zeige A \ B = A ∩ B 0 , wobei sich die Komplementbildung auf eine beliebige,
A ∩ B umfassende Menge bezieht.
Antwort: Wir zeigen, daß die in Frage kommenden Mengen die gleichen Elemente enthalten und es sei M eine Menge, die A ∪ B umfaßt:
x∈A\B
⇔ (x ∈ A) ∧ (x 6∈ B)
⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B 0 )
⇔ x ∈ A ∩ B0
Ausgangssituation
Definition von \
Definition des Komplements
Definition des Durchschnitts
1.2. Mengen
3.
27
? Man zeige (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B) = A ∪ B für beliebige Mengen A, B und C.
Man skizziere die Situation und formuliere die Aussage in aussagenlogischer Form.
Antwort: Das nachstehende Diagramm bedarf kundiger Betrachtung:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ A\B B\A
A∩B
A strichlierte Umrandung
B voll ausgezogene Umrandung
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Prädikatenlogische Form der Behauptung:
(∀A)(∀B)
(A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B) = A ∪ B.
Man könnte es wie unter 2. machen, wir wollen aber zeigen, wie man (in Hinblick
auf die gleiche Aufgabe für kompliziertere Identitäten) die in Anmerkung 10 (S.26)
formulierten Rechengesetze benützen kann. Es sei M := A ∪ B, dann kann man wie
folgt vorgehen:
(A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B)
= (A ∩ B 0 ) ∪ (B ∩ A0 ) ∪ (A ∩ B)
Ausgangsituation
Mengendifferenz durch
ment ausgedrückt
= ((A ∪ B) ∩ (B 0 ∪ B) ∩ (A ∪ A0 ) ∩(B 0 ∪ A0 )) ∪ (A ∩ B)
| {z } | {z }
=M
Komple-
=M
Distributivgesetz für ∪
= ((A ∪ B) ∩ (B 0 ∪ A0 )) ∪ (A ∩ B) es ist M = A0 ∪ A = B 0 ∪ B und
M ∩ T = T für jede Teilmenge T
von M
0
= ((A ∪ B) ∩ (A ∩ B) ) ∪ (A ∩ B) De’Morgan
= ((A ∪ B) ∪ (A ∩ B)) ∩ ((A ∩ B)0 ∪ (A ∩ B))
|
{z
}
=M
= (A ∪ B) ∩ M
= A∪B
4.
Distributivgesetz für ∪
weil Komplemente einander auf M
ergänzen
weil A ∪ B ⊆ M .
? Ist die Aussage (∀A)(∀B)(∀C)(A \ B) ∩ (A \ C) = A \ (B ∩ C). korrekt?
Antwort:
Zeichnet man die Mengen etwa wie auf dem Bild auf, sieht man rasch ein, daß die
Aussage falsch sein sollte (Die Mengen A, B und C sind jeweils durch strichlierte,
28
Grundlagen
ausgezogene, bzw. punktierte Linien umrandet) – gut für die Intuition, leider ist es
noch kein _Beweis.
_ _ _ _ _ _
A
B
_ _ _ _ _ _ _
C
Um zu einem Beweis zu gelangen, muß man die Negation der obigen Aussage zeigen,
also genügt es,
(∃A)(∃B)(∃C)(A \ B) ∩ (A \ C) 6= A \ (B ∩ C).
durch ein Beispiel zu belegen, etwa A := {1, 2}, B := {2} und C := A. Dann ist nämlich
(A \ B) ∩ (A \ C) = ∅ und A \ (B ∩ C) = {1}, also gilt Ungleichheit, wie behauptet.
(Wir haben die Allgemeingültigkeit der obigen Aussage durch Angabe eines Gegenbeispiels widerlegt).
1.2.2
Allgemeine Vereinigung und Durchschnitt, Partition, Potenzmenge,
Produktmengen
Definition 12 Es sei M eine Menge von Mengen.
Allgemeine Vereinigung: Man definiert
[
M
M ∈M
als die Gesamtheit aller Elemente x, die zu irgendeiner der Mengen M in M gehören.
[
M := {x | (∃M ∈ M) x ∈ M }.
M ∈M
S
Partition : Ist X = M ∈M M und sind je zwei verschiedene Mengen M und M 0 disjunkt,
d.h. gilt M ∩ M 0 = ∅, so nennt man M eine Partition oder disjunkte Zerlegung von X.
Allgemeiner Durchschnitt: Es ist
\
M
M ∈M
die Gesamtheit aller Elemente x, die zu allen Mengen M in M gehören.
\
M ∈M
M := {x | (∀M ∈ M) x ∈ M }.
1.2. Mengen
29
Beispiel 13
1. Ist G die Menge aller Geraden in der Ebene, so ist diese gleich
also Vereinigung aller in ihr liegenden Geraden.
S
g∈G g,
2. Es sei K eine in der (x, y)-Ebene des IR3 liegende Kreislinie und X die Menge aller
zur
S z-Achse parallelen Geraden, welche den Kreis in einem Punkt schneiden, dann ist
x∈X x ein unendlicher vertikaler Hohlzylinder. Es liegt eine Partition des Hohlzylinders
in vertikale Geraden (“Erzeugende”) vor.
3. Ein Stapel Bierdeckel veranschaulicht eine Partition des Stapels in die disjunkten Teilmengen. M ist die Menge der Bierdeckel, X das räumliche Gebilde, welches die Bierdeckel “belegen”.
4.
? Es sei H eine Menge von Teilmengen h einer Region, sodaß es
S in jedem h
T einen
Sender gibt, der in ganz h empfangen werden kann. Wie lassen sich h∈H h und h∈H h
deuten?
S
T
Antwort: Es ist h∈H h jener Bereich, wo Empfang herrscht, und h∈H h jener, wo alle
Sender empfangen werden können.
5.
? Es sei ein Geradenstück in der Ebene gegeben, welches den Ursprung (0, 0) mit
dem Punkt (1, 0) verbindet. Weiters soll Y die Menge aller Kreisscheiben vom
S Radius
1T sein, deren Mittelpunkte auf dem Geradenstück liegen. Wie kann man y∈Y y und
y∈Y y durch endlich viele Bedingungen an die Koordinaten der enthaltenen Punkte
beschreiben?
Antwort:
S
'$
'$
'$
'$
'$
'$
'$
'$
Als Vereinigung 4
y∈Y y = A ∪ B ∪ C mit
p
p
A := {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1}, B := {(x, y) | (0 ≤
x ≤ 1) ∧ (−1 ≤ y ≤ 1)} und
C
=
{(x,
y)
|
T
&%
&%
&%
&%
&%
&%
&%
&%
(x − 1)2 + y 2 ≤ 1}. Weiters ist y∈Y y = A ∩ C.
Mehr zu Partitionen siehe Definition 26 (S.35) und Beispiel 27 (S.36).
Definition 14 (Potenzmenge) Ist M eine Menge, so bilden alle ihre Teilmengen eine Menge, nämlich die Potenzmenge, abgekürzt durch P(M ):
P(M ) := {T | T ⊆ M }.
Beispiel 15 Ein Beispiel, das zur abzählenden Kombinatorik gehört, vgl. Anmerkung 38
(S.45).
4
Es ist dies ein Beispiel eines Voronoidiagramms: Dabei möchte man aus einem vorgegebenen Stück Blech
nach Schablone Figuren herausfräsen. Es gibt jedoch entlang des Randes Verluste, sodaß die Figuren verbreitert
gezeichnet werden müssen.
30
Grundlagen
1.
? Es sei M eine endliche Menge mit m Elementen. Man soll zeigen, daß P(M ) 2m
Elemente hat.
Antwort: Der Beweis gelingt durch vollständige Induktion. Ist die Anzahl m = 0, so
liegt die leere Menge vor, und sie hat nur eine einzige Teilmenge, nämlich ∅, somit hat
P(∅) 20 = 1 Elemente.
Nun sei die Behauptung für jede endliche Menge mit m Elementen bewiesen. Sei X
eine beliebige Menge mit m + 1 Elementen und x ∈ X ein beliebiges Element. Dann
gibt es zwei Arten von Teilmengen von X: solche, die Teilmengen von X \ {x} sind,
und solche, die von der Form T ∪ {x} mit T ⊆ X \ {x} sind. Von beiden Sorten gibt
es 2m Teilmengen, weil ja X \ {x} lediglich m Elemente hat. Somit gibt es insgesamt
2m + 2m = 2 × 2m = 2m+1 Teilmengen in X, w.z.b.w.
2.
? Auf wieviele Arten kann man aus einer Urne mit k Kugeln einen Teil der Kugeln
herausnehmen?
Antwort: Jeder solche “Teil” ist eine Teilmenge der k Kugeln. Deshalb gibt es 2k solche
Auswahlen.
Definition 16 (geordnetes Paar) Sind A und B Mengen und a ∈ A, b ∈ B, so heißt die
Menge (a, b) := {{a}, {a, b}} geordnetes Paar und die Menge aller geordneten Paare
A × B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
das (kartesische) Produkt der Mengen A und B.
Anmerkung 17 Die Definition des geordneten Paars durch eine Menge entspricht axiomatischem Vorgehen. Die wichtigste Eigenschaft eines geordneten Paars ist
(a, b) = (a0 , b0 ) ⇔ (a = a0 ) ∧ (b = b0 ),
die man als naive Definition kennt, und aus der mengentheoretischen Definition sofort
folgt.
Hat A genau m Elemente und B genau n Elemente, so hat A × B genau mn Elemente.
Beispiel 18 Hierzu Beispiele:
1.
? Es seien X := {A, B, C} Aussagen und W := {W, F}. Welche Deutung kann X ×W
gegeben werden?
Antwort: In der nebenstehenden Tabelle kann jedes
Kästchen im rechten unteren Teil durch Angabe der
“Koordinaten” A, B oder C und dem Wahrheitswert
W, F beschrieben werden.
A
W
F
B
C
1.2. Mengen
31
? Welche Deutungen kann man E × E geben, wenn E die Ebene (bestehend aus
Punkten) ist?
2.
Antwort: Es handelt sich um Punktepaare. Ist (P, Q) ein Punktepaar, kann es zur Definition von Endpunkten einer gerichteten Strecke verwendet werden.
1.2.3
Relationen
Relationen beschreiben die Beziehung von Elementen einer Menge A zu denen in einer Menge
B. Es sei A := {QUICKFUNK, SMALLTALK, NOISY, REDEFROH} eine Liste Mobilfunkbetreiber, und B := {Anton, Ida, Max, Moritz} Namen von Personen, so könnte man sich
für die Beziehung “Person b ∈ B ist Teilnehmer von Mobilfunkbetreiber a ∈ A.” interessieren. In der nachstehende Tabelle wird das durch ein ‘x’ ausgedrückt und die nebenstehende
Zeichnung kann auch als Definition interpretiert werden:
QUICKFUNK
Anton
QUICKFUNK
SMALLTALK
NOISY
REDEFROH
Ida
x
x
Max
x
x
Moritz
x
x
Anton OOO
OOO
OOO
OOO
SMALLTALK
Ida ??
??

?? ?

??
Max NOISY

??ooo

oooo ???

??
oo
ooo
Moritz
REDEFROH
Definition 19 (binäre Relation) Sind A und B Mengen, so versteht man unter einer
(binären) Relation von Elementen in A zu solchen in B eine Teilmenge R des kartesischen
Produkts5 A×B. Ist P (a, b) eine Aussage in 2 Variablen, so ist R := {(a, b) ∈ A×B | P (a, b)}
eine Relation. Statt (a, b) ∈ R schreibt man oft aRb.
Analog spricht man von einer k-stelligen Relation, falls R Teilmenge von A1 × A2 × · · · × Ak
ist.
Beispiel 20 Beispiele zu Relationen:
1.
? Welche Elemente liegen in R für das obige Einführungsbeispiel? Wie übersetzt man
die Skizze in die Beschreibung von R, wie ergibt sich die Skizze bei gegebenem R? Wie
könnte P (a, b) aussehen?
Antwort: R = {(QUICKFUNK, Ida), (SMALLTALK, Ida), (SMALLTALK, Moritz),
(REDEFROH, Ida), (REDEFROH, Max), (REDEFROH, Moritz)}. Für jede Linie von
links nach rechts ergibt sich ein Element in R und umgekehrt.
5
Definition 16 (S.30)
32
Grundlagen
Die Beschreibung durch A(x, y) gestaltet sich wie folgt:
(∃a)(∃b)((a, b) ∈ R)),
wobei R die obige Liste ist.
Um die Zusammensetzung oder Komposition von Relationen zu verstehen, sei z.B. C :={TU,
Cafe Museum, Floridsdorf, Döbling} und eine Relation S durch die Liste von Paaren {(Anton,
TU), (Anton, Floridsdorf), (Ida, TU), (Ida, Döbling), (Ida, Cafe Museum), (Moritz, Cafe
Museum), (Moritz, TU), (Max, Döbling), (M oritz, F loridsdorf )} gegeben. Interpretation:
Orte, wo sich diese Personen oft aufhalten. Nun kann gefragt werden, welche dieser Orte die
Mobilfunkbetreiber erreichen können sollten.
Anton Cafe Museum
3 N
OOO
p N
OOO
3
Np p OOO
N
3 p
N
OOO
p
p 3
N
3
_
_
_
_
_
_ TU
SMALLTALK
Ida
N 3 >>
N
>>
N 3N
>>
3
N
>>
N
33
>>
>>
_ _ _ _ _ Döbling
NOISY
3
>> p Max p
3
>
p
>
p
p
p >>
3
p
p
>
p
3
> ppp
_ _ _ _ Floridsdorf
REDEFROH
Moritz QUICKFUNK
Nun kann eine neue Relation RS durch die Paare RS := {(QUICKFUNK, Cafe Museum),
(QUICKFUNK, TU), (QUICKFUNK, Döbling), (SMALLTALK, Cafe Museum), (SMALLTALK, TU), (SMALLTALK, Döbling), (SMALLTALK, Floridsdorf), (REDEFROH, Cafe
Museum), (REDEFROH, TU), (REDEFROH, Döbling), (REDEFROH, Floridsdorf)} festlegen, welche als Zusammensetzung von R mit S bezeichnet wird und z.B. die Interpretation
“Betreiber a steht mit dem Ort c in Relation RS, genau dann, wenn sich in c eine Person b ∈ B öfters aufhält und a dort benützen könnte.” zuläßt. Ganz allgemein lautet die
Definition:
Definition 21 (Zusammensetzung von Relationen) Sind R ⊆ A × B und S ⊆ B × C
Relationen, so versteht man unter Zusammensetzung RS ⊆ A × C die Relation
(a, c) ∈ RS ⇔ ((∃b ∈ B)(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S).
In Worten, wenn es ein b in B mit aRb und bSc gibt.
Anmerkung 22 (inverse Relation)
1. Zu jeder Relation R ⊆ A × B gibt es die Relation R◦ ⊆ B × A mit den Paaren
(b, a), für die (a, b) ∈ R ist.
1.2. Mengen
33
2. Die Komposition ist assoziativ in dem Sinne daß R(ST ) = (RS)T gilt.
Hier der Beweis für die Assoziativität.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
aR(ST )d
(∃b ∈ B)aRb ∧ bST d
(∃b ∈ B) aRb ∧ (∃c ∈ C)bSc ∧ cT d
(∃b ∈ B)(∃c ∈ C) aRb ∧ bSc ∧ cT d
(∃c ∈ C) aRSc ∧ cT d
a(RS)T d
Ein wichtiger Spezialfall tritt ein, wenn A = B gilt. Z.B. kann A eine Liste von Orten und R
die Relation sein, die angibt, ob es eine Zugverbindung von Ort a ∈ A nach Ort a0 ∈ A gibt.
Die folgenden Eigenschaften einer solchen Art von Relation haben besonderen Namen:
Definition 23 (Wesentliche Eigenschaften, die eine binäre Relation haben kann)
Man sagt, R ist eine Relation auf der Menge A, falls R ⊆ A × A ist. Die Relation R auf A
erfüllt die Eigenschaft der
Reflexivität:
Symmetrie:
Antisymmetrie:
Transitivität:
(∀a ∈ A)
(∀a, a0 ∈ A)
(∀a, a0 ∈ A)
(∀a, a0 , a00 ∈ A)
aRa
(aRa0 ) ⇒ (a0 Ra)
(aRa0 ) ∧ (a0 Ra) ⇒ a = a0
(aRa0 ) ∧ (a0 Ra00 ) ⇒ aRa00 .
a’
a
Reflexivität
a
a"
a’
a
Symmetrie
Transitivität
Eine Relation R auf einer Menge A kann durch einen gerichteten Graphen, die Elemente
von A als dessen Knoten und die Elemente von R als dessen gerichtete Kanten beschrieben
werden. Ist (a, b) ∈ R, m.a.W. eine Kante, so ist a die Quelle und b das Ziel.
Beispiel 24 Relationen auf einer Menge:
1.
?
Wie kann die durch die nebenstehende Tabelle gegebene Relation zwischen Städten durch
einen gerichteten Graphen beschrieben werden?
Warum ist die Relation weder reflexiv, noch
symmetrisch, noch transitiv? Warum ist sie antisymmetrisch? Wie erkennt man dies aus der
Tabelle, bzw. anhand des Graphen?
ab
Wien
Wien
Wien
Budapest
an
Rom
München
Budapest
Szeged
34
Grundlagen
Antwort: Die Skizze, ein Graph mit Knoten die Orte und Kanten die Verbindungen lt.
Liste.
München
jTTTT
TTTT
T
Wien
/ Budapest
OOOO
'
Szeged
Rom
Die Relation ist nicht reflexiv, weil (Wien, Wien)6∈ R. Sie ist nicht symmetrisch, weil
zwar (Wien, Budapest)∈ R, nicht jedoch (Budapest, Wien)∈ R gilt. Sie ist nicht transitiv, weil zwar (Wien, Budapest)∈ R, und (Budapest, Szeged)∈ R sind, nicht jedoch
(Wien, Szeged)∈ R ist. Sie ist antisymmetrisch, weil für kein Paar (a, a0 ) ∈ R gleichzeitig auch (a0 , a) ∈ R ist, wie man durch Diskussion der 4 Fälle (die Pfeile) sofort sieht.
Geometrisch sieht man das, weil es keine inversen Pfeile gibt.
1.2.4
Äquivalenzrelation und Halbordnung, Quotientenmenge, Schnitt
Die in Definition 23 (S.33) genannten Eigenschaften werden zur Beschreibung von Äquivalenzrelation und Halbordung herangezogen.
Die Idee einer Äquivalenzrelation auf einer Menge A besteht darin, ihre Elemente in “(Äquivalenz)klassen” einzuteilen. Ein Beispiel ist die Einteilung der Teilnehmer eines Sprachkurses
in die 3 Klassen:
{Anfänger, mäßig Fortgeschrittene, Fortgeschrittene}.
Die Elemente einer Klasse sind zueinander “äquivalent” (im Sinne, wie man den Kurs für sie
anlegt).
Bei Halbordnungen geht es um das Festlegen von (Rang)ordnungen. Beim Beispiel bleibend,
könnte man die Teilnehmer nach ihrem Wissenstand ordnen. Man kann auch zunächst A <
M F < F zu ordnen und danach Teilnehmer nach ihrer Klassenzugehörigkeit ordnen.
Definition 25 (Äquivalenzrelation und Halbordnung) Eine Relation auf einer Menge
A, welche reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, heißt Äquivalenzrelation6 . Ist a ∈ A, so heißt
die Menge aller a0 mit aRa0 die Äquivalenzklasse von a.
Eine Relation auf einer Menge A, welche reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, heißt
Halbordnung.
Mit den beiden soeben definierten Begriffen hängen einige Konzepte zusammen, die jetzt
aufgelistet werden und danach in Beispielen erläutert werden sollen.
6
Vorsicht: Im Zusammenhang mit Datenbanken werden gelegentlich “Relationsschemata” als “Relationen”
bezeichnet. Siehe Beispiel 245 (S.265).
1.2. Mengen
35
Definition 26 (Zusätze)
ad Äquivalenzrelation: Es sei R eine Äquivalenzrelation auf A. Die Menge der Äquivalenzklassen heißt Quotientenmenge7 von R, und wird mit A/R bezeichnet. Die Menge
von Mengen A/R bildet eine Partition von A (Definition 12 (S.28)). Jedes Element einer Äquivalenzklasse heißt ein Repräsentant dieser Klasse. Eine Funktion s : A/R → A
heißt Schnitt, falls für jedes ā ∈ A/R das Element s(ā) in der Klasse von a liegt. Die
Menge s(A/R) heißt Repräsentantensystem der Äquivalenzrelation R.
Umgekehrt, liegt eine Partition von A vor, so läßt sich auf A eine Äquivalenzrelation
definieren, indem man aRa0 definiert, wenn a und a0 zur gleichen Teilmenge gehören.
Die zu dieser Partition wie oben gebildete Äquivalenzrelation ist dann R.
·
·
A mit 2 Klassen
(punktiert)
s
A/R
/
ein Schnitt s(A/R) im
punktiert gezeichneten A
ad Halbordnung: Halbordnungen werden meist mit dem Symbol “≤” bezeichnet. Die Elemente a, a0 ∈ A sind vergleichbar, wenn entweder a ≤ a0 oder a0 ≤ a gilt, andernfalls
heißen sie unvergleichbar. Es sei a ∈ A und B Teilmenge von A:
a ∈ A ist
Notation/Bild
Bedingung, Kommentar
Maximum von A
falls alle Elemente in x ∈ A mit a ver(bzw. Minimum),
gleichbar sind und x ≤ a (bzw. a ≤ x)
?? A
•max
auch
größtes
erfüllen.

?
·?? ·
(bzw. kleinstes)
?
◦
Element genannt
min A
maximales (bzw.
minimales) Element
obere
(untere)
Schranke von B
Supremum (Infimum) von B
wenn a ≤ x (bzw. x ≤ a) stets a = x nach
sich zieht.
• ** • **
** **
· · ·
für alle b ∈ B ist b ≤ a (a ≤ b)
•,,
,·2
·
,
,, 22
◦ ◦ ◦ B
sup B, inf B
•
B
O
O
O
falls a das Minimum (Maximum) der Menge der oberen (unteren) Schranken von B
ist.
←: B ist Kurve (hat waagrechte Asymptote durch •). A ist B zusammen mit “•”
und dem vertikalen Strich. Ordnung: Werte der y-Koordinate. sup B = •; max B 6 ∃.
36
Grundlagen
Spezielle Eigenschaften einer Halbordnung in Tabellenform:
Bezeichnung
linear(e Ordnung), Totalordnung oder Kette,
Bedingung, Kommentar
·
·
·
·
falls je zwei Elemente vergleichbar sind.
·/<5/5<
noethersch oder fundiert
//5<5<
//5<5<
<
wenn jede echt absteigende Kette endlich
ist.
···
··
·
im Beispiel: Die Ketten dürfen beliebig lang
sein.
Wohlordnung
wenn jede nicht leere Teilmenge ein Minimum besitzt
z.B.
IN ,
nicht jedoch
IR
Eine partielle Ordnung ist eine Relation, die lediglich transitiv und antisymmetrisch ist.
Eine partielle Ordnung ist strikt, wenn kein Element zu sich selbst in Relation steht.
Dies wird meist durch das Symbol ‘<’ bezeichnet.
Beispiel 27 (Äquivalenzrelationen)
1. Prozentverteilungen verschiedener Bestandteile einer Substanz werden gelegentlich durch
eine Kreisscheibe mit verschieden gefärbten, nicht überlappenden Sektoren, deren Winkel Prozentzahlen proportional sind, versinnbildlicht.
Die Sektoren bilden eine Partition. Diese ist zugleich der Quotientenmenge der nachstehenden Relation: 2 Punkte der Kreisscheibe sind äquivalent, wenn sie die gleiche Farbe
haben.
2.
? Ist die Relation R ⊆ A × A, definiert durch R := {(a, a) | a ∈ A} eine Äquivalenzrelation? Wie kann man die Äquivalenzklassen beschreiben?
Antwort. Es handelt sich um die Gleichheitsrelation. Es ist nämlich aRb genau dann
der Fall, wenn a = b gilt (andere Elemente sind in R nicht enthalten, vgl. Definition 19
(S.31)). Nun ergibt sich sofort, daß die Axiome der Äquivalenzrelation erfüllt sind.
Die Äquivalenzklassen bestehen aus den einelementigen Teilmengen von A.
7
Man stellt sich vor, jede Äquivalenzklasse schrumpft zu einem Punkt.
1.2. Mengen
3.
37
? (Isobaren als Äquivalenzklassen) “Isobaren” sind gedachte Linien gleichen
Druckes (Wetterkarte), etwa in einer bestimmten Höhe über der Erdoberfläche. Wie
kann dieser Begriff im Sinne einer Äquivalenzrelation gedeutet werden? Welche anderen ähnlichen Begriffe und Deutungen sind Ihnen bekannt?
Antwort: Man definiert für Punkte x, y der Erdoberfläche eine Relation xRy, wenn an x
und y der gleiche Luftdruck herrscht. Es entsteht eine Äquivalenzrelation. Die auf einer
Karte erscheinenden Isobaren sind Äquivalenzklassen bezüglich dieser Äquivalenzrelation.
Andere Begriffe: Isothermen, Isoklinen. Auch Äquipotentiallinien, bzw. -flächen sind
Äquivalenzklassen, welche so zustande kommen. Siehe auch Anmerkung 30 (S.40).
4.
? (Stromlinien als Äquivalenzklassen) Wirbelfreie und inkompressible Flüssigkeit,
die stationär in einem Gebiet des Raumes fließt, besitzt Stromlinien, d.s. Linien, welchen
ein in die Flüssigkeit geworfenes Partikel im Zuge der Strömung folgt. Welche Beziehung
zu Äquivalenrelationen kann man herstellen? Welche andere Situationen dieser Art sind
Ihnen bekannt?
Antwort: Aus physikalischen Annahmen folgt, daß Stromlinien den Raum ganz ausfüllen
und je zwei Stromlinien keine Punkte gemeinsam haben, also eine Partition des Raumes
beschreiben. Somit ist jede Stromlinie eine Äquivalenzklasse.
Magnetisches und Elektrostatisches Feld – Feldlinien.
5.
? In der Ebene (aufgefaßt als Menge von Punkten), werde xRy für Punkte x und y
definiert, falls es eine Gerade g mit x ∈ g und y ∈ g gibt. Liegt eine Äquivalenzrelation,
bzw. eine Halbordung vor? Gelingt der Nachweis durch ledigliches Anwenden der Axiome der Ebene aus Beispiel 9 (S.23) 3 unter der Annahme daß die Ebene mindestens 2
Punkte enthält?
38
Grundlagen
Antwort. Die Reflexivität beweist man so: Sei x ∈ E beliebig. Dann gibt es noch einen
Punkt z 6= x. Somit gibt es eine Gerade g, auf der x liegt. Dann ist für y = x die
Aussage x ∈ g erfüllt, also xRx.
Symmetrie: Wenn xRy, so gibt es g mit (x ∈ g)∧(y ∈ g), also gilt auch (y ∈ g)∧(x ∈ g),
somit yRx.
Transitivität: Seien xRy und yRz. Wenn x 6= z ist, kann man durch x und z wegen d)
in Beispiel 9 (S.23) auf xRz schließen. Wenn hingegen x = z ist, hat man wegen der
schon bewiesenen Reflexivität auch xRz.
Alle Punkte sind zueinander äquivalent, daher gibt es nur eine Äquivalenzklasse, nämlich
E.
6. (Logische Äquivalenz als Äquivalenzrelation) Es sei L eine gemäß den in Definition 5 (S.16) angegebenen Forderungen gebildete aussagenlogische Sprache. Ist dann
die logische Äquivalenz ⇔ eine Äquivalenzrelation auf L?
Antwort. Seien A, B und C beliebige Aussagen einer in L formulierten Theorie. Definiert
war A ⇔ B durch das Erfülltsein von w(A) = w(B). Da w(A) = w(A), hat man somit
A ⇔ A, also die Reflexivität. Ist A ⇔ B, so gilt w(A) = w(B), also wegen 1. auch
w(B) = w(A) und deshalb B ⇔ A, also die Symmetrie. Ist A ⇔ B und B ⇔ C erfüllt,
so gilt w(A) = w(B) = w(C), also wegen 1. auch w(A) = w(C), somit A ⇔ C, also die
Transitivität.
Beispiel 28 (Halbordnungen)
1.
? Es sei A die Menge aller Brüche der Form n1 mit n ∈ IN , n ≥ 1 und ≤ die übliche
Ordnung (es soll vorausgesetzt werden, daß wir schon bewiesen haben, daß es sich um
eine Halbordnung handelt). Gibt es ein Maximum, bzw. Minimum? Ist die Halbordnung
linear? Liegt eine noethersche Halbordnung vor?
Antwort: Es ist 1 ein Maximum.
Es gibt kein Minimum, weil es zu jedem a ∈ A ein noch kleineres gibt.
Je zwei Elemente sind vergleichbar, also ist die Halbordnung linear.
Es liegt keine noethersche Halbordnung vor, weil A eine unendliche absteigende Kette
ist. Die Halbordnung ist linear.
2.
? (Teilbarkeit als Halbordnung) Für die Menge aller natürlichen Zahlen ≤ 11 sei
eine Halbordnung m ≤ n definiert, wenn m ein Teiler von n ist. Wie kann man die
Relation durch einen Graphen beschreiben? Wie lauten die maximalen Elemente?
Antwort: Gebräuchlich ist es, als Knoten die Zahlen {1, 2, . . . , 11} zu nehmen und 2
Zahlen nur dann zu verbinden, wenn eine die andere teilt, jedoch kein Teiler “dazwischen
liegt”. Man spricht von einem Hassediagramm für die Halbordnung.
1.2. Mengen
39
Die maximalen Elemente sind 6, 7, 8, 9, 10 und
11. Die Halbordnung ist
nicht linear, jedoch z.B.
ihre
Einschränkung
auf {1, 2, 4, 8}. Die
Teilbarkeitsordnung
ist noethersch, jedoch
keine Wohlordnung.
8
9>
>>
>>
>>
6>
>>
>>
>>
4
10 @
@@
@@
@@
@
3 NNN
2
o5
jj 7 ggg 11
NNN
ooojjjjjgjgjggggggg
o
o
NNN
o jj gg
NNN
ooo jjjggggg
NN oojgojgojgojgjgjgjggg
gj
~
~~
~~
~
~~
1
3. (Hassediagramm) Falls eine Halbordnung ≤ auf einer Menge M lokalfinit, d.h. jede
von einem Element x zu einem Element y bestehende Kette endlich ist, so kann die Halbordnung durch ein Hassediagramm beschrieben werden, indem ein Graph mit Knoten
die Elemente von M und Kanten x → y gezeichnet werden, falls y < x gilt (d.h. y ≤ x
und x 6= y). Dabei wird gerne von “unten nach oben” gezeichnet, d.h. kleinere Elemente
sind weiter unten. Hier Beispiele, wie man die Menge {1, 2, 3} ordnen könnte (die Liste
ist nicht vollständig):
3
2
1
3
3
2
1
(b)
(c)
}}
}}
}
}
}}
3
2
1
}}
}}
}
}
}}
1
(a)
1.2.5
(d)
2
(a) ist eine Kette, in (b) und (c)
sind 1 und 2, in (c) auch 2 und 3
unvergleichbar. In (a) und (b) ist 3
ein Maximum (und daher ein maximales Element), in (c) und (d) ein
maximales Element, aber kein Maximum.
In Definition 248 (S.268) findet man
Hassediagramme zur Beschreibung
von Termersetzungssystemen.
Funktionen und Abbildungen
Beim Funktionsbegriff, meist durch y = f (x) notiert, denkt man sich jedem x mittels einer
“Vorschrift”, dem f , ein y zugeordnet. Zu jedem x soll es dabei ein zugeordnetes y geben
und keinem x werden zwei verschiedene y zugeordnet. Dieser Vorstellung folgt man beim
mengentheoretischen Funktionsbegriff:
Definition 29 (Funktionsbegriff) Unter einer Funktion oder Abbildung f mit Definitionsbereich A und Wertebereich B (kurz Funktion f : A → B) versteht8 man eine Relation
R ⊆ A × B mit den folgenden Eigenschaften:
1. Zu jedem a ∈ A gibt es ein b ∈ B mit (a, b) ∈ R
2. Wenn für b, b0 ∈ B ein a ∈ A mit (a, b) ∈ R ∧ (a, b0 ) ∈ R, dann soll b = b0 sein.
Man schreibt dann statt (a, b) ∈ R auch b = f (a) oder auch a 7→ b.
Die Menge R = {(a, f (a)) | a ∈ A} heißt Funktionsgraph.
Man nennt b das Bild von a unter f und a ein Urbild von b. Weiters versteht man für
A0 ⊆ A und B 0 ⊆ B unter f (A0 ) := {f (a) | a ∈ A0 } das Bild von A0 unter f und unter
40
Grundlagen
f −1 (B 0 ) := {a ∈ A | f (a) ∈ B 0 } das Urbild von B 0 unter f . Recht gebräuchlich ist B A als
Bezeichnung für alle Funktionen mit Definitionsbereich A und Wertebereich B.
Es heißt f injektiv oder auch Injektion, falls stets aus f (a) = f (a0 ) die Gleichung a = a0
folgt. Ist f (A) = B, also jedes b ∈ B in der Form f (a) darstellbar, so nennt man f surjektiv
oder auch Surjektion. Schließlich ist f bijektiv oder auch Bijektion, wenn es sowohl injektiv,
wie auch surjektiv ist. Ist f : A → B eine Bijektion, so heißt die durch g(b) := a, falls f (a) = b
ist, definierte Funktion zu f invers. Sie wird üblicherweise mit f −1 bezeichnet.
Eine partielle Funktion9 f : A → B ist eine Funktion f : C → B mit C ⊆ A.
Anmerkung 30 Jede Funktion f : A → B gibt Anlaß zur Äquivalenzrelation aRa0
genau dann, wenn f (a) = f (a0 ). Es ist dann f (A) zugleich der Quotientenmenge (vgl.
Definition 26 (S.35) und Beispiel 27 (S.36) 2.). Die Äquivalenzklassen von R sind die
Urbilder der Punkte in B und sie bilden eine Partition.
Umgekehrt gibt es für jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M eine Funktion, die
jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet.
Beispiel 31 Beispiele zum Funktionsbegriff:
1.
? Es sei R die in der Beschreibung vor Definition 19 (S.31) gegeben Relation mit den
Mobilfunkbetreibern A und Personen B. Warum legt R keine Funktion von A nach B
fest?
Antwort: Es ist Bedingung 1. für a =‘NOISY’ und Bedingung 2. für a ∈ {SMALLTALK,
REDEFROH} verletzt.
2.
? Es sei eine Relation in IR3 × IR2 definiert, nämlich (x, y, z)R(x0 , y 0 ) falls x = x0 und
y = y 0 ist. Wie zeigt man, daß die Bedingungen dafür, daß R eine Funktion f : IR3 → IR2
definiert, erfüllt sind? Wie kann man f mit einfachen Worten beschreiben? Es seien die
Punkte A(0, 1, 2), B(5, 3, 7) und C(2, 7, −10) Eckpunkte eines Dreiecks ∆. Wie kann
man f (∆) beschreiben? Wie f −1 {(0, 0), (0, 1)}? Ist f surjektiv? Ist f injektiv?
Antwort(en): Um 1. zu prüfen, wählt man (x, y, z) ∈ IR3 beliebig. Danach ist ((x, y, z), (x, y)) ∈
R. Angenommen, für (x, y) und (x0 , y 0 ) gibt es (a, b, c) mit ((a, b, c), (x, y)) ∈ R und
((a, b, c), (x0 , y 0 )) ∈ R. Laut Definition von R hat man x = a, y = b und ähnlich x0 = a,
sowie y 0 = b, sodaß (x, y) = (x0 , y 0 ) folgt. Also ist 2. erfüllt.
Es handelt sich um Parallelprojektion zur z-Achse und offenbar ist f (x, y, z) = (x, y).
Als Bild f (∆) findet man das Dreieck mit den Eckpunkten A0 (0, 1), B 0 (5, 3) und C 0 (2, 7).
Es ist f −1 {(0, 0), (0, 1)} = {(0, 0, z) | z ∈ IR}∪{(0, 1, z) | z ∈ IR} die z-Achse zusammen
mit einer um eine Einheit nach rechts verschobenen.
8
9
Man liest das: f ist eine Funktion, bzw. Abbildung, von A nach B
Diese Notation ist z.B. in der Theorie der Datenbanken, aber auch Automatentheorie bequem.
1.2. Mengen
41
f ist surjektiv. Um dies zu zeigen, wählt man (x, y) ∈ IR2 beliebig. Danach ist f (x, y, 0) =
(x, y), also ist (x, y) im Bild von f .
f ist nicht injektiv. Dazu genügt es, zwei Punkte im Raum mit gleichem Bild anzugeben,
z.B. P (0, 0, 0) und Q(0, 0, 1).
3.
? In der nachstehenden Tabelle wird der Kaffeverbrauch (Tassen) von Mitarbeitern
im ersten Dritteljahr protokolliert (um später abrechnen zu können), wobei 30 Kaffees
pro Monat frei sind.
Wie kann die nebenstehende Tabelle als
1
2
3
4
Funktion f gedeutet werden? Wie würde man
Max 27 25 17 19
ihren Definitions- bzw. Wertebereich wählen?
Edda 15 18 22 24
Wie kann der Funktionsgraph gesehen werSue
20 23 26 21
den? Ist f injektiv?
Antwort(en): Offenbar wird jedem Paar (i, Person) ein Wert zwischen Null und 30
zugeordnet. Somit erscheint es natürlich, A := {1, 2, 3, 4} × {Max, Edda, Sue}, weiters
B := {0, 1, 2, . . . , 30} zu wählen, sowie f (i,Person) den Eintrag der in der Zeile der
Person und in der Spalte i ist, zu definieren.
Der Graph mag als “Klötzchendiagramm” verstanden werden. Jedes Klötzchen so hoch,
als die Kaffeetassenzahl zeigt.
Da keine zwei Tabellenwerte übereinstimmen, ist f injektiv. Da jedoch nur 12 Tabellenwerte existieren und B 30 Elemente hat, kann f nicht surjektiv sein.
In unmittelbarem Zusammenhang mit dem Funktionsbegriff steht die Bildung allgemeinerer
kartesischer Produkte wie folgt:
Definition 32 (Mengenfamilie, Allgemeines kartesisches Produkt) Es seien I und
M Mengen, sowie P(M ) die Potenzmenge von M . Eine Funktion T : I → P(M ) heißt
Mengenfamilie von Teilmengen von M . Es ist üblich Ti statt T (i) zu schreiben und (Ti )i∈I
oder (Ti | i ∈ I) statt T : I → P(M ).
Bei gegebener Mengenfamilie (Ti )i∈I heißt jedes f : I → M mit f (i) ∈ Ti Auswahlfunktion10 . Es ist üblich fi statt f (i) zu schreiben, sowie (fi )i∈I statt f : I → M und I als
Indexmenge zu bezeichnen.
Q
Unter dem kartesischen Produkt i∈I Ti versteht man die Menge aller dieser Auswahlfunktionen. Falls alle Ti = T alle gleich sind, ist die Notation T I üblich, welches, wie man sofort
sieht, genau die Menge aller Funktionen
Q von I nach T ist.
Ist I = {1, . . . , n}, so schreibt man ni=1 Ai oder A1 × . . . × An und ein Element darin als
(a1 , . . . , an ) = (ai | i = 1, . . . , n) (genannt n-Tupel). Ist Ai = A so schreibt man statt A{1,...,n}
einfach An (n-faches kartesisches Produkt der Menge A).
10
Die Existenz einer solchen Funktion für nicht abzählbares I benötigt das Auswahlaxiom, siehe die Tabelle
vor Beispiel 240 (S.262)
42
Grundlagen
Sehr viele (mathematische) Begriffe können als Funktionen erklärt werden. Die nachstehende Tabelle bietet einige Beispiele dafür.
Bezeichnung
{an }∞
∈
n=1
AIN , Folge
mit Werten
in A
(a1 , . . . , an ) ∈
An
bzw.
(ai )ni=1 ,
n-Tupel
(aij )(i,j)∈I×J
doppelt
indizierte
Menge
x + y Addition (von Vektoren)
~a × ~b äußeres
Produkt
P
n
i=1 ai
Summe
limn→∞ an
f0
Ableitungsfunktion
Rb
f (x) dx
R-Integral
a
Definitionsbereich
IN
Wertebereich
A Menge
Beschreibung
{1, . . . , n}
A Menge
i 7→ ai ∈ A
z.B. Zeilenvektoren
A Menge
(i, j) 7→ aij ∈ A
z.B. Matrizen
V × V , V Vektorraum
V
(x, y) 7→ x + y
IR3 × IR3
IR3
(~a, ~b) 7→ (ijk aj bk )3i=1
An , A ein Vektorraum
alle
konvergenten Folgen
IN
{an }∞
n=1 ∈ IR
alle f : A → IR,
mit A ⊆ IR und
f differenzierbar
in A
alle f : [a, b] →
IR, die R-integrierbar sind
A
(ai )ni=1 7→
IR
{an }∞
n=1 7→ limn→∞ an
AIR
f 7→ f 0
IR
f 7→
I × J
menge
Index-
Besonderheiten
n 7→ an ∈ A
Rb
a
Pn
i=1
ai
f (x) dx
In Zusammenhang mit dem allgemeinen kartesischen Produkt stehen auch die in der
Theorie der Datenbanken verwendeten Relationsschemen, siehe hiezu Unterabschnitt A.1.5
(S.265).
Anmerkung 33 (Zusammensetzung, Erweiterung und Einschränkung von
Funktionen versus Relationen)
Zusammensetzung von Funktionen : Geht man von der Zusammensetzung RS zweier Relationen11 f : A → B, sowie S der Funktionsgraph von g : B → C ist, so
hat man aRSc, falls es ein b ∈ B gibt mit aRb und bSc. Wegen der Deutung als
Funktionsgraphen heißt das b = f (a) und c = g(b). Dann zeigt man ganz leicht,
1.2. Mengen
43
daß RS ebenfalls ein Funktionsgraph ist und man bezeichnet die zu RS gehörige Funktion mit gf und nennt sie Hintereinanderausführung, Komposition oder
Zusammensetzung12 , von f und g. Es ist dann gf (a) = g(f (a)) für alle a ∈ A.
f
g
)
A
)2
B
C
gf
Sind f, g, h Funktionen, sodaß man gf und hg bilden kann, so kann man auch h(gf )
und (hg)f bilden und es ist h(gf ) = (hg)f , m.a.W., es gilt das Assoziativgesetz.
Hingegen ist gf im allgemeinen nicht dasselbe wie f g.
Einschränkung und Erweiterung (=Fortsetzung): Ist f : A → B eine Funktion,
und C Teilmenge von A, so nennt man die Funktion g : C → B, definiert durch
g(c) := f (c) für alle c ∈ C, die Einschränkung von f auf C, im Symbol f ||C . Ist U
eine A umfassende Menge und h : U → B eine Funktion, deren Einschränkung auf
A mit f übereinstimmt (d.h. (∀a ∈ A)(f (a) = h(a))), so heißt h eine Erweiterung
oder Fortsetzung von f auf U ⊇ A.
Sind R ⊆ A × B, S ⊆ B × C und demnach auch RS Funktionsgraphen13 von f , g und
gf , so sind zwar die Schreibweisen RS und gf für jeweiliges Hintereinanderausführen als
Relationen bzw. Funktionen nicht kohärent, allerdings können aRb, bSc und somit aRSc in
der Sprechweise für Funktionen durch b = f (a), c = g(b) und somit c = gf (a) ausgedrückt
werden.
Beispiel 34 (Schreibweisen)
Es ist gelegentlich wichtig14 ,
aus der Schreibweise zu erkennen, wie Funktionen zusammengesetzt sind, (siehe auch
Beispiel 253 (S.271) 6.).
Ausdruck gf
cos(x3 )
cos3 (x)
cos(x + y)
Idee, Hilfestellung
x 7→ x3 = y, y 7→ cos y
x 7→ cos x = y 7→ y 3
(x, y) 7→ x + y = z 7→ cos z
g
cos
f
∧3
cos
·+·
cos
∧3
Wir schließen diesen Abschnitt mit dem nützlichen Konzept der Verträglichkeit einer Abbildung:
Definition 35 (Verträglichkeit von Funktion mit Relationen) Es sei f : A → B eine
Abbildung und R ⊆ Ak sowie S ⊆ B k jeweils k-stellige Relationen. Man sagt, f ist mit den
Relationen verträglich, wenn
(a1 , . . . , ak ) ∈ R ⇒ (f (a1 ), . . . , f (ak )) ∈ S
gilt.
11
Gelegentlich werden wir g ◦ f schreiben.
Definition 21 (S.32)
13
Definition 29 (S.39)
14
etwa beim Gebrauch der Kettenregel
12
44
Grundlagen
Beispiel 36 Hier sei auf m.E. nicht uninteressante Anwendungen hingewiesen:
1. (Mengentheoretisches Modell einer Menge von Aussagen) Es sei M eine feste
Menge und A eine Menge von Aussageformen α(x) mit x einer einzigen Variablen. Nun
definieren wir f : A → P, indem für jedes α ∈ A
f (α) := {m ∈ M | α(m)}
setzen, also alle jene m ∈ M , für die α(m) wahr ist, in eine Menge mit der Bezeichnung
f (α) tun. Die Beziehung f (α(x) ∧ β(x)) = f (α(x)) ∩ f (β(x)) ist eine Umformulierung
der Definition des Durchschnittes aus Definition 8 (S.22).
Daß aus dem “∧” ein “∩” wird, läßt sich durch die Verträglichkeit von Abbildungen
formulieren:
Ein wenig umständlich definieren wir eine Relation R ⊆ A × A × A, indem
(α(x), β(x), γ(x)) ∈ R ⇔ γ(x) = α(x) ∧ β(x)
gesetzt wird, m.a.W., wenn das Tripel im Funktionsgraphen der Funktion ∧ : A×A → A
liegt. Nicht minder umständlich definieren wir S ⊆ P × P × P durch
(X, Y, Z) ∈ S ⇔ Z = X ∩ Y,
d.h., wenn (X, Y, Z) zum Funktionsgraphen von ∩ : P × P → P liegt. Es ist f mit
den Relationen R und S verträglich, weil (α(x), β(x), γ(x)) ∈ R g.d.w. γ(x) = α(x) ∧
β(x), sodaß f (γ(x)) = {m ∈ M | α(m) ∧ β(m)} = {m ∈ M | α(m)} ∩ {m ∈ M |
β(m)} = f (α(x)) ∩ f (β(x)) g.d.w. (f (α(x)), f (β(x)), f (γ(x))) ∈ S. Somit wird die
Verträglichkeit von f mit R und S ausgedrückt. In Beispiel 126 (S.142) 8. wird sich f
als Halbgruppenhomomorphismus erweisen.
Eine Deutung von f ist die Folgende: Die vorliegende Menge A von Aussageformen
wird mittels einer “Referenzmenge” M in Äquivalenzklassen unterteilt. Zwei Aussageformen sind äquivalent, (wir wollen das durch α ∼ β ausdrücken) wenn sie die gleiche
Teilmenge von M bestimmen, d.h. α(x) ∼ β(x) g.d.w. f (α(x)) = f (β(x)) gilt. Es ist
ohne weiters denkbar, daß die Äquivalenzklasse jener α mit f (α(x)) = ∅ nicht leer oder
sogar ganz A ist. Wenn es gelingt, eine Menge M zu finden, sodaß jede logische Äquivalenzklasse von Aussagen genau eine Teilmenge von M bestimmt, so nennt man f (A)
ein mengentheoretisches Modell von A.
Schlußendlich erweisen sich in unserem Fall R und S als die Funktionsgraphen der
Funktionen ∧ : A × A → A bzw. ∩ : P(A) × P(A) → P(A).
2. Es seien A, M und f wie in 1. Jetzt soll jedoch R ⊆ A × A und S ⊆ P(A) × P(A),
und S := {(X, Y ) | X ⊆ Y } sein. Die Verträglichkeitsbedingung besagt, daß α(x)Rβ(x)
stets
f (α(x)) = {m ∈ M | α(m)} ⊆ {m ∈ M | β(m)} = f (β(x))
nach sich zieht.
1.2. Mengen
45
? Wie kann man R verstehen?
Antwort: Es ist α(x)Rβ(x) genau dann, wenn es Teilmengen A ⊆ B ⊆ M mit A =
{m ∈ M | α(m)} und B = {m ∈ M | β(m)} gibt.
Zuletzt darf hingewiesen werden, daß die Verträglichkeitsdefinition allgemeiner so gefaßt werden kann:
Anmerkung 37 (Verträglichkeit von Familie von Funktionen mit Relationenfamilie) Es seien (Ai | i ∈ I) Q
und (Bi | i ∈ I)QMengenfamilien und fi : Ai → Bi
Funktionen. Weiters seien R ⊆ i∈I Ai und S ⊆ i∈I Bi Relationen. Die Funktionenfamilie (fi | i ∈ I) ist dann mit R und S verträglich, wenn (ai | i ∈ I) ∈ R stets
(fi (ai ) | i ∈ I) ∈ S nach sich zieht.
Dieses Konzept wird etwa in der Theorie der Datenbanken benützt. Es soll in dieser Vorlesung
im Folgenden keine Rolle spielen.
1.2.6
Kardinalität endlicher Mengen
Unter Kardinalität einer endlichen Menge versteht man die Anzahl15 ihrer Elemente. In diesem Abschnitt, auch als Vorbereitung auf die Wahrscheinlichkeitstheorie sollen für endliche
Mengen Fragen wie “Wieviele Elemente hat die Menge” gestellt werden, falls wir wissen, wie
sie aus einfacheren Mengen, deren Elementanzahlen wir kennen, aufgebaut ist. Die Beantwortung solcher Fragen fällt in den Bereich der abzählenden Kombinatorik. Es soll |A| die
Anzahl der in A enthaltenen Elemente bedeuten, wenn A endliche Menge ist.
Anmerkung 38 (Abzählende Kombinatorik) Es sei Ω eine endliche Menge mit n =
|Ω| Elementen.
Partition : Ist {Ωi | i ∈ I} eine Partition von Ω (siehe Definition 12 (S.28)), so hat man
X
|Ω| =
|Ωi |.
i∈I
Als Spezialfall ergibt sich für zwei disjunkte endliche Mengen A und B die Formel
|A ∪ B| = |A| + |B|.
Z.B.: Enthält eine Urne 3 schwarze, 2 rote, 4 blaue und 5 gelbe Kugeln, so hat I 4
Elemente und Ω 14 Elemente.
15
Die “Anzahl” ist im mengentheoretischen Sinn eine Klasse von Mengen, welche eine Bijektion auf einen
festen Anfangsabschnitt {1, . . . , n} der natürlichen Zahlen besitzt. Ist die Menge leer, so ist die Anzahl ihrer
Elemente Null.
46
Grundlagen
Kartesisches Produkt: Ist Ω =
Q
i∈I
Ωi und I endlich, so hat man
|Ω| =
Y
|Ωi |.
i∈I
Als Spezialfall ergibt sich für zwei endliche Mengen A und B die Formel |A × B| =
|A||B|.
Z.B.: Wenn das Mittagsmenü 3 Vorspeisen, 2 Hauptspeisen, 4 Nachspeisen und 5
Getränkearten anbietet, und in jedem Gang gewählt werden darf, so hat I 4 Elemente und Ω hat 3×2×4×5 Elemente und stellt die Anzahl an zusammenstellbaren
Menüs dar.
Funktionen von I nach Ω: Ist I eine endliche Menge, so gibt es |Ω||I| Funktionen
f : I → Ω.
Auf wieviele Arten können 5 Gegenstände (Gi )5i=1 mit Etiketten der Farben
S(schwarz), R(ot) und W(eiss) beklebt werden?
Antw.: I := {G1 , G2 , G3 , G4 , G5 } und Ω := {S, R, W }. Somit hat man 35 = 243
Möglichkeiten.
Variation von n Elementen zur Klasse k ohne Wiederholung Vnk : ist eine injektive Abbildung von einer k-elementigen Menge I in eine n-elementige Ω.
n!
Für die Anzahl solcher V. findet man Vnk = n(n − 1) . . . (n − k + 1) = (n−k)!
, weil
man für I := {1, . . . , k} nehmen darf und danach für f (1) n, für f (2) n − 1, etc.
Möglichkeiten hat.
Z.B. Man will aus n Personen eine Liste von k Leuten zusammenstellen. Anderes
Beispiel: Zugfolge bei Kugel-nach-Kugel Entnehmen von k Kugeln aus der Urne Ω
mit n Kugeln.
Auf wieviele Arten kann man aus 5 Personen einen gereihten Dreiervorschlag
aufstellen? Antw.: Es ist Ω = {1, 2, 3} und I = {P1 , P2 , P3 , P4 , P5 } und somit
5!
V53 = 2!
= 5 · 4 · 3 = 60.
Permutation von n Elementen ist eine andere Bezeichnung für bijektive Funktion
f : Ω → Ω. Die Anzahl der P. ist n! := n · (n − 1) . . . 2 · 1 = Vnn .
Z.B. Eine Permutation kann als Reihung (d.i. lineare Ordnung16 für n Personen
angesehen werden. Anderes Beispiel: Zugfolge beim sukzessiven Entnehmen jeweils
einer Kugel aus einer n Kugeln enthaltenden Urne Ω, bis sie leer ist.
Auf wieviele Arten können 4 Personen gereiht werden? Antw.: auf 4! = 4·3·2·1 = 24
Arten.
Kombination von n Elementen zur Klasse k ohne Wiederholung ist die Auswahl einer k-elementigen Teilmenge einer n-elementigen Menge.
1.2. Mengen
47
Z.B. Herausgreifen von k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln ohne Beachten der
Reihenfolge. Um die Anzahl solcher Auswahlen festzustellen, denkt man sich in
geordnete Listen von k Elementen herausgegriffen. Da es auf die Reihenfolge in der
Liste nicht ankommt, hat man somit
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
n!
n
k
Cn =
=
=:
.
k!
k!(n − k)!
k
Auf wieviele Arten kann
man aus 5 Personen eine 3-Personengruppe herausgreifen?
5
3
Antw.: Auf C5 = 3 = 10 Arten.
Kombination von n Elementen zur Klasse k mit Wiederholung: ist eine monotone Abbildung f von der Menge Ω := {1, . . . , k} in die Menge {1, . . . , n}. Jede
solche Abbildung kann als Folge 1 ≤ f (1) ≤ f (2) ≤ · · · ≤ f (k) ≤ n interpretiert
werden.
. Man sieht das wie folgt ein: Zunächst
Die Anzahl solcher Abbildungen ist n+k−1
k
zeichnet man den Funktionsgraphen einer monotonen Funktion, hier für n = 3 und
k = 5 für die Folge (1, 2, 2, 3, 3):
3
• •
2
• •
1 •
1 2 3 4 5
Solch eine Funktion kann durch eine Liste der Argumente und entsprechend ↑ “kodiert” werden, nämlich, so viele Pfeile, als Einheiten hoch gegangen wird. Dann
wählt man aus der n + k − 1-elementigen Menge, die aus Ω zusammen mit den k − 1
↑s gebildet wird, eine k-elementige Menge aus, und kann damit eindeutig die Folge
kodieren. Bei uns wäre das 1 ↑ 23 ↑ 45. Die Anzahl solcher Auswahlen ist somit
Cnkw = n+k−1
.
k
In einer Urne sind 3 w(eisse), 3 s(chwarze) und 3 r(ote) Kugeln. Kugeln der gleichen
Farbe sind ununterscheidbar. Auf wieviele Arten kann ich 2 Kugeln in einem Griff
aus der Urne herausnehmen? Antw.: Es ist Ω
= {w, s, r} (man kann das mit {1, 2, 3}
“gleichsetzen”) und k = 2, somit C32w = 42 = 6.
Beispiel 39 Etwas Geschick im Umgang mit kombinatorischem Abzählen benötigt man z.B.
in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Hier einige Beispiele.
1.
15
16
? In einer Urne sind Lose mit den Nummern 1 – 100 und es werden 3 Lose zur
Ermittlung von 1., 2., und 3.tem Preis gezogen. Wieviele Möglichkeiten gibt es?
Definition 12 (S.28)
Definition 26 (S.35)
48
Grundlagen
Antwort: Offenbar ist jede Zugfolge eine injektive Abbildung von {1, 2, 3} nach {1, . . . , 100}.
Somit ergibt sich 100 × 99 × 98 als Anzahl der Möglichkeiten.
2.
? In einer Urne sind Lose mit den Nummern 1 – 100 und es werden 3 Lose zur
Ermittlung eines Dreierteams gezogen. Wieviele Möglichkeiten gibt es?
Antwort: Offenbar soll eine
Menge aus einer 100-elementigen gewählt wer 3-elementige
100×99×98
=
den. Die Anzahl ist 100
=
100
× 33 × 49.
3
1×2×3
3.
? Auf wieviele Arten kann man 100 Teilnehmer in drei disjunkte Gruppen zu mindestens 33 Teilnehmern zusammenfassen?
Antwort: Jede solche Auswahl besteht aus der Angabe einer 34-elementigen Menge und
einer 33-elementigen Teilmenge der danach verbleibenden Menge. Der “Rest” ist in der
3.ten Gruppe. Sei Ω := {1, . . . , 100}. Die abzuzählende Menge A an Gruppeneinteilungen besteht aus Paaren (X, Y ) bei denen |X| = 34, |Y | = 33 und X ∩ Y = ∅ gilt, etwas
(über)formal:
A = {(X, Y ) ∈ P(Ω) × P(Ω) | X ∩ Y = ∅ ∧ |X| = 34 ∧ |Y | = 33}.
66
Für X hat man 100
34 Teilmengen und danach für Y noch 33 , also ergibt sich
100
66
|A| =
×
.
34
33
4.
? Es sei {0, 1, 2}∗ das freie Monoid (Definition 246 (S.267)) über dem Alphabet A :=
{0, 1, 2}. Wieviele Wörter der Länge mindestens 3 und höchstens 5 gibt es.
Antwort: Es handelt sich um die Wörter der Form abc, abcd und abcde mit a, b, c, d, e ∈
{0, 1, 2}. Aufgrund der Definition sind es Elemente in A3 , A4 und A5 . Somit ergibt sich
für die gefragte Anzahl:
33 + 34 + 35 = 33 (1 + 3 + 9) = 27.13 = 351.
Kapitel 2
Wahrscheinlichkeitstheorie
2.1
2.1.1
Empirische und mathematische Wahrscheinlichkeit – WMaße
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Zunächst beschreiben wir in Definition 40 (S.49) relative Häufigkeit, auch empirische Wahrscheinlichkeit genannt. Im Zuge der Diskussion des Einführungsbeispiels Beispiel 41 (S.49)
werden jene Annahmen angedeutet, welche zum Begriff Wahrscheinlichkeit führen, und danach die Begriffe endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (Definition 43 (S.51)) und LaplaceWahrscheinlichkeitsraum (Definition 44 (S.51)) eingeführt. Schließlich folgt die axiomatische
Beschreibung des Begriffes Wahrscheinlichkeitsraum in Definition 48 (S.53).
Definition 40 Es sei Ω eine Menge, sowie A eine Teilmenge, n eine positive ganze Zahl. und
(ω1 , . . . , ωn ) eine n-stellige Folge von Elementen in Ω. Dann wird der Quotient
hn (A) :=
Anzahl der i mit ωi in A
n
als relative Häufigkeit bezeichnet.
Beispiel 41 In einer Versuchsreihe wurde die Häufigkeitsverteilung der Augenzahl x eines
Würfels bei mehrmaligem Werfen (x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}) ermittelt. Es wurden die Häufigkeiten
für die Augenzahlen in eine Tabelle in Prozenten eingetragen:
Augenzahl
Prozentsatz
1
16.8%
2
17.3%
3
16.4%
4
16.7%
5
16.2%
6
16.6%
Fragen:
1. Wie oft wurde mindestens gewürfelt, wenn man annimmt, daß keine der Prozentzahlen
gerundet oder abgeschnitten wurde? (die Antwort hierauf findet man im Anhang in
Beispiel 285 (S.295))
49
50
Wahrscheinlichkeitstheorie
2. Kann die Tabelle stimmen?
3. Mit welcher Häufigkeit wurde eine gerade Augenzahl x geworfen?
4. . . . eine ungerade Augenzahl geworfen?
5. . . . eine ungerade Augenzahl oder 4 geworfen?
6. . . . weder eine 3, noch eine 4 aber eine 5 geworfen?
7. Kann man eine Aussage über die Prozentsätze unter der Annahme, daß man mit n → ∞
geht, machen. Darf man erwarten, daß sie alle gegen 100
6 % streben?
Auch wenn im Beispiel ziemlich klar ist, was “Häufigkeit in Prozenten” bedeutet, bedarf
es einer formalen Definition.
Die relativen Häufigkeiten in Beispiel 41 (S.49) sind demnach
A
hn (A)
{1}
0.168
{2}
0.173
{3}
0.164
{4}
0.167
{5}
0.162
{6}
0.166
weil man durch 100 dividieren muß. Bitte auch zu beachten, daß die Augenzahl jetzt als
einelementige Menge angeschrieben ist und daß wir n nicht kennen1 !
Geht man davon aus, daß weder Würfel noch Unterlage “manipuliert” sind, so kann man
beim einmaligen Werfen kaum eine Aussage über den Ausgang des Wurfs machen. Ein weitere
Sichtweise der Fragen 3. 4. und 5. von Beispiel 41 (S.49) besteht darin, zu fragen, ob nach
dem Wurf die Augenzahl ω in einer bestimmten Teilmenge A von Ω liegt (z.B. bei 3. in
A := {2, 4, 6}).
Anmerkung 42 Die Auswahl eines Elements ω in einer Menge Ω bezeichnet man als
Experiment. Man bezeichnet es als zufällig, wenn man davon ausgeht, den Ausgang des
Experiments nicht grundsätzlich vorherbestimmen zu können.
Jede Teilmenge A von Ω nennt man zufälliges Ereignis, jede einelementige Menge {ω}
Elementarereignis.
In Beispiel 41 (S.49) ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, jeder Wurf in diesem Sinne ein zufälliges
Experiment und das Ereignis “die Augenzahl ist gerade” drückt sich durch “das zufällige Experiment ω ergibt nach dem Wurf ein Element in A = {2, 4, 6}”. Die relative Häufigkeit dafür,
daß ω sich in A befindet, ist dann die Summe der relativen Häufigkeiten der einelementigen
Teilmengen, weil man ja einfach “Prozente addiert”. Auf diese Art ist Frage 3 beantwortbar,
d.h. hn ({2, 4, 6}) = 17.3+16.7+16.6
= 0.173 + 0.167 + 0.166 = 0.506. Auf diese Art ist Frage
100
3 beantwortet und man kann es mit Fragen 4,5 und 6 genauso machen – werden jedoch in
Beispiel 46 (S.52) mittels Mengenalgebra etwas mehr Geschick walten lassen.
1
Siehe jedoch Beispiel 285 (S.295) und dort die Antwort auf Frage 1
2.1. Empirische und mathematische Wahrscheinlichkeit – W-Maße
51
Definition 43 Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) besteht aus einer endlichen
Menge Ω, und, für jedes ω ∈ Ω, einem vorgegebenen Wert 0 ≤ f (ω) ≤ 1, derart, daß die
Gesamtsumme fürPalle ω dieser Werte genau 1 ergibt. Danach ist für jede Teilmenge A von
Ω durch P (A) := x∈A f (x) ihr Wahrscheinlichkeitsmaß, kurz W-Maß, gegeben.
In diesem Sinne ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} mit f (i) := hn ({i}) aus der obigen Tabelle ein
endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und die relative Häufigkeit hn (A) ist das W-Maß von A.
Definition 44 Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, in welchem P ({ω}) =
Elementarereignis ω ∈ Ω gilt, heißt Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum.
Wir vermerken, daß dann stets P (A) = |A|
|Ω| .
1
|Ω|
für jedes
Beispiel 45 Es sei Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, wie in Beispiel 41 (S.49). Danach legt man für jedes
Elementarereignis “Es wird durch Würfeln der Wert x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ermittelt und er ist
i” mit P ({i}) := 61 fest. Dann ist für jede Teilmenge A von Ω das W-Maß durch |A|
|6| gegeben.
Die Antwort auf Frage 7 wird durch den Satz von Gliwenko-Cantelli gegeben werden, siehe Anmerkung 89 (S.109). Dieser Satz ist eine wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung
dafür, in welchem Sinn bei oftmaligem Wiederholen des gleichen Experiments die empirische
Wahrscheinlichkeit gegen die mathematische konvergiert. Das noch zu besprechende Bernoulliexperiment (Beispiel 85 (S.96)) und der zentrale Grenzwertsatz (Anmerkung 87 (S.99)) bilden die Grundlage hierfür. Vom praktischen Standpunkt aus ergeben sich aus dem zitierten
Satz statistische Testverfahren, die bestenfalls einen “Sicherheitsfaktor” für das tatsächliche
Eintreten eines Ereignisses bestimmen. Die absolute Gewißheit ist jedenfalls auf wahrscheinlichkeitstheoretischem Weg nicht nachweisbar. Rechtfertigung (etwa zur Einführung eines
neuen Medikaments) kann bestenfalls durch (weitere) Testverfahren in W-theoretischem Sinn
untermauert bzw. abgelehnt werden. Mehr hierzu in Unterabschnitt 3.2.1 (S.108). Wenn
es wissenschaftliche Methoden ermöglichen, sollten statistische Ergebnisse (“eine signifikant
große Zahl Patienten, die das Mittel A eingenommen haben, melden gewisse Nebenwirkungen”) entsprechende fachspezifische (analytische) Untersuchungen (Medizin, Chemie, etc)
nach ziehen.
In diesem Sinne sind die Ausführungen in Beispiel 45 (S.51) eine mathematische Orientierungshilfe zur Beurteilung der Tabelle in Beispiel 41 (S.49). Würde z.B. die relative
Häufigkeit für das “Werfen einer 3” stark von 16 abweichen, so könnte man das als Hinweis auf
“manipulierte Würfel oder Unterlage” auffassen – eine Entscheidung, die, soferne der Würfel
einer technischen Untersuchung nicht zugänglich ist (oder die Untersuchung viel zu teuer ist)
gelegentlich mittels statistischer Testverfahren (Unterabschnitt 3.2.1 (S.108)) entschieden
wird.
Bei der Beantwortung der Fragen 3–6 aus Beispiel 41 (S.49) zeigt es sich, daß man vorteilhaft mittels Mengenoperationen, wie Durchschnitt, Vereinigung und Komplement “Rechnen”
kann:
52
Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel 46 2. Die Prozentzahlen müssen zusammen 100% ergeben. Das tun sie. Wenn man
mit relativen Häufigkeiten rechnet, heißt es, daß sie, zusammengezählt, 1 ergeben.
4. Es sind die ungeraden Zahlen das Komplement der geraden Zahlen. Wir haben in der
kleinen Rechnung vor Definition 43 (S.51) hn ({2, 4, 6}) = 0.506 gefunden, also ergibt sich
hn ({1, 3, 5} = 1 − 0.506 = 0.494. Dabei hat man (implizit) die in endlichen W-Räumen (siehe
Definition 43 (S.51)) gültige Formel P (A0 ) = 1 − P (A) benützt.
5. Es ist {1, 3, 5, 4} disjunkte Vereinigung von {1, 3, 5} und {4}. Dann addieren sich die Prozentsätze und somit die relativen Häufigkeiten. Also hat man P ({1, 3, 5, 4}) = P ({1, 3, 5}) +
16.7
66.1
P ({4}) = 49.4
100 + 100 = 100 .
Hierbei benützt man (implizit) die in diskreten W-Räumen gültige Formel P (A ∪ B) =
P (A) + P (B), falls A ∩ B = ∅.
6. Man kann das de Morgansche Mengengesetz A0 ∩B 0 = (A∪B)0 für die Mengen A := {3} und
B := {4} und {5} ∩ {3}0 ∩ {4}0 verwenden. Dann ist {5} ∩ ({3}0 ∩ {4}0 ) = {5} ∩ {3, 4}0 = {5},
sodaß sich P ({5} ∩ ({3}0 ∩ {4}0 )) = 0.162 ergibt. Zugegeben, kaum ein Rechenvorteil!
Bisher hatten wir nur endliche W-Räume. Das nächste Beispiel soll motivieren helfen, auch
unendliche W-Räume zu formulieren.
Beispiel 47 Ein Sandkorn wirbelt, konvektionsbedingt, über einem quadratischen Mikrochip
und bleibt danach “zufällig” darauf liegen. Es soll im folgenden die Ausdehnung des Sandkorns
als vernachlässigbar angesehen werden, es somit als “Punkt” angesehen werden. Wir stellen
folgende Fragen, deren Präzisierung und Antwort in Beispiel 51 (S.55) erfolgen soll.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Sandkorn genau im Mittelpunkt des
Chips liegt?
2. . . . in einer der vier Ecken liegt?
3. . . . in einem fest vorgegebenen Teilquadrat mit halber Seitenlänge liegt?
4. . . . in einer Teilfläche, die wie folgt konstruiert wird, liegt: Über dem unteren linken
Viertelquadrat wird ein Achtelquadrat, darüber ein Sechzehntelquadrat (jeweils Faktor
1
4 ) errichtet, usw.
Zur (Er)klärung mathematischer Begriffe. Sei Ω das Einheitsquadrat (man denke sich die
Längeneinheit entsprechend gewählt), so besteht jedes Elementarereignis darin, daß ein Punkt
X(x, y) aus Ω gewählt wird.
Es sei nun A eine Teilfläche2 von Ω und A(n) die Anzahl der Fälle, in denen bei n-maliger
Ausführung des Experiments das Korn in A zu liegen kommt.
Man erwartet nun, daß für eine Fläche A die relative Häufigkeit, die gemäß Definition 40
(S.49) sich zu
A(n)
hn ({X(x, y) ∈ A}) =
n
ergibt, nahe am Flächeninhalt liegt (ähnlich wie man in Beispiel 45 (S.51) die empirische W.
approximativ gleich der mathematischen erhofft).
2
genauer, eine solche mit wohldefiniertem Flächeninhalt – d.h. Jordanmeßbar bzw. Lebesguemeßbar
2.1. Empirische und mathematische Wahrscheinlichkeit – W-Maße
53
Somit erscheint es sinnvoll, hier die mathematische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A
durch den Flächeninhalt zu definieren. Man setzt somit P (X(x, y) ∈ A) = P (A) :=Fläche
von A und nennt P (A) (mathematische) Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses
“X(x, y) kommt zufällig in A zu liegen”.
Somit ergibt sich als Antwort zu Frage 1 und 2 jeweils der Wert Null. In Frage 3 bekommt
man 41 . In Frage 4 ergibt sich wegen der Disjunktheit der Quadrate unter Benützung der
Bezeichnung Q(a) für ein Quadrat der Seitenlänge a
P (A) =
∞
X
i=1
X
∞
1
1
1
=
= .
P Q
i
i
2
4
3
i=1
Um die “Zufälligkeit” von Ereignissen mathematisch zu behandeln, konstruiert man (ein
mengentheoretisches Modell), d.i. einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, der alle Elementarereignisse beschreibt, sowie ein Wahrscheinlichkeitsmaß P , das für eine brauchbar große Klasse
Σ (sogenannter meßbarer Ereignisse) von aus (durchaus unendlich vielen) Elementarereignissen zusammengesetzten Ereignissen eine mathematische Wahrscheinlichkeit angibt. Bei
oftmaliger Wiederholung ein und des selben Experiments erwartet man eine Annäherung der
relativen Häufigkeit jedes meßbaren Ereignisses an die mathematische Wahrscheinlichkeit,
wie wir bei der Diskussion des Bernoulliexperiments in Beispiel 85 (S.96) deutlich zu machen
beabsichtigen. Hier die Forderungen an so ein Tripel (Ω, Σ, P ):
Definition 48 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P ), kurz W-Raum besteht aus folgenden
Daten:
1. Einer Menge Ω der Elementarereignisse. Jede Teilmenge von Ω heißt Ereignis. Ein
“zufälliger Versuch” besteht in der Auswahl eines Elementes x ∈ Ω.
2. Einer Menge Σ von Teilmengen von Ω, genannt Menge der meßbaren Ereignisse.3 Jede
Menge A ∈ Σ steht für das Ereignis “in zufälliger Weise wird ein x ∈ Ω bestimmt, und
dieses x liegt dann in A”. Die Menge Σ sei eine Σ-Algebra, d.h.:
(a) Ω gehört zu Σ.
(b) Wenn die Teilmenge A zu Σ gehört, so auch das komplementäre Ereignis A0 :=
Ω \ A.
(c) Wenn A1 , A2 , . . . eine unendliche Folge von Elementen in Σ ist, so auch die abzählbare Vereinigung
∞
[
Ak = {x | ∃k mit x ∈ Ak }.
k=1
3. Einer Funktion P : Σ → [0, 1], welche die nachstehenden Eigenschaften erfüllt:
(a) Es ist P (Ω) = 1.
(b) Für jedes meßbare Ereignis A gilt P (A0 ) = 1 − P (A).
54
Wahrscheinlichkeitstheorie
(c) Falls A1 , A2 , . . . eine Folge meßbarer Ereignisse ist, und weiter je zwei Mengen Ai ,
Aj disjunkt sind (d.h. Ai ∩ Aj = ∅), so gilt:
P(
∞
[
k=1
Ak ) =
∞
X
P (Ak ).
k=1
Man sagt, P ist sigma-additiv.
Insbesondere (als Spezialfall) gilt für disjunkte Mengen A und B die Additivität,
d.h. P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Man nennt P auch (mathematische) Wahrscheinlichkeitsfunktion (P wie “Probability”
bzw. “Probabilität”) und P (A) die (mathematische)Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A. Falls Σ = P(Ω) (es ist P(M ) stets die Potenzmenge im Sinne
von Definition 14 (S.29)) und es eine abzählbare Teilmenge A von Ω mit P (A) = 1
gibt, heißt das Maß diskret.
S
Die Mengenoperationen ∪, ∞
k=1 , ∩ und Komplementbildung werden im Sinne von logischen
Operationen mit den Ereignissen beschreibenden Klausen interpretiert:
Anmerkung 49
1. das Ereignis A als “x wird zufällig in Ω gezogen und befindet sich
in A”. Dann ist P (A) als Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses A
zu interpretieren.
2. A0 = {x ∈ Ω | x 6∈ A} als das Ereignis “A tritt nicht ein”.
3. A ∩ B = {x ∈ Ω | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}, somit als zufälliges Ereignis “Es tritt sowohl
A als auch B ein” (wobei sehr wohl A und B auch gleichzeitig auftreten dürfen).
Ist A ∩ B = ∅, so sagt man “Die Ereignisse A und B schließen einander aus.” oder
auch daß sie “unvereinbar” sind.
4. A ∪ B = {x ∈ Ω | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}, somit als zufälliges Ereignis “Es tritt
wenigstens A oder B ein”.
S∞
5. k=1 Ak = {x ∈ Ω | ∃k x ∈ Ak } als “Wenigstens eines der Ereignisse Ak tritt ein”.
Es kann folgendes gezeigt werden:
Anmerkung 50 In einem diskreten W-Raum mit der abzählbarenSTeilmenge A, welche
P (A) = 1 erfüllt, muß offenbar P (A0 ) P
= 0 sein. Da außerdem A = a∈A {a} eine abzählbare Partition von A ist, gilt P (A) = a∈A P ({a}). Deshalb darf man von A annehmen,
daß jeder Punkt a ∈ A positives Maß hat.
3
Auch als Ereignisalgebra zu finden.
2.1. Empirische und mathematische Wahrscheinlichkeit – W-Maße
55
Ist (Ω, f, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum im Sinne Definition 43 (S.51), und
Σ die Menge aller Teilmengen von Ω, so ist (Ω, Σ, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum im
Sinne von Definition 48 (S.53).
Beispiel 51 Es sollen Antworten zu den in Beispiel 47 (S.52) gestellten Fragen gegeben
werden. Als Ω wählt man das Einheitsquadrat also Q := {(x, y) ∈ IR × IR | 0 ≤ x, y ≤ 1}.
Dieser Wahrscheinlichkeitsraum ist nicht endlich. Die Σ-Algebra Σ sollte aus “berechenbaren Flächen” bestehen. Die einfachsten solchen Flächen sind natürlich Rechtecke innerhalb
von Q. Nun wird im Rahmen der Maßtheorie (siehe z.B. [22]) gezeigt, daß diese Rechtecke
durch iteriertes Bilden von Komplement, abzählbaren Vereinigungen und endlich oftmaligem
Schneiden auf eine Σ-Algebra (nämlich der Menge der in Q enthaltenen Borelmengen) von
Teilmengen des Quadrats führen, die ausreichend groß ist, um dort unsere einfach gebildeten
Mengen der Aufgabe wiederzufinden.
Im Zuge der Aufgabe ist es wichtig zu wissen, daß unter den getroffenen Annahmen der
für solche Mengen definierte Flächeninhalt folgende Eigenschaften hat:
1. Punkte und, allgemeiner, abzählbare Mengen haben Maß Null.
2. Geradenstücke haben Maß Null.
3. Dreht oder verschiebt man A, und sind Anfangs- und Ausgangslage Flächen innerhalb
Q, so bleibt der Flächeninhalt erhalten.
4. Ist A eine Teilmenge von Q, deren charakteristische Funktion, definiert durch ξA (x, y) =
1 falls (x, y) ∈ A und Null andernfalls, (uneigentlich) Riemannintegrierbar ist (eine
solche Menge heißt Jordanmeßbar), so gehört A zu Σ.
Deshalb ist P ({( 21 , 12 )}) = 0 und das gilt auch für alle vier Eckpunkte, z.B. P ({(0, 0)}) = 0.
Nun zur Vereinigung der aufeinander gestellten Quadrate. Zunächst
sollte man prüfen, ob die gesamte
Figur in Q Platz hat. Dazu darf die
Summe aller Seitenlängen 21 + 41 +
. . . = 12 1−1 1 = 1 nicht größer als 1
2
sein, was offenkundig der Fall ist.
Spitzfindigkeit: Die Quadrate scheiden einander in einem Geradenstück (also nicht leerer
Schnitt). Dieses hat Maß Null. Entfernen wir alle solchen Schnitte (bestehend aus abzählbar
vielen Geradenstücken, also insgesamt einer Menge vom Maß Null), so bekommen wir eine
Vereinigung “randloser” Quadrate, deren paarweise Schnitte leer sind, und deren Inhalte eine
1 1
geometrische Folge { 14 , 16
, 64 , . . .} bilden, sodaß die Sigmaadditivität und die geometrische
Summenformel auf P (A) = 14 1−1 1 = 31 führen.
4
Laplaceraum
Kodieren Ω1 := {A, B}, Ω2 := {0, 1},
1 für OKAY
Ausfall, wenn mindestens eine Sicherung fliegt. Als Ereignisraum kann
man Paare (A± , B ± ) versuchen, wobei
‘−’ kaputte Sicherung bedeute.
Zunächst hat man für Urne U1
den W-Raum Ω1
:=
{A
⊂
{w1 , w2 , s1 , s2 , s3 } | |A| = 2}
und für U2 hat man Ω2 := {A ⊂
{w, s1 , s2 , s3 , s4 , s5 } | |A| = 2}.
Danach bildet man die disjunkte
Vereinigung Ω := Ω1 ∪ Ω2 , wobei
die Wahrscheinlichkeit von Elementarereignisses, die von U1 stammen,
1
× “15” bzw. für U2 12 × “16” sein
2
Werfen von 3 gleichen Münzen. Wahrscheinlichkeit, daß wenigstens einmal
Zahl erscheint.
Maschine A hat 3% Ausschuß und produziert 70%, B 1% und produziert den
Rest. Wahrscheinlichkeit für Ausschuß
der Gesamtproduktion?
Sicherungen A und B fallen mit 3 bzw.
1 Prozent aus. Wahrscheinlichkeit für
Stromausfall?
Urnen 1,2. In U1 sind 2w und 3s Kugeln, in U2 sind es 1w und 5s Kugeln.
Wahrscheinlichkeit dafür, bei zufälliger
Wahl von U1 oder U2 und danach Auswahl von 2 Kugeln 1w und 1s Kugel in
Händen zu haben.
2
—
Würfeln mit 2 Würfeln. Augensumme=9
2
Laplaceraum
Würfeln mit Würfel. Wahrscheinlichkeit für Werfen von Primzahl
muß.
Anmerkung
Text
P(Ω)
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ×
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
{K, Z}×{K, Z}×
{K, Z}
{(A+ , B − ),
(A− , B + ),
(A− , B − )}
{{wi , sj } | i =
1, 2 ∧ j = 1, 2, 3} ∪
{{w, sj } | j =
1, 2, 3, 4, 5}
P(Ω)
P(Ω)
P(Ω)
{(A+ , B + ),
(A+ , B − ),
(A− , B + ),
(A− , B − )}
siehe links
{(3, 6),(4, 5),
(5, 4), (6, 3)}
{Z} × {K, Z} ×
{K, Z} ∪ {K} ×
{Z} × {K, Z} ∪
{K} × {K} × {Z}
{(A, 0), (B, 0)}
A
{2, 3, 5}
Ω1 × Ω2
P(Ω)
Σ
P(Ω)
Ω
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
+
2
8
=
+
1
9
1
8
=
7
8
1
6
1
5
2 × (5) + 2 × (6) =
2
2
· · · = 14
≈
0.633
30
97
P (A) = 1 − 100
×
99
=
·
·
·
=
100
0.0397, d.h. 3.97%
0.7 × 0.03 + 0.3 ×
0.01 = 0.024
4
8
4
36
1
2
P (A)
56
Wahrscheinlichkeitstheorie
2.1. Empirische und mathematische Wahrscheinlichkeit – W-Maße
2.1.2
57
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Ereignisgraphen
Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit geht es kurz gesagt darum, daß man in einem W-Raum
(Ω, Σ, P ) zwei Ereignisse A und B betrachtet, derart, daß P (A) 6= 0 ist. Nun fragt man, mit
welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis B in jenen Situationen eintritt, wo A eingetreten
ist. Z.B. kann A das Ereignis “ein zufällig aus dem Stall Ω gegriffenes Kaninchen hat weiße
Ohren” und B das Ereignis “ein aus dem gleichen Stall zufällig gegriffenes Kaninchen hat
rote Augen”. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P (B|A) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an,
unter den Kaninchen mit weißen Ohren eines mit roten Augen zu finden. Sind z.B. 100 Hasen
im Stall, also Ω = {1, . . . , 100} so könnte man sich eine Situation wie die folgende vorstellen:
B rote Augen
¬B keine r. A.
A weiße Ohren
10
30
40
¬A keine w.O.
5
55
60
15
85
100
Also 10 Hasen haben weiße Ohren und rote Augen, etc. Somit ist die Wahrscheinlichkeit
10
P (B|A) = 40
, weil es 40 weiße Hasen und darunter 10 mit roten Augen gibt. Wären die obigen
40
10
, P (A) = 100
Zahlen Prozent- statt Absolutzahlen gewesen, so hätte man P (A ∩ B) = 100
10
40
und es wäre mit der gleichen Überlegung P (B|A) = 100
/ 100
= 14 , also der gleiche Wert 14
entstanden. So kommt man zur üblichen Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:
Definition 52 Es sei (Ω, Σ, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum (siehe Definition 48 (S.53)) und
A, B meßbare Ereignisse mit P (A) 6= 0. Die reelle Zahl
P (B|A) :=
P (A ∩ B)
P (A)
heißt bedingte Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Ereignisses B unter der Annahme,
daß A tatsächlich eingetreten ist.
Es kann folgender Sachverhalt gezeigt werden, der die Bezeichnung bedingte Wahrscheinlichkeit rechtfertigt:
Anmerkung 53 Ist (Ω, Σ, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A ein meßbares Ereignis mit P (A) 6= 0, so wird durch B 7→ P (B|A) = P P(A∩B)
ein Wahrscheinlichkeitsmaß
(A)
definiert.
Die häufigste unmittelbare Anwendung besteht darin, festzustellen, ob ein Ereignis A
das Ereignis B bedingt. Etwa, wenn A in der Verabreichung einer Impfung und B die Heilung einer bestimmten Erkrankung bedeutet. Dazu wählt der Mediziner aus einer Menge
Erkrankter, die er behandelt, eine Gruppe, die ein Placebo, und einen anderen Teil, dem
er A verabreicht. Danach errechnet er P (B|A), bzw. P (B 0 |A) mittels Prozentzahlen. Die
Mediziner müssen eine Norm festlegen, inwieweit P (B|A) > P (B 0 |A) die Wirksamkeit
58
Wahrscheinlichkeitstheorie
des Medikaments plausibel erscheinen läßt und danach bemüht man statistische Testverfahren (Unterabschnitt 3.3.3 (S.122)).
Im nächsten Beispiel sollen bedingte Wahrscheinlichkeiten in einem Experiment mit Kugeln, die aus Urnen gezogen werden, ein Experiment, wie es auch Laplace, Bernoulli und
andere betrachtet haben, behandelt werden. Die bei der Lösung des Beispiels verwendete
graphische Darstellung wird gelegentlich als “Ereignisgraph” bezeichnet und verdeutlicht die
Konstruktion von Ω aus vorgegebenen W-Räumen. Er veranschaulicht die Rolle der bedingten
Wahrscheinlichkeit.
Beispiel 54 Auf einem Tisch stehen die Urnen A und B. Die Urne A enthält 1 s(chwarze),
2 w(eisse) und 3 r(ote) Kugeln. Urne B enthält ebensolche Kugeln, allerdings 2 s und 2 w. Es
soll nun zufällig eine Urne gewählt, und danach aus dieser Urne zufällig eine Kugel gezogen
werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß diese Kugel s ist?
Naiv betrachtet, könnte jemand sagen, “Alles in allem, das Verhältnis von s zu allen wähl3
baren Kugeln ist wie 3 zu 10, also sollte diese Wahrscheinlichkeit 10
= 0.3 sein.” Das ist nicht
einsichtig, weil ja die Chance, bei Wahl von Urne A im ersten Durchgang eine schwarze Kugel
zu erwischen lediglich 16 ist. Im zweiten Fall ist sie 12 . Es liegt viel näher, 21 16 + 12 12 = 13 ≈ 0.33
zu nehmen.
Um das besser zu verstehen, verwenden wir die Zeichnung Fig. 2.1. Dort sieht man zunächst
die Wahl von A oder B und danach die möglichen Wahlen von Kugeln. Die rechte Spalte
enthält, richtig gelesen, eine Kodierung von Ω, nämlich
Ω = ({A, B} × {s, w, r}) \ {(B, r)}.
Die Beschriftung der rechten Pfeile (es wurde absichtlich nicht gekürzt!) sind bedingte Wahrscheinlichkeiten der Form P(Elementarereignis in {r, s, w}|A) bzw. B. Deshalb sind die äußerst
rechts stehenden Wahrscheinlichkeitswerte jene der Elementarereignisse in Ω – das ist im
Einklang damit, Ω als Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum aufzufassen und “abzuzählen”. Insbesondere ist die in Definition 52 (S.57) gegebene Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit zu
erkennen, wenn man die Wahrscheinlichkeiten jeweils hintereinander liegender Pfeile multipliziert.
2.1.3
Totale Wahrscheinlichkeit, Formel von Bayes
Anmerkung 55 Voraussetzungen
Es sollen {Ai | i ∈ I} und B Ereignisse in einem W-Raum sein,
4 , d.h. daß
derart daß die Ereignisse Ai ∩ B einander ausschließen
S
Ai ∩ Aj ∩ B = ∅ für i 6= j gilt, und B = i∈I Ai ∩ B ist, also
{Ai ∩ B | i ∈ I} eine Partition von B im Sinn von Definition 12
(S.28). Weiter soll P (Ai ) > 0 für alle i ∈ I sein. In der Skizze ist
B = (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) ∪ (A3 ∩ B) disjunkte Vereinigung.) Dann
gelten die folgenden Aussagen:
2.1. Empirische und mathematische Wahrscheinlichkeit – W-Maße
P (s|A)= 61
4
P (A)= 21hhhA
hh
hhhh
h
h
A 123
h
¿ VV
1
B 220 VVVPVV(B)=
VVVV2
V*
0
59
1
12
P (w, A) = 16
P (r, A) = 14
s 023 P (s, A) =
P (w|A)= 62
```````````0 w 113
123 `````````
P (r|A)= 63
0 r 122
1
1
P (s|B)= 2
0 s 120 P (s, B) = 4
aaaaaaaaaaaaaaaa
a
a
a
a
B 220
P (w|B)= 12
1
/ w 210 P (w, B) = 4
Abbildung 2.1: Ereignisgraph zu Beispiel 54 (S.58)
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
X
X
P (B) =
P (Ai ∩ B) =
P (B|Ai )P (Ai ),
i∈I
i∈I
wobei der Mittelteil der Herleitung als Folgerung der Sigmaadditivität (Definition
48 (S.53)) und Benützen von Definition 52 (S.57) dient.
Reziprozität: Ist P (B) > 0, so ist wegen Definition 52 (S.57) stets
P (Ai |B)P (B) = P (B|Ai )P (Ai ).
Formel von Bayes: Es ist
P (Ai |B) =
P (Ai )P (B|Ai )
P (Ai )P (B|Ai )
=P
,
P (B)
i∈I P (B|Ai )P (Ai )
wobei der mittlere Teil lediglich der Herleitung der Formel aus der Reziprozität und
danach Einsetzen in die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit für P (B) dient.
Beispiel 56
• Wer mag, kann die Formeln anhand von Beispiel 54 (S.58) nachvollziehen.
Sind z.B. A :=“Es wird eine Kugel in A gezogen”, B :=“Es wird eine Kugel in B
gezogen” und s :=“Es wird eine schwarze Kugel gezogen”, so findet man P (A) = 12 =
1
P (B) und P (s) = 12
+ 14 = 13 . Nun findet man, den Ereignisgraphen verwendend,
1
11 11
= P (s) = P (s|A)P (A) + P (s|B)P (B) =
+
.
3
62 22
? Wie groß ist P (A|s) lt. Definition 52 (S.57), danach gemäß Bayesscher Formel, und
wie interpretiert man das?
4
In der Literatur findet man gelegentlich die stärkere Bedingung Ai ∩ Aj = ∅ falls i 6= j.
60
Wahrscheinlichkeitstheorie
1/12
1
Antwort: Es ergibt sich P (A|s) = P P(A∩s)
(s) = 1/12+1/4 = 4 . Interpretation: “Man geht
davon aus, daß die gezogene Kugel s ist und fragt nach der Wahrscheinlichkeit dafür,
daß sie aus Urne A stammt.” Die Bayessche Formel ergibt im Einklang:
P (A|s) =
•
P (s|A)P (A)
=
P (s|A)P (A) + P (s|B)P (B)
11
62
11
62
+
11
22
1
= .
4
? Maschinen X,Y und Z erzeugen die gleiche Art elektronischer Bauteile mit unterschiedlicher Fehleranfälligkeit und Anteil an der Gesamtproduktion.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für
das Eintreten des jeweils aufgelisteten Ereignisses:
X Y Z
1. Ein Teil wird zufällig entnommen
% Anteil Gesamt- 30 50 20
und wurde von X produziert?
produktion
2. Ein Teil wird zufällig entnommen
%
Ausschuß
2
4
1
und das Teil ist fehlerhaft?
der
jeweiligen
3. Ein Teil aus den fehlerhaften wird
Produktion
zufällig entnommen und wurde von
X produziert?
Antwort: Es sollen X, Y, Z dafür stehen, daß das Teil von jeweils einer dieser Maschinen
produziert worden ist. F soll heißen “fehlerhaft”.
1. Aus der Tabelle entnimmt man P (X) =
30
100
= 0.3.
2. Es ist F = (X ∩ F ) ∪ (Y ∩ F ) ∪ (Z ∩ F ) eine Partition von F , also ist P (F ) =
P (X ∩ F ) + P (Y ∩ F ) + P (Z ∩ F ). Allerdings kennt man z.B. P (X ∩ F ) nicht. Die
zweite Zeile der Tabelle ist im Sinne bedingter Wahrscheinlichkeiten interpretierbar,
2
z.B. P(“Teil ist F und stammt von X”)= 100
= 0.02. Etwas formaler: P (F |X) = 0.02.
Deshalb kann man P (X ∩F ) = P (F |X)P (X) = 0.3×0.02 ermitteln. Ähnlich entnimmt
man der Tabelle die anderen Werte und es ergibt sich
P (F ) = 0.3 × 0.02 + 0.5 × 0.04 + 0.2 × 0.01 = 0.028,
also “nicht ganz 3 v.T. Teilen sind im Schnitt als fehlerhaft zu erwarten.”
3. Hier wird nach P (X|F ) gefragt, weil man “von Haus aus” annimmt, ein fehlerhaftes Bauteil heraus zugreifen und Schuldige sucht. Beim Anwenden von Definition 52
∩X)
(S.57) hätte man P (X|F ) = P (F
P (F ) , jedoch kennt man den Wert von P (F ∩ X) nicht.
Verwenden der Reziprozität und die Kenntnis von P (F ) = 0.028 aus 2. ergibt sofort
P (X|F ) =
P (F |X)P (X)
0.3 × 0.02
3
=
=
≈ 0.214.
P (F )
0.028
14
Wäre P (F ) noch nicht bekannt, und lediglich P (X|F ) gefragt, so benützte man die
Bayessche Formel:
2.1. Empirische und mathematische Wahrscheinlichkeit – W-Maße
P (X|F ) =
=
2.1.4
61
P (F |X)P (X)
P (F |X)P (X) + P (F |Y )P (Y ) + P (F |Z)P (Z)
0.3 × 0.02
0.006
=
≈ 0.214.
0.3 × 0.02 + 0.5 × 0.04 + 0.2 × 0.01
0.028
Unabhängigkeit von Ereignissen
Wenn zwei Ereignisse A und B vorliegen, P (A) 6= 0 ist, und P (B|A) = P (B) gilt, so bedeutet
es, daß offenbar das Ereignis B unter jenen Fällen, wo A eintritt, gleich wahrscheinlich ist, wie
in der Gesamtheit Ω aller Ereignisse. Wenn sich etwa in Anmerkung 53 (S.57) herausstellt,
daß der Prozentsatz an Heilungen unter den geimpften Patienten gleich jenem der Heilungen
unter allen Probanden (also einschließlich der nicht geimpften) ist, so sagt man, daß die
Ereignisse A und B einander nicht bedingen bzw., daß sie unabhängig sind. Für P (A) 6= 0
sind P (B|A) = P (B) und P (A ∩ B) = P (A)P (B) gleichwertig, wie man aus Definition 52
(S.57) sofort erkennt. Ist jedoch P (A) = 0, so ergibt die letztere Charakterisierung immer
noch einen Sinn. Deshalb ist folgende Definition üblich:
Definition 57 Zwei meßbare Ereignisse A, B eines Wahrscheinlichkeitsraumes heißen unabhängig, falls P (A ∩ B) = P (A)P (B) gilt.
T
Eine
endliche
Folge
(A
|
i
∈
I)
von
Ereignissen
heißt
unabhängig,
falls
P
(
i
i∈J Ai ) =
Q
i∈J P (Ai ) für jede Teilmenge J von I gilt.
Anmerkung 58 Sind A und B meßbare Ereignisse und ist P (A)P (B) > 0 so sind
folgende Aussagen gleichwertig:
• A und B sind unabhängig,
• P (A|B) = P (A).
• P (B|A) = P (B)
• P (A ∩ B) = P (A)P (B).
• A0 und B sind unabhängig.
• A0 und B 0 sind unabhängig.
Insbesondere ist die Relation “A und B sind unabhängig” symmetrisch.
Anmerkung 59
• Im Beispiel mit den Hasen war A “weißohrig” und B “rotäugig”.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, unter den weißohrigen Hasen einen rotäugigen zu finden,
40
war P (B|A) = 14 und P (A) = 100
. Da somit P (B|A) 6= P (A) sind A und B nicht
unabhängig. Da sogar P (B|A) > P (A), wird in der Praxis als Indiz dafür gewertet, daß
“weißohrige Hasen eher zu Rotäugigkeit neigen”.
62
Wahrscheinlichkeitstheorie
Das gibt Anlaß, etwa mit analytischen Methoden tieferen Zusammenhängen auf den
Grund zu gehen.
•
? Es werde mit Würfeln W1, W2 geworfen und es seien A =“W1 zeigt eine 6” bzw.
B = “W2 zeigt 1,3 oder 5” Ereignisse. Sind A und B unabhängig?
Antwort: Intuition würde “JA” sagen, weil wir annehmen, daß die Würfel einander
nicht beeinflussen.
Wir wollen nachrechnen: Es ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {6} ×
{1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 3, 5} und A ∩ B = {6} × {1, 3, 5}. Jedes Elementarereignis (i, j) ist gleich wahrscheinlich, also liegt ein Laplaceraum im Sinne von
Definition 44 (S.51) vor. Hieraus ergibt sich durch Abzählen von A, B und A ∩ B und
anschließender Division durch |Ω| = 36, daß P (A) = 61 , P (B) = 36 = 12 und P (A ∩ B) =
3
1
36 = 12 . Die in Definition 57 (S.61) geforderte Gleichung P (A ∩ B) = P (A)P (B)
besteht. Die “Intuition” wird bestätigt.
• Eine hinterhältige Variation des vorigen Beispiels: Würfeln mit 2 Würfeln und Ereignis
A besteht darin, daß wenigstens 1 Würfel eine ungerade Zahl zeigt, das Ereignis B
darin, daß wenigstens ein Würfel 6 zeigt. Es ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6},
A = {1, 3, 5} × {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {2, 4, 6} × {1, 3, 5} und B = {1, 2, 3, 4, 5} × {6} ∪ {6} ×
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Weiter ist A ∩ B = {1, 3, 5} × {6} ∪ {6} × {1, 3, 5}. Aus diesen Daten
9
5
1
11
3
3
1
ergibt sich sofort P (A) = 63 + 36
= 27
36 , P (B) = 36 + 6 = 36 , und P (A∩B) = 36 + 36 = 6
11
1
27 11
Die famose Gleichung besteht nicht, weil P (A)P (B) = 36 36 = 48 > 6 = P (A ∩ B) ist,
also sind die Ereignisse A und B nicht unabhängig.
2.2
2.2.1
Zufallsvariable und Verteilungen
Zufallsvariable
Die Idee der Zufallsvariablen ist die einer Zahl (eines Vektors), der auf einem W-Raum definiert ist, und der Wert durch ein zufälliges Experiment ermittelt wird. Ein einfaches Beispiel:
Es ist Ω eine Personengruppe von 100 Leuten, man wählt eine Person zufällig aus und bestimmt die Schuhgröße (eine Zahl). Ein anderes Beispiel: Die 100 Personen beschließen, Darts
auf eine Kreisscheibe zu werfen. Nun wird jeder Person der Zufallsvektor aus den beiden Koordinaten des Darts zugeordnet (ein Vektor also). Hier ist die formale Definition:
Definition 60 Ist (Ω, Σ, P ) ein Maßraum, so nennt man eine Abbildung X : Ω → IRn eine
zufällige Variable oder auch stochastische Variable mit Werten im IRn (auch Zufallsvektor).
Sie heißt diskret, wenn sie höchstens abzählbar viele Werte annehmen kann.
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
Ist f : IRn → IRm , so ist die Zusammensetzung5 von Funktionen f X eine
stochastische Funktion der Zufallsvariablen X, die gelegentlich auch als
f (X) geschrieben wird. Sie heißt meßbar, wenn jede Menge der Form
X −1 (B) = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ B}
für jede Borelmenge B in Σ ist. (Wenn Ω diskret ist, so ist jedes X
meßbar.)
63
X /
IRn
CC
CC
f
f X CC! Ω CC
IRm
Beispiel 61 Einige konkrete Beispiele mögen der Anschauung dienen:
1. Es sei (Ω, Σ, P ) durch Ω := {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Σ := P(Ω) und P (ω) := 61 gegeben (Werfen
mit einem Würfel). Nun spielt Spieler S gegen die Bank B, indem für jedes Spiel von S
ein Euro an B geht, und 5 Euro von B an S bei einem Wurf von 6 gehen.
Der Gewinn X von S kann nun durch X(ω) := −1 falls ω 6= 6 und X(6) := 5 definiert
werden. Dieses X ist eine Zufallsvariable, ihr Wert wird durch das Zufallsexperiment
des Würfelns festgelegt. Die Zufallsvariable ist diskret.
2. Es sei (Ω, Σ, P ) durch Ω := {(x, y) ∈ IR2 | x2 + y 2 ≤ 502 }, Σ die Borelmengen innerhalb von Ω und P der übliche “Flächeninhalt”. Man denke an das Werfen mit Darts
(ohne jedoch eine weitere Unterteilung der Scheibe vorzunehmen). Nun kann vereinbart
werden, daß Gewinn nach der Formel
p
10 falls
x2 + y 2 < 10
X(x, y) :=
−1.5 sonst
ausbezahlt wird, wobei (in der Formel schon berücksichtigt) einmal Werfen 1 Euro 50
Cent kostet.
Auch dieses X darf als Zufallsvariable angesehen werden, denn ihr Wert wird durch das
durchaus als Zufallsexperiment ansehbare Werfen eines Darts ermittelt (so genau weiß
man ja doch nicht, wo der Dart hingeht!). Die Zufallsvariable ist diskret.
3. Aus sündteurem Material stellt jemand Würfelchen mit der Kantenlänge 1µm her, es
gibt aber zufällige Schwankungen dieser Länge (und wir nehmen einfachheitshalber an,
es werden keine Quaderchen, Parellelepipedchen oder sonst was erzeugt). Gemessen
wird die tatsächliche Kantenlänge, sodaß man Ω = IR und P das übliche Längenmaß
wählt.
Was den Hersteller eher interessieren dürfte ist nicht, wie die Kantenlänge schwankt,
sondern, aus Kostengründen, schaut er sich die zufällige Variable X(x) := x3 an. Die
Zufallsvariable ist nicht diskret.
Sie kann als stochastische Funktion der Zufallsvariablen X(ω) = ω ∈ Ω := IR angesehen
werden, nämlich, für f (x) := x3 hat man f X(ω) = ω 3 .
5
Zusammensetzung von Funktionen im Sinne von Anmerkung 33 (S.42)
64
Wahrscheinlichkeitstheorie
4. Jemand möchte, um ein ähnliches Beispiel zu formulieren, die Gravitationskonstante
unter der Annahme des Fallgesetzes s = g2 t2 ermitteln. Er mißt s und t und erzeugt
annahmehalber für t ∈ [0, 10] (in Sekunden) eine Menge von Datenpunkten in [0, 10] ×
IR. Nun interessiert ihn die Zufallsvariable X : [0, 10] × IR → IR, nämlich
2s
,
t2
weil diese Größe der Gravitationskonstanten entspricht. Da es eine Meßreihe ist, darf
man von zufälligen Ergebnissen ausgehen. X ist nicht diskret.
X(t, s) :=
Hier kann X als stochastische Funktion von ω := (s, t) ∈ [0, 10] × IR = Ω angesehen
werden, wobei f (s, t) = 2s
ist.
t2
5. Die Spannung an einem Gleichstromgenerator werde während eines festgewählten Zeitraums [0, T ] gemessen und als Kurve (die mit guter Näherung eine horizontale Gerade sein sollte) in einem (t, U )-Diagramm aufgezeichnet. Demnach bietet es sich an,
Ω := [0, T ], Σ die Borelmengen, und schließlich das übliche Längenmaß b − a für ein
Intervall [a, b] (auch wenn die physikalische Deutung “Zeit” ist) zu verwenden.
Danach könnte man U : [0, T ] → IR als Zufallsvariable ansehen, wenn man kleine
Schwankungen nicht als systematische Fehler ansehen will. U ist nicht diskret.
Nun könnte jemand bei bekanntem Widerstand R auf die Idee kommen I(U ) := U
R als
U (t)
stochastische Funktion anzusehen. Korrekterweise ist das I ◦U (t) := R , und hier sieht
x
man die Zusammensetzung der Funktion f (x) := R
mit einer Zufallsvariablen U (t).
6. Das einfachste Beispiel einer Zufallsvariablen liegt dann vor, wenn Ω ⊆ IRn ist, denn
dann kann die identische Funktion X(ω) := ω als Funktion von Ω → Rn angesehen
werden. Diese Art Zufallsvariablen findet man in Fülle:
• Werfen mit einem Würfel. Es ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und X : Ω → IR ist die
geworfene Augenzahl.
• Messen der Wandstärke. Es ist Ω = [m, M ] ⊂ IR, wobei m und M ein vorgegebener
Minimal- bzw. Maximalwert sind. X : Ω → IR ist die gemessene Wandstärke.
• Schießen auf eine Zielscheibe. Hier wird (durchaus zufallsbehaftet) als Ω eine Kreisscheibe und der Treffer als ω ∈ Ω interpretiert. X : Ω → IR2 .
Solches X ist genau dann diskret, wenn P diskretes Maß im Sinne von Definition 48
(S.53) ist.
7. Schlußendlich kann in jedem W-Raum (Ω, Σ, P ) für eine beliebige Teilmenge A die
Funktion
1 falls ω ∈ A
X(ω) :=
0
sonst
betrachtet werden.
Da diese Funktion ihren Wert (Null oder Eins) jedenfalls in IR annimmt, ist sie eine Zufallsvariable. Diese Funktion wird als Indikatorfunktion von A bezeichnet. X ist
diskret.
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
2.2.2
65
Balkendiagramm und Verteilung einer Zufallsvariablen
Balkendiagramme trifft man sehr häufig (etwa in der medialen Berichterstattung) an. Angenommen bezüglich einer Erhebung über die Schuhgröße einer Gruppe Ω von 100 Personen
ergibt sich folgende Tabelle:
Schuhgröße
Zahl d Personen
36
2
37
3
38
5
39
10
40
25
41
30
42
20
43
4
44
1
Als grafische Darstellung findet man dann etwas von dieser Bauart, ein Balkendiagramm
36 37 38 39 40 41 42 43 44
Die mathematische Idee besteht darin, auf der Menge Ω = {1, . . . , 100} von Personen
eine diskrete reelle Zufallsvariable X : Ω → IR zu definieren, die lediglich der Werte der
gängigen Schuhgrößen fähig ist (deshalb ist sie auch diskret). Die Grafik zeigt nun, “wie
häufig” die Variable X einen vorgegebenen Wert annimmt. Genauer gesprochen werden auf
der Abszisse die Werte von X und der Ordinate die Häufigkeit aufgetragen, mit der dieser
Wert angenommen wird. Hier ist die entsprechende Definition:
Anmerkung 62 Für eine im Sinne von Definition 60 (S.62) diskrete Zufallsvariable
X : Ω → IRn ist das Balkendiagramm der Funktionsgraph der Funktion f (~x) := P ({ω ∈
Ω | X(ω) = ~x}.
Beispiel 63 Es sollen weitere Beispiele folgen:
1. Ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ein W-Raum, welcher das Werfen eines Würfels beschreibt,
und X(ω) := ω, so liegt ein Laplaceraum im Sinne von Definition 44 (S.51) vor. Das
1 · · · · · ·
6
Balkendiagramm von X ist typisch für einen Laplaceraum.
1
2
3
4
5
6
66
Wahrscheinlichkeitstheorie
2.
In 1. von Beispiel 61 (S.63) wurde
für 1 Euro gewürfelt und im Falle
einer 6 fünf Euro ausbezahlt. Somit
nimmt X genau die Werte −1 und 5
mit den Wahrscheinlichkeiten 65 und
1
6 an. De facto kann man das Balkendiagramm zur Beschreibung eines neuen W-Raumes mit den Elementarereignissen Ω0 := {−1, 5} mit
Wahrscheinlichkeiten P 0 ({−1}) = 65
und P 0 (5) = 61 auffassen.
5
6
1
6
·
·
X = −1
X=5
/
3. Im 2.ten Beispiel mit den Darts in Beispiel 61 (S.63) ist es ähnlich. Es ist Ω0 =
2
2
{−1.5, 10} und P 0 ({−1.5}) = 1 − 10
und P 0 ({10}) = 10
50
50 , das Balkendiagramm
sieht dem vorigen sehr ähnlich.
4. Beim Werfen mit zwei unabhängigen Würfeln interessiert man sich lediglich für die
Zufallsvariable X : {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6} → IR, definiert durch X(ω1 , ω2 ) :=
ω1 + ω2 , die Augenzahl. Man stelle sich z.B. vor, daß die Höhe des möglichen Gewinns
das 10fache dieser Summe in Euro ist.
? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß jemand mindestens 70 Euro gewinnt?
Statt eines Balkendiagramms mit 36 Werten für die Häufigkeiten der Elementarereignisse reicht jetzt das nachstehende Balkendiagramm, in welchem die Wahrscheinlichkeiten
(in Zwölfteln) für P (X = ω1 + ω2 = i) aufgetragen wurden:
•
6/36
•
•
5/36
•
•
4/36
•
•
3/36
•
•
2/36
•
1/36 •
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Wir sind lediglich an der Zufallsvariablen X interessiert, somit ist der W-Raum Ω0 :=
{2, . . . , 12} mit dem W-Maß P 0 laut Balkendiagramm ausreichend aufschlußreich (es
ist z.B. 7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 4 + 3 = 5 + 2 = 6 + 1, also P 0 ({7}) =
6
P ({1, 6}) + · · · + P ({(6, 1)} = 36
= 1 ). Damit kann man die obige Frage durch AdP12 6 0
1
7
dition der Wahrscheinlichkeiten j=7 P ({j}) = 6+5+4+3+2+1
= 6×7
36
2 36 = 12 ≈ 0.583
beantworten.
5. In 4. von Beispiel 61 (S.63) will jemand die Gravitationskonstante unter der Annah√
me von s = g2 t2 messen. Die Zufallsvariable X( s, t) hat gemäß der 10 Messungen
(alle Sekunden) eine Häufigkeitsverteilung, bei der jeder gemessene Punkt die gleiche
Häufigkeit, nämlich 1, hat. Deshalb reicht es, das Balkendiagramm als Punktmuster in
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
67
√
der ( s, t)-Ebene zu zeichnen, weil man ja auch spekuliert, eine Gerade zu bekommen.
Das Balkendiagramm ist hier als Bestätigung des Fallgesetzes von Interesse. In dieser
Weise entsteht ein Problem der Ausgleichsrechnung (Anmerkung 113 (S.132)).
6. Es werde mit einem Gewehr auf eine Zielscheibe geschossen (100 Schuß). Danach entsteht eine Punktwolke, das “Treffermuster”, etwa wie in der Skizze zu Beginn von Abschnitt 3.4 über Kovarianz. Wiederum darf dieses Muster als Balkendiagramm gedeutet
werden. Ähnlich wie im vorigen Beispiel gibt das Balkendiagramm Auskunft über das
Zufallsexperiment: bei geübtem Schützen, ob das Gewehr “zieht”, bzw., wenn das Gewehr eingeschossen ist, über die gezeigte Treffsicherheit des Schützen.
Statt eines Balkendiagramms benützt der Statistiker eher die Verteilungsfunktion oder
kurz Verteilung, die zunächst am Beispiel mit den Schuhgrößen erzählt werden soll. Dabei
produziert man folgende Tabelle aus der bereits gehabten
Schuhgröße
Zahl d Personen
<36
0
<37
2
<38
5
<39
10
<40
20
<41
45
<42
75
<43
95
< 44
99
< 45
100
Diese Tabelle enthält genau die selbe Information wie das Balkendiagramm, weil man ja alle
(relevanten) Schuhgrößen aufgeführt hat und z.B. P ({X = 43}) = P ({X < 44}) − P ({X <
43}) = 0.99 − 0.95 = .04. Es ist offenbar P (X < 43) = .95 die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
eine zufällig aus der Personengruppe gewählte Person eine Schuhgröße kleiner als 43 hat. Die
Besonderheit ist, daß aus der Tabelle eine reellwertige Funktion, die Verteilungsfunktion von
X ablesbar ist, deren Graph hier skizziert ist:
68
Wahrscheinlichkeitstheorie
◦ •◦ •
◦ •
◦ •
◦ •
◦ •
◦ •
◦ •
◦ •
•◦ •
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Dies ist der Graph der Verteilungsfunktion FX (x) der Variablen X (Schuhgröße), die durch
FX (x) = P (X(ω) < x) festgelegt ist, also durch die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Person
zufällig auszuwählen und ihre Schuhgröße ist < x. Die Abszisse ist x und Ordinate der
Wert von FX (x). Man beachte die Sprungstellen, aus deren Höhe man das Balkendiagramm
rekonstruieren kann.
Balkendiagramme sind grundsätzlich an diskrete Zufallsvariable gebunden, weil für eine
nicht diskrete Zufallsvariable für alle ~x der Wert P ({ω | X(ω) = ~x}) = 0 sein kann (etwa beim
Beispiel des als Punkt gedachten Sandkorns). Verteilungsfunktionen sind hingegen auch für
nicht diskrete Zufallsvariable formulierbar. Ist z.B. X die durchaus von (Witterungs)einflüssen
abhängige Länge eines Stabes, so darf man annehmen, daß grundsätzlich alle reellen Zahlen
als Länge dem Stab zugeordnet werden könnten. Läßt man nun 100 Personen so einen Stab
messen, so mißt wohl jede Person eine Länge und man kann wie vorhin Häufigkeiten zählen
(wie es tatsächlich in der Meßtechnik gemacht wird). Allerdings sind die gewonnen Zahlen
eigentlich kontinuierlich vieler Werte fähig, lediglich unsere Meßverfahren lassen oft nur eine
gewisse Anzahl Kommastellen zu und führen dazu, die Variable als diskret anzunehmen. Der
Meßtechniker zerlegt die reellen Zahlen in kleine, disjunkte, links abgeschlossene, rechts offene
Intervalle, und zählt Häufigkeiten, wie oft das Meßergebnis in eines der Intervalle fällt. Es
könnte etwa [1m, 1.001m) ein solches Intervall sein. Wird nun die Genauigkeit erhöht, so
müßte er die neuen Messungen irgendwie mit den alten vergleichen können. Hierbei ist die
Verteilungsfunktion hilfreich:
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
69
Definition 64 1-dimensionale Verteilung(sfunktion) Ist X : Ω → IR eine 1dimensionale Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P ), und ist X : Ω → IR
meßbar in dem Sinne daß für alle Zahlen a, b ∈ IR mit a < b die Menge {ω ∈ Ω | a ≤ X(ω) < b}
zu Σ gehört, so ist Ihre Verteilung FX : IR → [0, 1] durch
FX (x) := P ({ω | X(ω) < x})
festgelegt.
Die Schreibweise FX (x) = P (X < x) ist gebräuchlich, bedeutet jedoch die eben gegebene
Definition. Die Meßbarkeitsbedingung ist mathematisch-technischer Natur. Sie ist z.B. erfüllt,
wenn Ω eine Teilmenge des IRn und X stetig ist.
Die im “Schuhgrößenbeispiel” vorgestellte Verteilung(sfunktion) entspricht genau dieser
Definition.
Anmerkung 65 Das Schuhgrößenbeispiel hilft durchaus, die nachstehenden Eigenschaften einer 1-dimensionalen Verteilung(sfunktion) F = FX “einzusehen”.
1. F (∞) := limx→∞ F (x) = 1, F (−∞) = 0.
2. F ist monoton steigend, d.h. x < y ⇒ F (x) ≤ F (y).
3. F ist linksseitig stetig, d.h. F (x) = F (x− ) := limh→0,h>0 F (x − h).
4. Erfüllt F die Eigenschaften 1.–3., so kann ein W-Raum (IR, B, Q), durch Q((a, b)) :=
F (b) − F (a) für Intervalle und entsprechende Erweiterung auf alle Borelmengen B
konstruiert werden, daß F : IR → [0, 1] als Zufallsvariable aufgefaßt werden kann
und F zudem die Verteilung dieser Zufallsvariablen ist.
Es ist P ({a}) = P (X = a) = F + (a) − F (a). Das entspricht der Sprunghöhe in der
Skizze.
Rb
Ist überdies F stetig differenzierbar mit F 0 = f , so ist6 P (a ≤ X < b) = a f (x) dx =
F (b) − F (a). Insbesondere ergibt sich
Z x
F (x) =
f (t) dt
−∞
Es heißt f Verteilungsdichte der gemäß F verteilten Zufallsvariablen X.
1
◦
•
(a, F + (a))
◦
•(a, F (a))
•
a
0
70
Wahrscheinlichkeitstheorie
Die Hilfe für den Meßtechniker, bei Verfeinerung die Meßreihen zu vergleichen, sei hier nur
kurz in Worten geschildert: Verfeinert man die Teilung weiter und weiter, so entstehen immer neue Verteilungsfunktionen, welche mehr und mehr Sprungstellen haben, jedoch (beim
bißchen Augen zukneifen) immer mehr einer Linie, also stetigen Verteilungsfunktion ähneln,
von der man erhofft, daß sie “Grenzwert” bei ständigem Verfeinern ist (etwa so ähnlich wie
beim Riemannintegral). Eine Präzisierung dieser Idee beinhaltet der Hauptsatz der Statistik
von Gliwenko-Cantelli (Anmerkung 89 (S.109)).
Anmerkung 66 (γ-Quantil) Ist F stetig und streng monoton, so hat die Gleichung
γ = F (z) für jedes γ ∈ (0, 1) genau eine Lösung zγ , die als γ-Quantil bezeichnet wird.
Definitionsgemäß ist dann P (X < zγ ) = γ, d.h., “die Wahrscheinlichkeit, daß X einen
Wert < zγ annimmt, ist dann γ”. Ist γ = 21 = 0.5, so wird z0.5 als Median, ist γ = 14 =
0.25, so wird z0.25 als Quartil bezeichnet. In der Schätztheorie (siehe Unterabschnitt 3.3.2
(S.115)) spielen z0.9 , z0.95 , z0.99 , manchmal auch für γ noch näher an 1 liegende Quantile
zγ eine Rolle.
1
Skizze des Graphen von F , von
γ, und seinem γQuantil zγ .
γ_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
·
zγ ·= γ − Quantil
0
Skizze des Graphen von f = F 0 ,
von
γ
gleich
der schraffierten
Fläche und dem
γ-Quantil zγ .
Bevor mehrdimensionale Verteilungsfunktionen erörtert werden, noch Beispiele zum Vorangegangen.
Beispiel 67 Hier Skizzen zu einigen Verteilungsfunktionen, Weitere, wie etwa die Normalverteilung (Skizze von Verteilungsfunktion und Dichte) Beispiel 83 (S.92)s folgen später:
6
als unmittelbare Folgerung des Hauptsatzes der Differential- u. Integralrechnung
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
71
1. In 1. von Beispiel 63 (S.65), wo X : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → IR durch X(i) := i definiert war,
ergibt sich die Verteilungsfunktion F (x) als Summe aller Elementarwahrscheinlichkeiten
1
6 , für die ω < x ist, somit:
/
◦
1
◦ •
5/6
◦ •
4/6
◦ •
3/6

◦ •
2/6
0 falls x ≤ 0


 j
◦
•
1/6
j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
6 falls
F (x) =
o· •· · · · · ·

∧ 0≤j−1<x≤j ≤6


1 2 3 4 5 6
1 sonst.
Unstetigkeiten sind an den Stellen 1, 2, 3, 4, 5 und 6, die jeweilige “Sprunghöhe” ist 61 .
Sichtlich ist F linksstetig. All dies kann ganz unmittelbar aus dem Balkendiagramm
abgelesen werden.
2. Auch in 2. von Beispiel 63 (S.65), wo X(ω) = −1 für ω ∈ {1, 2, 3, 4, 5} und X(6) = 5,
liest man die Verteilungsfunktion direkt aus dem Balkendiagramm ab:
◦
1
5
◦
•
6
F (x) =

 0
5
6

1
x ≤ −1
−1 < x ≤ 5
5<x
•
−1
·
5
3. (Gleichverteilung auf [a, b], Rechtecksverteilung) Die jetzt zu präsentierende Zufallsvariable ist nicht diskret. Eine zu messende Größe X soll jeden Wert zwischen
0 < a ≤ X(x) < b mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen können, etwa den Durchmesser einer Scheibe mit Sollgrenzen a und b. Es liegt nahe, Ω := [a, b] und X(ω) := ω
zu wählen. Danach ist P ([α, β]) = β−α
b−a für jedes in [a, b] enthaltene Intervall [α, β]. Dies
vor Augen, erkennt man
1
•

x<a
 0
x−a
a
≤
x
<
b
F (x) = P ({ω | ω < x}) =
 b−a
1
b≤x
•
·
a
b
1
Es ist nicht schwierig, die Verteilungsdichte mit f (x) = 0 für x 6∈ (a, b) und f (x) = b−a
zu “erraten”, weil sie im offenen Intervall (a, b) die Steigung der Geraden ist.
·
72
Wahrscheinlichkeitstheorie
Die vorliegende Verteilung heißt
Gleichverteilung auf [a, b], bzw.
Rechtecksverteilung, weil ihre Dichtefunktion, die man in den Punkten a, b beliebig definieren darf, ein
Rechteck beschreibt:
1
b−a
◦
•
•
a
·
b
·
4. (Massenverteilung als Zufallsvariable). Es sei ρ(x, y) ≥ 0 die Massendichte eines
ebenen
Bereichs K in IR2 (d.h. einer Teilmenge K des IR2 ) mit Gesamtmasse M =
R
K ρ(x, y) d(x, y) = 1. Nun interessiert uns lediglich der Träger des Maßes, also alle
jene Stellen, wo ρ(x, y) > 0 ist (man denke an an die Oberfläche einer Schale K mit
Nährlösung und Mikroben, so besteht dieser Träger aus den Mikroben – etwa erkennbar
an Verfärbung der Oberfläche, sodaß ρ proportional zum “Grad” der Verfärbung sein
kann).
Die Masse einer Borelmeßbaren Teilmenge B ⊆ K ist dann durch P (B) :=
R
B ρ(x, y) d(x, y) gegeben. Offenkundig hat P alle Eigenschaften eines W-Maßes auf der
Sigmaalgebra aller in K enthaltenen Borelmengen.
? Interpretation im W-theoretischen Sinn?
Antwort: Das Ereignis “in der Borelmenge B befindet sich ein Punkt des Trägers von ρ”
hat die Wahrscheinlichkeit P (B). Im Mikrobenbeispiel ist P (B) die Wahrscheinlichkeit
dafür, in B Mikroben zu finden. M.a.W., die Zufallsvariable X : K → IR2 , definiert
durch X(ω1 , ω2 ) = (ω1 , ω2 ) hat die Verteilungsdichte ρ.
Wenn die Verteilung an einer etwaigen Verfärbung nicht ohneweiters sichtbar ist, steht
der “zufällige” Aspekt des Beispiels sicher stärker im Vordergrund, weil man wissen
will, wie sich z.B. die Kultur ausbreitet.
5. (Quantile) Im folgenden Beispiel sollen Quantile berechnet werden. Im Fall der Gaußschen Normalverteilung, wie sie allermeist in der Statistik vorkommt (Beispiel 83 (S.92)),
aber auch bei vielen anderen gebräuchlichen Verteilungen benötigt man dazu Numerik
oder Tabellen – man kann nicht in elementarer Weise vorgehen, so wie im vorliegende
“akademischen Übungsbeispiel”:
?
Eine Zufallsvariable X : Ω → IR habe die Verteilungsdichte fX (x) = 0, falls |x| ≥ 1, und 1 − |x|,
falls |x| < 1 ist. Man berechne die Verteilungsfunktion FX (x), sowie den Median z0.5 und das
0.99-Quantil z0.99 .
? 1)
·?(0,
???

·
·
(−1, 0)
·
(1, 0)
Rx
Antwort(findung): Die Verteilungsfunktion FX (x) = −∞ fX (t) dt. Ist x < −1 so ist
Rx
Rx
FX (x) = 0. Ist nun −1 ≤ x < 0, so ist sichtlich FX (x) = −∞ fX (t) dt = −1 (1 −
Rx
|t|) dt = −1 (1 + t) dt = 21 (x + 1)2 . Entsprechend ist F (0) = 21 . Für positives x < 1
Rx
R0
Rx
ist fX (x) = 1 − x und somit ist FX (x) = −∞ fX (t) dt = −1 fX (t) dt + 0 fX (t) dt =
Rx
1
1
2
2 + 0 (1 − t) dt = 2 (1 + 2x − x ).
Da das γ-Quantil jene Abszisse zγ ist, für die die Gesamtfläche γ beträgt, ergibt sich
in elementarer Weise z0.5 = 0 (das gilt für jede am Nullpunkt zentrierte, symmetrische
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
73
Dichte, z.B. auch für N (0, σ 2 ), Beispiel 83 (S.92)). Um z0.99 zu bestimmen, muß man
die quadratische Gleichung 0.99 = 12 (1 + 2z − z 2 ) lösen, wobei lediglich 1 > z > 0 in
Frage kommen kann, weil ja 0 = z0.5 und 0.5 < 0.99 < 1 ist. Die völlig elementare
Rechnung ergibt z0.99 ≈ 0.86.
? Bei symmetrischen Verteilungen mit µ = 0, wie dieser hier, aber auch bei N (0, σ 2 ) interessiert man sich im Zuge der Intervallschätzung (siehe Unterabschnitt 3.3.2 (S.115))
bei gegebener “Irrtumswahrscheinlichkeit” α für ein symmetrisches Intervall (−, ) mit
P (|X| < ) = F () − F (−) > 1 − α. Es sei α := 0.1 und man bestimme ein solches .
Antwort: Zunächst ergibt sich sofort FX ()−FX (−) = 12 (1+2−2 )− 21 (1−)2 ) = 2−2 .
√
Nun ergibt die Forderung 2 − 2 ≥ 1 − α die äquivalente |1 − | ≤ α, und diese
√
Forderung ist für alle ≥ 1 − α ≈ 0.68 erfüllt.
? Welche W-theoretische Aussage läßt sich nun machen?
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, daß eine gemäß unserem FX verteilte Zufallsvariable
(definiert auf welchem Ω auch immer, jedoch Werten in IR) einen Wert im Intervall
(−0.68, 0.68) annimmt, ist zumindest 0.9.
Im Falle nicht diskreter Zufallsvariabler X : Ω → IRn (etwa, wenn, wie in Beispiel 61 (S.63)
5., wo U (t) die Zufallsvariable Spannung zum Zeitpunkt t ist, oder wenn, wie in Beispiel 47
(S.52), n = 2 und X(ω) = (ω1 , ω2 ) die Position des Staubkorns auf dem Chip ist), könnte
man grundsätzlich danach fragen, wie groß denn die Wahrscheinlichkeit
P ({ω ∈ Ω | X(ω) ∈ I1 × · · · × In })
ist, wobei jedes Ij = [aj , bj ) ein (üblicherweise) halboffenes Intervall ist. Wenn n = 1, so
wäre das ein Intervall, für n = 2 ein achsenparalleles Rechteck, für n = 3 ein achsenparalleler
Quader. Man kommt mit weniger Information aus, als alle solchen Hyperquader:
Dazu benützt man die diesbezüglich wichtigste Eigenschaft der Σ-Algebra der Borelmengen: Für n = 1 kann jedes Intervall [a, b) in der Form
[a, b) = (−∞, b) \ (−∞, a)
geschrieben werden, und für n = 2 ist (siehe Skizze und beigefügte Legende)
[a, b)×[c, d) = ((−∞, c)×(−∞, d)\(−∞, a)×(−∞, d))∪((−∞, b)×(−∞, d)\(−∞, a)×(−∞, c)).
(Ähnliches gilt bezüglich Hyperquadern im n-dimensionalen Raum).
d _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _·
Es ist [a, b) × [c, d) das mit aus
gezogenen Linien umrandete Recht
c
·
eck. Das strichlierte Rechteck ist
(−∞, a) × (−∞, d), das punktierte
(−∞, b) × (−∞, c), und der Durch
schnitt der beiden Rechtecke ist
(−∞, a) × (−∞, c).
·a
·
· (b, c)
·b
74
Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition 68 (Zufallsvektoren im IRn und ihre Verteilung). Ist X : Ω → IRn eine IRn wertige Zufallsvariable (auch Zufallsvektor), und für jedes n-Tupel a = (a1 , . . . , an ) ∈ IRn die
Menge {ω ∈ Ω | (∀i) (1 ≤ i ≤ n) ∧ Xi (ω) ≤ ai } in Σ (man sagt X ist Σ − B-meßbar), so
nennt man
F (a1 , . . . , an ) := P ({ω | X1 (ω) < a1 ∧ . . . ∧ Xn (ω) < an })
= P ({ω | X(ω) ∈ (−∞, a1 ) × · · · × (−∞, an })
= P (X −1 ((−∞, a1 ) × · · · × (−∞, an )))
die Verteilung(sfunktion) von X. Die Meßbarkeitsbedingung ist für diskretes W-Maß P automatisch erfüllt (weil ja dann Σ = P(Ω) ist).
Es ist durchaus üblich, “in salopper Manier” P (X ∈ B) := P ({ω | X(ω) ∈ B}) zu schreiben
und als “(Aufenthalts)wahrscheinlichkeit von X in B” zu interpretieren.
Ist (Ω, Σ, P ) ein W-Raum und X : Ω → IRn eine Zufallsvariable,
und sind B die Borelmengen, so ergibt sich mit PX := P X −1 das
nebenstehende kommutative Diagramm.
B
X −1
/Σ
PX
! P
[0, 1]
Es erweist sich (IRn , B, PX ) als W-Raum, wobei man lediglich die Definition von PX
hernehmen muß und die Axiome in Definition 48 (S.53) nachzuvollziehen
hat.SZ.B. ist
S
−1
PXS
(IR) = P (X IR) = P (Ω) = 1, bzw. sind Bi ∩Bj = ∅ so ist PX ( i Bi ) = P (X −1 ( i Bi )) =
P ( i X −1 (Bi )), und da alle X −1 (Bi ) auch paarweise leeren Schnitt haben, ergibt sich Weiter
X
X
=
P (X −1 (Bi )) =
PX (Bi ),
i
i
also ist PX sigmaadditiv.
Die in Anmerkung 65 (S.69) für n = 1 genannten Eigenschaften von F haben Analoga, die
jetzt zusammengestellt werden:
Anmerkung 69 Es gelten folgende Fakten für F = FX :
1. F ist in jedem seiner Argumente linksseitig stetig, wenn die übrigen Koordinaten
festgehalten werden.
2. F ist in jedem seiner Argumente nicht fallend, wenn die übrigen Koordinaten festgehalten werden.
3. F strebt gegen Null, bzw. Eins, wenn man mit allen Argumenten gegen −∞, bzw.
+∞ geht.
4. Erfüllt F die Eigenschaften 1.–3., so kann durch die Festsetzung Q((−∞, x1 ) ×
· · · × (−∞, xn )) := F (x1 , . . . , xn ) und entsprechendes Erweitern von Q auf ganz
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
75
B ein W-Raum (IRn , B, Q) konstruiert werden, derart, daß F die Verteilung der
Zufallsvariablen F wird.
Entsteht F als Verteilung der Zufallsvariablen X, so ist es üblich, Ω0 := IRn , Σ0 := B, die
Borelmengen zu setzen, und das W-Maß PX := Q als durch X auf IRn induziertes Maß
zu bezeichnen (in Beispiel 63 (S.65) ist PX = P 0 jedes mal!).
2.2.3
Erwartungswert µ, Varianz V und Schiefe
Der Begriff Erwartungswert ist im 17.Jhdt im Zuge der Bewertung von Spielen entstanden. Im
1. von Beispiel 63 (S.65) wurde X : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → IR mit X(i) = −1 für i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
und X(6) = 5 festgesetzt, und zwar als Verlust bzw. Gewinn. Wenn nun jemand hinreichend
oft spielt, so wird er “im mit Wahrscheinlichkeiten gewichteten Mittel”
X
ω
X(ω)P ({ω}) = (−1) ×
5
1
+5× =0
6
6
Euro gewinnen (allerdings kann es rauf- und runtergehen, dem Spieler also zwischendurch die
“Luft ausgehen”). Diese Größe ist ein erstes Beispiel eines Erwartungswertes.
Eine gänzlich andere Deutung der gleichen Daten könnte darin bestehen, in den Punkten 1, 2, 3, 4, 5 jeweils Ladungen der Stärke −1 und im Punkt 6 Ladung der Stärke 5 anzubringen. Danach erweist sich das gewichtete Mittel bei zufälliger Wahl einer Zahl i aus
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und notieren der Ladung P ({i}) als “im Mittel gefundene” Ladung.
In Beispiel 61 (S.63) 5., dem Beispiel mit der Spannung würde der über den Zeitraum
RT
[0, T ] gemittelte Wert, also E(U ) := T1 0 U (t) dt versucht werden, im Einklang mit der
Normalspannung zu halten, vor allem, wenn T von gewisser (offenbar nicht zu großer) Dauer
ist.
Die Zufallsvariable in Beispiel 67 (S.70) 3. war im Intervall [a, b] gleichverteilt, d.h., sie
nimmt mit gleicher Wahrscheinlichkeit jeden Werte in [a, b] an (konkret bedeutet dies P (X ∈
Länge von [c, d]
d−c
[c, d]) =
= b−a
) . Es stellt
Länge von [a, b]
Z b
a+b
1
x dx = · · · =
b−a a
2
einen Mittelwert aller möglichen X(ω)-Werte dar.
Noch deutlicher ist in Beispiel 67 (S.70) 4., für die Schale mit den Mikroben
Z ω1
ρ(ω1 , ω2 ) d(ω1 , ω2 )
ω2
S
als Mittelwert einzuschätzen, nämlich als Ort, um welchen herum die Mikroben sich zu konzentrieren erwartet werden.
Das nun folgende Beispiel verdeutlicht diese Auffassung und erlaubt die Interpretation
des Erwartungswertes einer vektorwertigen Zufallsvariablen als Massenmittelpunkt wie in der
76
Wahrscheinlichkeitstheorie
klassischen Mechanik. Dieses Bild von “Massenverteilung” ist auch hilfreich für die mechanische Deutung der Kovarianz, vgl. 3.4.
Beispiel 70 (Vektorwertiger Erwartungswert µ
~ = Schwerpunkt) Es sei M eine Teil3
menge im IR . Zunächst soll diese Menge abzählbar sein und aus Vektoren bestehen, d.h.,
M = {~xi | i ∈ IN }. Angenommen, jedes ~xi ist die Position eines Massenpunkts mit der Masse
mi , derart daß
X
mi = 1
i
ist (Gesamtmasse = 1). Dann lernt man, daß
X
~ :=
S
mi ~xi
i
der Massenmittelpunkt des Systems ist.
In dieser Form erlaubt das eine W-theoretische Interpretation: Dazu betrachten wir ein
Teilchen (=Massenpunkt) ω ∈ Ω := IR3 , das mit Wahrscheinlichkeit mi sich im Punkt ~xi
aufhält, m.a.W., P (ω = ~xi ) = mi . In diesem Sinne liegt das Diracmaß
X
P =
mi δ~xi
i
vor, und dann ist
~ = E(X),
~
S
~
wobei X(ω)
= ω die Identität auf IR3 ist.
Nun sei M nicht notwendig
abzählbar. Ist die Menge z.B. ein Würfel mit entsprechender
R
Massendichte ρ, sodaß (x,y,z)∈M ρ(x, y, z) d(x, y, z) = 1 ist, so beschreibt man den Massenmittelpunkt analog durch Integrale
Z
~ = E(X)
~ =
S
~xρ(x, y, z) d(x, y, z).
M
Beispiel 71 (Verteilungsfunktion für Münzwurf)
Man skizziere die Verteilungsfunktion für den Laplace-W-Raum (Ω, P(Ω), P ) für Ω := {0, 1},
wobei P ({i}) := 12 für i ∈ {0, 1} sein soll (Werfen einer Münze). Wie kann F (1+ ) − F (−2),
bzw. F (1) − F (0) gedeutet werden?
Antwort: Man definiert eine Zufallsvariable X : Ω → IR durch X({i}) := i. Nun ist
F (−∞, a) := P (X −1 (−∞, a)) = |{i∈Ω|X(i)<a}|
= |{i∈Ω|i<a}|
. Dann ergibt sich folgende Skizze
2
2
und Rechnung:
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
77
O
−∞ o
/
◦
1
1
2
◦
0
•
•
/ +∞
0
1
F (1+ ) − F (−2) = P (−2 < i < 1+ ) = 1 (mit 1+ befindet “man sich ein bißchen rechts
von 1, also sind alle Werte von i im Intervall”), bzw. F (1) − F (0) = P (0 < i < 1) = 12 , weil
F (1) − F (0) = PX ((−∞, 1)) − PX ((−∞, 0)) = PX ((−∞, 1) \ (−∞, 0)) = PX ([0, 1)) = P (0 ≤
i < 1) = P ({0}) = 21 .
Im Eingangsbeispiel wurde
schon angedeutet, daß für eine Zufallsvariable X im endlichen
P
Fall der Wert E(X) := ω∈Ω X(ω)P ({ω}) als mit den Wahrscheinlichkeiten des Auftretens
der Werte gewichteter Mittelwert betrachtet werden kann, der bei hinreichend oftmaligem
Wiederholen des Zufallsexperiments zu “erwarten” ist. E(X) läßt sich durch F ausdrücken,
nämlich, wenn S die Menge aller Sprungstellen ist, so hat man wegen P ({X = s}) = F (s+ ) −
F (s)
X
E(X) =
s(F (s+ ) − F (s))
s∈S
und der Nutzen dieser Formel liegt darin, daß man lediglich F kennen muß!
Definition 72 (Erwartungswert, Varianz) Es sei (Ω, Σ, P ) ein W-Raum und X : Ω → IR
eine Zufallsvariable. Ihre Verteilungsfunktion sei F bis auf einer höchstens abzählbaren Menge
S stetig differenzierbar mit Ableitungsfunktion F 0 = f . Weiter sei
Z ∞
X
|x|f (x) dx +
|s|P ({s}) < ∞,
−∞
s∈S
so heißt
Z
∞
µX = E(X) :=
xf (x) dx +
−∞
X
sP ({s})
s∈S
Erwartungswert von X. Es heißt f Verteilungsdichte.
Es heißt
V (X) := E((X − µX )2 ) = E((X − E(X))2 ) = E(X 2 ) − E(X)2
Varianz von X und
σX :=
p
p
V (X) = E((X − E(X))2 )
78
Wahrscheinlichkeitstheorie
die Streuung oder Standardabweichung.
Schließlich nennt man E((X − µ)3 ) die Schiefe der Verteilung.
Anschaulich ist der Erwartungswert ein “Mittelwert”, die Varianz besagt etwas, wie weit
die Werte der Zufallsvariablen vom Mittelwert weg “variieren”, und die Schiefe ist ein grobes
Maß, inwieweit die Verteilung nicht “symmetrisch” um µ gelegen ist.
Anmerkung 73 (Rechenregeln für Erwartungswerte)
1. Im
P diskreten Fall ergibt sich die zu Beginn schon benützte Formel E(X) =
x xP (X = x);
R∞
2. Wenn F stetig differenzierbar und f := F 0 die Dichte, so ist E(X) = −∞ xf (x) dx.
3. Sind X und Y Zufallsvariable auf Ω, a, b ∈ IR, und existieren E(X) und E(Y ), so
auch E(aX + bY ) und es ist
E(aX +bY ) = aE(X)+bE(Y ). (“E ist ein linearer Operator, bzw., falls reellwertig,
lineares Funktional”)
4. E(X) ist charakterisiert als Wert µ der Lösung der Gleichung E(X − µ) = 0.
5. (diskrete Zufallsvariable)
X
Ist A ⊆ IR, X : Ω → A diskrete Zufallsvariable
Ω
(Definition 60 (S.62)) und g : A → IR so ergibt
sich als Erwartungswert für die Zufallsvariable
gX : Ω → IR
X
E(gX) =
g(x)P (X = x) = EX (g).
"
g
"
2 IR
A
gX
x∈X
6. (Transformation für 1-dimensionales g)
Es sollen Zufallsvariable X, Y : Ω → IR mit stückweise
stetigen Dichten fX , fY und g : IR → IR stetig differenzierbar und streng monoton sein, welche die Rolle
einer Transformation spielt, d.h. Y = gX. Weiter soll
w : IR → IR eine integrierbare Funktion bezüglich der
Dichte fX sein. Die Situation ist jene im Diagramm.
Als Konsequenz der Substitutionsregel für Integrale
ergeben sich folgende Beziehungen:
Für die Dichten gilt:
ΩA
AA
}}
AAY
}
}
AA
}
}
A
}
}~
g
/ IR
IR A
AA
}
}
AA
}}
}} wg−1
w AAA
}
~}
fX (x) = fY (g(x))g 0 (x) bzw. fY (y) = fX (g −1 (y))
X
IR
1
g 0 (g −1 (y))
.
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
79
Für die Verteilungsfunktionen gilt:
FX (x) = FY (g(x)), bzw. FY (y) = FX (g −1 (y))
Für die Erwartungswerte der Zufallsvariablen wX und wg −1 Y gilt:
EY (wg −1 ) = EX (w).
7. Ist X : Ω → IRk eine Zufallsvariable mit Dichte fX und ist g : IRk → IR stetig
differenzierbar, so ist die Verteilung von gX durch
Z
FgX (z) =
fX (x) d(x)
{x|g(x)<z}
gegeben.7
Beispiel 74 Einige Beispiele zur Transformation von Zufallsvariablen, vorallem 6. und 7.
“Skalierungen” von der Form g(x) = ax + b werden für Normalverteilungen benützt (vgl.
Beispiel 83 (S.92)). Der Gebrauch von 7. wird dort für die Berechnung der Verteilung von
g(X, Y ) = X + Y benötigt. Bei der Herleitung der χ2 - und der t-Verteilung (Beispiel 98
(S.120) und Beispiel 99 (S.120)) spielt diese Formel auch eine wichtige Rolle, auch wenn dies
in diesem Skriptum nicht vorgeführt werden soll.
1.
? Die Zufallsvariable X : Ω → IR sei gleichverteilt in [−1, 1]. Wie sieht ihre Verteilungsfunktion aus? Für Y = g(X) = aX + b mit a > 0 berechne man die Verteilungsfunktion
FY . Man berechne EX (X 2 ) und den Erwartungswert EY (Y ).
Antwort(findung): X hat die Dichte fX (x) = 12 (weil [−1, 1] die Länge 2 hat). Somit
ist FX (x) = 0, 21 (x + 1), 1 je nachdem, ob x < −1, −1 ≤ x < 1 bzw. 1 ≤ x ist. Es ist
R∞
R1
3 1
EX (X 2 ) = −∞ x2 fX (x) dx = −1 x2 21 dx = 12 x3 = 13 .
−1
Im ersten Fall ist y = g(x) = ax + b. Die Monotonie ist für a > 0 erfüllt. Für die
Verteilungsfunktion ergibt die Transformationsformel für y = ax + b
fX (x) = fY (ax + b)g 0 (x) = fY (ax + b)a = fY (y)a,
und weil y = g(x) = ax + b sofort g −1 (y) = y−b
a ergibt, bekommt man fY (y) =
y−b
1
1
a fX ( a ), aus dem Intervall [−1, 1] wird das Intervall [−a+b, a+b], auf dem fY (y) = 2a
ist. Ansonsten ist fY (y) = 0.
Für die Verteilungsfunktion benützen wir die entsprechende Formel in 6., um FY (y) =
FX (g −1 (y)) = FX ( y−b
a ) zu bekommen. Die Fallunterscheidung in der Definition von FX
Der Nachweis benützt FgX (z) = P ((gX)−1 (−∞, Rz)) = P (X−1 g −1 (−∞, z)) = PX (g −1 (−∞, z)), sowie
(−∞, z) = {x | g(x) < z} und schließlich PX (A) = A fX (x) d(x).
7
g
−1
80
Wahrscheinlichkeitstheorie
überträgt sich auf eine solche für FY , weil die Werte −1 und 1 unter g in die Werte
−a + b und a + b übergehen.
Deshalb ist FY (y) = 0, 21 ( y−b
a + 1), 1, je nachdem ob y < −a + b, −a + b ≤ y < a + b,
bzw. a + b ≤ y ist.
Nun zu EY (Y ). Man kann die Substitutionsregel für die Funktion w := g verwenden.
Damit bekommt man (die Integration über die ungerade Funktion x im symmetrischen
Intervall [−1, 1] liefert keinen Beitrag):
R1
R1
EY (Y ) = EY (gg −1 Y ) = EX (gX) = −1 (ax + b) 21 dx = 12 −1 b dx = b.
Wer es nicht glaubt oder gerne “rechnet”, berechnet EY (y) auf direktem Weg:
R a+b 1
1 1 2 a+b
1
dy = 2a
y
((a + b)2 − (a − b)2 ) = b.
EY (Y ) = −a+b y 2a
= 4a
2
−a+b
2.
? Es sei X eine auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable im Sinne von Beispiel 67 (S.70)
3. Welche Dichte fY bzw. welche Verteilung FY hat die Variable Y = X 2 ? Welche
Verteilung hat sie, wenn sie auf dem Intervall [−1, 2] gleichverteilt ist?
Antwort(findung):
Offenbar ist g(x) = x2 auf dem Intervall [0, 1] streng monoton mit Ableitung g 0 (x) = 2x.
Der Rest von IR darf außer acht gelassen werden, man könnte g durch g(−x) = −x2 so
fortsetzen, daß die Voraussetzungen der Substitutionsregel erfüllt sind. Deshalb ergibt
√
sich für die Dichten wegen g −1 (y) = y:
√
fX (x) = fY (g(x))g 0 (x) = fY (y)2x = 2fY (y) y,
also fY (y) =
1
√
2 y,
sofern y ∈ (0, 1] und Null sonst.
Für die Verteilungsfunktion FY ergibt die Transformationsformel in 6. sofort FY (y) =
√
FX (g −1 (y)) = y falls y ∈ [0, 1] ist, bzw. Null für y < 0 und 1 für y ≥R 1. (Das gleiche
y
Resultat findet man auf direktem Weg: Für y ∈ [0, 1] ist FY (y) = −∞ fY (y) dy =
R y du
√
√
y.)
0 2 u =
Jetzt zu [−1, 2]. Nun ist g(x) = x2 nicht mehr monoton, sodaß der Gebrauch der
Substitutionsregel für Integrale mittels 7. zu erledigen geht. Es ist k = 1 und die Menge
√ √
{x ∈ IR | x2 < z} = (− z, z). Nun ist fX = 31 genau auf [−1, 2] und man muß nur
mehr das Integral auszuwerten, um für z ∈ [−1, 2] (für z < 0 ist das Integrationsintervall
√
leer weil z nicht reell ist, d.h. F (z) = 0, und für z > 2 ist F (z) = 1!):
Z
FgX (z) =
fX (x) dx
√ √
(− z, z)
Z
=
√
min{2, z}
√
max{−1,− z}
√
√
1
1
dx = (min{2, z} − max{−1, − z}),
3
3
was im ersten Moment erschreckend aussieht, jedoch allerhand Fallunterscheidungen in
geschlossener Form wiedergibt. Es darf angemerkt werden, daß für die Normalverteilung
die gleiche Aufgabe auf die Chiquadratverteilung (siehe Beispiel 98 (S.120)) führt.
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
3.
81
? Es sei A ⊆ Ω ein Ereignis, dessen Eintrittswahrscheinlichkeit P (A) = p ist. Nun
sei X : Ω → IR definiert als 1 falls das Ereignis eintritt, bzw. Null, wenn nicht (die
Indikatorfunktion von A wie in Beispiel 61 (S.63) 7.). Man berechne E(X), E(X 2 ) und
V (X) := E(X 2 ) − E(X)2 .
P
Antwort(findung): In Anmerkung 73 (S.78) 4., sei g(x) := x. Dann ist E(X) = x∈IR xP (X =
x) = 0 · P (X = 0) + 1 · P (X = 1) = P ({ω | X(ω) = 1}) = P (A) = p.
P
2
Analog, wenn g(x) = (x − p)2 , findet man E(gX) =
x∈IR (x − p) P (X = x) =
2
0
2
(0 − p) P (A ) + (1 − p) P (A) = pq, wobei, wie meist üblich q := 1 − p ist.
Antwort: Es ist E(X) = p und V (X) = pq. Das Ergebnis wird für die Bernoulliverteilung in Beispiel 79 (S.87) nützlich sein.
2.2.4
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Sind X und Y zufällige Variable auf einem Raum Ω, so kann es vorkommen, daß sie ihre Werte “voneinander unbeeinflußt” in zufälliger Weise annehmen. So etwa wird beim 5
maligen Würfeln hintereinander die Augenzahl in keinem der 5 Versuche jene der anderen
Versuche beeinflußen. Umgekehrt würde beim 2 maligen Würfeln die Summe der Augenzahlen und das Ergebnis des ersten Wurfes nicht unabhängig sein (vgl. die dritte, “hinterhältige” Situation in Anmerkung 59 (S.61). Um zu präzisen Begriffen zu gelangen, erinnern wir an die Unabhängigkeit von Ereignissen A und B (Definition 57 (S.61)), nämlich
P (A ∩ B) = P (A)P (B). Es erscheint natürlich, diese Definition dazu zu verwenden, daß X
und Y bei belieber Vorgabe von A und B unabhängig ihre Werte in A und B annehmen, also
P ({ω | X(ω) ∈ A ∧ Y (ω) ∈ B}) = P ({ω | X(ω) ∈ A)})P ({ω | Y (ω) ∈ B}). Glücklicherweise
muß man diese Forderung nicht für alle Paare von Mengen A, B prüfen. Ist A das Ereignis
“X < x” und B das Ereignis “Y < y”, so ergibt die Definition der Verteilungsfunktion F(X,Y ) ,
daß F(X,Y ) (x, y) = P (X < x ∧ Y < y) = P (A ∩ B) und wegen der Unabhängigkeit von A
und B ergibt sich hieraus F(X,Y ) (x, y) = P (A)P (B) = FX (x)FY (y). Umgekehrt kann man
aus F(X,Y ) (x, y) = FX (x)FY (y) die Unabhängigkeit im obigen Sinn ableiten – die Skizze vor
Definition 68 (S.74) deutet die Idee an. Deshalb wird üblicherweise die folgende einfachere
Definition der Unabhängkeit von Zufallsvariablen gegeben:
Definition 75 Die zufälligen Variablen X, Y : Ω → IR heißen (stochastisch) unabhängig, falls
die Zufallsvariable (X, Y ) : Ω → IR × IR die Verteilungsfunktion F(X,Y ) (a, b) = FX (a)FY (b)
besitzt.
Die Folge Xi : Ω → IR mit i ∈ I heißt stochastisch unabhängig, falls jede endliche Teilfolge
stochastisch unabhängig ist. Ist I endlich, so muß die Verteilungsfunktion der Folge (Xi | i ∈
I) von der Form
Y
F(Xi |i∈I) (ai | i ∈ I) =
FXi (ai )
i∈I
sein.
82
Wahrscheinlichkeitstheorie
Anmerkung 76 Die A,B Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn ihre Indikatorfunktionen stochastisch unabhängig sind.
Haben insbesondere FX und FY Dichten fX und fY , so sind X und Y genau dann
unabhängig, wenn (X, Y ) die Dichte f(X,Y ) (x, y) = fX (x)fY (y) hat.
Ist (Xi | i ∈ I) eine endliche Folge von Zufallsvariablen mit Dichten, so sind sie genau
dann stochastisch unabhängig, wenn die stochastische Variable (Xi | i ∈ I) : Ω → IRI
eine Dichte hat, und diese die Gleichung
Y
f(Xi |i∈I) ((xi | i ∈ I)) =
fXi (xi )
i∈I
erfüllt.
Im Falle der Unabhängigkeit von X und Y ergibt sich
µXY = EXY (XY ) = EX (X)EY (Y ) = µX µY
und hieraus nach ein wenig Rechnung
V (XY ) = V (X)V (Y ) − µ2X V (Y ) − µ2Y V (X).
Beispiel 77 Einige Beispiele hierzu
1. Ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Werfen mit 2 unabhängigen Würfeln) und
X, Y : Ω → IR die Projektionen, die jedem Wurf (i, j) die Werte X(i, j) = i, bzw.
Y (i, j) = j zuordnet, sind unabhängig: Es ist P ({(i, j) | i = i0 } = 16 , sodaß die Verteilungsfunktionen FX (x) genau jene in Beispiel 67 (S.70) 1. (jene für die Augenzahl mit
einem Würfel) wird. Analog ergibt sich FY . Die Verteilung von (X, Y ) bekommt man,
1
indem man zunächst P ({(i, j) | (i, j) = (i
ergibt sich
P0 , j0 )})
P = 36 ermittelt. Danach
P
P
1
F (i0 , j0 ) = P ({(i, j) | i < i0 ∧ j < j0 }) = i<i0 j<j0 P ({(i, j)}) = i<i0 j<j0 36
=
P
P
P
P
1
1
i<i0 6
j<j0 6 =
i<i0 P ({i})
j<j0 P ({j}) = FX (i0 )FY (j0 ).
2. Ist Ω und X wie vorhin, jedoch Y (i, j) := i+j, so genügt es, P ({(i, j) | (X(i, j), Y (i, j)) =
(5, 2)}) = P ({(i, j) | i = 5 ∧ i + j = 2}) = 0 und P ({(i, j) | X(i, j) = 5}) = 61 , sowie
1
1
P ({(i, j) | i+j = 2}) = 36
, also P ({(i, j) | X(i, j) = 5}×P ({(i, j) | i+j = 2}) = 216
6= 0
zu vermerken.
3. Beim Fehlergesetz (im Anschluß an Anmerkung 87 (S.99)) werden Annahmen über die
Unabhängigkeit von Fehlern gemacht.
2.2.5
Bedingter Erwartungswert und Randverteilungen für (X, Y ) : Ω → IR2
Es sei (X, Y ) : Ω → IR2 eine 2-dimensionale Zufallsvariable, etwa zufälliges Werfen von
Darts auf eine Zielscheibe. Dann haben die Zufallsvariablen X, Y und (X, Y ) entsprechend
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
83
Verteilungen FX , FY und F(X,Y ) . Ist die Verteilung von (X, Y ) bekannt, so ergibt sich die
Verteilung FX von X zu
X
FX (x) =
P(X,Y ) ({(x, y)})
y∈Y
im diskreten Fall und falls f(X,Y ) eine Dichte ist, so hat X eine Verteilungsdichte fX und sie
ergibt sich zu
Z ∞
fX (x) =
f (x, y) dy.
−∞
Man nennt FX und FY die Randverteilungen der Zufallsvariablen (X, Y ).
Man bezeichnet im diskreten Fall den Bruch
P(X,Y ) (x, y)
PX (Y | x) := P
y P(X,Y ) (x, y)
(2.1)
als bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Variable Y den Wert y annimmt, wenn X den
Wert x angenommen hat.
Analog nennt man, falls (X, Y ) eine Dichte f(X,Y ) besitzt, den Quotienten
fY |x (x, y) :=
f(X,Y ) (x, y)
fX (x)
bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte für Y = y falls X = x gilt.
(Korrektur 3.6.11: Die angeschnittene Figur ist bis auf Skalierung die bedingte Dichte fY |x )
Die Größen
Z ∞
X
E(g(X, Y ) | x) :=
g(x, y)PX (Y | x), E(g(X, Y ) | x) :=
g(x, y)fY |x (x, y) dy
x
−∞
für (X, Y ) diskret bzw. bei Vorhandensein der Dichte f(X,Y ) werden als bedingter Erwartungswert von g(X, Y ), wenn X den Wert x angenommen hat, bezeichnet.
Es ergibt sich unmittelbar E(g(X, Y )) = EX (E(g(X, Y ) | x)) in beiden Fällen.
Die angeführten Konzepte sind für vektorwertige Variable X.Y sinnvoll formulierbar. So
z.B. können für eine Zufallsvariable (X, Y, Z) : Ω → IR3 aus der gemeinsamen Verteilung
84
Wahrscheinlichkeitstheorie
von X, Y , und Z (d.i. F(X,Y,Z) ) Randverteilungen FX , FY , FZ , F(X,Y ) , F(X,Z) , F(Y,Z) gebildet
werden und entsprechend bedingte Erwartungswerte und -dichten.
Diese Begriffe sind von großer Wichtigkeit etwa zur Formulierung von Bedingungen an
stochastische Prozesse, etwa in der Signalverarbeitung.
2.2.6
Einige sehr gebräuchliche Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Die nachstehenden Tabellen geben eine grobe Übersicht. Nachfolgende Aufgaben gehen auf
die Begriffe ein.
a) = 1
Punkt- oder
Dirac-V. δa
an a
= k) =
= k) =
N −M
n−k
N
n
( )(
)
( )
M
k
λk −λ
k! e
xk)
=
n k n−k
p
q
k
BernoulliBinomialBn (p),
sei
0 < p < 1
und
q := 1 − p
Poisson-, sei
λ>0
Hypergeometrische-,
M , N , n aus
IN
xi ) =
Gleichmäßige
1
n
P (X =
Name d. V.
λk
k!
x≤0
0<x
x ≤ x1
xk−1 < x ≤ xk ,
2≤k≤n
xn ≤ x
0
P
e−λ k<x
1
k.A.
k−1
n
0
FX (x) =
0 x≤a
1 x>a
nM
N 1−
nM
N
npq
M
N
N −1
N −n
E(X 2 ) − E(X)2
λ
xi
0
V (X) =
λ
i=1
Pn
np
1
n
a
E(X) =
Poissonprozess,
Beispiel 80 (S.89)
Ziehen von Stichproben ohne Zurücklegen, Beispiel
81 (S.90)
n-maliges
Durchführen
eines Experiments,
Beispiel 79 (S.87)
Laplace W-Raum
X = a ist ein sicheres Ereignis
Anwendungsbereich
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
85
Student-, tn ∈ IN , n >
0
χ2 - n ∈ IN ,
n>0
Gauß,
N (µ, σ 2 ),
µ, σ > 0
Exponentialλ>0
Rechteck,
Intervall
a<b
Name d. V.
1
0
Rx
Γ( n+1
2
√1
)
nπ Γ( n
2
n
2 2 Γ( n
)
2
h
n
− 12
u−µ 2
σ
−∞ “
R∞
2
du
” n+1
2
1+ un
e− 2 u− 2 −1 du
u
−∞ exp
Rx
i
du
1
x−µ 2
σ
i
“
2
1+ xn
1
2
” n+1
x≤0
x
n
e− 2 x− 2 −1 x > 0
h
exp − 12
n
2 2 Γ( n
)
2
n+1
Γ( 2
√1
)
nπ Γ( n
2
0
√1
σ 2π
0
x≤0
λe−λx 0 < x
0
x≤0
1 − e−λx 0 < x
√1
σ 2π
FX0 (x) = f (x) =
0
x<a
1
b−a a < x ≤ b,
0
b≤x
FX (x) =
0
x<a
x−a
b−a a < x ≤ b,
1
b≤x
0 (f n ≥
2)
n
µ
1
λ
3)
n
n−2
2n
σ2
1
λ2
(f n ≥
− a)2
1
12 (b
1
2 (a
+ b)
V (X) =
E(X) =
98
standardisierte
normalverteilte Daten nicht
normalverteilt
bei unbekannter
Varianz Beispiel
98 (S.120)
Beispiel
(S.120)
Beispiel 83 (S.92)
Lebensdauer,
Zerfallsdauer,
Beispiel 82 (S.91)
Beispiel 67 (S.70)
3.
Anwendungsbereich
86
Wahrscheinlichkeitstheorie
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
87
Beispiel 78 (Dirac- oder Punktverteilung) Es sei Ω ⊆ IRn und ~x0 ∈ Ω, sowie Σ := P(Ω),
sowie P ({~x0 }) = 1 und P ({~x}) = 0, falls ~x 6= ~x0 ist. Die Verteilungsfunktion von X(~
ω ) := ω
~
ist gegeben durch
0 ∃i xi < x0i
F (x1 , . . . , xn ) =
1 ∀i xi ≥ x0i
Ist gX mit g : A ⊆ IRn → IR und ~x0 ∈ A eine Zufallsvariable, so ist E(gX) = g(~x0 ) und
V (gX) = 0. Es ist oft üblich, dieses Maß in der Form δ~x0 zu schreiben.
Allgemeiner kann jedes diskrete Punktmaß im IRn in der Form
X
P =
pi δ~xi
i
mit pi > 0 und
Im
IR1
P
i pi
= 1 beschrieben werden.
P
P
ist µ = E(X) = i pi xi und V (X) = i pi x2i − µ2 .
Beispiel 79 (Bernoulliverteilung8 ) Es sei (Ω, Σ, P ) ein beliebiger W-Raum, und A ∈ Σ
ein Ereignis mit P (A) = p. Dann ist klarerweise P (A0 ) = 1 − p, welches hinfort mit q
bezeichnet werde. Wie in Beispiel 74 (S.79) 3. ausgeführt, ist die Verteilungsfunktion FX der
Zufallsvariablen X : Ω → IR mit X die Indikatorfunktion (Wert=1, falls ω ∈ A, also das
Ereignis A eintritt, bzw. Null, wenn nicht) genau jene des Diracmaßes δp auf IR, d.h. 0 für
x ≤ 0 und 1 für x > 0. Wie dort ausgeführt wurde, ist E(X) = p und V (X) = pq, wobei
q := 1 − p ist.
Nun soll (in Gedanken) das Experiment zur Ermittlung von P (A) = p (bzw., gleichbedeutend von E(X)) in unabhängiger Weise mehrfach, nämlich n mal durchgeführt werden. Jedem
solchen Versuch entspricht auf Ω eine Zufallsvariable Xi : Ω → {0, 1} ⊆ IR mit FXi = FX
(gleiche Verteilung wie X). Hierdurch wird eine Zufallsvariable (X1 , . . . , Xn ) : Ω → IRn festgelegt, die wegen der Unabhängigkeit der Xi eine Produktverteilung hat, d.h., es ist für jede
Wahl der xi ∈ {0, 1}
P(
n
\
{ω | Xi (ω) = xi }) =
i=1
n
Y
P ({ω | Xi (ω) = xi }) = pk q n−k
i=1
wobei k die Anzahl der Indizes i ist, für die xi = 1 ist, oder, was auf das Gleiche hinausläuft,
die Anzahl jener Indizes i, für die das Ereignis A
Pim i.ten Versuch eintritt.
Nun sei S : Ω → IR die Zufallsvariable S := i Xi , welche offenkundig den Wert k ∈ IN
genau dann annimmt, wenn in genau k der n Experimente das Ereignis A eingetreten ist.
Dementsprechend ist
n k n−k
P ({ω | S(ω) = k}) =
p q
,
k
weil es genau nk Möglichkeiten, eine k-elementige Teilmenge der n-elementigen Menge der
Indizes {1, . . . , n} zu wählen.
8
Auch Binomialverteilung
88
Wahrscheinlichkeitstheorie
In Übereinstimmung mit der allgemeinen Theorie ist PS ein diskretes W-Maß auf IR,
nämlich
n X
n k n−k
PS =
p q
δk .
k
k=0
Als harmlose Übung hat man unter Anwendung des binomischen Lehrsatzes
X
X n
pk q n−k = (p + q)n = (p + 1 − p)n = 1.
PS ({k}) =
k
k
k
Für den Erwartungswert von S findet man gemäß Anmerkung 73 (S.78)
P
E (S) = Px∈IR S(x)P ({ω | S(ω) = x})
= k})
= Pnk=0 kP
({ω | S(ω)
n k
n−k
=
p)
k k k p (1 −
k
P
p
n
= q n k≥1 k k q
und man kann z.B. durch etwas langwierige vollständige Induktion zeigen (ein flotter Nachweis
ist in Beispiel 155 (S.161)3. angedeutet), daß
µ = E (S) = np.
Um V (S) zu berechnen, verwenden wir E(X 2 ) = V (X) + p2 = p und die Unabhängigkeit der
Xi , die nach sich zieht, daß E(Xi Xj ) = E(Xi )E(Xj ) = p2 für i 6= j ist. Danach ergibt sich
P
V (S) = E(S 2 ) − E(S)2 = E( i,j Xi Xj ) − n2 p2
= nE(X 2 ) + n(n − 1)p2 − n2 p2
= np − np2 = npq.
Jede Zufallsvariable, welche wie S verteilt ist, heißt B(n, p)-verteilt. Es ist die Binomialoder Bernoulliverteilung. Offenbar hat die Zufallsvariable Sn , die man bei realen Experimenten
empirisch ermittelt, gemäß der eben behandelten Theorie den Erwartungswert p und Varianz
pq
n . Die W-theoretische Deutung des wiederholten Experiments besteht darin, daß bei wachsendem n die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die relative Häufigkeit hn (A) = nk mit immer
kleinerer Varianz die Wahrscheinlichkeit p = P (A) approximiert, gegen 1 geht. Hierauf soll
im Bernoulliexperiment (Beispiel 85 (S.96)) und schließlich beim zentralen Grenzwertsatz
(Anmerkung 87 (S.99)) eingegangen werden (Grundlagen der Statistik)!.
Am Ende dieses Beispiels möge eine konkrete Situation stehen:
•
? Es ist eine Lieferung mit 500 Sicherungen angekommen und man weiß, daß es 5%
fehlerhafte dabei gibt, weil man die Firma schon kennt. Wenn man in zufälliger Weise 5
Sicherungen entnimmt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens eine davon
kaputt ist?
Man kennt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, “Sicherung kaputt”, sie ist p =
5
100 . Nun wird das Experiment, eine Sicherung herauszunehmen, und zu testen, ob
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
89
sie zu A gehört, n = 5 mal gemacht. Somit ist unsere Frage nach mindestens einer
kaputten Sicherung gleichbedeutend zu S = X1 + . . . + X5 ≥ 1. Die Annahme der
Unabhängigkeit ist nicht grundsätzlich gerechtfertigt, weil das Herausnehmen der 5
Sicherungen grundsätzlich nicht unabhängig voneinander ist (man legt die Sicherungen
nicht zurück), da jedoch die Anzahl der Sicherungen groß ist, ist das vernachlässigbar.
5
Somit ist die Verteilung B(5, 100
) und somit ergibt sich als Wahrscheinlichkeit
5 0 5
1 − PS (0) = 1 −
p q = 1 − (1 − 0.05)5 ≈ 0.226,
0
was gar nicht so klein ist!
Beispiel 80 (Poissonverteilung) Wenn in der Binomialverteilung p sehr klein und n groß
ist, so ist PS ({k}) etwas mühsam zu berechnen. Deshalb sind unter Benützung von λ := np
folgende Approximationen einer B(n, p)-verteilten Zufallsvariablen X gebräuchlich:
n k n−k
λk −λ
e .
E(X) = λ, V (X) = λq, PX ({k}) =
p q
≈
k!
k
Während die Formeln für E(X) und V (X) lediglich durch Einsetzen entstehen, bedarf jene
für PX ({k}) etwas Erklärung. Es ist
PX ({k}) =
≈
≈
≈
Es erweist sich PX ({k}) :=
λk −λ
k! e
PX (IR) =
als W-Maß auf IR, weil jeder dieser Werte positiv und
X
k
n−j+1 k
λ n−k
j=1
jn λ 1 − n
−k
Qk 1 k
λ n
1 − nλ
j=1 j λ 1 − n
λk
λ n
k! 1 − n
λk −λ
.
k! e
Qk
PX ({k}) =
X λk
k
k!
ke−λ = eλ e−λ = 1
ist. Eine Zufallsvariable X mit solcher Verteilung heißt Poissonverteilt mit dem Parameter
λ. Solche Variable treten beim Poissonprozess auf (z.B. radioaktiver Zerfall, aber auch Warteschlangentheorie – Serverrequests, Telefonkunden, etc. “seltene Ereignisse”). Inwieweit die
Näherungen für B(n, p) brauchbar sind, sei auf einschlägige Literatur verwiesen. In [33] wird
np ≤ 10 und n ≥ 1500p als Arbeitskriterium dafür angesehen, die Bernoulliverteilung durch
die Poissonverteilung brauchbar zu approximieren.
Hier ein Beispiel aus [33]:
? Eine Fabrik produziert Werkstücke mit p = 0.001 Fehlerwahrscheinlichkeit (d.i. ein Promille). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Lieferung von 500 Stück mindestens 2
unbrauchbare vorzufinden?
1
Antwort: Wie in Beispiel 79 (S.87) kennt man die Fehlerwahrscheinlichkeit p = 1000
dafür, ein einzelnes, fehlerhaftes Werkstück zu entnehmen. Um die Anzahl X der fehlerhaften
90
Wahrscheinlichkeitstheorie
Werkstücke zu bekommen, denkt man sich dieses Experiment 500 mal wiederholt und läßt
X die Anzahl der Versuche sein, bei denen fehlerbehafteten Werkstücken gefunden würden.
1
Dieses X ist B(500, 1000
) verteilt und somit ist
500
500
P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − 0.999 −
0.999499 ≈ 0.090128.
1
Es ist np = 0.5 < 10 und n = 500 > 1500p = 1.5, und die Approximation ergibt
P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − e−0.5 − 0.5e−0.5 ≈ 0.090204.
Beispiel 81 (Hypergeometrische Verteilung) Eine Zufallsvariable X : Ω → IR heißt
hypergeometrisch mit den Parametern m, N, n ∈ IN mit m ≤ N und s ≤ N verteilt, im
Zeichen, H(m, N, s) wenn sie auf IR das diskrete W-Maß
1 m N −m
PX ({k}) = N k
s−k
s
besitzt. Wie im weiteren ausgeführt werden wird, handelt es sich um die Wahrscheinlichkeit,
aus einer N -elementigen Menge mit einer gewissen m-elementigen Teilmenge (Elemente mit
bestimmtem Merkmal) bei vorgegebenem s eine s-elementige Teilmenge S von N mit |S ∩
M | = k zu finden.
Weiter sind Erwartungswert und Streuung:
X
s
s s N −m
E(X) =
kPX ({k}) = M , V (X) = m
1−
.
N
N
N
N −1
k
Zunächst der auch für konkrete Anwendungen (etwa das nachfolgende Beispiel) nicht uninteressante Hintergrund: Es sei M eine Teilmenge der endlichen Menge N . Man darf sich
vorstellen, daß dieses M aus Elementen der Menge N mit einem gewissen Merkmal besteht.
Nun wird eine Zahl s vorgegeben und aus N in zufälliger Weise eine s-elementige Teilmenge
S herausgenommen, die man sich als Stichprobe vorstellt, und interessiert sich für die WVerteilung der Zufallsvariablen X(S) = |S ∩ M |, die angibt, wieviele Elemente in S zu M
gehören, also auch das besagte Merkmal haben.
Etwas präziser, man betrachtet den Ereignisraum Ω := {S ⊆ N | |S| = s}, bei dem
jedes Elementarereignis in der Auswahl einer s-elementigen Teilmenge S ⊆ A besteht. Die
Annahme der Zufälligkeit bedingt, Ω zu einem Laplace W-Raum im Sinne von Definition 44
(S.51) zu machen (jedes Elementarereignis ist gleich wahrscheinlich), somit ist Σ die Menge
aller Teilmengen von Ω und
1
P ({S}) := |N | .
s
? Wie lautet die Verteilung von X?
Antwort: Um die Verteilung von X zu bestimmen, bestimmen wir, ähnlich wie in den
vorigen Beispielen PX ({k}) = P ({S | X(S) = k}). Jede Auswahl S ist disjunkte Vereinigung
S = (S ∩ M ) ∪ (S ∩ M 0 ). Deshalb läßt sich jedes S mit |S ∩ M | = X(S) = k durch Vorgabe
2.2. Zufallsvariable und Verteilungen
91
einer k-elementigen Teilmenge T von M und einer s − k-elementigen Teilmenge U von M 0
eindeutig festlegen, nämlich S = T ∪ U .
N
|M |
Für ein festes k-elementiges T gibt es k , danach für
0 |
|M | = m
M
M0
die Wahl des Komplementanteils U |M
s−k Möglichkeiten ein k-elementiges S “zusammenzustellen”:
|M | |N | − |M |
1
.
PX ({k}) = |N |
k
s−k
s
|T | = k
|U | = s − k S
T =S∩M
U = S ∩ M0
Konkretes Anwendungsbeispiel:
? Aus einer Lieferung von 490 funktionierenden und 10 defekten Bauteilen werden (in zufälliger Weise) 50 Stück als Stichprobe S ohne Zurücklegen herausgenommen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit daß die Stichprobe S keine defekten Bauteile enthält?
Antwort: Die abstrakt anmutende Herleitung ist hier nachzuvollziehen. N ist die Menge der
500 Bauteile, S die 50-elementige Stichprobe (also s = 50), M ist die 10-elementige Menge
der fehlerhaften Teile. X(S) = |M ∩ S| ist die Anzahl der defekten Bauteile in der Stichprobe
S. Danach genügt es, in die obige Formel einzusetzen, wobei wir uns für k = 0 interessieren:
1
10 490
490 · 489 · · · · 441
PX ({0}) = 500
= ··· =
≈ 0.34516.
0
50
500 · 499 · · · 451
50
Anderes Beispiel:
? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei “6 aus 45” wenigstens eine Zahl richtig zu erraten?
Antwort: Jetzt wählt man N := {1, . . . , 45} und M eine feste Auswahl von 6 Zahlen
(nämlich die Gewinnzahlen). Der Spieler trifft eine Auswahl einer 6-elementigen Teilmenge S
durch Ausfüllen und Abgabe des Lottoscheins. Nun gibt X(S) = |M ∩ S| genau die Anzahl
der “Richtigen” an. Es ist bei uns PX ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) = 1 − PX ({0}) gefragt, sodaß man
39 · · · 33
1 6 39
11951
PX ({0}) = 45
=
=
.
0
6
45 · · · 39
35260
6
Es ergibt sich ein Wert ≈ 0.599 für die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Beispiel 82 (Exponentialverteilung) Es sei λ > 0. Eine Variable X : Ω → IR ist λexponentialverteilt, wenn ihre Dichte durch
λe−λx
x>0
fX (x) =
0
x≤0
Rx
Rx
gegeben ist. Man findet wegen FX (x) = −∞ fX (t) dt = 0 fX (t) dt sehr leicht FX (x) = 0 für
x ≤ 0 und FX (x) = 1 − e−λx für positive x. Man bekommt durch elementares Integrieren
E(X) = λ1 und V (X) = λ12 .
Diese Verteilung tritt (als Spezialfall der sog. Weibull-Verteilungen) in der Lebensversicherung auf. Auch einfache Modelle des radioaktiven Zerfalls benützen diese Verteilung (“exponentieller Zerfall”).
92
Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel 83 (Gaußverteilung) Eine Variable X : Ω → IR ist Gaußverteilt oder normalverteilt, falls es µ ∈ IR und ein positives σ gibt, sodaß PX eine W-dichte der Form
2
1 (x−µ)
1
fµ,σ (x) = √ e− 2 σ2
σ 2π
Rx
hat. Es sei Φµ,σ (x) = −∞ fµ,σ (t) dt die Verteilungsfunktion, und Φ(x) := Φ0,1 (x). Man sagt
auch, X ist N (µ, σ 2 )-verteilt. Diese Verteilung wurde von De Moivre ca 1725 eingeführt,
C.F.Gauß hat jedoch erst um 1820 die Bedeutung dieser Verteilung im Zusammenhang mit
dem Fehlergesetz (vgl. den Abschnitt über den zentralen Grenzwertsatz in Anmerkung 87
(S.99)) klarlegen können. Bedeutung hat die Verteilung auch, weil viele Zufallsvariable approximativ normalverteilt sind, wie z.B. Bernoulliverteilte (vgl. Beispiel 79 (S.87)).
Es gelten folgende Aussagen:
1. Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N (0, 1) ist die Funktion Φ(x) :=
R x − t2
√1
e 2 dt, die sowohl tabelliert vorliegt (z.B. in [3]), als auch numerisch in Stan2π −∞
dardpaketen zugänglich ist (etwa in den Statistikpaketen R9 oder S10 ). Der Nachweis
für Φ(∞) = 1 wird üblicherweise mittels Doppelintegral geführt (Polarkoordinaten
x = r cos φ, y = r sin φ, d(x, y) = rd(r, φ), Bereich (r, φ) ∈ [0, ∞) × [0, 2π))
Z ∞
2 Z
Z ∞ Z 2π
2
2 ∞
2
− 21 (x2 +y 2 )
− t2
− r2 − r2
e
dt =
e
r dφ dr = −2π e
d(x, y) =
e
= 2π,
−∞
IR2
0
0
0
woraus Φ(∞) = 1 folgt.
2. Für eine N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable X sind E(X) = µ und die Standardabweichung V (X) = σ 2 .
3. Ist X gemäß N (µ, σ 2 )-verteilt, so ist die standardnormierte Zufallsvariable Z :=
gemäß N (0, 1)-verteilt, genauer,
x−µ
Φµ,σ (x) = Φ
.
σ
X−µ
σ
All dies folgt unmittelbar aus Anmerkung 73 (S.78) 6.
4. Ist X eine N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable, so ist aX gemäß N (aµ, a2 σ 2 )-verteilt.
5. Sind X und Y unabhängige jeweils N (µ, σ 2 ) und N (ν, τ 2 )-verteilte Zufallsvariable, so
ist X + Y gemäß N (µ + ν, σ 2 + τ 2 ) verteilt11 . Allgemeiner ergibt sich hieraus (durch
Induktion) das Additionstheorem unabhängiger N (µi , σi2 )-verteilter Zufallsvariabler Xi :
9
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Komerzielles Produkt
11
Um dies zu beweisen, benützt man die Faltung zweier Funktionen, wie sie auch im Kontext mit Laplaceund Fouriertransformation bekannt
ist. Um die Faltung zu sehen, benützen wir Anmerkung 73 (S.78) 7. DemR
gemäß hat man FX+Y (z) = Az f(X,Y ) (x, y) d(x, y) mit Az := {(x, y) | x + y < z}. Das führt wegen der
Unabhängigkeit zunächst auf f(X,Y ) (x, y) = fX (x)fY (y) und somit nach Umwandlung in ein Doppelintegral,
10
2.3. Approximation mathematischer durch empirische Wahrscheinlichkeit
93
Ω → IR, demzufolge
die Dichte von
Pn
2
2
und σ = i=1 σi ist.
Pn
i=1 Xi
gemäß N (µ, σ 2 )-verteilt mit µ =
Pn
i=1 µi
Weiters ist die Zufallsvariable (X, Y ) : Ω → IR2 gemäß einer Dichte f(X,Y ) (x, y) :=
2
2
1 − 12 Q(x,y)
mit Q(x, y) = x−µ
+ y−ν
verteilt. Diese Dichte hat die bekannte
2π e
σ
τ
Glockenform, mit Höhenschichlinien Ellipsen mit Mittelpunkt (µ, ν) und Halbachsen
mit Längen im Verhältnis σ : τ . Dreht man das Koordinatensystem, so erscheinen in Q
gemischt quadratische Glieder, die von der Kovarianz der neuen Koordinaten herrührt,
siehe hiezu 3.4.
6. Für eine N (0, 1)-verteilte Zufallsvariable ist P (|X| < a) = 2Φ(a) − 1.
(Diese Tatsache wird bei Parameterschätzungen gebraucht, z.B. in Beispiel 96 (S.118)
2.).
Nachweis für den letzten Punkt unter
Benützung der Symmetrie der Dichte f am Nullpunkt und der Substitution u = −t, dt = −du:
Es ist P (|X| < a) = P ({ω | X < a} ∩ {ω | X >
a}) = P ({ω | X < a} \ {ω | −a < X}) = P ({ω |
X < a})R− P ({ω | −a < X}) = F R(a) − F (−a) =
∞
a
F (a) − −∞ f (t) dt = F (a) − a f (u) du =
F (a) − (1 − F (a)) = 2F (a) − 1.
Die Skizze verdeutlicht diesen Beweis. Der mittlere Flächenteil ist P (|X| < a) und die beiden
schmalen Anteile sind aus Symmetriegründen gleich groß wobei der rechte definitionsgemäß
gleich 1 − F (a) ist.
Im nachfolgenden Schaubild sind drei Gaussdichten zu sehen. Die “mittlere” Kurve ist
N (0, 1).
2.3
2.3.1
Approximation mathematischer durch empirische Wahrscheinlichkeit
Ungleichung von Tschebyscheff und das Bernoulliexperiment
Das nach Johann Bernoulli benannte, von ihm um 1720 vorgeschlagene Gedankenexperiment
ist Grundlage jeden statistischen Arbeitens und soll hier beschrieben werden. Es gibt eine
W-theoretisch formulierte Antwort auf die in Beispiel 41 (S.49) aufgeworfene Frage, inwieweit man denn erwarten darf, daß die relativen Häufigkeit hn (A) als gute Approximation
Verwenden der Substitution
y = t−x, dy = dt, “neue
z”, Vertauschen
R z der
R ∞IntegrationsreihenfolR z−x
R ∞Grenzen=−∞,
Rz
R∞
ge zu FX+Y (z) = −∞ dx −∞ fX (x)fY (y) d(y) = −∞ −∞ fX (x)fY (t − x) dt = −∞ −∞ fX (x)fY (y − x) dy.
R∞
Diese Formel hat die Integralform einer Verteilungsfunktion und daher ist fX+Y (z) = −∞ fX (x)fY (z − y) dz,
was identisch mit der Faltung (fX ∗ gY )(z) ist. Nun kann man im Falle der Normalverteilung(en) die oben
angegebene Form von fX+Y (z) mittels länglicher, aber völlig elementarer Rechnung bekommen. Üblicherweise
gelingt ein kurzer Beweis unter Benützung von charakteristischen Funktionen, d.s. die Fouriertransformierten
der Dichten.
94
Wahrscheinlichkeitstheorie
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Normalverteilung N(0,1)
einer womöglich mathematisch vorausberechneten Wahrscheinlichkeit p gelten kann. Noch
entscheidender ist eine solche Frage, wenn p durch statistische Erhebung “geschätzt” werden
soll, also von vornherein unbekannt ist. Mehr darüber in den Beispielen 91 und 96.
Wir werden die Ungleichung von Tschebyscheff dabei benützen:
Anmerkung 84 (Ungleichung von Tschebyscheff) Es sei X : Ω → IR eine Zufallsvariable und > 0, so gelten folgende Aussagen:
• P (|X| ≥ ) ≤
E(|X|)
.
• P (|X − E(X)| ≥ ) ≤
V (X)
.
2
2.3. Approximation mathematischer durch empirische Wahrscheinlichkeit
95
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Verteilungsfunktion N(0,0.5)
Beweis: Um die erste Behauptung zu zeigen, darf X ≥ 0 angenommen werden. Danach
definieren wir Y (ω) als X(ω), wenn X(ω) ≥ ist, und Null sonst. Man überlegt sich, daß Y
auch eine Zufallsvariable ist. Danach folgt aus X(ω) ≥ Y (ω) für alle ω ∈ Ω die Ungleichung
E(X) ≥ E(Y ) ≥ P ({ω | X(ω) ≥ }) = P (X ≥ ),
und hieraus durch Umformen die erste Behauptung.
Wir wollen die zweite Behauptung zeigen, und nennen dort das X jetzt Y , wollen also
P (|Y − E(Y )| ≥ ) ≤ V (Y2 ) zeigen. Nun sei X := |Y − E(Y )|2 , so ergibt sich
P (|Y − E(Y )|2 ≥ 2 ) ≤
V (Y )
,
2
und weil links definitionsgemäß das Maß der Menge
{ω | |Y − E(Y )|2 ≥ 2 } = {ω | |Y − E(Y )| ≥ }
96
Wahrscheinlichkeitstheorie
q
◦
◦
•
0
•
0
1
1=p+q
Abbildung 2.2: “Theoretische” Verteilungsfunktion beim Bernoulliexperiment
ermittelt wird, ist alles gezeigt.
w.z.b.w.
Beispiel 85 (Bernoulliexperiment) Die Situation beim B.E. ist die folgende: Jemand
geht, “theoriegestützt” von der Annahme (H) aus, daß (Ω, Σ, P ) ein W-Raum und X : Ω →
{1, 0} eine Zufallsvariable mit P (X = 1) = p und P (X = 0) = q := 1 − p sind. Das
sei z.B. durch Wahrscheinlichkeitsrechnung ermittelt worden, es sind also (mathematische)
Wahrscheinlichkeiten. Somit ist die Verteilungsfunktion FX von der in Fig. 2.2 angegebenen
Form.
Beim Münzwurf etwa wäre Ω := {K, Z} und X(K) := 0, bzw. X(Z) := 1. Weiters würde
man sich gerne auf (H), d.h. q = 1 − p = 21 aufgrund mathematischer Betrachtungen stützen
können.
Nun ermittelt jemand relative Häufigkeiten durch ein Zufallsexperiment folgender Art:
a) Der Versuch wird parallel n mal unter unabhängigen Bedingungen wiederholt,
b) oder n mal (unabhängig voneinander) hintereinander ausgeführt.
Die beiden Denkweisen werden als gleichartig angesehen und drücken lediglich die Forderung aus, daß keines der n Zufallsexperimente das andere beieinflußt, d.h. die n Zufallsexperimente legen unabhängig voneinander Werte der Zufallsvariablen Xi : Ω → {1, 0} fest
für i = 1, . . . , n. In dieser Weise, wie in Beispiel 79 (S.87) (Bernoulliverteilung) genauer
ausgeführt worden ist, ergibt sich für die Zufallsvariable Sn : Ω → IR, definiert durch
Sn (ω) :=
n
X
Xi (ω) = |{i | Xi (ω) = 1}|,
(2.2)
i=1
welche abzählt, in wie vielen der n Experimente das Ereignis eintrifft, eine B(n, p)-Verteilung
mit E(Sn ) = np und V (Sn ) = npq.
Schließlich kommt die Ungleichung von Tschebyscheff
(Anmerkung 84 (S.94)) zum Zug,
1
1
1
indem wir dort X := n Sn einsetzen und V n Sn = n2 V (Sn ) beachten:
1
pq
(2.3)
P Sn − p ≥ ≤ 2 .
n
n
? Falls die Wahrscheinlichkeit p unbekannt ist (etwa die Ausfallshäufigkeit eines Bauteils),
welchen Näherungswert würde man nach n Versuchen für p benützen?
Antwort: Es empfiehlt sich x̄ := nk = n1 Sn , wobei, die Bedeutung von Sn rekapitulierend,
k die Anzahl der Versuche ist, bei denen das Ereignis eingetreten ist, dessen (unbekannte)
Wahrscheinlichkeit p ist.
2.3. Approximation mathematischer durch empirische Wahrscheinlichkeit
97
? Zahl von Versuchen: Es sei α ∈ (0, 1) eine eher kleine Zahl, die “Irrtumswahrscheinlichkeit”. Wieviele Versuche sollte man anstellen, um die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
| n1 Sn − p| ≥ ist, kleiner als α ist?
Antwort: Da pq = p(1 − p) = p − p2 das Maximum an 21 , nämlich
1
4
annimmt, ist
1
pq
≤
,
2
n
4n2
1
1
sodaß es hinreichend ist, 4n
2 ≤ α, m.a.W., n ≥ 4α2 zu wählen. Sind z.B. α = = 0.1 (also
10% Genauigkeit bei der Approximation), so ist n = 250.
? Jemand hat eine feste Anzahl n von Versuchen gemacht, die recht groß ist (viel größer
als 250, etwa n := 10000 – Massenproduktion). Dabei wurden unter den 10000 Stücken
300
k := 300 fehlerhafte entdeckt. Er nimmt jetzt an, daß nk = 10000
≈ p als Approximation der
Fehlerwahrscheinlichkeit ist.
Jetzt will er wissen, wie genau sein p approximiert worden ist, zumindest ist eine Wtheoretische Auskunft gesucht. Dazu gibt er eine Irrtumswahrscheinlichkeit α (meist ist
α ∈ {0.05, 0.02, 0.01}, manchmal noch kleiner) vor und stellt folgende Frage:
“Gesucht sind Schranken θ und θ, sodaß P (p ∈ [θ, θ]) ≥ 1 − α gilt.”
Antwort(findung): Zunächst läßt sich Glg.(2.3) in äquivalenter Form als
1
pq
P (| Sn − p| ≤ ) ≥ 1 − 2
n
n
schreiben, indem man zum komplementären Ereignis übergeht. Der Ausdruck
1
| Sn − p| ≤ n
pq
ist äquivalent zu p ∈ [ n1 Sn − , n1 Sn + ]. Die Bedingung an muß sich aus 1 − n
2 ≥ 1 − α
pq
1
ergeben – in äquivalenter Form – aus α ≥ n
2 . Da letzteres aus α ≥ 4n2 folgt, kann man
1
:= √4αn
setzen und so ergibt sich (für dieses ):
1
1
P (p ∈ [ Sn − , Sn + ]) ≥ 1 − α.
n
n
Sehr angenehm ist hier, daß die Schranken θ(X1 , . . . , Xn ) := n1 Sn − und θ(X1 , . . . , Xn ) :=
1
n Sn + Zufallsvariable sind, die einen (zufälligen) Wert erst im Rahmen der Versuchsserie
zu n events annehmen. Diese Schranken passen sich also dem n an!
300
= 3 × 10−3 als Näherung
Antwort: Man betrachtet die relative Häufigkeit p̂ := n1 Sn = 10000
1
für die Wahrscheinlichkeit p des Auftretens eines Fehlers, setzt := √4αn
= √4×101−1 ×105 =
5 × 10−3 und bekommt
k
k
P (p ∈ [ − , + ]) ≥ 1 − α,
n
n
und in unserem Beispiel ist somit mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für
das Auftreten von Produktionsfehlern im Intervall [0, 8 × 10−3 ].
98
Wahrscheinlichkeitstheorie
(Diese Aussage gibt Anlaß zu sagen, daß mit 90 prozentiger Sicherheit höchstens etwa
1% Fehler auftreten können. Konfidenzniveau α = 90% und diese obere Schätzung von p
können Ausgangspunkt für die Berechnung von Erwartungswerten für Schäden werden. Danach können Versicherungssummen ausgelegt werden.)
? Inwieweit führt die Approximation der Binomialverteilung durch die Gaußverteilung zu
besseren Abschätzungen?
Antwort: wird am Ende von Beispiel 96 (S.118) 1. gegeben werden.
2.3.2
Gesetz der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz (ZGWS)
Beim Bernoulliexperiment (Beispiel 85 (S.96)) kommt man zur Aussage, daß sich bei wachsenden Anzahl n unabhängiger Versuche die gemessenen relativen Häufigkeiten hn (A) = nk ,
wobei A ein spezifisches Ereignis mit Wahrscheinlichkeit p ist, diesem Wert für n → ∞
zustreben, zumindest in folgendem Sinn: Aus der Ungleichung Glg.(2.3) ergibt sich
1
lim P (| Sn − p| ≥ ) = 0
n→∞
n
für jedes positive . Experimentatoren schließen, daß für großes n der Wert nk “gut” sein sollte
im Sinne, daß die Wahrscheinlichkeit dafür nahe bei 1 liegt, man also “nahezu sicher” sein
darf, daß hn (A) = nk ≈ p.
Als Verallgemeinerung davon gilt der Satz von Gliwenko-Cantelli, nämlich Anmerkung
89 (S.109), der als Hauptsatz der Statistik bezeichnet wird und zeigt, daß die empirischen
vermessene Verteilungsfunktionen bei n → ∞ in einem wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinn
gegen die gesuchte Verteilungsfunktion streben. Er folgt aus dem weiter unten vorzustellenden
Satz von Kolmogorov Anmerkung 86 (S.98).
Hier sollen sie ohne Beweise, die maßtheoretischer Natur sind12 , vorgestellt werden.
Anmerkung 86 (Kolmogorov) Ist Xn : Ω → IRk eine Folge unabhängiger Zufallsvariabler, deren Varianzen existieren und
∞
X
V (Xn )
n2
n=1
erfüllen, so ist
<∞
n
1 X
(
Xj (ω) − E(Xn )) = 0}) = 1.
n→∞ n
P ({ω | lim
j=1
Insbesondere, wenn alle Xn identisch wie X verteilt sind, so ist die Bedingung erfüllt und
es ergibt sich aus dem vorigen
n
1X
P ({ω | lim
Xj (ω) = E(X)}) = 1.
n→∞ n
j=1
12
etwa [22]
2.3. Approximation mathematischer durch empirische Wahrscheinlichkeit
99
Die Konvergenzaussage wird auch als “Xn gehorcht dem starken Gesetz der großen Zahlen”
ausgedrückt, während die schwächere, aus ihr folgende:
n
X
1
lim P ({ω | Xj (ω) − E(Xn ) > }) = 0
n→∞
n
j=1
für alle positiven als schwaches Gesetz der großen Zahlen bezeichnet wird. Ist Xn := n1 Sn
wie im Bernoulliexperiment, so bekommt man die eingangs gemachte Aussage als Spezialfall,
nämlich, daß die Folge ( n1 Sn | n ∈ IN ) dem schwachen Gesetz der großen Zahlen genügt.
Der zentrale Grenzwertsatz (ZGWS) wird auch in allgemeinerer Form und unter technischen Bedingungen (von Lindeberg, siehe S. 111 in [22] ff.) formuliert. Eine vereinfachte, oft
benützte Version ist die folgende:
Anmerkung 87 (Zentraler Grenzwertsatz; standardisierte Zufallsvariable) Haben die Zufallsvariablen Xn alle die gleiche Verteilung wie X mit E(X) = µ und
V (X) = σ 2 , so ist die standardisierte Zufallsvariable
Pn
X̄(ω) − µ √
j=1 (Xj (ω) − µ)
√
Z(ω) :=
=
n,
σ
σ n
P
mit X̄ := n1 ni=1 Xi approximativ N (0, 1)-verteilt, d.h. bei festem a < b strebt
Fn (b) − Fn (a) gegen Φ(b) − Φ(a) bei n → ∞, wobei wie in Beispiel 83 (S.92), Φ(x) :=
R x − 1 x2
√1
e 2 dx ist.
2π −∞
In diesem Sinne ist das Fehlermittel
n
1X
X̄(ω) − µ =
(Xj (ω) − µ)
n
j=1
2
auf jedem festen Intervall [a, b] für hinreichend großes n approximativ N (0, σn )-verteilt13 .
Satz von De Moivre-Laplace: De Moivre veröffentlichte 1730 für p = 12 und Laplace
1812 für beliebiges 0 < p < 1 das Resultat, daß im Bernoulliexperiment (vgl. Beispiel
85 (S.96)) zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit p = P (A) für die Bernoulliverteilung
B(n, p), welcher die Zufallsvariable Sn : Ω → IR, definiert durch Sn (ω) = nk , wenn in k
von n unabhängigen Versuchen das Ereignis A eingetreten ist, dem Gesetz
k − np
< b → Φ(b) − Φ(a)
P a≤ √
npq
für n → ∞ gleichmäßig bei festem a, b genügt. Hieraus ergeben sich die in der Praxis
gelegentlich benützten Faustregeln np > 4 und nq > 4 ([18], Seite 160), bzw. in [33]
wird np ≤ 10 und n ≥ 1500p als Arbeitskriterium dafür angesehen.
13
Vgl.Beispiel 83 (S.92) 4.
100
Wahrscheinlichkeitstheorie
Man kann den Satz von De Moivre-Laplace aus dem zentralen GWS unmittelbar herlei√
ten, weil jedes Xi (wie in Beispiel 85 (S.96)) Erwartungswert µ und Streuung σ = pq
√
(vgl. Beispiel 74 (S.79) 3.) hat. Danach wird Z = S√n −µ
n, was nach wenig Rechnung
pq
zur Behauptung führt.
Gaußsches Fehlergesetz (phys. Praktikum): Wird eine Strecke l mehrfach, etwa n mal
gemessen, so geht man von Meßfehlern aus. Dabei gibt es systematische Meßabweichungen (z.B. instrumentbedingt), grobe Fehler (z.B. Verwerfen von Daten) und zufällige
Fehler (Messunsicherheiten). Nach Sicherstellung, daß lediglich noch zufällige Fehler im
Spiel sind, wird das Ergebnis der n-fachen Messung, etwa der Höhe eines Tisches (das
l) mit l = 80.8 ± 1.4 cm angegeben, nachdem sich, nach einer Serie von Messungen und
Fehlerrechnung x̄ = 80.7682 und als Maß der Unsicherheit ±1.4327 cm ergeben hat.
M.a.W., die Meßunsicherheit wird auf eine signifikante Stelle aufgerundet, außer wenn
die erste signifikante Stelle 1 ist.
Der zufällige Fehler veranlaßt, statt des wahren, unbekannten Wertes l zu einer Zufallsvariablen X auf Ω := IR überzugehen. Die Erfahrung lehrte:
1. kleine Fehler sind häufiger als große,
2. positive und negative Fehler heben einander nahezu auf,
3. Fehler, nahe bei Null, sind am häufigsten.
Diese Umstände haben die Frage nach einer Formulierung eines Fehlergesetzes nach
sich gezogen (siehe die ausführliche Diskussion in [15]). Gauß schließlich postulierte
das nach ihm benannte Fehlergesetz, welches besagt, daß der Meßfehler approximativ
normalverteilt angenommen werden darf.
Eine gelegentlich zu findende Motivation dafür ist die Einbeziehung des zentralen GWS
wie folgt:
Zunächst wird angenommen, daß jeder Meßfehler F sich aus einer Vielzahl n von kleinen, stochastisch unabhängigen Elementarfehlern Xi zusammensetzt, d.h.
F =
n
X
Xi
j=1
und daß er endliche Varianz V (F ) hat. Nimmt man von jedem Elementarfehler an, daß
er die gleiche (nicht näher bekannte) Verteilung mit Mittelwert 0 und Streuung σ hat,
so ist F nach dem zentralen GWS approximativ N (0, nσ 2 )-verteilt. Da n zwar groß,
aber nicht beliebig groß, und σ sehr klein ist, betrachtet man somit den Gesamtfehler
F approximativ N (0, σF2 )-verteilt, wobei σF2 ≈ V (F ) gelten muß.
Verbesserung der Meßgenauigkeit durch Mittelbildung: Eine andere, gänzlich unterschiedliche Situation zur vorigen stellt das wiederholte (n-fache) Messen, etwa ein
und derselben Distanz l dar, die wie vorher durch eine Zufallsvariable X repräsentiert
wird. Dabei nimmt man die Unabhängigkeit der wie X identisch verteilten Zufallsvariablen Xj für j = 1, . . . , n an. Dementsprechend wird µ := E(X) als Wert für die Länge
2.3. Approximation mathematischer durch empirische Wahrscheinlichkeit
101
l genommen. Das n-fache Messen soll nun approximativ die Verteilung
p F von X ermitteln, wobei man grundsätzlich nur an l ≈ µ und der Streuung σ = V (X) interessiert
ist, wobei σ als Fehlermaß (Unsicherheit) gewertet wird. In Beispiel 91 (S.112) 3. wird
gezeigt, wie man auf den Physikpraktikumsüblichen Näherungswert σ̂ von σ kommt.
Es ist Xj − E(X) eine plausible Annahme für den j.ten Meßfehler. Das in Anmerkung
87 (S.99) genannte Fehlermittel X̄ − µ ist eine Zufallsvariable, die, wie schon gesagt,
2
approximativ N (0, σn )-verteilt ist. Deshalb geht man davon aus, daß sich der Meßfehler
mit ausreichender Wahrscheinlichkeit bei oftmaligem Messen besser eingrenzen läßt,
weil das Stichprobenmittel zu einer guten Approximation von µ = E(X) (und somit
l) wird. In Unterabschnitt 3.3.1 (S.111) wird µ, bzw. σ die Rolle eines “Parameters”
spielen, der anhand gemessenen Datenmaterials geschätzt werden soll.
Hauptsatz der Statistik – Gliwenko-Cantelli: Im Bernoulliexperiment wurde die Konvergenz der empirischen Wahrscheinlichkeit gegen die “mathematische” betrachtet. Das
kann auch als Konvergenz der empirischen Verteilungsfunktionen gegen die dem p entsprechende Verteilungsfunktion in Fig. 2.2 angesehen werden. Beim Satz von GliwenkoCantelli geht es ganz allgemein um die gleichmäßige Konvergenz empirischer Verteilungsfunktionen gegen eine (nicht näher bekannte) Verteilung. Siehe Anmerkung 89
(S.109). Man kann zeigen, daß dieser Satz, ähnlich wie die vorigen Ergebnisse, eine
recht einfache Folgerung aus dem zentralen GWS ist (z.B. in [14]).
102
Wahrscheinlichkeitstheorie
Kapitel 3
Statistik
3.1
Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie
Ausführlicher ist Abschnitt 2 (S.49), siehe auch den Abriss von M. Blümlinger
http://asc.tuwien.ac.at/∼blue/WahrschTheorieFET.pdf
Deshalb werden im weiteren nur wenige Begriffe wiederholt bzw. nachgetragen.
3.1.1
Verteilung(sdichte), Erwartungswert und Streuung von Zufallsvektoren/variablen
Zufallsvektor, -variable Gegeben ist ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P ) wie in Definition 48 (S.53)), d.h. Ω ist die Menge der Elementarereignisse, Σ (oft auch A) die
σ-Algebra der Ereignisse und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Dann ist eine Abbildung X : Ω → IRn ein Zufallsvektor (für n = 1 eine Zuvallsvariable),
falls {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ B} für jeden beliebigen Quader B in Σ liegt. (man sagt X ist
Borelmeßbar).
Beispiel 1: Ω=alle Anwesenden im Hörsaal, X ordnet jeder Person das Paar (Schuhgröße, Gewicht) zu.
Beispiel 2: Ω=alle Anwesenden im Hörsaal, jede Person darf einen Dart auf eine Zielscheibe werfen. Danach ordnet X jeder Person die Koordinaten auf der Zielscheibe
zu.
Die Schuhgröße ist eine diskrete (d.h. höchstens abzählbar viele Werte möglich), das
Gewicht eine kontinuierliche Zufallsvariable (d.h. nicht diskret).
Verteilung Zur Zufallsvariablen X : Ω → IR gehört die Verteilung(sfunktion) FX : IR →
[0, 1], definiert durch FX (x) := P ({ω ∈ Ω | X(ω) < x)}). Man schreibt F statt FX ,
falls klar ist, um welches X es sich handelt.
Salopp, aber üblich: “ F (x) := P (X < x) ”. In Worten: F (x) ist die Wahrscheinlichkeit
für “X(ω) kleiner als x” bei zufälliger Wahl von ω ∈ Ω.
103
104
Statistik
1
◦
•
(a, F + (a))
◦
·
(a, F (a)) •
·O
P (X ∈ [a, b))
·
•
·
0
a
b
Wie in Anmerkung 65 (S.69) bemerkt wird, ist F an den Sprungstellen von links kommend stetig und schwach monoton steigend. Weiter ist F (−∞) = 0 und F (∞) = 1
(jeweils Grenzwert bei x → ±∞). Die Sprunghöhe F (a+ ) − F (a) ist gleich P (X = a).
Es ist P (X ∈ [a, b)) = F (b) − F (a)
Beispiel 1:
Auf Ω := IR sei P (A) = 1 falls 0 ∈ A und P (A) = 0 sonst.
Wenn wir X(ω) = 1 falls ω = 0 und Null für alle anderen
Werte von ω definieren, so ist X : Ω → IR eine Zufallsvariable. Ihre Verteilung heißt Diracverteilung. Solches X nimmt
mit Sicherheit, d.h. Wahrscheinlichkeit 1, den Wert 0 an:
Beispiel 2:
Es sei Ω := [a, b] ein Intervall und X : Ω → IR soll eine
zufällige reelle Zahl sein. Es sollen “alle Zahlen im Intervall
gleich wahrscheinlich” sein. Dann ist für jedes Teilintervall
d−c
[c, d) von [a, b) die Wahrscheinlichkeit P (X ∈ [c, d)) = b−a
,
weil die Wahrscheinlichkeit proportional zur Länge von [c, d)
bezogen auf [a, b] ist. Die Verteilungsfunktion von X ist dann
F (x) = 0 falls x < a (es werden nur Zahlen ≥ a “gezod−c
gen”), gleich b−a
x, solange x ∈ [a, b) und 1 falls x > b ist.
Man spricht oft von Gleichverteilung der gewählten Zahlen
in [a, b].
Dichte (einer Verteilung)
Ist F differenzierbare Verteilung einer Variablen X, so nennt man
f (x) := F 0 (x) die Dichte von X. Dann
Rb
ist P (X ∈ [a, b)) = a f (x) dx gleich der
Fläche unter dem Graphen von fX von a
bis b genommen.
Beispiel 1: Diskrete Zufallsvariable haben keine Dichte.
◦
•
0

a
b
◦
3.1. Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie
105
Beispiel 2: Im Falle der Gleichverteilung ergibt sich als Dichte 0 für x < a und x > b,
1
sowie als Steigung b−a
im Intervall (a, b). In den verbleibenden Punkten darf die Dichte
beliebig definiert werden – beim praktischen Rechnen (mit Riemannintegralen) sind
diese Werte bedeutungslos.
Unabhängige Variable Sind X : Ω → IR und Y : Ω0 → IR Zufallsvariable, so kann ein
~ : Ω × Ω0 → IR × IR durch Z(ω,
~
Zufallsvektor Z
ω 0 ) := (X(ω), Y (ω 0 )) betrachtet werden.
Die Variablen X und Y sind unabhängig, falls F(X,Y ) (x, y) = FX (x)FY (y), bzw. falls
für die Dichten f(X,Y ) (x, y) = fX (x)fY (y) gilt (vgl. Anmerkung 76 (S.82)).
Beispiel 1:
Es sei Ω := {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Augenzahlen
eines Würfels) und Ω0 := {K, Z} (Münze).
Weiter sei X die geworfene Augenzahl,
Y = 0 falls K und andernfalls 1. Die Verteilungen von X und Y sind Stufenfunktionen, ich zeichne nur jene von X, die von
Y hat “2 Stufen” (bitte durchdenken, bzw.
vgl. Beispiel 71 (S.76))
“Würfeln” und “Münze werfen” sollten “einander nicht beeinflussen”. Deshalb wird
die Unabhängigkeit der Variablen X und Y angenommen und die Verteilungsfunktion F(X,Y ) , welche das zufällige Werfen eines Würfels und einer Münze beschreibt, ist
FX (x)FY (y) = · · · (es ist müßig, eine Tabelle zu produzieren).
Beispiel 2: Jemand misst Fallzeit t und Strecke s eines Balls. Da s = g2 t2 gilt, wird die
Unabhängigkeit der Zufallsvariablen s und t nicht erwartet.
Beispiel 3 Es sei X eine Zufallsvariable auf Ω. Nun soll bei gegebenem n der Wert von
X n mal durch Messung (zufälliges Experiment, weil stets Messunsicherheiten bestehen)
bestimmt werden. Jede einzelne Messung wird als zufälliges Experiment einer wie X
verteilten Kopie Xi aufgefaßt, d.h. FXi (x) = FX (x) (bzw. Dichte fXi (x) = fX (x)) und
in ihrer Gesamtheit als n-dimensionaler Zufallsvektor gedeutet werden. Die Messungen
sollen einander nicht beeinflussen – somit ist die Annahme
“die Xi sind unabhängig”
Q
gerechtfertigt. Deshalb ist F(XQ
(x1 , . . . , xn ) = i FX (xi ) und falls Dichten existie1 ,...,Xn )
ren, f(X1 ,...,Xn ) (x1 , . . . , xn ) = i fX (xi )
~ diskreter Zufallsvektor, und pi =
Erwartungswert eines diskreten Zufallsvektors Ist X
P
P
~ i = ~xi ) mit
~
P (X
xi .
i pi = 1, so ist der Erwartungswert E(X) :=
i pi ~
~ : {A, B, C} → IR2 die Koordinaten 1 ,
Beispiel 1: Die Wahrscheinlichkeiten, daß X
0
0
1
~ = 1 1 +1 0 +
und
annimmt, seien 12 , 13 , 61 . Dann ist E(X)
2
3
1
1
0
1
2 1
1
3
=
. Man hat die Gesamtmasse 1 gemäß der Brüche auf die Eckpunkte
1
6
1
2
106
Statistik
1
3
des Dreiecks
·???
1
· 6
??
??
?
·
~ der Schwerpunkt.
verteilt. Dann ist E(X)
1
2
~ eine Dichte, so ist
Erwartungswert (Dichte vorhanden) Hat X
R
~ = n (x1 , . . . , xn )T fX (x1 , . . . , xn ) d(x1 , . . . , xn ) .
E(X)
IR
Beispiel: Im Falle der Gleichverteilung auf [a, b] ist der Erwartungswert E(X) =
. . . = a+b
2 , also der Intervallmittelpunkt.
Rb
1
a b−a x dx
=
~ durch µ
Erwartungwert – Rechenregeln Gelegentlich wird E(X)
~ X abgekürzt. Es ist
~ +Y
~ ) = E(X)
~ + E(Y
~ ) und E(rX)
~ = rE(X)
~ , wobei r reell ist (E ist linear).
E(X
Sind X und Y unabhängige Variable, so ist E(XY ) = E(X)E(Y ) , somit E multiplikativ1 .
Varianz und Streuung Ist X eine Zufallsvariable, so ist die Varianz durch V (X) := E((X − µ)2 ) ,
p
V (X) definiert. Es ist auch
wobei µ := E(X) ist, und die Streuung durch σ :=
V (X) = E(X 2 ) − µ2 .
Rb
a (x
Beispiel: Für die Gleichverteilung auf [a, b] ist V (X) =
q
1
1
2 + ab + a2 ) und somit ist σ =
2
2
(b
12
12 (b + ab + a ).
3.1.2
−
a+b 2 1
2 ) b−a
dx = · · · =
Einige diskrete Verteilungen
Die Diracverteilung ist schon erwähnt worden.
Bernoulli- = binomisch B(n, p, k) Aufgabe:
? Von einem Experiment weiß man, daß es mit Wahrscheinlichkeit 14 gelingt. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit w, bei 12-maliger Wiederholung des E., daß es 4 mal gelingt?
0.12
●
●
0.10
0.15
●
●
●
●
●
0.08
●
●
0.06
Wahrscheinlichkeit
●
0.10
●
●
●
0.04
ist. Erwartungswert
●
●●
●
●
0
●
●
●
●
●
5
●
●
10
●
15
k
●
●
●
20
0.00
●
0.00
und Streuung sind E(X) = np , bzw.
√
σ = npq . Rechts sind Balkendiagram-
●
●
0.02
q := 1 − p
Stabdiagramm B( 100 , 0.1 )
●
Wahrscheinlichkeit
wobei
Stabdiagramm B( 20 , 0.5 )
0.05
Es sei X jene Zufallsvariable auf
Ω := {1, . . . , n}, welche 1 für “Gelingen” und 0 sonst annimmt. Dann ist
B(n, p, k) := P (X = k) = nk pk q n−k
●
●●●
0
●
●
●
●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
20
40
60
80
k
1
me von B(20, 12 ) und B(100, 10
).
1
R Beweisskizze
R für Dichten: E(XY ) =
( IR fX (x) dx)( IR fY (y) dy) = E(X)E(Y )
R
IR2
xyf(X,Y ) (x, y) d(x, y)
=
R
IR2
xyfX (x)fY (y) d(x, y)
=
100
3.1. Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie
Antwort: k = 4, n = 12, p =
1
4
und w =
107
1 4
4
12
4
3 8
4
= dbinom(4,12,1/4) ≈ 0.19
Poisson Aufgabe:
? Ausgehend von der Kenntnis des Zerfalls von im Schnitt 12 Atome/sec einer gewissen
radioaktiven Substanz soll die Wahrscheinlichkeit w bestimmt werden, daß es 16 sind?
Antwort: k = 16, λ = 12 und w = P (k, λ) =
0.08
0.06
dpois(x, 10)
0.04
0.0
0.00
0.02
0.1
dpois(x, 1)
0.2
k
P (k; λ) := λk! e−λ .
ist.
Abkürzung:
Erwartungswert und Streuung sind
√
E(X) = λ , bzw. σ = λ . Rechts sind
Balkendiagramme für λ = 1 und λ = 10.
0.10
0.3
0.12
Die Variable X ist Poissonverteilt zum Exk
ponenten λ > 0, falls P (X = k) = λk! e−λ
0
5
10
15
20
25
0
50
Index
1216 −12
16! e
100
150
200
250
Index
= dpois(16,12) ≈ 0.054
Begründung: Es sei n die Anzahl aller in der Probe enthaltenen Atome. Dann ist p = 12
n
die Zerfallswahrscheinlichkeit. Wir kennen n nicht, wissen jedoch, daß es GROSS
ist.
Deshalb ist P (k, λ) mit λ := np eine gute Approximation für B(n, p, k) = nk pk q n−k .
3.1.3
Einige Verteilungsdichten
Die Gleichverteilung in einem Intervall [a, b] ist schon erwähnt worden.
Gauss- = Normalverteilung Aufgabe
? Für das Ereigis “falsches Bit” sei die Wahrscheinlichkeit p = 31 (Messungen ergeben
Grund zu dieser Annahme). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w, in einem ‘01’-Wort
der Länge 50 mindestens 5, jedoch weniger als 15 falsche Bits vorzufinden.
Die Variable X ist Gauss- oder normalverteilt (genauer N (µ, σ 2 )-verteilt mit σ > 0),
falls sie die Dichte fµ,σ (x) =
1 x−µ
√1 e− 2 ( σ )
σ 2π
2
besitzt. Erwartungswert und Streuung
sind E(X) = µ , bzw. σ . Die Verteilungsfunktion zu N (0, 1) wird mit Φ bezeichnet
−2
0
x
N(0,1)
2
4
0.004
0.003
0.001
0.000
0.02
0.0
−4
0.002
dnorm(x, 9, sqrt(2))
0.10
0.08
0.06
dnorm(x, 2, 3)
0.04
0.2
0.1
dnorm(x, 0, 1)
0.3
0.12
0.005
0.4
a−µ
und ist tabelliert. Für eine N (µ, σ 2 )-verteilte Variable ist P (X ∈ [a, b)) = Φ( b−µ
σ ) − Φ( σ ) .
−4
−2
0
x
N(2,9)
2
4
−4
−2
0
2
4
x
N(9,2)
Antwort: Die Variable Xi sei das Ereignis “i-tes Bit ist falsch”. Dann hat Xi Er-
108
Statistik
√
wartungswert
p und Streuung σ = pq, wie leichte Rechnung ergibt2 . Die Variable
Pn
S := i=1 Xi , besitzt die Bernoulliverteilung B(n, p); hier sind n = 50 und p = 31 .
P
Deshalb ist w = 14
i=5 B(n, p, i). Im vorliegenden Fall könnte z.B. ein maple-Programm
leicht weiterhelfen, allerdings addiert man sehr kleine Zahlen. Deshalb benützt man
√
die Aproximation P ( S−np
npq ∈ [a, b)) ≈ Φ(b) − Φ(a) , die aus dem Satz von De Moivre-
Laplace (Anmerkung 87 (S.99)) folgt. Die Bedingung auf der linken
Seite
istgleichwertig
√
√
y−np
x−np
√
√
zu S ∈ [a npq + np, b npq + np), sodaß P (S ∈ [x, y)) ≈ Φ
gilt.
npq − Φ
npq
Bei uns sind x = 5 und y = 15, somit ergibt sich a = 4.4 und b = 1.4. Schließlich findet
sich nach etwas Rechnung w = P (S ∈ [5, 15)) ≈ 0.08075 als Antwort.
Die χ2 - und t-Verteilungen haben ebenfalls Dichten, siehe Beispiel 98 (S.120).
3.2
Kurze Übersicht
3.2.1
Einleitung, Aufgaben der Statistik
Details werden in den nachstehenden Abschnitten behandelt. Statistik legt für einen Zu~ mit Werten im IRk (bzw. eine Zufallsvariable für k = 1) eine Stichprobe der
fallsvektor X
Stichprobengröße n zugrunde, die durch n einander nicht beeinflussende, somit unabhängige
Messungen zustande kommt. Es ist dies eine endliche Folge (~x1 , . . . , ~xn ) von Vektoren im IRk ,
somit selbst ein Element von (IRk )n . So ist etwa für das Werfen mit Darts auf eine Zielschei~ hat eine uns nicht näher bekannte Verteilung F bzw. Dichte
be k = 2. Der Zufallsvektor X
f , über die man mittels der Stichprobe approximative Aussagen treffen möchte. Im einfach~ schätzen und tut dies (seit Menschengedenken)
sten Fall will man den Erwartungswert
E(X)
1 Pn
durch das Stichprobenmittel x̄ := n i=1 ~xi .
Beispiel 88 Wir gehen von zwei Beispielen aus.
1. Jemand hat 1000 mal einen Würfel geworfen, um die Häufigkeiten der Augenzahlen zu
bestimmen. Dabei hat sich folgende Tabelle ergeben:
Augenzahl
Anzahl
1
2
3
4
5
6
168 173 164 167 162 166
Es ist k = 1 und n = 1000. Ist X die Zufallsvariable, die genau dann 1 wird, wenn eine
6 geworfen wird und Null sonst, so möchte man im einfachsten Fall wissen, ob p = 61
(genauer E(X) = 16 ) durch diese Messung “weitgehend” bestätigt werden kann.
2. Es liegt eine Tabelle von 10 Messungen der Länge eines Stabes vor.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Wert 13.1 12.9 13.0 12.9 13.2 13.1 12.9 13.1 12.8 13.1
Es ist k = 1 und n = 10. Es ist X die Länge des Stabes, auf die man mittels der
Messung schließen möchte.
2
V (Xi ) = E(Xi2 ) − E(Xi )2 = p − p2 = pq, weil E(Xi ) = p und Xi = Xi2 gilt
3.2. Kurze Übersicht
109
Beschreibende Statistik .
Sie befaßt sich mit der übersichtlichen Aufbereitung von Datenmengen. So etwa Balkendiagramm, Torte und Histogramm zu Aufgabe 1.
Histogram of ergebnisse
Frequency
50
166
6
164
4
100
1
3
168
absolute Haeufigkeit
170
150
172
2
0
162
5
1
2
3
4
5
6
0
1
2
Augenzahl
3
4
5
6
ergebnisse
Balkendiagramm
Torte
Histogramm
Schließende Statistik. Wir wollen hier lediglich über Zuvallsvariable reden, also k = 1
annehmen. Dann ist X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F = FX . Die Stichprobe (x1 , . . . , xn ) ∈ IRn gibt anlaß zur empirischen Verteilungsfunktion
|{i | xi < x}|
,
n
die man als Näherungsfunktion von F (~x) ansehen möchte:
Fn (x) :=
−1
0
1
x
F10
2
●
●
−2
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
−1
0
1
2
●
−3
−2
−1
x
0
1
2
x
F50
F200
1.0
0.6
0.8
●
pnorm(x)
●
●● ●●
●
●●
●
●
●●
●●
●
●●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●●
●● ●
●●
●● ●
0.4
1.0
0.8
0.2
●
●
●
●
0.0
0.0
0.0
−2
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.2
0.4
0.2
0.2
●
●
●
●
●
0.0
Fn(x)
Fn(x)
0.4
●
●
0.6
0.6
0.6
●
●
●
Fn(x)
0.8
0.8
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.4
●
●
●
ecdf(rnorm(250))
1.0
ecdf(rnorm(50))
1.0
ecdf(rnorm(10))
3
−2
...
...
−1
0
1
2
x
F
Es kann Fn als Realisation der Zufallsvariablen Fn (x, ω) := |{i|Xi (ω)<x}|
mittels der
n
Stichprobe (x1 , . . . , xn ) aufgefasst werden. Die Folge reellwertiger Zufallsvariabler Fn (x, ·)
erfüllt folgende Eigenschaft:
Anmerkung 89 (Gliwenko-Cantelli, 1933) Es sei
Dn (ω) := sup |Fn (x, ω) − F (x)|
x∈IR
so ist P ({ω | limn→∞ Dn (ω) = 0}) = 1.
In Worten: die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Fn im Sinne der Supremumsnorm eine gute
Approximation von F ist, geht mit wachsendem n gegen Eins.
110
Statistik
Je mehr Messungen man macht, “desto unwahrscheinlicher” sind “größere” Differenzen
zwischen Fn und F . 3
Es gibt folgende Grundtypen des Schätzens in der schließenden Statistik:
• Parameterschätzung4 . Man hat eine Zufallsvariable X mit einer Verteilung der
Form F (x, θ) vor sich, bei der θ in einem d-dimensionalen Parameterbereich Θ
liegt. Ist X z.B. N (µ, σ 2 )-verteilt, so ist d = 2 und θ = (µ, σ). Nun soll der Parameter θ mittels einer Stichprobe (x1 , . . . , xn ) ∈ (IRd )n geschätzt werden. Dazu
benötigt man eine geeignete Schätzfunktion5 Z : IRn → IRd , und berechnet dann
den Schätzwert θ ≈ Z(x1 , . . . , xn ). Für viele Formen von F (x, θ) des Gebrauchs
kennt man solche Schätzfunktionen, vor allem fürPdie Parameter von normalverteiltem X, nämlich
Stichprobenmittel µ ≈ x̄ := n1 ni=1 xi und Stichprobenvarianz
P
n
1
2 Die entsprechenden Schätzfunktionen sind dann
σ 2 ≈ s2n := n−1
i=1 (xi − x̄) . P
1 Pn
1
2
X̄ := n i=1 Xi bzw. Sn := n−1 ni=1 (Xi − X̄)2 .
Das Auffinden einer Schätzfunktion Z geschieht z.B. mittels Momentenmethode6
oder Maximum Likelihood Schätzung.
• Intervallschätzung für reelles θ mit Konfidenzniveau 1 − α. Die Zufallsvariable X hat eine von einem reellen Parameter θ abhängige Verteilungsfunktion
F (x, θ). Es soll θ bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit α (bzw.Konfidenzniveau 1 − α) geschätzt werden. Es sei x := (x1 , . . . , xn ) die Stichprobe.
Man konstruiert reellwertige Schätzfunktionen θ, θ : IRn → IR, sodaß der zu
schätzende Parameter θ sich mit (1 − α) × 100%iger Wahrscheinlichkeit im Konfidenzintervall (θ(x), θ(x)) befindet. Die Werte θ(x) und θ(x) heißen Vertrauensgrenzen. Die Funktionen θ, θ hängen auch von n ab, sodaß man bei Erhöhen von
n auf Verkleinerung des Konfidenzintervalls hofft.
• Prüfen von Hypothesen. Es wird von einer Aussage H0 über F ausgegangen,
die als Nullhypothese bezeichnet wird, und die man bei vorgegebenem Risiko α,
dem Signifikanzniveau aufgrund der Stichprobe (x1 , . . . , xn ) als abzulehnen (“a-0ieren”) qualifizieren möchte. Etwa, daß eine gewisse N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable die Bedingung H0 :“µ = µ0 ” erfüllt, und aus “Modellgründen” H0 nicht zu
erwarten ist.
Nun wird im Testverfahren ein kritischer Bereich (eine Teilmenge Kα von IRn ) angegeben, sodaß man H0 mit Irrtumswahrscheinlichkeit α verwirft, sofern (x1 , . . . , xn )
im kritischen Bereich liegt.
Je kleiner α ist, desto höher wird die Wahrscheinlichkeit dafür, die Hypothese
abzulehnen, obwohl sie richtig ist (Fehler 1.Art). Um den Fehler 2.Art, nämlich
ein falsches H0 nicht abzulehnen, möglichst unwahrscheinlich werden zu lassen,
3
Genau wie beim Bernoulliexperiment ergibt sich beim Erhöhen von n eine immer näher an Eins liegende
Wahrscheinlichkeit dafür, daß die aus der Meßreihe abgeleitete Verteilungsfunktion Fn (x) eine brauchbare
Approximation für F (x) ist.
4
=Punktschätzung.
5
=Stichprobenfunktion=Punktschätzer
6
soll hier nicht vorgeführt werden, siehe z.B. [18]
3.3. Schätz- und Testverfahren
111
wird, abhängig vom speziellen Testverfahren, ein passender Annahmebereich A
gewählt, in den t fallen sollte.
Es gibt Parametertests, bei denen die H0 eine Aussage über einen Parameter
macht, und Anpassungstests, bei denen entschieden wird, ob die Daten zu einer
behaupteten Verteilung passen.
• Schätzung von Korrelations- und Regressionsgrößen. Im einfachsten Fall
geht es um eine IR2 wertige Zufallsvariable (X, Y ) und eine Meßreihe {(xi , yi )}ni=1 .
Dann liegt eine “Punktwolke” von Daten vor. Nun versucht man, oft unter Annahme einer Normalverteilung, eine Dichtefunktion zu erraten, deren Graph konzentrische Ellipsen als Schichtlinien aufweist. Darüber gibt die Kovarianz Auskunft.
Im Extremfall können diese Ellipsen faktisch Geraden werden, wodurch man in
natürlicher Weise zum Ausgleichen durch Regressionsgerade kommt.
3.3
3.3.1
Schätz- und Testverfahren
Parameterschätzung
Von einer zufälligen Variablen X : Ω → IRk hat man Grund zur Annahme, daß sie einer
Verteilung F (x, θ) genügt, wobei θ ∈ Θ ⊆ IRd ein Parameter ist (z.B. das p im Falle eines Laplace-W-Raumes, (a, b) ∈ IR2 im Falle der Rechtecksverteilung, (n, p) ∈ IR2 für die
Bernoulliverteilung, oder (µ, σ) ∈ IR2 im Falle der Gaußschen Normalverteilung).
Nun wird eine Stichprobe x := (~x1 , . . . , ~xn ) ∈ (IRk )n ermittelt, d.h., es werden für i =
1, . . . , n Messungen der Variablen X mit Ergebnis ~xi ∈ IRk durchgeführt. Dann wird ein
Punktschätzer konstruiert, d.i. eine Funktion Z : (IRk )n → Θ und θ̂ := Z(x1 , . . . , xn ) als
Näherungswert betrachtet. Ein Schätzer Z kann eine oder mehrere der folgenden Eigenschaften haben:
1. Z heißt erwartungstreu, falls E(ZX) = θ. Die Differenz B := E(ZX) − θ heißt Bias
oder Verzerrung. Meist wird ein erwartungstreuen Schätzer verwendet.
2. Z ist konsistent7 , wenn Z = Zn als Folge von Schätzern gesehen wird (abhängig von n),
und wenn für jedes positive der Grenzwert limn→∞ P (|Zn (X1 , . . . , Xn ) − θ| > ) = 0
ist. Man kann zeigen, daß es dazu ausreicht, daß limn→∞ V (Zn (X1 , . . . , Xn )) = 0 ist.
3. Der erwartungstreue Schätzer Z ist effizienter als der erwartungstreue Schätzer Z 0 ,
falls für die Varianzen V (ZX) < V (Z 0 X) gilt. Man wünscht sich möglichst effiziente
Schätzer.
Oft gebrauchte Schätzer sind das Stichprobenmittel für den Erwartungswert und die Stichprobenvarianz für die Varianz:
7
andere Bezeichnung: asymptotisch erwartungstreu.
112
Statistik
Anmerkung 90 Schätzer für
¯ :=
~ ist das Stichprobenmittel8 ~x
Erwartungswert E(X)
erwartungstreu und konsistent.
In Beispiel 88 (S.108) 2. findet man x̄ = 13 +
0.1 + 0.1 − 0.2 + 0.1) = 13.01.
1
n
Pn
xi
i=1 ~
. Der Schätzer ist
1
10 (0.1 − 0.1 + 0.0 − 0.1 + 0.2 + 0.1 −
Varianz V (X) (skalares X) ist die Stichprobenvarianz
s2n :=
1
n−1
Pn
i=1 (xi
− x̄)2 .
Entsprechend wird σ durch sn geschätzt.
Der Schätzer ist erwartungstreu.
In Beispiel 88 (S.108) 2. findet man
P
2
s2n = 19 10
i=1 (xi − 13.01)
1
2
2
= 9 (0.09 + 0.11 + 0.012 + 0.112 + 0.192
+0.092 + 0.112 + 0.092 + 0.212 + 0.092 )
≈ 0.0166
Somit ist sn ≈ 0.13.
Beispiel 91 (Schätzung einer unbekannten Wahrscheinlichkeit p). Es sei p die Wahrscheinlichkeit ein fehlerhaft produziertes Stück in der Jahresproduktion zu finden. Um nicht jedes
Stück testen zu müssen, beschließt man, 30 Wochen lang jeweils 5 Stück der Wochenproduktion “zufällig” zu entnehmen und Fehlstücke zu zählen:
Eine Strich- oder Urliste entsteht, und
Anzahl
d
0 1 2 3 4 5
schließlich die rechts abgebildete HäufigFehler/5erkeitstabelle. Z.B. besagt die vorletzte
Pack
Spalte, daß nur in einer der wöchentlich
Zahl d Pro- 16 7 4 2 1 0
gezogenen Fünferproben 4 Stücke fehlerben
haft waren.
Es ist Ω die Jahresproduktion und X(ω) = 1 falls das Stück ω fehlerhaft ist, andernfalls
ist X(ω) = 0. Dann ist E(X) = p die von uns zu schätzende Wahrscheinlichkeit. Da wir 150
25
Stück testen, ist n = 150 und somit x̄ = 16×0+7×1+4×2+2×1+0×5
= 150
≈ 0.17 der Schätzwert.
150
Dabei wird durchaus geschwindelt: Die 150 Stück werden im Vergleich zur Produktion so
klein angesehen, daß man bei der Entnahme der Proben keine Beeinflussung von p annimmt.
Beispiel 92 Beweisskizze
~ := 1 Pn X
~ i (auch mit X̄ bezeichnet) eine auf Ω definierte
Eigentlich ist das Stichprobenmittel gleich Z X
i=1
n
k
Zufallsvariable und x̄ deren Realisation im IR aufgrund von Messung und Rechnung. Ähnliches gilt für die
Stichprobenvarianz Sn2 bzw. s2n .
8
3.3. Schätz- und Testverfahren
113
1. (für die Erwartungstreue von X̄)
Der Schätzer ist eine Zufallsvariable und
n
X̄ :=
1X
Xi
n
i=1
erweist sich als erwartungstreu, weil
n
n
i=1
i=1
1X
1X
E(X̄) =
E(Xi ) =
E(X) = E(X)
n
n
ist.
2. (für die Konsistenz des Stichprobenmittels X̄)
Die Ungleichung von Tschebyscheff (Anmerkung 84 (S.94)) ergibt, indem man dort
statt X unser X̄ einsetzt:
P (|X̄ − E(X̄)| ≥ ) ≤
V (X̄)
.
2
Es hängt X̄ von n ab. Wenn nun für wachsendes n der Ausdruck auf der rechten Seite
der Ungleichung gegen Null
geht, ist die Konsistenz erfüllt. Um dies zu zeigen, soll
1 Pn
zunächst V (X̄) = V ( n i=1 Xi ) berechnet werden, wobei wegen der Annahme der
Unabhängigkeit der wie X verteilten Zufallsvariablen Xi Anmerkung 76 (S.82) gilt,
sodaß E(Xi Xj ) = E(Xi )E(Xj ) = E(X)2 = µ2 berücksichtigt werden kann:
P
V (X̄) = E(X̄ 2P
) − E(X̄)2 =P
E(( n1 ni=1 Xi )2 ) − µ2
= n12 E( ni=1 Xi2 + 2 1≤i<j≤n
Xi Xj ) − µ2
= n12 nE(X 2 ) + 2 n2 µ2 − µ2
= V (X)
n .
Somit enthält die rechte Seite in der Tschebyscheffschen Ungleichung den Faktor n1 , der
die gewünschte Konvergenz gegen Null bei n → ∞ bewirkt.
3. (für die Erwartungstreue der Stichprobenvarianz Sn2 )
? Wo kommt das (n − 1) in der Formel für die Stichprobenvarianz her?
1 Pn
2
Antwort: Man betrachtet die Zufallsvariable ZX = n−1
i=1 (Xi − X̄) , in der X̄ :=
P
P
P
n
n
n
1
2
2
2
i=1 Xi ist. Es ist E( i=1 (Xi − X̄) ) =
i=1 (E(Xi ) + E(X̄ ) − 2E(Xi X̄)) =
n
2
2
2
2
2
nE(X ) + nE(X̄ ) − 2nE(X̄ ) = n(E(X
ähnlich wie im vorigen Beispiel
Pn ) − E(2X̄ ). Die
1
1
2
laufende Rechnung E(X̄ ) = n2 E(( i=1 Xi ) ) = n2 (nE(X 2 ) + n(n − 1)E(X)2 und
Einsetzen ergeben
!
n
1 X
2
E
(Xi − X̄)
= E(X 2 ) − E(X)2 = V (X).
n−1
i=1
Das (n − 1) braucht man für die Erwartungstreue!
114
Statistik
Anmerkung 93 (Maximum Likelihood Schätzer - R.A.Fisher). Es sei X eine Zufallsvariable, bei der man Grund zur Annahme hat, daß sie eine Verteilungsdichte (oder im
Falle einer diskreten Verteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion) f (x, θ) mit θ ∈ Θ ⊆ IRn
hat, kennt aber den Parameter θ nicht. Gesucht wird eine plausible Schätzung θ̂.
Man verschafft sich durch Messung eine Stichprobe (x1 , . . . , xn ), die als Realisierungen
unabhängiger identisch wie X verteilter unabhängiger Zufallsvariabler aufgefaßt werden
kann.
Deshalb hat die gemeinsame Verteilungsdichte der Zufallsvariablen (X1 , . . . , Xn ) die
Gestalt
n
Y
L(x, θ) :=
f (xi , θ).
i=1
Die Idee, einen Schätzer zu konstruieren, besteht darin, die vorgelegte Stichprobe als
“wahrscheinlichste Beobachtung” zu interpretieren, m.a.W., θ̂ so zu wählen, daß das
Maß dafür, der Wert von L, möglichst groß wird, wenn man an der Stelle (x1 , . . . , xn )
auswertet.
Als Maximum Likelihood Schätzer, kurz MLS, bezeichnet man jene Wahl einer Funktion
Z(x1 , . . . , xn ), die als Lösung der Funktionalgleichung
L(x1 , . . . , xn , Z) = max{L(x1 , . . . , xn , θ) | θ ∈ Θ}
gefunden wird.
Unter geeigneten Glattheitsbedingungen von L und wenn das Maximum für jede Wahl
der xi eindeutig ist, kann man die einfachere Gleichung
∂
L(x1 , . . . , xn , θ) = 0
∂θ
nach θ auflösen, sodaß θ = Z(x1 , . . . , xn ) der gesuchte Schätzer ist. (Ähnliches gilt, falls
θ ∈ IRd ist).
Unter geeigneten Glattheitsbedingungen an f kann man zeigen, daß der MLS konsistent
ist, er ist jedoch nicht immer erwartungstreu bzw. am effizientesten.
Beispiel 94 Beispiele hierzu:
1.
? Es sei p die nicht näher bekannte Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses. Es sei möglich, das Bernoulliexperiment (Beispiel 85 (S.96)) auszuführen, d.h.
man setzt X : Ω → {0, 1} gleich 1, wenn das Ereignis eintritt, und Null sonst, und geht
davon aus, daß man n-mal unabhängig voneinander durch Experiment den Ausgang des
Ereignisses feststellen kann. Man bekommt somit eine Stichprobe (x1 , . . . , xn ) ∈ {0, 1}n .
Gesucht ist ein MLS für p.
P
Wie in Beispiel 85 (S.96) ausgeführt, ist S := ni=1 xi verteilt gemäß L(x1 , . . . , xn , p) =
pS (1 − p)n−S . Differenzieren nach p und Null setzen ergibt 0 = SpS−1 (1 − p)S−1 − (1 −
3.3. Schätz- und Testverfahren
115
S)pS (1 − p)−S , woraus sich S(1 − p) = p(n − S) wird, und man schließlich auf das
Stichprobenmittel
1
S(x) = Z(x1 , . . . , xn ) = (x1 + · · · + xn )
n
kommt.
? Es sei X : Ω → IR eine auf dem Intervall [a, b] gleichverteilte Zufallsvariable (Beispiel
67 (S.70) 3.). Gesucht ist ein MLS für die Parameter a, b, falls man eine Stichprobe
(x1 , . . . , xn ) ∈ IRn hat.
2.
1
Die Verteilungsdichte ist b−a
, falls x ∈ [a, b) ist, und sonst Null. Somit ergibt sich
1
L(x1 , . . . , xn , a, b) = (b−a)n falls alle xi ∈ [a, b) sind, und Null sonst. Die Funktion ist
bezüglich (a, b) nicht differenzierbar, nimmt aber ihr Maximum dort an, wo b − a unter
der Bedingung (∀i)xi ∈ [a, b) minimal wird, und das passiert für b − a = max{xi | i =
1, . . . , n} − min{xi | i = 1, . . . , n} der Fall. Somit sind b̂ := max{xi | i = 1, . . . , n} und
â := min{xi | i = 1, . . . , n} Schätzwerte. Der Schätzer ist nicht erwartungstreu.
? Es sei X : Ω → IR eine auf IR+ bezüglich einer Exponentialverteilungsdichte (Beispiel 82 (S.91)) f (x, λ) := λe−λx verteilte Zufallsvariable. Es sei möglich, n Stichproben
durch unabhängige Versuche zu ermitteln. Man ermittle einen MLS für λ.
3.
Pn
Die Maximum Likelihood Funktion ist L(x1 , . . . , xn , λ) = λn e−λ i=1 xi , die für λ = 0
verschwindet. Durch Differenzieren P
nach dem Parameter λ ergibt sich zunächst 0 =
nλn−1 e−λS − λn Se−λS , wobei S := ni=1 xi . Elementare Rechnung ergibt den MLS
n
Z(x1 , . . . , xn ) := Pn
i=1 xi
3.3.2
.
Intervallschätzung
Die Zufallsvariable X habe eine Dichte der Gestalt f (x, θ) mit reellem Parameter θ. Während
ein Punktschätzer Z, wie im vorigen Unterabschnitt ausgeführt, bei gegebener Stichprobe
x := (x1 , . . . , xn ) einen Näherungswert θ ≈ Z(x1 , . . . , xn ) angibt, geht man beim Intervallschätzen (als allgemeines Schema) wie folgt vor:
1. Zunächst wird eine Irrtumswahrscheinlichkeit α (meist ist α ∈ {0.05, 0.02, 0.01}, kann
bei heiklen Problemen auch wesentlich kleiner sein) vorgegeben.
2. Als nächstes bestimmt man Stichprobenfunktionen θ, θ : IRn → IR, derart, daß θ(x) ≤
θ(x) gilt.
3. Die Messungen xi sind unabhängige Realisationen von identisch wie X verteilten Zufallsvariablen Xi , die in einem Vektor X := (X1 , . . . , Xn ) zusammengefaßt sind. Entsprechend sind die beiden Funktionen θ(x) und θ(x) Realisationen der Zufallsvariablen
θ(X) und θ(X).
Für diese beiden Zufallsvariablen wünscht man sich die Garantie
P ({ω | θX(ω) ≤ θ ≤ θX(ω)}) > 1 − α.
116
Statistik
In Worten: Mit 100 × (1 − α)%er Wahrscheinlichkeit ist θ im Intervall. Anders ausgedrückt: Der Fehler 1.Art, nämlich daß θ zu Unrecht im Intervall vermutet wird, wird
mit Irrtumswahrscheinlichkeit α begangen.
4. Hat man diese “theoretische Vorarbeit”, nämlich 1.–3. geleistet, ermittelt man mittels
der vorliegenden Stichprobe x = (x1 , . . . , xn ) Werte θ(x) und θ(x) und hat die Garantie:
“Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der gesuchte Parameter θ im Intervall [θ(x), θ(x]
liegt, ist zumindest 1 − α. ”
Vorteil: erhöht man n, die Anzahl der Messungen, so passen sich die Intervallschranken
an, mit hoher Wahrscheinlichkeit werden sie dabei “enger”.
5. Sehr oft dürfen Zufallsvariable annähernd normalverteilt angenommen werden:
(a) Die Binomialverteilung B(n, p) (siehe Beispiel 79 (S.87)) ist es (in der Praxis),
9
wenn n > p(1−p)
(vgl. Satz von De Moivre-Laplace gleich nach Anmerkung 87
(S.99)).
(b) Das Gaußsche Fehlergesetz kommt bei wiederholtem Messen zum Einsatz (vgl.
Anmerkung 87 (S.99) und dort das Beispiel zum Physikpraktikum.
Am häufigsten will man bei Vorliegen einer Stichprobe und vorgegebenem α ein Intervall
finden, in dem sich µ bzw. σ mit Wahrscheinlichkeit 1 − α befinden. In diesem Fall kann 1.-3.,
die “Vorarbeit”, wie folgt zusammengefaßt werden:
Anmerkung 95 Es sei X Zufallsvariable und α ∈ [0, 1] die Irrtumswahrscheinlichkeit.
Weiter sei xi für i = 1, . . . , n eine unabhängige Messreihe für X.
X nimmt nur 0 und 1 an. Die Wahrscheinlichkeit p für “X = 1” soll eingegrenzt werden.
Vorgehensweise:
P
• Ermittle das Stichprobenmittel x̄ = n1 ni=1 xi . Konkret ist das nk , wobei k die
Anzahl der Indizes i ist, für die xi = 1 ist.
• Ermittle z := z1− α2 für die Normalverteilung N (0, 1).
• Finde die Lösungen p− < p+ der in p quadratischen Gleichung
z2
z2
2
p 1+
− p 2x̄ +
+ x̄2 = 0
n
n
• Antwort: Mit 100 × (1 − α)%er Sicherheit ist p ∈ (p− , p+ ).
Beispiel: Sei n = 104 und x̄ = 3 × 10−3 und α = 0.1. Es ist 1 − α2 = 0.95 und
das 0.95-Quantil von N (0, 1) approximativ z = 1.645 (entweder Tabelle für Φ oder
der R-Befehl qnorm(0.95,0,1)). Die quadratische Gleichung wird zu p2 (1 + 2.7 ·
3.3. Schätz- und Testverfahren
117
10−4 ) − p(2 · 3 · 10−3 + 2.7 · 10−4 ) + 9 · 10−6 = 0 und nach Einsatz von z.B. MAPLE
findet man:
Antwort: Mit 90%er Sicherheit ist p im Intervall (2.2.10−3 , 4.0 × 10−3 ).
Anmerkung: Die Verwendung von Φ ist durch den ZGWS begründbar, sobald die
9
Faustregel n > p(1−p)
gilt. Sie ist für x̄ richtig, ein positives Indiz – nicht mehr9
X ist N (µ, σ 2 ) verteilt und µ soll bei bekanntem σ eingegrenzt werden:
Vorgehensweise:
P
• Ermittle das Stichprobenmittel x̄ = n1 ni=1 xi .
• Berechne z := z1− α2 , das 1 −
α
2
Quantil der Normalverteilung N (0, 1).
• Antwort: Mit 100 × α%er Wahrscheinlichkeit liegt µ im Intervall (x̄ −
zσ
√
).
n
zσ
√
, x̄ +
n
Beispiel: In Beispiel 88 (S.108) 2. wurde die Länge eines Stabes gemessen. Es war
n = 10, x̄ = 13.01. Nun soll angenommen werden, daß X normalverteilt (GaussFehlergesetz) und σ ≈ 0.1 ist. (Vielleicht hat man auf s10 ≈ 0.13 geschielt) Man
gebe ein Intervall an, in dem µ mit 99%er Sicherheit liegt (d.h. α = 0.01).
Es ist 1 − α2 = 0.995 und z = z0.995 ≈ 2.576 (aus einer Φ-tabelle oder den R-Befehl
qnorm(0.995,0,1)). Die simple Rechnung ergibt 99%e Sicherheit, daß die Länge
im Bereich (13.01 − 0.081, 13.01 + 0.081) = (12.96, 13.062) liegt.
X ist N (µ, σ 2 ) verteilt und µ soll eingegrenzt werden: Vorgangsweise fast wie im
vorigen Beispiel, nur σ ≈ sn und z gehört zur Tschebyscheff-Verteilung in n − 1
Freiheitsgraden (kommt in Anmerkung 100 (S.120)):
P
• Ermittle das Stichprobenmittel x̄ = n1 ni=1 xi , die Stichprobenvarianz s2n :=
p
1 Pn
2
s2n .
i=1 (xi − x̄) und s :=
n−1
• Berechne z := z1− α2 , das 1 −
α
2
Quantil der tn−1 -Verteilung.
• Antwort: Mit 100 × (1 − α2 )%er Wahrscheinlichkeit liegt µ im Intervall (x̄ −
zs
√
, x̄ + √zsn ).
n
Beispiel: In Beispiel 88 (S.108) 2. wurde die Länge eines Stabes gemessen. Es war
n = 10, x̄ = 13.01 und s2n ≈ 1.3×10−1 . Wieder soll α = 0.01 sein. Es ist 1− α2 = 0.995
und z = z0.995 ≈ 2.576. Da 10 Messungen vorliegen, ist die Quantile-Tabelle einer
t9 Verteilung gefragt, bzw. der R-Befehl qt(0.995,9) tut es auch, um z ≈ 3.25 zu
−2
√
ergeben. Der Term √zsn = 3.26×3.96×10
≈ 0.04.
10
Antwort: Mit 99%er Sicherheit ist die Länge des Stabes im Bereich (12.97, 13.05).
X ist N (µ, σ 2 ) verteilt und σ soll eingegrenzt werden: Vorgangsweise
118
Statistik
• Ermittle das Stichprobenmittel x̄ =
p
1 Pn
2
s2n .
i=1 (xi − x̄) und s :=
n−1
1
n
Pn
i=1 xi ,
die Stichprobenvarianz s2n :=
• Ermittle a := z α2 und b := z1− α2 für die χn−1 Verteilung (Chi-Verteilung in
n − 1 Freiheitsgraden).
• Antwort:
Mit
√
√ 100×(1 − α)%er Sicherheit liegt die Varianz σ im Intervall
(n−1)
(n−1)
( b s,
s).
a
Beispiel: In Beispiel 88 (S.108) 2. wurde die Länge eines Stabes gemessen. Es war
n = 10, x̄ = 13.01 und s2n ≈ 1.3 × 10−1 . Es soll α = 0.1 sein. Es soll σ eingegrenzt
werden.
Es ist α2 = 0.05 und a = z0.05 ≈ 3.325 (Tabelle oder R-Befehl qchisq(0.05,9)) und
b = z0.95 ≈ 16.92. Die Intervallgrenzen ergeben sich approximativ zu (0.09, 0.2).
Antwort: Mit 90%er Sicherheit ist die Streuung im Bereich (0.09, 0.2).
Anmerkung: Im Physikpraktikum wird mit Recht darauf hingewiesen, daß die Erhöhung
der Anzahl n ab ca n = 10 eher nur langsam das Intervall verkleinert, weil der Funktionsgraph
von √1n für große n “flach” verläuft.
Beispiel 96 Im Nachfolgenden findet man Begründungen der Methoden sowie tn und χn ..
1. (BW: Schätzen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit p)
Es ist jede der n Variablen Xi (zufälliges Ziehen von Proben mit Zurücklegen) mit nicht
√
näher bekannter Wahrscheinlichkeit p und Standardabweichung σ = pq verteilt (wir
wissen das aus Beispiel 74 (S.79) 3.) verteilt. Nun besagt der ZGWS unter Zuhilfenahme
√
√
√
√
von Beispiel 83 (S.92) 4., daß X̄−µ
n = X̄−p
n approximativ N (0, 1)-verteilt ist.
pq
pq
√
√
Als nächstes brauchen wir die Ungleichung |X̄−p|
n < z in etwas anderer Form bepq
schrieben, nämlich
10
p ∈ (p̂− (ω), p̂+ (ω)),
wobei p̂− (ω) ≤ p̂+ (ω) die Lösungen der quadratischen Gleichung
z2
z2
p2 1 +
− 2X̄(ω) +
p + X̄ 2 (ω) = 0
n
n
sind.
9
Man kann auch hier eine Sicherheit angeben, mit der p die Faustregel erfüllt, das soll hier nicht vorgeführt
werden.
√
2
10
√
n < z ⇔ (X̄ − p)2 < zn (p(1 − p) ⇔ p2 − 2pX̄ + X̄ 2 <
Die völlig elementare Herleitung geht so: |X̄−p|
pq
z2
p
n
−
z2 2
p
n
⇔ obige Bedingung.
3.3. Schätz- und Testverfahren
119
Anwendung des ZGWS (De Moivre-Laplace, vgl. unmittelbar nach Anmerkung 87
√
(S.99)) ergibt wegen Beispiel 83 (S.92) 6. P (| X̄−p
n| < z) ≈ 2Φ(z) − 1 ≈ 1 − α.
σ
Lösen der letzten dieser Gleichungen ergibt das 1 − α2 -Quantil z1− α2 .
Dieses z = z1− α2 und ein durch Messung ermitteltes p̂ = X̄ = nk werden in die obige
quadratische Gleichung gesteckt, um danach konkrete Schätzwerte für p mit Vertrauensgrenze 1 − α zu finden, m.a.W., man p− ≤ p+ als Lösungen von
z2
z2
2
− 2p̂ +
p + p̂2 = 0.
(3.1)
p 1+
n
n
2. (BW: Schätzung von unbekanntem µ bei bekanntem σ für eine N (µ, σ 2 )verteilte Zufallsvariable X : Ω →
PIR.)
Die Stichprobenfunktion X̄ := n1 ni=1 Xi : Ω → IR ist wegen Beispiel 83 (S.92)
2
N (µ, σn )-verteilt. Deshalb ist
X̄ − µ √ P n < z = Φ(z) − Φ(−z) = 2Φ(z) − 1.
σ
Ähnlich wie im vorigen Beispiel ist es nützlich, die Ungleichung auf der linken Seite in
äquivalenter Form als
zσ
zσ
X̄ − √ ≤ µ ≤ X̄ + √
n
n
zu lesen. Nun, auch ähnlich wie im vorigen Beispiel, ermittelt man eine Lösung z = z1− α2
der Gleichung 2Φ(z) − 1 = 1 − α.
Antwort:
Es ist unter Verwendung der Funktion x̄ : IRn → IR, definiert durch x̄(x1 , . . . , xn ) :=
1 Pn
i=1 xi das Paar
n
zσ
θ(x) = x̄(x) − √ ,
n
zσ
θ(x) = x̄(x) + √
n
ein Intervallschätzer, wobei z = z1− α2 das 1 − α2 -Quantil der Normalverteilung, also
die Lösung von Φ(z) = 1 − α2 ist. Demnach hat man eine 100 × (1 − α)%-ige Garanzσ
zσ
tie, daß µ im Intervall (x̄(x) − √
, x̄(x) + √
) liegt, wobei x die Tabelle der (durch
n
n
Zufallsexperiment) ermittelten Werte von X ist.
Wir erinnern an die Gammafunktion.
Anmerkung 97 Die Gammafunktion ist für positive x durch
Z ∞
Γ(x) :=
e−t tx−1 dt
0
definiert.
120
Statistik
Beispiel 98 (χ2n -Verteilung) Die Dichte der χ2n -Verteilung (mit n Freiheitsgraden) ist durch
(
0
x≤0
f (x) :=
1
−x/2
n/2−1
e
x
x>0
2n/2 Γ(n/2)
definiert. Man kann E(X) = n und V (X) = 2n zeigen (etwa in [18]). Der “Freiheitsgrad”
n kommt daher, daß man für n unahbhängige
N (0, 1)-verteilte Zufallsvariable Xi : Ω → IR
P
zeigen kann, daß die Zufallsvariable ni=1 Xi2 : Ω → IR eine χ2 -Verteilung in n Freiheitsgraden
hat. Die Idee der Herleitung ist ähnlich wie im Falle der Gleichverteilung in Beispiel 74 (S.79)
2.
Beispiel 99 (tn - oder Studentverteilung11 ) Die Dichte einer tn -verteilten Zufallsvariablen
X : Ω → IR ist durch
−(n+1)/2
1 Γ((n + 1)/2)
x2
fX (x) := √
1+
Γ(n/2)
n
nπ
n
gegeben. Sie ist symmetrisch bezüglich µ = E(X) = 0 und für n ≥ 3 ist V (X) = n−2
. Im
weiteren wird noch benötigt werden, daß für eine N (0, 1)-verteilte Zufallsvariable X und eine
χ2n -verteilte Zufallsvariable Y der Quotient √X eine tn -Verteilung hat.
Y /n
Anmerkung 100 Die Anwendung von tn - und χ2n -Verteilung beruht auf folgenden Fakten für eine beliebige, reellwertige N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable X:
• Das Stichprobenmittel
n
1X
X̄ =
Xi
n
i=1
2
ist für unabhängig durchgeführte Experimente N (µ, σn )- verteilt (siehe Beispiel 83
(S.92)).
• Die normierte Stichprobenvarianz
Y :=
n
1 X
(Xi − X̄)2
σ2
i=1
erweist sich als
χ2n−1 -verteilt.
Das ist deshalb interessant, weil die Stichprobenvarianz
n
1 X
S :=
(Xi − X̄)2
n−1
2
i=1
in der Gleichung
Y =
(n − 1)S 2
σ2
vorkommt.
11
Sie wurde von W.S. Gosset auf empirischem Weg gefunden und unter dem Pseudonym “Student” 1908
publiziert, da er von seiner Firma keine Erlaubnis hatte, sie unter eigenem Namen zu veröffentlichen.
3.3. Schätz- und Testverfahren
121
• Die Stichprobenfunktion
X̄ − µ √
√
n,
S2
(welche erwartungstreuer und konsistenter Schätzer der normierten Zufallsvariablen
√
Z = X̄−µ
n ist – das Z ist wie im ZGWS Anmerkung 87 (S.99)), ist tn−1 -verteilt.
σ
• Quantile von N (0, 1), χ2n−1 und der tn−1 -Verteilung sind für viele Werte n tabelliert
(z.B. in [3]), bzw. in Statistiksoftware, wie z.B. R, zugänglich.
Beispiel 101 Nun Begründugen für die Methoden in Anmerkung 95 (S.116), bei denen χ2n−1
und tn−1 benützt wird.
1. (BW: Schätzung von µ bei Unkenntnis von σ für eine N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable)
√
Wie in Anmerkung 100 (S.120) ausgeführt worden ist, genügt X̄−µ
n einer tn−1 S
Verteilung. Ist (der Kürze halber) F die Verteilungsfunktion (die für viele n tabelliert
vorliegt), so hat man in Analogie zu Beispiel 96 (S.118), 2.
P (|
X̄ − µ √
n| < z) = F (z) − F (−z) = 2F (z) − 1 = 1 − α,
S
wobei letzteres wegen der Symmetrie der Dichtefunktion von tn−1 gilt (vgl. hierzu die
an Beispiel 83 (S.92) 6. anschließende Erklärung). Nun besorgt man sich mittels Tabelle
der tn−1 -Verteilung ([14]. S.61 ff) die Lösung z = z1− α2 der Gleichung F (z) = 1 − α2 .
Die gleiche Umformung der Ungleichung auf der linken Seite wie in Beispiel 96 (S.118)
2. ergibt
zS
zS
P (µ ∈ (X̄(ω) − √ , X̄(ω) + √ )) ≥ 1 − α.
n
n
P
1 Pn
2
Antwort: θ(x) = x̄ − √zsn , θ(x) = x̄ + √zsn , wobei x̄ := n1 ni=1 xi , s2 = n−1
i=1 (xi − x̄) ,
und z die Lösung von Tn−1 (z) = 1 − α2 ist (Tn−1 die Verteilungsfunktion der tn−1 Verteilung).
2. (BW: Intervallschätzung für σ einer N (µ, σ 2 )-verteilten Zufallsvariablen X :
Ω → IR bei nicht bekanntem µ. ) Diese Schätzung ist vor allem dann interessant,
wenn man nur wissen will, ob die Meßwerte stark streuen.
Man will aus den Daten einen Näherungswert σ̂ von σ und ein z, sodaß die Ungleichung
|σ 2 − σ̂ 2 | < z
mit P
Wahrscheinlichkeit ≥ 1 − α gültig ist. Es bietet sich die Stichprobenvarianz S 2 =
n
1
2
i=1 (Xi − X̄) an, weil sie erwartungstreu und konsistent ist, und nach Auswerten
n−1
mittels der Daten einen Schätzwert σ̂ 2 von σ 2 ergibt.
122
Statistik
P
Wegen Anmerkung 100 (S.120) ist Y := σ12 ni=1 (Xi − X̄) gemäß χ2n−1 verteilt. Deshalb
ist
P (a ≤ Y ≤ b) = F (b) − F (a),
wobei F die Verteilungsfunktion von tn−1 ist. Da die Ungleichung a ≤ Y ≤ b wegen
2
1 Pn
2
Y = (n−1)S
(zur Erinnerung, S 2 = n−1
i=1 (Xi − X̄) ) in äquivalenter Form als
σ2
(n − 1)S 2
(n − 1)S 2
≤ σ2 ≤
b
a
angeschrieben werden kann, ergibt sich
P(
(n − 1)S 2
(n − 1)S 2
≤ σ2 ≤
) = F (b) − F (a) = 1 − α,
b
a
sodaß man jede Lösung (a, b) von F (b) − F (a) = 1 − α zur Konstruktion eines Intervallschätzers heranziehen kann. Es ist gebräuchlich, b aus der Gleichung F (b) = 1 − α2
und a aus F (a) = α2 zu bestimmen. Das ist nicht die einzig mögliche Lösung, sie erfüllt
aber F (b) − F (a) = 1 − α.
Antwort: Eine (sehr gebräuchliche) Lösungsmethode ist wie folgt. Es seien b und a die
1 − α2 bzw. α2 Quantile der χ2n−1 -Verteilung. Danach bildet man in gewohnter Weise die
(n−1)s2
1 Pn
1 Pn
Funktionen s2 = n−1
i=1 (xi − x̄) (wobei x̄ := n
i=1 xi ) und findet θ(x) =
b
2
und θ(x) = (n−1)s
. Hat man die konkreten Datenwerte x = (x1 , . . . , xn ) vorliegen, so
a
wertet man die beiden Funktionen aus und kann sagen, daß σ 2 mit Wahrscheinlichkeit
≥ 1 − α in diesem Intervall liegt.
Beispiel 102 Abschließendes Beispiel, die Tabelle in Beispiel 88 (S.108) benützend:
? Welche obere Grenze für σ 2 kann mit 90%-iger Sicherheit aus der Messtabelle des Stabes
ermittelt werden? (Es genügt mir, zu wissen, daß die Streuung i.A. nicht größer als dieser
Wert ist.)
Antwortfindung: Man braucht nur das a als Lösung der Gleichung F (a) = α = 0.1. Es
ergibt sich a = 4.168 aus der gleichen Tabelle der χ29 Verteilung. Danach ergibt sich das
−2
rechte Intervallende zu 9×1.66×10
≈ 0.036.
4.168
Antwort: Mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit ist σ 2 < 0.036.
3.3.3
Statistische Testverfahren
In Beispiel 88 (S.108) sind folgende Aussagen des Produzenten denkbar:
?
1. Die W-Verteilung für den Würfel ist Gleichverteilung auf {1, 2, 3, 4, 5, 6} und es liegt
eine Messtabelle (n = 1000) vor, die das bestätigt.
2. Der Stab hat die Länge 13.00 Einheiten und es liegt eine Messtabelle vor (n = 10),
die das bestätigt.
Testverfahren dienen dazu, bei “kalkuliertem Risiko 0 ≤ α ≤ 1”, dem sogenannten Signifikanzniveau, diese Behauptung “aufgrund der Messtabelle” abzulehnen.
3.3. Schätz- und Testverfahren
123
Wir geben eine abstrakt formulierte Beschreibung, die im Anschluß anhand obigen Beispiels
erläutert werden wird.
Anmerkung 103 (Grundidee für Testverfahren)
Gegeben sei eine Familie F von Verteilungen von Zufallsvariablen, eine Teilfamilie F0
und F ∈ F.
Als Nullhypothese H0 über F ∈ F bezeichnet man die Aussage H0 : “F ∈ F0 ”.
Ein Testverfahren besteht bei vorgegebener Signifikanz 0 ≤ α ≤ 1 und Vorliegen einer
Stichprobe x ∈ IRn in der Konstruktion einer Teilmenge Kα des IRn (dem kritischen
Bereich), mit W-Maß PF n (X ∈ Kα ) < α für alle F ∈ F0 . Dabei ist X = (X1 , . . . , Xn )
der Zufallsvektor, welcher den n unabhängigen Messungen mit Ergebnis x entspricht und
F n die auf IRn von F induzierte “Produkt”verteilung.
H0 wird genau dann abgelehnt, wenn x ∈ Kα liegt. Wegen PF (X ∈ Kα ) < α hat damit
der Fehler 1.Art “H0 wahr, wurde jedoch abgelehnt” höchstens Wahrscheinlichkeit α.
Für F ∈ F \ F0 ist PF (X 6∈ Kα ) die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2.ter Art,
nämlich “H0 ist falsch, wurde jedoch nicht abgelehnt”.
Es ist von Interesse, daß Fehler 2.ter Art möglichst kleine Wahrscheinlichkeit haben.
Im 1.ten Beispiel, jenem mit dem Würfel, ist F die Menge aller Verteilungen auf Ω :=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} und F0 = {F0 }, wobei F0 jene Verteilung ist, für die alle Elemente in Ω
Wahrscheinlichkeit gleich 61 besitzen. In Beispiel 108 (S.126) wird der χ2 -Test herangezogen
werden.
Parametrische Tests
Im 2.ten Beispiel, jenem mit dem Stab, ist die Länge eine Zufallsvariable und “technisch
gesprochen” wurde “H0 : µ ≥ 13” behauptet. Dann ist F die Menge aller Normalverteilungen N (µ, σ 2 ) und alle Verteilungen F in F0 erfüllen µF ≥ 13. Ein entsprechender Test ist
parametrisch, weil der Parameter µ getestet wird. Die formale Definition hierfür lautet:
Anmerkung 104 (Grundidee des parametrischen Tests) Es ist F = {Fθ | θ ∈ Θ}.
Dabei ist Θ eine Teilmenge im IRd und θ ein d-dimensionaler Parameter. Eine Partition
Θ = Θ0 ∪ Θ1 bewirkt eine Partition von F = F0 ∪ F1 für F0 := {Fθ | θ ∈ Θ0 } und
F1 := F \ F0 . Dann lautet die Nullhypothese unter Verwendung der Parametrisierung
“θ ∈ Θ0 ”. Jede Verteilung Fθ gibt Anlaß zu einem W-Maß Pθ auf IRn . Es ist g : Θ → [0, 1],
definiert als g(θ) := Pθ (X ∈ Kα ) die Gütefunktion des Tests, wobei Kα , wie vorhin, der
kritische Bereich ist. Wenn θ ∈ Θ1 ist, so nennt man g(θ) die Trennschärfe des Tests
(auch Macht (engl. Power) genannt).
Bei gegebenem Signifikanzniveau α wird Kα oft wie folgt festgelegt:
• Aufstellen einer Stichprobenfunktion T : Rn → R (die Testgröße) sodaß die Zufallsvariable T (X) für alle θ ∈ Θ0 eine “rechnerisch zugängliche” (Prüf-) Verteilung
124
Statistik
hat, und Festlegen eines Schwellenwerts c > 0 mit Pθ (|T (X1 , . . . , Xn )| > c) ≤ α für
alle θ ∈ Θ0 gilt.
• Dann ist mit Kα = {x ∈ IRn | |T (x)| > c} der kritische Bereich eines Parametertests
zum Niveau α gegeben.
Verbesserung der Trennschärfe: Man wählt meist zwei reelle Schwellenwerte c1 <
c2 (c1 = −∞ und/oder c2 = ∞ kann auch vorkommen), so dass für alle θ ∈ Θ0 Pθ (X ∈
[c1 , c2 ]) ≥ 1 − α . Dann ist Kα = {x ∈ IRn | T (x) 6∈ [c1 , c2 ]} kritischer Bereich eines
(asymmetrischen) Parametertests zum Niveau α.
Wir geben jetzt die gebräuchlichsten Situationen an. Dabei hat man es meist mit einer
Familie von Normalverteilungen zu tun:
Anmerkung 105 (F ist eine Familie von Normalverteilungen).
Erwartungswert “H0 : µ = µ0 ”:
P
• Ermittle das Stichprobenmittel x̄ P
= n1 ni=1 xi und eine Schätzung von σ, etwa
n
1
2
die Stichprobenvarianz s2n = n−1
i=1 (xi − x̄) .
√ xn − µ0
• Bestimme den Wert der Testfunktion T (x) = n
.
sn
• Antwort: Es wird H0 abgelehnt, wenn |T (x)| > z1− α2 ist.
Beispiel: Für das Signifikanzniveau α = 0.01 soll festgestellt werden, ob “H0 : Länge
des Stabes = 13.0.” abgelehnt werden kann.
Antwort: Wegen
http://wiener.iam.uni-bonn.de/∼nkistler/Lectures/Biometrie09/Normal
√ Tabelle.pdf
2
ist z1− 0.01 = z0.995 ≈ 2.33, x̄ ≈ 13.01 und s10 ≈ 0.13, sodaß T (x) = 10 x̄−13.0
=
s10
2
. . . ≈ −0.087. Hier kann H0 nicht verworfen werden da | − 0.087| >
6 z0.995 ≈ 2.33
ist.
Erwartungswert “H0 : µ > µ0 ”:
• Wie gehabt, x̄ und s2n berechnen.
√ xn − µ0
n
.
sn
• Antwort: Es wird H0 abgelehnt, wenn T (x) < −z1−α ist.
• Bestimme den Wert der Testfunktion T (x) =
Beispiel: Für das Signifikanzniveau α = 0.01 soll festgestellt werden, ob “H0 : Länge
des Stabes im Einleitungsbeispiel ist mindestens 13.2.” abgelehnt werden kann.
√
Antwort: Es ergibt sich T (x) = 10 x̄−13.2
= . . . ≈ −4.62 und z1−α = z0.99 ≈
s10
2.326348. Deshalb gilt T (x) ≈ −4.62 < −2.326348 ≈ −z1−α und somit ist H0
abzulehnen.
3.3. Schätz- und Testverfahren
125
Erwartungswert “H0 : µ < µ0 ”:
• Wie gehabt, x̄ und s2n berechnen.
√ xn − µ0
n
.
sn
• Antwort: Es wird H0 abgelehnt, wenn T (x) > z1−α ist.
• Bestimme den Wert der Testfunktion T (x) =
Beispiel: Für das Signifikanzniveau α = 0.01 soll festgestellt werden, ob “H0 : Länge
des Stabes im Einleitungsbeispiel ist nicht größer als 13.2.” abgelehnt werden kann.
√
Antwort: Es ergibt sich T (x) = 10 x̄−13.2
= . . . ≈ −4.62 und z1−α = z0.99 ≈
s10
2.326348. Deshalb gilt T (x) ≈ −4.62 6> 2.326348 ≈ z1−α und somit kann H0 nicht
abgelehnt werden.
Beispiel 106 Einfache Beispiele:
1.
? Für eine Münze sei “H0 : K(opf) kommt mit Wahrscheinlichkeit 21 ”. Nach 100 Würfen
ergibt sich 46 mal Kopf. Kann mit H0 mit Signifikanz α = 0.1 aufgrund des Tests
abgelehnt werden?
Antwort: Es liegt ein Bernoulliexperiment vor, bei dem Xi = 1 wenn Kopf kommt,
sonst Xi = 0. Dann ist µ0 = 21 und, aufgrund der Daten x̄ = 0.46, sowie s2100 =
P100
P100
1
1
1 2
1 P46
2
2
2
i=47 (0 − 0.46) = 99 (46 × 0.54 + 54 ×
i=1 (xi − 2 ) = 99
i=1 (1 − 0.46) +
100−1
1
√ 0.46−
0.462 ) ≈ 0.25. Als Wert der Testfunktion ergibt sich T (x) = 10 √0.252 ≈ −0.25. Nun
ist z1− α2 = z.95 ≈ 1.64. Weil nun |T (x)| = 0.25 6> 1.64 ≈ z1− α2 , kann H0 nicht abgelehnt
werden.
Anmerkung: Der kritische Bereich wurde für µ 6= µ0 mittels Konfidenzintervall kon√ X̄− 1
struiert. Unter Verwendung des ZGWSes (Anmerkung 87 (S.99)) ist Z = n sn 2
approximativ N (0, 1)-verteilt.
2.
? (t-Test) Es seien X, Y normalverteilte Variable. Es sei H0 die Hypothese “µX =
µY ” und H1 die gegenteilige Aussage. Zum Signifikanzniveau α ist ein Testverfahren
zur Ablehnung von H0 zu entwickeln.
Antwort: Nach dem Additionstheorem für Normalverteilungen erweist sich Z = X − Y
als normalverteilt (vgl.Beispiel 83 (S.92)). Nun betrachtet man das neue Problem Z = 0
versus Z 6= 0, indem Kα als Komplement eines Konfidenzintervalls zum Konfidenzniveau 1 − α festlegt.
Als Ergebnis dieser Vorgangsweise findet man den t-Test:
s
nX nY (nX + nY − 2)
X̄ − Ȳ
T (X, Y ) := q
.
nX + nY
(n − 1)S 2 + (n − 1)S 2
X
X
Y
Y
126
Statistik
Zum Signifikanzniveau ist dann das α-Quantil der tnX +nY −2 -Verteilung zu bestimmen.
Danach wird H0 verworfen, wenn die Realisierung von |T | einen größeren Wert annimmt.
Anpassungstests
Anmerkung 107 (χ2 -Test)
Ausgangssituation: Es sei X : Ω → IR eine Zufallsvariable mit Verteilung FX . Eine
Verteilung F0 , eine Signifikanz 0 ≤ α ≤ 1 sind gegeben und “H0 : FX = F0 ”. Aufgrund einer Stichprobe x = (x1 , . . . , xn ) ∈ IRn unabhängig ermittelter Zufallswerte
von X soll mit Signifikanz α entschieden werden, ob H0 abzulehnen ist.
Testmethode: Unter Benützung der Stichprobe x ∈ IRn werden zunächst m Klassen
gebildet, d.h. eine Unterteilung von IR in paarweise disjunkte Intervalle Ik = [ak , bk )
und für jedes solche Intervall die theoretische Häufigkeit pk := P (Ik ) = FX (bk ) −
FX (ak ) gebildet. Es ist dann
hk :=
|{i | xi ∈ [ak , bk )}|
n
die relative Häufigkeit für Meßwerte im Intervall Ik , von der man erwartet, daß sie
approximativ gleich pk ist. Aus dem Satz von Gliwenko-Cantelli ist herleitbar, daß
für hinreichend großes n die Pearsonsche Stichprobenfunktion
χ2 := n
m
X
(hk − pk )2
k=1
pk
=
m
X
(|{i | xi ∈ [ak , bk )}| − npk )2
npk
k=1
approximativ χ2m−1 -verteilt ist.
Antwort: H0 wird verworfen, wenn der Wert von χ2 das (1 − α)-Quantil χ21−α;m−1
überschreitet.
Bei der Klasseneinteilung ist es sinnvoll, für jede Klasse die Ungleichung nk >
einzuhalten (wegen der “versteckten” Benützung des ZGWSes).
9
pk qk
Beispiel 108 Wir kommen auf Beispiel 88 (S.108) 1. zurück:
? Von einem Würfel liegt die Tabelle
Augenzahl
1
2
3
4
5
6
Häufigkeit 168 173 164 167 162 166
vor. Es sei F0 die Gleichverteilung, d.h. jede Augenzahl kommt mit Wahrscheinlichkeit 61 vor
und die Nullhypothese soll “FX = F0 ” lauten. Kann H0 bei Signifikanz α = 0.005 abgelehnt
werden?
Antwort: Hier sind in natürlicher Weise schon m = 6 Klassen vorgegeben und jede erfüllt
nk > 160 ≥ 95 = 64.8.
36
3.3. Schätz- und Testverfahren
127
Der Wert von χ2 kann aus der Tabelle unmittelbar abgelesen werden, wobei noch npk =
zu berücksichtigen ist:
1000
6
χ2 =
1000 2
2 (164 − 1000 )2 (167 − 1000 )2 (162 − 1000 )2 (166 − 1000 )2
(173 − 1000
6 )
6 )
6
6
6
6
+
+
+
+
+
1000
1000
1000
1000
1000
1000
6
6
6
6
6
6
(168 −
107
Es ergibt sich χ2 = 250
= 0.428.
Nun berechnet man das 1−0.005-Quantil der χ25 -Verteilung, welches sich zu χ20.995,5 = 16.75
ergibt12 , also ist H0 nicht abzulehnen.
Anmerkung 109 (Kolmogorov-Smirnovtest)
Ausgangssituation: Es besitze die Zufallsvariable X : Ω → IR eine stetige Verteilung
FX und F0 ist eine gegebene stetige Verteilungsfunktion. Es liegt eine Stichprobe
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ IRn vor.
Bei gegebener Signifikanz 0 ≤ α ≤ 1 soll entschieden werden, ob “H0 : FX = F0 ”
abzulehnen ist.
Vorgangsweise:
• Man bildet die empirische Verteilungsfunktion Fn (x) =
|{i|xi <x}|
.
n
• Es wird Dn := maxk |Fn (xk ) − F0 (xk )| bestimmt.
P
j −2(jλ)2 , wobei in der
• Man löst die Gleichung 1 − α = Q(λ) := 1 + 2 ∞
j=0 (−1) e
2
Praxis die Näherung Q(λ) ≈ 1 − 2e−λ verwendbar ist.
Antwort: Das 1 − α-Quantil λ1−α wird hier als Lösung der Gleichung Q(λ) = 1 − α
√
gefunden und man verwirft H0 , falls Dn n > λ1−α ist.
Der Test beruht auf einer asymptotischen Form P (Dn < √λn ) ≈ Q(λ) := 1+2
des Satzes von Gliwenko-Cantelli (Anmerkung 89 (S.109)).
P∞
j −2(jλ)2
j=0 (−1) e
Beispiel 110 Einfache Beispiele.
1.
? Zwei Meßgeräte zur Messung der gleichen physikalischen Größe X ergeben nach
n = 5 Messungen folgende Meßreihen
Gerät A 15.1 17.2 19.3 20.4 21.3
Gerät B 15.2 17.1 19.4 20.5 21.2
Auf dem Signifikanzniveau α = 0.05 soll getestet werden, ob die Verteilung für beide
Messungen auf dem Intervall [15, 22] als die gleiche anzusehen ist.
Antwort: Man kennt die Verteilung der Größe X zwar nicht (nicht einmal ob ihre
Verteilung stetig ist). Ihre Differenz sollte jedoch in jedem Intervall den Wert Null mit
12
> qchisq(0.995,5)
> [1] 16.74960
128
Statistik
gleicher Häufigkeit annehmen, es sollte also eine Rechtecksverteilung auf dem Intervall
[15, 22] sein. Somit ist F0 (x) = 1 auf dem Intervall. Die Berechnung von D5 ergibt
D5 = max{0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1} = 0.1
√
und D5 5 ≈ 0.2236. Nun sieht man in einer entsprechenden Tabelle nach und findet
für n = 5 als 0.95 Quantil beim KS-Test den Wert λ0.095 = 0.563. Da 0.2236 < 0.563
kann die Nullhypothese “Gerät A und Gerät B messen die gleiche Verteilung” nicht
abgelehnt werden.
? Was passiert, wenn die Kollegen, die jeweils auf A und B messen, verschieden lange
Meßreihen erzeugen, z.B. der eine mißt für Werte von ca 15 – 22, der andere von 14 –
23?
Antwort: In dieser Situation wird häufig der Wilcoxon-Test verwendet (sieh z.B. [33]).
2.
? Wie verwendet man den KS-Test, um zu sehen, ob die Augenzahlen beim Würfel
gleichverteilt sind?
Antwort: Gar nicht, da die Verteilungsfunktion beim Würfel unstetig ist, wie in Beispiel
67 (S.70) 1 ausgeführt worden ist.
3.4
a)
Kovarianz und lineare Regression
b)
c)
Im folgenden soll (X, Y ) : Ω → IR2 ein Zufallsvektor sein. In der obigen Skizze würde
man für die Dichtefunktion im Fall a) einen glockenartigen Hügel mit kreisförmigen, in b)
mit elliptischen und in c) mit extrem schmalen elliptischen Höhenschichtlinien erwarten. Der
Mittelpunkt des Kreises, bzw. der Ellipse ist der Erwartungswert von (X, Y ) und läßt sich
nun sehr leicht als Massenmittelpunkt (vgl. Beispiel 67 (S.70) 4.) begreifen. Auch Varianz
und die zu erklärende Kovarianz haben Bezug zur Mechanik – den Trägheits- und Deviationsmomenten, worauf hier nicht eingegangen werden soll.
In c) hätte man sehr steilem Anstieg an den Flanken der Geraden – eher in Richtung
der Geraden mit einer Gleichung y = ax + b normalverteilt und senkrecht dazu eine Diracverteilung. Insbesondere würde man in c) auf Y = aX + b mit “hoher Wahrscheinlichkeit”
3.4. Kovarianz und lineare Regression
129
schließen wollen. Praktische Probleme dieser Art wären z.B. “In welchem Maße beeinflußt
die Zugabe des Wirkstoffs X das Ertragsaußmaß Y” (hier vermutet man, kennt jedoch den
direkten Zusammenhang von X,Y im allgemeinen nicht) bzw. das Gesetz für die gleichmäßig
gleichförmige Bewegung s = vt + s0 (Weg = Geschwindigkeit× Zeit), das so lange gültig ist,
bis es durch Tests mit entsprechendem Signifikanzniveau und Gütefunktion falsifiziert wird.
Der nun zu erklärenden Begriff Kovarianz tritt auf, weil in b) die Ellipsen (die approximativen Höhenschichtlinien der Dichtefunktion, die jedoch bei der weiter unten zu erklärenden
2-dimensionalen Gaußverteilung exakte Ellipsen sind) alle gedreht sind:
Beispiel 111 Es sei (X, Y ) : Ω → IR2 ein Zufallsvektor mit Erwartungswert (µX , µY ), wobei
die Zufallsvariablen X, Y die Erwartungswerte µX , bzw. µY , sowie Varianzen V (X), V (Y )
besitzen. Nun betrachten wir die Zufallsvariablen Za,b := aX + bY für alle Werte (a, b), d.h.,
die Verteilung entlang eines “Durchmessers”. Sichtlich ist E(Za,b ) = aE(X) + bE(Y ) weil E
linear ist (vgl. Anmerkung 73 (S.78)). Für die Varianz bekommt man nach etwas Rechnung
V (Za,b ) = a2 V (X) + 2ab(E(XY ) − E(X)E(Y )) + b2 V (Y ).
Der halbe Koeffizient der gemischt quadratischen Glieder ab ist cov (X , Y ) := E (XY ) −
E (X )E (Y ) und man nennt diese Zahl die Kovarianz von X und Y . Damit wird
V (Za,b ) = a2 V (X) + 2abcov (X , Y ) + b 2 V (Y )
eine quadratische Form in (a, b), deren geometrische Deutung die folgende ist:
1. Ohne Einschränkung wählen wir ein Koordinatensystem in IR2 mit (µX , µY ) = (0, 0).
2. Für einen Vektor (a, b) der Länge 1 ist das innere Produkt
p
aX + bY = X 2 + Y 2 cos((X, Y ), (a, b))
die Projektion von (X, Y ) auf den Fahrstrahl von (0, 0) nach (a, b).
p
3. Nun ist V (aX + bY ) ein Maß dafür, wie stark (X, Y ) entlang der Geraden durch (a, b)
streut. Dies kann wie folgt zu einer bildhaften Darstellung benützt werden: Man plottet
für den Winkel
p θ ∈ [0, 2π) auf dem Radiusvektor durch (a, b) := (cos θ, sin θ) den Wert
von σθ := V (cos θX + sin θY ). Im allgemeinen bekommt man eine (gedrehte) Ellipse,
in ausgearteten Fällen lediglich einzelne Punkte. In Richtung der längeren Ellipsenachse
ist dann die Streuung am größten und kann in konkreten Problemen Aufschluß über
etwa Richtung stärkster Ausbreitung eines Pilzbefalls etc. beschreiben. Dies sieht man
in der obigen Skizze in b) recht deutlich.
4. Analyse der Ellipsen: Als quadratische Form hat
2
2
V (aX+bY ) = a V (X)+2abcov (X , Y )+b V (Y ) = (a, b)
V (X)
cov (X , Y )
cov (X , Y )
V (Y )
a
b
130
Statistik
unter der Nebenbedingung a2 + b2 = 1 lokale Extrema, deren Auffindung mittels der
Methode von Lagrange Q(a, b, λ) := a2 V (X)+2abcov (X , Y )+b 2 V (Y )−λ(a 2 +b 2 −1 )
und Differenzieren auf
V (X) − λ cov (X , Y )
a
0
=
,
cov (X , Y ) V (Y ) − λ
b
0
und somit auf ein (symmetrisches) Eigenwertproblem führt. Die Lösungen (a, b) des
Eigenwertproblems ergeben die Achsen der Ellipse, sofern die Ausgangsmatrix regulär
ist. Damit kann man in b) der obigen Skizze die Ellipse einzeichnen.
5. Ist genau einer der Eigenwerte Null, so ist die Matrix singulär und es gibt eine lineare
Abhängigkeit zwischen X und Y im stochastischen Sinn: Man kann eine Ausgleichsgerade a0 X + b0 Y = a0 µX + b0 µY , bzw.
0 = a0 (X − µX ) + b0 (Y − µY )
angeben, wobei für V (X) 6= 0 man
(a0 , b0 ) = (−cov (X , Y ), V (X ))
bekommt.
6. (Gaußverteilung) Ohne Beweis (der durchaus elementar ist) sei hingewiesen, daß jede
2-dimensionale Gaußverteilung von der Form
f (x, y) =
mit
1
Q(x, y) =
2(1 − ρ2 )
1
p
e−Q(x,y)
2
2πσX σY 1 − ρ
(x − µX )2
(x − µX )(y − µY ) (y − µY )2
−
2ρ
+
2
σX σY
σX
σY2
)
ist. Dann erweist sich ρ = covσX(Xσ,Y
. Damit folgt für Normalverteilungen aus der UnY
korreliertheit auch die Unabhängigkeit.
Weiß man nun z.B., daß X, Y beide normalverteilt sind, so verhilft die Lösung des
Eigenwertproblems zur Beschreibung der Verteilung als Gaußverteilung im obigen Sinn.
Deshalb besteht Interesse an der Ermittlung der Kovarianz bzw. Kovarianzen bei mehr
als 2 Variablen.
Definition 112 (Ausgleichsgerade) Es sei (X, Y ) : Ω → IR eine 2-dimensionale Zufallsvariable mit V (X) 6= 0. Dann heißt die mit der eindeutige Lösung (a0 , b0 ) ∈ IR2 der Aufgabe
E((Y − aX − b)2 ) ⇒ Minimum
gebildete Gerade mit der Gleichung
y = a0 x + b0
3.4. Kovarianz und lineare Regression
131
die Ausgleichs- oder Regressionsgerade13 von Y bezüglich X zur gemeinsamen Verteilung von
(X, Y ). Man findet (a0 , b0 ), indem man zunächst die Kovarianz
cov (X , Y ) := E ((X − µX )(Y − µY )) = E (XY ) − µX µY
berechnet
a0 =
cov (X , Y )
, b 0 = µY − a 0 µX
V (X)
in Übereinstimmung mit Beispiel 111 (S.129) 5. Der Vorteil dort wäre die Verfügbarkeit etwa
der QR-Zerlegung (vorallem im höherdimensionalen Fall wichtig).
Der Nachweis besteht in 2 Schritten. Im ersten Schritt zeigen wir, daß ein Minimum bestenfalls an der Stelle (a0 , b0 ) angenommen wird: Das obige Beispiel in Betracht ziehend,
schreiben wir
f (x, y) := (y − ax − b)2 = (µY − aµX − b)2 +
lineare Glieder in x − µX und y − µY
+a2 (x − µX )2 − 2a(x − µX )(y − µY ) + (y − µY )2 .
Bildet man nun f (X, Y ) und wendet E an, so ergibt sich die folgende Gestalt der zu minimierenden Funktion
g(a, b) := E(f (X, Y )) = (µY − aµX − b)2 + a2 V (X) − 2acov (X , Y ) + V (Y ).
Da g als Polynom (in a, b) stetig differenzierbar ist, müssen an (a0 , b0 ) die partiellen Ableitungen sowohl nach a bzw. b verschwinden, wodurch das Gleichungssystem
0 = b + aµX − µY + aV (X) − cov (X , Y ) = b + aµX − µY
entsteht, dessen einzige Lösung das obige (a0 , b0 ) ist.
Im zweiten Schritt wollen wir zeigen, daß (a0 , b0 ) ein globales Minimum ist, und das ist
genau dann der Fall, wenn die Funktion h(u, v) := g(a0 + u, b0 + v) − g(a0 , b0 ) > 0 für alle
Werte (u, v) 6= (0, 0) ist. Die völlig elementare Umformung zeigt14 :
V (X) + µ2X µX
u
h(u, v) = (V (X) + µ2X )u2 + 2µX uv + v 2 = (u, v)
.
µX
1
v
Da die Hauptminoren, nämlich V (X)+µ2X und V (X) beide positiv sind, ist diese quadratische
Form in (u, v) positiv definit, also gilt die Behauptung.
13
“Regression”, d.i. “Rückschritt”, kommt daher, weil die Ausgleichsgeraden um 1900 von Galton und
Pearson zur Überprüfung von Vererbungsmerkmalen benützt worden sind. Die Aussage war, daß ein Merkmal
bei Kindern von Vätern, bei denen es vom Mittelwert abweicht (Größe), wohl auch abweicht, doch in einem
geringeren Ausmaß. Der Zusammenhang des “Rückschritts” wurde linear angenommen. (Aus [33], S 136).
14
Z.B. mittels Taylorentwicklung von g an der Stelle (a0 , b0 ).
132
Statistik
Anmerkung 113 Es gelten die folgenden Aussagen:
Übliches lineares Ausgleichen (Gaußnotation): Ist (X, Y ) gemäß eines diskreten
Maßes verteilt, so kann man wegen Anmerkung 50 (S.54)
P das Maß durch Punkte
(xi , yi ) angeben, denen jeweils ein Gewicht gi > 0 mit i gi = 1 zukommt (es ist
gi = P ({xi })).
Sind alle Punkte gleichwertig, so sind es endlich viele, etwa n, und haben das gleiche
Gewicht n1 , sodaß unter Verwendung der Gaußnotation:
nE(X) =
X
xi =: [x], nE(XY ) =
i
X
xi yi =: [xy], nE(X 2 ) =
i
X
x2i =: [xx]
i
aus den obigen Gleichungen (die in diesem Fall eher direkt hergeleitet werden) 15 die
Normalgleichungen durch Spezialisierung aus Definition 112 (S.130) folgen:
a0 =
[y][xx] − [xy][x]
n[xy] − [x][y]
, b0 =
.
n[xx] − [x]2
n[xx] − [x]2
Die allgemeinere Version, bei der die Punkte Gewichte haben, kann z.B. benützt
werden, um “manche der Punkte (xi , yi ) beim Approximieren durch eine Gerade
wichtiger zu nehmen”.
Regressionskoeffizient: Es heißt
a0 =
cov (X , Y )
,
V (X)
d.i. die Steigung der Ausgleichsgeraden von Y bezüglich X, auch Regressionskoeffizient von Y bezüglich X.
Korrelationskoeffizient: Die dimensionslose Größe
ρ :=
cov (X , Y )
σX σY
heißt Korrelationskoeffizient der Variablen X, Y . Man kann sehr leicht
−1 ≤ ρ ≤ 1
zeigen, indem man hX, Y i := E(XY )−E(X)E(Y ) als inneres Produkt interpretiert
und die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung anwendet.
Man kann zeigen, daß genau dann |ρ| = 1 gilt, wenn mit Wahrscheinlichkeit eins
die Beziehung Y = aX + b besteht. Es hat dann a das gleiche Vorzeichen wie ρ.
3.4. Kovarianz und lineare Regression
133
Y = aX + b + Z mit Z ein normalverteilter Fehler: Es sollen a und b aus Stichproben ((xi , yi ) | i = 1, . . . , n) geschätzt werden. In dieser Situation nimmt man an, daß
Z ein N (0, σ 2 )-verteilter Fehler ist. Dementsprechend benützt man die Gaußschen
Normalgleichungen zur Ermittlung von Schätzwerten von a, b. Unter Verwendung
[y]
der arithmetischen Mittel x̄ := [x]
n und ȳ := n bekommt man eine empirische
Ausgleichsgerade in der Form
y − ȳ = a(x − x̄).
Nun verwendet man für die Abweichung Z = Y − (aX + b) als Approximation für
V (Y |X = x) := E((Y − (ax + b))2 ) (die Varianz von Y unter der Bedingung, daß
X den Wert x annimmt),
n
1 X
s =
(yi − a − bxi )2 .
n−2
2
i=1
Ist cov (X , Y ) gleich Null, so heißen die Variablen unkorreliert. Unabhängige Variable sind stets unkorreliert, die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch, wenn X, Y
nicht normalverteilt sind. Ist z.B. Ω := {−1, 0, 1} als Laplaceraum gegeben und
X die Identität, sowie Y := X 2 , so ist V (X) = 23 und cov (X , Y ) = E (X 3 ) = 0 .
Andrerseits sind die Variablen sichtlich nicht unabhängig.
Mehrfaches Messen von yi : Der Fall unterschiedlicher Meßfehler, wenn die xi bekannt, und die yi mehrfach gemessen werden, kann z.B. in [18] nachgelesen werden.
Beispiel 114 (Fehlerfortpflanzungsgesetz) Ist f : U ⊆ IR2 → IR eine stetig differenzierbare Funktion und ist (X, Y ) : Ω → U Zufallsvektor mit X, Y unabhängig, so werden
Approximationen von E(X,Y ) (f (X, Y )) und V (f (X, Y )) wie folgt ermittelt:
1. Man ermittelt (µX , µY ), welches lt. Annahme in U liegt und denkt sich f durch seine
lineare Approximation ersetzt, wobei der Einfachheit fx := ∂f
∂x etc. geschrieben werde
f (x, y) ≈ f0 (x, y) := f (µX , µY ) + fx (µX , µY )(x − µX ) + fy (µX , µY )(y − µY ),
wobei die Rechtfertigung für dieses Vorgehen meist daher kommt, daß Fehler höherer
Ordnung von f in der Nähe von (µX , µY ) nicht ins Gewicht fallen (ein analytisches
Problem – gute Kenntnis von f gefordert) und daß die Verteilung von (X, Y ) sehr
kleine Streuung hat. Dann kann man die Linearapproximation f0 als Näherung für f
verwenden.
Deshalb ist E(f (X, Y )) ≈ E(f0 (X, Y )) = f (µX , µY ).
15
In diesem Zusammenhang ist die obige Methode als “Methode der kleinsten Quadrate”, so genannt von
Legendre, der sie zuerst publiziert hat, bekannt ist.
134
Statistik
2. Um die weitere Rechnung zu vereinfachen, nehmen wir µX = µY = 0 an. Dann ist
f0 (x, y) = ax + by mit a := fx (0, 0) und b := fy (0, 0). Nun erkennt man die Übereinstimmung mit 4. in Beispiel 111 (S.129), sodaß
V (f0 ) = a2 V (X) + 2ab cov (X , Y ) + b 2 V (Y ),
und wenn man die Ableitungen explizit hinschreibt, ergibt sich das Fehlerfortpflanzungsgesetz
V (f (X, Y )) ≈ fx2 (µX , µY )V (X)+2fx (µX , µY )fy (µX , µY )cov (X , Y )+fy2 (µX , µY )V (Y ).
Kapitel 4
Algebra
In der Algebra geht es im weitesten Sinn um Rechenregeln, wie z.B. Kommutativgesetz,
Assoziativgesetz, Distributivgesetz, die für unterschiedlichste Rechenoperationen mit unterschiedlichsten Sorten von Objekten Gültigkeit haben. Etwa jene mit den üblichen Zahlen (‘+’,
‘−’,‘×’,‘/’), aber auch, beispielshalber mit Mengen (‘∩’, ‘∪’, ‘\’), wie das Assoziativgesetz
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (m + n) + k = m + (n + k), . . .
Dementsprechend, welche Arten von Rechenoperationen und Gesetzen gültig sind, werden
bestimmte algebraische Strukturen, wie (Halb)gruppe, Ring, Körper und andere formuliert.
Definition 115 (Verknüpfung) Jede Funktion f : G × H → K heißt eine Verknüpfung von
Elementen in G mit jenen in H und Ergebnis in K. Ist G = H = K, so spricht man von
innerer Verknüpfung.
Z.B. ist f (x, y) := x + y eine innere Verknüpfung auf IN . Die Schreibweise f (x, y) heißt
Präfix-, die Notation x + y Infixnotation, hingegen 2~a eine Verknüpfung zwischen reellen
Zahlen und Vektoren.
4.1
Halbgruppen und Gruppen
Hat man in einer Menge eine assoziative Verknüpfung von Elementen, so liegt eine Halbgruppe
vor. Z.B. sind die natürlichen Zahlen hinsichtlich der Addition eine Halbgruppe. Halbgruppen
lernt man meist als Halbgruppen von Transformationen einer Menge in sich kennen (z.B. alle
3 × 3-Matrizen, die auf dem IR3 wirken und Matrizenmultiplikation), wobei die Verknüpfung
von Transformationen deren Hintereinanderausführung ist. Dynamische Systeme sind spezielle Beispiele einer solchen Situation. Gruppen sind Halbgruppen mit 1-Element und Inversem
zu jedem Element. Sie begegnen einem meist als Symmetriegruppen (etwa von Rosetten).
·
·
•1
111
11
11
1
•
•
·
'!&·%"1#$ '!&·%"1#$
11 11
'!&·%"1#$ '!&·%"1#$ '!&·%"#$
11 11 '!&%"#$ '!&%"#$
·
135
%
5
6
4
kk 3 SS 2
1
·
DD
7
1
8
9
zz
136
Algebra
Sowohl die algebraische Struktur von (Halb)gruppen als auch ihr Wirken als Menge von
Transformationen sind Gegenstand dieses Unterabschnitts.
4.1.1
Definitionen und Allgemeines
Ist M eine beliebige Menge, so können die Abbildungen von M → M gemäß Definition 29
(S.39) hintereinander ausgeführt werden, wie z.B. die Symmetrien obiger Rosetten. Da wäre
M die Rosette und f typischerweise eine Drehung um passenden Winkel oder Spiegelung.
Sind f und g solche Abbildungen, dann ist gf die Abbildung, die jedem m ∈ M das Element
g(f (m)) zuordnet. Diese Operation ist assoziativ und es gibt ein Einselement, die identische
Abbildung 1M auf M . Wenn nun eine Teilmenge aller Funktionen auf M unter Zusammensetzung “abgeschlossen” ist, hat man ein erstes Beispiel für eine Halbgruppe laut nachstehender
Definition.
N1
1 1
1 1
1
1 1 1
1 1
1
1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
11
1 1
11
1 1 1
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
NN
N N
NNNN
N
N
NN NN
N N N N
NNNNNNNN
N
N
NN
NN
N N
N N
NNNN
NNNN
N
N
N
N
NN NN NN NN
N N N N N N N N
NNNNNNNNNNNNNNNN
N
N
NN
NN
N N
N N
NNNN
NNNN
N
N
N
N
NN NN
NN NN
N N N N
N N N N
NNNNNNNN
NNNNNNNN
N
N
N
N
NN
NN
NN
NN
N N
N N
N N
N N
NNNN
NNNN
NNNN
NNNN
N
N
N
N
N
N
N
N
NN NN NN NN NN NN NN NN
N N N N N N N N N N N N N N N N
NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN
Die Selbstähnlichkeiten des Sierpinskidreiecks bilden ein Monoid. Das Schrumpfen um ein Drittel
(etwa auf das rechte untere Teildreieck) hat kein
Inverses.
Definition 116 ((Halb)gruppe und Monoid) Eine (2-stellige) Operation auf einer Menge
G ist eine Funktion f : G × G → G. Eine Menge G mit einer Operation f : G × G → G heißt
Halbgruppe, falls das Assoziativgesetz gilt, d.h. f (x, f (y, z)) = f (f (x, y), z) für alle x, y, z ∈ G.
Sie heißt Monoid, falls es ein Einselement gibt, also ein Element e mit f (x, e) = f (e, x) = x
für alle x ∈ G. Gibt es zusätzlich zu jedem x ∈ G genau ein Element x̄ ∈ G mit f (x, x̄) =
f (x̄, x) = e, so nennt man G eine Gruppe. Ist G endlich, so nennt man die Anzahl der
Elemente in G die Ordnung von G.
Halbgruppe
(lediglich assoziative binäre Operation)
Monoid
(Einselement kommt dazu)
Gruppe
(Jedes Element hat Inverses)
4.1. Halbgruppen und Gruppen
137
Meist benützt man multiplikative Notation, z.B. f (x, y) = xy, und schreibt 1 für e, x−1 für x̄,
xn für x
. . x}, und x−n statt (xn )−1 , bzw. (vor allem im kommutiven Fall) additive Notation.
| .{z
n mal
Die nachstehende Tabelle stellt die multiplikative der additiven Schreibweise gegenüber:
assoziativ
Einselement
Inverses
Kommutativgesetz
Potenz
Negative Potenz
x(yz)=(xy)z
x1=1x=x
xx−1 =x−1 x=1
xy=yx
xn
x−n
x+(y+z)=(x+y)+z
x+0=0+x=x
x+(-x)=-x+x=0
x+y=y+x
nx
-nx
Somit ist das Eingangsbeispiel sogar ein Monoid bezüglich des Hintereinanderausführens
von Funktionen (Symmetrieoperationen) auf M .
Beispiel 117 Einfache Beispiele
1. Die natürlichen Zahlen IN bilden eine kommutative Halbgruppe bezüglich ‘+’ und ein
kommutatives Monoid bezüglich ‘×’. (Warum kein Monoid bezüglich ‘+’?)
2. (Rechnen modulo m – Rosetten der Ordnung m )
Sei m natürliche Zahl und {0, 1, 2, . . . , m − 1}
“Symbole”. Man addiert solche Symbole indem
man sie als Zahlen interpretiert, addiert und
dann den kleinsten nicht negativen Rest r ermittelt. Dieser ist dann wieder ein Symbol. Geometrisch werden hierdurch die Drehungen eines
mit den Knoten {0, 1, 2, . . . , m − 1} beschrifteten, regulären m-Ecks beschrieben. Diese Menge
bildet eine durch (ZZ m , +) bezeichnete, kommutative Gruppe.
2
1
4
5
11
11
11
11
m=6
11
11
Drehungen
11
3 111 ∼ Rechnen mod 6
0
11
∼
Rechnen
in
Z
Z
6
11
11
11
11
1
3. Matrizen(halb)gruppen Ist K ein Körper und K n der n-dimensionale Koordinatenraum, so bilden die n × n-Matrizen bezüglich Addition eine kommutative Gruppe und
bezüglich Multiplikation ein Monoid, das für n ≥ 2 stets nicht kommutativ ist.
Die regulären Matrizen bilden bezüglich Multiplikation eine Gruppe, wobei die Einheitsmatrix das Einselement der Gruppe ist.
Definition 118 (Kommutative=abelsche, zyklische (Halb)gruppen, Ordnung eines Elements) Eine Halbgruppe G ist kommutativ oder abelsch, wenn in ihr das Kommutativgesetz gilt. Sie heißt zyklisch, falls es ein x ∈ G gibt, derart, daß jedes Element eine
Potenz xk mit k ∈ IN ist. Ein Monoid G ist zyklisch, falls es ein x ∈ G gibt, sodaß jedes
Element eine Potenz xk mit k ∈ IN ∪ {0} ist. Ist G eine Gruppe, so heißt sie zyklisch, wenn es
138
Algebra
ein Element x ∈ G gibt, sodaß jedes Element in der Form xk für ein k ∈ ZZ ist. Ist die Gruppe
G = hxi endlich, so nennt man die Ordnung von G auch Ordnung des Gruppenelements x.
Beispiel 119 Die “einzigen” Beispiele zu zyklischen Gruppen.
Man kann zeigen, daß (additive Schreibweise vorausgesetzt), jede zyklische Gruppe entweder als Rosettengruppe (Restklassenrechnen modulo m wie im vorigen Beispiel – die Ordnung ist m) oder als (ZZ, +) gedeutet werden kann. Multiplikative Schreibweise G = {z j |
j = 0, 1, 2, . . . , m} (etwa die m-ten Einheitswurzeln in C), bzw. G = {z j | j ∈ ZZ}, etwa
G = {2j | j ∈ ZZ}.
Beispiel 120 (Zähligkeit einer Symmetrieachse und Ordnung eines Elements)
Die “Zähligkeit” einer Symmetrieachse (etwa beim Würfel
die Achse durch den vorderen und hinteren Flächenmittelpunkt) ist die minimale Anzahl, wie oft man den Würfel
dreht, bis er wieder in der Ausgangslage ist. Die besagte
Drehung S ist um 90 Grad, daher ist die Zähligkeit 4 und es
ist S 4 = I. Benützt man eine Drehung T (um 120 Grad) um
die Raumdiagonale, so ist die Zähligkeit 3 und es ist T 3 = I.
Die Zähligkeiten stimmen mit den Ordnungen der Elemente
S und T überein. Es hat S die Ordnung 4 und T die Ordnung 3, weil die von ihnen erzeugten Gruppen {I, S, S 2 , S 3 }
bzw. {I, T, T 2 } jeweils diese Ordnung haben.
Nicht uninteressant ist die folgende Anwendung zyklischer Gruppen beim Diffie-Hellmann
Verfahren.
Beispiel 121 Diskreter Logarithmus und PGP (Pretty Good Privacy). Ist G = hgi eine
zyklische Gruppe der Ordnung n, so heißt die Abbildung e : ZZ n → G, die durch e(z) := g z
definiert ist, diskrete Exponentialfunktion. Die Umkehrfunktion heißt diskreter Logarithmus
auf G zur Basis g.
Es sei p := 13, so betrachten wir alle Potenzen von 2 (mod 13):
x
2x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7
Hieraus ergibt sich für die zyklische Gruppe der Ordnung 13 eine diskrete Logarithmentafel:
x
log2 (x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1 4 2 9 5 11 3 8 10 7 6
Interessant ist lediglich, daß es für ausreichend große Primzahlen kaum möglich ist, in
angemessener Zeit die obige Logarithmentafel zu erstellen1 . Dies benützt man z.B. beim
Diffie-Hellman Verfahren (Verwendung bei PGP) welches folgendes Problem behandelt:
1
Allerdings hat Briggs ca 1616 nicht ganz 7 Jahre zur Berechnung von 14-stelligen Logarithmen von ca
30000 Zahlen benötigt, – heute braucht man eher länger für das Drucken als für das Rechnen.
4.1. Halbgruppen und Gruppen
139
A und B wollen zwecks Verschlüsselung eine Schlüsselzahl K gemeinsam benützen (etwa um
danach Nachrichten damit zu verschlüsseln, zu senden bzw. zu empfangen und entschlüsseln,
die nur zwischen A und B ausgetauscht werden sollen). Das Problem besteht nun in “unsicherer” Datenleitung, sodaß solches K “abgehört” werden kann.
Beim Diffie-Hellman Verfahren wird ein solches K nach folgender Methode erzeugt, bzw.
zwischen A und B ausgetauscht:
1. Wie in Anmerkung 156 (S.163) gezeigt werden wird, ist die multiplikative Gruppe von
ZZ p , nämlich alle Zahlen {1, . . . , p − 1} bei Multiplikation modulo p eine zyklische Gruppe. Sie sei unser G.
Rechner A und B einigen sich auf eine Primzahl p, um G := {1, . . . , p − 1} zu benützen,
und ein Element g ∈ G, sodaß G = hgi. z.B. in unserem Fall p = 13 und g := 2.
2. A und B tauschen p, g aus.
3. A und B erzeugen Zufallszahlen a, b ∈ {2, . . . , p − 2}, A sendet g a an B und B sendet g b
an A. Wenn z.B. a := 3 und b := 7 ist, sendet A 23 = 8 an B und jener 27 = 11 an A.
4. Es wird von A das Element (g b )a und von B das Element (g a )b berechnet. Nun haben sowohl A als auch B das gleiche Elment K = g ab errechnet, welches zu weiteren
Methoden des Verschlüsselns benützt werden kann, etwa zur Benützung des El-Gamal
Verfahrens, bei dem noch 2 ≤ K ≤ p − 2 sicherzustellen ist. Das Element K selbst ist
nicht auszutauschen, jedoch darf g K publik gemacht werden, weil man ja annimmt,
daß der g-Logarithmus von g K , nämlich K, nicht leicht berechenbar ist.
In unserem Fall ist K = (23 )7 = 221 = 2 · 1024 · 1024 = 2 · 10 · 10 = 5 (alle Rechnungen
modulo 13) und 2K = 6.
Anmerkung 122 (Allgemeine Produkt- und Summennotation) Ist G kommutatives Monoid und I eine Menge, sowie f : I → G eine Funktion mit Werten in G, so
heißt tr(f ) := {i ∈ I | f (i) 6= 1} (bzw. in additiver Notation {i ∈ I | fQ
(i) 6= 0} Träger von
f . Für eine Funktion f : I → G mitendlichem Träger
wird
rekursiv
i∈∅ f (i) := 1 (bzw.
P
Q
Q
i∈∅ f (i) := 0) und
i∈I f (i) :=
i∈I\{i0 } f (i) f (i0 ), wobei i0 ∈ I beliebig wählbar
P
ist (bzw.
i∈I\{i0 } f (i) + f (i0 )) definiert.
Als Konsequenz des Assoziativ- bzw. Kommutativgesetzes gilt für jede Partition {Il |
l ∈ L} von I


Y
Y Y

f (i) =
f (i) ,
i∈I
l∈L
X
X
i∈Il
bzw. in additiver Notation:
i∈I
f (i) =
l∈L


X

f (i) .
i∈Il
140
Algebra
Weiters ergeben sich für f : I × J → G die folgenden Formeln:


!
Y Y
Y
Y Y

f (i, j) =
f (i, j) =
f (i, j) =
(i,j)∈I×J
i∈I
j∈J
j∈J
i∈I
Y
f (i, j),
(j,i)∈J×I
bzw., in additiver Notation:
X
(i,j)∈I×J
f (i, j) =
X
i∈I


!
X
X X

f (i, j) =
f (i, j) =
j∈J
j∈J
i∈I
X
f (i, j).
(j,i)∈J×I
Anmerkung eines Buchhalters: In der Summenschreibweise bedeutet das Partitionieren der
Indexmenge I, daß man die zu addierende Posten f (i) in Gruppen zusammenfaßt (Gruppe
im buchhalterischen Sinn) und danach die Werte der Gruppensummen addiert. Das Produkt
I × J bedeutet, daß die Werte f (i, j) in einem Tableaux (Mathematiker sprechen wohl eher
von Matrix vgl. 3.tes Beispiel in der Tabelle vor Anmerkung 33 (S.42)) angeordnet sind,
danach Zeilensummen ermittelt und schließlich die Zeilensummen addiert werden. Wenn man
in analoger Weise Spaltensummen addiert, kommt man zum gleichen Ergebnis.
4.1.2
Kongruenzen und Homomorphismen von Halbgruppen, Gruppen und
Wirkungen
Zwei Figuren in der Ebene sind “kongruent”,
wenn sie “deckungsgleich” sind, d.h., wenn man
sie durch eine “ebene Bewegung” ineinander
überführen kann. Beschränkt sich auf das Bei2
11
spiel eines regelmäßigen m-Ecks (in der Figur ist
11
11
m = 6), so bilden jene Drehungen um eine ver
11
tikale Achse, welche das m-Eck in ein deckungs11
m
=
6
11
gleiches überführen, die Rosettengruppe ZZ m der
11
Drehungen
1
Ordnung m, wie in Beispiel 117 (S.137) 2. schon
1
3 11 ∼ Rechnen mod 6
0
angedeutet worden ist: Ist S Drehung (entgegen
11
Z6
11∼ Rechnen in Z
dem Uhrzeigersinn) um den Winkel 2π
m , so ist
1
11
S m = I. Es genügt dabei mit den Exponenten
11
k
l
k+l
11
m ∈ ZZ zu rechnen, weil stets S S = S
gilt.
Weil aber S m = I ist, wird auf ZZ eine Relation
4
5
‘≡’durch k ≡ l dadurch festgelegt, daß k und l
bei Division durch m den gleichen Rest r mit
0 ≤ r ≤ m − 1 ergeben. Es bewirken S m und S r
die gleiche Repositionierung des m-Ecks.
Die Relation ‘≡’ ist ein einfaches Beispiel einer Kongruenzrelation auf einer Gruppe (hier
(ZZ, +)). Falls z.B. m = 6 ist, so ist 17 ≡ 11 ≡ 5 ≡ −1 etc. Man erkennt, daß k ≡ l genau dann
4.1. Halbgruppen und Gruppen
141
gilt, wenn k − l ein Vielfaches von m ist. Tatsächlich, 17 − 11 = 6 × 1. Deshalb macht man
sich schnell klar (zumindest am Beispiel), daß k ≡ l und k 0 ≡ l0 stets k + k 0 ≡ l + l0 nach sich
zieht. Dies ist jene Eigenschaft, die aus einer Äquivalenzrelation auf ZZ eine Kongruenzrelation
macht. Allgemein hat man:
Definition 123 (Kongruenzen in einer (Halb)gruppe) Eine Kongruenzrelation auf einer Halbgruppe G ist eine Äquivalenzrelation ≡, derart, daß u ≡ u0 und v ≡ v 0 stets uv ≡ u0 v 0
nach sich zieht.
Ein Halbgruppenhomomorphismus f : G → G0 erfüllt für alle g, h ∈ G die Bedingung
f (gh) = f (g)f (h). Ein Monoidhomomorphismus erfüllt zusätzlich f (1G ) = 1G0 . Sind G und
G0 Gruppen, so ist f ein Gruppenhomomorphismus, wenn f Monoidhomomorphismus ist.
Ein Homomorphismus, der eine Bijektion ist, heißt Isomorphismus.
Beispiel 124 Einfache Beispiele
1. (Kongruenz modulo einem linearen Teilraum)
Es sei G gleich IR3 mit der Vektoraddition und
U = L(~e1 , ~e2 ). Für Vektoren ~a, ~b soll ~a ≡ ~b gelten, falls ~a −~b ∈ U gilt. Es liegt eine Kongruenzrelation vor: ~a −~b ∈ U und ~a0 −~b0 ∈ U impliziert
nach kurzer Rechnung ~a + ~a0 − (~b + ~b0 ) ∈ U , also
~a +~a0 ≡ ~b + ~b0 . Jede Äquivalenzklasse ist eine zu
U parallele Ebene von der Form ~a + U .
U
I
/A
~a ~b
/
/
~b − ~a ∈ U Lineares Gleichungssystem: Sei A : IRn → IRm eine lineare Abbildung (gegeben
durch die m×n-Matrix A). Für ~x, ~y in IRn setzen wir ~x ≡ ~y genau dann, wenn A~x = A~y
gilt. Es liegt eine Kongruenzrelation auf IRn vor und die Äquivalenzklassen sind von
der Form ~a + ker A. Da A(~a + ker A) = A~a gilt, ist somit jede solche Äquivalenzklasse
die Gesamtheit aller Lösungen des linearen Gleichungssystem A~x = ~b für gegebenes ~b,
wobei ~a eine (beliebige) partikuläre Lösung des Systems ist.
Im obigen Beispiel wären n = 3, m = 1 und A = (0 0 1). Der Kern von A ist dann U
wie oben angegeben.
2. Auf der Halbgruppe aller n×n-Matrizen mit Eintragungen im Körper K bezüglich Multiplikation wird durch A ≡ B ⇔ det(A) = det(B) eine Halbgruppenkongruenzrelation
festgelegt. Der zugehörige Homomorphismus f ist die Determinantenfunktion (wegen
des Multiplikationssatzes für Determinanten).
Beschränkt man sich auf die invertierbaren Matrizen, so entsteht eine Gruppenkongruenzrelation. Der Kern von f , d.i. jene Elemente A mit f (A) = 1, besteht aus allen
Matrizen mit Determinante gleich 1.
142
Algebra
Anmerkung 125 (Kongruenz und (Halb)gruppenhomomorphismus) Es ist
üblich, schlicht von Homomorphismus zu sprechen, wenn keine Verwechslung zu befürchten ist.
Die Begriffe Kongruenz und Homomorphismus sind in folgendem Sinne äquivalent: Ist
≡ eine Kongruenzrelation auf G, so kann eine Multiplikation auf G/ ≡ durch ḡḡ 0 := gg 0
definiert werden, und f : G → G/ ≡, definiert durch f (g) := ḡ (die Äquivalenzklasse von
g) erweist sich als Homomorphismus. Es wird G/ ≡ mit dieser neuen Multiplikation als
Quotienten- oder Faktor(halb)gruppe bezeichnet.
Ist umgekehrt f : G → G0 ein Homomorphismus, so ist die Relation g ≡ g 0 falls
f (g) = f (g 0 ) ist, eine Kongruenzrelation auf G.
Beispiel 126
1. In Beispiel 124 (S.141)1. war die Kongruenz in einem Vektorraum durch
~a ≡ ~b durch ~a −~b ∈ U gegeben. Als Homomorphismus bekommt man die Quotientenabbildung, bei der solche Vektoren ~a und ~b stets identifiziert werden.
In 2. erweist sich die Determinantenfunktion als Halbgruppenhomomorphismus von
der Halbgruppe aller n × n-Matrizen in den Skalarkörper. In der M2 ist das genau der
Determinantenmultiplikationssatz.
2. Es sei G ein beliebiges Monoid, {e} das triviale Monoid (d.h. ee = e) und f : G → {e}
durch f (g) := e für alle g ∈ G gegeben. Dann ist f ein Monoidhomomorphismus, den
man trivial nennt.
3. (Restklassenaddition in Z
Z modulo m) Es sei (ZZ, +) die Gruppe der ganzen Zahlen
mit der Addition. Sei m > 0 in ZZ. Es sei x ≡ y, falls es ein k ∈ ZZ mit y = x + km
gibt. Dies ist die übliche Kongruenzrelation mod m. Die Menge der Äquivalenzklassen
ist {0̄, . . . , m − 1}. Die Addition in ZZ/ ≡ ist definiert als x̄ + ȳ := x + y. Es sei f : ZZ →
ZZ/ ≡ die Abbildung, die jedem z ∈ ZZ das Element z̄ zuordnet.
? Wie kann man die Addition in ZZ m ausdrücken?
Jede Zahl z ∈ ZZ ist eindeutig in der Form z = km + r mit k ∈ ZZ und 0 ≤ r ≤ m − 1
darstellbar. Es sei r(z) die Bezeichnung für den Rest bei vorgegebenem z.
Auf ZZ m = {0, 1, . . . , m − 1} wird durch
x+y
x ⊕ y :=
x+y−m
falls x + y < m
sonst
eine Addition definiert, sodaß (ZZ m , ⊕) eine kommutative Gruppe ist (bitte checken!).
Dann ist r : ZZ → ZZ m ein Gruppenhomomorphismus, weil laut Definition r(x + y) =
r(x) ⊕ r(y) gilt.
4. (Exponential- und Logarithmusfunktion als Homomorphismen) Es sei G := IR
und H := IR+ die Menge der positiven reellen Zahlen. Weiters sei f : IR → IR+ durch
f (x) := ex definiert. Nun läßt sich die bekannte Formel ex+y = ex ey als Gruppenhomomorphismus von (IR, +) nach (R+ , .) interpretieren.
4.1. Halbgruppen und Gruppen
143
Es läßt sich der natürliche Logarithmus ln : IR+ → IR als Gruppenhomomorphismus
interpretieren, weil die für alle positiven x, y erfüllte Gleichung ln(xy) = ln x + ln y
geradewegs die Bedingung dafür ist, daß ln ein Homomorphismus ist. Da ln und exp
zueinander inverse Funktionen sind, sind sie Isomorphismen.
5. Es sei alles wie in Beispiel 36 (S.44), 1., insbesondere sei, wie eben dort, A eine Menge
von Aussageformen von der Form α(x) mit x einer Variablen und M eine Menge.
Wegen Anmerkung 3 (S.14) ist (A, ∧) und wegen Anmerkung 10 (S.26) ist (P(M ), ∩)
eine kommutative Halbgruppe. Demnach erweist sich das im zitierten Beispiel definierte
f mit f (α) := {m ∈ M | α(m)} als Halbgruppenhomomorphismus.
4.1.3
Unter(halb)gruppen, Nebenklassenzerlegung, Normalteiler
Definition 127 (Unter(halb)gruppe, Teilmonoid) Eine Teilmenge H einer Halbgruppe
G heißt Unterhalbgruppe, falls aus x, y ∈ H stets xy ∈ H folgt. Ist G ein Monoid, so ist H
Teilmonoid, falls H Unterhalbgruppe und 1 ∈ H ist. Ist G Gruppe, so heißt H Untergruppe,
falls H Teilmonoid und mit jedem x ∈ H auch x−1 ∈ H ist.
Definition 128 (Nebenklassen(zerlegung)) Ist G eine Gruppe, H eine Untergruppe, und
x ∈ G so heißt xH := {xh | h ∈ H} Linksnebenklasse von H. Die zugehörige Äquivalenzrelation xRy, definiert durch xH = yH ergibt eine Partition von G, die man Zerlegung von G in
Linksnebenklassen nennt und als G \ H bezeichnet2 . Es ist (G, G \ H) eine Gruppenwirkung,
wenn man g(xH) := (gx)H definiert. Jeder Schnitt (siehe Definition 26 (S.35)) s : G\H → G
heißt Nebenklassenrepräsentantensystem.
Beispiel 129 Einfache Beispiele
1. (Rechnen in Z
Z modulo m) Ist H = mZZ die Untergruppe aller durch m ∈ IN
teilbaren Zahlen in (ZZ, +), so besteht die Nebenklasse 1 + H, das ist jene die 1 enthält,
aus allen Zahlen der Form 1 + km. Für m = 3 sind das alle “fetten” Punkte:
...
•−2
·−1
·0
•1
·2
·3
•4
...
Offenbar kann man ZZ in genau drei Nebenklassen zerlegen: 3ZZ, 1 + 3ZZ und 2 +
3ZZ. Geometrisch versteht man diese Nebenklassen, wenn man ZZ “aufwickelt”, wobei
jeder “Spulengang” genau die “Länge 3” hat. Punkte in der selben Nebenklasse werden
übereinandergewickelt.
Da G kommutativ ist x + H = H + x die gleiche Nebenklasse.
2
Leider das gleiche Symbol wie bei der Mengendifferenz.
144
Algebra
2. (Rechnen in IR modulo 2πZ
Z)
Ist G = IR und H = {2πk | k ∈ ZZ}, so ist die
Nebenklasse 1+H die Menge aller reellen Zahlen
der Form 1 + 2kπ mit k ∈ ZZ, d.i. 1 + 2πZZ.
Eine 2π-periodische Funktion nimmt somit auf
der ganzen zu 1 gehörigen Nebenklasse stets den
gleichen Wert an!
Hier gibt es zu jeder Zahl 0 ≤ x < 2π genau eine
Nebenklasse der Form x+2πZZ. In der Skizze ist
diese Nebenklasse die Menge aller jener Punkte,
welche die gleiche Vertikalprojektion wie x in
den “Basiskreis” besitzen. Die eingezeichneten
Punkte sind die Klasse von x = 0, d.i. die Menge
2πZZ.
3. Es sei G aller regulären 2 × 2 reellen Matrizen und H die Untergruppe der oberen
Dreiecksmatrizen. Da die Gruppe G nicht kommutativ ist, kann man für Nebenklassen
nicht xH = Hx erwarten.
0 1
a b
0 1
=
, so ist Hx die Menge aller Matrizen der Form
Nehmen wir x =
1 0
0 c
1 0
0 c
a b
0 1
b a
, wobei a, b, c in IR
=
und xH jene der Bauart
a b
0 c
1 0
c 0
und ac 6= 0 ist. Für a = b = c = 1 erkennt man, daß tatsächlich xH 6= Hx gilt.
Anmerkung 130 (Komplexprodukt,
von
Teilmenge
erzeugte
Unter(halb)gruppe) Das Komplexprodukt AB zweier Teilmengen A und B einer
Halbgruppe G ist durch
AB := {ab | a ∈ A ∧ b ∈ B}
definiert (in additiver Notation A + B = {a + b | a ∈ A ∧ b ∈ B}). Weiters wird rekursiv
A1 := A und An+1 := An A definiert und für Monoide A0 := {1}.
Ist A Teilmenge einer Halbgruppe (eines Monoids, einer Gruppe mit a ∈ A ⇒ a−1 ∈ A),
so versteht man unter der/dem S
von A erzeugten S
Unterhalbgruppe (Untermonoid, bzw.
∞
n (hAi :=
n
Untergruppe) die Menge hAi := ∞
A
n=1
n=0 A für Monoid und Gruppe, um
auch das Einselement einzuschließen).
Man darf An als {a1 a2 . . . an | (∀i)1 ≤ i ≤ n ∧ ai ∈ A} ansehen, also sich ähnlich wie die
Wörter von der Länge n im freien Monoid vorstellen.
Es mag eine gute Übung sein, die Begriffe in additiver Notation zu formulieren.
Beispiel 131 Einige Beispiele:
4.1. Halbgruppen und Gruppen
145
1. (ZZ, +) ist Untergruppe von (IR, +).
2. (IN, ·) ist Teilmonoid3 . von (ZZ, ·).
3. (IN ∪ {0}, +) ist Teilmonoid von (ZZ, +).
4. Die Menge der geraden Zahlen in IN ist bezüglich der Multiplikation Unterhalbgruppe
von ZZ, jedoch kein Teilmonoid (es fehlt das 1-Element!).
5.
? Ist jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe zyklisch? Ist jede Unterhalbgruppe
einer Halbgruppe zyklisch? Ist jedes Teilmonoid eines zyklischen Monoids zyklisch?
Antwort: Die 1.te Frage ist mit “JA” zu beantworten. Weil G zyklische Gruppe ist, ist
jedes Element in G Potenz eines Elements x ∈ G. Ist {1} =
6 H eine Untergruppe, so
gibt es ein h ∈ H, mit kleinstmöglichem k, sodaß h = xk ist. Ist y ∈ H beliebig, so
ist y = xn . Nun benützt man Division mit Rest, um n in der Form n = kl + r mit
0 ≤ r ≤ k − 1 anzuschreiben. Dann ist
xn = xkl+r = (xk )l xr
also
xr = xn (xk )−l ∈ H
wegen der Abgeschlossenheit unter der Gruppenmultiplikation. Weil aber 0 ≤ r < k ist,
muß r = 0 und somit ist y eine Potenz von xk , d.h. H ist zyklisch.
Für Halbgruppen ist das nicht immer der Fall: Die Teilmenge U := {2k + 3l | k, l ∈ IN }
ist nicht zyklische Unterhalbgruppe der Halbgruppe (IN, +).
Auch für Monoide ist die Antwort “NEIN”: Es ist U ∪ {0} nicht zyklisches Teilmonoid
von (IN ∪ {0}, +).
Wie Nebenklassenzerlegung nach einer Untergruppe entsteht, kann in Beispiel 262 (S.280)
ermessen werden.
Ist G endlich, so ergibt sich sofort der Satz von Lagrange:
Anmerkung 132 (Satz von Lagrange) Die Ordnung4 jeder Untergruppe einer endlichen Gruppe G ist ein Teiler der Gruppenordnung. Insbesondere ist die Ordnung jedes
Elements der Gruppe ein Teiler der Gruppenordnung. Weiters, wenn xm = 1 ist, dann
ist die Ordnung von x ein Teiler von m.
Beweis: Es muß nur gezeigt werden, daß für alle x ∈ G die Nebenklasse xH gleich viele
Elemente wie H enthält. Ist x ∈ H, so ist das klar. Andernfalls definieren wir eine Abbildung
f : H → xH, indem f (h) := xh gesetzt wird. Es ist f injektiv, weil aus f (h) = f (h0 ) sofort
xh = xh0 also h = h0 folgt. Da f surjektiv ist, ist f bijektiv.
3
4
Es ist wie in [29] die Menge der natürlichen Zahlen gleich IN = {1, 2, 3, . . .}
Definition 116 (S.136)
146
Algebra
Die nächste Behauptung besagt für ein beliebiges Element g ∈ G, daß seine Ordnung5 ,
d.i. die Ordnung von H := hgi die Gruppenordnung teilt, somit folgt dies aus dem Satz von
Lagrange. Schließlich sei xm = 1 und k die Ordnung von x. Dann kann mittels Division mit
Rest ein 0 ≤ r < k und q ∈ ZZ mit m = kq + r gefunden werden. Somit ist 1 = xm = xkq+r =
(xk )q xr = 1k xr = xr , also xr = 1. Weil aber k die Ordnung von x ist, und 0 ≤ r < k gilt,
muß r = 0 sein, und k Teiler von m. W.z.b.w.
Beispiel 133 (Satz von Lagrange und Bestimmung der Ordnung einer Symmetriegruppe)
Wie in Beispiel 120 (S.138) ist die “Zähligkeit” einer Symmetrieachse (etwa beim Würfel die Achse durch den vorderen und hinteren Flächenmittelpunkt) gleich der Ordnung
der Drehung um diese Symmetrieachse.
? Ordnung der Drehgruppe G eines Würfels?
Teilantwort: Die Drehungen S (um den Flächenmittelpunkt)
und T (um die Raumdiagonale) haben die Ordnung 4 bzw.
3. Wegen des Satzes von Lagrange ist die Ordnung von G
sowohl durch 4 als auch 3, mithin durch 12 teilbar. Man
kann zeigen daß die Ordnung gleich 24 ist (Beim Beweis
berücksichtigt man die Drehungen um Achsen durch diagonal gegenüberliegende Kantenmittelpunkte).
Um den Begriff des Normalteilers einer Gruppe zu verstehen, vorweg ein Beispiel:
Beispiel 134 Es sei G = ZZ, die ganzen Zahlen und H := 3ZZ (alle Vielfachen von 3). Dann
kann man die Quotientenmenge G/H bilden und das übliche “Rechnen modulo 3” erweist
sich als Rechnen in G/H. Dieses Modulo-Rechnen besteht darin, Nebenklassen x + H und
y + H zu addieren, indem man x + y + H bildet.
Zum Unterschied sei jetzt G = S3 , die Gruppe aller 6 Symmetrien des gleichseitigen Drei11
ecks.
1
111
1 und H die Untergruppe, welche 1 festläßt. Nun möchte man z.B. die Ne
2
3
benklasse xH mit yH multiplizieren, also versucht man xHyH := xyH. Das sollte z.B.
mit x = y gleich der Drehung um 60 Grad funktionieren. Wir beschreiben die Elemente
123
123
von G als Permutationen, z.B. ist x = ( 123
231 ). Man findet xH = {( 231 ), ( 321 )} und somit
123
123
123
123
2
xHxH = {I, ( 123
312 ), ( 213 ), ( 132 )} und xxH = {( 312 ), ( 321 )}. Somit kann xHxH = x H nicht
gebildet werden.
Hingegen funktioniert das für N := {I, x, x2 }, wie man sich ein wenig selbst überlegen
möge. Das liegt daran, daß N Normalteiler von G ist.
Die folgende etwas allgemein gehaltene Motivation kann man zunächst durchaus “überlesen”.
5
Definition 118 (S.137)
4.1. Halbgruppen und Gruppen
147
Beispiel 135 (Motivation des Normalteilers mittels Homomorphismen) Ist G eine
Gruppe und ≡ eine Kongruenzrelation, so bilden die Elemente N := {n ∈ G | n ≡ 1} eine
Untergruppe: Die Reflexivität besagt 1 ≡ 1, also 1 ∈ N . Sind m, n ∈ N , dann ist m ≡ 1 und
n ≡ 1, somit, wegen der Kongruenzeigenschaft, mn ≡ 1, also mn ∈ N . Schließlich folgt aus
n ≡ 1 wegen der Kongruenzeigenschaft auch n−1 n ≡ n−1 , also n−1 ≡ 1, somit n−1 ∈ N .
Unser N hat noch eine Eigenschaft: Aus n ≡ 1 und x ∈ G folgt x−1 n ≡ x−1 und durch
Multiplizieren von rechts mit x sofort x−1 nx ≡ 1, also ist mit n ∈ N stets xnx−1 ∈ N , also
xN x−1 ⊆ N . Andrerseits, wenn man x durch x−1 ersetzt, erkennt man x−1 N x ⊆ N , bzw.
durch Multiplikation von links mit x und von rechts mit x−1 bekommt man N ⊆ xN x−1 .
Insgesamt hat man also xN x−1 = N .
Ist umgekehrt N eine Untergruppe mit xN x−1 = N für alle x ∈ G, so ist die durch x ≡N y,
falls xy −1 ∈ N definierte Relation eine Kongruenzrelation auf G.
Definition 136 (Normalteiler, Quotientengruppe) Eine Untergruppe N einer Gruppe
G heißt Normalteiler von G, im Zeichen N / G, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:
• Für alle g ∈ G ist gN g −1 = N .
• Für alle g ∈ G ist gN = N g := {ng | n ∈ N }.
• Die in Definition 128 (S.143) beschriebene Äquivalenzrelation auf G, nämlich x ≡ y
genau dann, wenn xN = yN gilt, ist eine Kongruenzrelation.
• Es gibt eine Kongruenzrelation ≡ auf G mit N = {x ∈ G | x ≡ 1}.
• Es gibt einen Gruppenhomomorphismus f : G → G0 mit N = {x ∈ G | f (x) = 1}. (In
diesem Fall nennt man N = f −1 (1) den Kern von f ).
Die Menge der Äquivalenzklassen6 bezüglich der von N bestimmten Kongruenz sind die Nebenklassen mod N und die Quotientenmenge wird mit G/N bezeichnet und Quotientengruppe
oder auch Faktorgruppe genannt. Auf ihr ist klassenweise Multiplikation definiert im Sinne
von Anmerkung 125 (S.142).
Beispiel 137 Beispiele hierzu:
1. Ist G kommutativ, so ist jede Untergruppe Normalteiler, jedoch nicht umgekehrt.
z.B.: Die Quaternionengruppe G = {±1, ±i, ±j, ±k} kann durch eine Kongruenzrelation, die durch das konfluente, antisymmetrische und noethersche TES
ji → −ij, ki → −ik, kj → −jk, ii → −1, jj → −1, kk → −1
im Sinne von Definition 248 (S.268) festgelegt wird, definiert werden. Sie ist nicht
kommutativ, jedoch ist jede Untergruppe Normalteiler.
6
Definition 26 (S.35)
148
Algebra
2. Es sei ein gleichseitiges Dreieck mit Eckpunkten A, B, C in der Ebene gegeben. Die
Symmetrien, welche dieses Dreieck in sich überführen, können durch Permutationen
dieser Eckpunkte beschrieben werden und wir geben zunächst die Identität, Spiegelung
an der Seitensymmetralen durch die Seite AB und Drehung um 120 Grad an:
C C B A B
A B
A C
I :=
, s :=
, d :=
C
C
A B
B A
BC A
C
A
C
s
B
B
A
A
d
B
C
Nun bekommt man entweder ähnlich wie zu Beginn von Unterabschnitt 4.1.2 oder
durch Rechnen mit den Permutationen, daß
G = {I, d, d2 , s, sd, sd2 }
und es gilt s2 = (sd)2 = d3 = I. Ein noethersches, antisymmetrisches und konfluentes
TES7 , welches die Kongruenz im Sinne von Anmerkung 250 (S.268) ergibt, ist
s2 → I, d3 → I, ds → sd2 .
Nun sei H := {I, s}, dann ist H eine Untergruppe. Um zu zeigen, daß H kein Normalteiler ist, bemerken wir Hd = {d, sd}, jedoch dH = {d, ds} = {d, sd2 }, also dH 6= Hd
ist.
Die Menge N := {I, d, d2 } ist eine Untergruppe, wie man leicht einsieht. Wir wollen
zeigen, daß N /G ist. Es ist sN = {s, sd, sd2 } und N s = {s, ds, dds}, und weil ds → sd2 ,
bzw. dds → dsd2 → sdddd → sd gilt, hat man sN = N s. Da G sechs Elemente hat,
kann N nur zwei Nebenklassen, nämlich N und sN haben. Somit ist N / G gezeigt.
¯
Nun hat G/N genau 2 Elemente, I¯ und s̄ und es gilt s̄s̄ → I.
3. (volumstreue lineare Transformationen) Es sei G die Menge aller regulären n × nMatrizen (d.h. Determinante nicht Null) und N die Teilmenge aller Matrizen A mit
det A = 1.
? Ist N ein Normalteiler?
Antwort: Ja. Wegen des Determinatenmultiplikationssatzes ist für det x = det y = 1
auch det(xy −1 ) = det(x) det(y −1 ) = det(y)−1 = 1, also N eine Untergruppe. Ist g ∈ G
| {z }
=1
7
Definition 248 (S.268)
4.1. Halbgruppen und Gruppen
149
und x ∈ N , so ist det(g −1 xg) = det(g)−1 det(x) det(g) = det(x) = 1, also mit jedem
x ∈ N auch g −1 xg ∈ N .
4. (Translationen als Normalteiler der affinen Gruppe) Eine affine Transformation
im k-Vektorraum V ist eine Funktion der Form f (x) = Ax+b mit A invertierbare lineare
Abbildung und b ∈ V .
? Ist die Menge G aller affinen Abbildungen bezüglich Komposition eine Gruppe?
Antwort: Ja. Sei f (x) = Ax + b und g(x) = Cx + d. Dann ist gf (x) = g(Ax + b) =
C(Ax + b) + d = CAx + (Cb + d), also von der gleichen Form wie f und g. Somit ist G
Monoid, weil f (x) = Ix + 0 Einselement ist. Um die Inverse zu f zu bestimmen, genügt
es, x = Ay + b nach y zu lösen und findet f −1 (x) = A−1 (x) − A−1 b. Somit ist G eine
Gruppe.
? Ist die Menge N := {f ∈ G | f (x) = x + b, b ∈ V } aller Translationen ein Normalteiler?
Antwort: Ja. Man prüft leicht nach, daß N eine Untergruppe ist. Sei nun f ∈ N , also
f (x) = x+b. Sei g ∈ G von der Form g(x) = Ax+a. Dann ist g −1 f g(x) = g −1 (f (g(x)) =
g −1 (g(x) + b) = x + g −1 (b), also wieder ein Element in N .
4.1.4
Halbgruppen mit Kürzungseigenschaft und Erweiterung zu Gruppe
von Quotienten
Die Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen und der Brüche aus den ganzen
Zahlen (ungleich Null) haben eine Gemeinsamkeit, nämlich im ersten Fall IN mit der Addition,
im zweiten ZZ \ {0} als Halbgruppe mit Kürzungseigenschaft zu einer Gruppe zu erweitern:
Definition 138 (Kürzungseigenschaft in Halbgruppe) In einer Halbgruppe G gilt die
Links- bzw. Rechtskürzungseigenschaft, wenn aus ab = ac (bzw. ba = ca) stets b = c gefolgert
werden darf.
Beispiel 139 Als wichtigstes Beispiel nehme man das freie (kommutative) Monoid über einem Alphabet X. Es hat sowohl die Links- als auch Rechtskürzungseigenschaft. Insbesondere
hat IN bezüglich der Addition (als freies Monoid über dem Alphabet {1}) diese Eigenschaft.
Natürlich hat jede Gruppe die Rechts- und Linkskürzungseigenschaft.
Weiters hat IN bezüglich der Multiplikation die (Links)kürzungseigenschaft.
Anmerkung 140 (Erweitern von ’+’ zu ’-’ bzw ’×’ zu ’/’ in kürzbarer Halbgruppe) Es sei (G, ·) eine kommutative Halbgruppe mit Kürzungseigenschaft. Dann gibt
es eine Gruppe G̃ und einen injektiven Halbgruppenhomomorphismus φ : G → G̃. Ist G
ein Monoid, so kann G̃ als Menge aller “Brüche” der Form (g, h) mit g, h ∈ G angesehen
werden, wobei (g, h) ≡ (g 0 , h0 ) gesetzt wird, falls gh0 = g 0 h ist8 .
In additiver Schreibweise hätte man (g, h) ≡ (g 0 , h0 ) genau dann, wenn g + h0 = g 0 + h.
150
Algebra
Beweis: Zunächst kann man “künstlich” ein Einselement “hinzufügen”. Es sei e 6∈ G ein
Element (z.B. die Menge {G}), so erweitert man die Operation in G, indem man eg = ge = g
für alle g ∈ G und ee = e definiert. Danach hat G ∪ {e} immer noch die entsprechenden
Kürzungseigenschaften. Ab nun nehmen wir an, daß G bereits ein kommutatives Monoid mit
Kürzungseigenschaft ist. Nun bildet man G × G und definiert (g, h)(g 0 , h0 ) := (gg 0 , hh0 ). Es ist
nicht schwierig einzusehen, daß G×G eine kommutative Halbgruppe mit Kürzungseigenschaft
ist. Wir sagen (g, h) ≡ (g 0 , h0 ), falls gh0 = g 0 h gilt. Es liegt eine Kongruenzrelation vor:
aus (g, h) ≡ (g 0 , h0 ) und (u, v) ≡ (u0 , v 0 ) schließt man wegen gh0 = g 0 h und uv 0 = u0 v auf
(gu)(h0 v 0 ) = (g 0 u0 )(hv), also (gu, hv) ≡ (g 0 u0 , h0 v 0 ). Somit läßt sich die Quotientenhalbgruppe9
G̃ := G/ ≡ bilden. In G̃ gibt es ein Einselement, nämlich die Äquivalenzklasse von (e, e). Ist
(g, h) Repräsentant einer Klasse in G̃, so ist offenkundig (g, h)(h, g) = (gh, gh) ≡ (e, e),
also ist jedes Element in G̃ invertierbar, somit G̃ eine kommutative Gruppe. Wir definieren
φ : G → G̃ durch φ(g) := (g, e) (man denke an Brüche g1 ). Die Homomorphieeigenschaft ist
unmittelbar einzusehen. Wir wollen zeigen, daß φ injektiv ist und nehmen an, daß φ(g) =
(g, e) = (g 0 , e) = φ(g 0 ) gelte. Dann ist ge = g 0 e, also g = g 0 , also φ tatsächlich injektiv.
w.z.b.w.
Die nachstehende einfache Beobachtung spielt eine Rolle bei der Konstruktion endlicher
Körper (Anmerkung 156 (S.163) und nicht nur dort):
Anmerkung 141 Eine endliche Halbgruppe mit Kürzungseigenschaft ist eine Gruppe.
Beweis: Sei G eine solche Halbgruppe. Zunächst zeigen wir, daß G ein Einselement hat. Sei
a ∈ G beliebig und k, r ∈ IN minimal mit ak = ak+r . Dann ist offenbar ar ein Kandidat für
das Einselement. Um dies nachzuweisen bilden wir ak b = ak ar b, und benützen die Kürzungseigenschaft, um b = ar b abzuleiten. Nun sei f : G → G durch f (x) := ax definiert. Es ist f
injektiv, weil f (x) = f (y) g.d.w. ax = ay, also x = y gilt. Da G endlich ist, ergibt sich aus
der Injektivität f (G) = G, also gibt es ein b ∈ G mit f (b) = 1, d.h. ab = 1.
w.z.b.w.
4.2
4.2.1
Ringe und Körper
Definitionen und Allgemeines
Ringen begegnet man zunächst in der Analysis: Ist z.B. I := [0, 1] das Intervall der Länge
1, und betrachtet man die stetigen Funktionen, so weiß man, daß man mit f, g stetig, die
0
Intuition: man denke an hg = hg 0 , was genau dann der Fall ist, wenn obige Bedingung gilt. In multiplikativer Notation verwendet man diese Konstruktion beim Übergang von den ganzen Zahlen zu den rationalen
Brüchen, m.a.W. Erweitern von ZZ \ {0}, um “Dividieren” zu können. Die Relation (g, h) ≡ (g 0 , h0 ) läuft genau
darauf hinaus, zu sagen, daß “g und h im gleichen Verhältnis wie g 0 und h0 stehen, also kommensurabel im
hellenistischen Sinn” sind. Siehe auch Unterabschnitt A.2.8 (S.288).
In additiver Notation hat man den Übergang von IN zu ZZ, um die Subtraktion einführen zu können, d.i.
(g, h) ≡ (g 0 , h0 ) bedeutet (nach vollbrachter Konstruktion) g − g 0 = h − h0 , also “Gleichheit der Differenz”.
9
Unglückliches Zusammentreffen verschiedener Bedeutungen des Wortes Quotient.
8
4.2. Ringe und Körper
151
Funktion f ± g, bzw. f g bilden kann (als (f ± g)(x) := f (x) ± g(x)), bzw.10 f g(x) := f (x)g(x)
und diese Funktionen auch wieder stetig sind. Allerdings kann man f /g nicht in der gleichen
Weise bilden (z.B. dann nicht, wenn g in I eine Nullstelle hat). Die stetigen Funktionen auf I,
die ganzen Zahlen ZZ, die Menge der n × n-Matrizen erlauben ein ‘+’ und ein ‘·’ und Regeln,
die dem Konzept des Ringes entsprechen:
Definition 142 Die Ringaxiome : Ein Ring (R, +, ·) ist eine Menge R zusammen mit
zweistelligen Operationen + : R × R → R und · : R × R → R, derart daß die folgenden
Eigenschaften gelten:
• (R, +) ist eine kommutative Gruppe, die additive Gruppe
• (R, ·) ist eine Halbgruppe.
• Es gelten die Distributivgesetze:
(∀a, b, c ∈ R) a(b + c) = ab + ac ∧ (a + b)c = ac + bc.
Spezielle Elemente eines Ringes: Für weitere Eigenschaften, die Elemente im Ring
womöglich erfüllen, gibt es gesonderte Bezeichnungen:
Bedingung an a, b, c ∈ R
c = ab
0 = ab und a 6= 0 und b 6= 0
1 = ab
Benennung von a, b
a ist linker, b rechter Faktor oder Teiler von
c
a ist linker, b rechter Nullteiler.
a ist Links-, b Rechtseinheit
Im kommutativen Fall spricht man von Einheiten statt Linkseinheiten.
Ringe mit speziellen Eigenschaften:
Bedingung
(R, ·) ist Monoid
∀a, b ∈ R ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0
R ist nullteilerfrei und kommutativ
R \ {0} ist bezüglich Multiplikation
eine Gruppe
R \ {0} ist bezüglich Multiplikation
eine kommutative Gruppe
Bezeichnung für R
R hat ein Einselement
R ist nullteilerfrei
R heißt Integritätsbereich oder -ring
R ist ein Schiefkörper
R ist ein Körper
Nullteilerfreie Ringe mit 1: Für weitere Eigenschaften, die ein solcher Ring oder seine
Elemente womöglich erfüllen, gibt es gesonderte Bezeichnungen:
10
Wie in Definition 29 (S.39) angemerkt, würde man für die Komposition von f mit g, sofern sie definiert
ist, entsprechend g ◦ f schreiben.
152
Algebra
Bedingung an a, b, c, p ∈ R bzw. R
c = ab ⇒ a oder b ist Einheit
R kommutativ, p Teiler von ab impliziert stets p Teiler von a oder b
Jede Struktur auf
tieferem Niveau
“erbt” die Eigenschaften einer
höheren, mit ihr
durch eine Linie
verbundenen.
Bezeichnung
c ist irreduzibel oder unzerlegbar
p ist Primelement
lll
lll
l
l
lll
lll
hat 1 Element
R ist Ring
RRR
RRR
RRR
RRR
R
nullteilerfrei
lll
lll
l
l
ll
lll
kommutativ
lll
lll
l
l
ll
lll
Schiefkörper X
Integritätsbereich
XXXXX
QQQ
XXXXX
Q
XXXXX
QQQ
XXXXX
XXXXX QQQQQ
XXXXX Q
XX
Körper
Beispiel 143 Es gibt vielfältige Beispiele zu Ringen:
1. Es ist ZZ mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Integritätsbereich mit Einselement. Die geraden Zahlen bilden einen Integritätsbereich ohne Einselement.
2. (Restklassenring (Z
Z m , +, ·), d.h. Rechnen modulo m). In Beispiel 117 (S.137) ist
(ZZ m , +) als abelsche Gruppe behandelt worden. Man kann zu einem Ring (ZZ m , +, ·)
übergehen, indem x, y ∈ ZZ m zunächst als ganze Zahlen auffaßt, multipliziert, und dann
Division mit Rest xy = mg + r mit 0 ≤ r < m ausführt. Dann ist r das Ergebnis der
“Modulo m Multiplikation von x und y”.
Erleichterung: Man darf in jeder Rechnung jede der beteiligten Zahlen durch eine modulo m kongruente ersetzen (im Zeichen “≡”):
Sei m := 7, so ist
5 × |{z}
6 −(3| {z
+ 5} − |{z}
9 ) × (6 − 4) × 2
≡−1
≡1
≡2
≡ −5 − (1 − 2) × 2 × 2
≡ −5 + 4 ≡ 6.
Probe: 30 − (8 − 9) × 2 × 2 = 30 + 4 = 34 ≡ 6.
3. Q, IR und C sind Körper.
4. Es sei
a b
R := {
| a, b, c, d ∈ IR}.
c d
4.2. Ringe und Körper
153
R mit der koordinatenweisen Addition von Matrizen und dem üblichen Matrizenmultiplizieren ist ein (nicht kommutativer) Ring mit Einselement. Die Matrizen
1 0
0 0
A :=
, B :=
0 0
1 0
ergeben als Produkt die Nullmatrix, also hat der Ring Nullteiler. Wir vermerken noch,
daß BA nicht die Nullmatrix ist.
Analoges gilt in Matrizenringen von n × n-Matrizen über einem beliebigen Körper,
sofern n > 1 ist.
5. Es sei, wie in der Einleitung, I = [0, 1] das Einheitsintervall und R die Menge der auf I
stetigen Funktionen mit Werten in IR. Definiert man wie üblich, (f + g)(x) := f (x) +
g(x) und f g(x) := f (x)g(x), so kann die übliche Aussage, daß “Punktweise Addition
(Subtraktion) sowie Multiplikation von auf I stetigen Funktionen eine stetige Funktion
ergibt” so ausgesprochen werden, daß R ein kommutativer Ring mit Einselement ist.
? Hat R Nullteiler?
Antwort: Es sei f (x) := 21 − x für 0 ≤ x ≤ 12 und f (x) := 0 für 21 ≤ x ≤ 1. (Skizze!).
Danach sei g(x) := f (1 − x). Es sind f und g beide stetig auf I. Da f g(x) = 0 für alle
x ∈ I ist, sind f und g Nullteiler.
6. (Quaternionenschiefkörper) R. Hamilton gelang es, die Konstruktion der komplexen
Zahlen als Paare reeller Zahlen zu verallgemeinern. Dabei ließ er das Kommutativgesetz
fallen und fand Rechenregeln für Paare von komplexen Zahlen (Überstreichen bedeutet
im folgenden Konjugation, also x + iy := x − iy):
∀a, b, a0 , b0 ∈ C : (a, b) + (a0 , b0 ) := (a + a0 , b + b0 )
(a, b)(a0 , b0 )
:= (aa0 − bb̄0 , ab0 + ā0 b).
Es stellt sich heraus, daß C×C mit dieser Addition und Multiplikation ein Schiefkörper
ist, allerdings – ohne mehr Theorie zu betreiben, ist der Nachweis eher “längere Rechnerei”. Der Schiefkörper ist als Hamiltonquaternionen bekannt.
Eine reelle Beschreibung des Quaternionenschiefkörpers bekommt man, indem man im
Polynomring IR[i, j, k] ein Ideal mittels des sich als konfluent und noethersch erweisenden TES (jenes aus Beispiel 137 (S.147) 1.)
i2 → 1, j 2 → 1, k 2 → 1, k → ij, ki → −ik, kj → −jk, ji → −ij
definiert.
Ein Ergebnis der klassischen Algebra besagt, daß jeder endliche Schiefkörper ein Körper
ist.
7.
? Es sei (ZZ m , +, ·) der Restklassenring
Zahl m anmerken, ob ZZ m Nullteiler hat?
(mod m) wie unter 2. Wie kann man der
154
Algebra
Antwortfindung: Ist m = m1 m2 eine Faktorzerlegung, so gilt (mod m) die Gleichung
m̄1 m̄2 = 0̄. Hat umgekehrt m keine solche Zerlegung, so ist m eine Primzahl. Wäre
x̄ȳ = 0̄, so müßte definitionsgemäß ein k ∈ ZZ mit xy = km existieren. Da m prim ist,
müßte entweder x oder y von m geteilt werden, was bedeutet, daß x̄ oder ȳ Null ist.
Antwort: ZZ m ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn m prim ist.
? Ist für primes p der Ring ZZ p ein Körper?
Antwortfindung: Es ist ZZ p ein Integritätsbereich, wie soeben festgestellt worden ist.
Wenn man zeigen will, daß ein Körper vorliegt, ist es nötig zu beliebigem x ∈ ZZ p mit
x 6= 0 die Existenz eines Elements y ∈ ZZ p mit xy = 1 nachzuweisen. Dies folgt aber
aus Anmerkung 141 (S.150), weil ZZ p \ {0} eine endliche Halbgruppe mit Kürzungseigenschaft, und somit eine Gruppe ist.
Antwort: (ZZ p , +, ·) ist ein Körper. Er heißt Primkörper zur Charakteristik p.
? Wie läßt sich der endliche Körper mit minimaler Anzahl von Elementen beschreiben?
Antwort: Es muß ein Nullelement, 0 und ein Einselement 1 geben. Daß es tatsächlich
einen Körper mit 2 Elementen gibt, zeigt ZZ 2 mit der Addition und Multiplikation:
0 · 0 = 0 · 1 = 0 und 1 · 1 = 1, sowie Addition modulo 2. Der so gebildete Körper IF2 hat
Charakteristik 2.
8.
? Gilt der binomische Lehrsatz in jedem kommutativen Ring?
Antwortfindung: Wenn ab = ba ist, so hat man (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab +
ba + b2 = a2 + 2ab + b2 . Danach vollständige Induktion, so wie man es für IR oder Q
gewöhnt ist.
Die Beobachtung kann interessant sein: Wenn z.B. die quadratischen Matrizen (oder
allgemeiner – Operatoren) A und B kommutieren, so ist z.B. (A + B)3 = A3 + 3A2 B +
3AB 2 + B 3 .
Ist etwa ∆ eine k × k obere Dreiecksmatrix mit Hauptdiagonale Nullen und k ≤ n, so
ist
n
X
n j n−j
n
λ ∆ .
(λI + ∆) =
j
j=n−k
9. (Ebenes Gitter als Ring)
√
Es sei ζ := 12 (1 + i 3). Dann bilden
die Zahlen der Form k + lz mit k, l
ganzzahlig bilden einen Ring. Zeigen Sie das. Versuchen Sie auch, diesen Ring im beigefügten Bild zu “sehen”.
4.2. Ringe und Körper
4.2.2
155
Abstrakte Polynomdefinition als Terme
Polynome sind grundsätzlich “Terme” in der Sprache der Ringe.
Wenn man den Ausdruck 5x2 y +
7z hinschreibt, so sind x, y, z syntaktische Variablen11 , 2, 7, + Terminalzeichen, und man hat den
rechts skizzierten Ableitungsbaum.
Fügt man an das Polynom noch
einen weiteren Term an, sodaß etwa
5x2 y + 7z + 3xyx entsteht, so ist der
Baum von der ganz rechts abgebildeten Gestalt. Hierin sind T1 , T2 und
T3 Terme in der Sprache des freien
Monoids {3, 5, 7, x, y, z}∗ .
+
@@
@@
~~
~
@@
~~
@@
~
~
~
· CC
· ??
??
CC

CC
??

C
??

z
·
7
5
B
|| BBB
|
BB
||
BB
||
B
||
x
·?
|| ???
|
??
|
??
||
||
x
+
AA
AA
AA
AA
+
CC
CC
CC
CC
5T1
3T3
7T2
y
In diesem Sinne ist jedes Polynom eine mit Koeffizienten behaftete Summe von “Potenzprodukten”, wie es die übliche Schreibweise zum Ausdruck bringt. Diese Auffassung führt zu
folgenden zunächst sehr abstrakt klingenden Definitionen:
Definition 144 (Formale Potenzreihen und Polynome in nicht kommutierenden
Variablen) Ist R ein Ring und X eine Menge, sowie X ∗ das freie Monoid12 , so heißt jede
Funktion f : X ∗ → R (formale) Potenzreihe in den Variablen X. Der Träger von f ist die
Menge T (f ) := {m ∈ X ∗ | f (m) 6= 0}. Ist der Träger endlich, so heißt f Polynom.
Ähnlich wie im Beispiel der Einleitung definiert man (f + g)(m) := f (m) + g(m). Die
Multiplikation wird jedoch in Anlehnung an das Cauchyprodukt durch
X
f g(m) :=
f (k)g(l)
{k,l∈X ∗ |kl=m}
festgelegt. Man beachte, daß es nur endlich viele Möglichkeiten geben kann, ein festes Wort
im freien Monoid als Produkt von zwei Wörtern anzuschreiben. Daher ist die Menge {k, l ∈
X ∗ | kl = m} endlich.
∗
Mit diesen Definitionen wird RX zum Potenzreihenring (in den nicht kommutierenden
Variablen X). Die Potenzreihen mit endlichem Träger bilden den Ring der Polynome (in den
∗
Variablen X) – er wird mit RhXi bezeichnet. Es ist üblich, die Notation RhhXii := RX zu
verwenden, und jedes f formal als
X
fm m
m∈X ∗
anzuschreiben.
Addition und Multiplikation nehmen hierdurch die vertraute Form
X
X
X
fm m +
gm m =
(fm + gm )m
m∈X ∗
11
Definition 252 (S.271)
m∈X ∗
m∈X ∗
156
Algebra
und

(
X
k∈X ∗
fk k)(
X
l∈X ∗
gl l) =
X

X

m∈X ∗
fk gl  m
{k,l∈X ∗ |kl=m}
an. Schließlich, wenn man die gleichen Konstruktionen mit dem freien kommutativen Monoid
über X ausführt (jetzt dürfen alle Variablen kommutieren, vgl. die Konstruktion in Beispiel
126 (S.142) 1.), so spricht man vom Ring der formalen Potenzreihen bzw. Polynomen in den
kommutierenden Variablen X und schreibt R[[X]] bzw. R[X].
Anmerkung 145 Man stellt sich vor, daß man die Elemente in X (die Unbestimmten
oder auch Variablen) “formal” mit Koeffizienten in einem Ring R behaftet und dann solche Ausdrücke in “schulgewohnter” Weise addiert und multipliziert. Erlaubt man den
Unbestimmten zu kommutieren, so entsteht der kommutative Polynomring R[X]. Ist
X = {x} nur univariat, so schreibt man R[x]. Auch Schreibweisen R[X, Y ] etc. sind
gebräuchlich. Typische Polynome: 3x2 − 5x + 7, 8xy − 5y 3 − 4, etc.
Anmerkung 146 (Universelle Eigenschaft des Potenzreihenrings bzw. Polynomrings) Es gibt analog zur Diskussion in Beispiel 261 (S.277),7 eine universelle Eigenschaft von RhXi bzw. R[X]: Jede Abbildung f : X → S, wobei S ein Ring (bzw.
ein kommutativer Ring) ist, hat eine eindeutige Erweiterung zu einem Homomorphismus
f : RhXi → S (bzw. f : R[X] → S).
Das gilt, weil Polynome Terme sind, in die man “universell” einsetzen kann.
Beispiel 147 Hier einige Beispiele:
1. Bekanntlich läßt sich eine in einem Bereich analytische Funktion in eine Potenzreihe
P
(−1)i x2i+1
entwickeln, z.B. ist sin x = ∞
i=0 (2i+1)! . Die übliche Schreibweise wäre (in allgemeiP
i
ner Form) f (x) = ∞
i=0 ai x . In der obigen Auffassung wird das so ausgedrückt, daß
a : {x}∗ → IR eine Funktion ist. Also wäre z.B. beim Sinus a(x3 ) = − 61 .
2. Es ist 2X + 3Y ∈ ZZhX, Y i. Da X und Y nicht kommutieren, findet man (2X + 3Y )2 =
4X 2 + 6Y X + 6XY + 9Y 2 .
3. Erlaubt man im vorigen Beispiel XY = Y X, so rechnet man in ZZ[X, Y ] und es ergibt
sich 4X 2 + 12XY + 9Y 2 .
4. Jede an einem Punkt unendlich oft differenzierbare Funktion gibt Anlaß zur Definition
einer formalen Potenzreihe, nämlich, wenn f an 0 unendlich oft differenzierbar ist, so
12
Definition 246 (S.267)
4.2. Ringe und Körper
157
ergibt sich eine formale Potenzreihe, in der x die Rolle einer Variablen spielt:
T (f ) :=
∞
X
f (i) (0)
i=0
i!
xi .
Man kann zwar hier keine Werte einsetzen (um z.B. f zu approximieren), das Rechnen
in formalen Potenzreihen kann jedoch nützliche Dienste beim Berechnen von Ableitungen höherer Ordnung leisten, sogar für in einer Umgebung von Null analytische
Funktionen:
? Es seien f =
1
1−x
und g = cos x. Man berechne die 5.te Ableitung (f · g)(5) (0).
Antwortfindung: Cauchymultiplikation formaler Potenzreihen ergibt:
T (f g) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · ·)(1 −
2
4
= · · · + x x24 − x3 x2 + x5 + · · ·
1
= · · · + 24
− 12 + 1 x5 + · · ·
x2
2
+
x4
24
+ · · ·)
Teile der Rechnung, die für den Term mit x5 unerheblich sind, wurden durch ‘· · ·’ angedeutet. Jetzt besinnt man sich auf die Taylorformel, der man entnimmt, daß der
Koeffizient von x5 im Taylorpolynom vom Grad 5 für eine beliebige 5 mal an 0 diffe(5)
(5)
renzierbare Funktion h von der Form h 5!(0) ist, und findet (f ·g)5! (0) = 13
24 .
Antwort: (f · g)(5) (0) =
4.2.3
13×5!
24
= 65.
Ringe von Quotienten in einem Integritätsbereich.
Der Übergang von den ganzen Zahlen zu den rationalen, aber auch von den Polynomen zu
den rationalen Funktionen gehorcht einem allgemeinen Schema, das jetzt erläutert werden
soll.
Ist R ein Integritätsbereich, so hat R\{0} die Kürzungseigenschaft (Definition 138 (S.149))
und man kann die Konstruktion aus Anmerkung 140 (S.149) dazu benützen, um eine Gruppe
S̃ und eine Injektion φ : R \ {0} → S̃ zu definieren. Erklärt man noch (0, 1) ≡ (0, r) für alle
r 6= 0, so läßt sich eine Addition durch
(r, s) ⊕ (r0 , s0 ) := (rs0 + r0 s, ss0 )
definieren, sodaß R̃ := S̃ ∪ {(0, 1)} zu einem Ring wird.
Als Beispiel, daß das alles funktioniert, zeigen wir, daß ⊕ wohldefiniert ist: Ist nämlich
(r, s) ≡ (r1 , s1 ) und (r0 , s0 ) ≡ (r10 , s01 ), so hat man die Beziehungen rs1 = r1 s und r0 s01 =
r10 s0 , sodaß man (rs0 + r0 s, ss0 ) ≡ (r1 s01 + r10 s1 , s1 s01 ) nachweisen muß, also die Gleichung
(rs0 +r0 s)s1 s01 = (r1 s01 +r10 s1 )ss0 aus den genannten Beziehungen zu folgern sind, eine harmlose
Rechenübung. Ähnlich weist man die Gültigkeit der Rechengesetze im Ring13 R̃ nach.
13
Definition 142 (S.151)
158
Algebra
Da, wie in Anmerkung 140 (S.149) gezeigt worden ist, φ eine Injektion von R in R̃ veranlaßt, und S̃ = R̃ \ {(0, 1)} eine Gruppe ist, wird R̃ zu einem Körper. Er heißt Quotientenkörper14 des Integritätsbereichs R.
Es ist üblich, statt (r, s) die Bruchschreibweise rs zu benützen, wobei r Zähler und s Nenner des Bruches rs ist. In dieser Schreibweise gelten die aus dem Schulunterricht geläufigen
Rechenregeln für Brüche (= Quotienten):
a a0
+ 0
b
b
a a0
b b0
=
=
ab0 + a0 b
bb0
aa0
bb0
Beispiel 148 (Quotientenkörper)
1. Geht man von R := ZZ aus, so ergibt sich der Körper der rationalen Zahlen Q.
2. Geht man von R := k[x] (dem Polynomring in einer Variablen mit Koeffizienten im
Körper k) aus, so bekommt man den Körper k(x) der rationalen Funktionen15 über k.
3. Geht man von R := k[X] (dem Polynomring in den kommutierenden Variablen X mit
Koeffizienten im Körper k) aus, so bekommt man den Körper k(X) der über k rationalen
Funktionen.
4.2.4
Kongruenzen in kommutativen Ringen mit Einselement, Ideale
Der elementare Begriff der Kongruenz von ganzen Zahlen, nämlich a ≡ b (mod m), falls
a − b durch m teilbar ist, erfüllt die erste der nachstehenden Eigenschaften:
Definition 149 Es sei R ein kommutativer Ring mit Einselement.
Kongruenzrelation ≡ auf R: ist eine Äquivalenzrelation, die zusätzlich
(∀r, r0 , s, s0 )(r ≡ r0 ) ∧ (s ≡ s0 ) ⇒ (r + s ≡ r0 + s0 ) ∧ (rs ≡ r0 s0 )
erfüllt.
Ideal: Ein Ideal J in R ist ein Teilring von R, für den mit r ∈ R und j ∈ J stets rj und jr
beide in J liegen.
Ringhomomorphismus: f : R → S ist ein Ringhomomorphismus, wenn für alle a, b ∈
R stets f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a)f (b), und, im Falle der Existenz eines
Einselements in R auch S ein Einselement, nämlich f (1R ) hat.
14
Der Quotientenkörper ist kein Quotientenring im Sinne von Anmerkung 150 (S.159), sondern ein Körper,
dessen Elemente formale Quotienten aus Ringelementen sind!
15
Es sind dies leider keine Funktionen, sonder eher Terme, auch wenn man sie per Gepflogenheit so nennt.
4.2. Ringe und Körper
159
Anmerkung 150 (Kongruenz – Homomorphismus – Ideal) Die Begriffe Ringkongruenz, Ideal und Homomorphismus sind in folgendem Sinne äquivalent:
1. Ist ≡ eine Ringkongruenz, so ist J := {r ∈ R | r ≡ 0} ein Ideal. Z.B., bei der
Kongruenzrelation “modulo m” in ZZ ist J = mZZ, die Menge aller Vielfachen von
m. Ähnlich wie bei den Normalteilern kann man durch x̄ + ȳ := x + y und x̄ȳ := xy
eine neue Addition und Multiplikation auf der Menge der Äquivalenzklassen R/ ≡
definieren, und es erweist sich R/ ≡ als ein Ring, den man üblicherweise mit R/J
bezeichnet und Quotientenring16 nennt. Im Beispiel erhält man ZZ m .
Die Abbildung, die jedem r ∈ R seine Äquivalenzklasse (genannt Kongruenzklasse)
zuordnet, ist ein Ringhomomorphismus.
2. Ist J ein Ideal, so soll r ≡J r0 gelten, wenn x − y ∈ J ist. Nun überlegt man
sich ähnlich wie bei den Normalteilern (vgl. Definition 136 (S.147)), daß ≡J eine
Kongruenzrelation auf R ist, deren Ideal geradewegs J ist.
3. Nun sei f : R → S ein Ringhomomorphismus. Dann ist f −1 (0) = {r ∈ R | f (r) = 0}
ein Ideal, der Kern von f .
Ist f eine Bijektion, so spricht man von einem Ringisomorphismus, bzw. Körperisomorphismus, wenn R ein Körper ist.
Schließlich erweist sich der Durchschnitt beliebig vieler Ideale als Ideal, sodaß es insbesondere ein kleinstes Ideal im Ring gibt, welches eine vorgegebene Teilmenge A des
Ringes enthält. Dieses Ideal nennt man das von A erzeugte Ideal und bezeichnet es mit
hAiR , bzw. mit hAi, falls klar ist, welcher Ring R gemeint ist.
Besteht A = {a} aus einem einzigen Element, so heißt hai ein Hauptideal. In der
Literatur, wie etwa in [1] oder [31], werden Hauptideale eher mit (a) bezeichnet.
Beispiel 151 Beispiele hierzu:
1.
? Wie lassen sich die Kongruenzrelationen auf ZZ beschreiben?
Antwortfindung: Man muß nach den Idealen J von ZZ Ausschau halten. Ist J 6= {0} ein
solches Ideal, so gibt es eine kleinste positive Zahl m in J. Ist k ∈ J positiv, so kann
man durch Division mit Rest k in der Form k = ml + r mit 0 ≤ r < m darstellen. Weil
aber k und m in J liegen, ist das für r auch der Fall. Wegen der Minimalität von m ∈ J
muß r = 0 sein.
Antwort: Jedes Ideal in ZZ besteht aus Vielfachen einer festen Zahl.
2.
16
? Wie lassen sich bei gegebenem Körper k die Kongruenzrelationen auf k[x] beschreiben?
Nicht mit Quotientenkörper – Abschnitt 4.2.3 – verwechseln.
160
Algebra
Antwortfindung: Man muß nach Idealen in k[x] Ausschau halten. Ist J 6= {0} ein solches
Ideal, so gibt es ein Polynom m in J von kleinstem Grad. Ist nun p ∈ J, so kann mittels
Division mit Rest für Polynome eine Darstellung p = ml + r gefunden werden, wobei
r entweder Null ist, oder kleineren Grad als m hat. Da p ∈ J und m ∈ J, ist auch
p − ml ∈ J, also r ∈ J. Allerdings hat r kleineren Grad, falls es nicht Null wäre.
Dementsprechend kann nur r = 0 gelten.
Antwort: Zu jedem Ideal in k[x] gibt es ein Polynom m, sodaß alle Polynome im Ideal
von der Form km für ein k ∈ k[x] sind.
? Gibt es ein konfluentes, antisymmetrisches und noethersches TES, welches die durch
J bestimmte Kongruenzrelation nach sich zieht?
Antwort: Ist m = xk + m0 mit m0 = 0 oder kleinerem Grad als k ein Polynom kleinsten
Grades in J, so definiert man xk → −m0 . (das läuft auf Polynomdivision durch m mit
Rest hinaus).
3. Wie lassen sich Ideale in einem euklidischen Ring beschreiben?
Antwortfindung: Sei {0} =
6 J ein Ideal und a ∈ J ein Element mit minimalem Wert für
θ(a). Dann gibt es für beliebiges j ∈ J Elemente q, r ∈ R mit j = aq + r. Es ist wegen
der Idealeigenschaft auch r ∈ J und wäre r 6= 0, so könnte man θ(r) < θ(a) erreichen,
ein Widerspruch. Somit ist r = 0 und j = qa.
Antwort: Jedes Ideal ist ein Hauptideal.
Definition 152 (Hauptidealring) Ein Integritätsbereich R, in dem jedes Ideal Hauptideal
ist, heißt Hauptidealring.
Anmerkung 153 Wegen Beispiel 151 (S.159) 3. ist jeder euklidische Ring ein Hauptidealring. Der Ring {2k | k ∈ ZZ} ist Hauptidealring, jedoch nicht euklidisch, weil er kein
1-Element besitzt.
4.2.5
Kommutativer Polynomring, Algebraische Körpererweiterung
Wir wollen (sehr kurz) auf Polynomfaktorisierung in k[x] eingehen, sowie auf die Konstruktion
von algebraischen Erweiterungskörpern von k.
Anmerkung 154 Es sei k ein Körper und f ∈ k[x] ein irreduzibles Polynom, wobei
der Koeffizient der höchsten Potenz in x gleich eins sei 17 Wie in Beispiel 151 (S.159)
2. ausführlicher erklärt worden ist, wird das Ideal hf i (das sind alle Polynome der Form
pf mit p ∈ k[x]) betrachtet. Dann ist der Faktorring K := k[x]/hf i ein Körper, eine
sogenannte algebraische Körpererweiterung. Der kanonische Ringhomomorphismus, der
jedem Polyonm p sein Bild in K zuordnet (nämlich den Rest, welcher verbleibt, wenn man
4.2. Ringe und Körper
161
p durch f polynomdividiert – die übliche Mittelschulpolynomdivision mit Rest) soll mit
p 7→ p̄ bezeichnet werden. Die Zuordnung c 7→ cx0 ergibt eine Injektion von k in K, sodaß
k als Teilkörper von K aufgefaßt werden kann. Weiters ist K ein endlichdimensionaler
k-Vektorraum mit einer Basis
{1, x̄, . . . , x̄n−1 }
wobei n der Grad von f ist.
Ist f = xn + r mit r = 0 oder r vom Grad n − 1, so läßt sich durch xn → −r ein
konfluentes, noethersches, antisymmetrisches TES im Sinne von Anmerkung 250 (S.268)
festlegen, welches die Menge der Polynome vom Grad höchstens n − 1 zusammen mit
dem Nullpolynom zu einem Repräsentantensystem von k[x]/hf i macht.
Beweis: Zunächst behaupten wir, daß K ein Integritätsbereich ist. Angenommen āb̄ = 0̄.
Dann gibt es Polynome a, b, c mit ab = cf . Wegen Anmerkung 281 (S.292) ist f ein Teiler
von a oder b, also o.B.d.A. kann man die Existenz von d ∈ k[x] mit a = f d annehmen. Dann
ist ā = 0̄, somit K nullteilerfrei.
Es genügt, für jedes ā 6= 0̄ ein Inverses in K zu finden, m.a.W. die diophantische Gleichung
ax + bf = 1 in k[x] als lösbar nachzuweisen. Da f irreduzibel und a 6∈ hf i ist, sind a
und f relativ prim, sodaß (etwa mittels erweitertem euklidischem Kettenalgorithmus, siehe
Unterabschnitt A.2.8 (S.288)) entsprechendes x und y gefunden werden können.
Schließlich ordnen wir jedem c ∈ k das konstante Polynom c und diesem seine Kongruenzklasse zu. Man sieht leicht ein, daß kein c in hf i liegen kann, somit k ∩ hf i = {0} gilt. Deshalb
kann k als Teilkörper von K aufgefaßt werden.
Angenommen, die angegebenen Elemente sind k-linear abhängig. Dann gibt es eine Relation
0=
n−1
X
ci x̄i .
i=0
Pn−1
Dann gilt für das Polynom g := i=0 ci xi die Beziehung ḡ = 0̄, also g ∈ hf i. Somit ist g
zerlegbar als g = f a, und weil f irreduzibel ist, muß es ein Teiler von g sein. Das geht jedoch
nicht, weil g kleineren Grad hat. Ein Widerspruch. w.z.b.w.
Beispiel 155 (Beispiele zu algebraischen Körpererweiterungen u.A.) :
1.
? Es sei IR[x] der Polynomring mit reellen Koeffizienten und J jenes Ideal, das von
x2 + 1 erzeugt wird. Ist IR[x]/J ein Körper?
Antwortfindung: Das TES ergibt x2 → −1. Somit kann jedes Element in IR[x]/J durch
ein lineares Polynom in x beschrieben werden. Das Polynom x2 + 1 ist reell irreduzibel,
sodaß IR[x]/hx2 + 1i ein Körper ist.
Die Multiplikation verläuft so:
(a + bx)(a0 + b0 x) = aa0 + (ab0 + a0 b)x + bb0 x2 → aa0 − bb0 + (ab0 + a0 b)x
17
Solches f wird oft als normiertes Polynom bezeichnet
162
Algebra
d.i. man hat aus den reellen Zahlen C durch Adjunktion von
Antwort:
2.
IR[x]/hx2
√
−1 = x̄ konstruiert.
+ 1i ist ein zu C isomorpher Körper.
? Kann ein Erweiterungskörper von ZZ 7 mittels eines irreduziblen quadratischen Polynoms gefunden werden? Ist der Erweiterungskörper auch endlich?
Antwort(findung): Auf gut Glück versuchen wir es mit f := x2 + 1. Es genügt, festzustellen, daß (±1)2 = 1, (±2)2 = 4 und (±3)2 ≡ 2 (mod 7) gilt, also f irreduzibel über
ZZ 7 ist. Somit ist ZZ 7 [x]/hx2 + 1i ein solcher Erweiterungskörper. Als Basis hat man
{1, x̄}, also hat der Körper 49 Elemente.
P
3. (Formales Differenzieren) Ist f ∈ R[x] so läßt sich f = j fj xj formal differenzieren
P
(siehe hierzu auch Anmerkung 283 (S.293)), indem man f 0 := j≥1 jfj xj−1 setzt.
? Wie kann man
n(1 + x)
n−1
n
X
n k
k
x
x=
k
k=1
herleiten?
Pn
n k
n =
x und
Antwort: Man startet mit dem binomischen Lehrsatz:
(1
+
x)
k=0
k
n k−1
n−1
differenziert links und rechts, um n(1 + x)
=k k x
zu finden. Links und rechts
mit x multiplizieren ergibt das Resultat.
Analog erhält man (eine Anwendung ist die Berechnung des Erwartungwertes für die
Bernoulliverteilung Beispiel 79 (S.87))
n
X
2
n−2
n−1
2 n
n(n − 1)x (1 + x)
+ nx(x + 1)
=
k
xk
k
k=1
4.
? (Identitäten für die hypergeometrische Verteilung). Man beweise, daß für
alle M ,s und a in IN
X 1 s a − s s
k a
=m
k
m
−
k
a
s
k
und
X
k
1 s
a−s
m (m − 1)(s − 1)
+1
k a
=s
k
m−k
a
a−1
s
2
gilt.
Antwortfindung. Beide Identitäten ergeben sich ähnlich wie im vorigen Beispiel aus einer
geschickten Interpretation der Cauchymultiplikation (siehe Definition 144 (S.155)). Wir
m
a−s
führen das hier nur für die erste Identität vor.P
Setzt man ak := kP
und
b
:=
l
k
l ,
so würde P
die Cauchymultiplikation von f := k ak xk mit g := l bl xl ein Polynom
h = f g = t ct xt ergeben und
X
ct =
ak bt−k .
k
4.2. Ringe und Körper
163
Deshalb ist der Koeffizient von xm geradewegs die gesuchte Summe. Aus dem vorigen
Beispiel erkennt man sofort f = s(1 + x)s−1 x und g = (1 + x)a−s , sodaß h = m(1 +
der gesuchte Koeffizient. Division durch ka
x)s+a−1 x ist. Somit ist cm = m s+a−1
m−1
ergibt die Behauptung.
Für die zweite Identität findet man ähnlich f = s(s − 1)x2 (1 + x)s−2 + sx(1 + x)s−1 , g
ist das gleiche geblieben,
und h = f g = s(s − 1)x2 (1 + x)a−2 + sx(1 + x)a−1 . Demnach
a−2
a−1
ergibt sich cm = 1a s(s − 1) m−2
+ s m−1
.
(s)
4.2.6
Endliche Körper
Endliche Körpern spielen eine Rolle in der Kodierungstheorie. Simples Beispiel ist “modulo
einer Primzahl p rechnen”, d.i. ZZ p . Wird dann mit IFp abgekürzt.
Anmerkung 156 (Fakten über endliche Körper) Folgendes kann über einen endlichen Körper F gesagt werden:
1. Jeder endliche Integritätsbereich (sieh Definition 142 (S.151)) ist ein Körper und
es gibt genau eine Primzahl p mit einem zu ZZ p isomorphen Teilkörper.
Für dieses p gilt px = |x + x +
{z· · · + x} = 0 für alle x ∈ F . Weiters gilt
p
mal
(x + y)p = xp + y p .
2. Die Abbildung φ : F → F , definiert durch x 7→ xp ist ein Isomorphismus (genannt
Frobeniusautomorphismus).
n
3. Es gibt ein positives natürliches n, sodaß xp − x = 0 für alle x ∈ F gilt.
4. Ist n kleinstmöglich gewählt, so erweist sich die Menge der invertierbaren Elemente,
F \ {0} als zyklische Gruppe von der Ordnung18 pn − 1.
n
5. Es gibt ein in ZZ p [X] unzerlegbares Polynom g, ein Teiler von X p −1 −1, derart, daß
F als Ring isomorph zu ZZ p [X]/hgi ist. Ist g = xm + r, wobei r = 0 oder nur Terme
mit Grad ≤ m − 1 enthält, so ist durch xm → −r ein konfluentes, antisymmetrisches und noethersches TES im Sinne von Anmerkung 250 (S.268) gegeben (weil
algebraische Erweiterung vorliegt, ganz genau so wie in Anmerkung 154 (S.160)),
welches die Menge der Polynome vom Grad kleiner als jener von g zusammen mit
dem Nullpolynom zu einem Repräsentantensystem von F = ZZ p [X]/hgi in ZZ p [X]
macht, wobei es bequem ist, statt ‘X’ den Buchstaben ‘x’ zu verwenden.
Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Körper mit q := pn Elementen, der
gewöhnlich als IFq oder auch als GF(q) (für Galoisfeld) bezeichnet wird. Die Primzahl p
heißt Charakteristik von IFq , im Zeichen p = charIFq .
Zu vermerken ist auch, daß IFp = ZZ p , sodaß die multiplikative Gruppe {1, . . . , p − 1}
zyklisch ist.
164
Algebra
Der Beweis findet sich unter Unterabschnitt A.2.10 (S.295)
Mit diesem Wissen ausgestattet, kann man grundsätzlich alle endlichen Körper konstruieren.
Beispiel 157 (Konstruktion eines Körpers mit 8 Elementen) Als Beispiel nehmen wir
p = 2 und n = 3, also genügen alle Elemente von F der Gleichung x8 − x = 0. Andrerseits
wissen wir, daß IF8 genau 8 Elemente hat. Deshalb muß IF8 von der Form IF8 = IF2 [x]/hx3 +
ax2 +bx+ci sein, wobei x3 +ax2 +bx+c keine Nullstellen in IF2 haben kann. Jetzt zerlegen wir
x8 − x = x(x7 − 1) = x(x − 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) = x(x − 1)(x3 + x2 + 1)(x3 + x + 1)
in über IF2 unzerlegbare Polynomfaktoren und erkennen Kandidaten für x3 + ax2 + bx + c.
Nun gehen wir genauso vor wie bei Beispiel 151 (S.159) 2., nämlich, wir bilden IF2 [x] und
erzeugen eine Kongruenz durch Vorgabe von x3 ≡ x+1 (die andere Wahl, nämlich x3 ≡ x2 +1
geht auch), indem wir sie durch ein noethersches, antisymmetrisches und konfluentes TES,
nämlich
x3 → x + 1
festlegen19 .
? Wie multipliziert man z.B. (x2 + x + 1)(x + 1)?
Antwort: x3 + x2 + x + x2 + x + 1 = x3 + 1 → x + 1 + 1 = x.
? Wie kann man
x+1
x2 +1
in der Form a + bx + cx2 anschreiben?
Antwortfindung: Wir wissen x+1 = (x2 +1)(a+bx+cx2 ) = ax2 +bx3 +cx4 +a+bx+cx2 →
(a + c)x2 + b(x + 1) + c(x2 + 1) + a = ax2 + cx + a + b. Koeffizientenvergleich ergibt a = 0,
b = c = 1. Eine andere Methode wäre mittels erweitertem euklidischem Algorithmus (siehe
Unterabschnitt A.2.8 (S.288)). Es ist üblich die Elemente von IF8 als Wörter der Länge 3
mit Buchstaben 0, 1 anzuschreiben, also z.B. 1 = 001, x = 010, x2 = 100. Dann ist z.B.
x2 + 1 = 101 und x + 1 = 011, die Summe ist x2 + x = 110.
? Man bestimme alle Potenzen von x
Antwort: Man findet ohne Mühe
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
=
=
=
= x3 →
=
= x3 + x2 →
= x3 + x2 + x → x + 1 + x2 + x =
1
x
x2
x+1
x2 + x
x2 + x + 1
x2 + 1
? Wie kann dies für Personen A und B zur Kommunikation ohne Einsichtnahme dritter
verwendet werden?
Antwort: Die Personen A und B einigen sich auf den Körper IF8 . Nun nimmt A seine
Bitfolge, etwa 011, die er senden will. Sie entspricht 1 + x. Sein Kodiergerät multipliziert sie
18
19
Definition 116 (S.136)
Anmerkung 250 (S.268)
4.2. Ringe und Körper
165
mit x, bekommt x2 + x = 110 heraus und dieses Wort wird an B geschickt. Nun bekommt B
das Signal 110, welches x2 +x ist. Sein Gerät multipliziert es mit x2 +1, d.h. (x2 +x)(x2 +1) =
x4 + x3 + x2 + x = (x + 1)x3 + x2 + x → (x + 1)2 + x2 + x = x2 + 1 + x2 + x = 1 + x.
? Einwand?
Ja, aber man kennt ja die Länge der Wörter! Ist ja nicht schwer, IF8 zu “erraten”. Dies
umgeht man, indem man Körper beliebiger Charakteristik p nimmt, deren Arithmetik implementiert, sodaß die Länge der Bitfolgen nicht unmittelbar etwas mit der Arithmetik des
Körpers zu tun hat.
Beispiel 158 (Zyklische Codes) Endliche Körper spielen eine wichtige Rolle in der Kodierungstheorie. Wir wollen dies für den Körper IF8 unter Zuhilfenahme der obigen Rechnungen
zeigen.
1. Zunächst haben wir (auch in Beispiel 284 (S.294)) die Zerlegung
x7 − 1 = (x3 + x + 1)(x3 + x2 + 1)(x + 1)
gefunden, wobei “−1 = 1” in IF2 schon berücksichtigt ist. Es sei g := (x3 +x2 +1)(x+1)
und h := (x3 + x + 1), sodaß insbesondere x7 − 1 = gh eine Faktorzerlegung ist.
2. Nun will Sender A eine Nachricht als Folge von 01-Folgen fester Länge n an Empfänger
B senden, allerdings muß er noch Extrainformation senden, sodaß B zumindest erkennen kann, ob er (bei gestörtem Empfang) einen typischen Nachrichtenblock von A
bekommt, oder eben doch etwas “Gestörtes”.
Sein Sendegerät interpretiert jede feste 01-Folge p als Polynom vom Grad höchstens
n − 1 mit Koeffizienten in IF2 (allgemeiner in IF2k ). Nun multipliziert sein Sendegerät
das Polynom p mit obigem g und reduziert es modulo x7 − 1, d.h. Benützung des TES
x7 → 1. In diesem Sinne wird z.B. das Wort 0111 als p := x2 + x + 1 interpretiert, ergibt
nach Multiplikation pg = (x2 + x + 1)(x3 + x2 + 1)(x + 1) = x6 + x5 + x2 + 1 und dieses
Polynom ist schon reduziert. Somit wird von A das Wort 1100101 an B gesendet.
3. Das Empfangsgerät von B bekommt nun im fehlerfreien Fall das Wort w = 1100101.
Die weitere Vorgehensweise ist grundsätzlich die, w wieder als Polynom x6 + x5 + x2 + 1
zu interpretieren und den Vorgang von As Gerät rückgängig zu machen, im vorliegenden
Fall also durch h zu dividieren. Man vermutet richtig, daß das immer dann geht, wenn
man sich auf höchstens quadratische Polynome beschränkt, also n = 3 wählt.
4. Um dies zu klären, gehen wir auf die nachstehenden Fragen ein:
? Falls A beliebig lange 01-Folgen sendet, also der Grad n von p beliebig sein kann,
welche Art von Wörtern kommen bei B an?
Antwort: Im Quotientenring R := IF2 [x]/(x7 − 1) bedeutet Multiplizieren eines Polynoms q mit x und danach Reduzieren lediglich “Rotieren nach links” des Wortes,
z.B.:
166
Algebra
Ist q = 1100100, also q = x6 + x5 + x2 so wäre xq = x7 + x6 + x3 → x6 + x3 + 1,
entspräche also 1001001.
Somit ist mit jedem Wort q, das B empfangen kann, auch jedes “zyklisch permutierte”
Wort möglich. Deshalb der Name “Zyklischer Code” für die Menge aller dieser von B
empfangbaren Wörter. Man kann dies in der Tabelle auf der nächsten Seite sehen.
? Wie kann B feststellen, ob die Nachricht q von der Form q = pg
(mod x7 − 1) ist?
Antwortfindung: Ist q = pg +r(x7 −1), so ergibt Multiplikation mit h wegen x7 −1 = gh
sofort qh = (p + r)(x7 − 1), also läßt es sich qh →∗ 0 reduzieren. Ist umgekehrt qh →∗ 0,
so gibt es ein Polynom s mit qh = s(x7 −1), also ist qh = sgh und wegen der eindeutigen
Faktorzerlegung in IF2 [x] bekommt man q = sh.
Antwort: Genau dann ist q von der Form q = ph (mod x7 − 1), wenn qh →∗ 0 ist. Das
Polynom h heißt Kontrollpolynom.
? Kann es vorkommen, daß pg = p0 g für verschiedene Wörter p 6= p0 , die A senden
möchte? Wenn ja, wie kann man eine Übersicht darüber bekommen?
Antwortfindung: Leider ja, z.B. wird das Wort g nach Multiplikation mit h zu gh =
x7 − 1 →∗ 0. Ist umgekehrt ph →∗ 0, so gibt es ein Polynom r mit ph = r(x7 − 1), und
demnach ist ph = rgh, also p = rg.
Antwort: Genau die Polynome im Hauptideal (g), d.i. von der Form gr mit einem
Polynom r werden als Nullpolynom gesendet. Genau die Polynome p0 = p + gr mit
einem Polynom r werden nach dem Senden als das Wort ph (mod x7 − 1) gesendet.
? Unter welchen Umständen kann der von As Gerät getätigte Prozess von Bs Gerät
rückgängig gemacht werden?
Antwort: Offenbar genügt es, daß A sich auf Polynome vom Grad ≤ 2 beschränkt, dann
wird nach Multiplikation mit h höchstens ein Polynom vom Grad 6 daraus, das nach
Division durch h auf Bs Gerät das von A seinem Gerät zur Sendung übergebene Wort
ergibt. Das Beispiel q = x2 + x + 1 unter 2. zeigt das ganz deutlich.
Zusammenfassung: A sendet Wörter der Länge n = 3 (interpretierbar als Polynome vom
Grad ≤ 2), nachdem er sie mit h multipliziert hat. Danach checkt B das empfangene Wort
durch Multiplikation mit g und Reduzieren mod x7 − 1 und wenn das geht, dividiert er das
empfangene Wort durch g, um As Wort zu bekommen.
Der Vorteil der endlichen Körper IFq in gerader Charakteristik ist die schnelle Implementierbarkeit der Arithmetik. Das trifft auch auf die (zyklische) Polynomarithmetik zu.
Anmerkung zur Fehlererkennung (mehr dazu ist im Abschnitt über normierte lineare
Räume geplant, wo das thematisch besser hinpaßt):
? Wenn man davon ausgehen darf, daß höchstens eine Stelle in einem gesendeten Wort
falsch ist, kann B das stets erkennen? Auch wenn 2 Fehler gemacht werden?
Antwortfindung: Betrachten wir die nachstehende Tabelle, in der zunächst das Polynom
von A, dann seine Deutung als Binärwort, danach das mit g multiplizierte Polynom, und
4.2. Ringe und Körper
167
schließlich das an B gesendete Binärwort steht.
0
1
x
x2
1+x
1 + x2
x + x2
1 + x + x2
000
001
010
100
010
011
110
111
0
x4 + x2 + x + 1
x5 + x3 + x2 + x
x6 + x4 + x3 + x2
x5 + x4 + x3 + 1
x6 + x3 + x + 1
x6 + x5 + x4 + x
x6 + x5 + x2 + 1
0000000
0010111
0101110
1011100
0111001
1101110
1110010
1100101
Die Minimalzahl an Stellen, an denen in der linken Spalte Binärwörter sich unterscheiden,
ist eins. Würde man solche Wörter senden, reicht ein falsches Bit, um es nicht von einem
anderen möglichen korrekten Wort zu unterscheiden.
Im rechten Teil hat sich die Minimalzahl der Stellen, an denen sich 2 Binärwörter unterscheiden vergrößert: Wörter, die sich vorher nur um eine Stelle unterscheiden, müssen sich
nach Multiplikation mit g = x4 + x2 + x + 1 an zumindest drei Stellen unterscheiden. In der
Tabelle ist das klar zu erkennen, je zwei Wörter in der rechten Spalte unterscheiden sich an
mindestens 3 Stellen.
Antwort: Deshalb können Wörter mit einem, sogar mit zwei Fehlern von B erkannt werden
(und notfalls nachgefragt werden).
168
Algebra
Kapitel 5
Metrische Räume
5.1
5.1.1
Metrische Räume
Grundlegende Definitionen
Definition 159 Ein metrischer Raum (X, d) besteht aus:
Raum : Einer Menge X, dem Raum, und Elementen, den Punkten.
Abstand/Metrik : Einer Abbildung d : X × X → IR, der Metrik oder Abstandsfunktion
mit folgenden Eigenschaften:
1. d(x, y) ≥ 0 für alle x, y ∈ X (Abstand ist
niemals negativ).
2. d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y ist.
3. Für alle x, y ∈ X ist d(x, y) = d(y, x)
(Symmetrie).
4. Für alle x, y, z ∈ X gilt d(x, z) ≤ d(x, y) +
d(y, z) (Dreiecksungleichung – Skizze)
x
z
???

???d(y, z)
??
d(x, z)
?

jj y
j

j
j

j
jjjjj
jjjjjj d(x, y)

jj
Beispiel 160 Vorweg einfache Beispiele:
1. (Euklidische Metrik)
(y1 , y2 )
Für die Punkte x = (x1 , x2 ) und y = (y1 , y2 ) der Ebene
2
X
p := IR ist der “vertraute” euklidische Abstand d(x, y) :=
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 eine Metrik.
ww
ww
w
ww
ww
(x1 , x2 )www
w
ww
2. Ist X := IR und d(x, y) := |x − y| für x, y ∈ IR (Absolutbetrag der Differenz), so gelten
die Axiome eines metrischen Raumes.
169
170
Metrische Räume
3. Es sei X die Menge aller n-stelligen 01-Folgen, die wir als Elemente in {0, 1}∗ auffassen,
d.h. in der Form 0001101 · · · 01 (Wörter der Länge n) angeschrieben denken. Nun definiert man d(x, y) als Anzahl der Stellen, an denen sich Wörter x und y unterscheiden.
Es sind die Axiome erfüllt. (Hammingdistanz).
4. Es sei X eine beliebige Menge und d(x, y) = 1 genau dann wenn x 6= y, bzw. d(x, x) = 0.
Die Axiome kann man sehr leicht nachvollziehen. Es ist dies die diskrete Metrik.
5. (Metrik auf dem Kreis)
Auf dem Kreis vom Radius 1 soll eine Distanz d(x, y) zwischen Punkten x, y als
die kürzere der beiden Bogenlängen der
Bögen von x nach y bzw. y nach x (im
Uhrzeigersinn gemessen) definiert. Man
überlegt sich, daß eine formale Definition
des Kreises durch Beschreiben als Intervall
[0, 2π) und eine Abstandsfunktion durch
d(x, y) := min{|x − y|, 2π − |x − y|} gegeben ist. Durch Fallunterscheidungen prüft
man, daß ([0, 2π), d) die Axiome eines metrischen Raumes erfüllt.
5.1.2
ifda_ ]ZXUSPMJ
GC
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84
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1.
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x
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0
•
x
•
y
Konvergenz
Definition 161 Die folgenden Begriffe sind in jedem metrischen Raum (X, d) für eine Folge
{xn }∞
n=1 formulierbar:
Konvergente Folge: Die Folge {xn }∞
n=1 ist konvergent mit Grenzwert x, im Zeichen x =
limn→∞ xn , falls limn→∞ d(xn , x) = 0 gilt.
Cauchyfolge: Die Folge {xn }∞
n=1 ist Cauchyfolge, wenn zu jedem noch so kleinen positiven
ein N ∈ IN mit d(xn , xm ) < für alle m, n ≥ N gibt.
Beispiel 162 Einfache Übungsaufgaben.
1.
p
2 und d(~
? Es sei
X
:=
I
R
x
,
~
y
)
:=
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 . Ist die Folge ~xn =
1
π
(n sin n , cos( n )) konvergent? Wenn ja, welchen Grenzwert hat sie?
Antwort: Als Grenzwerte der Koordinaten ergibt sich beide male 1. Um die DN genau
nachzuvollziehen, muß jetzt
1
2
1
π
2
2
lim (n sin
− 1) + (cos( ) − 1)
=0
n→∞
n
n
gezeigt werden.
◦
2π
5.1. Metrische Räume
171
Aus der Konvergenz von |n sin n1 − 1| und | cos( πn ) − 1| gegen Null bei n → ∞ folgt
aus den üblichen Rechenregeln für konvergente Folgen im IR1 , daß der obige Grenzwert
gleich (1, 1) ist.
und groß?” abhängig von der Metrik) Ist auf X := R+ durch d(x, y) :=
2. ? (“klein
1 1
n+1
x − y eine Metrik gegeben? Ist die Folge {an }∞
n=1 mit an := n bezüglich dieser
∞
Metrik konvergent? Ist die Folge {bn }∞
n=1 mit bn := n konvergent? Ist die Folge {an }n=1
∞
eine Cauchyfolge? Ist die Folge {bn }n=1 eine Cauchyfolge?
Antwort: Wie die Metrik zustandekommt,
zeigt die nebenstehende Abbildung. Es
mag hilfreich sein, selbst Skizzen anzufertigen, welche die Konvergenzaussagen verdeutlichen.
bO
O
d(x, y) Graph von b =
1
a
•
•
/a
y
x
Nachweis der Axiome
d(x, y) ≥ 0 ist sicher stets richtig. Symmetrie ist auch
der Metrik.
1 1
klar. Aus d(x, y) = x − y = 0 schließt man x = y. Die Dreiecksungleichung ergibt sich
aus der für den Absolutbetrag:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
d(x, z) = − = − + − ≤ − + − = d(x, y) + d(y, z).
x z
x y y z
x y
y z
Jetzt zu den Konvergenzuntersuchungen: Im Fall der Folge {an }∞
n=1 erhofft man als
Grenzwert 1 und betrachtet
1
1 1
d(an , 1) = n+1 − =
.
n
1 n + 1
1
Es ist limn→∞ d(an , 1) = limn→∞ n+1
= 0 (im üblichen Sinn), also gilt im Sinne der
Definition unserer Metrik limn→∞ an = 1.
Auch die Definition der Cauchyfolge läßt sich bei {an }∞
n=1 nachvollziehen:
1
1 |m − n|
d(an , am ) = n+1 − m+1 = · · · =
.
n
(m
+
1)(n + 1)
m
Ist dann > 0 vorgegeben, dann kann z.B. N ∈ IN so gewählt werden, daß N > 2 gilt.
Sind dann m und n beide ≥ N , so kann der Ausdruck ganz rechts weiter abgeschätzt
werden, nämlich
|m − n|
1
1
2
≤
+ ≤
< .
(m + 1)(n + 1)
m n
N
Somit liegt eine CF vor.
172
Metrische Räume
Die Folge {bn }∞
n=1 mit bn = n erweist sich ebenfalls als CF. Wählt man > 0 beliebig
und N > 2 , so findet man für alle m, n ≥ N die Abschätzung
1
1
1
1
2
d(bm , bn ) = − ≤
< .
+ ≤
m n
m n
N
Die Folge konvergiert nicht: Angenommen x ∈ IR+ wäre ein Grenzwert. Dann ist
1
1 1
0 = lim d(bn , x) = lim − = · · · = ,
n→∞
n→∞ n
x
x
wobei “. . .” entsprechendes Anwenden der Grenzwertregeln im üblichen Sinn konvergenter Folgen bedeutet. Jedenfalls hat 0 = x1 keine Lösung x in IR+ – die Folge konvergiert
nicht.
3.
? Es sei auf den Wörtern der Länge n wie in Beispiel 160 (S.169) 3. die Hammingdistanz gegeben. Wie kann limn→∞ xn = x ausgedrückt werden?
Antwort: Die Konvergenz ist genau dann gegeben, wenn ab einem Index N stets x = xn
für n ≥ N gilt. Die gleiche Antwort bekommt man in Beispiel 160 (S.169) 4. für die
diskrete Metrik.
4.
? Wie kann man in 5. von Beispiel 160 (S.169) nachweisen, daß limn→∞ (2π − n1 ) = 0.
Antwort: d(0, xn ) = min{|xn |, |2π−xn |} = min{2π− n1 , n1 } = n1 . Hieraus folgt limn→∞ d(0, xn ) =
0, was zu zeigen war.
Definition 163 (Vollständigkeit) Der Raum X heißt bezüglich der Metrik d vollständig,
falls jede Cauchyfolge konvergent ist. Man sagt dann auch, daß (X, d) vollständig ist.
Anmerkung 164 Es gelten folgende Fakten in einem metrischen Raum (X, d):
1. Jede konvergente Folge {xn }∞
n=1 ist auch Cauchyfolge.
2. Nicht jede Cauchyfolge muß notwendigerweise konvergieren (vgl. Beispiel 162
(S.170), 2.). Ist (X, d) jedoch vollständig, so konvergiert (auf Grund der Definition der Vollständigkeit) jede Cauchyfolge {xn }∞
n=1 gegen ein x ∈ X.
Wichtig: Ist (X, d) vollständig, so konvergiert ein Numerischer Algorithmus dann,
wenn er eine Cauchyfolge produziert.
Es soll der Nachweis für 1. erbracht werden: Angenommen, die Folge {xn }∞
n=1 konvergiert. Nun sei > 0 vorgegeben. Um die CF-Eigenschaft zu beweisen, muß ein N ∈ IN mit
d(xm , xn ) < für alle m, n ≥ N gefunden werden. Weil limn→∞ d(xn , x) = 0 gibt es N ∈ IN
5.1. Metrische Räume
173
mit d(xn , x) < 2 für alle n ≥ N . Dann ist für alle m, n ≥ N sowohl d(xn , x) < 2 als auch
d(xm , x) < 2 , sodaß die Dreiecksungleichung für all diese m, n die geforderte Ungleichung
d(xm , xn ) ≤ d(xm , x) + d(x, xn ) <
+ =
2 2
ergibt. Somit ist {xn }∞
n=1 eine Cauchyfolge.
˜
Anmerkung 165 (Vervollständigung) Zu (X, d) kann eine Vervollständigung (X̃, d)
konstruiert werden mit folgenden Eigenschaften:
1. X kann als Teilmenge von X̃ betrachtet werden.
˜ y) = d(x, y) (X ist isometrisch in X̃ eingebettet).
2. Wenn x, y ∈ X, so ist d(x,
3. Jede Cauchyfolge in X̃ (und somit jede in X) konvergiert in X̃ bezüglich der Metrik
˜ M.a.W. der Raum (X̃, d)
˜ ist vollständig.
d.
4. Zu jedem x̃ ∈ X̃ gibt es eine Cauchyfolge {xn }∞
n=1 mit Werten in X, die im Sinne
der Metrik d˜ gegen x̃ konvergiert. (Man sagt auch, die Einbettung von X liegt dicht
in X̃).
Eine gängige, mengentheoretisch fundierte Konstruktion der Vervollständigung findet man
in Unterabschnitt A.3.1 (S.296). Sie beruht im Prinzip darauf, Cauchyfolgen {xn }∞
n=1 und
{yn }∞
als
äquivalent
zu
erachten,
wenn
d(x
,
y
)
nach
Null
konvergiert
(was
ja
auf die
n
n
n=1
Folgen zutrifft, falls sie gegen den gleichen Grenzwert in X konvergieren). Diese Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen sind in ihrer Gesamtheit zwar schwer vorstellbar, am besten,
man denkt sich jede Klasse durch eine “Lieblingsfolge”, die zum “ideellen Grenzwert” strebt,
repräsentiert.
Beispiel 166 Die nächsten Beispiele sollen Intuition wecken.
1. (Vervollständigung eines metrischen Raumes durch Zugabe eines
Punktes)
1 1
+
In Beispiel 162 (S.170) 2. war X = IR und die Metrik d(x, y) := x − y gegeben.
Inspektion des Beispiels läßt erkennen, daß alle Cauchyfolgen in dieser Metrik entweder
Cauchyfolge im üblichen Sinn und Grenzwert (auch im üblichen Sinn) ungleich Null,
oder (im üblichen Sinn) gegen Unendlich strebende Folgen sind. Es erscheint naheliegend, formal einen Punkt x̃ zu IR+ “am rechten Ende” hinzuzufügen (oft, und wir tun
das auch hier, mit der Bezeichnung “∞”) und die Metrik d wie folgt zu einer Metrik d˜
˜ y) := d(x, y) genommen wird und
auszudehnen, indem für x, y ∈ IR+ als Metrik d(x,
˜ ∞) := 1 , d(∞,
˜
∞) := 0
d(x,
x
˜ ganz leicht nach.
festgelegt wird. Man prüft die Metrikaxiome für (IR+ ∪ {∞}, d)
174
Metrische Räume
√
2. ( 2 als Äquivalenzklasse von Cauchyfolgen – Babylonische Methode) Beim
Übergang von den rationalen Zahlen Q zu IR ist es die Cantorsche Methode, welche in
verallgemeinerter Form die Konstruktion in Unterabschnitt A.3.1 (S.296) ist.
√
√
Wenn z.B. jemand das Symbol 2 hinschreibt und danach etwa 2 = 1.414213562,
denkt man eher an eine Folge von rationalen Zahlen
(1.0, 1.4, 1.41, 1.4142, 1.41421, 1.414213, 1.4142135, 1.41421356, 1.414213562, . . .),
die bei erschöpftem Bedarf an Genauigkeit abgebrochen wird.
Jemand kann aber auch, die Babylonische Methode benützend, eine Folge rationaler
1
für n ∈ IN festlegen, die bekanntermaßen
Zahlen durch x0 := 1, xn := 21 xn−1 + xn−1
√
gegen 2 konvergiert;√man findet derart eine neue, wesentlich rascher zum gleichen
“ideellen” Grenzwert 2 konvergente Folge
3
17
577
= 1.5,
≈ 1.4166667,
≈ 1.414215686, . . .)
2
12
408
√
√
Es ist diese Idee, die Zahl 2 als√Gesamtheit aller nach 2 konvergenten Folgen rationaler Zahlen anzusehen, welche 2 zum Körper der rationalen Zahlen “hinzufügt”.
(1,
3. (Raum stetiger Funktionen – nicht vollständig in der L1 -Metrik) Es geht darum, daß Integralnormen Räume stetiger Funktionen im Allgemeinen nicht vollständig
machen.
Auf X := C[−1, 1],R dem auf dem Intervall [−1, 1] stetigen Funktionen, soll eine Metrik
1
durch d(f, g) := −1 |f (x) − g(x)| dx definiert werden. Wir werden in Beispiel 206
(S.221) 4. zeigen, daß tatsächlich eine Metrik auf X vorliegt. Geometrisch ist klar, was
die Metrik “mißt”: die “absolute” Fläche, die vom Graphen von f , jenem von g und
den in −1 und 1 errichteten Ordinaten liegt.
Nun soll der Graph der Funktion fn durch den Streckenzug, der die Punkte (−1, −1),
(− n1 , −1), ( n1 , 1) und (1, 1) verbindet, gegeben sein (der ausgezogene Streckenzug). Die
Deutung der Metrik im Auge behaltend ergibt sich für m, n ∈ IN der Wert von d(fn , fm )
als zweimal der Flächeninhalt des schmalen Dreiecks in der oberen Halbebene das von
2 strichlierten und einer ausgezogenen Linie berandet
1 wird.
Dessen Höhe ist 1 und die
1
1
1
Basis hat Länge n − m . Somit ist d(fn , fm ) = n − m und man erkennt, daß die
Folge {fn }∞
n=1 bezüglich dieser Metrik eine Cauchyfolge ist.
_ _ _
1
− n1 − m
1
1
m
n
_
_ _
−1
1
5.1. Metrische Räume
175
Daß die Folge in X = C[−1, 1] nicht konvergiert, erahnt man aus der Skizze, weil die
Flanken des mittleren Teiles immer steiler werden, und die Grenzfunktion dadurch kaum
stetig werden kann (am Nullpunkt “auseinandergerissen”). Wir wollen den Nachweis
führen, er ist typisch im Umgang mit Metriken auf Funktionenräumen.
Angenommen, es gibt eine stetige Funktion f ∈ C[−1, 1], gegen welche die Folge konvergiert. Es sei 1 > a > 0. Ist dann n > a1 , so ist fn (x) = sign (x) für |x| ≥ a. Deshalb
muß
Z
Z
1
|f (x) − sign (x)| dx = d(fn , f )
|f (x) − fn (x)| dx ≥
−1
|x|≥|a|
für alle diese n gelten. Weil nun für n → ∞ der Wert links gegen Null konvergiert,
ergibt sich wegen der Stetigkeit von f die Bedingung f (x) = sign (x) für alle x mit
a < |x| ≤ 1. Dies gilt bei beliebigem positiven a, sodaß f (x) = sign (x) für alle x 6= 0
folgt.
Solches f kann an 0 nicht stetig sein. Also konvergiert die Cauchyfolge {fn }∞
n=1 nicht,
sodaß X := C[−1, 1] nicht vollständig ist.
Probleme beim Vervollständigen dieses Raumes:
(a) Für die eine vorliegende CF könnte man einige neue Funktionen “hinzufügen”,
indem man an Null den Funktionswert beliebig festlegt. Dann hätte man einen
Funktionenraum, bei dem man an z.B. endlich vielen Stellen Werte abändern darf.
Dann muß man aber Funktionen als äquivalent ansehen, wenn sie bis auf endlich
viele Stellen gleich sind.
(b) Hat man eine passende Klasse gefunden, so müßte danach der Integralbegriff neu
formuliert werden (dies wird durch das Lebesgueintegral geleistet), weil man ja die
Metrik definiert wissen will.
Es erscheint zweckmäßig, jedes Element der Vervollständigung durch eine Folge von Approximationen als bestimmt zu sehen – dies ist auch der Gesichtswinkel der abstrakten
Konstruktion in Unterabschnitt A.3.1 (S.296). Es ist auch der Gesichtswinkel, der bei
numerischen Methoden vorliegt. Eine Beschreibung der zu approximierenden Elemente
gelingt etwa dann, wenn der zu vervollständigende metrische Raum in isometrischer
Weise als Teilmenge eines vollständigen Raumes aufgefaßt werden kann. In Anmerkung 218 (S.237) wird z.B. ein nicht vollständiger Funktionenraum in den Dualraum
eines (durchaus nicht vollständigen) Funktionenraumes isometrisch eingebettet – und
weil man, wie dort gezeigt wird, weiß, daß der Dualraum stets vollständig ist, ist der
Abschluß des eingebetteten Raumes auch gleich die Vervollständigung.
5.1.3
Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen
Die Idee der Fixpunktsuche besteht im Lösen von x = f (x) (x ist Fixpunkt), indem man
einen Startwert x0 festlegt, und dann iterativ x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), · · · bildet. So hofft
man, Approximationen von x zu bekommen. Sehr viele Gleichungssysteme lassen sich in eine
Fixpunktaufgabe umwandeln. Z.B. ist x2 +x−3 = 0 in die Gleichung x = 3−x2 umwandelbar.
Wir werden den Banachschen Fixpunktsatz vorführen, seine Anwendungen umfassen
176
Metrische Räume
• Nullstellensuche im IRn .
• Newtonmethode.
• Relaxationsmethoden, numerische lineare Algebra.
• Beweistechnik beim Hauptsatz der impliziten Funktionen.
• Existenz- und Eindeutigkeitssatz bei Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen
und Verfahren von Picard-Lindelöf.
Auf all dies soll im vorliegenden Unterabschnitt eingegangen werden.
Anmerkung 167 (Banachscher Fixpunktsatz) Es sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und f : X → X eine kontrahierende Abbildung, d.h., es existiert ein λ < 1
mit d(f (x), f (y)) ≤ λd(x, y) für alle x, y ∈ X (hieraus folgt, daß λ ≥ 0 ist). Dann gilt:
1. f ist stetig.
2. Es existiert genau ein p ∈ X mit p = f (p), ein Fixpunkt von f .
3. Ist x0 ∈ X beliebig, so wird durch die Rekursion xn := f (xn−1 ), wobei n ∈ IN läuft,
eine gegen p konvergente Folge definiert.
4. Der Fehler der Approximation kann wie folgt abgeschätzt werden:
d(p, xn ) ≤
d(x0 , x1 )λn
.
1−λ
Der Nachweis folgt in Beispiel 286 (S.298).
Beispiel 168 Einige Beispiele.
1. (Lineare Funktion im IR1 ) Das einfachste Beispiel ist von der Bauart f (x) = ax + b
und die Fixpunktaufgabe x = ax + b.
? Welche Lösungen hat die Fixpunktaufgabe?
b
Antwort: Offenkundig ist x = 1−a
für a 6= 1 eindeutig bestimmte Lösung der Aufgabe,
während für a = 1 nur für b = 0 Lösungen (alle x ∈ IR) existieren, weil ja f dann die
Identität ist.
? Man berechne 3 Werte der Iteration für f (x) = 14 x − 34 und Startwert x0 := 4, bzw.
für f (x) := 3x + 60 und Startwert x0 := −25? Konvergiert die Folge der Werte gegen
den Fixpunkt x∗ ?
Antwort(findung): In der Skizze sieht man links die Situation (a, b) = ( 41 , − 43 ) und rechts
(a, b) = (3, 60). Jeweils vom Startwert x0 ausgehend findet für den Fixpunkt x∗ (in der
5.1. Metrische Räume
177
Skizze mit einem Stern auf der Abszisse symbolisiert) und die ersten paar Werte der
“Näherungen”:
x∗
x0
x1
x2
x3
x4
−1
4 0.25 −0.6875 −0.921875 −0.98046875
−30 −25 −15
15
105
375
y=x
O

x0 x1
x2

•
∗ • •

y = 3x + 60
y=x
O

(x , x1 )
0
ggg
g
g
g
g
•
∗•
ggggg

ggggg
g

g
g
g
gggg
y = x4 − 34
ggggg (x1 , x2 )

•
/
/
(Iterationsschritt) Die Skizze veranschaulicht die Iteration. Man geht von einem Wert
x der Abszisse aus, schneidet die dort errichtete (punktiert gezeichnete) Ordinate mit
dem Graphen von f , um den Schnittpunkt (x, f (x)) zu erhalten, legt durch diesen
Schnittpunkt eine achsenparallele Gerade, die man mit der Mediane y = x schneidet,
um den Punkt (f (x), f (x)) zu erhalten, den man auf die Abszisse projiziert, um somit
den Iterationsschritt geometrisch nachvollzogen zu haben.
? Für welche Werte (a, b) liegt eine Kontraktion vor? Welches der beiden Beispiele ist
Kontraktion?
Antwort: Es ist f (x) − f (x0 ) = a(x − x0 ), sodaß genau dann eine Kontraktion vorliegt,
wenn |a| < 1 ist. Somit ist f (x) = 14 x − 34 kontrahierend, nicht jedoch f (x) = 3x + 60.
(Deckt sich mit dem Verhalten der “Approximationen” von x∗ .)
? Wie kann der FPS in den Beispielen angewendet werden?
Antwort: Für a =
1
4
kann X := IR und λ :=
1
4
gewählt werden.
Man erkennt im linken Bild für a = 14 , wie die Iteration zum Fixpunkt konvergiert
(Treppenzug von links nach rechts verfolgen und die fetten Punkte als gegen den Stern
konvergente Folge erkennen).
Für a := 3 kann der Fixpunktsatz nicht verwendet werden, weil f nicht kontrahiert.
Man sieht das auch: im rechten Bild “läuft die Iteration davon”. (Ein guter Trick ist
es, die Rolle von x und y zu vertauschen.)
? Wie lauten im linearen Fall die Formeln für xn ? Wie kann man aus ihnen direkt die
Konvergenz der Iteration bei beliebigem Startwert x0 entscheiden?
178
Metrische Räume
Antwort:
xn = an x0 + (1 + a + · · · + an−1 )b,
und wenn a 6= 1 ist, gilt
1 − an
b.
1−a
woraus die Kontraktionsbedingung sich als zur Konvergenz der Folge {xn }∞
n=1 äquivalente Bedingung erweist, außer wenn b = 0 und a = 1 ist.
xn = an x0 +
2.
? (Fixpunktsatz und babylonische Methode des Wurzelziehens) Welche Konvergenzaussage kann mittels des Fixpunktsatzes für
√ die in Beispiel 166 (S.173) 2. zitierte babylonische Methode,
Approximationen
von
2 durch Vorgabe eines Startwertes
1
2
x0 und Iteration xn := 2 xn−1 + xn−1 zu gewinnen, getroffen werden?
Antwortfindung: Es ist nicht schwer, auf f (x) = 12 x + x2 zu kommen. Für den zu
definierenden Raum X ⊆ IR
√ müssen die entsprechenden Bedingungen erfüllt sein. Im
vorliegenden Fall kann nur 2 Fixpunkt sein, falls die Folge {xn }∞
n=1 konvergiert. Des+
halb erscheint es sinnvoll X als Teilmenge von R zu wählen, sodaß f auf ganz X
definiert ist. Um λ zu erahnen, kann man
f (x) − f (y)
x−y
betrachten, was geometrisch der Steigung einer Sehne des Graphen von f bedeutet. Ihr
Anstieg läßt sich durch |f 0 (x)| für x ∈ X abschätzen. Nimmt man nun an, daß in ganz
X die Abschätzung |f 0 (x)| ≤ λ gilt, so folgt aus dem MWS der DR
f (x) − f (y) = f 0 (ξ)(x − y)
mit einem ξ ∈ (x, y), somit
|f (x) − f (y)| ≤ λ|x − y|,
d.i. eine Abschätzung, wie sie im FPS bezüglich der Abstandsmetrik benötigt wird.
Dies vor Augen bestimmt man
f 0 (x) = · · · =
1
1
− 2.
2 x
Man möchte nun ein λ < 1 garantieren, daß für alle x im (noch nicht bestimmten) X
die Abschätzung
1
1
−λ ≤ − 2 ≤ λ
2 x
gilt. Versuchen wir λ := 21 , dann ist der rechte Teil der Ungl. schon erfüllt und es
verbleibt,
in äquivalenter Form x2 ≥ 1, also x ≥ 1. Das “Gefühl stimmt noch”, weil ja
√
2 diese Ungleichung erfüllt. Die zweite Forderung steckt “heimlich” in f : X → X,
d.h. aus x ∈ X muß auch f (x) ∈ X ableitbar sein, sodaß sich die folgende Frage ergibt:
5.1. Metrische Räume
179
? Folgt aus x ≥ 1 stets f (x) =
1
2
x+
2
x
≥ 1?
Die Antwort hierauf sind (im vorliegenden Fall) Äquivalenzumformungen:
f (x) ≥ 1 ⇔ x2 − 2x + 2 ≥ 0 ⇔ (x − 1)2 + 1 ≥ 0,
somit erfüllt das Intervall X := [1, ∞) die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes für
λ := 12 .
√
2
Antwort: Für jedes x0 ∈ [1, ∞) konvergiert die Folge xn := 12 xn−1 + xn−1
gegen 2.
? Wendet man von x0 := 1 ausgehend, 3 Schritte an, d.h. ermittelt man x3 , welche
Genauigkeit gibt der FPS an und welche Genauigkeit wurde in Beispiel 166 (S.173) 2.
gefunden?
√
Antwort: Es ist | 2 − x3 | ≤
3
|1− 23 |( 12 )
1− 21
=
1
8
= .125, also (so die Aussage des FPS), darf
man nicht einmal der ersten Nachkommastelle trauen (es könnte sogar die führende 1
falsch sein), die Genauigkeit im angegebenen Beispiel sind jedoch jedenfalls 6 gesicherte
Stellen.
Kommentar: Die gelegentliche “Genauigkeitsunterschätzung” des FPS ist bekannt, besser ist jene, die man mittels Newtonalgorithmus bekommt, vgl. Beispiel 169 (S.179)
und dort den entsprechenden kurzen Abschnitt hierzu.
Beispiel 169 Hier ist eine Auswahl “prominenter” Anwendungen des Fixpunktsatzes von
Banach (Anmerkung 167 (S.176)), wobei der vorgesetzte Stern ‘*’ andeutet, daß benötigte
Begriffe später kommen.
Formulierung des FPS für stetig differenzierbares f im IRn : Ist D ⊆ IRn konvex und
abgeschlossen, sowie f : D → D auf einer D umfassenden offenen Teilmenge U von IRn
stetig differenzierbar und gilt λ := supx∈D kf 0 (x)k < 1, so erfüllt f die Voraussetzungen
des Fixpunktsatzes für X := D und das angegebene λ.
* Hierin ist kf 0 (x)k eine (Operator)norm der Funktionalmatrix (für eine Matrix A ist
kAk := max{~x|k~xk=1} kA~xk, siehe Anmerkung 212 (S.231)), die sich für n = 1 als Betrag
der zu einer Zahl degenerierten Matrix A entpuppt.
Im Beispiel f (x) = 12 (x + x2 ) wurde der Fixpunktsatz mittels x = f (x) zur Nullstellenbestimmung von x2 − 2 = 0 in Beispiel 168 (S.176) 2. herangezogen. Für D := [1, ∞)
haben wir λ := supx∈D |f 0 (x)| = supx∈D | 21 − x12 | = 12 . Die stetige Differenzierbarkeit
ist auf U := IR+ erfüllt und U ⊃ D. Es verbleibt der Nachweis f (D) ⊆ D, der in
Fixpunktanwendungen meist Geschick erfordert, und für den auf Beispiel 168 (S.176)
2. zurückverwiesen werde.
Nullstellenverfahren, Relaxationsmethoden: Um Nullstellen von g : X → X mit X ⊆
IRn zu bestimmen, wird die Aufgabe g(x) = 0 sehr oft mittels Relaxation in x = x +
H(g(x)) umformuliert. Nun erhofft man, daß f (x) := x + H(g(x)) die Voraussetzungen
des Fixpunktsatzes erfüllt.
180
Metrische Räume
Schnell erklärt ist das am Beispiel der Fixpunktsuche von x = 3x + 60 aus Beispiel
168 (S.176) 1. Offenbar kann die Aufgabe als Nullstellensuche von g(x) := 2x + 60 = 0
angesehen werden. Danach auch als Fixpunktaufgabe x = x − 13 (2x + 60). Somit ist
H(x) = 31 x und f (x) = 13 x − 20. Mit D := IR1 und wegen λ := supx∈IR |f 0 (x)| = 13 < 1
ist der FPS von Banach jetzt anwendbar.
Bezug zum Newtonverfahren: Hierbei ist f : U → U ⊆ IRn , eine (meist) zweimal stetig
partiell differenzierbare Funktion und von einem Punkt x0 ∈ U ausgehend, möchte man,
die Taylorentwicklung
0 ≈ f (xn ) ≈ f (xn−1 ) + f 0 (xn−1 )(xn − xn−1 ),
benützend, die rechte Seite zur Gleichung umformulieren, sodaß
xn = xn−1 − f 0 (xn−1 )−1 f (xn−1 )
entsteht. Für n = 1 entsteht die gewohnte Formel
xn = xn−1 −
f (xn−1 )
.
f 0 (xn−1 )
Es liegt daher nahe, die Abbildung F (x) := x − f 0 (x)−1 f (x) ins Auge zu fassen und
von ihr (nebst der Invertierbarkeit von f 0 (x) jene Bedingungen aufzuerlegen, daß der
FPS anwendbar wird.
Die übliche rasche Konvergenz des Verfahrens kann z.B. durch folgende Bedingungen,
die ich hier lediglich für n = 1 (siehe jedoch z.B. Seite 104 in [21]) formuliere:
Es sei I ein offenes Intervall im R1 , und f , dessen Nullstelle x∗ , d.i. Lösung von
f (x∗ ) = 0 gesucht werde, erfülle für alle x ∈ I folgende Bedingungen:
• |f 00 (x)| ≤ γ.
• Es existiert β > 0 mit |f 0 (x)| ≥ β1 .
0) 1
• Es sei α := ff0(x
(x0 ) und q := αβγ < 2 .
• [x0 − 2α, x0 + 2α] ⊆ I.
Dann hat f in I genau eine Nullstelle x∗ , die durch das Newtonverfahren approximiert
wird. Die Fehlerrate kann durch
n −1
|xn − x∗ | ≤ 2αq 2
abgeschätzt werden (quadratische Konvergenz).
Im Beweis spielt eine “tüftelige” Anwendung des Fixpunktsatzes die wesentliche Rolle.
√
Als Beispiel diene f (x) = x2 − 2 mit Nullstelle x∗ = 2, und es soll mit Beispiel 168
(S.176) 2. verglichen werden. Wir versuchen es mit I := (1, ∞) Die Newtoniteration
ergibt sich zu
f (xn−1 )
1
2
xn = xn−1 − 0
=
xn−1 +
,
f (xn−1 )
2
xn−1
5.1. Metrische Räume
181
d.i. genau die Formel aus dem zitierten Beispiel.
Zunächst ist f 00 (x) = 2 ist, also γ = 2 und sicherlich ist |f 0 (x)| = 2|x| ≥ 2 in I, sodaß
β = 21 .
Versuchen es mit x0 := 23 (ist hoffentlich “nahe genug an der Lösung”). Es ergibt sich
1
2 3
2
1 1
1
α = 12
und somit [ 23 − 12
, 2 + 12
] ⊆ (1, ∞). Danach ist q = 12
2 · 2 = 12 < 1. Somit
3
sollte der Newtonalgorithmus mit dem Startwert x0 := 2 konvergieren.
Um mit die Fehlerabschätzung mit jener vom zitierten Beispiel zu vergleichen, nehmen
wir hier x2 = 1.41421568 (welches mit dem x3 aus dem zitierten Beispiel übereinstimmt)
und man hat
22 −1
√
5
5
≈ 0.008930612711,
|x2 − 2| ≤ 2
12 18
m.a.W. zumindest die ersten 2 Nachkommastellen sind gesichert. Tatsächlich sind es die
unterstrichenen, jedenfalls ist die hier abgegebene Schätzung berechtigt optimistischer
als jene im zitierten Beispiel.
Hauptsatz der impliziten Funktionen: Hier wird der FPS als Beweisdetail benützt.
Ist F : U (x0 , y0 ) ⊆ IRn × IRm → IRm mit U (x0 , y0 ) offen und F stetig differenzierbar,
sowie F (x0 , y0 ) = 0 und Fy (x0 , y0 ) invertierbar, so gibt es eine Umgebung von W (x0 )
und eine eindeutige Lösungsfunktion h : W (x0 ) → IRm von F (x, y) = 0, d.h. es ist
F (x, h(x)) = 0 für alle x ∈ W (x0 ).
Das entscheidende Beweisdetail benützt die Formulierung
y = y − Fy (x, y)−1 F (x, y),
um geeignet die Funktion f mit f (h)(x) := h(x) − Fy (x, h(x))−1 F (x, h(x)) auf einem
geeigneten metrischen Raum von Kandidaten h zu definieren. Danach wird mittels
f gezeigt, daß Iteration auf die Lösungsfunktion h führt und somit deren Existenz
gesichert. Siehe z.B. in [36] Seite 150.
* Operatorgleichung x − Ax = y : Es sei (V, k · k) ein Banachraum und A : V → V ein
linearer Operator mit kAk := sup{v∈V |kvk=1} kAvk < 1 (vgl. Anmerkung 212 (S.231)),
so kann
(I − A)x = y
durch die sogenannte Neumannreihe (im wesentlichen geometrische Reihe)
∞
X
x=(
Aj )y
j=0
eindeutig gelöst werden. Der Fixpunktsatz liefert einen Beweis für Existenz und Eindeutigkeit der Lösung und auch für die Konvergenz der Neumannreihe, indem man sie
als Ergebnis der folgenden Iteration formuliert:
xn = Axn−1 + y
182
Metrische Räume
Die gleiche Art der Rechnung wie in Beispiel 168 (S.176) 1. ergibt
xn = An x0 + (I + A + · · · + An−1 )y,
und ist kAk < 1, so ist für f (x) := Ax + y die Abschätzung
kf (x) − f (x0 )k = kAx − Ax0 k ≤ kAkkx − x0 k
gültig, sodaß für X := V und λ := kAk der FPS anwendbar ist.
Gewisse Erneuerungs- und Volterra-Integralgleichungen können solcherart behandelt
werden. Sie treten z.B. bei Markovprozessen auf.
Nachiteration linearer Gleichungssysteme: Der Bezug zum FPS möge am oft verwendeten Gauß-Seidelverfahren angedeutet werden. (Das Jacobiverfahren ist ähnlich gebaut).
Um das lineare Gleichungssystem y = Ax für A eine n×n (reelle oder komplexe) Matrix
nach x aufzulösen, geht man (schematisch) wie folgt vor:
• Die Matrix A wird in der Form A = AL + D + AR zerlegt, wobei D der Diagonalanteil und AL , bzw. AR untere bzw. obere Dreiecksmatrix sind.
• Die Gleichung wird in äquivalenter Form als
x = −(D + AL )−1 AR x + (D + AL )−1 y
angeschrieben, wobei man lediglich die Invertierbarkeit von D voraussetzen muß.
• Als Rekursion findet man bei vorliegendem Startwert x0 für n ∈ IN
(D + AL )xn = −AR xn−1 + y,
ein System, welches leicht zu lösen ist, weil links eine untere Dreiecksmatrix steht.
Z.B. für das System

   
2 −1
0
x
x̃
 −1




2 −1
y
ỹ  ,
=
0 −1
2
z
z̃
das bei Diskretisierung der 2.ten Ableitung einer Funktion in einer Variablen entsteht, findet man solcherart


 

  
2
0 0
xn
0 1 0
xn−1
x̃
 −1








2 0
yn
0 0 1
yn−1
ỹ  ,
=
+
0 −1 2
zn
0 0 0
zn−1
z̃
und man sieht, daß solche Systeme durch “Vorwärtseinsetzen” schnell lösbar sind.
Unter sehr technischen Bedingungen (etwa den Sassenbergbedingungen, die im
Bspl. erfüllt sind) kann man zeigen, daß der FPS anwendbar wird.
5.1. Metrische Räume
183
Nachiteration wird gelegentlich in der Form
xn = xn−1 + ωD−1 (y − Axn−1 )
ausgehend von einem auf anderem Wege gefundenen, “nahe” der gesuchten Lösung
liegenden Startwert x0 angewendet, wobei der Relaxationsparameter ω geeignet zu
wählen ist. Genaueres siehe z.B. in [21], ab Seite 60.
* Picard-Lindelöf: Existenz und Eindeutigkeit von Anfangswertproblemen (AWP):
Ist [0, a] mit a > 0 ein Intervall, und U offene Teilmenge von IRn , sowie f : I × U → U
stetig mit kf (s, x) − f (s, y)k ≤ C|x − y| für alle s ∈ I und x, y ∈ U , so führt das
Anfangswertproblem
ẋ = f (t, x), x(0) = x0
auf die Integraldarstellung
t
Z
x(t) = x0 +
f (s, x(s)) ds.
0
Die Grundidee der Picarditeration besteht, von der Kurve x0 (t) = x0 , die im Raum
C(I, U ) der stetigen Funktionen von I nach U liegt, ausgehend, die Iteration
Z
xn (t) := x0 +
t
f (s, xn−1 (s)) ds
0
zu untersuchen. Dies führt dazu, den Banachraum X := (C(I, U ), k · k) mit kxk :=
supt∈I |x(t)|, wobei der Betrag für die euklidische Länge von x(t) steht, einzuführen
und dort F : X → X als
Z t
F (x)(t) := x0 +
f (s, x(s)) ds
0
zu definieren. Danach ergibt sich im IRn die Abschätzung
Z t
Z t
|F (x)(t)−F (y)(t)| = | (f (s, x(s)−f (s, y(s))) ds| ≤ |
C|x(s)−y(s)| ds| ≤ aCkx−yk,
0
0
sodaß für λ := aC < 1 der FPS die Konvergenz zu einem eindeutigen Fixpunkt, der
somit eindeutig bestimmten Lösung des AWPs ergibt.
Der Raum X besteht aus den auf I stetigen Funktionen mit RWerten in U , und das
t
f aus dem FPS die Integraltransformation x 7→ (t 7→ x0 + 0 f (s, xn−1 (s)) ds) von
X = C(I, U ) in sich selbst.
5.1.4
Offene, abgeschlossene, beschränkte, dichte und kompakte Teilmengen eines metrischen Raumes
184
Metrische Räume
Definition 170 Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes (X, d) ist
Offene Kugel K(x0 , r): falls sie von der Gestalt A = K(x0 , r) := {x ∈ X | d(x, x0 ) < r}
ist. Es ist r der Radius und x0 der Mittelpunkt. Insbesondere (für r ≤ 0) erweist sich
die leere Menge als offene Kugel.
offen: Wenn A leer ist, oder wenn zu jedem Punkt a ∈ A ein r > 0 existiert, sodaß die
offene Kugel K(a, r) ganz in A liegt.
beschränkt: wenn es eine offene Kugel K(x0 , r) mit A ⊆ K(x0 , r) gibt, d.h., wenn es r ∈ IR
und x0 ∈ X gibt, sodaß für alle a ∈ A stets d(x0 , a) < r gilt.
abgeschlossen (in X): Wenn für jede gegen einen Punkt x ∈ X konvergente Folge
{an }∞
n=1 , deren sämtliche Folgenglieder an in A liegen, ihr Grenzwert x = limn→∞ an
zu A gehört.
folgenkompakt: wenn A abgeschlossen ist und jede Folge {an }∞
n=1 von Punkten an ∈ A
eine konvergente Teilfolge besitzt.
dicht: Wenn für jedes x ∈ X jedes positive r die offene Kugel K(x, r) mindestens einen
Punkt von A enthält. Dies bedeutet, daß man jedes x in X beliebig genau durch Elemente in A approximieren kann.
Häufungspunkt: x ∈ X ist Häufungspunkt der Teilmenge A ⊂ X, wenn es ein Folge
{an }∞
n=1 mit an ∈ A und an → x gibt. IndexHäufungspunkt
Abschluß: Es ist Ā der Abschluß von A in X die Menge aller Häufungspunkte von A.
(Man kann zeigen, daß es sich dabei um den Durchschnitt aller abgeschlossenen, A
enthaltenden Teilmengen von X handelt.)
Beispiel 171 Einfache Beispiele:
1. In IR mit d(x, y) := |x − y| ist jede “offene Kugel” ein Intervall der Form (x0 − r, x0 + r).
Jedes Intervall der Form [a, b] ist abgeschlossen.
p
In IR2 mit d((x, y), (u, v)) := (x − u)2 + (y − v)2 ergeben sich “randlose Kreisscheiben” mit Radius r um den Mittelpunkt (x0 , y0 ) als “offene Kugeln”. Ab n ≥ 3 ergeben
sich in der entsprechenden Metrik (Hyper)kugeln.
2. Ist die Metrik diskret, d.h. d(x, y) = 1, genau dann, wenn x 6= y und d(x, x) := 0, so ist
K(x0 , r) = {x0 }, wenn r < 1 und X sonst.
3. Die rationalen Zahlen sind dicht in IR, weil in jedem noch so kleinen Intervall K(x, r) =
(x − r, x + r) um eine beliebige reelle Zahl x auch rationale Zahlen liegen.
4. Wichtig ist die dichte Einbettung eines metrischen Raumes in seine Vervollständigung
(siehe Anmerkung 165 (S.173)).
5.1. Metrische Räume
185
Anmerkung 172 Die folgenden Aussagen sind Konsequenzen der Definitionen:
1. Jede offene Kugel ist offen.
2. Eine Menge ist genau dann offen, wenn sie Vereinigung offener Kugeln ist.
3. Die Vereinigung beliebig vieler und der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen
ist offen.
4. Der Durchschnitt beliebig vieler und die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener
Mengen ist abgeschlossen.
5. Das Komplement einer offenen (abgeschlossenen) Menge ist abgeschlossen (offen).
6. Jede kompakte Menge ist beschränkt und abgeschlossen (aber im allgemeinen nicht
umgekehrt).
Schließlich sei noch der Satz von Heine-Borel vermerkt (M2 ET): Eine Teilmenge von
(IRn , d) bzw. (Cn , d) mit d die euklidische Metrik ist genau dann kompakt, wenn sie
beschränkt und abgeschlossen ist.
Nachweise dieser Aussagen findet man in Beispiel 287 (S.299).
Definition 173 (Stetigkeit) Eine Abbildung f : (X, d) → (Y, δ) ist (folgen)stetig an x0 ∈
X, falls für jede gegen x0 konvergente Folge {xn }∞
n=1 die Gleichung
f (x0 ) = f ( lim xn ) = lim f (xn )
n→∞
n→∞
stetige Funktion gilt.
Anmerkung 174 Die folgenden Aussagen für eine Abbildung f : (X, d) → (Y, δ) sind
Konsequenzen der Definitionen:
1. f ist genau dann stetig, wenn das Urbild jeder offenen (abgeschlossenen) Menge
offen (abgeschlossen) ist.
2. Ist f stetig, so ist der Graph {(x, f (x)) | x ∈ X} eine abgeschlossene Teilmenge von
X × Y , wobei als Metrik in X × Y die Funktion
d((x, y), (x0 , y 0 )) := d(x, x0 ) + d(y, y 0 )
dient.
3. Ist f stetig, so ist das Bild einer kompakten Menge stets kompakt.
186
Metrische Räume
4. (Weierstraß) Ist X kompakt und f : (X, d) → (IR, | · |) stetig, so gibt es ein x∗ ∈
X mit supx∈X f (x) = f (x∗ ). Ist insbesondere {xn }∞
n=1 eine gegen ein x0 ∈ X
konvergente Folge in X mit
lim f (xn ) = sup f (x),
n→∞
x∈X
so ist supx∈X f (x) = f (x0 ).
5. (Stetige Fortsetzung einer auf dichter Teilmenge gleichmäßig stetigen Funktion). Ist
Y vollständig, D dicht in X, so läßt sich jede auf D gleichmäßig stetige Funktion
zu einer auf ganz X gleichmäßig stetigen Funktion erweitern.
Beispiel 175 Einige einfache Beispiele sollen konkreten Nutzen andeuten:
1.
? Warum ist {(x, y) ∈ IR2 | x2 + y 2 = 1} abgeschlossen?
Antwort: Die Abbildung f : IR2 → IR, gegeben durch f (x, y) := x2 + y 2 − 1, ist stetig
(sogar differenzierbar). Da {0} eine abgeschlossene Teilmenge von IR ist, ergibt das
Stetigkeitskriterium die Abgeschlossenheit von
f −1 ({0}) = {(x, y) | f (x, y) = 0} = {(x, y) | x2 + y 2 = 1}.
? Warum ist die Menge {(x, y) | 1 < x2 + y 2 < 4} offen?
Antwort: Die Abbildung f : IR2 → IR, gegeben durch f (x, y) = x2 + y 2 , ist stetig.
Weiter ist die Menge (1, 4) ein offenes Intervall in IR und somit
f −1 ((1, 4)) = {(x, y) | f (x, y) ∈ (1, 4)} = {(x, y) | 1 < f (x, y) < 4} = {(x, y) | 1 < x2 +y 2 < 4}
offen.
2.
? Man zeige, daß es (x∗ , y ∗ ) mit sup{(x,y)|x2 +y2 =1} xy = x∗ y ∗ und (x∗ )2 + (y ∗ )2 = 1
gibt. Wie kann (x∗ , y ∗ ) gefunden werden?
Antwort. Der Kreis S := {(x, y) | x2 + y 2 = 1} ist kompakt, weil abgeschlossen und
beschränkt. Die Funktion f , definiert durch f (x, y) := xy nimmt wegen des Satzes
von Weierstraß auf S ihr Supremum an und daher gibt es (x∗ , y ∗ ) mit den geforderten
Eigenschaften.
Um (x∗ , y ∗ ) zu finden, eignet sich die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren, d.h.
man bildet Φ(x, y, λ) := xy + λ(x2 + y 2 − 1), differenziert nach x, y, setzt Null und
findet y + 2λx = x + 2λy = x2 + y 2 − 1 = 0, also (nach elementarer Rechnung) x = ±y.
Als Supremum findet man schließlich den Wert 21 , der an der Stelle (x∗ , y ∗ ) = ( √12 , √12 )
angenommen wird.
5.1. Metrische Räume
3.
187
? (Bestapproximation) Es sei K eine kompakte Teilmenge von (X, d) und x ∈ X,
gibt es ein k ∈ K, welches von x minimalen Abstand hat? Ist die Aufgabe eindeutig
lösbar?
Antwort: Es sei f : K → IR durch f (k) := d(k, x) definiert. Da f stetig auf der
kompakten Menge ist, nimmt sie dort wegen des Satzes von Weierstraß ihr Minimum
an.
Die Lösung muß nicht eindeutig sein, es genügt hierzu für K := {(x, y) | x2 + y 2 = 1},
d.i. die Einheitskreislinie in der Ebene (beschränkt+abgeschlossen, also kompakt) und
den Mittelpunkt, sowie die euklidische Metrik zu nehmen.
Beispiel 176 Nachweis der Behauptungen in Anmerkung 174 (S.185). Zunächst die Charakterisierungen der Stetigkeit:
1. Es sei f folgenstetig und V offen in Y . Es soll gezeigt werden, daß f −1 (V ) offen ist.
Sei x ∈ f −1 (V ) und y := f (x). Nun sei Un := K(x, n1 ). Die Idee des BW besteht darin,
ein N zu finden, für das UN in f −1 (V ) enthalten ist. Wir zeigen das indirekt: falls jede
Kugel Un ein Element xn mit f (xn ) 6∈ V enthält, so ergibt sich aus d(x, xn ) < n1 , daß
limn→∞ xn = x ist. Dann ist limn→∞ f (xn ) = f (x) ∈ V 0 , da ja das Komplement V 0 von
V abgeschlossen ist, ein Widerspruch, weil ja f (x) ∈ V ist.
Es sei nun das Urbild f −1 (V ) jeder offenen Menge offen in X. Nun sei B beliebige
abgeschlossene Teilmenge von Y . Dann ist f −1 (B 0 ) offen in X und weil f −1 (B 0 ) =
(f −1 (B))0 (wie man aus den Definitionen der entsprechenden Komplementbildungen in
Y bzw. X sofort entnimmt), ist f −1 (B) somit abgeschlossen.
Schließlich sei das Urbild f −1 (B) jeder abgeschlossenen Teilmenge von Y abgeschlossen
in X. Nun sei {xn }∞
n=1 eine gegen x ∈ X konvergente Folge. Wir wollen limn→∞ f (xn ) =
f (x) zeigen. Es sei B := {f (xn ) | n ∈ IN } der Abschluß der Bildmenge der Folge
∞
{xn }∞
n=1 . Das Urbild von B ist abgeschlossen, und die Folge {xn }n=1 ist in diesem
Urbild enthalten. Daher liegt x in diesem Urbild. Deshalb muß es eine Teilfolge der Folge {xn }∞
n=1 geben, deren Bilder gegen f (x) konvergiert. Da unsere gegen x konvergente
Folge beliebig gewählt war, und sie stets eine eine Teilfolge enthält, deren Bilder gegen
f (x) konvergieren, ist limn→∞ f (xn ) = f (x).
2. Es sei f stetig. Nun sei {(xn , yn )}∞
n=1 eine konvergente Folge von Punkten im Graphen
G(f ), d.h. yn = f (xn ). Wegen der Stetigkeit hat man
lim d(xn , x) = lim d(f (xn ), f (x)) = 0,
n→∞
n→∞
sodaß in der Produktmetrik
lim (d(xn , x) + d(f (xn ), f (x))) = 0
n→∞
folgt. Deshalb ist limn→∞ (xn , yn ) = (x, f (x)) ∈ G(f ), sodaß der Graph von f eine
abgeschlossene Teilmenge von X × Y ist.
188
Metrische Räume
3. Es sei K kompakte Teilmenge von X und f stetig. Dann ist zu zeigen, daß jede Folge
{f (kn )}∞
n=1 mit kn ∈ K eine konvergente Teilfolge besitzt, und weiter, daß jede konvergente Folge von Elementen in f (K) gegen ein Element in f (K) konvergiert. Da K
kompakt ist, gibt es eine konvergente Teilfolge und wegen der Stetigkeit von f konvergiert die Folge der Bilder. Sei nun {f (kn )}∞
n=1 eine gegen y ∈ Y konvergente Folge.
Wir wollen zeigen y ∈ f (K). Da K kompakt ist, gibt es eine gegen ein k ∈ K konvergente Teilfolge der Folge {kn }∞
n=1 , deren Bildfolge wegen der Stetigkeit von f gegen
f (k) ∈ f (K) konvergiert. Diese Bildfolge konvergiert als Teilfolge von {f (kn )}∞
n=1 gegen
y, sodaß y = f (k) ∈ f (K) liegt. konvergiert.
4. Man verwendet die vorherige Situation mit Y := IR. Dann ist f (X) eine kompakte
Teilmenge von IR, welche beschränkt und abgeschlossen ist. Sie besitzt deshalb ein
Maximum, d.i. es gibt ein x∗ mit f (x∗ ) = max f (X).
5. Zunächst zeigt man die Konvergenz der Folge {f (dn )}∞
n=1 für jede gegen ein x ∈ X
.
Ist
x
∈
D,
so
ergibt
sich
dies aus der Stetigkeit von f .
konvergente Folge {dn }∞
n=1
Nun sei x 6∈ D. Da f auf D gleichmäßig stetig ist, ist die Folge der {f (dn )}∞
n=1 eine
Cauchyfolge und somit gegen ein y ∈ Y konvergent, weil Y vollständig ist. Danach
definiert man als Erweiterung f˜(x) := limn→∞ fn (dn ).
5.1.5
Approximationssatz von Stone-Weierstraß
Dieser Satz ist theoretische Grundlage für viele Approximationsfragen. Wie unten noch auszuführen, folgt aus diesem Satz, daß sich jede stetige 2π-periodische Funktion durch eine Reihe von der Bauart einer Fourierreihe (allerdings nicht genau die Fourierkoeffizienten) gleichmäßig approximieren läßt, wenn die Funktionswerte in den Endpunkten übereinstimmen. In der Fourieranalysis wird dieses Faktum dazu benützt, die Approximierbarkeit
von quadratisch integrierbaren
Funktionen mittels Fourierreihen im Sinne der quadratischen
qR
Pn
2π
inx |2 dx = 0) herzuleiten. Siehe Beispiel 235
Konvergenz (limn→∞
k=−n cn e
0 |f (x) −
(S.255) 1.
Anmerkung 177 Es handelt sich um folgende Begriffe und Aussagen:
Ausgangssituation : ist ein kompakter topologischer Raum X und eine Teilmenge S
von reell- bzw. komplexwertigen auf X stetigen Funktionen.
S ist punktetrennend, wenn es zu je zwei Punkten x 6= x0 in X eine Funktion f in S
mit f (x) 6= f (x0 ) gibt.
Approximationssatz I: Ist S ein reeller Vektorraum punktetrennender Funktionen,
der mit je 2 Funktionen f und g die Funktion max{f, g} enthält, und dem die
konstante Funktion 1 angehört, so kann jede auf X stetige Funktion gleichmäßig
durch Funktionen in S approximiert werden.
5.1. Metrische Räume
189
Approximationssatz II : Ist S eine Familie punktetrennender Funktionen, welche die
konstante Funktion 1 enthält, so kann jede stetige Funktion auf X gleichmäßig
durch Polynomausdrücke in S approximiert werden.
Approximationssatz komplexe Version: Ist S eine Familie punktetrennender
Funktionen, welche die konstante Funktion 1 enthält und mit jedem s auch die
konjugierte, so kann jede stetige Funktion auf X gleichmäßig durch Polynomausdrücke in S approximiert werden.
Der Beweis kann z.B. in [13] gefunden werden.
Beispiel 178 Die prominentesten Situationen sind die folgenden:
Polynomapproximation auf kompaktem Intervall I: Jede auf dem kompakten Intervall I stetige Funktion kann gleichmäßig durch Polynome approximiert werden.
Hier besteht S aus allen Polynomen. Es ist 1 ein Polynom und jeder Polynomausdruck
in Polynomen ein Polynom, also kann II herangezogen werden.
Trigonometrische Polynome: Man betrachtet alle Ausdrücke
N
X
1
a0 +
An cos nx + Bn sin nx,
2
n=1
die wegen der trigonometrischen Identitäten bei Multiplikation wieder so eine Summe
ergeben. Somit besagt II, daß jede auf [0, 2π] stetige Funktion gleichmäßig durch solche
trigonometrischen Summen approximiert werden kann.
(Trigonometrische) Exponentialsummen: Man betrachtet auf [0, 2π] als Familie S alle
Funktionen
N
X
cn einx
n=−N
mit komplexen Koeffizienten cn , welche die Voraussetzungen der komplexen Version
erfüllen. Demnach kann jede auf [0, 2π] stetige Funktion gleichmäßig durch solche Polynome approximiert werden.
Hutfunktionen: Es sei (beispielshalber) I = [0, 1] und man betrachtet alle Hutfunktionen
mit Teilungspunkten an Vielfachen von Potenzen von 21 (“dyadischen Punkten”). Diese Familie erfüllt zusammen mit der konstanten Funktion 1 die Voraussetzungen von
I, sodaß jede stetige Funktion gleichmäßig durch Hutfunktionen approximiert werden
kann. In effizienter Weise wird dies bei FEM-Methoden benützt. Siehe auch Beispiel
191 (S.204).
190
Metrische Räume
Kapitel 6
Lineare Funktionalanalysis
6.1
Vektorräume
6.1.1
Grundlagen, Axiome
Definition 179 (K-Vektorraum) Ein K-Vektorraum oder linearer Raum (V, K, +, ·) über
dem Skalarkörper K besteht aus folgenden Bestandteilen:
1. Dem Körper K.
2. Einer abelschen Gruppe (V, +).
3. Einer Abbildung · : K ×V → V , die als Multiplikation von Elementen in V mit Skalaren
bezeichnet wird, sodaß für alle k, l ∈ K und alle u, v ∈ V , sowie die 1 in K die folgenden
Gleichungen gelten:
1·v
= v
(k + l) · v = k · v + l · v
k · (u + v) = k · u + k · v
(kl) · u
= k · (l · u).
Wir werden das ‘·’ oft weglassen.
Beispiel 180 Grundlegende Beispiele:
1. (Koordinatenraum) Es ist K n der Koordinatenraum, aufgefaßt als Zeilen bzw. Spalten (etwa n = 3)


v1
~v := (v1 , v2 , v3 ), eher jedoch ~v = (v1 , v2 , v3 )T =  v2  ,
v3
wobei ‘T ’ Transponieren bedeutet, d.h. Übergang von jeweils Zeilen-/Spalten- zu Spalten/Zeilendarstellung. Addiert, bzw. Multipliziert mit Skalaren wird komponentenweise.
Grundsätzlich ist es egal, ob man den Koordinatenraum als Menge von Zeilen- oder
191
192
Lineare Funktionalanalysis
Spaltenvektoren auffaßt, jedoch legt es Matrizenrechnung nahe, Vektoren als Spalten
(und später die linearen Funktionale oder auch Kovektoren als Zeilen) aufzufassen.
Der Koordinatenraum K n kann als Funktionenraum von auf einer n-elementigen Menge
definierten Funktionen mit Werten in K angesehen werden, wie das nächste Beispiel
zeigt.
2. (Funktionenräume K X ) Ist X eine beliebige Menge, so wird die Menge aller Kwertigen Funktionen zu einem K-Vektorraum, wenn man für f, g ∈ K X und k ∈ K die
Funktionen f + g bzw. k · f durch (f + g)(x) := f (x) + g(x) und (k · f )(x) := k · f (x)
festlegt1 .
Es ist üblich, statt K {1,...,n} einfach K n zu schreiben, da jedes f ∈ K {1,...,n} durch
das n-Tupel (f (1), . . . , f (n)) ∈ K n eindeutig festgelegt ist. Umgekehrt läßt sich jedes
n-Tupel (k1 , . . . , kn ) als Funktion f : {1, . . . , n} → K auffassen, indem man f (i) := ki
definiert.
Im Fall K = IR und n = 2 zeigt die folgende Skizze, wie man das Element (3, 4) ∈ IR2
links als Element im Koordinatenvektorraum interpretiert und rechts als Funktion auf
der zweielementigen Menge {1, 2}. Der Leser möge für sich selbst die Situation n = 3
skizzieren.
·
·4
(3,C 4)
·3
·
•
(0, 0)
·
1
·
2
(3, 4) ∈ IR2
Graph der Funktion f mit f (1) := 3, f (2) := 4
? Gibt es die beiden Sichtweisen auch für unendliches X, etwa für X := IN ?
Antwort: Wenn X = IN ist, so ist K IN der Vektorraum der unendlichen Folgen {kn }∞
n=1 ,
wobei für f ∈ K IN das Tupel durch kn := f (n) festgelegt ist. Man bräuchte offenbar
unendlich viele “Achsen”, sodaß die übliche im IR3 gebräuchliche Sichtweise von “Vektoren” zeichnerisch schwer realisierbar ist. Hingegen kann die Folge als Graph skizziert
werden, in der nachstehenden Skizze sieht man die ersten 8 Glieder der reellen Folge
xn := n1 angedeutet.
1
Links sind ‘+’ bzw. ‘·’ die neu definierten Operationen auf K X , und rechts Operationen in K.
6.1. Vektorräume
193
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
? Wie kann man die Operationen ‘+’ und ‘·’ geometrisch interpretieren?
Antwort: Die geometrische Interpretation im Rn erlaubt die Sichtweise der aus der
Physik gewohnten “Vektoraddition”, jene als Graph von Funktionen jene der “linearen
Überlagerung” von Funktionen. Für die Addition der Elemente ~c = ~a + ~b von Vektoren im IR2 wird die obige Interpretation als Funktionsgraph rechts wiedergegeben. Die
punktierte Linie soll
die “Koordinaten”
der Vektoren
erkennbar machen. Hier
lediglich
4
2
2
.
und ~c = ~a + ~b =
, ~b =
für Vektoren ~a =
3
0
3
·
a1
a1 + b1
~c
~
~a =
~c = ~a + b =
a2
a2 + b2
;
D·
ww·
·
w
~a
w
w
w
ww
ww
w
ww
ww
w
ww
wwww
ww
w
ww
w
w
/·
~b =
b1
b2
·
·
1
~b
·
2
Beispiel 181 (Raum der Testfunktionen) Es sei C ∞ (IR) die Menge der auf ganz IR definierten, beliebig oft in jedem x ∈ IR differenzierbaren Funktionen (wie z.B. sin(x)).
? Ist C ∞ (IR) ein reeller Vektorraum?
Antwort: Man hat sich zu überlegen, daß mit f, g beliebig oft differenzierbar, auch kf + lg
beliebig oft differenzierbar ist. Für die erste Ableitung verwendet man
(kf + lg)(x + h) − (kf + lg)(x)
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
=k
+l
h
h
h
woraus beim Grenzübergang h → 0 die Existenz des Grenzwertes auf der linken Seite folgt
und zudem die bekannte Regel (kf + lg)0 = kf 0 + lg 0 bestätigt wird. Nun verwendet man
vollständige Induktion.
194
Lineare Funktionalanalysis
? Ist die Teilmenge D(IR), die Menge der Testfunktionen, welche definitionsgemäß aus allen
Funktionen in C ∞ (IR) besteht, die außerhalb eines beschränkten Intervalls Null sind, ein
linearer Teilraum von C ∞ (IR)?
Antwort: Ja. Verschwindet nämlich f außerhalb des beschränkten Intervalls I und g außerhalb des beschränkten Intervalls J, so verschwindet kf + lg außerhalb der Menge I ∪ J. Nun
sei a := min{x | x ∈ I ∪ J} und b := max{x | x ∈ I ∪ J}, so verschwindet f + g außerhalb
des Intervalls [a, b] und dieses Intervall ist beschränkt.
? Gibt es überhaupt Testfunktionen außer der trivialen Funktion, die identisch Null ist?
Antwort: Ja, es gibt eine Funktion ψ, die auf dem Intervall (0, 1) positiv und sonst Null
ist, eine sogenannte Beulenfunktion.
1
Hier ist die übliche Konstruktion. Zunächst definiert man φ(x) := e− x , falls x > 0 ist,
und φ(x) = 0 sonst. Die Funktion ist an Null stetig, weil limh→0+ x1 = +∞, und somit das
Minus dazu führt, daß die Exponentialfunktion gegen Null strebt. Für x 6= 0 ist die Funktion
sichtlich beliebig oft differenzierbar (links von Null ergibt sich stets Null, rechts “horrende”
Ausdrücke der Gestalt (n ∈ IN )
Polynom(x)e−1/x
.
xn
(∗)
−1
Für x = 0 muß die Grenzwertdefinition der Ableitung herangezogen werden: φ(h)−φ(0)
= e hh
h
und die Regel von De L’Hospital zeigt, daß der Grenzwert Null wird. Die gleiche Art der
Überlegung zeigt, daß die Funktion in (∗) ebenfalls die Ableitung Null an Null hat. Es mag
noch hilfreich sein, zu vermerken, daß die Funktion φ, wie bemerkt, “unendlich” flach an 0
ist, danach monoton ansteigt und sich der Asympote y = 1 von unten her nähert.
Nun kann ein ψ mit den behaupteten Eigenschaften durch ψ(x) := φ(x)φ(1 − x) festgelegt
werden. Es hat die Gestalt einer Beule, daher der Name.
6.1.2
Teil-, Quotienten- und Komplementärraum
Definition 182 (Teil-, Quotienten-, und Komplementärraum)
(Linearer) Teilraum: Eine Teilmenge U eines K-Vektorraums V heißt (linearer) Teilraum
von V , falls U eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
• U ist eine Untergruppe von V und K · U := {k · u | k ∈ K, u ∈ U } ⊆ U .
• Für alle u, v ∈ U und alle k, l ∈ K gehört k · u + l · v zu U .
• Für alle u, v ∈ U und alle k ∈ K gehören u + v und k · u zu U .
Quotientenraum: Ist U ein Teilraum von V so kann die Quotientengruppe V /U , nämlich
die Menge aller Mengen der Form v + U = {v + u | u ∈ U } (genau wie in Definition
136 (S.147)) als K-Vektorraum auffassen, indem man
(v + U ) + (w + U ) := (v + w) + U, k(v + U ) := kv + U
definierta .
6.1. Vektorräume
195
Komplementärraum: Ein Teilraum W von V heißt Komplementärraum zu U (oder oft
kurz Komplementb ), falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
• Jede Nebenklasse von U hat genau einen Schnittpunkt mit W , d.h. für alle v ∈ V
besteht (v + U ) ∩ W aus genau einem Element.
• Jedes Element v in V hat eine eindeutige Darstellung
v =u+w
mit u ∈ U und w ∈ W .
• U ∩ W = {0} und U + W := {u + w | u ∈ U, w ∈ W } = V . Man drückt dies auch
durch V = U ⊕ W aus, und bezeichnet V als direkte Summe der Teilräume U und
W.
Bitte nicht mit Komplement einer Menge verwechseln!
V
0
U
Im Bild ist U ein 2-dimensionaler Teilraum des
(etwa die (x, y)-Koordinatenebene), die Gerade W ein Komplementärraum zu U
(zusammen spannen sie V := IR3 auf und haben nur den Nullvektor gemeinsam). Das
(mengentheoretische) Komplement zu U , im Zeichen IR3 \ U , entsteht, indem man die
ganze Ebene U aus dem IR3 entfernt.
IR3
a
Auf jeweils der linken Seite ist das nicht eingeklammerte ‘+’ (bzw. nicht explizit angeschriebene ‘·’) als zu definieren zu verstehen, rechts ist das ‘+’ (bzw. ‘·’) jenes in V .
Man muß sich Wohldefiniertheit überlegen. Für ‘+’ besteht das darin, v 0 ∈ v + U und
w0 ∈ w + U beliebig vorzugeben, und zu vermerken, da v 0 + w0 ∈ (v + w) + U ist, somit
(v 0 + U ) + (w0 + U ) = (v + U ) + (w + U ) gilt. Analog für k(v + U ).
Nicht mit dem mengentheoretischen Komplement A \ B = {a ∈ A | a 6∈ B} zu verwechseln.
b
Beispiel 183 Einführende Übungen hierzu.
1.
? Ist die Gerade U := {(x, x) | x ∈ IR} ein linearer Teilraum von IR2 ?
Antwort(findung): Das ist der Fall, der Nachweis soll mittels der dritten Formulierung
196
Lineare Funktionalanalysis
erbracht werden: Sind u := (x, x) und v := (y, y) Elemente in U , so ist u + v =
(x + y, x + y) ∈ U . Weiters ist für reelles r stets r · u = r · (x, x) = (rx, rx) ∈ U .
? Wie kann der Quotientenraum V /U beschrieben werden? Welche geometrische Deutung kann gegeben werden?

U
Antwort: Der Quotientenraum besteht aus
der Menge aller zu U parallelen Geraden.
“Schrumpft” man jede dieser Geraden auf einen
Punkt der x-Achse (angedeutet durch die punktierte Linie), so erweist sich V /U als zu IR isomorpher Vektorraum.
? Wie sehen Komplementärräume zu U aus?
Antwort: Jede Gerade durch den Ursprung, mit Ausnahme von U erweist sich als Komplementärraum. Mit der ersten Form der DN sieht man das am einfachsten ein.
2.
? Ist die Menge U der ungeraden, auf dem reellen Intervall [−1, 1] definierten reellwertigen Funktionen Teilraum von IR[−1,1] ?
Antwort: Ja. Wir wollen die DN in der zweiten Form benützen. Sind u, v ungerade
Funktionen, so erfüllen sie für alle x ∈ [−1, 1] die Gleichung u(x) = −u(−x), bzw.
v(x) = −v(−x). Deshalb gilt für alle r, s ∈ IR und alle x ∈ [−1, 1]
(ru+sv)(x) = ru(x)+sv(x) = r(−u(−x))+s(−v(−x)) = −(ru(−x)+sv(−x)) = −(ru+sv)(−x),
sodaß ru + sv ∈ U ist.
? Wie kann die Tatsache, daß jede Funktion eine eindeutige Zerlegung in einen geraden
und einen ungeraden Anteil hat, im Sinne von Komplementärräumen gesehen werden?
Antwort: Ist G die Menge der geraden Funktionen, so ist K X = U ⊕ G, m.a.W. G ist
Komplementärraum zu U und U einer zu G.
3. Für eine Funktion f ∈ K X ist {x ∈ X | f (x) 6= 0} der Träger von f .
? Ist die Menge W aller Funktionen in K X mit endlichem Träger ein linearer Teilraum?
Antwort: Ja. Wir verwenden die DN in der dritten Form. Sind u, v ∈ K X solche Funktionen und A ⊆ X, B ⊆ X die Träger von u und v, so verschwinden beide Funktionen
u und v außerhalb der Menge A ∪ B, sodaß der Träger von u + v sichtlich in A ∪ B
enthalten ist. Deshalb ist der Träger von u + v endlich und somit gehört u + v zu W .
Schließlich überlegt man sich daß der Träger von ku gleich jenem von u ist, sobald k 6= 0
ist.
? Wenn X unendlich ist, ist dann die Teilmenge jener f von K X , welche unendlichen
Träger haben, ein linearer Teilraum?
6.1. Vektorräume
197
Antwort: Nein. Sei z.B. f jene Abbildung, die jedem x ∈ X den Wert f (x) := 1
zuordnet. Der Träger von f ist dann ganz X, ist also unendlichen. Auch die Funktion
g := −f hat X als Träger. Der Träger der Summe von f + g = 0 ist leer, also endlich.
Die Funktionen mit unendlichem Träger bilden somit keine abelsche Gruppe und daher
keinen Teilraum (1.te Charakterisierung) von K X .
4.
? Wie beweist man die Äquivalenz der Kennzeichnung eines Komplementärraumes W
zu U ?
Antwort: Es gelte die erste Kennzeichnung. Sei nun v ∈ V beliebig. Dann ist v + U die
eindeutig bestimmte Nebenklasse, zu der v gehört. Es sei w(v) das eindeutig bestimmte
Element in (v + U ) ∩ W . Da w(v) ∈ v + U ist, gibt es ein u ∈ U mit w(v) = v + u.
Deshalb ist v = u + (−w(v)) eine Summe aus einem Element in U und einem in W .
Angenommen, v = u0 + w0 ist eine beliebige Summendarstellung mit u0 ∈ U 0 und
w0 ∈ W . Dann ist w0 = v + (−u0 ) ∈ v + U und w0 ∈ W , sodaß w = w0 sein muß. Dann
ist auch u = u0 und die 2.te Kennzeichnung gilt.
Es gelte die zweite Kennzeichnung für W . Angenommen x ∈ U ∩W . Dann sind 0 = x+0
und 0 = 0 + x Zerlegungen des Nullvektors in einen Anteil in U und einen in W und
wegen der Eindeutigkeit kann dann nur x = 0 gelten. Da jedes Element v ∈ V (sogar
eindeutig) als ein v = u + w mit u ∈ U und w ∈ W darstellbar ist, ist V = U + W . Die
3.te Kennzeichnung ist erfüllt.
Es gelte die 3.te Kennzeichnung für W . Für eine beliebige Nebenklasse v +U betrachten
wir (v + U ) ∩ W und wollen zeigen, daß diese Menge genau ein Element enthält. Seien
w, w0 ∈ (v + U ) ∩ W . Dann gibt es u, u0 ∈ U mit
v = u + w = u0 + w0 ,
sodaß Subtraktion auf u − u0 = w0 − w ∈ U ∩ W = {0} führt. Deshalb ist u = u0 und
insbesondere w = w0 , sodaß die 1.te Kennzeichnung bewiesen ist.
Anmerkung 184 Ist {Ui | i ∈ I} eine Familie von Teilräumen von V , so ist
Teilraum von V .
T
i∈I
Ui ein
Beweis: Die dritte
T Charakterisierung eines Teilraumes benützend,Tsoll lediglich der Nachweis für
T u + v ∈ i∈I Ui erbracht werden, falls beide, u und v in i∈I Ui liegen (jener für
ku ∈ i∈I Ui geht ähnlich): Es ist
T
T
(u ∈ i∈I Ui ) ∧ (v ∈ i∈I Ui )) ⇔ (∀i ∈ I) ((u ∈ Ui ) ∧ (v ∈ Ui ))
⇒ (∀i ∈ I) Tu + v ∈ Ui
⇔ u + v ∈ i∈I Ui
Beispiel 185 Beispiele zu hauptsächlich Teilräumen von Funktionenräumen.
198
Lineare Funktionalanalysis
1. Es sei V die Menge der auf [0, 2π] definierten reellen Funktionen, d.h. V = IR[0,2π] .
? Ist die Menge C[0, 2π] der auf [0, 2π] stetigen Funktionen ein linearer Teilraum von
V?
Antwort: Zum Nachweis der ersten Teilbehauptung werde Definition 182 (S.194), dritte
Charakterisierung herangezogen (wir werden lediglich “u + v stetig” vorzeigen, ku geht
genauso). Eine Funktion f ist an x0 bekanntlich stetig, genau dann, wenn für jede ganz
in [0, 2π] befindliche Folge {xn } mit limn→∞ xn = x0 auch limn→∞ f (xn ) = f (x0 ) gilt.
Sind nun u, v stetig an x0 und {xn } eine gegen x0 konvergente Folge, so gilt wegen der
Grenzwertregeln
lim (u+v)(xn ) = lim (u(xn )+v(xn )) = lim u(xn )+ lim v(xn ) = u(x0 )+v(x0 ) = (u+v)(x0 ).
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Somit hat man gezeigt, daß für jedes feste x0 ∈ [0, 2π] die an diesem Punkt stetigen
Funktionen einen linearen Teilraum Ux0 von V bilden. Weil
\
C[0, 2π] =
U x0
x0 ∈[0,2π]
genau die Menge der auf [0, 2π] stetigen Funktionen ist, ist wegen Anmerkung 184
(S.197) die Menge C[0, 2π] linearer Teilraum von V .
? Ist U := {f ∈ V | f (0) = f (2π)} ein linearer Teilraum von V ? Ist Wx0 := {f ∈ V |
f (x0 ) = 0} ein linearer Teilraum von V ? Ist M := {f ∈ V | f (0) = f (2π) = 0} linearer
Teilraum? Ist C0 [0, 2π] := {f ∈ U | f (0) = f (2π) = 0} linearer Teilraum?
Antwort: Um die erste Frage mit ‘Ja’ beantworten zu können, soll Definition 182
(S.194), dritte Charakterisierung herangezogen werden: Es seien k, l ∈ IR und u, v ∈ U .
Dann ist u(0) = u(2π) und v(0) = v(2π). Deshalb ist
(ku + lv)(0) = ku(0) + lv(0) = ku(2π) + lv(2π) = (ku + lv)(2π).
Somit ist U linearer Teilraum.
Es werde die zweite Charakterisierung zum Nachweis dafür, daß Wx0 linearer Teilraum
ist, herangezogen. Sind k, l ∈ IR und u, v ∈ Wx0 so ist
(ku + lv)(x0 ) = ku(x0 ) + lv(x0 ) = 0,
also ku + lv ∈ Wx0 .
Weil M = W0 ∩ W2π , folgt aus der vorigen Teilbehauptung und weil wegen Anmerkung
184 (S.197) der Durchschnitt linearer Teilräume linearer Teilraum ist, daß M linearer
Teilraum ist.
In analoger Weise ergibt sich C0 [0, 2π] = C[0, 2π]∩M , sodaß C0 [0, 2π] linearer Teilraum
ist.
6.1.3
Lineare Hülle, Unabhängigkeit, Basen, Dimension
6.1. Vektorräume
199
Definition 186 (Lineare (Un)abhängigkeit, Basis)
Linearkombination: Ist V ein K-Vektorraum und ist W ⊆ V eine endliche, nicht leere
Teilmenge, so heißt jeder Ausdruck
v=
X
kw w
w∈W
mit kw ∈ K eine Linearkombination der Elemente von W . Ist W die leere Menge, so
wird
X
kw w := 0
w∈∅
definiert. Es heißt kw Koeffizient von w. Man sagt auch, daß v aus den Elementen in
W linear kombinierbar ista .
Lineare Hülle: Der kleinste lineare Teilraum von V , welcher eine gegebene Teilmenge X ⊆
V enthält, wird mit L bezeichnet und erweist sich für X 6= ∅ als die Menge aller
Linearkombinationen von Elementen in X. Falls X leer ist, ergibt sich L(X) := {0}.
Es heißt L(X) der von X aufgespannte oder erzeugte lineare Teilraum von V , bzw. die
lineare Hülle von X (woher auch das “L” herrührt). Die Menge X nennt man auch
Erzeugendensystem von U := L(X).
Elementaroperationen mit Erzeugendensystemen:
• Weglassen des Nullvektors: Ist U = L(X), so ist U = L(X \ {0}).
• Addieren von skalaren Vielfachen eines festen Vektors in X zu allen anderen: Es
sei U = L(X). Ist x0 ∈ X und λ : X \ {x0 } → K, sowie Y := {x0 } ∪ {x + λ(x)x0 |
x ∈ X, x 6= x0 }, so ist U = L(Y ).
Lineare (Un)abhängigkeit: Eine Teilmenge X ⊆ V heißt linear abhängig, falls es eine
endliche Teilmenge W ⊆ X und Elemente kx ∈ K gibt, die nicht alle Null sind, sodaß
X
kw w = 0
w∈W
giltb .
Falls X nicht linear abhängig ist, so heißt X linear unabhängig. Die leere Menge ist
stets linear abhängig. Man beachte, daß jede Menge X mit 0 ∈ X linear abhängig ist.
Basis : Jede der folgenden Eigenschaften kennzeichnet eine nicht leere Teilmenge X von V
als Basis von V :
• X ist linear unabhängig, jedoch X ∪ {v} linear abhängig für jedes v ∈ V \ X.
200
Lineare Funktionalanalysis
• Jedes v ∈ V ist mit eindeutig bestimmten Koeffizienten kx als Linearkombination
X
v=
kx x
x∈X
darstellbar (dabei sind gemäß DN der Linearkombination alle bis auf endlich viele
kx Null).
a
b
Man stellt sich am besten vor, daß jedes w mit einem Koeffizienten “skaliert” wird, und
danach die skalierten Vektoren (bzw. Funktionen) addiert werden.
Andere Redensart: Der Nullvektor kann in nicht trivialer Weise durch Elemente in X linear
kombiniert werden.
Beispiel 187 Einfache Beispiele zu den Begriffen:

1.
? Es sei K := IR und V
 
0
1
Vektoren in { 1  ,  0
0
1
W?

  
1
0
3



:= IR . Weiters sei W := { 2 , 0 }. Welcher der
3
1
  
1
 ,  2 } ist eine Linearkombination von Elementen in
2


v1
Antwortfindung: Jede Linearkombination v :=  v2  von Elementen in W hat die
v3
Gestalt


 
  

v1
1
0
k1
 v2  = k1  2  + k2  0  = 
.
2k1
v3
3
1
3k1 + k2
Somit fällt die Antwort genau dann mit “Ja” aus, wenn man die drei Gleichungen
v1 = k1 , v2 = 2k1 , v3 = 3k1 + k2
(6.1)
simultan lösen kann. Man kann nun 
jedender 3 Vektoren
  der Angabe
  hernehmen und zu
0
1
0
lösen versuchen. Man erkennt, daß  0  = 0 ·  2  + 0 ·  0  (also Koeffizienten
0
3
1
 
 
 
1
1
0
k1 = k2 = 0), bzw.  2  = 1 ·  2  + (−1) ·  0  (Koeffizienten k1 = 1, k2 = −1)
2
3
1
gilt.
? Welcher der 3 Vektoren liegt im von W aufgespannten linearen Teilraum?
Antwort: Genau jene, welche Linearkombinationen von Vektoren in W sind! Somit der
Nullvektor und (1, 2, 2)T .
6.1. Vektorräume
201
? Kann man den Koordinaten v1 , v2 , v3 irgendwie ansehen, ob (v1 , v2 , v3 )T im von W
aufgespannten Teilraum liegt?
Antwort: Das ist genau dann der Fall, wenn v2 = 2v1 , wie sich aus den Gleichungen
(6.1) ergibt.
? Sind die Vektoren in W linear unabhängig?
Antwort: Man muß herausfinden, ob (0, 0, 0)T = k1 (1, 2, 3)T + k2 (0, 0, 1)T lediglich die
triviale Lösung k1 = k2 = 0 hat, und das ist der Fall, wie man aus den Gleichungen
0 = k1 , 0 = 2k1 , 0 = 3k1 + k2 abliest.
  
    
1
−1
1
0
? (Elementaroperationen). Es sei X := { 1  ,  2  ,  4  ,  0 } und U =
1
1
3
0
L(X). Kann man ein Erzeugendensystem mit 1 oder 2 Elementen von U angeben?
Antwort: Wir benützen die Elementaroperationen. Zunächst kann der Nullvektor weggelassen werden. Danach sei λ((−1, 2, 1)T ) := 1 und λ((1, 4, 3))T := −1 (wir wollen die
erste Koordinate der beiden Vektoren zu Null machen). Es ergibt sich
     
1
0
0
U = L(Y ) wobei Y = { 1  ,  3  ,  3 }.
1
2
2
Jetzt empfiehlt sich x0 := (0, 3, 2)T , sowie λ((1, 1, 1)T ) := 0 und λ((0, 3, 2)T ) := −1 zu
wählen (wir wollen den letzten Vektor zu Null machen und dann mit der ersten Regel
entfernen), man findet:
   
0
1
U = L(Z) wobei Z = { 1  ,  3 }.
1
2
Es ist somit Z ein Erzeugendensystem mit 2 Elementen. Daß es kein Erzeugendensystem
P = {(a, b, c)T } geben kann, sieht man (ohne Benützung von weiterer Theorie) so ein:
Wäre U = L({(a, b, c)T ), so müßte es Zahlen p, q ∈ IR mit
 
   
 
1
a
0
a
 1  = p b ,  3  = q b 
1
c
2
c
geben, somit die Gleichungen 1 = ap = bp = cp (insbesondere a 6= 0) und 0 = aq,
3 = bq, 2 = cq gelten, woraus wegen a 6= 0 sofort q = 0 folgt, im Widerspruch zu z.B.
3 = bq.
? Ist W eine Basis des von W aufgespannten linearen Teilraumes?
Antwort: Die Menge W ist linear unabhängig, wie eben gezeigt worden ist. Ist nun v
in der linearen Hülle, also v T = k1 · (1, 2, 3)T + k2 · (0, 0, 1)T = (k1 , 2k2 , 3k1 + k2 )T , so
202
Lineare Funktionalanalysis
ergäbe die lineare Abhängigkeit von (1, 2, 3)T , (0, 0, 1)T und v T , daß W Basis ist. Das
läßt sich jedoch aus
k1 · (1, 2, 3)T + k2 · (0, 0, 1)T + (−1) · v T = (0, 0, 0)T
ablesen, weil der letzte Koeffizient, nämlich (−1) 6= 0 ist.
2. (Lineare (Un)abhängigkeit in einem Funktionenraum) Es sei V := IR[0,2π] (d.i.
die Menge aller Abbildungen f : [0, 2π] → IR). Man beantworte der Reihe nach folgende
Fragen:
? Ist T := {1} ∪ {cos(nx) | n ∈ IN } ∪ {sin(nx) | n ∈ IN } eine linear unabhängige
Teilmenge von V , wenn man diese Funktionen lediglich auf [0, 2π] betrachtet? Ist T
eine Basis von V ? Liegt cos3 (x) in der linearen Hülle von T ?
Antwort: Offensichtlich ist T eine Teilmenge. Um die lineare Unabhängigkeit zu zeigen,
muß man eine typische Linearkombination
N
0=
a0 X
+
(an cos(nx) + bn sin(nx))
2
n=1
ansehen und beweisen, daß alle Koeffizienten Null sind2 .
Nun integriert man den Ausdruck von 0 bis 2π und findet solcherart a0 = 0. Die
Orthogonalitätsrelationen
Z
2π
Z
cos(nx) sin(mx) dx = 0,
0
2π
Z
cos(nx) cos(mx) =
0
2π
sin(nx) sin(mx) = 2πδmn ,
0
wobei δmn = 1 für m = n und 0 für m =
6 n, wurden vom Leser möglicherweise schon
erwartet, sie ergeben der Reihe nach an = bn = 0 für alle n ∈ IN , also ist die Menge T
linear unabhängig.
Die Funktion f (x) := x ist nicht in der linearen Hülle von T , weil jede Funktion g in T
die Bedingung g(0) = g(2π) erfüllt, wie man sich leicht überlegt, und f (0) = 0, jedoch
f (2π) = 2π 6= 0. Insbesondere kann f nicht als Linearkombination von Elementen in T
dargestellt werden, somit ist T keine Basis von V .
3
Wir zeigen, daß cos3 (x) in der linearen Hülle von T liegt. Es ist cos3 (x) = 21 (eix + e−ix ) =
1 3ix
+ e−3ix + 3eix + 3e−ix ), wie sich aus der Formel von De Moivre und dem bi8 (e
nomischen Lehrsatz ergibt. Nochmalige Anwendung von De Moivre ergibt cos3 (x) =
1
4 (cos(3x) + 3 cos(x)). Dieser Ausdruck läßt sich als Linearkombination der Elemente
in {cos(x), cos(3x)} auffassen, und weil diese Menge Teilmenge von T ist, ist cos3 (x) in
der linearen Hülle von T .
2
Zuvor ist es angebracht, die aus der Theorie der Fourierreihen gebräuchliche Schreibweise der Linearkombination mit der “abstrakten” zu vergleichen: z.B.: k1 = a20 , kcos(nx) = an , ksin(nx) = bn ,
6.1. Vektorräume
203
Anmerkung 188 Elementaroperationen mit Basen: Ist X eine Basis von V und
wendet man eine Elementaroperation im Sinn von Definition 186 (S.199) an, so
entsteht wieder eine Basis von V .
Basis in K n : Im K n bilden die Elemente ei := (0, . . . , 0, |{z}
1 , 0, . . . , 0)T (wobei T transi
ponieren, also Übergang zu Spaltenvektorschreibweise bedeuten soll) eine Basis. Alle
Basen X von K n haben die gleiche Anzahl, nämlich n.
Basis in beliebigem V : Besteht V lediglich aus dem Nullvektor, so wird X = ∅ als
Basis gewählt. Danach läßt sich mit Mitteln der Mengenlehre (Lemma von Zorn)
die Existenz einer Basis X für jeden beliebigen Vektorraum zeigen. Auch hier gilt,
daß jede Basis die gleiche Kardinalität hat. Sie heißt Dimension von V .
P
Ist X = {e1 , . . . , en } endlich,
so
wird
aus
der
“abstrakten
Schreibweise”
x∈X kx x
Pn
die gewohnte Schreibweise i=1 ki ei .
Es hat K n die Dimension n.
Beliebiges V aufgefaßt als Funktionenraum: Unter 3. in Beispiel 183 (S.195) wurde für eine beliebige Menge X der Teilraum von K X von Funktionen mit endlichem
Träger beschrieben. Der Basisbegriff erlaubt es, jeden Vektorraum als Raum von
Funktionen mit endlichen Trägern zu interpretieren: Ist nämlich X eine festgewählte Basis von V , so hat läßt sich jeder Vektor v ∈ V in eindeutiger Weise linear
kombinieren, d.h.
X
v=
kx x
x∈X
wobei höchstens endlich viele kx 6= 0 sind. Nun betrachtet man in K X den Teilraum
U aller Funktionen f , für welche der Träger {x ∈ X | f (x) 6= 0} endlich ist. Offenbar
entsprechen (nach der Festlegung der Basis X) die Elemente in V eineindeutig jenen
von U .
Ist X endlich, so hat natürlich jedes f ∈ K X endlichen Träger.
Basiserweiterung: Jede Basis X eines Teilraumes U von V kann zu einer solchen von
V erweitert werden.
Die nachstehenden Beispiele streichen typische Anwendungssituationen heraus, bzw. beinhalten Beweisdetails.
Beispiel 189 (Nachweis für die Basiserweiterung)
? Wie zeigt man, daß jede Basis X eines linearen Teilraumes U von V zu einer Basis von
V erweitert werden kann?
Antwort: Zunächst hat V /U eine Basis Z̄. Nun wählt man in jeder Nebenklasse z̄, die ja
lt. DN von der Form v + U ist, ein Element z. Die solcherart entstandene Menge heiße Z.
204
Lineare Funktionalanalysis
Es wird behauptet, daß X ∪ Z eine Basis von V ist, die X erweitert
P (d.h. umfaßt). Es muß
gezeigt werden,
daß
jedes
v
∈
V
eine
eindeutige
Darstellung
v
=
w∈X∪Z kw w besitzt. Es
P
P
ist vP+ U =
z̄∈
PZ̄ kz z̄. Daher ist v − z∈Z kz z ∈ U als Linearkombination in der Form
v − z∈Z kz z = x∈X
P kx x anschreibbar. Setzt man kw := kx falls w ∈ X und kw = kz , wenn
z ∈ Z ist, so ist v = w∈X∪Z kw w.
Die lineare Unabhängigkeit der Menge X ∪Z (und somit die Eindeutigkeit der Koeffizienten
in der
P Linearkombination von v durch Vektoren in XP∪ Z) sieht man
P wie folgt ein: Wenn
0 = w∈X∪Z kw w so folgt wegen X ⊂ U zunächst 0 = z∈Z kz z̄ = z̄∈Z̄ kz z̄,P
also wegen der
linearen Unabhängigkeit von Z̄, daß alle kz = 0 sind. Deshalb verbleibt 0 = x∈X kx x, und
da X eine Basis (und somit linear unabhängig) ist, sind alle kx = 0. Wie schon bemerkt, ist
die eindeutige Linearkombinierbarkeit von Vektoren durch Vektoren in X ∪Z gleichbedeutend
dazu, daß X ∪ Z linear unabhängig ist.
Beispiel 190 (Treppenfunktionen) Es sei I = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall und
a = x0 < x1 · · · < xn = b eine Intervallteilung. Eine Funktion, die auf jedem Teilintervall
Ii := (xi−1 , xi ) mit i ∈ {1, . . . , n} konstant ist, heißt Treppenfunktion zur gegebenen Teilung.
? Ist die Menge der Treppenfunktionen zu gegebener Teilung ein Vektorraum?
Antwort: Ja. Sind nämlich f und g auf jedem Intervall der angegebenen Art konstant, so
offenkundig auch kf + lg.
? Ist dieser Vektorraum endlichdimensional? Wenn ja, wäre eine Basis interessant!
Antwort: Es sei φi die Funktion, welche an der
Stell xi den Wert 1 und sonst Null annimmt.
Weiters sei ψi die Funktion, die auf dem offenen
Intervall (xi−1 , xi ) den Wert 1 und sonst Null
annimmt (nebenstehende Skizze). Man überlegt
sich nun, daß {ψi | i = 1, . . . , n} ∪ {φi | i =
0, . . . n} eine Basis bildet. Die Dimension ist, wie
man unschwer sieht, 2n + 1.
·
a
◦
◦
•
xi−1
•
xi
1
·
b
Beispiel 191 (Hutfunktionen) In Kapitel B (S.321) wird ein simples mathematisches
Modell der eingespannten Saite unter Belastung entwickelt werden. Als Approximation der
“Durchbiegung” verwendet man eine stetige, stückweise lineare Funktion, deren Werte an
den Enden Null ist (eingespannt – Randbedingung) und durch Werte ui an n − 1 Stützstellen
xi definiert ist.
·OO
o·?
In der nebenstehenden Skizze ist die Länge der Seite mit 1
OOOOO o o
?

O
o
?
O

Einheit, n = 3, x1 = .25 und x2 = .75 und man sieht zwei
O
o

OOO
?
_ _ o o

_
·
·
·
·
stetige, stückweise lineare Funktionen, die an den Stützstellen jeweils entweder den Wert Null oder Eins annehmen.
0
.25
.75
1
? Wie kann eine stetige stückweise lineare Funktion u bei vorgegebenem Funktionswert ui
an der Stelle xi beschrieben werden?
6.1. Vektorräume
205
Antwort: Auf dem Intervall [xi−1 , xi ] wird f
durch eine Gerade durch die Punkte (xi−1 , ui−1 )
und (xi , ui ) beschrieben, wobei u0 = un = 0
gelte. Die nebenstehende Skizze ergibt die Gleichung
tan(αi ) =
(xi , u· i )
t
tt (x, u)•t ttt
(xi−1 , ui−1 )
u − ui−1
ui − ui−1
=
x − xi−1
xi − xi−1
tt
tt t
tt
t
t
ttαi
t
·_t _ _ _ _ _ _ _ _·
xi − xi−1
aus der für i = 1, . . . , n − 1 die stückweise Beschreibung
u(x) = ui−1 +
ui − ui−1
(x−xi−1 ) für xi−1 ≤ x < xi
xi − xi−1
ui − ui−1
·
xi−1
·
xi
folgt.
? Bilden die stetigen stückweise linearen Funktionen mit vorgegebenen Stützstellen einen
linearen Vektorraum?
Antwort: Ja, der Beweis folgt.
Es sei I das Intervall, auf dem die Funktionen definiert sind. Wie schon gezeigt worden
ist, ist die Menge C0 (I) der stetigen Funktionen mit Randwerten Null ein linearer Teilraum
von IRI . Eine Funktion heißt bekanntlich stückweise linear auf I, wenn es eine Teilung des
Intervalls I gibt, sodaß die Funktion auf jedem Teilintervall linear ist. Das reelle Vielfache
einer stückweise linearen Funktion ist es offenbar auch (mit den gleichen Teilungspunkten).
Sind f und g stückweise linear mit Teilungen des Intervalls I, so ist f + g stückweise linear
auf jedem Intervall, welches als Durchschnitt von Teilungsintervallen von f und g entsteht.
Somit bilden die stückweise linearen Funktionen einen linearen Teilraum von IRI . Wird noch
vereinbart, daß die Stützstellen für alle Funktionen die gleichen sind, so gilt das auch. Die
Menge der stetigen stückweise linearen Funktionen zu fester Teilung bildet nun als Durchschnitt linearer Teilräume selbst einen linearen Teilraum von IRI .
? Es sei für i = 1, . . . , n − 1 die i.te Hutfunktion Hi jene stetige stückweise lineare Funktion,
die an der Stützstelle xi den Wert 1 und an allen anderen Stützstellen den Wert Null annimmt
(Siehe die erste der beiden zum Beispiel gehörigen Skizzen, wo für n = 3 beide Hutfunktionen
H1 und H2 skizziert worden sind.). Bildet die Menge der Hutfunktionen {Hi | i = 1, . . . , n −
1} eine Basis des Raumes der stetigen stückweise linearen Funktionen mit vorgegebenen
Stützstellen xi ?
Antwort: Ja. Zunächst ist bei Vorgabe der Stützstellen (xi , ui ) mit u0 = un = 0 die hierdurch
eindeutig festgelegte stetige stückweise lineare Funktion f von der Form
f=
n−1
X
ui Hi .
i=1
Dies sieht man ohne Rechnung ein: Die Funktion auf der rechten Seite ist stetig und stückweise linear. Sie nimmt an den Stützstellen genau dieselben Werte wie f an, ist daher mit f
206
Lineare Funktionalanalysis
identisch. Um die lineare Unabhängigkeit zu prüfen, nehme man
0=
n−1
X
ci Hi
i=1
für gewisse ci ∈ IR an. Einsetzen von x = xj für j ∈ {1, . . . , n − 1} ergibt
0=
n−1
X
ci Hi (xj ) = cj ,
i=1
woraus die lineare Unabhängigkeit folgt.
6.1.4
Lineare Abbildung, Kern, Bild und Rang
Lineare Abbildungen (auch als lineare Operatoren bezeichnet) treten sehr häufig auf. Als
simples Beispiel nenne ich die Differentialgleichung y 00 −2y 0 +y = x2 . Dann ist y 7→ y 00 −2y 0 +y
eine lineare Abbildung vom Raum der 2-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf IR in die
Menge der stetigen Funktionen. Sie hat als Kern genau die Lösungen der homogenen DGL,
also eine Basis des Kerns bestehend aus {ex , xex }. Offenbar liegt x2 im Bild der linearen
Abbildung, weil die partikuläre Lösung yp (x) = x2 +4x+6 die gegebene inhomogene Gleichung
erfüllt.
Andere Beispiele ähnlicher Art sind (bei geeigneter Präzisierung – Definitionsbereich und
Wertebereich müssen angegeben werden) der Laplaceoperator ∆, der Wellenoperator ∆ −
1 ∂2
~ sowie ~v 7→ ∇
~ × ~v , etc.
, die Operatoren ∇,
c2 ∂ 2 t
Bekannte lineare Abbildungen sind die Laplace-, Z- und Fouriertransformation.
Definition 192 (Lineare Abbildung, Kern und Bild) Sind U, V beides K-Vektorräume,
so heißt eine Abbildung f : U → V linear (genauer K-linear) wenn sie für alle k, l ∈ K und
alle u, v ∈ U eine der nachstehenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
• f ist ein Homomorphismus abelscher Gruppen und f (ku) = kf (u).
• f (ku + lv) = kf (u) + lf (v) (“Man kann die Operationen ‘+’ und ‘·’ durch das f
durchziehen”);
• f (ku) = kf (u) und f (u + v) = f (u) + f (v), also homogen vom Grad 1 und additiv ist.
Die Menge ker(f ) := {u ∈ U | f (u) = 0} ist der Kern von f und f (U ) := {f (u) | u ∈ U } ist
das Bild von U unter f , auch als R(f ) (wie “range”) bezeichnet.
Ist U Teilraum von H, so ist f eine partielle Funktion im Sinne von Definition 29 (S.39)
und wird linearer Operator von H nach V genannt mit Definitionsbereich D(f ) := U und
Wertebereich.
Beispiel 193 Es empfiehlt sich, die Linearität von L(y) := y 00 − 2y 0 + y nachzurechnen. Z.B.
ist L(y1 +y2 ) = (y1 +y2 )00 −2(y1 +y2 )0 +(y1 +y2 ) = y100 +y200 −2y10 −2y20 +y1 +y2 = L(y1 )+L(y2 ).
Hier noch weitere elementare Übungsaufgaben.
6.1. Vektorräume
1.
207
? Welche der nachstehenden Abbildungen von IR3 nach IR2 sind linear? f ((x, y, z)T ) =
(x, z)T . Die Abbildung g ist wie folgt definiert: Gegeben ist ein Vektor ~a im IR3 und
danach soll g(~x) := f (~a ×~x) sein (Vektorprodukt). Weiters soll h((x, y, z)T ) := (|x|, |x+
y|)T .
Antwort: Die Linearität von f würde formal so bewiesen werden:






x1
y1
kx1 + ly1
kx1 + ly1






x2
y2 ) = f ( kx2 + ly2 ) =
f (k
+l
=
kx3 + ly3
x3
y3
kx3 + ly3




y1
x1
x1
y1
k
+l
= kf ( x2 ) + lf ( y2 ).
x3
y3
y3
x3
Das Vektorprodukt ~a × ~b erfüllt bekanntlich die Regeln
~a × (~x + ~y ) = ~a × ~x + ~a × ~y , ~a × k~x = k ~a × ~x,
die wir uns zunutze machen:
g(~x + ~y ) = f (~a × (~x + ~y )) = f (~a × ~x + ~a × ~y ) = f (~a × ~x) + f (~a × ~y ) = g(~x) + g(~y ).
Analog zeigt man g(k~x) = kg(~x) für alle k ∈ IR und ~x ∈ IR3 .
Um zu zeigen, daß h nicht linear ist, genügt es nachzuweisen, daß h(k~x) 6= kh(~x)
passieren kann. Man wähle z.B. k := −1 und ~x := (1, 0, 0)T .
2.
? Welche der nachstehenden Abbildungen vom Raum C 1 [0, 1] der auf (0, 1) stetig differenzierbaren, auf [0, 1] stetigen und mit Ableitungen stetig fortsetzbar auf die Randpunkte nach RC[0, 1] bzw. nach IR sind linear? a) F (f ) := f 0 , b) G(f ) := f (0) − f (1),
1
c) H(f ) := 0 f (x)φ(x) dx, wobei φ eine fest vorgegebene auf [0, 1] stetige Funktion
R1
ist, d) K(f )(x) := 0 k(x, y)f (y) dy, wobei k : [0, 1] × [0, 1] → IR stetig sein soll, e)
p
R1
L(f ) := 0 1 + f 0 (x)2 dx.
Antwort: Der Nachweis, daß a),c),d) alle linear sind, besteht im Rekapitulieren von
Rechenregeln der Differential- und Integralrechnung. In a) hat man für k, l ∈ IR und
f, g ∈ C 1 [0, 1]
F (kf +lg)(x) = (kf +lg)0 (x) = kf 0 (x)+lg 0 (x) = kF (f )(x)+lF (g)(x) = (kF (f )+lF (g))(x),
und weil die Rechnung für alle x ∈ [0, 1] gilt, ergibt sich F (kf + lg) = kF (f ) + lF (g),
d.h. die Linearität in a).
Analog geht man in c),d) vor. Bei b) ergibt G(kf + lg) = (kf + lg)(0) − (kf + lg)(1) =
k(f (0) − f (1)) + l(g(0) − g(1)) = kG(f ) + lG(g) die Linearität von G.
Um die Linearität von L zu widerlegen, wählen wir f (x) := 0 und k := 0. Wäre L
linear, so hätte man
Z 1p
Z 1p
2
1 + 0 dx = 0L(0) = L(0 · 0) =
1 + 02 dx = 1,
0=0
0
0
208
Lineare Funktionalanalysis
ein Widerspruch.
3. (Riemannintegral und Quotientenräume) Bekanntlich ändert sich der Wert des
Rb
R(iemann)-Integrals a f (x) dx für eine R-integrierbare Funktion nicht, wenn man die
Funktion an endlich vielen Stellen abändert. Dies führt auf folgende Fragen in der Terminologie der linearen Vektorräume
? Bilden die Menge R[a, b] der auf einem gegebenen Intervall [a, b] R-integrierbaren
Funktionen einen Vektorraum? Es sei U die Menge aller Funktionen auf [a, b], deren
Träger endlich ist (d.h. die nur an endlich vielen Punkten einen Wert nicht Null annehmen). Ist U ein linearer Teilraum von R[a, b]? Wie läßt sich die Aussage über das
Abändern von Werten auf einer endlichen Teilmenge in der Terminologie der Vektorräume interpretieren?
Antwort: Der übliche Nachweis der Linearität des R-Integrals zeigt auch,
daß R[a, b] ein IR-Vektorraum ist. Die Funktionen mit endlichem Träger
bilden einen Vektorraum, wie unter 3. ausgeführt worden ist. Sie sind
alle R-integrierbar und der Wert des Integrals gleich Null. Deshalb läßt
sich das R-Integral als lineare Funktion auf R[a, b]/U auffassen, hier mit
Rb
Iab bezeichnet, jedoch in der Praxis auch mit a ), siehe nebenstehendes
Diagramm.
Rb
/ IR
v:
v
v
vv
vv b
v
vv Ia
R[a, b]
a
R[a, b]/U
Anmerkung 194 (Kern und Bild, Matrixdarstellung) Die folgenden Fakten werden oft benützt:
Kern: Der Kern einer linearen Abbildung f : U → V ist ein linearer Teilraum von U
und das Bild einer von V .
BW: Mit u, v ∈ ker f hat man f (ku + lv) = kf (u) + lf (v) = 0, also ku + lv ∈ ker f
für alle k, l ∈ K. Ähnlich geht der Nachweis für das Bild.
Die Dimension des Kerns von f ist der Defekt von f , jene des Bildes R(f ) der Rang
von f .
Matrixdarstellung: Ist f : U → V eine K-lineare Abbildung und sind X und Y Basen
von U bzw. V , so läßt sich f (x) für jedes x ∈ X aus den Elementen in Y linear
kombinieren:
X
fyx y.
f (x) =
y∈Y
Sind insbesondere U und V endlichdimensional und ist |X| = n und |Y | = m, und
nummeriert man die Basiselemente X = {e1 , . . . , en }, sowie Y = {f1 , . . . , fm }, so
können die fxy in Form einer m × n-Matrix A angeordnet werden:


a11 · · · a1n

..
.. 
A =  ...
.
. 
am1 · · · amn
6.1. Vektorräume
209
wobei aij := fei fj ist. Somit ist für i = 1, . . . , n
f (ei ) =
m
X
aji fj .
j=1
Dies wird zur Auffindung einer Matrixdarstellung von f wie folgt verwendet: Man
drückt den i.ten Basisvektor von U als Linearkombination der Basiselemente von
V aus und ordnet die Koeffizienten als Spalte, die man als i.te Spalte der Matrix
anschreibt.
Beispiel 195 Elementare Übungsaufgaben.
1.
? (Drehmatrix) Es sei f : IR3 → IR3 dadurch gegeben, daß jeder Vektor ~x um 30
Grad gedreht werde. Der Drehwinkel sei 30 Grad, die Drehachse identisch mit der zAchse und wenn man von oben auf die z-Achse blickt, soll entgegen dem Uhrzeigersinn
gedreht werden. Ist f linear? Wie sieht die Matrix bezüglich der kanonischen Basis aus?
Antwort: Die Linearität muß aus der Abbildungsvorschrift erkennbar gemacht werden.
Wenn ~a und ~b entsprechend gedreht werden, dann auch k~a und ~a + ~b. Insofern leuchtet
T wird
die Linearität ein. Nun soll die Matrix aufgestellt werden. Der Vektor (1, 0, 0)√
1
offenbar (Skizze bitte selbst machen) in den Vektor (cos 30, sin 30, 0)T = 2 (1, 3, 0)T
√
übergeführt. Entsprechend wird (0, 1, 0)T in (− sin 30, cos 30, 0)T = 21 (− 3, 1, 0)T übergeführt. Schließlich wird (0, 0, 1)T als Drehachse in sich selbst übergeführt. In Übereinstimmung mit der Theorie ergeben sich die Spalten der Matrix als die soeben bestimmten Bilder der Einheitsvektoren ausgedrückt durch eben jene:
√


1
−
3
0
√
1
A=  3
1 0 .
2
0
0 2
2.
? (Approximation eines Randwertproblems und lineare Abbildung) Es sei
U der Raum aller Polynome u vom Grad ≤ 3 mit u(0) = u(1) = 0 (Randbedingung der
eingespannten Saite) und X := {x(1 − x), x2 (1 − x)}. Ist X eine Basis von U ? Weiters
sei V der Raum aller Polynome vom Grad höchstens 2 mit der Basis Y := {1, x, x2 }.
Es sei A(u)(x) := (1 + x)u00 (x) ein Differentialoperator. Ist A : U → V eine lineare
Abbildung? Wenn ja, gebe man eine Matrizendarstellung von A bezüglich der Basen X
und Y an.
Antwort: X ist eine Basis. Jedes Polynom, das an 0 und 1 verschwindet, hat den Teiler
x(1 − x), somit ist jedes beliebige Polynom u ∈ U von der Bauart u(x) = x(1 −
x)(ax + b) = bx(1 − x) + ax(1 − x)x, also Linearkombination der Elemente in X.
Die lineare Unabhängigkeit von X prüft man in üblicher Weise: angenommen 0 =
ax(1 − x) + bx(1 − x)x, so kann man entweder Koeffizientenvergleich machen, oder z.B.
210
Lineare Funktionalanalysis
x = 2 einsetzen, um 0 = −2a − 4b, und x = −1, um 0 = −2a + 2b und somit a = b = 0
herauszubekommen, also die lineare Unabhängikeit von X.
Überprüfen der Linearität von A: A(ku+lv)(x) = (1+x)(ku+lv)00 (x) = k(1+x)u00 (x)+
l(1 + x)v 00 (x) = (kA(u) + lA(v))(x), und weil das für alle x ∈ [0, 1] gilt, hat man
A(ku + lv) = kA(u) + lA(v), die Linearität von A.
Das Auffinden einer Matrix geschieht durch Anwenden von A auf die Elemente in X
und Ausdrücken der Ergebnisse als Linearkombination der Elemente in Y , und die
entstehenden Koeffizienten als Spalten der Matrix zu nehmen:
A(x(1 − x)) = (1 + x)(x − x2 )00 = (1 + x)(−2) = (−2) · 1 + (−2) · x + 0 · x2 ,
A(x(1 − x)x) = (1 + x)(x2 − x3 )00 = (1 + x)(2 − 6x) = 2 · 1 + (−4) · x + (−6) · x2 ,
woraus man, wenn A nun zugleich auch die Matrix bezeichnet,


−2
2
A =  −2 −4 
0 −6
gewinnt.
? Welchen Vorteil kann die Matrizendarstellung bringen?
Antwort: Jemand möchte A(u) = v mit vorgegebenem v ∈ V lösen. Statt die Differentialgleichung zu lösen, löst er (etwa für v(x) = 1 − x + 3x2 ) die Matrizengleichung




−2
2 1
 −2 −4  a =  −1  ,
b
0 −6
3
und stellt sofort fest, daß das gar nicht geht.
3.
? Es sei I := (0, 1), das offene Einheitsintervall und H := C(I), der Raum der stetigen Funktionen. Ist f : H → IRI , definiert durch f (u) := u0 (Ableitung) ein linearer
Operator? Man beschreibe D(f ).
Antwort: Die Linearität der Ableitung und die Tatsache, daß Summe und skalares Vielfaches von auf I differenzierbaren Funktionen selbst differenzierbar sind, bedeutet, daß
auf D(f ), der Menge aller differenzierbaren Funktionen, ein linearer Operator vorliegt.
6.1.5
Dualraum, Dualität
Eine skalarwertige Funktion eines k-Vektorraumes heißt auch Funktional.
Definition 196 U und V seien K-Vektorräume.
6.1. Vektorräume
211
lineare Funktionale, Linearformen, Dualraum: Jede K-lineare Abbildung von U →
K heißt lineares Funktional, bzw. (üblicherweise eher für endlich dimensionales U ) Linearform auf U . Die Menge aller linearen Funktionale auf U ist der (algebraische)
Dualraum, der mit U ∗ bezeichnet werden soll. Es ist U ∗ ein linearer Teilraum von K U
(unter der punktweisen Addition bzw. Multiplikation mit Skalaren von Funktionen vgl.
auch Beispiel 180 (S.191) 2.).
Duales System von Funktionalen: Ist X eine Basis von U , so werden Funktionale δx
durch δx (y) := 1 falls x = y und δx (y) = 0, falls y 6= x ist definiert. Die Menge
X ∗ := {δx | x ∈ X} ist genau dann eine Basis von U ∗ , wenn U endliche Dimension hat
und heißt dann die zu X duale Basis (oder auch Kobasis) von U ∗ .
Duale Abbildung: Es sei f : U → V eine K-lineare Abbildung.
Es wird jedem v ∗ ∈ V ∗ unter Beachtung des nebenstehenden kommutativen Diagramms durch f ∗ (v ∗ )(u) := v ∗ f (u) = v ∗ (f (u)) das
lineare Funktional f ∗ (v ∗ ) zugeordnet. Die Abbildung f ∗ erweist sich
als K-lineare Abbildung von V ∗ nach U ∗ (bitte selbst nachprüfen).
Es heißt f ∗ : V ∗ → U ∗ die zu f : U → V duale Abbildung.
f
/V
AA
A
v∗
f ∗ (v ∗ ) AA UA
A
K
Beispiel 197 Einfache Übungsaufgaben hierzu:
1.
bestimme alle linearen Funktionale auf IR3 . Zur Basis
  
1
−1
1
 2  ,  1  ,  1  gebe man die duale Basis an.
1
1
3


x1
Antwort: Der IR3 ist der Koordinatenraum aller  x2  mit x1 , x2 , x3 ∈ IR. Jedes
x3
lineare Funktional ist von der Form




x1
x1
f ( x2 ) = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = (a1 , a2 , a3 )  x2  .
x3
x3
?

Man
 
Insbesondere kann (IR3 )∗ als zeilenweise geschriebener Koordinatenraum angesehen
werden, wenn man die Rechenregeln der Matrizenrechnung in Betracht zieht.
Um die duale Basis zu finden, genügt
zengleichung

1 −1
1
A 2
3
1
es offenbar, die Zeilen der Lösung A der Matri 

1
1 0 0
1  =  0 1 0 ,
1
0 0 1
212
Lineare Funktionalanalysis


1 −1 1
1 1  zu bestimmen. Man findet
mithin A als Inverse von  2
3
1 1


0 −1
1
1 − 12  ,
A =  − 12
1
2 − 32
2
sodaß sich als duale Basis die Zeilen dieser Matrix ergeben.
? Es sei f : IR3 → IR2 die Projektion auf (x1 , x2 )-Ebene. Im IR2 sei die kanonische
Basis vorgegeben und das Funktional v ∗ (x, y) := 3x − 5y. Wie lautet f ∗ (v ∗ )?
Antwort: Verwendet man auch im IR3 die kanonische Basis, so hat f die Matrizendarstellung
1 0 0
Af =
.
0 1 0
(Wie üblich wendet man f der Reihe nach auf die Basis (1, 0, 0)T , (0, 1, 0)T und (0, 0, 1)T
an, um dadurch die Spalten der Matrix Af zu erhalten, indem man das jeweilige Ergebnis durch die kanonische Basis in IR2 ausdrückt, bzw. hier einfach abliest.)
Insbesondere ist f ∗ (v ∗ ) = v ∗ f (Zusammensetzung von Abbildungen), also








x1
x1
x1
x1
1 0 0 
x2  = (3, −5, 0)  x2  ,
f ∗ (v ∗ )( x2 ) = v ∗ (f ( x2 )) = (3, −5)
0 1 0
x3
x3
x3
|
{z
} x3
ausmultiplizieren
somit ist f ∗ (v ∗ ) = (3, −5, 0).
2. (Duale Basis und Auswerten von Integralen) Es sei U die Menge der höchstens
quadratischen Polynome mit Koeffizienten in IR. Es ist U ein 3-dimensionaler reeller
Vektorraum. Als Basis werde X := {1, x, x2 } gewählt.
R∞
? Ist durch J(u) := 0 e−x u(x) dx ein lineares Funktional J auf U gegeben? Wenn
ja, wie läßt es sich durch die duale Basis ausdrücken?
Antwort: Ja. Sichtlich ist J(u) ∈ IR und Konvergenz sowie Linearität der Integration
ergeben die Linearität von J. Um den zweiten Teil der Aufgabe zu lösen, reicht es,
J der Reihe nach auf 1, x und x2 anzuwenden, weil hierdurch die Werte von 1∗ (1),
x∗ (x) und (x2 )∗ (x2 ) bestimmt werden. Partielle Integration liefert J(1) = J(x) = 1
und J(x2 ) = 2. somit ergibt sich als Antwort zum 2.ten Teil
J = 1∗ + x∗ + 2(x2 )∗ .
? Gibt es eine Situation, wo diese Beschreibung von J hilfreich ist?
6.1. Vektorräume
213
Antwort: Angenommen, jemand muß für die Polynome u ∈ {1 − x + x2 , 3 + 5x + 7x2 }
(und noch ein paar mehr) das Integral J(u) bestimmen. Es ergibt sich


 
1
3
2
2



J(1 − x + x ) = (1, 1, 2) −1
= 2, J(3 + 5x + 7x ) = (1, 1, 2) 5  = 22,
1
7
und wer es nicht glaubt, integriert schön brav.
? Es sei V die Menge aller linearen Polynome und K das soeben beschriebene Funktional, eingeschränkt auf V . Weiters sei f : U → V die lineare Abbildung, welche jedem
u das differenzierte Polynom u0 ∈ V zuordnet. Wie lautet f ∗ (K)?
R∞
Antwort: Genau wie vorher muß man f ∗ (K)(u) = K(f (u)) = K(u0 ) = 0 u0 (x)e−x dx
bestimmen. Man findet (partielle Integration) als Ergebnis K(u0 ) = J(u), also f ∗ (K) =
J.
Beispiel 198 R(Erste Variation bzw. Richtungsableitung als lineare Funktionale)
1
Es sei J(y) := 0 L(x, y, y 0 ) dx, wobei 3 L hinreichend oft stetig differenzierbar sei. Somit ist
J unter entsprechenden Annahmen über die vorkommenden Funktionen ein (nicht lineares)
Funktional.
Als klassische Variationsaufgabe gilt die Maximierung/Minimierung von J(y), wobei y :
[0, 1] → IR in einer geeigneten Klasse von Funktionen liegt. Als einfachstes Beispiel sei bei
vorgegebenen
Funktionswerten y(0) := y0 und y(1) := y1 die Länge des Graphen J(y) :=
R1p
0 )2 dx möglichst kurz, wobei als Klasse der Funktionen z.B. alle stetig differenzier1
+
(y
0
baren Funktionen genommen werden können. Im 18.Jhdt wurde von L. Euler die Variationsrechnung begründet, die (in moderner Fassung) zunächst die Vorgabe einer C ∞ -Formfunktion
φ mit φ(0) = φ(1) = 0 erfüllt vorsieht, somit in D([0, 1]) liegt. Nun wird die Funktion
F () := J(y + φ)
y+εφ
y
φ
x
a
3
L wie Lagrange
b
214
Lineare Funktionalanalysis
betrachtet, die im Falle y eine Lösung ist, an der Stelle = 0 ein lokales Extremum besitzt.
Das gilt für jedes solche φ. Der Ausdruck
d
δJ(φ) :=
J(u + φ)
d
=0
wird als erste Variation oder Richtungsableitung4 des Funktionals J in Richtung φ bezeichnet.
Sichtlich ist δJ, sofern definiert, ein Element des Dualraumes von D([0, 1]).
Es soll das Bilden der 1.ten Variation anhand einiger weniger Beispiele geübt werden.
Rb
? Es sei L(x, y, z) := 21 p(x)z 2 − f (x)y. Wie kann für J(y) := a L(x, y, y 0 ) dx die erste
Variation berechnet werden?
Antwort: Es muß nur eingesetzt werden.
Rb
J(y + φ) = a ( 12 p(x)((y(x) + φ(x))0 )2 − f (x)(y(x) + φ(x))) dx
Rb
= a (21 p(x)(y 0 (x))2 − f (x)(y(x))) dx
Rb
+ a (p(x)y 0 (x)φ0 (x) − f (x)φ(x)), dx
R
b
+2 a 12 p(x)(φ0 (x))2 dx
Rb
Rb
= J(y) + a (py 0 φ0 − f φ) dx + 2 a 12 pφ0 2 dx
Hieraus ergibt sich in ganz elementarer Weise (Differenzieren nach und danach Null setzen,
d.i. den “Koeffizienten” von nehmen:
Z b
δJ(φ) =
(py 0 φ0 − f φ) dx
a
als 1.te Variation.
? Angenommen, p ist stetig differenzierbar und man sucht nur Lösungen, die mindestens
2-mal stetig differenzierbar sind. Kann δJ zur Herleitung einer DGL für y herangezogen
werden?
Antwort: Ja, es gilt (im offenen Intervall) −(py 0 )0 − f = 0 (Randbedingungen waren y(a) =
y0 , y(b) = y1 ), also ein Randwertproblem.
BW: Zunächst folgt mittels partiellen Integrierens (wir integrieren nach φ0 ):
Rb
Rb
δJ(φ) = a py 0 φ0 dx − a f φ dx
b R b
Rb
= py 0 φa − a (py 0 )0 φ dx − a f φ dx
| {z }
R b=0
= a (−(py 0 )0 − f )φ dx.
Jetzt erweist sich unter den gemachten Voraussetzungen ψ := −(py 0 )0 − f auf dem offenen Intervall (a, b) als stetig. Wir behaupten, daß ψ = 0 gilt. Wenn nicht, gibt es ein x0 ∈ (a, b) mit
ψ(x0 ) 6= 0 und wir nehmen einfachheitshalber ψ(x0 ) > 0 an. Dann gibt es wegen der Stetigkeit
4
Sie wird als Gâteauxableitung bezeichnet, wenn man die Richtungsableitung als normierten Vektor ansehen
möchte. Normieren kann man hier nicht, weil ja keine Norm gegeben ist.
6.1. Vektorräume
215
von ψ ein Teilintervall (x0 − η, x0 + η) von (a, b) auf dem ψ > 0 ist. Mittels der Testfunktion
aus Beispiel 181 (S.193) konstruiert man durch Skalieren eine Testfunktion φ, die auf genau
dem gleichen Intervall positiv ist. Danach ergibt sich δJ(φ) > 0 für dieses φ, ein Widerspruch.
Rb
? Es sei jetzt J(y) := a L(x, y, y 0 ) dx, wobei L stetig differenzierbar sei. Wie lautet die
entsprechende Formel für die 1.te Variation?
Rb
Antwort: Es ist δJ(φ) = a (Ly (x, y, y 0 )φ + Ly0 (x, y, y 0 )φ0 ) dx.
BW: Zunächst berechnen wir die Ableitung nach . Es ist
d
d J(y
Rb
d
+ φ) = d
L(x, y + φ, y 0 + φ0 ) dx
R b ∂a
= a ∂ (L(x, y + φ, y 0 + φ0 )) dx
Rb
= a Ly (x, y + φ, y 0 + φ0 )φ + Ly0 (x, y + φ, y 0 + φ0 )φ0 dx
Nun setzt man = 0 und bekommt den obigen Ausdruck.
? Unter der Annahme, daß L stetig differenzierbar (als Funktion in 3 Variablen) und 2-mal
d
stetige Lösungen gesucht werden, soll die Eulergleichung Ly − dx
Ly0 = 0 hergeleitet werden.
Rb
BW: Es geht ganz analog wie vorhin. Lediglich der Term a Ly0 (x, y, y 0 )φ0 dx wird nach φ0
b R b d
Ly0 (x, y, y 0 ) φ dx. Hierin verschwindet
partiell integriert und ergibt Ly0 (x, y, y 0 )φa − a dx
der erste Term, weil φ(a) = φ(b) = 0 gilt, und somit ergibt sich insgesamt
Z b
d
0
0
Ly (x, y, y ) −
Ly0 (x, y, y ) φ(x) dx = 0
dx
a
woraus genauso wie oben auf das Verschwinden des Differentialausdrucks in (a, b) geschlossen
wird.
? Wenn man 2-mal stetig differenzierbare Funktionsgraphen y(x) zuläßt, bekommt man mit
dieser Methode tatsächlich
R 1 p genau die Gerade y = x als kürzeste Verbindung von (0, 0) und
(1, 1) im Falle J(y) = 0 1 + (y 0 )2 dx (Länge des Funktionsgraphen von y) und Randbedingungen y(0) = 0, bzw. y(1) = 1, wie es die Anschauung erwarten läßt?
Antwort: Man bekommt zunächst, daß unter den 2-mal stetig differenzierbaren Kurven
bestenfalls die Gerade y = x Lösung sein kann.
0
BW: Es ist Ly = 0 und Ly0 = √ y 0 2 . Die Eulergleichung ergibt sich zu
1+(y )
y0
p
1 + (y 0 )2
!0
= 0,
p
sodaß es eine Konstante c mit y 0 = c 1 + (y 0 )2 geben muß. Als Konsequenz ergibt sich
(y 0 )2 = c2 (1 + (y 0 )2 ), also y 0 konstant, d.h. es kommen lediglich Geraden als Lösung in Frage.
Die einzige Gerade, welche die Randbedingungen erfüllt, ist von der Form y = x.
Angemerkt soll werden, daß die Methode keinen Beweis dafür liefert, ob J tatsächlich ein
Minimum besitzt, so naheliegend dies auch erscheinen mag.
216
Lineare Funktionalanalysis
Anmerkung 199 (Dualitätstheorie) Die wesentlichen Aussagen über Dualität und
duale Abbildungen werden durch Dualitätstheorie für K-Vektorräume beschrieben:
Annullator: Für eine Teilmenge X von V wird die Menge aller Funktionale v ∗ , für die
X im Kern von v ∗ liegt, als Annullator X 0 von X bezeichnet. Er ist ein linearer
Teilraum von V ∗ .
Für eine Teilmenge Y von V ∗ soll der Annullator Y0 die Menge aller Elemente v ∈ V
sein, für die u∗ (v) = 0 für alle u∗ ∈ Ũ gilt, kürzer
Y0 =
\
ker(u∗ ).
u∗ ∈Ũ
Man beachte, daß L(X)0 = X 0 und L(Y )0 = Y0 gilt.
Dualität von Teilräumen von V und V ∗ : Jeder Teilraum von V (bzw. V ∗ ) ist eindeutig durch seinen Annullator in V ∗ (bzw. in V ) bestimmt, etwas formaler:
Startet man von einem Teilraum U von V (bzw. Ũ von V ∗ ), und bildet den Annullator U 0 (bzw. Ũ0 ), so ist U = (U 0 )0 bzw. (Ũ0 )0 = Ũ .
Ist U 0 Teilraum von U , so ist U 0 Teilraum von (U 0 )0 .
“Annullator des Annullators eines Teilraumes ist eben dieser Teilraum.” Der Nachweis kommt in Beispiel 202 (S.218).
Dualität und lineare Abbildungen: Ist f : U → V eine K-lineare Abbildung und
f ∗ : V ∗ → U ∗ die duale Abbildung so ist
f (U ) = X0 ,
wobei L(X) = ker(f ∗ ). Mit anderen Worten, die Gleichung v = f (u) hat eine
Lösung u ∈ U genau dann, wenn man eine Basis X des Kerns von f ∗ angeben
kann, derart, daß für alle x∗ ∈ X stets x∗ (v) = 0 gilt.
Nachweis: Weil ker(f ∗ ) = {v ∗ ∈ V ∗ | ∀u ∈ U f ∗ (v ∗ )(u) = v ∗ (f (u)) = 0} = f (U )0 ,
ergibt die Dualität von Teilräumen f (U ) = (f (U )0 )0 = ker(f ∗ )0 = {v ∈ V | ∀u∗ ∈
ker f ∗ ist u∗ (v) = 0}.
Bilinearform und Dualität: Es ist (v ∗ , v) 7→ v ∗ (v) eine Bilinearform, weil sie linear
in jedem der beiden Argumente, wenn das jeweils andere Argument festgehalten
wird. Deshalb schreibt man in Anlehnung an das übliche Skalarprodukt (etwa in
der Theorie der Distributionen) v ∗ (v) in der Form hv ∗ , vi := v ∗ (v).
Die zu f duale Abbildung f ∗ erfüllt hf ∗ (v ∗ ), ui = hv ∗ , f (u)i für alle v ∗ ∈ V ∗ und
alle u ∈ U .
Gelegentlich wird der Annullator U 0 = {v ∗ ∈ V | hv ∗ , U i = 0} von U als Orthogonalraum von U in V ∗ bezüglich dieser Bilinearform angesehen (und auch mit U ⊥
bezeichnet), bzw. Ũ0 = {v ∈ V | hŨ , vi = 0} (und mit Ũ ⊥ bezeichnet).
6.1. Vektorräume
217
Beispiel 200 (Geometrische Deutung der Dualität im IR3 ). Im K n lassen sich die
Ideen ähnlich verstehen. Es sei U ein 1-dimensionaler Teilraum, also eine Gerade durch den
Ursprung. Sie ist der Durchschnitt aller jener Ebenen, die durch diese Gerade gehen. Jede
dieser Ebenen hat einen Normalvektor, und alle diese Normalvektoren liegen in einer Normalebene auf die Gerade durch den Ursprung. Diese Normalebene ist das U 0 . Vektoren (a, b, c)
in U 0 (als Zeilen gedeutet) sind ja geradewegs durch die Bedingung ax + by + cz = 0 für
alle (x, y, z)T auf der Geraden festgelegt. Geht man nun von U 0 aus, so ist (U 0 )0 als Menge
jener Vektoren, die in all jenen Ebenen liegen, welche Kern von einem u∗ ∈ U 0 sind, offenbar
geradewegs die Ausgangsgerade. Die Dualität besagt eben lediglich, daß die Normalebene auf
U
U
U
Ker(u^*)
U^0
u^*
Ebenen, die U enthalten
Normalvektoren, die U^0 aufspannen
U^0
die Gerade diese festlegt, und umgekehrt, die Normalebene durch die Gerade festliegt.
Die Deutung von h·, 
·i ist 
in V := IR3 wie folgt: Die Elemente von V ∗ sind Zeilen (a, b, c)
x
und jene in V Spalten  y . Danach ist
z


x
h(a, b, c),  y i = ax + by + cz.
z
Im endlichdimensionalen Fall ist der Dualraum im wesentlichen der Gleiche wie der Ausgangsraum (genauer, sie sind algebraisch isomorph). Im nächsten Beispiel zeigen wir, daß
das für unendlich dimensionale Vektorräume nicht einmal für einen endlichen Skalarkörper
richtig sein kann.
218
Lineare Funktionalanalysis
Beispiel 201 Es sei K = IF2 der Körper mit 2 Elementen (d.i. ZZ modulo 2) und wir
betrachten die Menge V aller f ∈ K IN mit endlichem Träger. Man kann sich diese Menge als
alle Polynome mit Koeffizienten in IF2 vorstellen. Dann ist {xj | j ∈ IN } ∪ {1} eine Basis von
V (es ist zwar x0 = 1, jedoch 0 6∈ IN wie in Math.1 ET). Es leuchtet ein, daß V abzählbar
ist. Es ist jedoch V ∗ nicht abzählbar: Sei nämlich eine beliebige Folge {an }∞
n=0 von Zahlen
an ∈ IF2 gegeben. Davon gibt es sicher mehr als abzählbar viele. Jede solche Folge legt aber
auch ein Funktional fest, indem jedem Basiselement xn der Wert an zugewiesen wird.
Beispiel 202 (Nachweis für die Dualitätsaussage) Der Nachweis für die Dualität von
Teilräumen und Annullatoren ist wie folgt: Es sei U Teilraum von V und X eine Basis von U 0 .
Dann ist x∗ (u) = 0 für alle x∗ ∈ X und alle u ∈ U . Deshalb ist U in X0 = (L(X))0 = (U 0 )0
enthalten. Angenommen es gibt ein u ∈ U \ (U 0 )0 . Dann gibt es eine Basis B von U , die
man zu einer Basis B ∪ {u} von L(U ∪ {u}) erweitern kann, welche schließlich zu einer Basis
B ∪{u}∪C von ganz V erweiterbar ist. Definiert man nun die Abbildung φ : B ∪{u}∪C → K,
indem man φ(b) = φ(c) = 0 für alle b ∈ B und alle c ∈ C und φ(u) = 1 setzt, so ist φ zu
einem linearen Funktional erweiterbar (Basiseigenschaft!). Sichtlich liegt U im Kern von φ
(weil die Basis B von U annulliert wird). Deshalb ist φ ∈ U 0 . Dann sollte aber φ(u) = 0 sein,
weil ja u ∈ (U 0 )0 gewählt worden ist, ein Widerspruch.
Der Nachweis für (Ũ0 )0 = Ũ verläuft ähnlich.
Beispiel 203 (Dualität und Gleichungen)
? Es sei f : IR3 → IR2 die durch die bezüglich der kanonischen Basis festgelegte Matrix
1
1 −1
A=
−1 −1 1
definierte lineare Abbildung. Für welche Vektoren ~b =
b1
b2
kann die Gleichung
A~x = ~b
gelöst werden? Man überlege die Aufgabe elementar und erkläre die Aussage über Dualität
und lineare Abbildungen in Anmerkung 199 (S.216).
1
Antw.: Offenbar ist A~x =
(x1 + x2 − x3 ), wie man sofort mittels Matrizenrechnung
−1
1
einsieht. Deshalb kommen als Vektoren ~b lediglich Vektoren in der linearen Hülle L(
)
−1
in Frage. Das ist gleichbedeutend damit, daß b1 + b2 = 0 gilt.
Nun zur Erklärung der Dualitätsaussage: Man betrachtet lineare Funktionale y (als Zeilenvektoren) mit yA = 0 und findet somit eine Basis von Lösungen
1
1 −1
(y1 , y2 )
= (0, 0).
−1 −1 1
Elementare Rechnung ergibt
{(1, 1)}
6.1. Vektorräume
219
als solch eine Basis. Deshalb kann für einen vorgegebenen Vektor ~b die Lösbarkeit von A~x = ~b
getestet werden, indem man
(1, 1)~b = b1 + b2 = 0
überprüft. Genau dann, wenn diese Gleichung gilt, ist die Lösbarkeit gegeben.
Beispiel 204 (Linearer Code) Es soll K := IF2 der Körper mit 2 Elementen sein. Weiters
soll f : IF23 → IF24 durch f ((x1 , x2 , x3 )T ) := (x1 , x2 , x3 , x1 + x2 + x3 )T . definiert sein.
? Wie lautet eine Basis von ker(f ∗ )?
Antwort: Bezüglich der kanonischen Basen in U

1 0
 0 1
A=
 0 0
1 1
:= IF23 und V := IF24 ergibt sich als Matrix

0
0 

1 
1
(das übliche Rezept: Die Abbildung f der Reihe nach auf (1, 0, 0)T , (0, 1, 0)T und (0, 0, 1)T
anwenden und die entstehenden Spaltenvektoren als Spalten von A auffassen.)
Wird V ∗ als Raum von Zeilenvektoren aufgefaßt, so findet man eine Basis von ker(f ∗ ) am
einfachsten, indem man die Matrix A zunächst transponiert, somit eine Basis des Lösungsraumes
AT ~y = 0
bestimmt (das sind gewisse Vektoren im IR3 ) und danach diese Basisvektoren (“rück”)transponiert,
konkretermaßen:



 y
 
1 0 0 1  1 
0
y2   
T



0 1 0 1 
0
A ~y =
=
y3 
0 0 1 1
0
y4
Es ist nicht schwer, als Basis des Kerns von AT die einelementige Menge
{(1, 1, 1, 1)}
auszumachen.
Nun kommt die eigentliche Deutung im Kontext mit der Kodierungstheorie: Jemand will
3-stellige Bitcodes, genauer, Wörter der Länge 3 im freien Monoid über dem Alphabet {0, 1}∗
senden und versieht sie mit einem Extrabit (Paritycheck), sendet also Wörter der Länge 4
nach folgendem Prinzip:
3
• Die 3-stelligen
 Wörter werden als Elemente in IF2 aufgefaßt. So entspricht z.B. 101 dem
1
Vektor  0 .
1
220
Lineare Funktionalanalysis
• Jedem Wort 100, 010 bzw. 001 wird (in unserem Beispiel) das ungerade Bit, nämlich 1
angehängt. Danach deutet man diesen Vorgang als Festlegen einer linearen Abbildung
f : IF23 → IF24 , nämlich genau jene von oben.
Die lineare Abbildung f ergibt somit eine Vorschrift, welches Bit an ein Wort, etwa 110,
angehängt wird, nämlich die letzte Koordinate des Bildes f ((1, 1, 0)T ) = (1, 1, 0, 0)T ,
d.h. ‘0’, also hat man danach das Wort 1100. Die Menge aller dieser Wörter wird
(linearer) Code genannt. Lediglich Wörter in C werden gesendet (und sollten empfangen
werden).
Nun wird das Wort 1100 gesendet (Extrainformation das Extrabit am Ende des Wortes).
• Angenommen, beim Empfänger kommt ein möglicherweise verändertes Wort (z.B. ein
Bit wird falsch übertragen) an, etwa 1110. Wie kann er feststellen, ob das Wort überhaupt zum Code gehört (wenn nicht, so ist mit Sicherheit ein Übertragungsfehler vorgefallen).
Zum Code gehört das empfangene Wort, wenn es, als Vektor in IF24 gedeutet im Bild
von f liegt. Dies läßt sich aber sofort testen, indem man die Elemente der Basis des
Kerns von f ∗ als Zeilenvektoren deutet (in unserem Fall lediglich das (1, 1, 1, 1), es ist
nur ein Basiselement vorhanden) und auf das vorgegebene Wort “anwendet”. Für das
Wort 1110 ergibt Matrizenmultiplikation
 
1
 1 

(1, 1, 1, 1) 
 1  = 1 6= 0,
0
sodaß das Wort 1110 als fehlerhaft erkannt wurde.
Die Terminologie ist in der Literatur
(z.B. in http://www.inf.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/code/linear.htm)
wie folgt: Das Bild von f heißt (linearer) Code und wird üblicherweise als Zeilen geschrieben. Die Matrix AT heißt in diesem Kontext Generatormatrix und der Code entsteht durch Linksmultiplikation mit Zeilen, z.B. ist


1 0 0 1
(1, 1, 0)  0 1 0 1  = (1, 1, 0, 0)
0 0 1 1
das Codewort 1100. Die Basis des Kerns von f ∗ (unser (1, 1, 1, 1)) wird nunmehr als
Spalte geschrieben und die Matrizenrechnung eben “andersherum” ausgeführt, nämlich
als
 
1
 1 

(1, 1, 0, 1) 
 1  = 1 6= 0,
1
somit ist 1101 nicht im Code. Die Matrix H := (1, 1, 1, 1) wird als Kontrollmatrix
bezeichnet.
6.2. Normierte lineare Räume, Banachräume
6.2
221
Normierte lineare Räume, Banachräume
p
Die übliche Länge eines Vektors im IR3 , definiert durch k~v k = v12 + v22 + v32 (“Satz von
Pythagoras”) erfüllt die nachstehenden Eigenschaften. Die erste besagt, daß die Länge des
Vektors niemals negativ ist, die zweite, daß beim Skalieren eines Vektors mit dem Skalar k
die Länge des skalierten Vektors das |k|-fache des unskalierten Vektors ist, und die dritte
Eigenschaft ist im Bild dokumentiert. Vektorräume, die eine solche Normfunktion besitzen,
nennt man normierte Vektorräume:
6.2.1
Norm, Vollständigkeit
Definition 205 Es sei V ein Vektorraum mit Skalarkörper K einer der Körper IR oder C
und für k ∈ K sei |k| der Betrag von k.
Normierter Vektorraum: Unter einer Norm auf V versteht man eine Funktion k · k :
V → IR mit folgenden für alle u, v ∈ V und k ∈ K geltenden Eigenschaften:
• kuk ≥ 0 und kuk = 0 genau dann, wenn u = 0
ist. (Definitheit)
• kkuk = |k|kuk. (Homogenität)
• ku + vk ≤ kuk + kvk. (Dreiecksungleichung)
u =E + v
{
v E {{{{
{
{oo7
{o{o{ou
{
o
o{
Dreiecksungleichung
Die durch d(u, v) := ku − vk definierte Funktion ist eine Metrik und heißt durch die
Norm k · k induziert. Das Paar (V, k · k) heißt normierter Vektorraum.
Banachraum: Ist der normierte lineare Raum in der induzierten Metrik vollständig, so
heißt er Banachraum. Jeder abgeschlossene Teilraum eines Banachraumes ist selbst
vollständig bezüglich der von der Norm auf ihm induzierten Metrik.
Beispiel 206 Einfache Beispiele:
1. Es sei K := IR und V := IR. Weiter sei kvk := |v|, also der übliche Betrag einer reellen
Zahl (ihr Absolutbetrag). Man verifiziert
• |kv| = |k||v| und |u + v| ≤ |u| + |v| für alle reellen Zahlen k, u, v, also die Gültigkeit
der Gesetze einer Norm.
• Die induzierte Metrik d(u, v) = |u − v| ist die übliche Abstandsmetrik (Abstand
zweier Zahlen auf der Zahlengeraden).
• IR ist somit ein reeller Banachraum.
Ähnlich überlegt man sich das für C. Es ist C sowohl als reeller, als auch komplexer
Banachraum auffaßbar, wobei C als reeller Banachraum die Dimension 2 hat.
222
Lineare Funktionalanalysis
2. (Würfelnorm, auch Maximumsnorm) Es sei V = IR2 , aufgefaßt als Vektorraum mit
Skalarkörper K = IR. Nun sei die Funktion k·k : V → IR durch k(x, y)k := max{|x|, |y|}
definiert.
y
x
In
der
Skizze sieht man einen Vektor
x
. Seine Norm ergibt sich, wie im
y
Bild angegeben als Betrag der betragsgrößten Komponente.
||(x,y)||=|x|
? Liegt eine Norm vor?
Antwort: (Definitheit) Die Funktion ist nicht negativ und Null genau dann, wenn der
Vektor (x, y) = (0, 0).
(Homogenität) Für alle k 6= 0 ist |x| ≤ |y| genau dann, wenn |k||x| = |kx| ≤ |ky| = |k||y|,
sodaß im Falle k(x, y)k = |y| die geforderte Gleichung kkuk = |k|kuk gilt. Ist |y| ≥ |x|
so geht man analog vor, um diese Gleichung nachzuweisen.
(Dreiecksungleichung) Es seien u := (u1 , u2 ) und v = (v1 , v2 ). Die Dreiecksungleichung
für die Betragsfunktion von Zahlen ergibt für i ∈ {1, 2}
|ui + vi | ≤ |ui | + |vi | ≤ max{|u1 |, |u2 |} + max{|v1 |, |v2 |} = kuk + kvk.
Hieraus ergibt sich insbesondere
ku + vk = max{|u1 + v1 |, |u2 + v2 |} ≤ kuk + kvk.
? Ist (V, k · k) ein Banachraum?
Antwort: Es sei {un }∞
n=1 , mit un := (xn , yn ) eine Cauchyfolge. Dann ist
|xn − xm | ≤ kun − um k, |yn − ym | ≤ kun − um k,
∞
sodaß sowohl {xn }∞
n=1 als auch {yn }n=1 CF in IR sind. Da IR vollständig ist, gibt es
Limiten sodaß man den Vektor u := (x, y) mit x := limn→∞ xn und y := limn→∞ yn
definieren kann. Wir zeigen die Konvergenz der Folge {un }∞
n=1 gegen u im Sinne der
gegebenen Norm: sei > 0, so gibt es ein N ∈ IN mit |xn − x| < und |yn − y| < für
n ≥ N . Dann ist
kun − uk = max{|xn − x|, |yn − y|} < für diese n, somit ist die CF konvergent, somit IR2 bezüglich der Norm Banachraum.
? Man skizziere die Einheits“kugel”, d.i. die Menge K(0, 1) := {u | kuk ≤ 1}.
6.2. Normierte lineare Räume, Banachräume
223
Man überlegt sich sofort, daß (x, y) ∈ K(0, 1) genau dann liegt, wenn
sowohl |x| ≤ 1, also auch |y| ≤ 1 gilt. Es ist somit K(0, 1) = {(x, y) |
|x| ≤ 1 ∧ |y| ≤ 1}, ein Quadrat mit der Seitenlänge 2.
(-1,1)
(1,1)
(-1,-1)
(1,-1)
Anmerkungen zum Beispiel:
IRn mit der Würfelnorm : Analog erweist sich für (x1 , . . . , xn ) ∈ IRn die Funktion
k(x1 , . . . , xn )k := max{|xi | | i = 1, . . . , n} als Norm und IRn ist ein Banachraum.
Eine Folge konvergiert bezüglich der Norm, wenn sie “koordinatenweise” konvergiert. Als Einheitskugel entsteht im IR3 ein Würfel, und ein “Hyperwürfel” in
höheren Dimensionen.
Reellwertige beschränkte Funktionen mit Supremumsnorm: Schließlich ist es
mit der gleichen Art von Überlegungen möglich, für eine beliebige Menge X nachzuweisen, daß die Menge B(X, IR) der beschränkten, reellwertigen Funktionen,
d.i. die Menge aller f ∈ IRX , für welche kf k∞ := supx∈X |f (x)| existiert, daß
(B(X, IR), k · k∞ ) ein Banachraum ist. Für X := {1, 2} kehrt man zum Ausgangsbeispiel des IR2 zurück.
3. (Stetige Funktionen und Supremumsnorm) Es sei I = [0, 1] das Einheitsintervall
und V := C(I, IR) die Menge aller stetigen, reellwertigen, auf I definierten Funktionen.
Es werde kf k := supx∈I |f (x)| definiert.
? Ist hierdurch eine Norm definiert und C(I, IR) ein normierter Vektorraum?
Antwort: Ja. Wir gehen die einzelnen Punkte durch.
(Wohldefiniertheit) Zunächst ist zu zeigen, daß für auf I stetiges f supx∈I |f (x)| nicht
womöglich +∞ ist. Es ist I ein kompaktes Intervall und nach dem Satz von Weierstraß
(Anmerkung 174 (S.185) 4.) ist f deshalb beschränkt.
(Definitheit) Sichtlich ist die Funktion k · k nicht negativ. Angenommen kf k = 0 und
es sei x ∈ I. Dann ist |f (x)| ≤ supx∈I |f (x)| = kf k = 0, also f die Nullabbildung.
(Homogenität) Es sei k ∈ IR. Dann ist |kf (x)| = |k||f (x)| für alle x ∈ I. Hieraus
entnimmt man für alle x ∈ I sowohl
|k||f (x)| = |kf (x)| ≤ sup |kf (x)| = kkf k,
x∈I
als auch
|kf (x)| = |k||f (x)| ≤ |k| sup |f (x)| = |k|kf k,
x∈I
und geht man jeweils links zum Supremum über, ergeben sich die Ungleichungen |k|kf k ≤
kkf k und kkf k ≤ |k|kf k, aus denen die Gleichheit |k|kf k = kkf k folgt.
(Dreiecksungleichung) Es seien f, g ∈ C(I). Dann gilt für alle x ∈ I
|f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ sup |f (t)| + sup |g(t)| = kf k + kgk,
t∈I
t∈I
224
Lineare Funktionalanalysis
sodaß man auch links zum Supremum übergehen kann.
Es ist die Supremumsnorm eine Norm und deshalb C(I) ein normierter linearer Raum.
? Ist C(I) mit dieser Norm ein Banachraum, m.a.W., ist er vollständig?
Antwort: Ja. Hier der Beweis. Es sei {fn }∞
n=1 eine Cauchyfolge. Dann ist für jedes x ∈ I
auch die Folge der Werte {fn (x)}∞
eine
CF. Wegen der Vollständigkeit von IR gibt
n=1
es somit einen Grenzwert f (x) für jedes x ∈ I.
Um die Stetigkeit von f an der Stelle x ∈ I zu zeigen, muß zu beliebigem > 0 ein
δ > 0 mit
|h| < δ ⇒ |f (x + h) − f (x)| < garantiert werden (Stetigkeitsdefinition). Weil {fn }∞
n=1 eine CF ist, gibt es N ∈ IN mit
kfn − fm k < 3 für alle m, n > N . Dann ist auch für alle x ∈ I und diese m, n stets
|fn (x) − fm (x)| < 3 , woraus für m → ∞ die Ungleichung |fn (x) − f (x)| < 3 folgt. Sei
n ≥ N fest gewählt. Da fn an x stetig ist, gibt es ein δ mit |fn (x + h) − fn (x)| < 3 für
alle h mit |h| < δ. Damit ergibt sich
|f (x+h)−f (x)| ≤ |f (x+h)−fn (x+h)|+|fn (x+h)−fn (x)|+|fn (x)−f (x)| <
+ + =
3 3 3
für alle solchen h, also die Stetigkeit von f an x.
Anmerkung zum Beispiel: Die Anmerkung vom vorigen Beispiel einbeziehend, erweist sich B(I, IR) mit der Supremumsnorm als Banachraum. Nimmt man das als gegeben an, verbleibt lediglich der Nachweis, daß jeder Grenzwert von stetigen Funktionen
auf I wieder stetig ist.
4. (Stetige Funktionen und
R 1 Integralnorm) Auf dem Raum C(I, IR) werde die Funktion k · k1 durch kf k1 := 0 |f (x)| dx erklärt.
y
f
1
x
0
Norm: Beträge der Flächen addieren
? Ist k · k1 eine Norm?
Antwort: Ja. Hier der Nachweis der einzelnen Punkte.
(Wohldefiniert) Da jede stetige Funktion f R-integrierbar ist, ist es auch |f |, sodaß kf k1
wohldefiniert ist.
6.2. Normierte lineare Räume, Banachräume
225
(Definitheit) Da |f (x)| ≥ 0 für alle x ∈ I gilt, kann das Integral nie negativ sein.
Angenommen kf k1 = 0. Angenommen es existiert x0 ∈ I mit f (x0 ) 6= 0. Dann gibt es
wegen der Stetigkeit von f ein δ mit |f (x)| ≥ 21 |f (x0 )| für |x − x0 | < δ. Deshalb ist
1
Z
Z
min{x0 +δ,1}
|f (x)| dx ≥ 2δ
|f (x)| dx ≥
0 = kf k1 =
max{x0 −δ,0}
0
|f (x0 )|
= f (x0 )δ > 0,
2
ein Widerspruch. Somit ist f die Nullabbildung.
(Dreiecksungleichung) Sie folgt aus Sätzen der Integralrechnung:
Z
1
Z
1
0
Z
0
1
|g(x)| dx = kf k1 + kgk1 .
|f (x)| dx +
|f (x) + g(x)| dx ≤
kf + gk1 =
0
? Ist (C(I, IR), k · k1 ) ein Banachraum?
Antwort: Nein, der Nachweis wurde in Beispiel 166 (S.173) 3. geführt.
Anmerkungen zum Beispiel: Die Vervollständigung dieses Raumes bezüglich der
k · k1 Norm heißt L1 (I, IR). In der Maßtheorie werden die Elemente von L1 (I, IR) als
Funktionen beschrieben, die bis auf eine Nullmenge definiert sind, und die im Sinne
des Lebesgueintegrals absolut integrierbar sind. Für die weiteren Entwicklungen (und
Praxis numerischer Methoden) genügt es vorerst, die Elemente von L1 (I, IR) sich durch
geeignete stetige Funktionen hinreichend genau approximiert zu denken.
6.2.2
Abgeschlossene Teilräume, Dimension
Anmerkung 207 Folgende Fakten für abgeschlossene Teilräume, d.s. Teilräume, die im
normierten Vektorraum V zugleich abgeschlossen sind, gelten:
Normen im IRn : Im IRn sind alle Normen äquivalent zur Maximumsnorm, d.h. es gibt
positive Konstanten c, C mit
c max{|xi | | i = 1, . . . , n} ≤ k~xk ≤ C max{|xi | | i = 1, . . . , n}.
Endlich-dimensionale Teilräume: sind stets abgeschlossen, auch dann, wenn V nicht
vollständig ist.
Folgenkompaktheit im Teilraum: Ein Teilraum L eines normierten linearen Raumes V ist genau dann folgenkompakt bezüglich beschränkter Teilmengen, d.h., jede
beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge, wenn er endliche Dimension
hat.
Beispiel 208 Hier die Beweise:
226
Lineare Funktionalanalysis
Äquivalenz der Normen im IRn : Zunächst ergibt sich aus
X
X
k~x − ~y kV = k
(xi − yi )~ei kV ≤
|xi − yi |kei kV ≤ max{|xi − yi | | i = 1, . . . , n}C
i
i
für C := n max{k~ei kV | i = 1, . . . , n} sowohl die Behauptung für die Schranke nach
oben (für ~y = ~0) als auch die Stetigkeit der Funktion φ(~x) := k~xkV . Deshalb ist im IRn
die Menge K := {~x | k~xkV = 1} beschränkt und abgeschlossen, also kompakt. Demnach
besitzt die Funktion φ wegen des Satzes von Weierstraß (Anmerkung 174 (S.185) 4.)
ein Minimum c auf K, welches nicht Null sein kann. Deshalb ist k~xkV ≥ c. Nun ersetzt
1
man ~x := max{|yi ||i=1,...,n}
~y und erhält die behauptete Äquivalenz von Normen im IRn .
Abgeschlossenheit von endlich-dim. Teilräumen: Es sei L endlichdimensionaler Teilraum des normierten Raumes (V, k·kV ) und B eine beliebige Basis von L. Dann
P induziert
die Norm k · kV eine Norm auf L, welche nach dem vorigen zur für ~x = b xb b ∈ L
durch
k~xkL := max{|xb | | b ∈ B}
gegebenen äquivalent ist. Deshalb ist jede bezüglich der V -Norm konvergente Folge
auch bezüglich der L-Norm konvergent, also insbesondere der GW in L und somit L
abgeschlossen.
Folgenkompaktheit für beschränkte Teilmengen im Teilraum ⇒ endlichdimensional:
Es sei L zunächst ein beliebiger endlich-dimensionaler Teilraum von V , der nach vorigem abgeschlossen ist. Falls L 6= V , so ergibt sich aus Anmerkung 289 (S.302), daß
stets ein y 6∈ L mit kykV = 1 und kl −ykV ≥ 21 für alle l ∈ L gefunden werden kann. Angenommen, der Raum hat unendliche Dimension. Dann kann damit induktiv eine Folge
von Elementen yn der Länge 1 und Teilräume Ln = L(y1 , . . . , yn ) mit kyn −yj kV ≥ 12 für
alle j < n gewonnen werden. Hieraus ergibt sich sofort daß für alle i, j stets kyi − yj k≥ 12
ist. Eine solche Folge ist somit zwar beschränkt, kann aber keine konvergente Teilfolge
enthalten, ein Widerspruch.
6.2.3
Lp und lp Normen
Im Abschnitt über Hilberträume wird das im Folgenden zu findende p = q = 12 sein. Die hier
vorgestellten Räume sind klassische Standardbeispiele der Funktionalanalysis.
Anmerkung 209 Die folgenden Ungleichungen spielen eine wichtige Rolle:
Young : Es sei f : [0, ∞) → [0, ∞) streng monoton und stetig, weiter f (0) = 0 und
limx→∞ f (x) = ∞, sowie g die Umkehrfunktion zu f . Dann ist für alle u, v ≥ 0
stets
Z u
Z v
uv ≤
f (x) dx +
g(y) dy .
0
0
|
{z
} | {z }
1
2
6.2. Normierte lineare Räume, Banachräume
227
Hölder, Integralform: Sind f, g beide auf dem Intervall [a, b] stückweise stetige, reellwertige Funktionen, und p > 1 sowie q durch die Gleichung p1 + 1q = 1 festgelegt,
so ist
Z b
p1 Z b
1q
Z b
p
q
|f (x)g(x)| dx ≤
|f (x)| dx
|g(x)| dx
.
a
a
a
Für p = q = 2 kann die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (Anmerkung 226 (S.245))
in Integralform hergeleitet werden.
Minkowski, Integralform: Auf dem Raum der auf [a, b] stetigen Funktionen ist durch
Z
kf kp :=
b
|f (x)|p dx
p1
a
eine Norm definiert. Man nennt sie die Lp -Norm.
Minkowski, Summenform: Ist I eine endliche Menge, so wird auf IRI durch
!1
p
kakp :=
X
|ai |p
i∈I
eine Norm festgelegt, welche lp -Norm genannt wird.
Lp und lp : Die Vervollständigung des Raumes der stetigen Funktionen bezüglich der Lp Norm heißt Lp (-Raum) und des Raumes der Folgen {xn }∞
n=1 mit fast allen Glieder
gleich Null, heißt lp (-Raum). Wenn kfn − f kLp → 0, so spricht man von Konvergenz
im Lp -Mittel, für p = 2 auch von Konvergenz im quadratischen Mittel, wobei man
üblicherweise noch durch die Länge des Integrationsintervall dividiert (sie ist in
unserem Beispiel 1).
Beispiel 210 Hier sind Beweisskizzen der Ungleichungen.
Young: Geometrisch ist der Sachverhalt einleuchtend:
O
x = g(y)
y = f (x)
y
Die Fläche des Rechtecks mit den Seiten u, v ist
nicht größer als die Fläche unterhalb des Graphen von f (bis u) plus die Fläche links vom
Graphen von g (bis v).
v _ _ _ _ __ _ _ _
2 2
1
0
u
/x
Hölder: Zunächst wählt man in der Youngschen Ungleichung als Funktion f (x) := xp−1
228
Lineare Funktionalanalysis
und findet durch elementares Integrieren
uv ≤
Setzt man jetzt Jp (f ) :=
u :=
|f (x)|
Jp (f ) ,
v :=
g(x)
Jq (g)
R
b
p
a |f (x)| dx
up v q
+ .
p
q
1
p
, um die Schreibarbeit zu reduzieren, und
und integriert von a bis b, so ergibt sich
Rb
a
|f (x)g(x)| dx
≤ 1,
Jp (f )Jq (g)
woraus die Ungleichung folgt.
Minkowski, Integralform: Die Ungl. von Minkowski ist die Dreiecksungleichung, die nun
zu beweisen ist. Man geht von |f (x)+g(x)|p = |f (x)+g(x)||f (x)+g(x)|p−1 ≤ |f (x)||f (x)+
g(x)|p−1 + |g(x)||f (x) + g(x)|p−1 aus und wendet auf der rechten Seite für jeden Summanden auf die beiden Faktoren die Höldersche Ungleichung an. Man findet (mit etwas
Akribie) kf + gkpp ≤ kf kp k|f + g|p−1 kq + kgkp k|f + g|p−1 kq . Der Ausdruck k|f + g|p−1 kq
p
entpuppt sich bei entsprechendem Einsetzen als kf + gkpq wobei auch q(p − 1) = p (als
Konsequenz von p1 + 1q = 1) benützt wird. Danach zieht man links und rechts die p.te
Wurzel.
Minkowski, Summenform: Es genügt, I := {1, 2, . . . , n} und somit Folgen (a1 , a2 , . . . , an )
zu betrachten. Auf dem Intervall [0, n] werde nun f (x) := ai definiert, falls i − 1 ≤ x < i
gilt. Nun ergibt sich die Lp -Norm geradewegs als lp -Norm und die Minkowskiungleichung
für Folgen ergibt sich als Konsequenz.
6.2.4
Soboleffnormen
Da im Sinne von Lp -Normen konvergente Funktionenfolgen im allgemeinen bestenfalls bis auf
Lebesguenullmengen definiert sind, benötigt man zur Formulierung von Randwertproblemen
Banachräume, die durch entsprechende Integralnormen kalkülmäßig leichter zu beherrschen
sind (etwa wegen geeigneter Integrationsroutinen) als Räume mit gleichmäßiger Konvergenz,
deren Konvergenzbegriff zu restringiert ist (schlechte Konvergenz – schwierige Approximationsprobleme). Deshalb wurden Räume definiert, welche Integralnormen auch von Ableitungen
berücksichtigen. Hier soll das einfachste Beispiel (nämlich p = 1) präsentiert werden, welches
bereits aufzeigt, daß man die Elemente des Raumes als stetige Funktionen interpretieren
kann.
Beispiel 211
1. (Der Soboleffraum W11 (I)), ein Banachraum stetiger Funktionen mit
einer Integralnorm). Es sei C k (I, IR) mit I = [0, 1] der Raum der stetigen, auf (0, 1)
k-mal stetig differenzierbaren (d.h. Ableitungsfunktion dort stetig) und mit in die Endpunkte 0 und 1 stetig fortsetzbaren Ableitungen.
? Es sei kf k :=
R1
0
|f (x)| dx +
R1
0
|f 0 (x)| dx. Liegt eine Norm vor?
6.2. Normierte lineare Räume, Banachräume
229
Antwort: Ja, der Nachweis verläuft recht ähnlich wie in Beispiel 206 (S.221) 4.
? Ist C 1 ([−1, 1], IR) mit der Norm kf k :=
d.h. liegt ein Banachraum vor?
R1
−1 |f (x)| dx
+
R1
−1 |f
0 (x)| dx
vollständig,
Antwort: Nein. Es sei fn := x2n−1 und wir betrachten die Folge {fn }∞
n=1 . Es ergibt sich
nach etwas elementarem Integrale ausrechnen
1
1 1
1 kfn − fm k = 2 −
+
−
2n − 1 2m − 1 n − 1 m − 1 und mit Mitteln der Analysis überlegt man sich, daß dieser Ausdruck für m, n beide
hinreichend groß, selbst beliebig klein wird, m.a.W., daß eine Cauchyfolge vorliegt.
Ähnlich wie in Beispiel 206 (S.221) 4. ergibt sich, daß die einzig mögliche Grenzfunktion
links von 0 den Wert −1 und rechts davon 1 annehmen muß. Dann ist, genau wie im
zitierten Beispiel, die Grenzfunktion nicht stetig. Somit ist der Raum nicht vollständig.
Anmerkung: In analoger Weise kann gezeigt werden, daß C 1 (I, IR) mit der obigen Norm
nicht vollständig ist.
? Auf C 1 (I, IR) werde die Funktion φ(f ) :=
schaften einer Norm erfüllt φ?
R1
0
|f 0 (x)| dx betrachtet. Welche Eigen-
Antwort: (Wohldefiniert) Es ist f 0 stetig, somit kann das Integral gebildet werden.
0
(Definitheit
R 1 – Nein) Es ist |f (x)| ≥ 0, also φ(f ) ≥ 0 stets. Jedoch für f (x) := 1 ist
φ(f ) = 0 |0| dx = 0 obwohl f nicht die Nullfunktion ist.
(Dreiecksungleichung) Ihr Nachweis folgt aus den Regeln der Integralrechnung analog
wie in Beispiel 206 (S.221) 4.
? Es sei nun C01 (I, IR) der Teilraum von C 1 (I, IR) mit u(0) = u(1) = 0 (homogene
Randbedingungen). Ist φ eine Norm auf diesem Teilraum?
Antwort: Ja. Wegen des vorigen Punktes ist lediglich zu zeigen,R daß φ(f ) = 0 stets
1
f = 0 nach sich zieht. Das ist jedoch der Fall, weil 0 = φ(f ) = 0 |f 0 (x)| dx zunächst
f 0 = 0, also f = c, mit einer Konstanten c nach sich zieht, und weil wegen der Randbedingungen dann f = 0 folgt.
? (Poincarésche Ungleichung) Es werde die Norm φ(f ) ab jetzt mit k·k11 bezeichnet.
Man zeige die Poincarésche Ungleichung
kf k∞ ≤ kf k11 .
Aus ihr folgere man, falls {fn }∞
n=1 bezüglich der Norm φ Cauchyfolge ist, so auch
bezüglich der Supremumsnorm.
Rx
Antwort: Ist f ∈ C01 (I, IR), so gilt wegen f (x) = 0 f 0 (t) dt die Integralabschätzung
Z x
Z 1
0
|f (x)| ≤
|f (t)| dt ≤
|f 0 (t)| dt = kf k11
0
0
230
Lineare Funktionalanalysis
für alle x ∈ I gültig. Hieraus ergibt sich die Poincarésche Ungleichung
kf k∞ ≤ kf k11 .
1
Ist nun {fn }∞
n=1 bezüglich der Norm k · k0 eine CF, so ergibt die Abschätzung kfn −
fm k∞ ≤ kfn − fm k10 , daß sie auch CF bezüglich der Supremumsnorm ist.
? (Vervollständigung von C01 (I, IR) in C0 (I, IR)) Kann die Vervollständigung von
C01 (I, IR) als Teilraum von C0 (I, IR) aufgefaßt werden?
Antwort: Ja. Gemäß des Vervollständigungsprozesses wird jeder Klasse von Cauchyfolgen in C01 (I, IR) ein Grenzelement in der (abstrakten) Vervollständigung zugewiesen.
Da jedoch jede Klasse von solchen CF auch eine solche in C0 (I, IR) ist, und dort genau
ein Grenzwert vorhanden ist, darf man die Vervollständigung als Teilraum ansehen.
Anmerkung: Die Norm kgk10 ist durch Grenzwertbildung zugänglich (was man in der
Praxis kaum zu tun braucht).
2. (Soboleffraum H k (I) = Wk2 (I))
? Analog wie vorher sei I := [0, 1] und V := C k (I) der Raum im Inneren von I mindestens k-mal stetig differenzierbaren und stetiger Fortsetzung der j.ten Ableitungen
an den Rand für j ≤ k − 1. Man zeige, daß
s
Z 1
kf k :=
(|f (x)|2 + |f 0 (x)|2 + · · · + |f (k) (x)|2 ) dx
0
die Eigenschaften einer Norm erfüllt.
Antwort: Ja, die Beweisführung ist völlig analog zur entsprechenden für W11 (I).
Die Vervollständigung dieses Raumes entsprechend oft differenzierbarer Funktionen ist
der Soboleffraum H k (I). Ähnlich wie bei W11 (I) erweisen sich seine Elemente als im
klassischen Sinn k − 1 mal stetig differenzierbar.
3. (Der Raum H01 (I) – eingespannte Saite)
qR
1 0
2
? Es sei ψ(f ) :=
0 |f (x)| dx. Welche Eigenschaften einer Norm sind erfüllt? Für
welche Funktionen in C 1 (I) ist ψ(f ) = 0?
Antwort: Die positive Definitheit ist nicht erfüllt, weil z.B. jede konstante Funktion f
den Wert ψ(f ) = 0 ergibt. Ist umgekehrt ψ(f ) = 0, so folgt aus der Stetigkeit der
Ableitung, daß f 0 = 0, also f konstant sein muß.
6.3. Stetige lineare Operatoren
231
? Es sei C01 (I) die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen, die an den Intervallenden Null ist (“eingespannte Saite”). Man zeige eine Poincarésche Ungleichung
kf k∞ ≤ ψ(f ).
Aus ihr soll abgeleitet werden, daß ψ eine Norm ist.
Rx
Antwort: Es ist f (x) = 0 f 0 (t).1 dt (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
und wegen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
Anmerkung
209
ergibt sich
qR
qR
q(S.226)
Rx 0
Rx
√
x 0
x 2
2
0
2
zunächst |f (x)| = | 0 f (t).1 dt| ≤
0 |f (t)| dt
0 1 dt ≤
0 |f (t)| dt x ≤
qR
qR
x 0
1 0
2 dt ≤
2
|f
(t)|
0
0 |f (t)| dt = ψ(f ). Zusammengefaßt hat man die Ungleichung
|f (x)| ≤ ψ(f ).
Indem man links zum Supremum übergeht, ergibt sich die Poincarésche Ungleichung.
Somit darf aus ψ(f ) = 0 auf f = 0 für f ∈ C0 (I) geschlossen werden.
? Kann die Vervollständigung von C01 (I) als Teilraum von C0 (I) angesehen werden?
Antwort: Ja, die Begründung ist analog wie im vorigen Item des Beispiels.
Numerische Verfahren (etwa die Ritzmethode) konstruieren Approximationen im Sinne der
k · k10 -Norm. Diese Näherungsfunktionen sind dann automatisch Näherungen im Sinne der Supremumsnorm der stetigen Lösungsfunktion. Insbesondere läßt sich hierdurch das maßtheoretische Problem einer womöglich nur bis auf Lebesguenullmenge definierten Lösungsfunktion f
vermeiden. Ein Vorteil des letztgenannten
Soboleffraumes liegt in der Existenz eines inneren
R1
Produkts (nämlich hf, gi = 0 f 0 g 0 dx), welches bei FEM auf quadratische Formen führt, wie
wir in Kapitel B (S.321) ausführen wollen.
6.3
6.3.1
Stetige lineare Operatoren
Stetigkeit=Beschränktheit, Operatornorm
Anmerkung 212 Die folgenden Eigenschaften eines linearen Operators A : U → V sind
für normierte K-Vektorräume (U, k · kU ) und (V, k · kV ) gleichwertig:
1. Stetigkeit: Für jede gegen ein u ∈ U konvergente Folge {un }∞
n=1 konvergiert die
Folge {Aun }∞
gegen
Au.
n=1
2. Folgenstetigkeit in einem Punkt: Es gibt ein u ∈ U und für jede gegen u kon∞
vergente Folge {un }∞
n=1 , konvergiert die {Aun }n=1 gegen Au.
3. Gleichmäßige Stetigkeit auf U : A ist auf U gleichmäßig stetig.
4. Lipschitzstetigkeit: Es gibt ein λ mit kAu1 − Au2 kV ≤ λku1 − u2 kU .
232
Lineare Funktionalanalysis
5. Beschränktheit I: Das Bild jeder in U beschränkten Menge ist beschränkt.
6. Beschränktheit II: Das Bild der Einheitskugel in U ist beschränkt, d.h. es existiert
C mit kAukV ≤ CkukU .
Sind die Räume U, V zusätzlich vollständig (also Banachräume), so ist noch äquivalent
dazu, daß:
7. Abgeschlossener Graph: Der Graph G(A) := {(u, Au) | u ∈ U } ist eine abgeschlossene Teilmenge von U × V bezüglich der Norm k(u, v)kU ×V := kukU + kvkV .
Operatornorm: Die Zahlen supkukU ≤1 kAukV und supkukU =1 kAukV stimmen überein
und werden als Operatornorm bezeichnet, kurz kAkVU oder auch kAk, wenn über die auf
U bzw. V gewählten Normen kein Zweifel besteht. Der Operator heißt dann stetig oder
beschränkt und es gilt für alle u ∈ U stets
kAukV ≤ kAkVU kukU .
Beispiel 213 Bevor wir Nachweise geben, einfache Beispiele:
1.
? Erfüllt die lineare Abbildung A : IR → IR, gegeben durch A(x) = 3x die 7 Kriterien.
Antwort: Zunächst ist IR ein reeller Banachraum, also ist es sinnvoll, alle 7 Kriterien
zu checken. Es sind 1. und 2. leicht einzusehen. 4. ist für λ := 3 erfüllt, und weil aus
Lipschitzstetig stets die gleichmäßige Stetigkeit folgt, ist auch 3. erfüllt. Ist |x| ≤ C für
eine Konstante C, so ist kAxk = |3x| ≤ 3C, also das Bild jeder beschränkten Menge,
und insbesondere, der “Einheitskugel”, d.i. A([−1, 1]) = [−3, 3] beschränkt, also gelten
5. und 6. Schließlich besteht der Graph von A aus allen Punkten (x, Ax) = (x, 3x) mit
x ∈ IR, und wenn (xn , 3xn ) eine konvergente Folge ist, so ist der GW von der Form
(x, 3x), gehört also wieder zum Graphen, es gilt somit auch 7.
? Welchen Wert hat kAk?
Antwort: kAk = sup|x|≤1 3|x| = 3.
2.
? (Alle linearen Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Räumen sind
stetig) Es sei A : Cn → Cm gegeben. Welche der Bedingungen 1.-7. erfüllt A?
Antwort: Weil Cn und Cm beides Banachräume sind, ist es sinnvoll, auch 7. mit einzubeziehen. Wiederum sind 1. und 2. sofort einsichtig – lineare Abbildungen im Koordinatenraum sind stetig, das weiß man! Wir wollen 6. nachweisen. Dazu vermerkt
man, daß jede abgeschlossene Kugel in Cn kompakt ist, sodaß ihr Bild wegen Anmerkung 174 (S.185) 3. ebenfalls kompakt, und somit beschränkt ist. Hieraus folgt
5., weil ja jede beschränkte Menge in Cn in einer Kugel enthalten ist. Insbesondere ist kAk wohldefiniert und man hat kAxk ≤ kAk für alle x mit kxk ≤ 1. Ist
6.3. Stetige lineare Operatoren
233
−u2
u1 6= u2 , so ist deshalb kA kuu11−u
k ≤ kAk, woraus wegen der Linearität von A
2k
sofort kA(u1 − u2 )k ≤ kAkku1 − u2 k folgt, also für λ := kAk die Lipschitzstetigkeit,
d.i. 4. Da aus “Lipschitzstetig” stets “gleichmäßig stetig” folgt, gilt auch 3. Die Abgeschlossenheit des Graphen sieht man ähnlich wie in 1. ein.
3.
? Es sei A : IR2 → IR2 ein linearer Operator, der bezüglich kanonischer Basen durch
die Matrix
2 1
A :=
,
0 1
gegeben ist. Wie kann seine Norm bestimmt werden?
p
x
Antwort: Die “Einheitskugel” wird hier durch die Ungleichung k
k = x2 + y 2 ≤
y
1 bestimmt, ist somit eine Kreisscheibe. Ihr Bild unter A ist die Menge
2x + y
| x2 + y 2 ≤ 1}.
{
y
p
Weil die Kreisscheibe kompakt ist, ergibt sich kAk = maxx2 +y2 =1 (2x + y)2 + y 2 und
somit erscheint es sinnvoll, die Aufgabe als Extremwertaufgabe zu formulieren: Gesucht
ist das Maximum von
x
k2 = (2x + y)2 + y 2
f (x, y) := kA
y
unter der Nebenbedingung
g(x, y) = 1 − (x2 + y 2 ) = 0.
Die Multiplikatormethode von Lagrange führt dazu
Φ(x, y, λ) := (2x + y)2 + y 2 + λ(1 − (x2 + y 2 ))
nach x und y zu differenzieren, Null zu setzen und die Nebenbedingung verwendend,
die Lösungen von
0 = 4x + 2y − λx
0 = 2x + 2y − λy
0 = x2 + y 2 − 1
zu ermitteln. Man hat somit ein Eigenwertproblem
4 2
x
x
=λ
2 2
y
y
vor sich und findet aus
Gleichung (die λ2 − 6λ + 4 = 0 lautet)
√ der charakteristischen
√
die Werte λ ∈ {3 + 5, 3 − 5}. Multipliziert man die 1. der Gleichungen mit x, die
2. mit y, addiert, und setzt die 3.te ein, so ergibt sich λ = x(4x + 2y) + y(2x + 2y) =
234
Lineare Funktionalanalysis
2 = (2x + y)2 + y 2 = f (x, y), sodaß die gesuchte Lösung für die Norm
4x2 + 4xy
p + 2y
√
kAk = 3 + 5 ist.
Anmerkungen: Warum bezüglich der hier gewählten euklidischen Norm ein Eigenwertproblem entsteht, läßt sich kurz so umreißen: Die Matrix AT A ist positiv semidefinit
und somit kann sie durch eine orthogonale Matrix auf Diagonalgestalt gebracht werden
mit nicht negativen Elementen in der Diagonale. Ordnet man diese der Größe nach,
so wird schnell klar, daß der größte von ihnen das Quadrat der Norm sein muß. Die
Quadratwurzeln der Eigenwerte sind die Längen der Halbachsen der Ellipse des Bildes
des Einheitskreises und die Eigenvektoren deren Achsenrichtungen.
Bezüglich der Würfelmetrik auf IR2 ist die Bestimmung der Norm von A schwieriger.
4.
? (Norm eines
auf lp ) Es soll für p > 1 auf IR2 die lp -Norm gewählt
Funktionals
√
x
∗
werden, also k
kp := p xp + y p . Wie kann für ein beliebiges Funktional f ∈ IR2
y
nicht Null, gegeben als f (x, y) := ax + by die Norm kf k berechnet werden, wobei in IR
die Betragsnorm gewählt wird?
Antwort: Die Vorgehensweise kann ähnlich wie im vorigen Beispiel gewählt werden. Es
soll f (x, y) := ax + by unter der Nebenbedingung g(x, y) = 1 − xp − y p = 0 maximal
gemacht werden, wobei der Einfachheit halber a ≥ 0 und b ≥ 0 und dementsprechend
insbesondere x ≥ 0 und y ≥ 0 gefordert werden kann. Die Kompaktheit der “Einheitssphäre” {(x, y) | xp + y p = 1} ergibt die Existenz des Maximums, sodaß die Methode
von Lagrange, d.h. Ansatz Φ(x, y, λ) := ax + by + λ(1 − xp − y p ), nützlich erscheint.
Differenzieren und Null setzen ergibt a − λxp−1 = b − λy p−1 y = 1 − xp − y p = 0, woraus
1
1
a p−1
b p−1
x = λp
, y = λp
, woraus man (bitte selbst die elementaren Zwischenschritte der Rechnung durchführen) mit der Bezeichnung q :=
1
1
p + q = 1)
1
− p−1
1 = xp + y p = (λp)
p
p−1
(das ist gleichwertig zu
k(a, b)kqq
bekommt, aus der man den Wert von f an der Extremumsstelle
kf k = f (x, y) = ax + by = (λp)
1
− p−1
(aq + bq ) = · · · =
√
q
x
y
ermitteln kann:
aq + bq = k(a, b)kq .
Anmerkungen: Zunächst folgt aus der Bedeutung der Norm von f die Ungleichung
√
√
|ax + by| ≤ p xp + y p q xq + y q .
Dies ist jedoch (für n = 2) eine diskrete Version der Hölderschen Ungleichung aus
Anmerkung 209 (S.226), aus der man die Minkowskiungleichung (in der Summenform)
leicht herleiten kann.
6.3. Stetige lineare Operatoren
235
Für p = 2 ist auch q = 2, sodaß in diesem Fall die Norm im Dualraum die “gleiche”
wie im Ausgangsraum ist, eine Beobachtung, die für Hilbertraummethoden eine Rolle
spielt.
Angemerkt
darf auch kf k = |a| + |b| werden, falls man in IR2 die Würfelnorm, also
x
k
k: = max{|x|, |y|} wählt.
y
Definition 214 Ein Operator A : U → V heißt Isometrie, falls für alle u ∈ U stets kukU =
kAukV gilt. Man beachte, daß jede Isometrie Kern Null hat.
6.3.2
(Topologischer) Dualraum
In Definition 196 (S.210) wurde der algebraische Dualraum V ∗ eines linearen Vektorraumes
V als Menge der linearen Abbildungen von V mit Werten im Skalarkörper vorgestellt, die
linearen Funktionale. Bei der Verwendung normierter linearer (Funktionen)räumen betrachtet
man sehr oft die stetigen linearen Funktionale.
Definition 215 (topologischer Dualraum V 0 ) Ist (V, k·kV ) ein normierter linearer Raum
mit Skalarkörper K (= IR oder C), so ist der aus allen stetigen linearen Funktionalen bestehende Teilraum von V ∗ der (topologische) Dualraum von V . Er soll mit V 0 bezeichnet
werden.
Anmerkung 216 (topologischer Dualraum V 0 ) Zusammenstellung von Fakten:
Norm für stetige Funktionale: Wird im Einklang mit Anmerkung 212 (S.231) die
Operatornorm kv 0 kV 0 := supkvkV ≤1 |v 0 (v)| verwendet, so ist (V 0 , k · kV 0 ) ein Banachraum. Der Nachweis ist in Unterabschnitt A.4.1 (S.300) zu finden.
(Topologisch) duale Abbildung: Ist A : U → V stetige lineare Abbildung, und v 0
stetiges lineares Funktional auf V , so wird durch A0 (v 0 )(u) := v 0 (A(u)) die (topologisch) duale Abbildung
A0 : V 0 → U 0
festgelegt (vgl. die Skizze in Definition 196 (S.210), in der A die Rolle von f und
v 0 die von v ∗ zu übernehmen hat). Sie ist beschränkt, es gilt sogar kA0 k = kAk.
Den Beweis findet man in Unterabschnitt A.4.1 (S.300).
Beispiel 217 (Stetige und unstetige lineare Funktionale)
1.
? Es sei I := [0, 1] und C(I) der Raum der stetigen Funktionen mit der SupreR1
mumsnorm. Welche der nachstehenden Funktionale sind stetig? J1 (f ) := 0 f (x) dx,
δ(f ) := f (0)
236
Lineare Funktionalanalysis
Antwort: Da J stetig mit J beschränkt für lineare Operatoren gleichwertig ist, genügt
es, die Existenz von C ∈ IR mit |J(f )| ≤ Ckf k nachzuweisen.
R1
Da |J1 (f )| ≤ 0 |f (x)| dx ≤ kf k ist, kann C = 1 gewählt werden und somit ist J1 stetig.
Da |δ(f )| = |f (0)| ≤ kf k, gilt, kann C = 1 gewählt werden, und somit ist δ (die
“Deltafunktion”
als lineares Funktional interpretiert, man schreibt ja das gerne als
R∞
f (0) = −∞ f (x)δ(x) dx, ein reiner Formalakt!) ist stetig.
? Welche Norm haben J1 bzw. δ?
Antwort: Wir wissen schon |J(f )| ≤ 1 für alle f mit kf k = 1 und J = J1 bzw. J = δ.
Deshalb ist kJk ≤ 1. Wählt
R 1 man für f die konstante Funktion 1, so ergibt sich kf k = 1.
Weil auch 1 = |J1 (f )| = 0 1 dx = |δ(1)| ist, ergibt sich 1 ≤ kJk ≤ 1, also kJk = 1 für
J = J1 bzw. J = δ.
R1
? Es werde jetzt C[0, 1] mit der Integralnorm kf k1 := 0 |f (x)| dx (vgl. Item 4 in
Beispiel 206 (S.221)) betrachtet. Man untersuche die Stetigkeit von J1 und δ und
bestimme gegebenenfalls die Norm.
Antwort: Für J1 ergibt sich
1
Z
|f (x)| dx = kf k1 ,
|J1 (f )| ≤
0
woraus man kJk ≤ 1 schließt, ähnlich wie vorhin. Wählt man f konstant gleich 1, so
ergibt sich analog wie vorhin kJ1 k = 1.
Die “δ-Funktion” (vgl. Anmerkung 295R (S.315)) ist nicht stetig in unserer Norm! Es
1
sei fn (x) := (1 − x)n . Dann ist kfn k1 = 0 (1 − x)n dx = n1 . Wäre nun δ stetig, so müßte
limn→∞ δ(fn ) = 0 gelten. Es ist jedoch δ(fn ) = fn (0) = 1, also der Grenzwert gleich 1.
qR
1 0
2
? Es werde C0 (I) mit der Soboleffnorm kf k10 :=
0 |f (x)| dx wie in Beispiel 211
(S.228).2 versehen. Ist das durch δ 1 (f ) := f ( 12 ) definierte Funktional δ 1 linear und
2
2
stetig?
Antwort: Die Linearität istRrecht einfach zu beweisen. (In der Diracschreibweise würde
∞
man das Funktional durch −∞ f (x)δ(x − 21 ) dx ausdrücken, rein formal!). Um die Stetigkeit nachzuweisen, beachtet man
1
|δ 1 (f )| = |f ( )| = |
2
2
Z
0
1
2
0
Z
f (x) dx| ≤
1
|f 0 (x)| · 1 dx,
0
und nun kann man mittels Cauchy-Schwarzscher Ungleichung (in Integralform, vgl.
etwa Anmerkung 209 (S.226)) der Term rechts durch kf k10 abgeschätzt werden. Also
ist das Funktional stetig!
6.3. Stetige lineare Operatoren
237
Anmerkung 218 (Vervollständigung durch isometrische Einbettung in einem
Dualraum) Ist (V, k · kV ) ein zu vervollständigender normierter (Funktionen)raum, und
läßt er sich als Teilraum des Dualraumes eines normierten Vektorraums (W, k · kW ) auffassen, derart daß für alle v ∈ V stets kvkV = kvkW 0 (Norm im Dualraum) gilt, so ist die
Vervollständigung von V bezüglich k · kV gleich der Menge aller Häufungspunkte in W 0
bezüglich k · kW 0 .
Beispiel 219 Als klassische Anwendung zeigen wir:
1.
? Beschreibung von Lq für q > 1 als Dualraum von Lp ). Es sei V = C([0, 1]) der
R
1
p
1
Raum der stetigen Funktionen und auf ihm für p > 1 die Norm kf kp := 0 |f (x)|p dx
gegeben. (Dies ist die Lp -Norm, siehe Anmerkung 209 (S.226)). Man zeige, daß für q,
definiert durch p1 + 1q = 1 und stetiges g das lineare Funktional J, definiert durch
R1
J(f ) := 0 g(x)f (x) dx stetig ist und die Norm von J sich als kJkV 0 = kgkq ergibt.
Antwort(findung): Zunächst liest man aus der Integralform der Hölderungleichung (bei
vertauschten Rollen von f und g)
Z 1
Z 1
|J(f )| = |
g(x)f (x) dx| ≤
|g(x)f (x)| dx ≤ kgkq kf kp
0
0
ab. Somit ist J beschränkt und kJkV 0 ≤ kgkq .
Die umgekehrte Ungleichung ist für g = 0 klar und für g 6= 0 gewinnt man sie mit
p
der
einem Kunstgriff: Wir betrachten f := |g|q−1 sign g. Zunächst ist wegen q = p−1
Exponent> 0 und weiter ist |f |p = |g|q . Dies setzen wir in die grundlegende Ungleichung
für die Norm, nämlich |J(f )| ≤ kf kp kJkV 0 ein und bekommen
Z
0
1
g(x)|g|
q−1
Z
sign g dx ≤
1
q−1
||g|
p
sign g|
p1
kJkV 0 .
0
Die linke Seite erweist sich als kgkqq , und die rechte Seite nach etwas Rechnung als
kgkq−1
q kJkV 0 . Danach wird aus der Ungleichung
kgkqq ≤ kgkqq−1 kJkV 0 ,
woraus Division die umgekehrte Ungleichung kgkq ≤ kJkV 0 ergibt.
? Wie kann man Lq nun als Raum linearer Funktionale verstehen?
Antwort: Es wurde gezeigt,
R 1 daß jedes g ∈ C[0, 1] als lineares Funktional auf C[0, 1] durch
die Bedingung Jg (f ) := 0 g(x)f (x) dx aufgefaßt werden kann. Dies kann als Abbildung
J : C(I) → C(I)0 verstanden werden, nämlich J(g) = Jg . Im Vorangegangenen wurde
kJ(g)k = kgkq gezeigt. Deshalb ist J eine Isometrie. Der Abschluß des Bildes von J
(also die Menge aller Häufungspunkte) in C(I)0 ist somit als Banachraum isomorph zu
Lq , der Vervollständigung von C(I) unter der Lq -Norm.
238
Lineare Funktionalanalysis
2.
? (Variationsaufgabe eingespannte Saite und isometrische Einbettung) Es
sei I = [0, 1] und p stückweise stetig Rauf I und nach unten durch eine positive Kon1
stante beschränkt. Nun soll J(y) := 0 L(x, y, y 0 ) dx für L(x, y, y 0 ) := 12 (y 0 )2 − f (x)y
minimiert werden (Vgl. das Variationsproblem in Beispiel 198 (S.213)), wobei noch
y(0) = y(1) = 0 als Randbedingungen gestellt werden (mit Kraftdichte l belastete, an
den Enden eingespannte
Saite). Wie dort gezeigt, interessiert man sich für die 1.te
R1
Variation δJ(φ) := 0 (py 0 φ0 + f φ) dx, die man Null setzt. Dabei verlangt man von φ
stetig differenzierbar zu sein und die Randbedingungen
qR zu erfüllen. Auf C0 (I) werde
1 0
2
wie in Beispiel 211 (S.228) die Soboleffnorm kφk10 :=
0 |φ (x)| dx definiert. Es sei f
stückweise stetig. Man zeige, daß für beliebiges y ∈ C01 (I) das Funktional δJ(y) stetig
ist.
R1
Antwort: Die Stetigkeit von J(φ) := 0 py 0 φ0 dx läßt sich wie folgt nachweisen:
1
Z
|J(φ)| ≤
0
Z
0
p(x)|y ||φ | dx ≤ kpk∞
0
1
|y 0 ||φ0 | dx ≤ kyk10 kφk10 ,
0
wobei kpk∞ := supx∈I |p(x)| die Supremumsnorm5 ist, und beim letzten Term die
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (vgl. Anmerkung 209 (S.226)) in Integralform bzw.
die Definition der Norm benützt wurden.
R1
Nun zur Stetigkeit des zweiten Anteils des Funktionals δJ(y), nämlich φ 7→ 0 f (x)φ(x) dx.
Man findet
Z
Z
1
|
1
f (x)φ(x) dx| ≤ kf k∞
0
|φ(x)| dx,
0
und da |φ(x)| ≤ kφk10 wegen der Poincaréungleichung, ergibt sich schließlich insgesamt
die Stetigkeit von δJ(y).
? (Schwache Lösung) Welchen Wert hat die bisherige “Turnübung”?
Antwort: Es erscheint sinnvoll, alle bezüglich der Norm k · k10 stetigen linearen Funktionale v 0 auf C01 (I) zu suchen, für die
0
Z
v (φ) +
1
lφ dx = 0
0
für alle φ ∈ C01 (I) gilt. Jedes solche v 0 heißt schwache Lösung des Variationsproblems.
In Kapitel B (S.321) wird gezeigt werden, wie man mittels des Darstellungssatzes von
Riesz grundsätzlich v 0 beschreiben kann. Hierauf fußen wohl auch FEM-Methoden.
Andrerseits ist jedes solche v 0 als stetige Funktion auffaßbar, ein entscheidendes Faktum
für die physikalische Interpretation. Deshalb wird jede numerische Methode (FEMRitzverfahren) darauf abzielen, Abschätzungen der k · k∞ für die Güte der Näherung
anzugeben. Es ist dieser Punkt, bei dem die Rolle der Hutfunktionen Beispiel 191
(S.204) zu tragen kommt.
5
siehe die Anmerkung zu Beispiel 206 (S.221).2.
6.3. Stetige lineare Operatoren
6.3.3
239
Kompakte Operatoren
Kurze Vorgeschichte: das Randwertproblem y 00 = f (x) wobei y(0) = y(1) = 0 gilt, führt
unter entsprechenden Voraussetzungen auf eine geschlossene Integralformel6 für die Lösung,
nämlich
Z
1
K(x, u)f (u) du,
y(x) =
0
wobei
x
K(x, u) =
u(x − 1) 0 ≤ x ≤ u ≤ 1 oberes Dreieck: 1
x(u − 1) 0 ≤ u ≤ x ≤ 1 unteres Dreieck: 2
1
2
u
Das K wird oft als Greenfunktion bezeichnet und der Integraloperator, der vorgegebener Inhomogeneität des Randwertproblems die offenbar eindeutige Lösung zuordnet, als Greenoperator. Auch beim Dirichlet- bzw. Neumannproblem, welches bei der Berechnung des Potentials
eines Feldes bei homogenen Randdaten und vorgegebener Ladungsdichte auftritt, ergibt sich
eine (wesentlich kompliziertere) Integraldarstellung der Lösung.
Eine Annehmlichkeit dieser Integraloperatoren ist ihre sogenannte Kompaktheit, nicht zu
verwechseln mit jener von Mengen im metrischen Raum. Als Konsequenz dieser Kompaktheit
ergibt sich die Existenz von Eigenwerten und Räumen, auf die in Unterabschnitt B.2.4
(S.329), bei der Konstruktion der Rieszabbildung für das Problem der eingespannten Saite
eingegangen werden soll. Wir wollen diese wichtigen Eigenschaften hier kurz zusammenfassen.
Definition 220 (Kompakter linearer Operator) Ein linearer Operator A : U → V ist
∞
kompakt, wenn für jede in U beschränkte Folge {un }∞
n=1 die Folge {Aun }n=1 eine in V konvergente Teilfolge besitzt.
Rt
Hier ist die Herleitung: Zunächst ergibt Integration y 0 (t) =
f (u) du + c mit noch zu
0 R
Rt
x
bestimmender Konstante c. Nochmaliges Integrieren ergibt y(x) =
dt 0 f (u) du + cx, wo0
R1 Rt
bei schon y(0)
=
0 erfüllt ist. Damit y(1)
=
0 gilt, muß c
:=
− 0 dt 0 f (u) du
gewählt werden. Die beiden iterierten Integrale können in einfache Integrale verwandelt werden.
6
t
x
u
x
R
Rx Rt
Es ist 0 dt 0 f (u) du =
f (u)d(u, t) wobei R B das in der
B
auftretende
Dreieck ist. Dann ist jedoch B f (u)d(u, t) =
RSkizze
R
R
x
x
x
du f (u) u dt = 0 (u − x)f (u) du. Beim 2.ten Integral ist x = 1
0
und die gleiche Umformung funktioniert. Danach ergibt sich die Definition von K durch Fallunterscheidungen.
240
Lineare Funktionalanalysis
Anmerkung 221 (Kompakter linearer Operator – Fakten) Wesentliche Fakten
für einen kompakten Operator K : U → V sind:
Stetigkeit: K stetig. (Nicht jeder stetige Operator ist kompakt).
Endliche Dimension von Kernen von I − σK: Der Lösungsraum von
(I − σK)u = 0
ist für beliebiges σ ∈ C endlich-dimensional.
Diese Aussage impliziert die endliche Dimension jedes Eigenraumes E(λ) = {u |
(K − λI)u = 0} für λ 6= 0.
Konvergenz: Bezüglich der Supremumsnorm bilden die kompakten Operatoren einen
abgeschlossenen Teilraum des Raumes der beschränkten Operatoren, d.h. wenn
Kn → K im Sinne von kKn − Kk → 0, so ist K kompakt, sofern es die Kn sind.
Dualer Operator K 0 , Fredholmeigenschaft von K: Der duale Operator K 0 ist
kompakt. Es ist das Bild R(I − K) gleich dem Annulator des Kerns von I − K 0 und
somit ein abgeschlossener Teilraum von V . Es gibt Teilräume M von U und N von
V , sodaß
I − K : ker(I − K) ⊕ M → R(I − K) ⊕ N,
wobei M abgeschlossen und N endlichdimensional sind und I − K eine stetige
Bijektion von M auf R(I − K) ist.
Die Nachweise finden sich in Beispiel 290 (S.304).
Beispiel 222 Paradebeispiele kompakter Operatoren sind von der Form
Z
(Ku)(x) := K(x, t)u(t) dt,
I
wobei an u, an den Integralkern K(x, t) und an den Wertebereich V geeignete Voraussetzungen
gestellt werden. Auch hier wird uns der Abschnitt über die Saite Kapitel B (S.321) die 1dimensionale Version typischer Anwendungen liefern.
Hier ist ein elementares Schulbeispiel, welche durchaus Standardüberlegungen widerspiegelt:
? Es sei U = V = C(I) mit I = [0, 1] und auf U . V die Supremumsnorm gegeben. Weiter
sei K : I × I → IR stetig. Ist der wie oben definierte Operator kompakt?
Hinweis: Zunächst zeige man dies für K(x, t) = xk f (t) und verwende danach den Satz von
Stone-Weierstraß.
R1
Antwort(findung): Es ist Ku(x) = xk 0 f (t)u(t) dt. Insbesondere liegt Ku im eindimensionalen Teilraum von C(I), der von xk erzeugt wird. Ist danach {un }∞
n=1 beschränkt, so ist die
6.4. Hilberträume
241
R1
Menge der Werte der Integrale { 0 f (t)un (t) dt | n ∈ IN } beschränkt, somit kann eine konvergente Teilfolge dieser Wertemenge gefunden werden. Somit konvergiert die entsprechende
Teilfolge der Kun gegen ein xk r mit r ∈ IR. Deshalb ist solches K kompakt.
Hieraus ergibt sich die Kompaktheit von K für jeden Kern ein Polynom in den 2 Variablen
x und t, weil ja jede Linearkombination kompakter Operatoren kompakt ist.
Schlußendlich verwendet man den Satz von Stone-Weierstraß, um zu beliebigem, stetigem
K(x, t) ein Polynom P (x, t) zu finden, welches im Sinne der Supremumsnorm hinreichend
nahe ist. Für diese Näherung P (x, t) ergibt sich die Abschätzung
R1
|Ku − P u|(x) = | 0 (K(x, t) − P (x, t))u(t) dt|
R1
≤ sup{|K(x, t) − P (x, t)| | x, t ∈ I} 0 |u|(t) dt
≤ sup{|K(x, t) − P (x, t)| | x, t ∈ I}kuk.
Deshalb kann man links zur Supremumsnorm übergehen, bekommt
kKu − P uk ≤ sup{|K(x, t) − P (x, t)| | x, t ∈ I}kuk,
sodaß wegen der Definition der Operatornorm
kK − P k ≤ sup{|K(x, t) − P (x, t)| | x, t ∈ I}
gilt. Weil hierin der Ausdruck rechts durch geeignete Wahl von P (x, t) beliebig klein gemacht
werden kann, wird K durch kompakte Operatoren der Bauart P im Sinne der Operatornorm
approximiert, ist also nach obigem selbst ein kompakter Operator.
6.4
Hilberträume
Hilberträume sind Banachräume, deren Norm durch ein inneres Produkt induziert
p wird. Im
Ip
R3 , welcher ein sehr einfaches Beispiel ist, wäre dieses “Induzieren” durch k~ak = a21 + a22 + a23 =
h~a, ~ai gegeben. Diese Form des Norminduzierens geht in jedem (Prä)hilbertraum. Das im
IR3 bestgeübte innere Produkt (Skalarprodukt) ist das einfachste Beispiel und erlaubt, geometrische Intuition auch für Hilberträume unendlicher Dimension zu entwickeln. Dies betrifft
• Winkel und Länge von Vektoren (dabei spielt die Ungleichung von Cauchy–BunyakovskiĭSchwarz die Hauptrolle).
• Orthogonalität, Orthogonalprojektion, Zerlegen eines Vektors in Orthogonalkomponenten.
• Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt.
• Minimierung positiv definiter quadratischer Funktionen. Im IRn ist jede quadratische
Funktion von der Bauart f (~x) = ~xT A~x + 2~bT ~x + c, und wenn A positiv definit ist, kann
man ein inneres Produkt (“Energieprodukt”) durch h~x, ~y iA := ~xT A~y festlegen und
quadratisches Ergänzen ergibt f (~x) = k~xk2A + f (m),
~ wobei m
~ = −A−1~b der Mittelpunkt
des Kegelschnittes mit der Gleichung f (~x) = 0 ist. Man erkennt die Minimumeigenschaft
242
Lineare Funktionalanalysis
des Mittelpunkts sofort: f nimmt an m
~ das globale Minimum an.
ist für n = 1
√ Die Idee
√
in der Skizze klar zu sehen. Es wäre hx, yia = axy und kxka = ax2 = a|x|.
y=ax^2+2bx+c
y
x
m=−b/a
Gelegentlich diagonalisiert man das Problem unter Benützung
P einer Orthonormalbasis
S = {sλ | λ Eigenwert von A} durch den Ansatz ~x =
λ xλ sλ . Es ergibt sich die
bequemere Darstellung
X
X
~bT ~sλ xλ + c,
f (~x) =
λx2λ + 2
λ
λ
~T
deren Lösung ebenfalls durch Differenzieren auf xλ = − b λ~sλ führt. Diese Methode ist
im wesentlichen die Singulärwertzerlegung (Beispiel 291 (S.307)).
Probleme dieser Art sind z.B. stabiles Gleichgewicht von belasteten Saiten, Seilen, Balken, Platten in Ruhelage, und treten in der Elektrostatik und Magnetostatik auf. FEMMethoden erweisen sich als hilfreich.
• Lösen von Anfangswertproblemen ~x˙ + A~x = ~0, ~x(0) = ~x0 mit A positiv definit. Hierbei
kann man die Matrix A mittels orthogonaler Transformation diagonalisieren, d.h. es
gibt eine ONB aus Eigenvektoren von A. Danach kann das Anfangswertproblem in der
Form
X
~x(t) =
e−λt h~x0 , ~sλ i~sλ
λ
gelöst werden. Auf diese Form von Problemen stößt man typisch bei der Wärmeleitungsgleichung (bei Diskretisieren bzw. FEM-Ansätzen).
¨ + A~x = ~0 und ~x(0) = ~x0 , ~ẋ(0) = ~y0 . Es wird gerne eine
• Lösen von AWP der Form ~x
P
Orthogonalbasis
{~
s
}
von
Eigenvektoren
von
A
verwendet.
Es
ist
dann
~
x
=
sλ
0
λ
λ ξλ ~
P
und ~y0 = λ ηλ~sλ , sodaß elementare Rechnung auf folgende Lösung führt:
X
√
√
ηλ
~x(t) =
(ξλ cos( λt) + √ sin( λt))~sλ .
λ
λ
Dies ist der Harmonische Oszillator in mehreren Freiheitsgraden, d.i., schwingende Ketten, miteinander durch Federn verbundene Kugeln, Schwingkreise ohne Dämpfung (keine Ohmschen Widerstände). Solche Probleme treten auch auf, wenn man die Wellengleichung diskretisiert, bzw. FEM-Methoden benützt.
6.4. Hilberträume
243
Aus Zeitgründen wird in Kapitel B (S.321) lediglich auf die erste Klasse von Problemen
am Beispiel der belasteten Saite eingegangen werden. Für intensives Studium, vor allem von
Problemen jenseits der eingespannten Saite, ist z.B. das Buch von J. Wloka, [35] geeignet.
6.4.1
Inneres Produkt, Prähilbertraum
Definition 223 (Inneres Produkt) Es sei K der Körper der reellen oder der komplexen
Zahlen und “¯ ” Konjugation. Weiter sei H ein K-Vektorraum. Ein inneres Produkt auf H
ist eine Funktion h·, ·i : H × H → K, die für alle u, v, w ∈ H und alle k, l ∈ K folgende
Eigenschaften hat:
Definitheit: hu, ui ≥ 0 und hu, ui = 0 genau dann, wenn u = 0 ist.
Symmetrie bis auf Konjugiertheit: hu, vi = hv, ui.
Linearität in der zweiten Variablen: hu, kv + lwi = khu, vi + lhu, wi.
Das Paar (H, h·, ·i) wird Prähilbertraum, auch euklidischer Vektorraum bzw. Raum mit innerem Produkt genannt.
Beispiel 224 Elementarstes Beispiel ist das übliche Skalarprodukt des IRn (in der Einführung
für n = 3 erwähnt). Weitere einfache Beispiele im Folgenden.
1.
? Es sei eine Funktion in 2 komplexen Variablen
ha, bi := āb
definiert. Ist (C, h·, ·i) ein Prähilbertraum?
Antwort: Ja, wir gehen die Punkte durch.
(Definitheit) Es ist ha, ai = āa = |a|2 ≥ 0, und weiter ist ha, ai sicher nur dann Null,
wenn a = 0 gilt.
(Symmetrie bis auf Konjugiertheit) Es ist
ha, bi := āb = ab̄ = b̄a = hb, ai.
(Linearität in der 2.ten Variablen)
ha, kb + lci = ā(kb + lc) = kāb + lāc = kha, bi + lha, ci.
? Wenn man a und b in der komplexen Zahlenebene deutet, wie läßt sich ha, bi geometrisch deuten?
Antwort: Stellt man a und b in der Form a = |a|eiα und b = |b|eiβ dar, so ist
ha, bi = |a||b|ei(β−α) = |a||b|(cos(β − α) + i sin(β − α)).
244
Lineare Funktionalanalysis
Haben somit a und b die Länge 1, so hat das innere Produkt als Real- bzw. Imaginärteil
Kosinus, bzw. Sinus des Winkels zwischen a und b, entgegen dem Uhrzeigersinn gemessen.
2.
? (Durch Integral gegebenes inneres Produkt) Es sei I = [0, 1] das abgeschlossene Einheitsintervall und H := C(I,
R 1 C) die Menge aller stetigen Abbildungen von I
nach C. Für f, g ∈ H sei hf, gi := 0 f¯(t)g(t) dt. Ist (H, h·, ·i) ein Prähilbertraum.
Antwort: Ja, die Punkte sollen kurz durchgegangen werden.
R1
R1
(Definitheit) Es ist hf, f i = 0 f (t)f (t) dt = 0 |f (t)|2 dt, und weil die reellwertige
Funktion t 7→ |f (t)|2 nicht negativ ist, gilt hf, f i ≥ 0. Ist hf, f i = 0, so folgt aus der
Stetigkeit von f jene der reellen Funktion t 7→ |f (t)|2 , sodaß aus dem Verschwinden des
Integrals für alle t ∈ I stets f (t) = 0 gefolgert werden kann.
(Symmetrie bis auf Konjugiertheit)
Z
hf, gi =
1
Z
1
g(t)f (t) dt = hg, f i,
f (t)g(t) dt =
0
0
wobei Rechenregeln für Integrale benützt worden sind.
(Linearität in der 2.ten Variablen) Man muß
Z
1
Z
1
f (t)(kg(t) + lh(t)) dt = k
0
Z
f (t)g(t) dt + l
0
1
f (t)h(t) dt
0
nachweisen, und das geht mittels der Regeln zur Berechnung von Integralen.
Hinweis: Seite 110 in Signale und Systeme 1.
Beispiel 225 (Zerlegung eines Vektors ~b in einen Anteil in Richtung ~a und einen
senkrecht dazu.) Es seien zwei Vektoren ~a, ~b in einem Prähilbertraum (V, h·, ·i) vorgegeben
(Skizze in V = IR2 ). Die Vektoren ~t und ~n sollen jeweils ~t = k~a (also in Richtung ~a) und ~n
soll senkrecht auf die Richtung von ~a sein.
? Man gebe einfache Formeln zur Berechnung von ~t und ~n für ~a, ~b in IR2 an.
6.4. Hilberträume
245
Antwort:
Elementargeometrisch
würde man z.B. so vorgehen: Die
Länge von ~t ist k~bk cos(α) und
jene von ~n ist k~bk sin(α). Somit
sollte ~t = k~bk cos(α) k~a1k ~a. Nun weiß
man (vergleiche Anmerkung 226
(S.245) und dort die Skizze mit dem
~
Kosinussatz) cos(α) = h~a,bi~ und
k~akkbk
somit ergibt sich nach ein wenig
h~a,~bi
Rechnung sofort ~t = k~
~a und
ak 2
h~a,~bi
danach ~n = ~b − ~t = ~b − k~
~a, genau
ak2
jene Formeln, die in der Skizze
eingetragen sind.
J
~b ~a
w;
w
ww
[7
·www; w
7
ww
7
ww
h~a,~bi
~
~
w
~n = P~a⊥ (b)7= b − k~ak2 ~a ww
7
ww
w
w
~
7
ww ~t = P~a (~b) = h~a,bi2 ~a
7
ww
k~ak
w
7
ww
7
α wwww
7 ww
7;w ww
0
? Sei jetzt (V, h·, ·i) ein beliebiger Prähilbertraum. Gegeben seien ~a und ~b, beide nicht Null.
Gesucht ist eine Zerlegung ~b = ~t + ~n in einen Anteil ~t := k~a und einen Anteil ~n mit h~t, ~ni = 0.
Antwort: Bildet man das innere Produkt mit ~a auf beiden Seiten der Gleichung ~b = ~t + ~n,
und setzt ~t = k~a ein, so erhält man
h~a, ~bi = h~a, ~ti + h~a, ~ni = kh~a, ~ai + 0 = kk~ak2 ,
also ergibt sich
k=
h~a, ~bi
k~ak2
und Einsetzen ergibt als Lösung genau die gleichen Formeln, wie jene, die in der Skizze
eingetragen sind.
Anmerkung 226 Nach den Einführungsbeispielen
eine Sammlung wichtiger Fakten zum
p
inneren Produkt, wobei kuk := hu, ui (die induzierte Norm) gesetzt wird. Zunächst die
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (und ihr Bezug zur Längen-, Winkel-, und Flächenmessung), aus der man schließen kann, daß die so definierte Funktion die Axiome einer Norm
erfüllt:
Cauchy-Bunjakowskiĭ-Schwarzsche Ungleichung: Ist (H, h·, ·i) ein Prähilbertraum und sind k, l ∈ K sowie u, v ∈ H beliebig, so gilt
|hu, vi| ≤ kukkvk
und Gleichheit genau dann, wenn u und v linear abhängig sind. Beweis in Beispiel
292 (S.310).
246
Lineare Funktionalanalysis
Ist H ein reeller Prähilbertraum, so wird die kleinere der beiden Zahlen γ, π − γ als
Winkel zwischen u und v bezeichnet, wobei
cos(γ) :=
Deutung der Ungleichung mittels
Flächeninhalt
eines
Parallelogramms. Es p
ist durchaus üblich, die
Größe A := kuk2 kvk2 − hu, vi2 als
Fläche des von den Vektoren u, v
aufgespannten
Parallelogramms
zu definieren. Dies verallgemeinert die im IR3 bekannte Formel
A = ||u × v||.
hu, vi
.
kukkvk
v lll5
lll
l
l
ll
h
lll
lll γ
u
lll
lll
l
l
ll
lll
l/ ll
h = ||v|| sin(γ), A = ||u||h = ||u||||v|| sin(γ)
0 ≤ A2 = kuk2 kvk2 (1 − cos2 (γ)) = kuk2 kvk2 − hu, vi2
Sesquilinearität: Für alle k, l ∈ K und alle u, v, w ∈ H gilt
hku + lv, wi = k̄hu, wi + ¯lhv, wi.
Orthogonalität: Die Vektoren u und v nennt man orthogonal bezüglich h·, ·i, falls
hu, vi = 0 gilt. Zwei Teilmengen A und B nennt man orthogonal (zueinander), falls
jedes a ∈ A zu jedem b ∈ B orthogonal ist. Die Menge A⊥ := {v ∈ V | (∀a ∈
A) v ⊥ a} ist ein linearer Teilraum, der Orthogonalraum zu A genannt wird.
Vom inneren Produkt induzierte Norm: Es ist (H, k · k) ein normierter KVektorraum. Die Norm k · k ist von h·, ·i auf H induziert.
Der BW findet sich in Beispiel 292 (S.310).
Polarform für reelles H: (“=Kosinussatz”, wobei γ der von u und v eingeschlossene
Winkel ist):
Für alle u, v ∈ H gilt stets
1
hu, vi = (||u + v||2 − ||u||2 − ||v||2 )
2
?4
444

4
u γ 444 v
44

d
d

dddd d
d
d

d
d
d
d
ddddd u + v
||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 − 2 cos(π − γ)||u|| · ||v||
hu, vi = ||u|| · ||v|| cos(γ)
bzw.
1
hu, vi = (||u + v||2 − ||u − v||2 ).
4
6.4. Hilberträume
247
Polarform für komplexes H: Für alle u, v ∈ H gilt stets
1
hu, vi = (||u + v||2 − ||u − v||2 + i(||u + iv||2 − ||u − iv||2 ).
4
Parallelogrammregel: Für alle u, v ∈ H gilt stets
||u + v||2 + ||u − v||2 = 2(||u||2 + ||v||2 ).
Normierter Raum ein Prähilbertraum? Ist (H, || · ||) ein normierter
Vektorraum,
p
so gibt es genau dann ein inneres Produkt h·, ·i mit kuk = hu, ui, wenn für alle
u, v ∈ H die Parallelogrammregel erfüllt ist. Ist die Parallelogrammregel erfüllt, so
kann das innere Produkt mittels der Polarform definiert werden.
Beispiel 227 Einfache Übungen hierzu.
1. Einige innere Produkte berechnen.
? Sei ~u := (−i, 1, 2i, 1)T und ~v := (3, −i, 2, 0) in C4 . Welchen Wert hat h~u, ~v i?
Antwort: i · 3 + 1 · (−i) + (−2i) · 2 + 1 · 0 = −2i.
−2t+3it und g(t) := e−t+2it . Welchen Wert hat hf, gi :=
R?∞ Es sei f (t) := e
¯
0 f (t)g(t) dt?
R∞
R∞
(−3−i)t ∞
Antwort: Es ist hf, gi = 0 e−2t−3it e−t+2it dt = 0 e−3t−it dt = e −3−i = . . . =
1
3+i
=
3−i
10 .
0
2. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung – verschiedenes “Aussehen”
R?∞ Wie lautet die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für das innere Produkt hf, gi :=
¯
0 f (t)g(t) dt explizit angeschrieben?
qR
qR
R∞
∞
∞
2 dt ·
2
Antwort: | 0 f¯(t)g(t) dt| ≤
|f
(t)|
0
0 |g(t)| dt.
R
~
~
die
Ungleichung
| B ∇f
·
∇gd(x,
y, z)|
≤
qR
~ 2
~ 2
für
hinreichend
glatte
Funktionen
B |∇f | d(x, y, z)
B |∇g| d(x, y, z)
3
f, g : IR → IR und B z.B. eine Vollkugel mit Radius 1 stimmen?
?
qR
Kann
~ (x, y, z)
Antwort: Ja. Zunächst ergibt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für ~u := ∇f
~
und ~v := ∇g(x, y, z)
q
q
2
~
~
~
~
|∇f (x, y, z) · ∇g(x, y, z)| ≤ |∇f (x, y, z)| |∇g(x,
y, z)|2
und nun darf man die Ungleichung “über B integrieren”.
248
Lineare Funktionalanalysis
? Es sei H die Menge aller auf f~ : I 3 → IR3 stetigen Vektorfelder, wobei I 3 =
R
{(x, y, z) ∈ IR3 | 0 ≤ x, y, z ≤ 1} ist (Einheitswürfel). Ist durch hf~, ~g i := I 3 f~ ·
~g d(x, y, z) ein inneres Produkt gegeben und, falls ja, wie lautet die Cauchy-Schwarzsche
Ungleichung. Wie lautet die induzierte Norm in diesem Fall?
Antwort: Es liegt ein inneres
R Produkt vor. Die Bilinearität ist leicht zu sehen. Definitheit: Man muß zeigen, daß I 3 |f~|2 d(x, y, z) = 0 das Verschwinden von f~ auf I 3 zur Folge
hat. Zunächst sind f~ und somit |f~|2 stetig. Deshalb, weil das Integral verschwindet, ist
|f~(x, y, z)|2 = 0 für alle (x, y, z) in I 3 . Demnach ist f~ = ~0 die Nullfunktion, also h, i
definit.
qR
qR
R
2
~
~
Die gefragte Ungleichung lautet | I 3 f ·~g d(x, y, z)| ≤
g |2 d(x, y, z).
I 3 |f | d(x, y, z)
I 3 |~
qR
~2
Die induzierte Norm ist kf k =
I 3 |f | d(x, y, z).
3. (Parallelogrammregel und induzierte Norm)
2
? In Beispiel
206 (S.221) 2. ist die Würfelnorm vorgestellt worden. Im IR ist sie
a
k := max{|a|, |b|} gegeben. Ist sie von einem inneren Produkt auf IR2
durch k
b
induziert?
2
Antwort: Die Antwort ist “NEIN”, wenn man ~u, ~v∈ IR
für die ||~u +
angeben
kann,
0
2
ergibt die linke
, ~v :=
~v ||2 + ||~u − ~v ||2 6= 2(||~u||2 + ||~v ||2 ). Z.B. für ~u :=
1
1
Seite den Wert 8, die rechte hingegen 10.
? Es sei I := [0, 1] das Einheitsintervall und C(I) der Raum der reellwertigen stetigen
Funktionen. Wegen Beispiel 206 (S.221) 3. ist kf k := supx∈I |f (x)| eine Norm auf C(I).
Ist sie durch ein inneres Produkt induziert?
Antwort: Man darf “NEIN” argwöhnen und zum Nachweis genügt es, zwei Funktionen
f, g ∈ C(I) mit kf + gk2 + kf − gk2 6= 2(kf k2 + kgk2 ) anzugeben. Man muß nicht lange
probieren, z.B. für f (x) := x und g(x) := 1 ergibt die linke Seite 5, die rechte hingegen
4.
6.4.2
Vollständigkeit
Anmerkung 228 (Hilbertraum) Ein in der induzierten Norm (d.h. kvk :=
vollständiger Prähilbertraum ist ein Hilbertraum.
p
hv, vi)
Beispiel 229 Einige Beispiele:
Raum der quadratisch konvergenten
l2 : Es sei l2 die Menge aller reellen (bzw.
P Folgen
∞
2
komplexen) Folgen {an }n=1 mit
n |an | konvergent. Der l2 (S) spielt die Rolle eines “Koordinatenraumes”, ähnlich wie der K n nach Wahl einer Basis in einem ndimensionalen Vektorraum.
6.4. Hilberträume
249
P
∞
∞
∞
? Es sei für 2 Folgen {an }∞
n=1 und {bn }n=1 in l2 h{an }n=1 , {bn }n=1 i durch
n ān bn
definiert. Man zeige, daß diese Reihe absolut konvergiert, und ein inneres Produkt
vorliegt.
Antwort: Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung für endliche reelle Folgen bekommt man für festes N ∈ IN
v
v
v
v
N
uN
uN
u∞
u∞
N
X
X
u
u
X
X
X
uX
u
t
t
2
2
2
t
|an |
|bn | ≤
|an | t
|bn |2 .
ān bn ≤
|ān | |bn | ≤
n=1
n=1
n=1
n=1
n=1
n=1
Nun erweist sich die rechte Seite
für die in N monotone Folge
P als Schranke
P∞auf der
∞ , sodaß das innere Produkt
linken Seite. Also konvergiert { N
ā
b
}
n=1 n n N =1
n=1 ān bn
von l2 -Folgen wohldefiniert ist. Die Symmetrie- und (Sesqui)-Linearitätseigenschaft sind
leicht erkennbar.
? Wie sieht die induzierte Norm in l2 explizit angeschrieben aus?
Antwort: Es handelt sich um
v
u∞
uX
∞
|an |2 ,
k{an }n=1 k = t
n=1
ein Ausdruck, der vorhin schon aufgetreten ist.
? Wie sieht die Cauchy-Bunjakowskiĭ-Schwarzsche Ungleichung in ausgeschriebener
Form aus?
pP∞
pP∞
P
2
2
Antwort: | ∞
n=1 ān bn | ≤
n=1 |an |
n=1 |bn | .
? Wie zeigt man die Vollständigkeit von l2 ?
Antwort: Man kann das ganz direkt machen, wir wollen jedoch einen zu Anmerkung
218 (S.237) ähnlichen Weg nehmen und die Vervollständigung der Menge aller endlichen
Folgen bezüglich der l2 -Norm im Dualraum des gleichen Raumes isometrisch einbetten.
Ist v 0 ein beliebiges stetiges lineares Funktional, so weist es jeder Folge φl , die an der
Stelle l eine 1 und sonst lauter Nullen hat, eine Zahl ξl = v 0 (φl ) zu. Wie berechnet sich
∞
die Norm von v 0 ? Dazu muß für beliebige endliche Folgen {an }∞
n=1 mit k{an }n=1 k = 1
das Supremum der Werte |v 0 ({an }∞
n=1 )| gefunden werden.
Nun sei ψl0 jenes lineare Funktional, welches jeder endlichen Folge {an }∞
n=1 den Koeffi0
zienten al als Wert zuordnet. Sichtlich ist jedes solche ψl stetig, weil
s
X
0
∞
|ψl ({an }n=1 )| = |al | ≤
|an |2 = k{an }∞
n=1 k
n
ist. Andrerseits ist {an }∞
n=1 =
P
n al φl
und somit
X
v 0 ({an }∞
ξl a l .
n=1 ) =
l
250
Lineare Funktionalanalysis
Wählt man für al := ξ¯l für l ≤ N , mit N ∈ IN beliebig, aber fest, und Null sonst, so
bekommt man zunächst
0
∞
kv 0 kk{an }∞
n=1 k ≥ |v ({an }n=1 )| =
N
X
|ξl |2 ,
l=1
und weil k{an }∞
n=1 k =
qP
N
l=1 |ξl |
2
ist, ergibt Division
v
uN
uX
0
kv k ≥ t
|ξl |2 .
l=1
Weil hierin die linke Seite kein N enthält, schließt man
kv 0 k ≥ k{ξl }∞
l=1 k,
sodaß die dem Funktional v 0 entsprechende Folge {ξl }∞
l=1 tatsächlich in l2 ist.
Um die isometrische Einbettung zu zeigen, m.a.W., daß die Norm des Funktionals gleich
der l2 -Norm der Folge {ξl }∞
l=1 ist, benötigen wir lediglich noch die Ungleichung
kv 0 k ≤ k{ξl }∞
l=1 k.
Ist {an }∞
n=1 eine beliebige endliche Folge, welche ab dem N + 1.ten Glied Null ist, so ist
|v
0
({an }∞
n=1 )|
≤
N
X
∞
|ξn an | ≤ k{ξn }∞
n=1 kk{an }n=1 k,
n=1
woraus wegen N beliebig die behauptete Ungleichung mittels der Definition der Norm
des Funktionals folgt.
Quadratisch integrierbareRFunktionen auf I = [0, 2π]: Es werde C(I, C) mit dem in2π
neren Produkt hf, gi := 0 f¯g versehen. Die Vervollständigung dieses Raumes bezüglich
der L2 -Norm
s
Z 2π
kf k =
|f (x)|2 dx
0
ist der Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen. Man spricht von Konvergenz
im quadratischen Mittel, falls kfn − f k → 0 gilt. (Es ist eine gute Übung, die Bedingung durch Integrale ausgedrückt, anzuschreiben). Das übliche Riemannintegral erweist
sich als bezüglich der L2 -Norm stetiges lineares Funktional auf C([0, 2π], C), ist somit
gleichmäßig stetig und kann deshalb wegen Anmerkung 174 (S.185) auf ganz L2 (I, C)
stetig fortgesetzt werden. Der Standardweg, die Elemente des L2 (I, C) als Funktionen
zu interpretieren ist wie folgt: Man sucht im Raum der Funktionen von [0, 2π] nach
C all jene heraus, für welche es eine L2 -Cauchyfolge stetiger Funktionen gibt, und für
welche bis auf eine Lebesguenullmenge (das ist eine Menge, die man bei vorgegebenem > 0 durch eine höchstens abzählbare Vereinigung offener Intervalle {In }∞
n=1 mit
6.4. Hilberträume
251
P∞
n=1 |In | ≤ überdecken kann) punktweise Limiten besitzt. Nun kann jeder solchen
Funktion ein Element in L2 zugeordnet werden, jedoch gehören Funktionen, die sich
nur auf einer Nullmenge unterscheiden, zum gleichen Element in L2 [0, 2π].
Raum der auf IR quadratisch integrierbaren Funktionen L2 (IR, C): Man betrachtet
zunächst die Menge aller auf IR stetigen, außerhalb eines kompakten Intervall verschwindenden Funktionen, der in der Literatur meist mit C0 (IR, C) bezeichnet wird.
Nun versieht man ihn mit dem inneren Produkt
Z ∞
hf, gi :=
f¯(x)g(x) dx
−∞
und betrachtet seine Vervollständigung. In analoger Weise wie vorhin können gewissen
Funktionen solche Elemente im L2 zugeordnet werden. Beispiele hierfür sind die Funktionen e−|a|+it für a 6= 0. Hingegen sind die Funktionen eiat bzw. cos(at) für kein reelles
a als Elemente im L2 interpretierbar, weil bekanntlich jede stetige Funktion mit absolut
konvergentem Integral im Unendlichen abklingen muß.
6.4.3
Orthonormalsysteme
Definition 230 (Orthogonal- und Orthonormalsystem) Ist S eine Teilmenge linear
unabhängiger Vektoren eines Prähilbertraumes H und hs, s0 i = 0 für alle s, s0 ∈ S mit s 6= s0 ,
so ist S ein Orthogonalsystem. Haben alle Vektoren in S Länge 1, so spricht man von einem
Orthonormalsystem (kurz ONS), bzw. Orthonormalbasis (ONB) von L(S).
Lassen Sie mich an das Gram-Schmidt Orthogonalisierungsverfahren erinnern:
Anmerkung 231 (Gram-Schmidt Orthogonalisierung)
Input: Eine Teilmenge B eines Prähilbertraumes H.
Output: Eine Orthogonalbasis U des von B aufgespannten linearen Teilraumes L(B)
von H.
Initialisierung: Setze U := ∅, weil wir noch kein Element der gesuchten Basis U haben.
Wir beachten, daß wegen Definition 186 (S.199) L(∅) = {0} ist.
Iterationsschritt: Ist B nicht leer, so wählt man b ∈ B beliebig und ersetzt B durch
B \ {b}.
Im Falle u := b − PU (~b) 6= 0 ist, ersetzt man U durch U ∪ {u}.
Anmerkung: Die Orthogonalprojektion PU (b) von b in den von U aufgespannten
linearen Teilraum von H ergibt sich, indem man für jedes u ∈ U die Orthogonalhu,bi
projektion Pu (b) := kuk
2 u berechnet und summiert
X
PU (b) :=
Pu (b).
u∈U
252
Lineare Funktionalanalysis
Abbruchbedingung: Falls B leer ist, was bei endlich-dimensionalem V nach endlich
vielen Iterationen zutrifft.
Normierung : Für alle u ∈ U bilde man
ONB von L(B).
1
kuk u.
Die so normierten Vektoren bilden eine
Beispiel 232 (Gram-Schmidtverfahren (kurz GS-Verfahren), die ersten 3 Schritte)
? Gegeben sind linear unabhängige Vektoren ~a, ~b und ~c in H. Man finde die Orthogonalprojektion PU (~b) von ~b in den von ~a aufgespannten Teilraum U := L(~a) (Formel angeben). Man
gebe explizit die Formeln für die Schritte im GS-Verfahren an. Vgl. Beispiel 225 (S.244).
Antwort:
G ~b
h~
u1 ,~bi
h~b,~ai
~
~u
P (~b) = ||~
Weil U = L(~a) ist PU (b) = k~ak2 ~a.
u1 ||2 1
? U

?
~u2 = ~b − PU (~b) _?? ~a = ~u1
??
?
Nun zum GS-Verfahren:
Schritt 1: U := ∅ und daher ~u1 := ~a − PU (~a) = ~a.
Schritt 2: U := {~u1 } und daher ~u2 := ~b − PU (~b) = ~b −
h~b,~
u1 i
~u .
k~
u1 k2 1
Schritt 3: U := {~u1 , ~u2 } und daher ~u3 := ~c − PU (~c) = ~c −
h~c,~
u1 i
~u
k~
u1 k2 1
−
h~c,~
u2 i
~u .
k~
u2 k2 2
~
? Wie lautet die Projektion PU (d)?
~ =
Antwort: PU (d)
~ u1 i
hd,~
~u
k~
u1 k2 1
+
~ u2 i
hd,~
~u
k~
u2 k2 2
+
~ u3 i
hd,~
~u .
k~
u2 k2 3
? Man möchte nun d~ hinzufügen. Wie geht man vor, um gegebenfalls ~u4 zu finden?
~ falls die rechte Seite nicht der Nullvektor ist. Andernfalls
Man bildet ~u4 = d~ − PU (d),
“stagniert” das Verfahren, d.h. es gibt eben kein ~u4 , weil d~ schon in U liegt. Man müsste
dann ein anderes d~ ∈ H \ L(U ) finden, um weitermachen zu können.
Beispiel 233 Als z.T. Wiederholung aus der M2 ET Beispiele:
6.4. Hilberträume
1.
253
? (Orthogonalpolynome auf I = [−1.1] und Rekursion.) Auf dem Intervall
I = [−1, 1] sei eine stückweise stetige Gewichtsfunktion p ≥ 0 gegeben, die auf einem
Teilintervall strikt positiv ist, und für das
Z 1
Z 1
p(x)|f (x)| dx
p(x)|f (x)|2 dx,
−1
−1
R1
beide als (uneigentliche) Riemannintegrale existieren. Durch hf, gi := −1 f (x)g(x) dx
läßt sich unter diesen “technischen Voraussetzungen” garantieren, daß ein inneres Produkt auf C(I), dem Raum der auf I stetigen, reellwertigen Funktionen, vorliegt. Zeigen
Sie, daß Gram-Schmidtorthogonalisierung, ausgehend von B := {1, x, x2 , . . .} auf eine
2-stufige Rekursion
hpn , xpn i
kpn k2
hx, 1i
pn+1 (x) = x −
p
(x)
+
pn−1 (x), p0 (x) = 1, p1 (x) = x −
n
2
2
kpn k
kpn−1 k
k1k
führt. Für p(x) = 1 bekommt man die Legendrepolynome. Man berechne p0 , p1 , p2 und
p3 .
Antwort(findung): Um zu erahnen, daß die 2-stufige Rekursion vorliegt, kann man p0 bis
p3 berechnen. Danach hat man ein wenig Gefühl, warum die Rekursion stimmen kann.
Zum Beweis verwendet man Induktion. Für n = 2 ergibt sich die Richtigkeit durch
Orthogonalisierung von B = {1, x, x2 }. Angenommen, pn = (x − an−1 )pn−1 + bn−1 pn−1
gilt für ein n ≥ 2, wobei die Koeffizienten an−1 , bn−1 wie oben durch Quotienten aus
inneren Produkten gegeben sind. Dann ist
xpn−1 = pn + an−1 pn−1 − bn−1 pn−1 ,
eine Relation, die wir gleich verwenden werden. Der mit noch Unbekannten an , bn ∈ IR
versehene unbestimmte Ansatz
pn+1 = (x − an )pn + bn pn−1
führt, die obige Relation in der zweiten Gleichung verwendend, auf die Bedingungen
0 = hpn+1 , pn i = hxpn , pn i − an kpn k2
0 = hpn+1 , pn−1 i = hxpn , pn−1 i + bn hxpn , pn−1 i
= kpn k2 + bn kpn−1 k2
aus der die gesuchten Koeffizienten sich sofort ergeben. Weiter ergibt sich sofort, daß
pn+1 im Orthogonalraum {p0 , p1 , . . . , pn }⊥ liegt.
Man findet, die Rekursion benützend und schließlich Normieren die Polynome 1, x, 21 (3x2 −
1), 21 (5x3 − 3x), . . .
Auf mögliche Deutungen der Orthogonalpolynome siehe Kapitel B (S.321) über die Saite.
254
Lineare Funktionalanalysis
Anmerkung 234 (Charakterisierungen eines vollständigen ONS bzw. ONB,
Rieszabbildung) Ist (H, h·, ·i) ein Hilbertraum, so sind folgende Bedingungen an ein
ONS S gleichwertig:
1. L(S) ist dicht in H.
2. S ⊥ = {0}.
3. S ist ein vollständiges ONS in folgendem Sinne: Für jedes h ∈ H ist für hs := hs, hi
X
h=
hs s.
s∈S
Dabei ist für höchstens eine abzählbare Teilmenge von S das hs 6= 0.
Diese Reihe heißt (verallgemeinerte) Fourierreihe und der verallgemeinerte Fourierkoeffizient hs = hs, hi ist eindeutig bestimmt.
4. Für jedes h ∈ H gilt die Parsevalsche Gleichung
X
khk2 =
|hs |2 .
s∈S
Auch hier sind höchstens abzählbar viele hs 6= 0.
Es gelten die folgenden Fakten für ein ONS S, ein Element h ∈ H und den von ihm
aufgespannten abgeschlossenen Teilraum L(S) (der definitionsgemäß aus den Grenzwerten
aller aus Gliedern in L(S) gebildeten, konvergenten Folgen besteht):
Existenz einer ONB in H: Jeder Hilbertraum besitzt eine ONB. Sie muß allerdings
nicht abzählbar sein (so hat z.B. der L2 (IR) zwar eine ONB, aber sie ist nicht
abzählbar). Hat H eine abzählbare ONB, so nennt man H separabel.
Isometrie zu l2 (S): Es sei l2 (S) der Raum aller komplexwertigen Funktionen a auf S
(als Menge aufgefaßt), für die
X
|as |2 < ∞
s∈S
ist. Es ist
ha, bi :=
X
ās bs
s∈S
wohldefiniert und l2 (S) ein Hilbertraum. Die Abbildung χ : H → l2 (S) ist eine
Isometrie. D.h.
hh, ki = ha, bi,
wobei as := hs und bs := ks die entsprechenden Fourierkoeffizienten bezüglich S
sind. Nun kann S in gewissem Sinn analog zur kanonischen Basis im K n (Koordinatenraum) angesehen werden. Allerdings müssen die Koordinatenquadratsummen
absolut konvergieren!
Falls S abzählbar ist, besteht Isometrie zu l2 .
6.4. Hilberträume
255
Satz von Riesz, Rieszabbildung R: Zu jedem stetigen linearen Funktional φ : H →
C gibt es genau ein R(φ) ∈ H mit
φ(h) = hR(φ), hi.
Es ist R(φ) =
P
s∈S
φ(s)s. Die Rieszabbildung R : H0 → H ist eine Isometrie.
Orthogonalprojektion:
PS (h) :=
X
hs, his
s∈S
ist die Orthogonalprojektion von h in L(S) und
h − PS (h) ∈ S ⊥ .
Bestapproximation: PS (h) ist die eindeutig bestimmte Lösung des Minimierungsproblems
min{kh − bk | b ∈ L(S)}.
P
Dabei hat das Minimum den Wert khk2 − kPS (h)k2 = khk2 − s∈S |hs |2 .
In Beispiel 293 (S.312) findet man Beweise, im folgenden sollen die vorgestellten Begriffe
durch eine Auswahl wesentlicher Beispiele beleuchtet werden.
Beispiel 235
1. (Klassische Fourierreihen
R 2πmit komplexen Koeffizienten – L2 ([0, 2π], C))
Bezüglich des inneren Produkts hu, vi := 0 ū(x)v(x) dx erweisen sich die Funktionen
{φn (x) := √12π einx | n ∈ ZZ} als orthonormales System. Die Orthogonalität ist leicht
einzusehen:
(
2π
Z 2π
Z 2π
1
−i(n−m) e
m 6= n
=0
−inx imx
−i(m−n)x
−i(n−m)
e
e dx =
e
dx =
0
0
0
2π
m=n
Die Vollständigkeit zu zeigen bedeutet, zu jedem f ∈ L2 ([0, 2π], C) und jedem > 0
eine Linearkombination s in S anzugeben mit
||f − s|| < .
Das wird üblicherweise mittels Dirichletkernen gezeigt. Unter Benützung des Satzes
von Stone-Weierstraß (Anmerkung 177 (S.188)) läßt sich ein sehr kurzer Nachweis wie
folgt führen: Wählt man f stetig mit f (0) = f (2π), so gibt es wegen des Satzes eine
Linearkombination s0 ∈ S, für welche die Supremumsnorm die Eigenschaft
1
||f − s0 ||∞ < √ 4 2π
256
Lineare Funktionalanalysis
erfüllt (der Vorfaktor ist “Kosmetik”). Hieraus ergibt sich für solches f und alle x ∈
[0, 2π]
1
|f (x) − s0 (x)|2 <
.
8π
Integration über das gesamte Intervall ergibt
1
||f − s0 || < .
2
P
Die Orthogonalprojektion PS (f ) = n∈ZZ cn einx erfüllt als Element des L2 die Extremumseigenschaft, sodaß
||f − PS (f )|| ≤ ||f − s0 ||
gelten muß. Insbesondere gibt es dann eine endliche Linearkombination s ∈ S welche
||f − s|| < erfüllt. Um schließlich für beliebiges f die Dichteeigenschaft zu bekommen,
vermerkt man, daß der L2 Vervollständigung des Raumes der stetigen Funktionen h
mit h(0) = h(2π) bezüglich der L2 -Norm ist, es also stets ein solches h nahe genug an
f bezüglich der L2 -Norm gibt, und somit auch ein s ∈ S.
P
Die verallgemeinerte Fourierreihe f = s∈S hs s, mit hs = hs, f i wird üblicherweise als
klassische Fourierreihe in der Form
X
f (x) ∼
cn einx
n∈Z
Z
mit cn =
√1
2π
R 2π
0
e−inx f (x) dx angeschrieben.
Bestapproximation bedeutet für jeden abgeschlossenen (z.B. endlich dimensionalen)
Teilraum mit ONB S, daß die Orthogonalprojektion von f ∈ L2
X
X 1 Z 2π
√
s̄(x)f (x) dx s
hs, f is =
2π 0
s∈S
s∈S
(mit Integralen im Sinne von Grenzwerten über f im Sinne der L2 -Norm approximierenden stetige Funktionen) jenes Element im Teilraum ist, welches den kürzesten
L2 -Abstand zu f besitzt.
Dieser L2 -Abstand drückt sich im konkreten Fall durch
Z 2π
X
X
1
2
kf −
hf, sisk =
|f (x)|2 dx −
|hf, si|2
2π
0
s
s
aus.
Die Parsevalsche Gleichung wird im klassischen Kontext (etwa für stetiges f ) zu:
Z 2π
X
1
|f (x)|2 dx =
|cn |2 .
2π 0
n
6.4. Hilberträume
257
2. (Orthogonalpolynome auf [−1, 1]) Auf I := [−1, 1] sei eine stückweise stetige Funktion p ≥ 0 gegeben und wir erlauben durchaus, daß sie unbeschränkt ist. Allerdings sei
gefordert, daß die beiden Integrale
Z 1
Z 1
p(x)|f (x)|2 dx
p(x)|f (x)| dx,
−1
−1
für jede auf I stetige Funktion als uneigentliche Integrale konvergent sind. Die Situation
ist wie in Beispiel 233 (S.252) 1. Dann ist
Z
1
hf, gi :=
p(x)f (x)g(x) dx
−1
ein inneres Produkt auf C(I, IR), dem Raum der auf I reellwertigen, stetigen Funktionen. Es sei H seine Vervollständigung. Ähnlich wie vorhin kann der Satz von StoneWeierstraß benützt werden, um von der Familie von Potenzen S0 := {xk | k ∈ IN }
ausgehend, eine vollständige ONB von H, bestehend aus Orthogonalpolynomen. zu konstruieren.
Hier ist eine Tabelle einiger recht bekannter, auf solche Art entstehender Orthogonalpolynome
p
1
(1 − x2 )−1/2
(1 − x2 )1/2
(1 − x)a (1 + x)b
Name
Legendre-Polynome
Tschebyscheff-Polynome 1.Art Tn
Tschebyscheff-Polynome 2.Art Un
Jacobi-Polynome, wobei a, b > −1
Nicht explizit listen möchte ich Orthogonalpolynome über unendlichen Intervallen, wie
etwa die Hermite- und Laguerrepolynome. Die Idee ist die Gleiche, allerdings bedarf
es vor der Anwendung des Satzes von Stone-Weierstraß noch eines Kunstgriffs (sog. 1bzw. 2-Punktkompaktifizierung), worauf hier nicht eingegangen werden soll.
Beispiel 236 (Konstruktion der Rieszabbildung im H01 (I))
? Es sei H01 (I) der Hilbertraum der stetigen Funktionen mit Randwerten Null. Man zeige,
daß R(δa ) für Testfunktionen φ von der Form
(1 − a)x
0≤x≤a
R(δa )(x) =
(1 − x)a
a≤x≤1
sind.
Antwort: Die Vorgehensweise ist wie folgt. Zunächst ist
Z 1
δa (u) = hR(δa ), ui =
R(δa )0 (x)u0 (x) dx,
0
258
Lineare Funktionalanalysis
woraus sofort die Distributionengleichung
R(δa )00 + δa = 0
folgt. Ihre Lösung durch 2-maliges Integrieren ist
R(δa ) = −(x − a)χ[a,1] + α + βx,
eine Funktion, deren Randbedingungen Null sind (wir sind in H01 (I)). Es ist α = 0 und
β = 1 − a, woraus die obige Form der Lösung resultiert. Automatisch wurde hier auch
gezeigt, daß δa ∈ H01 (I)0 liegt, d.h. stetiges lineares Funktional ist.
Es ist kein Zufall, daß genau der Kern K(a, x) herausgekommen ist, weil ja in Anmerkung
295 (S.315) die Rolle der Faltung aufgezeigt worden ist. Bis auf das Vorzeichen ist dies auch
der Kern, welcher zu Beginn des Unterabschnittes über kompakte Operatoren berechnet
worden ist Unterabschnitt 6.3.3 (S.239)
Ein weiteres Beispiel zur Konstruktion einer Rieszabbildung findet sich in Unterabschnitt
B.2.4 (S.329)
Anhang A
ANHÄNGE
A.1
Grundlagen
A.1.1
Modelltheorie
Es sei L eine gegebene prädikatenlogische Sprache1 und A eine Teilmenge von L. Es seien
weiter M eine Menge, und es mögen jedem Konstantensymbol ein Element in M , jedem nstelligen Prädikatsymbol eine n-stellige Relation auf M n , jedem n-stelligen Funktionssymbol
eine Funktion von M n nach M zugeordnet sein. Nun kann jedem Term durch Zerlegung
in seine Bestandteile (Induktion nach der Struktur) eine Interpretation zugeordnet werden,
deren Wahrheitswert in der durch M bestimmten Struktur festgestellt werden kann. Sind nun
in der Interpretation alle Elemente von A W, so nennt man die Interpretation von L auf M
ein Modell und A ein in der Sprache L formuliertes Axiomensystem. Jede Formel in L, die in
jedem Modell W ist, heißt Folgerung aus dem Axiomensystem A.
Eine mathematische Theorie besteht in der Wahl einer Sprache L, der Wahl der Axiome
A, und den Folgerungen aus den Axiomen, welche die Theorie bilden.
Der wesentliche Sinn der axiomatischen Methode besteht darin, Folgerungen unabhängig
von speziellen Modellen zu ziehen. Hierzu wird als meist verwendete Technik der mathematische Beweis benützt.
A.1.2
Formale Logik
In der Praxis der Mathematiker wird ein Beweis zu einem solchen durch “Akzeptanz”. In
der formalen Logik strengt man eine Formalisierung des Beweisbegriffs an. Dadurch erreicht
man, niemals falsche Aussagen aus wahren Aussagen zu folgern.
Definition 237 Es sei L eine Sprache und A ein Axiomensystem (also Teilmenge von A).
Man verlangt:
1
Man kann solche Sprachen im Sinne einer Chomskygrammatik Definition 252 (S.271) formal erklären, das
soll hier nicht geschehen.
259
260
ANHÄNGE
Aussagenlogische Tautologien: Für Formeln F, G, H der Sprache L sind die Formeln
F ⇒ (G ⇒ F )
(F ⇒ (G ⇒ H)) ⇒ ((F ⇒ G) ⇒ (F ⇒ H))
F ⇒ (¬F ⇒ G)
(F ⇒ G) ⇒ ((¬F ⇒ G) ⇒ G)
Tautologien, d.h. für jede Wahl der Wahrheitswerte von F , G, H stets W.
Quantorenlogische Axiome: Falls x im Term t nicht vorkommt, gilt (∀x)F (x) ⇒ F (t),
und falls x in F nicht vorkommt, hat man (∀x)(F ⇒ G) ⇒ (F ⇒ (∀x)G).
Gleichheitsaxiome: Es ist stets (x = x). Weiters gilt
(x = y) ⇒ ((x = z) ⇒ (y = z)).
Für ein n-stelliges Prädikat R, bzw. Funktion f hat man
(x1 = y1 ) ∧ · · · ∧ (xn = yn ) ⇒ (R(x1 , . . . , xn ) ⇒ R(y1 , . . . , yn ))
und
(x1 = y1 ) ∧ · · · (xn = yn ) ⇒ (f (x1 , . . . , xn ) = f (y1 , . . . , yn )).
Ableitungsregeln: Sind F und G Formeln, so kann man aus F und F ⇒ G auch die
Formel G ableiten (Modus Ponens).
Ist F eine Formel, und x eine Variable, die bezüglich F nicht gebunden ist, so kann
man aus F die Formel (∀x)F herleiten (Modus universalis).
Ableitbare Formeln: Man sagt, eine Formel F in L ist aus dem Axiomensystem A (formal) ableitbar, falls F ∈ A, F ein logisches Axiom, bzw. falls es aus A herleitbare
Formeln F1 , . . . , Fn gibt, und F aus den Fi mittels Ableitungsregeln entstanden ist.
Die wohl bekannteste Grenze wird der formalen Logik durch die Unvollständigkeitssätze
von K.Gödel gesetzt:
1. Unvollständigkeitssatz: Ist A ein rekursiv angebbares Axiomensystem, welches die
Arithmetik der natürlichen Zahlen enthält, so gibt es in der gewählten Sprache eine
Aussage A, für die weder A noch ¬A formal ableitbar ist.
2. Unvollständigkeitssatz: Ist A ein rekursiv angebbares Axiomensystem, welches die
Arithmetik der natürlichen Zahlen enthält, so kann im Rahmen der aus A herleitbaren
Theorie ihre Widerspruchsfreiheit nicht gezeigt werden, (d.h. man kann nicht zeigen,
ob mit einer Aussage A nicht auch ¬A ableitbar ist).
Eine anderes Problem beschreibt der Satz von Löwenheim-Skolem, demzufolge jede mathematische Theorie mit einem unendlichen Modell stets Modelle verschiedener Mächtigkeit besitzt,
A.1. Grundlagen
261
so z.B. auch das Axiomensystem der Arithmetik.
A.1.3
Axiomatische Mengentheorie
Die Idee der Menge als “Zusammenfassung wohl unterschiedener Objekte” (Georg Cantor ca.
1870) ist vermutlich recht alt, sie kommt in der Formulierung der euklidischen Axiome vor,
bei der die Ebene aus den “unteilbaren Atomen im Sinne Demokrits”, den Punkten besteht.
Es wurde Ende des 19. Jahrhundert erkannt, daß man nicht jede Zusammenfassung wohl
unterschiedener Objekte als Menge bezeichnen sollte. Etwa 1901 hat nämlich B.Russel die
folgende Antinomie formuliert:
Anmerkung 238 (Russel’sche Antinomie) Es sei X die Menge aller jener Mengen,
die sich selbst nicht enthalten, also X = {x | x 6∈ x}. Ist dann X ∈ X, so folgt X 6∈ X,
weil ja X gerade durch diese Eigenschaft definiert ist. Wenn aber X 6∈ X, so gehört X
zu X, weil ja X gerade alle solchen Mengen enthält2 .
Somit beschreibt X = {x | x 6∈ x} eine “Menge” mit nicht wohl unterschiedenen Elementen. Um diese Problematik zu umgehen, stützt man sich auf das Zermelo Fraenkelsche
Axiomensystem, kurz ZF,
Definition 239 (Zermelo-Fraenkel Axiome (ZF))
Extensionalität: Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.
D.h. für 2 beliebige Mengen M und N gilt:
(∀x)
((x ∈ M ⇔ x ∈ N ) ⇒ M = N ))
Teilmengenaxiom: Ist A(x) eine Formel mit ungebundener Variabler x, so existiert zu
jeder beliebigen Menge M eine Teilmenge N von M , deren Elemente x durch die Eigenschaft
(∀x) ((x ∈ N ) ⇔ ((x ∈ M ) ∧ A(x))
bestimmt sind. Üblicherweise schreibt man N = {x ∈ M | A(x)}.
Vereinigung: Enthält eine Menge M selbst Mengen, so bilden alle Elemente dieser Mengen
zusammen selbst eine Menge, die Vereinigungsmenge dieser Mengen:
(∃V )(∀x) ((x ∈ V ) ⇔ (∃C)(x ∈ C ∧ C ∈ M )
Als gängige Notation findet man
[
C = {x | (∃C ∈ M ) ∧ (x ∈ C)}
V =
C∈M
2
Die folgende humorvolle Einkleidung des Sachverhalts ist bekannt: Ein Kompaniekommandant gibt dem
Barbier den Auftrag, alle jene zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren. Demensprechend macht der Barbier
eine Liste der Selbstrasierer, um den Arbeitsaufwand zu schätzen. Dabei ist es für ihn nicht klar, ob er sich
auf die Liste schreibt oder nicht.
262
ANHÄNGE
Potenzmenge: Alle Teilmengen T einer Menge M bilden eine Menge, die Potenzmenge:
(∃P )(∀T ) ((T ∈ P ) ⇔ (∀C)(C ∈ T ⇒ C ∈ M )
Es ist üblich, diese Menge mit P(M ) := {T | T ⊆ M } zu bezeichnen.
Ersetzungsaxiom: Es sei A(x, y) eine funktionale Aussenformel, d.h.
(∀x)(∀y)(∀y 0 ) (A(x, y) ∧ A(x, y 0 ) ⇒ y = y 0 ),
dann bilden für jede Menge M die y, die für ein x ∈ M die Aussage A(x, y) erfüllen, eine
Menge, d.h.
(∃N )(∀y) ((y ∈ N ) ⇔ ((∃x)(x ∈ M ) ∧ A(x, y)))
Es ist üblich, dafür
N := {y | (∃x ∈ X)A(x, y)}
zu schreiben, und sie als Bildmenge bezüglich der funktionalen Aussagenformel zu bezeichnen.
Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge, welche die leere Menge enthält, und mit jedem
Element x auch das Element x ∪ {x}.
(∃M ) ((∃y ∈ x)(∀z) (z 6= y) ∧ (∀y ∈ x)(∀w)(w ∈ z) ⇔ (w ∈ y) ∨ (w = y))
Dies berechtigt zur rekursive Definition der natürlichen Zahlen IN , nämlich durch
0 := ∅, 1 := {∅}, 2 := {∅, {∅}}, etc.
allgemeiner nachfolger(n) := n ∪ {n}.
Auswahlaxiom: Zu jeder Menge M von disjunkten Mengen gibt es eine Menge, die jedes
Element von M in genau einem Element schneidet:
(
(∀S)((S ∈ M) ⇒ (∃s ∈ S))
)
∧
(
(∀S)(∀S 0 )
(
(S ∈ M) ∧ (S 0 ∈ M)
∧
( (∃s) (s ∈ S) ∧ (s ∈ S 0 ) )
=⇒ (S = S 0 )
)
)
Beispiel 240 Es soll an Beispielen gezeigt werden, wie diese Axiome verwendet werden, um
A.1. Grundlagen
263
Mengenkonstruktionen zu rechtfertigen.
1.
? Warum ist der Durchschnitt von zwei Mengen M und N eine Menge?
Antwort: Es sei A(x) der durch (x ∈ M ) ∧ (x ∈ N ) definierte aussagenlogische Term.
Er enthält die ungebundene Variable x, sodaß wegen des Teilmengenaxioms alle x mit
x ∈ M und A(x) eine Menge, eben den Durchschnitt M ∩ N , bilden.
? Es seien M und N Mengen. Warum ist {M, N } eine Menge?
2.
Antwort: Man braucht das Ersetzungsaxiom. Demnach betrachten wir die Formel A(x, y)
gegeben durch
((x = ∅) ∧ (y = M )) ∨ ((x = {∅}) ∧ (y = N )).
Wir zeigen, daß A(x, y) funktional ist: Angenommen fü alle x gelte A(x, y) ∧ A(x, y 0 ).
Dann heißt das, daß sowohl ((x = ∅) ∧ (y = M )) ∨ ((x = {∅}) ∧ (y = N )), wie auch
((x = ∅) ∧ (y 0 = M )) ∨ ((x = {∅}) ∧ (y 0 = N )) gelten. Ist dann x = ∅, so ist y = M = y 0 ,
und ähnlich schließt man für x = {∅} auf y = y 0 .
Nun betrachten wir alle Elemente y, die (∃x)A(x, y) erfüllen, also
(∃x)((x = ∅) ∧ (y = M )) ∨ ((x = {∅}) ∧ (y = N ))
erfüllen, als solche y kommen aber geradewegs nur M und N in Frage, also bilden sie
eine Menge – in üblicher Notation – {M, N }.
A.1.4
Kardinalität und unendliche Mengen
Das folgende Beispiel stammt von Bolzano, auch wenn es unter dem Namen “Hilberts Hotel”
bekannt ist:
Beispiel 241 (Hilberts Hotel) Ein Hotel mit den Zimmernummern 1, 2, . . . ist völlig ausgebucht. Nun kommt eine unendliche Folge {Gi }∞
i=1 von Gästen am Abend an.
Unterbringung? Die Bewohner der Zimmer multiplizieren ihre Zimmernummer mit 2 und
übersiedeln. Nun ist Platz.
Definition 242 (unendlich, abzählbar, und abzählbar unendlich) Eine Menge X
heißt unendlich, falls es eine injektive Abbildung von IN nach X gibt. Sie heißt abzählbar,
falls es eine Surjektion von IN nach X gibt. Ist sie unendlich und abzählbar, so nennt man
sie abzählbar unendlich. Ist sie abzählbar und nicht unendlich, so heißt sie endlich.
Satz 243 Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar. Ist die Teilmenge außerdem
unendlich, so gibt es eine Bijektion auf die natürlichen Zahlen. Jede unendliche Menge besitzt
eine unendliche Teilmenge mit unendlichem Komplement.
264
ANHÄNGE
BW: Zunächst zeigen wir, daß jede Teilmenge A von IN abzählbar ist. Es muß die Existenz
einer Surjektion f : IN → A nachgewiesen werden. Hierzu benützen wir, daß jede nicht
leere Menge natürlicher Zahlen ein Minimum besitzt und drücken dies durch “aus P5”3 . Ist
A = ∅, so ist A abzählbar und es ist nichts zu zeigen. Ansonst definieren wir mittels P5
f (1) := min A und setzen A1 ; = A \ {f (1)}. Angenommen, Werte f (1), . . . , f (n) sind definiert
und An = A \ {f (1), . . . , f (n)}. Ist An = ∅, so definieren wir f (k) := f (1) für alle k > n und
sind fertig. Ist hingegen An 6= ∅, so setzt man f (n + 1) := min An . Wir vermerken, daß aus
a ∈ f (IN ), a0 ∈ A und a0 < a stets a0 ∈ f (IN ) folgt. Ist A endlich, so bricht der Algorithmus
ab, und f ist surjektiv. Ist A unendlich, und wäre f nicht surjektiv, so sei b := min(A\f (IN )).
Laut Konstruktion ist f (b) ≥ b und da jedes a ∈ A mit a < f (b) konstruktionsgemäß zu f (IN )
gehört, hätte man b ∈ f (IN ), ein Widerspruch. Laut Konstruktion ist f bijektiv, im Falle daß
A unendlich ist.
Ist A Teilmenge einer beliebigen abzählbaren Menge M , so gibt es eine Surjektion f : IN →
M . Dann ist f −1 (A) eine Teilmenge von IN , also abzählbar. Somit gibt es eine Surjektion
g : IN → f −1 (A). Schließlich ist f g : IN → A surjektiv, also A abzählbar. Ist A unendlich,
so auch f −1 (A). Nun sei xa := min f −1 (a) und B := {xa | a ∈ A}. Offenkundig ist die
Einschränkung von f auf B eine Bijektion von B nach A. Nun nimmt man als g : IN → B
die Bijektion wie im Falle, wo A ⊆ IN war. Danach erweist sich f g als bijektiv.
Die letzte Behauptung des Satzes sieht man für IN ein, man nehme z.B. die geraden Zahlen
G, dann bleiben die unendlich vielen ungeraden Zahlen U = IN \ G “übrig”. Es sei A eine
beliebige unendliche Menge. Dann gibt es eine Injektion f : IN → A. Nun sei IN = G ∪ U
die Zerlegung von IN in zwei disjunkte unendliche Teilmengen. Dann ist f (G) ∪ (A \ f (G))
Zerlegung von A in disjunkte unendliche Teilmengen.
···
1>
2 TTTTT 3
4
5
6
Die Schritte n = 1 und n = 2
>>
TTTT
TTTT
>>
in der induktiven KonstruktiTTTT
>>
TTTT
on, wobei A = {2, 5, . . .} ist.
)
···
1
2
3
4
5
6
Beispiel 244
1. ZZ ist abzählbar unendlich. Unendlich, weil f : IN → ZZ, definiert durch
f (n) := n injektiv ist, und abzählbar, weil
n
: n ≡ 0 (mod 2)
2
f (n) :=
n+1
: n ≡ 1 (mod 2)
− 2
ein Beispiel für eine Surjektion von IN auf ZZ ist.
2. Ist M eine abzählbare Menge abzählbarer Mengen, so ist
S
M ∈M M
abzählbar.
BW: Ist M leer, so ist die Vereinigung leer, und es ist nichts zu zeigen. Weiter darf
angenommen werden, daß kein M leer ist (kein Beitrag!).
Da M abzählbar ist, gibt es wegen Satz 243 (S.263) eine Surjektion f : IN → M.
Induktiv definieren wir Teilmengen An , Bn von IN mit An ∩ Bn = ∅, sowie An , Bn
beide unendlich, sowie eine Bijektion fn : An → f (n) wie folgt. Für n := 0 wählen
wir gemäß Satz 243 (S.263) eine Zerlegung z.B. A0 := G, B0 := U . Nun gibt es eine
3
P wie Peanoaxiom 5
A.1. Grundlagen
265
Bijektion h0 : A0 → IN und da f (0) abzählbar ist, gibt es eine Surjektion k0 : IN → f (0),
sodaß f0 := k0 h0 : A0 → f (0) eine Surjektion ist.
Nun kommt die Induktionsannahme: Es sei eine Surjektion fn : An → f (n) bereits konstruiert und An+1 ⊆ Bn . Ist g({0, . . . , n}) =
SM, so hat man alle Mengen ausgeschöpft.
Man definiert eine Abbildung h : IN → M ∈M M , indem man für ein k ∈ Al mit
l ≤ n den Wert mit h(k) := fl (k) setzt. Alle anderen natürlichen Zahlen
S werden auf
ein beliebiges Element in z.B. f (1) abgebildet. Danach ist h : IN → M ∈M M eine
Surjektion.
Andernfalls ist M noch nicht ausgeschöpft. Dann zerlegt man Bn := An+1 ∪ Bn+1
in disjunkte Teilmengen unter Rekurs auf Satz 243 (S.263). Danach konstruiert man
fn+1 : An+1 → f (n + 1) analog, wie man es für f0 getan hat. NunSbricht das Verfahren
zwar nicht ab, ergibt jedoch insgesamt eine Surjektion h : IN → M ∈M M .
Zur Definition der Kardinalität unendlicher Mengen benützt man einen Satz von Schröder
und Bernstein, der besagt, daß für 2 Mengen A und B die Existenz von Injektionen von
f : A → B und g : B → A die Existenz einer Bijektion h : A → B nach sich zieht. Danach
haben 2 Mengen gleiche Kardinalität, falls es eine Bijektion gibt.
A.1.5
Relationsschemata
Im Zusammenhang mit dem kartesischen Produkt (Definition 32 (S.41)) steht der Begriff
des Relationsschemas, wie er als Datenbankkonzept gebräuchlich ist. Hier soll er lediglich als
Beispiel dienen. R benützt Relationenschemata, um Tabellen zu verarbeiten.
Beispiel 245 Ein Relationsschema besteht aus
1. Einer Menge A, genannt (Menge der) Attributbezeichnungen.
2. Einer Menge von Mengen D, genannt Datentypen oder Wertebereiche.
3. Einer Funktion S : A → D, die jedem Datentyp D ∈ D Attribute zukommen läßt (jene
in S −1 (D)). Sie wird meist Schema genannt.
4. Eine Menge T von Funktionen t, die jedem a ∈ A ein Element t(a) ∈ S(a) zuordnet.
Sie heißt Tupel.
Als Beispiel dafür, wie konkret diese hoch wissenschaftliche Vorstellung gesehen werden kann,
betrachten wir als Beispiel ein (rudimentäres) Addressverzeichnis:
Nachname
Rot
Blau
Grün
Vorname
Anton
Emma
Hans
Tel.Nr
123456
654321
123654
PLZ
1100
4200
1001
Ort
Wien
Linz
Wien
1. Die Menge der Attributbezeichnungen besteht aus der Kopfzeile: A = {Nachname,
Vorname, Tel.Nr., PZL, Ort}.
266
ANHÄNGE
2. Als D eignet sich z.B.
D={
Strings d Länge ≤ 30 in ASCII,
Strings d Länge ≤ 15 in ASCII,
Zahlen < 107 ,
Zahlen der Länge 4,
Strings d Länge ≤ 50},
wobei jede dieser 5 Zeichenketten zugleich auch Mengen sind (deren beschreibende
Eigenschaft an der jeweiligen Zeichenkette abgelesen werden kann).
3. S ordnet der Reihe nach den Elementen der Kopfzeile die (in unserem Fall) schon
in geordneter Reihenfolge angeschriebenen Datentypen zu, die zugleich auch Teilmengen von entweder {A-Z, a-z}∗ , oder von {0, . . . , 9}∗ sind. Es ist z.B. S(PLZ) = Zahlen der Länge 4 = {0000, 0001, 0002, . . . , 9999}.
4. Schließlich hat T drei Tupel, welche die drei “Datensätze” beschreiben, und das sind
die drei Nichtkopfzeilen der Tabelle.
A.2
A.2.1
Algebra
Freie Monoide und Termersetzung
Zunächst will man formulieren, was überhaupt Terme sind, um z.B. (ab)c + 1 zu formulieren. Dazu benützt man ein “Alphabet”, im Beispiel A = {‘(’, ‘)’, ‘+’, ‘1’, ‘a’, ‘b’, ‘c’}, aus dem
“Zeichenketten” (auch “Wörter” oder, wie oben, “Terme” genannt, mit Buchstaben aus einem Alphabet, dessen Elemente selbst Wörter etwa einer Computersprache, der ‘tokens’ sein
können) gebildet werden. Nun kann ‘(ab)c + 1’ als Wort in den Buchstaben von A interpretiert werden. Jedes solche Wort ist eine endliche (Ab)folge von Buchstaben, also eine Funktion
f , die festlegt, welcher der 1.te, 2.te, etc Buchstabe des Wortes ist:
n 1 2 3 4 5 6 7
f (n) ( a b ) c + 1
Da nicht jedes solche Wort “sinnvoll” ist (z.B. ist ‘++’ kein Rechenausdruck), bedarf es
Regeln, welche die zulässigen Wörter, die dann eine Sprache bilden, aussondert. Die regulären
Sprachen sind die einfachsten ihrer Bauart, sie liegen der Backus-Naurform zugrunde, und
finden sich bei Texteditoren (“regular Expressions”). Dabei hat man im Alphabet syntaktische
Variable (z.B. etwa ‘X’ und ‘Y ’ und ein “Startsymbol” ‘S’), sowie terminale Variable (etwa
{a, b, c}) und Regeln, die (als Beispiel) Ersetzungen der Form
S → X, X → aY, Y → c
zulassen. Es wird ein Startsymbol gewählt, etwa S und danach darf man von diesem Symbol
ausgehend, nach Belieben ein in einem Wort vorkommendes X bzw. Y jeweils aY bzw. c
ersetzen, solange, bis keine syntaktischen Variablen mehr vorkommen. Jedes so gewonnene
Wort gehört dann zur durch die Regeln festgelegten reguläre Sprache. Im Beispiel finden wir
S → X → aY → ac
A.2. Algebra
267
also als einzig zustandekommend ac, somit als durch die Regeln bestimmte Sprache {ac}.
? Welche Sprache entsteht, wenn man S → Y statt S → X als 1.te Regel festlegt?
Antwort: Die Sprache besteht aus allen Ausdrücken aaaa . . . ac, wobei a beliebig oft, jedoch
mindestens einmal vorkommt. Als regulärer Ausdruck wird die Sprache als ‘a+ c’ angeschrieben.
Man darf sich somit vorstellen, daß “korrekt gebildete Rechenausdrücke” durch gewisse (etwas allgemeinere) Regeln festgelegt werden können, wobei die nun zu definierenden
Termersetzungssysteme hilfreich sind. Sprachtheoretische Präzisierungen und Anwendungen
(Chomskysprachen) können im Anhang in Unterabschnitt A.2.2 (S.271) gefunden werden.
Definition 246 (freies Monoid) Es sei A eine Menge und es bezeichne n̄ := {1, . . . , n}.
Jede Funktion f : n̄ → X heißt Wort, gebildet aus Buchstaben des Alphabets A. Es werde in
der Form f (1)f (2) · · · f (n) geschrieben, und n heißt Länge von f . Wenn f und g Wörter mit
den Längen m und n sind, so soll die Zusammensetzung4 f g das Wort mit f g(i) = f (i) für i ≤
m und f g(i) := g(i−m) falls i > m ist. Man schreibt f (1) . . . f (m)g(1) . . . g(n) (Juxtaposition
bzw. engl. concatenation). Schließlich soll es das leere Wort mit der Bezeichnung geben,
(etwa die Funktion f : ∅ → A), welche f (1) . . . f (n) = f (1) . . . f (n) = f (1) . . . f (n) genügen
soll. Die entstandene Struktur bezeichnet man mit A∗ und nennt sie freies Monoid über dem
Alphabet A.
Es bezeichnet A+ := A∗ \ {}, d.i. die Menge aller nicht trivialen Wörter. Jede Teilmenge
von A∗ heißt (abstrakte) Sprache.
Für Teilmengen X, Y ⊆ A∗ sei XY := {xy | x ∈ X, y ∈ Y }.
Beispiel 247 Es ist (ab)c + 1 ∈ {a, b, c, (, ), +, 1}∗ .
Einprägsam ist die Beschreibung des freien Monoids durch einen Graphen5 , dessen Knoten
aus den Wörtern in A∗ und Kanten jeweils vom Knoten w zum Knoten wa für a ∈ A führen:
Für A = {a, b, c} ergibt sich bis zur Tiefe 2 ( steht vereinbarungsgemäß in Tiefe 0) der
Graph:
U
iiii UUUU
i
UUUU
iiii
UUUcU
iiii
UUUU
i
b
i
i
a
i
UUUU
i
i
UU*
iiii
t
i
aA
cA
b
@
}} @@@ c
}} AAA c
|| AAA c
}
}
|
@@
}
AA
}
|
AA
b
b
b
@@
}}a
AA
}} a
|| a
AA
}
}
|
}
~
~|
~}
aa
ac
ca
cc
ab
ba
bb
bc
cb
Das Formulieren von Regeln geschieht üblicherweise in Form eines Termersetzungssystems
(TES):
4
5
Dies ist nicht das Zusammensetzen von Funktionen im Sinne von Anmerkung 33 (S.42)
Definition 23 (S.33)
268
ANHÄNGE
Definition 248 (TES=Termersetzungssystem) Ein Termersetzungssystem (TES) mit
Alphabet A oder Semi-Thuesystem ist eine Relation (Definition 19 (S.31) und Definition 23
(S.33)) R auf A∗ . Üblicherweise schreibt man u → u0 statt uRu0 . Sind v, n ∈ A∗ , so sagt man
w0 := vu0 n ist vermittels der Regel u → u0 aus w := vun herleitbar. Gibt es ein k > 0 und
Regeln in R sodaß w → w1 , etc., wk−1 → wk =: w0 , so schreibt man w →∗R w0 , bzw. w →∗ wk
und sagt, w0 ist vermittels des TES R aus w herleitbar6 . Stellt man die Relation im Sinne
von Definition 23 (S.33) als Graphen dar, dessen Knoten die Elemente in A∗ sind, und wo
eine Kante von u nach u0 führt, falls u → u0 , so bekommt man den Ableitungsgraphen. Er ist
ein Hassediagramm im Sinne von Beispiel 28 (S.38) 2.,3.
Wir vereinbaren noch, statt u → v1 , u → v2 , . . . , u → vk in kürzerer Form u → v1 |v2 | . . . |vk
zu schreiben und analog u1 → v, u2 → v, . . . , uk → v durch u1 |u2 | · · · |uk → v abzukürzen.
Das TES heißt konfluent, falls es zu
allen u, v, w ∈ A∗ mit w →∗ u und
w →∗ v ein z ∈ A∗ mit u →∗ z und
v →∗ z gibt.
}}
}}
}
}
~}}
uA
AA
AA∗
AA
A
∗
wA
AA
AA∗
AA
}}
}}
}
}~ }
v
∗
z
Es darf angemerkt werden, daß für eine Ordnungsrelation diese Eigenschaft auch als “nach
unten gerichtet” bezeichnet wird.
Beispiel 249 Wenn A = {a, b, c, S, X, Y } und R = {S → Y, X → aY, Y → c} ist, so darf
aXbY → aaY bc → aacbc getätigt werden, also hat man aXbY →∗ aacbc.
Kopfnuss für Tüftler: warum ist das angegebene System konfluent?
Anmerkung 250 (TES, Konfluenz, noethersch und Normalform) Es habe ein
TES auf A∗ die folgenden Eigenschaften:
• Das TES ist konfluent.
• Die Relation ‘→∗ ’ ist antisymmetrisch.
• Die Relation, definiert als x ≤ y, genau dann, wenn entweder x = y oder y →∗ x,
ist noethersch7 Es sei S jene Relation auf A∗ , die durch
xSy ⇔ (x = y) ∨ (x →∗ y) ∨ (y →∗ x)
definiert ist.
Dann ist S eine Äquivalenzrelation (Definition 26 (S.35)) und die minimalen Elemente der
Ordnung sind Repräsentanten von S. Es ist üblich, diese Repräsentanten als Normalform
zu bezeichnen.
6
→∗ wird auch transitive Hülle von → genannt.
A.2. Algebra
269
Nutzen: Wenn sich eine gegebene Relation S als durch ein TES mit den genannten Eigenschaften erklärbar erweist, hat man ein algorithmisches Hilfsmittel, Äquivalenzklassen
durch Elemente in A∗ eindeutig zu identifizieren und weiters, zu jedem Element in A∗
seinen eindeutigen Repräsentanten in A∗ zu ermitteln.
Kurz zum Beweis: Reflexivität und
Symmetrie von S sind einsichtig.
Die Transitivität läßt sich aus dem
rechts abgebildeten Diagramm und
Anwenden der Definitionen erkennen:
x?
??
~
??∗
∗ ~~~
??
~
~
? ~~~
uA
AA
AA∗
AA
A
y@
@
@@ ∗
@@
@@
}
}}
}
}
}~ }

z
∗
v
∗
w
Als Liste von Anwendungen eines solchen TES innerhalb dieses Skriptums mögen die Beschreibung von Symmetriegruppen in Unterabschnitt 4.1.2 (S.140), von Monoidhomomorphismen (freies kommutatives Monoid) in Beispiel 126 (S.142), dem üblichen “Kongruenzenrechnen” oder auch “modulo einer Zahl m Rechnen” in ZZ m , bzw. im Polynomring “modulo
einem Polynom f Rechnen” in Beispiel 151 (S.159), Beschreiben von algebraischen Erweiterungen eines Körpers (Anmerkung 154 (S.160)), insbesondere das Rechnen in endlichen
Körpern (Beispiel 157 (S.164), wo IF8 der Körper mit 8 Elementen behandelt wird), genannt.
Beispiel 251 Beispiele zu TES:
1.
? Es sei A := {t, a, b, c, d, . . . , x, y, z} ∪ {ä,ö,ü,&auml;,&ouml;, &uuml;}. Nun sei
R := {ä → &auml;, ö → &ouml;, ü → &uuml;}.
Welche Wörter sind aus “hören und erklären” vermittels R herleitbar?
Antwort: Es sind dies die Wörter “hören und erkl&auml;ren”, “h&ouml;ren und erklären” und schließlich “h&ouml;ren und erkl&auml;ren”.
Angemerkt sei, daß “hören und erkl&auml;ren” ein Wort in A∗ ist. Das TES erfüllt
die in der Anmerkung gemachten Voraussetzungen. Die Relation R besteht darin, daß
die Wörter zwar unterschiedlich geschrieben (einmal wie üblich, einmal HTML-mäßig),
jedoch “die selben Wörter sind”. Das TES ermittelt einen Repräsentanten in HTMLForm.
2.
? Es sei A := {S, 0, 1, +, T, Z, } und es sei R durch
S → T |Z, T → Z|T + T, Z → 0|1|0Z|1Z
festgelegt. Welche Wörter der Länge 3 in den Symbolen ‘0’, ‘1’ und ‘+’ sind aus S
herleitbar?
7
Definition 26 (S.35)
270
ANHÄNGE
Antwort: Teilgraphen des Ableitungsgraphen können hilfreich sein, wir zeichnen zunächst
einen Teil, der bei Z, und einen, der bei T “beginnt”:
0
oo Z CCC
oo~o~~~
CC
o
o
o ~~
CC
o
o
C!
o
~~~
o
w oo
1
0Z
1Z
Z

T FF
FF
FF
FF
F#
T +T
Nun erkennt man: wo immer Z oder T im rechten Baum steht, kann der linke bzw.
rechte Graph an entsprechender Stelle einfügt werden. Man bekommt auf diese oder
unmittelbare Weise:
{000, 001, 011, 100, 101, 111, 010, 110, 0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1}. Dieses TES erfüllt die
Voraussetzungen der Anmerkung nicht. Seine Daseinsberechtigung wird in Beispiel
253 (S.271) 2. besprochen werden.
3.
? (Ein TES checkt Assoziativität) Es sei A := {T, x, y, (, ), ∗}, und R bestehe aus
den Regeln: x|y → T, (T ∗ T ) → T . Läßt sich aus dem Wort ((x ∗ y) ∗ ((x ∗ x) ∗ ((x ∗ y) ∗
(y ∗ x)))) bzw. (x ∗ x ∗ y) das Wort T herleiten?
Antwort: Zunächst findet man eine Kette ((x ∗ y) ∗ ((x ∗ x) ∗ ((x ∗ y) ∗ (y ∗ x)))) →
((T ∗ T ) ∗ ((T ∗ T ) ∗ ((T ∗ T ) ∗ (T ∗ T )))) → (T ∗ (T ∗ (T ∗ T ))) → (T ∗ (T ∗ T )) → (T ∗ T ) →
T . Beim zweiten Wort kann man lediglich x → T und y → T anwenden und erhält
T ∗ T ∗ T , und da gibt es keine Regel, die greift. Deutung: Wenn die “Multiplikation”
’∗’ nicht assoziativ ist (z.B. beim Vektorprodukt), ist das Setzen von Klammern von
Bedeutung. Die vorgelegten Regeln helfen, einen vorgelegten Ausdruck dahingehend
zu checken (“Parsing”). Dieses TES erfüllt die Voraussetzungen der Anmerkung. Das
Formulieren von uRv im Sinne der Anmerkung darf als Kopfnuss überlassen werden,
spielt im weiteren jedoch keine Rolle.
4.
? (Rechnen modulo 7) Es sei A := ZZ ∪ {+, T } und für alle i ∈ ZZ die (unendlich
vielen) Regeln i → i (mod 7), i + j → “Wert von i + j”. Was ergibt Anwendung der
Regeln auf 29 + 37 + 41? Welche Deutung hat man?
Antwort: 29+37+41 → 1+2+6 → 3+6 → 9 → 2. Das TES erfüllt die Bedingungen der
Anmerkung. Es ist xRy genau dann, wenn x−y durch 7 teilbar ist. Das TES produziert
zu jeder Zahl z ∈ ZZ den kleinsten nichtnegativen Rest mod 7 als Repräsentanten von
z. In Beispiel 151 (S.159) 1. wird R als Kongruenzrelation besprochen werden.
5.
? Es sei A := {hSatzi,hArtikeli, hSubjekti,hPrädikati, hAdjektivi, t, ist, war, rot, grün,
blau, gelb, der, die, das, Kugel, Ball, Ziegel} und Regeln
hSatzi
→ hArtikeli t hSubjekti t hPrädikati t hAdjektivi,
hArtikeli
→ der|die|das,
hSubjekti → Kugel|Ball|Ziegel,
hPrädikati → ist|war,
hAdjektivi → rot|grün|blau|gelb,
Ist “der Kugel ist gelb” aus hSatzi herleitbar?
A.2. Algebra
271
Antwort: Sichtlich. Obwohl es im Sinne der deutschen Grammatik falsch ist. Zur Bedeutung von “Prädikat” siehe auch die Fußnote zu Beginn des Abschnittes 1.1.2.
Im Anhang werden in Definition 252 (S.271) Chomskygrammatiken unter Benützung spezieller TES erklärt. Die Sprache der formalen Logik, jene von Programmspezifikationen (BackusNaur Form) u.v.m. kann damit beschrieben werden.
A.2.2
Chomsky Grammatik
Definition 252 Eine (Chomsky-)Grammatik ist ein TES (Definition 248 (S.268)), bei dem
das Alphabet A eine disjunkte Vereinigung A = N ∪T ∪{S} ist. Dabei sind N ∪{S} die nichtterminalen oder (syntaktischen) Variablen, T die Terminalzeichen und S das Startsymbol.
Ein Wort, gebildet aus Terminalzeichen ist ein Satz oder Terminalwort. Ein Wort, welches
auch syntaktische Variable enthält, heißt echte Satzform.
Die Regeln des TES werden mit P bezeichnet, heißen Produktionen und ihre linken Seiten
dürfen keine Terminalzeichen enthalten. Die Bestandteile der Grammatik werden durch ein
Quadrupel G := (N, T, P, S) notiert. Die Teilmenge L(G) ⊆ T ∗ der aus S vermittels der
Regeln P ableitbaren Wörter ist die Sprache mit Grammatik G.
Die Grammatik heißt kontextfrei, falls die linken Seiten der Regeln aus einer einzelnen
syntaktischen Variablen bestehen und regulär oder rechtslinear, wenn jede Produktion die
Form S → X oder X → |a|aZ mit a ∈ T und X, Z ∈ N hat.
Beispiel 253 In Beispiel 251 (S.269) kommen vor allem 2. und 5. als Grammatiken in Frage:
1.
? Kann man 5. in geeigneter Weise zu einer Grammatik machen, sodaß der abgeleitete
Satz in deren Sprache liegt? Ist diese Grammatik regulär?
Antwort: Man wählt S :=<Satz>, T:={ist, grün, gelb, blau, rot, der, die, das, Kugel,
Ball, Ziegel, t} und die restlichen Symbole, jene in spitzen Klammern, sind syntaktische
Variable, bilden also N . Die Grammatik ist kontextfrei, aber nicht regulär.
2.
? (Additionskolonnen von Binärzahlen) In 2. wähle man als Terminalzeichen
T := {0, 1, +, } und N := {Z, T } als Variable. Welche Sprachen kann man formulieren,
wenn S → Z, bzw. welche, wenn S → T als “Startregel” herangezogen wird? Inwieweit
entstehen kontextfreie, bzw. reguläre Grammatiken?
Antwort: Für S → Z ergibt sich {0, 1}∗ , also alle endlichen 01-Folgen. Ist S → T
hinzugefügt worden, so erhält man alle möglichen Ausdrücke
a1 + a2 + . . . + an
wobei jedes ai eine 01-Folge ist. Die Grammatik, bei der S → Z als Start gewählt wird,
und lediglich die Regel Z → 0|1|0Z|1Z zuläßt, ist regulär, die andere kontextfrei, aber
nicht regulär.
272
ANHÄNGE
3.
? (Additionskolonnen binärer Zahlen als reguläre Sprache) Es seien N :=
{Z, U, S}, S sei das Startsymbol, T := {0, 1, , ; } und S → Z, Z → 0U |1U, U →
|0U |1U | + Z|; ω Regeln. Wie kann man L beschreiben? Ist die Grammatik regulär?
Antwort. Es sind alle Ausdrücke der Form “a1 + a2 +
· · · + an ;” mit ai 01-Folgen. Der Graph, dessen Knoten
S, Z und U sind, und für den jede Regel X → aY
eine mit a beschriftete Kante von X nach Y führt,
veranschaulicht die Situation:
S
/Zi
0|1
+
)
UX
;
/ω
0|1
Man erkennt, daß jedes Wort der Sprache so entsteht, daß man von S ausgeht, den
Kanten “nachfährt”, sich der Reihe nach die an den Kanten stehenden Zeichen notiert,
und schließlich zu ω pilgert. Die Grammatik ist regulär. Der Automat ist ein Akzeptor.
Lediglich korrekte Ausdrücke der oben angedeuteten Form bringen den Automaten vom
Start S zum Endzustand ω.
4.
? Gibt es eine reguläre Grammatik, welche alle Wörter des freien Monoids {a, b, c}
(siehe Beispiel 247 (S.267)) erzeugt?
Antwort: Es sei N := {X}, T := {a, b, c}, S ein Startsymbol, und R := {S → X, X →
aX|bX|cX|ω}, dann werden alle Wörter des freien Monoids erzeugt. Die Grammatik
ist regulär, weil alle Regeln die in Definition 252 (S.271) geforderte Form haben. Auch
hier kann man einen Akzeptor angeben: S / X / ω
X
a|b|c
5. Umgekehrte Polnische Notation oder auch POSTFIX-Notation: soll hier kurz
an einem Beispiel erläutert und in das Thema “TES” eingeordnet werden. Unter POSTSCRIPT findet man z.B. Funktionssymbole cos, add und mul und kann mit ihrer Hilfe
(2xy + 6 cos(3z)) als Befehlszeile eingeben. Dabei wird UPN verwendet: Zunächst die
Argumente, danach, was man damit tut, nach dem Motto
“Nescafe Frappé:=Nescafe Zucker Wasser wenig nehmen in ein Glas geben Quirlen
Wasser Eiswürfel zugeben Milch bei Bedarf zugeben ”.
Geprüft wird, ob Datentypen passen, bzw. Stelligkeiten der Funktionen stimmen. Es
ist üblich, den komplizierten Ausdruck mit einem Ableitungsbaum zu analysieren, um
ihn danach in UPN umzuschreiben:
A.2. Algebra
273
+
·

y
·>
>>
>>
>>
>
2
~~
~~
~
~
~~~
2 x·y·6 3 z·cos · + alias
2xy + 6 cos(3z)
· CC
CC
CC
CC
C!
cos
6
|·
x
3
||
||
|
|
|} |
z
Nun umfährt man den Baum von der Wurzel ’+’ ausgehend, notiert für jeden (Teil)baum
die Blätter, danach die jeweilige Wurzel, bis man alles umrundet hat und ’+’ vorfindet,
das man ebenfalls anschreibt. Man findet den Ausdruck (in UPN) rechts neben der
Skizze des Ableitungsbaumes, der nach Transkription in die angegebene Notation für
Addition, Multiplikation und Winkelfunktion die UPN der Funktion ergibt.
? Kann man eine Grammatik formulieren, welche die UPN erzeugt?
Antwort: Man nehme etwa N := {X, Y, Z}, T := {2, 3, 6, x, y, z, cos, +, ·}, ein Startsymbol S und Regeln8 R := {S → X, X → X|Y |Z|XY + |XY · |X cos, Y |Z → X, X|Y |Z →
2|3|6|x|y|z}, so hat man, zeilenweise gelesen:
S→
→
→
→
→
→
X
XY · Z+
2Y · y · Z+
2x · y · XY · +
2x · y · 6X cos ·+
2x · y · 63z · cos ·+
→
→
→
→
→
XY +
Xy · Z+
2x · y · Z+
2x · y · 6Y · +
2x · y · 6XY · cos ·+
→
→
→
→
→
XZ+
XY · y · Z+
2x · y · X+
2x · y · 6X · +
2x · y · 63Y · cos ·+
Die Regeln beschreiben eine Grammatik in kontextfreier Weise.
Anmerkung 254 (reguläre Sprache und Mealyautomat als Akzeptor)
Reguläre Sprache → Automat: Die Knoten des den Automaten beschreibenden
Graphen sind die Variablen und für jede Regel X → aY wird eine Kante von
X nach Y eingefügt. Die Wörter der Sprache sind dann durch die von S ausgehenden Pfade “kodiert”.
Automat → reguläre Sprache: Die Knoten des Graphen werden als syntaktische Vaa /
riable und die gerichteten Kanten X
Y als Regel X → aY interpretiert.
Weiter muß ein Knoten als Startknoten S beschriftet sein.
8
Die Unterstreichungen sollen lediglich der besseren Lesbarkeit dienen.
274
ANHÄNGE
Die Rolle des Automaten ist es, ein Akzeptor zu sein, d.h. man gibt ein Wort vor, und
arbeitet von links her kommend den Automaten ab. Wenn der Automat erst zum halten
kommt, sobald das gesamte Wort abgearbeitet ist, gehört es zur durch den Automaten
bestimmten regulären Sprache. Beispiel 253 (S.271) 3. und 4. sind einfache Beispiele.
Sehr oft, wie in diesen Beispielen, wird zusätzlich gefordert, daß der Automat zum Endzustand ω geführt werden muß können, i.A, jedoch genügt es, als Sprache jene Ausdrücke
anzuerkennen, welche keine syntaktischen Variablen mehr enthalten.
Es lassen sich reguläre Sprachen wie eben beschrieben stets mittels (Mealy)automat, kontextfreie mittels Kellerautomat, und Chomskysprachen mittels Turingmaschine “erkennen”:
es läßt sich zu jeder solchen Sprache eine entsprechende Maschine bauen, die nur Wörter
dieser entsprechenden Sprache “akzeptiert”, also schrittweise zum Ende vorrückt, wenn der
eingegebene Satz (das Programm), der Sprache angehört, m.a.W., syntaktisch korrekt ist. Ein
wenig hierzu findet sich in Unterabschnitt A.2.4 (S.276).
A.2.3
Reguläre Grammatik und Automat
Soll hier nur anhand von Beispielen vorgeführt werden.
Beispiel 255
1. Reguläre Ausdrücke: Ist A∗ das freie Monoid9 über dem Alphabet
A, so werden für Teilmengen U, V von A∗ die Operationen U ∪ V (geschrieben als U |V ),
U V := {uv | u ∈ U ∧ v ∈ V } und U ∗ , das von den Wörtern in U erzeugte Monoid (d.i.
beliebige Wiederholung und Aneinanderreihung von Wörtern in U einschließlich ).
Nun wird rekursiv festgelegt, wie man eine Menge regulärer Teilmengen herstellt. Dazu
geht man zunächst von den einelementigen Mengen {a} mit a ∈ A, sowie {} und der
leeren Menge ∅ aus. Danach, wenn U und V reguläre Mengen sind, sollen auch U ∪ V ,
U ∗ und U V reguläre Mengen sein. Es erweist sich jede Sprache L, die sich als reguläre
Menge beschreiben läßt, als regulär im Sinn von Definition 252 (S.271).
Reguläre Sprachen können mittels Automat, kontextfreie mittels Kellerautomat und Chomskysprachen mittels Turingmaschine beschrieben werden. Ein wenig darüber findet sich im
Anhang A.2.4.
Anmerkung 256 (Reguläre Sprache und Automat) Ist G = (N, T, P, S) eine reguläre Sprache, so konstruiert man einen Graphen, dessen Knoten die syntaktischen Variablen einschließlich S und sind und zieht eine Kante von X ∈ N nach Y ∈ N genau
dann, wenn X → aY eine Produktion ist. Der so entstandene Graph heißt Automat,
seine Knoten Zustände, die partielle Funktion (siehe Definition 29 (S.39)) (X, a) 7→ Y
Überführungsfunktion10
9
Definition 246 (S.267)
A.2. Algebra
275
Umgekehrt erlaubt jeder zusammenhängende Graph mit beschrifteten Kanten die Definition einer regulären Grammatik, indem die Knoten als N, die Beschriftungen der Kanten als T und schließlich ein Knoten als Start S gewählt wird. Jedes Wort der durch den
Automaten definierten Sprache entsteht, indem man einen endlichen bei S beginnenden
Pfad betrachtet und die dabei entstehende Folge an Beschriftungen notiert. Der Automat
wird gerne auch als Akzeptor oder Parser bezeichnet, weil er nur durch “Buchstabe für
Buchstabe Abarbeiten” eines Wortes der regulären Sprache zum Endzustand kommt.
ONML
HIJK
X
a
HIJK
/ ONML
Y
X → aY
Beispiel 257 Beispiele zu Automaten:
1.
? Man überzeuge sich, daß in Beispiel 253 (S.271) 3. ein Automat definiert wird. Wie
lautet seine Überführungsfunktion?
Antwort: Es ist üblich, diese Funktion für endliche Automaten in Form
einer Tabelle anzugeben:
2.
0
1
+
S
Z
Z
U
U
U
Z
Z
V
V
ende
Z
? Ein Parkautomat, in den man nur 50c und 1 Euro Münzen einwerfen kann, stellt
für 1 Euro ein Parkticket aus. Bei 1 Euro Einwurf (bzw. 2× 50c) kommt das Ticket
(T) und der Vorgang ist abgeschlossen. Wirft man 50c ein, fragt er nach mehr (M),
und wenn dann nochmals 1 Euro eingeworfen wird, gibt er die 1 Euro Münze zurück
(R). Um 8 Uhr geht der Automat in Betrieb, intern werden die Vorgänge in Form von
Folgen der Art RM M RRRT M M aufgezeichnet, und um 18 Uhr schaltet der Automat
ab. Welche Sprache definiert der Automat? Welche Buchstabenfolgen sind möglich?
Antwort: Man wählt als N:={S, Bereit , Warten , ende }. Nun braucht man ein Eingabealphabet I := {c, E, }, wobei c für Cent- und E für Euromünze steht, und ein
Ausgabealphabet O := {T, M, R}. Die Produktionen sind S → Bereit , Bereit →
M
T
T
R
c Warten |E Bereit , Warten → c Bereit |E Warten . Je nachdem, in welchem
Zustand abgeschaltet wird, ergibt sich entweder Bereit → ende oder Warten →
ende als weitere Regel.
Die Produktionen ergeben genau solche Wörter, in denen T beliebig oft, und Teilwörter
der Form MR· · ·RM beliebig oft vorkommen, falls im Zustand Bereit abgeschaltet
wird. Andernfalls gibt es eine ungerade Anzahl Ms, wobei am Ende eventuell noch
einige Rs und dann zwischen dem letzten M und diesem R kein T vorkommt.
10
In der Literatur meist δ
276
ANHÄNGE
50c — M
1 Euro — R
1 Euro — T
#
Warten
Bereit
c
50c — T
A.2.4
Kellerautomat und Turingmaschine
Anmerkung 258 (Kellerautomat und kontextfreie Sprache) Ist G = (N, T, P, S)
eine kontextfreie Sprache, so läßt sich ein Graph, genannt Kellerautomat, induktiv wie
folgt konstruieren:
1. Man markiert einen Knoten, der durch das Paar (S, ) beschriftet ist.
2. Ist nun (X, Aw) bereits ein Knoten, wird ein Knoten (X, w) hinzugefügt, und eine
mit A beschriftete Kante.
Gibt es außerdem eine Regel A → au, so definiert (X, wu) einen weiteren Knoten,
der mit beschriftet wird.
Für jedes A wird ein Knoten (X, w) hinzugefügt, und eine mit A beschriftete Kante.
z0
S
/
z0
Xw
X
/
z0
uw
X→u
Umgekehrt, sei ein Alphabet A gegeben, eine Menge Q und ein beschrifteter Graph mit
den folgenden Eigenschaften:
1. Die Knoten sind mit Paaren (q, w) mit q ∈ Q und w ∈ A∗ beschriftet. Sie heißen
Konfigurationen.
2. Es gibt einen Startknoten (q, S) mit S ∈ A.
3. Es gibt mit Elementen aus (N ∪ T )+ beschriftete Kanten von der Form (q, aw) →X
(q 0 , uw)
Dann kann durch a → u für alle a ∈ N eine Produktion definiert werden, alle solchen a
werden zu syntaktischen Variablen erklärt und der Rest zu Terminalzeichen.
Anmerkung 259 (Turingmaschine und Chomskysprache) Es liege ein Alphabet
A, sowie Mengen K und {l, r, s} und ein beschrifteter Graph der folgenden Art vor.
1. Die Elemente in K sind von der Form u a v mit u, v ∈ A∗ und a ∈ A. Jedes
A.2. Algebra
277
k ∈ K heißt Konfiguration. (Man interpretiert uav als auf ein Band geschriebene
Zeichenkette und a als Position des Cursors).
2. Es gibt eine Startposition t w.
3. Jede Kante ist von der Form u a cv →l uab c v, u a cv →r u a bcv oder u a cv →s
ua b cv, wobei a, b, c ∈ A sind. (Man interpretiert l,r,s als “nach links”, “nach
rechts” bzw. “Verbleiben” des Cursors. Entsprechend bedeutet etwa die erste Kantenform “zwischen ’a’ und ’v’ das Element ’b’∈ A einzufügen, und den Kursor rechts
vom Eingefügten zu positionieren”.)
Jedem Pfad von einem Zustand zu einem anderen entspricht ein Wort, welches durch
sukzessive Operationen (Einfügen, Cursorbewegung) entstanden ist. Wird ein Endzustand festgelegt, so wird die Menge der Wörter, die durch einen Pfad vom Anfang zum
Endzustand entstehen, als von der Maschine akzeptierte Sprache bezeichnet.
Ist umgekehrt G := (N, T, P, S) eine Chomsky-Grammatik, so läßt sich eine Turingmaschine wie folgt konstruieren.
1. Ein Knoten t wird definiert.
2. Ist XW → xw eine Produktion (man beachte W ∈ N + und w ∈ (N ∪ T )∗ ), so wird,
falls u X W v bereits ein markierter Knoten ist, ein weiterer Knoten u x W v und
Kante →x,r angefügt. Ist die linke Seite länger als die rechte, so geht man vor, als
man von u X Y W vor sich hätte und XW → t eine Produktion wäre: Ein Zustand
u Y W wird geschaffen und eine Kante u X Y W →t u Y W . Ist schließlich die
rechte Seite der Regel länger als die linke, hat man eine Situation der Form u t v
und man geht im weiteren vor, als ob x → xyw eine Produktion wäre: Man fügt
einen Knoten ux y v und eine Kante ux t v →x,n an.
Man kann zeigen, daß die Sprache dieses Automaten mit L(G) übereinstimmt.
A.2.5
Halbgruppenwirkungen
Definition 260 ((Halb)gruppen- und Monoidwirkung) Man sagt, das Paar (G, M ) ist
eine Halbgruppenwirkung, bzw. G operiert auf M , falls G eine Halbgruppe, M eine Menge und
w : G×M → M eine Funktion ist, derart daß w(gh, m) = w(g, w(h, m)) für alle g, h ∈ G, und
alle m ∈ M gilt. Es ist üblich, statt w(g, m) einfach gm zu schreiben, sodaß sich das Gesetz
wie ein Assoziativgesetz (gh)m = g(hm) liest. Ist G ein Monoid, so spricht man von einer
Monoidwirkung, wenn zusätzlich w(1, m) = m für alle m ∈ M gilt, also, in Kurznotation,
1.m = m gilt. Ist (G, M ) eine Monoidwirkung und G eine Gruppe, so nennt man (G, M ) eine
Gruppenwirkung.
Beispiel 261 Wie unterschiedlich (Halb)gruppenwirkungen aussehen können, mögen die folgenden Beispiele belegen:
278
ANHÄNGE
1. Wie oben angedeutet, ist für G := M M das Paar (G, M ) eine Monoidwirkung auf M .
Es ist w(f, m) = f (m).
2.
? Es sei M := [−1, 1] × [−1, 1] ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 und Mittelpunkt
(0, 0). Eine Ähnlichkeitsabbildung ist eine Funktion f : M → M , welche von der Form
a b
x
p
f (x, y) = λ
+
c d
y
q
a b
mit Determinante 1 und λ ∈ (0, 1) ist.
c d
Bilden diese Abbildungen bezüglich Hintereinanderausführung ein Monoid, bzw. eine
Gruppe?
für eine orthogonale 2 mal 2 Matrix
Antwort: Wäre M = IR2 , so käme man auf eine Gruppe. Es gelten jedoch die Zusatzbedingung −1 ≤ ax + by + p ≤ 1 und −1 ≤ cx + dy + q ≤ 1 für alle x, y mit |x| ≤ 1
und |y| ≤ 1. Die Anschauung läßt vermuten, daß es sich um ein Monoid handelt. Der
Nachweis möge als Übung für Interessierte verbleiben.
3. Es ist [0, ∞) ein Monoid, wenn man als Operation die Addition zuläßt.
Weiter sei M = [−1, 1] × [−1, 1] wie vorhin und F : [0, ∞) × M → M durch F (t, x, y) :=
(e−t x, e−2t y) gegeben. Wegen der Exponentialfunktion gilt mit dieser Bezeichnung:
F (t + t0 , (x, y)) =
=
=
=
0
0
(e−t−t x, e−2t−2t y)
0
0
(e−t e−t x, e−2t e−2t y)
0
0
F (t, (e−t x, e−2t y))
F (t, F (t0 , (x, y))).
Weiter ist F (0, (x, y)) = (x, y). Deshalb ist für G := [0, ∞) das Paar (G, M ) eine
Monoidwirkung11 .
4.
? Ist die Menge IN ein zyklisches Monoid bezüglich der Addition?
Antwort: Ja. In Definition 118 (S.137) spielt 1 die Rolle von x. Nun muß man noch auf
die additive Schreibweise (Definition 116 (S.136)) achten.
————
Nun sei f (x) := x2 − 1. Ein Newtonschritt besteht darin, einer Zahl x0 ∈ IR den Wert
x20 −1
zuzuordnen. Es zeigt sich, daß hierdurch eine Funktion F : IR+ → IR+ definiert
x0 − 2x
0
2
1
wird, nämlich F (x) := x − x 2x−1 = x2 + 2x
. Es sei M := [1, ∞). Wir definieren jetzt f :
IN × M → M wie folgt: f (0, x) := x und wenn f (n, x) definiert ist, so soll f (n + 1, x) :=
F (f (n, x)) sein.
? Läßt sich hierdurch eine Halbgruppenwirkung auf M definieren?
Antwort: Für x ≥ 1 sieht man F (x) ≥ 1 ein, weil
F (x) =
11
Ein Beispiel eines dynamischen Systems, siehe 5.
x
1
+
≥1
2 2x
A.2. Algebra
279
für alle x ≥ 1 ist. Hieraus folgt durch Induktion nach n, daß aus f (n, x) ∈ M auch
f (n + 1, x) = F (f (n, x)) ∈ M folgt. Der formale Beweis für f (k + l, x) = f (k, f (l, x))
stützt sich auf Induktion nach k: Ist k = 0, so ist f (l, x) = f (0, f (l, x)) = f (l, x), ist o.k..
Wenn nun f (k+l, x) = f (k, f (l, x)) als richtig angenommen wird, so ist f ((k+1)+l, x) =
F (f (k + l, x)) = F (f (k, f (l, x))) = f (k + 1, f (l, x)).
5. (Dynamisches System) Jede Halbgruppenwirkung (IR+ , M ), bzw. (IR, M ) heißt
kontinuierliches dynamisches System auf M . Jede Halbgruppenwirkung (IN, M )
bzw. (ZZ, M ) heißt diskretes dynamisches System auf M .
2 einfache Beispiele:
(a) Gelegentlich wird die zeitliche Veränderung einer zu t0 := 0 vorgegebenen Temperaturverteilung auf einem (ab)strahlenden Körper K durch ein exponentielles
Abkühlungsgesetz beschrieben: Ist z.B. K das Intervall 0 ≤ x ≤ 1, so wäre das
eine Formel der Bauart T (t, x) := e−ct φ(x) die Temperatur, die am Punkt x zur
Zeit t herrscht, wenn zur Zeit t = 0 dort die Temperatur T (0, x) = φ(x) geherrscht
hat (Lösungen der Wärmeleitungsgleichung). Die als positiv gedachte (Material)konstante c entspricht einem Temperaturleitkoeffizienten. Es sei (der Einfachheit halber) φ(x) stetig differenzierbar und positiv für alle x ∈ K. Dann soll M
die Fläche sein, welche von der Abszisse, dem Funktionsgraphen und den in den
Endpunkten von K errichteten Ordinaten begrenzt wird. Ist nun (x, y) ∈ M ,
so offenbar auch (x, e−ct y), sodaß w(t, (x, y)) := (x, e−ct y) eine Monoidwirkung
([0, ∞), M ) festlegt.
(b) Verzinsung geschieht üblicherweise nach der KiP-Regel, d.h., läßt man das Kapital
K bei einer Verzinsung eine Zeiteinheit bei p% liegen, ergibt sich danach K 0 =
p
K(1 + 100
) als verzinstes Kapital. Liegt das Kapital zu gleichen Bedingungen i
p i
Zeitabschnitte, so ergibt sich naturgemäß Ki = K(1 + 100
) als verzinstes Kapital.
Dies gibt Anlaß, das folgende diskrete dynamische System zu formulieren: G :=
IN mit der Addition (ein Monoid mit Null als Einselement), M := [0, ∞) und
p i
w(i, K) := K(1 + 100
).
6. (Universelle Eigenschaft des freien Monoids) Das freie Monoid über einem Alphabet aus Definition 246 (S.267) ist ein Monoid. Ist G = (N, T, R, S) eine reguläre
Grammatik (siehe Definition 252 (S.271)) und, als Sonderfall, zu jedem X ∈ N und
jedem t ∈ T eine Regel der Form X → tY vorhanden, dann ist (T ∗ , N ) eine Monoidwirkung. Geometrisch bedeutet es für den Automaten (Anmerkung 256 (S.274)), daß für
jedes Terminalsymbol festgelegt sein muß, in welchen Zustand der Automat übergeht.
7. Das freie Monoid A∗ erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Ist f : A → G eine beliebige Funktion mit Werten in einem Monoid G, so gibt es eine eindeutige Fortsetzung
von f zu einem Monoidhomomorphismus von A∗ → G. (Analog, wie man eine lineare
Abbildung von einer Basis eines Vektorraums in einen Vektorraum stets eindeutig zu einer linearen Abbildung fortsetzen kann), nämlich f (a1 a2 . . . ak ) := f (a1 )f (a2 ) . . . f (ak ).
280
ANHÄNGE
Von der gleichen Art ist die universelle Eigenschaft von Polynomringen, siehe Anmerkung 146 (S.156).
Beispiel 262 Es sei (G, M ) eine Gruppenwirkung (Definition 260 (S.277)) und m0 ∈ M .
Die Menge der g ∈ G mit gm0 = m0 bilden eine Untergruppe12 , sie heiße H (ist nämlich
gm0 = m0 und hm0 = m0 , so ist (gh)m0 = g(hm0 ) = gm0 = m0 und es ist g −1 m0 =
g −1 (gm0 ) = (gg −1 )m0 = m0 ). Nun fragen wir, wann zwei Elemente x, y ∈ G unser m0 “an die
gleiche Stelle befördern”, also wann xm0 = ym0 gilt. Das ist sichtlich eine Äquivalenzrelation
R und kann auch so ausgedrückt werden:
xRy ⇔ y −1 x ∈ H.
? Wie kann die Äquivalenzklasse von x ∈ G mittels H beschrieben werden?
Es ist xRy gleichbedeutend zur Existenz von h ∈ H mit x = yh, also zu x ∈ yH, wobei
yH := {yh | h ∈ H} bedeuten soll. Somit ist die Äquivalenzklasse von x die Menge xH. Man
sieht ein, daß
xRy ⇔ xH = yH
gilt.
Ist H nun irgendeine Untergruppe von G, so ist {xH | x ∈ G} eine Partition13 von G:
Zunächst ist jedes Element g ∈ G z.B. in gH. Weiter, wenn xH ∩ yH 6= ∅, dann gibt es
h, h0 ∈ H mit yh = xh0 , also y −1 x = hh0 −1 ∈ H, daher ist yH = xH.
Es soll mit einem Beispiel begonnen werden, bei dem eine Gruppe als Beschreibung für
Symmetrien benützt wird. Es sei ein Quadrat (links)
•
•

•
•
I¯
D̄
K̄
L̄
I¯
I¯
D̄
K̄
L̄
D̄
D̄
I¯
L̄
K̄
K̄
K̄
L̄
I¯
D̄
L̄
L̄
K̄
D̄
I¯
mit eingezeichneter Diagonale gegeben. Durch Hinsehen erkennt man folgende Symmetrien:
Wirkung
Drehung um 180o
Kippen um die eingezeichnete Diagonale
Kippen um die nicht eingezeichnete Diagonale
Nichtstun
Bezeichnung
D
K
L
I
Jede Buchstabenfolge im freien Monoid {I, D, K, L}∗ beschreibt eine Abfolge von Transformationen des Quadrats, allerdings ist z.B. die Wirkung von I, DD, DDDD jeweils die
gleiche.
12
13
Häufig als Standgruppe oder Stabilisator bezeichnet
Definition 12 (S.28)
A.2. Algebra
281
Es verhilft zur Übersicht, welche Elemente in {I, D, K, L}∗ gleich wirken, wenn
man {I, D, K, L} als Eingabealphabet eines Automaten (wie in Beispiel 253
(S.271), Genaueres siehe Unterabschnitt
A.2.4 (S.276)) ansieht. dessen Zustände
die 4 Positionierungen des Quadrats sind.
Jede Positionierung des Quadrats werde in
der Form b2 als Zustand “kodiert” und
b2
1a .
b1
2a
..
D ..
..
.. K
a1
L 2b = ..
== ..
== .
== ..
K
L
=
D
a2
1b
1a
die Überführungen sollen durch einfache
Linien angedeutet werden, weil jede Symmetrie 2 mal angewendet, die Identität ist.
Zwei Wörter w, w0 im freien Monoid {I, D, K, L}∗ sollen kongruent genannt werden, wenn sie
beide das Gleiche mit dem Quadrat tun und das soll mit w ≡ w0 ausgedrückt werden. Man
bemerkt, daß ≡ eine Äquivalenzrelation14 ist. Es leuchtet auch ein, daß die Kongruenzeigenschaft gilt:
u ≡ u0 ∧ v ≡ v 0 ⇒ uv ≡ u0 v 0 .
Die Äquivalenzklassen dieser Relation sollten als Symbole zur Beschreibung aller Symmetrien
ausreichen, weil ja das Monoid vieldeutige Bezeichnungen zuläßt, jedoch inkongruente Wörter
offenbar auch verschiedentlich wirken! Es soll jetzt für jedes Wort w mit w̄ die Äquivalenzklasse von w bezeichnet werden. Die obige Kongruenzeigenschaft erlaubt es, eine Multiplikation
für die Äquivalenzklassen durch
ūv̄ := uv
festzulegen. Das geht, weil u0 ≡ u und v 0 ≡ v geradewegs u0 v 0 ≡ uv, also u0 v 0 ∈ uv nach sich
zieht, und somit die Wohlbestimmtheit dieses Ausdrucks. Zu den Annehmlichkeiten zählt
auch, daß {I, D, K, L}∗ / ≡ mit der Multiplikation von Klassen automatisch assoziativ wird,
und ein 1-Element besitzt, also ein Monoid ist.
¯ D̄, K̄, L̄} die Äquivalenzklassen der Ausgangssymmetrien sein. Jetzt beEs sollen jetzt {I,
sinnt man sich auf das obige Diagramm des Automaten und liest sehr schnell u.a. folgende
Kongruenzen ab:
I ≡ DD ≡ KK ≡ LL, L ≡ KD ≡ DK.
Für die Äquivalenzklassen heißt das
I¯ = D̄D̄ = K̄ K̄ = L̄L̄, L̄ = K̄ D̄ = D̄K̄.
Dies führt zur Multiplikationstabelle neben der Skizze des Quadrats. Man erkennt daraus,
daß jedes Element ein inverses (sich selbst) besitzt, also eine Gruppe vorliegt. Somit kodiert
¯ D̄, K̄, L̄} mit obiger Multiplikationstafel die Symmetrien des Quadrats in
die Gruppe {I,
eindeutiger Weise.
14
Definition 26 (S.35)
282
ANHÄNGE
Jetzt ist man allerdings noch immer nicht zufrieden, wegen der vielen Querstricherln. “Weglassen” ist eine Möglichkeit, eine “algebraisch kompetentere” ist es, nachzusehen, ob die Kongruenzrelation aus einem konfluenten, antisymmetrischen und noetherschen TES15 herleitbar
ist und es bietet sich
DD|KK|LL|II → I, DK → L, KD → DK, ID|DI → D, IL|LI → L, IK|KI → K, DL → K
an. Tatsächlich wird jedes Wort in {I, K, D, L}∗ zu genau einem Buchstaben in {I, K, D, L}
in endlich vielen Schritten “reduziert”.
Definition 263 (Kongruenz und Homomorphismus von Wirkungen) Ist (G, M ) eine
Wirkung, so nennen wir ein Paar (≡G , ≡M ) eine Kongruenzrelation auf einer Wirkung, falls
≡G eine Kongruenzrelation auf G, weiter ≡M eine Äquivalenzrelation auf M ist, und g ≡G g 0 ,
sowie m ≡M m0 stets gm ≡M g 0 m0 nach sich zieht.
Ein Homomorphismus f von Wirkungen (G, M ) und (G0 , M 0 ) ist ein Paar f := (fG , fM )
von Funktionen fG : G → G0 und fM : M → M 0 , sodaß fG ein Halbgruppenhomomorphismus
ist und für alle g ∈ G und m ∈ M stets fM (gm) = fG (g)fM (m) gilt.
Anmerkung 264 Es ist, soweit keine Gefahr von Verwechslung befürchtet wird (um
dies zu vermeiden benützt man z.B. typisierte Variable im Sinne heterogener Algebren16 ),
üblich, lediglich ≡, bzw. f als Symbol zu verwenden.
Ähnlich wie in Anmerkung 125 (S.142) ergibt sich für jede Kongruenz von Wirkungen
durch Übergang zu Quotientenhalbgruppe und Quotientenraum ein Homomorphismus
von Wirkungen.
Umgekehrt ergibt jeder Homomorphismus von Wirkungen eine Kongruenzrelation der
Wirkung (G, M ).
Beispiel 265 Beispiele hiezu:
1.
? Es sei (G, M ) := (IR, IR2 ), wobei IR mit der Addition als Gruppe aufgefaßt wird, und
r(x, y) := (x + r, y) Verschiebung bedeutet. Auf IR gelte die Kongruenz aus Beispiel
126 (S.142) 3., nämlich r ≡ r0 , falls r0 = r + 2kπ für ein k ∈ ZZ. In der Ebene IR2
soll (x, y) ≡ (x0 , y 0 ) gelten, wenn x0 = x + 2lπ für ein l ∈ ZZ und gleichzeitig y = y 0
ist. Man zeige, daß ≡ eine Kongruenz von Wirkungen auf (G, M ) ist. Wie kann die
Quotientenwirkung beschrieben werden?
Antwort: Der Nachweis, daß ≡ auf IR2 eine Äquivalenzrelation ist, verläuft recht ähnlich
wie im zitierten Beispiel. Nun soll noch gezeigt werden, daß aus r ≡ r0 und (x, y) ≡
(x0 , y 0 ) stets r(x, y) ≡ r0 (x0 , y 0 ) folgt. Lt. Voraussetzung ist dann y = y 0 und es gibt
15
16
Definition 248 (S.268)
Definition 266 (S.283)
A.2. Algebra
283
k, l ∈ ZZ mit r0 = r + 2kπ und x0 = x + 2lπ. Dann ist r0 (x0 , y 0 ) = (r0 + x0 , y) =
(r + 2kπ + x + 2lπ, y) = (r + x + 2(k + l)π, y) ≡ (r + x, y) = r(x, y), w.z.b.w.
Als Quotientenwirkung bekommt man (IR/2πZZ, IR/2πZZ × IR), geometrisch ist dies
einfacher zu beschreiben: M̄ = IR/2πZZ × IR ist ein Zylinder (es wird entlang der xAchse mod 2π “aufgerollt”, und danach erweist sich die Verschiebung als Drehung um
die Winkelvariable in IR/2πZZ.
A.2.6
Heterogene Algebren
Die Grundidee des im Titel genannten Begriffes liegt in der Beschreibung ganz allgemeiner
Kompositionen von Größen. Beim inneren Produkt werden Vektoren “multipliziert” und es
kommt eine Zahl heraus. Beim Ausdruck (~a × ~b) × ~c werden drei Vektoren des IR3 “verknüpft” und das Ergebnis ist ein Vektor im IR3 . In Programmen wiederum benützt man
Datentypen und danach Variable des entsprechenden Datentyps und Funktionstypen, die
als Namensträger von Funktionen dienen, welche unterschiedliche Datentypen miteinander
“verknüpfen” können. Z.B. in
proc potenz(x:real;n:nat):real;
var y:real;
m:nat;
beginproc y:=x;m:=1; while (m<n) do y:=y*x; end do; return y; endproc
erscheinen die Datentypen real , nat , und offenbar ist ‘potenz’ vom Funktionstyp real ×
nat → real . Im obigen Beispiel kann man ähnliches Verständnis formulieren: Man könnte
einen Datentyp 3real vec schaffen und die Funktion als vom Typ
3real vec × 3real vec × 3real vec −→ 3real vec
ansehen. Vielleicht will jemand noch andere Funktionen wie z.B. die 3×3-Determinante als
Funktion der Spaltenvektoren, die er dann vom Typ:
3real vec × 3real vec × 3real vec −→ real
auffassen wird.
In diesem Sinne werden H.A. eher als Hilfsmittel zur formalen Spezifikation von Computersprachen angesehen, schaffen jedoch auch einheitliche Sicht vieler algebraischer Strukturen.
Definition 266 (Heterogene Algebra) Eine Signatur besteht aus einer Mengen S, den
Sorten oder (Daten)typen und einer Menge Ω von Operationsnamen. Zu jedem Operationsnamen ω ∈ Ω gibt es w = w1 . . . wn ∈ S ∗ und s ∈ S, den Operationstyp, und es heißt n
die Stelligkeit von (w, s). Ist w = , so nennt man ω einen Konstantennamen. Es ist üblich,
w → s zu schreiben.
Eine (heterogene) Algebra der Signatur (S, Ω) wird gebildet, indem man zu jedem s ∈ S
eine Menge As vorgibt, sowie für jeden Operationsnamen ω vom Operationstyp s1 · · · sn → s
eine Funktion fω : As1 × · · · × Asn → As , genannt n-stellige Operation mit Werten in As ,
284
ANHÄNGE
falls n ≥ 1 ist, und Konstante in As falls w = . Es erweist sich als sinnvoll, A als disjunkte
Vereinigung aller As mit s ∈ S anzusehen.
Anmerkung 267 (Ableitungsbaum einer heterogene Algebra) Die folgende geometrische Sicht sollte von großem Nutzen sein: Jedes Funktionssymbol ω vom Operationstyp s1 . . . sn → s mag als Graph17 der folgenden Art gesehen werden:
s1
ONML
HIJK
ω, s R
GGRRR
nn{{
n
GG RRR
n
n
{
n
GG RRRR
nn {{{
n
GG
RRR
n
{
n
n
G
{
RRR
{
nnn
s2
...
sn−1
sn
Beispiel 268 Hier einige (sehr unterschiedliche) Beispiele.
1.
? Wie kann man Mengen M mit einer Funktion f : M × M → M im Sinne einer H.A.
auffassen?
Antwort: S = X, Ω := {F }, F hat den Operationstyp (XX, X) (der in der Literatur,
z.B. [8] häufig als X × X → X geschrieben wird). Nun ist M = A zusammen mit der
Funktion f eine (X, {F })-Algebra.
2.
? Wie kann man das die Vektoren betreffende Beispiel der Einleitung im Sinne einer
H.A. auffassen?
Antwort: S := { 3real vec , real }, Ω := {L, Det}, Operationstyp von L ist
3real vec × 3real vec → 3real vec ,
Operationstyp von Det ist
3real vec × 3real vec → real .
Nun ist IR3 als Menge vom Typ 3real vec , noch genauer A 3real vec = IR3 und L(~a, ~b, ~c) :=
(~a × ~b) × ~c die Operation mit Namen L vom angegebenen Operationstyp, und analoges
gilt für Det(~a, ~b, ~c).
Hier wäre A = IR3 .
3.
? Wie kann die Prozedur der Einleitung (A.2.6) im Sinne einer H.A. aufgefaßt werden?
Antwort: Man wählt S := { Natvar, Realvar } und Ω := {pot, n, r}, wobei ‘pot’ vom
Operationstyp Realvar Natvar→Realvar, n Konstantensymbol vom Typ Natvar und r
Konstantensymbol vom Typ Realvar ist.
17
Beispiel 253 (S.271) 6. (Polnisch inverse Notation): Dort hat der Baum Operationstypen ‘+’ und ‘·’ der
Stelligkeit n = 2, cos der Stelligkeit n = 1, sowie reelle Variable als Datentypen.
A.2. Algebra
285
Danach ergibt ANat := IN , AReal := IR und pot(r, n) :=“Programmzeilen” Somit ist A
als disjunkte Vereinigung {0} × IN ∪ {1} × IR auffaßbar.
Definition 269 (Teilalgebra, Homomorphismus und Kongruenz in het. Alg.) Sind
A und B heterogene Algebren der Signatur (S, Ω), so heißt A Teilalgebra von B, falls As
Teilmenge von Bs für jedes s ∈ S ist und für alle Funktionssymbole ω vom Operationstyp
s1 . . . sn → s aus (as1 , . . . , asn ) ∈ As1 × . . . × Asn stets ω(as1 , . . . , asn ) ∈ As folgt.
Ein Homomorphismus F : A → B besteht aus Abbildungen Fs : As → Bs , derart, daß für
jedes ω vom Operationstyp s1 . . . sn → s für alle (as1 , . . . , asn ) ∈ As1 × . . . × Asn stets
ω(F (as1 ), . . . , F (asn )) = Fs (ω(as1 , . . . , asn ))
gilt18 .
Eine Kongruenz auf A ist eine Äquivalenzrelation R auf A, derart, daß aus asi Ra0si stets
ω(as1 , . . . , asn ) R ω(a0s1 , . . . , a0sn ))
für jede Operation ω vom Typ s1 . . . sn → s. Die Notation a ≡ b statt aRb ist gebräuchlich.
Beispiel 270 Einfache Beispiele:
1. Es sei (S, Ω) durch S := {s} mit s := h integer mod pos nati und Ω := {+} mit dem
Typ ss → s gegeben. Nun definieren wir As := ZZ, die ganzen Zahlen und ω die übliche
Addition ganzer Zahlen. Dann ist ZZ = As eine (S, Ω)-Algebra. Nimmt man Bs := 2ZZ,
die Menge der geraden Zahlen, so ist B eine (S, Ω)-Teilalgebra von A.
Als nächstes sei B := Bs := {0, 1} mit + die “Binäraddition”, d.i. 0 + 0 = 1 + 1 =
0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1. Wenn man jetzt F : A → B durch F (z) := 0 falls z gerade, und
F (z) := 1, falls es ungerade ist, festlegt, so ist F ein Homomorphismus.
Definiert man auf A = As eine Relation durch z ≡ z 0 falls z − z 0 gerade ist, so ist dies
eine Kongruenzrelation im obigen Sinne.
2.
? In Definition 123 (S.141) wird die Definition für einen Homomorphismus f :
(G, M ) → (G0 , M 0 ) zweier Halbgruppenwirkungen gegeben. Wie kann diese Definition als eine im Sinne heterogener Algebren verstanden werden?
Antwort: Zunächst muß man Halbgruppenwirkungen als heterogene Algebra mit Gleichungen formulieren: Die Signatur hat die Typen halb gruppe und menge, sowie Operationsbezeichnungen
· : halb gruppe halb gruppe → halb gruppe
und
w : halb gruppe menge → menge.
18
“Man kann F durch alle Operationssymbole durchziehen”
286
ANHÄNGE
Sind X, Y, Z syntaktische Variable vom Typ halb gruppe und P eine syntaktische
Variable vom Typ menge, so gelten die Gesetze (XY )Z = X(Y Z), (XY )P = X(Y P )
(wobei wir die Funktionssymbole weggelassen haben, die Typisierung der syntaktischen
Variablen schließt Irrtümer aus). Nun sollen G, G0 vom Typ halb gruppe, M, M 0 vom
Typ menge sein und entsprechende Operationen der beiden Typen vorliegen.
Der Homomorphismus f : (G, M ) → (G0 , M 0 ) wird nun aufgefaßt als Halbgruppenwirkung im Sinne von Definition 260 (S.277).
Wir kommen jetzt zur Definition, was Terme sind.
Definition 271 (Termalgebra) Ist (S, Ω) eine Signatur, und X eine disjunkte Vereinigung
von Mengen Xs mit s ∈ S. Als Termalgebra bezeichnet man die Sprache mit folgender
Grammatik, bei der σ das Startsymbol ist:
• σ → xs für alle xs ∈ Xs ergibt Terme vom Typ s.
• xs → (ω(xs1 , . . . , xsn )), falls xsi ∈ Xsi und ω Operation vom Typ s1 . . . sn → s ist,
ergibt ebenfalls einen Term vom Typ s.
Anmerkung 272 (Ableitungbaum der Termalgebra) Die geometrische Beschreibung aus Anmerkung 267 (S.284) benützend, lassen sich die Regeln der Grammatik
bildlich so beschreiben:
Graphen der links stehenden Form werden
σ
gebildet.
ONML
HIJK
ω, s SS
Für jedes FunktionsGG SSS
mmmzz
m
GG SSS
m
z
m
m
symbol gibt es Graphen
GG SSSS
mm zzz
xs
m
GG
SSS
m
m
z
m
G
SSS
z
m
der Form, wie ganz
z
S
mmm
.
.
.
Xsn−1
Xs1
Xs2
S sn
rechts abgebildet.
Nun “iteriert” man. Enthält ein Graph keine Variablen mehr, ist er ein Satz, andernfalls
eine Satzform im Sinne von Definition 252 (S.271). Der jeweils entstandene Graph heißt
Ableitungsbaum des entsprechenden Terms.
Wir vermerken, daß der Ableitungsbaum in Beispiel 253 (S.271) 6. (Polnisch inverse Notation) ein Ableitungsbaum in genau diesem Sinne ist. Nun kann man im Sinne einer Grammatik
(Definition 252 (S.271)) Rechengesetze formulieren, wie es im Abschnitt A.2.7 beschrieben
wird.
A.2.7
Gesetze in heterogenen Algebren
Der Begriff des Terms erlaubt es jetzt, eine formaler Definition für Rechengesetze zu geben:
A.2. Algebra
287
Definition 273 Ist A eine H.A. der Signatur (S, Ω), X eine Menge (syntaktischer) Variabler
und t1 , t2 Terme in den Variablen X vom Typ s sind, so sagt man, in A gilt die Identität
t1 (X) = t2 (X), wenn für alle typengerechten Belegungen der Variablen X → a mit Elementen
in A t1 (a) = t2 (a), also Gleichheit herrscht.
Weiter sagt man, die Gleichung t1 (X) = t2 (X) gilt in (S, Ω), falls für heterogene Algebra
A der Signatur (S, Ω) jedes typengerechte Ersetzen der Variablen in X durch Elemente in A
zum gleichen Ergebnis führt.
Beispiel 274
• Es sei (S, Ω) = ({s}, {f }). f sei vom Typ ss → s. Seien x, y, z (syntaktische) Variable und t1 (x, y, z) = f (x, f (y, z)), t2 (x, y, z) := f (f (x, y), z). Die Identität
t1 (x, y, z) = t2 (x, y, z)
besagt die Gültigkeit des Assoziativgesetzes. In der Sprache der Ableitungsbäume hat
man
x
•
f<
<
<<
<<
<<
>>
>>
>>
=
z
f>
>
x
y
f<
<
<<
<<
<<
f=
=
y
==
==
==
z
? Es sei (S, Ω) := {{s, s0 }, {f }} und f vom Typ ss → s0 . Wie kann die Identität f (x, y) = f (y, x) formuliert werden? Wie läßt sich das als Gleichung von Ableitungsbäumen erkennen? Gibt es Beispiele von Strukturen dieser Art, auch für s 6= s0 ?
Antwort: Man braucht lediglich anzumerken, daß x, y syntaktische Variable vom Typ s
sein müssen.
x
f=
=
==
==
=
=
y
y
f=
=
==
==
==
x
s0 := h reali
Z.B. sei S :=
mit s := hreeller koordinaten vektorraum der Dim=ni,
P
n
und Ω := {f } mit f vom Typ ss → s0 und definiert durch f (u, v) := i=1 ui vi . Das
übliche Kommutativgesetz ist eine Identität in dieser H.A., die Buchstaben u und v
spielen die Rolle syntaktischer Variabler.
{s, s0 }
Anmerkung 275 Bei gegebener Signatur (S, Ω) und System von Gleichungen erfüllen
alle Algebren dieser Signatur diese Gleichungen (bei beliebigem Ersetzen der entsprechenden syntaktischen Variablen). Gibt man keine Gleichungen vor, so können im Sinne
von Definition 271 (S.286) Terme “ineinander verschachtelt” werden, die dann eine H.A.
der Signatur (S, Ω) bilden, eine Termalgebra.
288
ANHÄNGE
A.2.8
Erweiterter euklidischer Algorithmus im Euklidischen Ring und Partialbruchzerlegung im Quotientenkörper
Wenn R etwa ZZ oder k[x], ein Polynomring in einer Variablen mit Koeffizienten in einem
Körper k ist, so basiert die übliche Division mit Rest
dividend = quotient × divisor + rest
auf folgender Eigenschaft:
Definition 276 (Euklidischer Ring, Division mit Rest) Ein Integritätsbereich R mit 1Element heißt euklidisch, falls es eine Funktion θ : R \{0} → IN gibt, derart, daß θ(ab) ≥ θ(a)
für alle a, b mit ab 6= 0 gilt, und es zu jedem a ∈ R und 0 6= b ∈ R ein q und ein r in R
gefunden werden können mit
a = qb + r, r = 0 ∨ θ(r) < θ(b).
Es ist q der Quotient und r ein kleinster Rest.
Beispiel 277 Die beiden Eingangsbeispiele:
1. Ist R := ZZ, so sei θ(z) := |z| für z 6= 0. Es ist θ(ab) = |ab| = |a||b| ≥ |a| = θ(a).
Die übliche Division mit Rest erfüllt die nötigen Eigenschaften. Von Interesse: q und r
müssen nicht eindeutig bestimmt sein. So ist etwa für a := 7 und b := 5:
7 = 5 · 1 + 2 = 5 · 2 + (−3),
und die Paare (q, r) ∈ {(1, 2), (2, −3)} sind beide o.k. Deshalb auch “ein kleinster Rest”
und nicht “der kleinste Rest” in der obigen Formulierung.
Eine geometrische Deutung aus der Antike: Es gab keine negativen Zahlen und es wurde
die (im allgemeinen kleinere) Strecke b sooft “abgeschlagen”, bis ein Streckenrest r von
kleinerer Länge als a verblieb. Die Zahl q gibt dann an, wie oft man abgeschlagen hat.
In der antiken Auffassung war der kleinste Rest eindeutig bestimmt, weil nicht negativ.
2. Ist R := k[x], so wählt man d(p) den Grad des Polynoms p ∈ R, sofern p 6= 0 ist. Die
aus Mittelschulzeiten bekannte Polynomdivision mit Rest gehört hierher.
Will man lediglich den Rest wissen, so empfiehlt sich ein TES wie in Anmerkung 250
(S.268), nämlich, wenn a = 7x4 − 3x2 + 4x − 1 und b = x2 − x + 1, so “adoptiert” man
die Regel x2 → x − 1 und findet:
a → 7(x − 1)2 − 3(x − 1) + 4x − 1 = 7x2 − 13x + 9 → 7(x − 1) − 13x + 9 = −6x + 2.
? Was hat man davon?
Antwort: Angenommen,
man muß die Wurzel der quadratischen Gleichung, nämlich
√
x = 21 (1 + i 3), in a = 7x4 − 3x2 + 4x − 1 einsetzen. Dann ist es sicher einfacher, das
in r = −6x + 2 zu tun! Das Resultat ist dasselbe!
A.2. Algebra
289
Anmerkung 278 Ist R ein euklidischer Ring, so können folgende Begriffe und Techniken
erklärt werden, wobei a|b geschrieben wird, wenn a Teiler von b ist.
Größter gemeinsamer Teiler von Zahlen, ggT: Sind a, b ∈ R, so heißt d ∈ R ein
größter gemeinsamer Teiler von a und b, im Zeichen d = ggT (a, b), wenn d ein Teiler
von a und b ist, und wenn jeder weitere Teiler von a und b ein Teiler von d ist.
Man sagt a und b sind teilerfremd, im Zeichen ggT (a, b) = 1 (meist (a, b) = 1
geschrieben), falls jeder gemeinsame Teiler von a und b eine Einheit in R, d.i. ein
Teiler des Einselements von R, ist.
Induktiv definiert man ggT (a1 , . . . , an ) := ggT (a1 , ggT (a2 , . . . , an )).
Existenz und Berechnung des ggT: Sind Elemente a1 , . . . , an gegeben, so findet
man den ggT durch folgende Prozedur:
1. Wenn alle Elemente gleich Null sind, so ist der ggT gleich Null.
2. Streiche alle Elemente, die gleich Null sind. Ordne die ai nach wachsendem
θ(ai ).
3. Ersetze alle ai durch den Rest bei Division durch a1 und streiche alle Elemente,
die gleich Null sind.
4. Führe Schritt 2 und 3 solange aus, bis ein einzelnes Element verbleibt. Dieses
ist dann der ggT.
Beispiel: ggT(12,18,21,0)=ggT(12,18,21)=ggT(6,-3)=ggT(0,-3)=ggT(3)=3.
Trickreicher: ggT(12,18,21,0) = 3ggT(4,6,7,0) = 3ggT(4,2,3) = 3ggT(2,3,4)=3ggT (2,1) =
3ggT(1,2) = 3ggT(1) = 3, d.h. man “hebt einen gemeinsamen Teiler heraus”.
Erweiterter Kettenalgorithmus: gibt eine Methode an, um für a, b ∈ R \ {0} Elemente x, y ∈ R mit d := ggT (a, b) = ax + by und θ(x) < θ(b), sowie θ(y) < θ(a)
bzw. x = 0 oder y = 0 zu finden. Ist a = bd, so gilt offenbar d = a × 0 + b × 1, also
x = 0 und y = 1. Ist a = bq + r, und kann man den ggT von b und r in der Form
d = bξ + rη schreiben, so ergibt sich sofort d = bξ + (a − bq)η = aη + b(ξ − qη).
Man erkennt auch recht schnell, daß die Forderungen an x und y erfüllbar sind,
wenn ξ und η (im Induktionsschritt) die entsprechenden Forderungen erfüllen. In
Matrizenform gewinnt man eine übersichtliche Form:
x
y
=
0 1
1 −q
ξ
η
.
Zunächst eine händische Methode19 , die hier lediglich an einem Beispiel demonstriert werde: Wir wollen den ggT von 127 und 24, d.i. 1 in der Form 1 = 127·x+24·y
schreiben und schreiben zunächst die Schritte der Division mit Rest fortlaufend an:
290
ANHÄNGE
a
127
24
7
2
=
=
=
=
=
b
24
7
3
1
×
×
×
×
×
q
5
3
2
2
+
+
+
+
+
r
7
3
1
0
Man notiert von der vorletzten Zeile an von unten nach oben lesend die Werte für
q als q = 2, q = 3 und q = 5 und schreibt von rechts nach links:
0 1
0 1
0
x
0 1
=
1 −3
1 −2
1
y
1 −5
und elementare Matrizenrechnung ergibt
x
y
=
7
−37
, also
d = 1 = ax + by = 127 × 7 + 24 × (−37).
Hier eine rekursive Form der Implementation in einem “Pseudocode” für Elemente
in R:
function ext euclid(a : R, b : R) : (R, R, R)
local: d, x, y, q : R
begin
if (b = 0) return (a, 1, 0)
else begin
(q, r) := a divrest b # a = b ∗ q + r, r = 0 oder θ(r) < θ(b)
if r = 0 return (b, 0, 1)
else begin
(d, x, y) :=ext euclid(a, b)
return (d, y, x − yq)
end
end
end
z
Partialbruchzerlegung im Quotientenkörper : Ist f = ab
und sind a und b teilerfremd, so ergibt sich aus dem erweiterten Kettenalgorithmus eine Darstellung
1 = ax + by, sodaß
z
zx zy
=
+
ab
b
a
folgt.
A.2. Algebra
291
Beispiel 279 Beispiele hierzu:
1.
? Kann man 1 in der Form 1 = (x2 + 1)2 p + (x − 1)3 q derart anschreiben, daß der
Grad von p kleiner als 3 und jener von q nicht größer als 5 ist, wobei die Koeffizienten
der Polynome in Q liegen? Wenn ja, wie lauten p und q?
Antwort: Die Frage wird über Polynome in Q(x) gestellt. Dieser Ring ist euklidisch,
wenn man als θ den Grad nimmt. Die Polynome a := (x2 + 1)2 und b := (x − 1)3 sind
relativ prim, d.h. es gibt kein Polynom d mit θ(d) ≥ 1 als gemeinsamen Teiler. Deshalb
ist 1 ein ggT und es sollten sich geforderte Polynome p und q finden lassen. Wir wenden
die obigen Prozedur an (Nebenrechnungen, etwa die langweilige Polynomdivision mit
Rest werden hier nicht vorgeführt) und finden:
a
(x2 + 1)2
(x − 1)3
(8x2 − 8x + 4)
( x8 − 14 )
=
=
=
=
=
b
× q
3
(x − 1)
× (x + 3)
(x2 − 8x + 4) × ( x8 − 14 )
x
× 16(x − 1)
2
x
1
4
× 32
− 16
+
+
+
+
+
r
8x2 − 8x + 4
x
2
4
0
Nun notiert man für q der Reihe nach (x + 3),( x8 − 14 ) und 16(x − 1), bildet die entsprechenden Matrizen und multipliziert aus:
0
1
0
1
0
1
2x2 − 6x + 5
0
.
=
1 ( x8 − 14 )
1 16(x − 1)
1 (x + 3)
−2x3 − 3x + 1
1
Diese Polynome erfüllen 4 = a(2x2 − 6x + 5) + b(−2x3 − 3x + 1), sodaß die gesuchten
Polynome wie folgt lauten:
!
1
2
p
4 (2x − 6x + 5)
=
.
1
3
q
4 (−2x − 3x + 1)
2.
? (Partialbruchzerlegung) Kann man den Bruch f :=
f=
a
(x2 +1)2
+
b
(x−1)3
2x−1
(x2 +1)2 (x−1)3
in der Form
schreiben? Wenn ja, wie kann man a und b bestimmen?
Antwort: In der Analysis lernt man die Methode der Partialbruchzerlegung, die genau
diese Aufgabe löst. Der Beweis für die Möglichkeit der Partialbruchzerlegung beruht
jedoch auf dem erweiterten euklidischen Algorithmus. In unserem Fall ist wegen 1.
f=
19
(2x − 1)(p(x2 + 1)2 + q(x − 1)3 )
(2x − 1)p (2x − 1)q
=
+ 2
.
(x2 + 1)2 (x − 1)3 )
(x − 1)3
(x + 1)2
Die Methode wird gelegentlich Bézout zugeschrieben.
292
ANHÄNGE
3.
? (Partialbruchzerlegung von Quotienten von Laurentpolynomen) 20 Im
Körper der rationalen Funktionen C(z) bilden die Brüche der Gestalt zpk mit p ∈ C[z]
und k ∈ ZZ einen Teilring R, den Ring der Laurentpolynome, oft auch als C[z, z −1 ]
bezeichnet. Wenn 0 6= p ∈ C[z] nicht durch z teilbar ist, so soll θ(p) der Grad von p als
Polynom sein. Es soll θ( zpk ) = θ(p) sein für alle k ∈ ZZ. Liegt ein euklidischer Ring vor?
Wie kann Partialbruchzerlegung für
f :=
2z −1 − 1
(1 + z −2 )2 (1 − z −1 )3
gewonnen werden?
Antwort: Sind p, q Polynome in C[z], so muß man θ( zpk zql ) ≥ θ( zpk ) überprüfen. Das darf
dem interessierten Leser überlassen sein. Um die Partialbruchzerlegung zu gewinnen, ist
es (nicht nur in diesem Beispiel) hilfreich, statt z −1 wieder x zu setzen und (in diesem
Beispiel) das Beispiel 2. heranzuziehen.
A.2.9
Eindeutige Faktorzerlegung
Die für den Hauptidealring ZZ gewohnte eindeutige Primfaktorzerlegung wird für beliebige
kommutative Ringe wie folgt formuliert:
Definition 280 (Faktorieller Ring) Ein kommutativer Ring R mit Einselement heißt faktoriell, falls jedes Element sich als Produkt von irreduziblen Elementen anschreiben läßt, und,
falls r 6= 0 zwei Zerlegungen
r = a1 . . . ak = b1 . . . bl
in irreduzible Elemente gestattet, es eine Einheit s des Ringes gibt, derart daß a1 s mit einem
der bj übereinstimmt.
Anmerkung 281 (Eindeutigkeit der Faktorzerlegung)
1. Die Anzahl irreduzibler Faktoren, die keine Einheiten sind, ist in jeder Zerlegung die
gleiche. Die Faktoren zweier Zerlegungen entsprechen einander bis auf Reihenfolge
und Multiplikation mit Einheiten. (z.B. 2 × 3 = (−3) × (−2)).
2. Jeder Hauptidealring ist faktoriell.
3. Jedes irreduzible Element (Definition 142 (S.151)) ist prim.
Beweis zu 2.: Sei r ∈ R keine Einheit. Wir wollen zeigen, daß r in endlich viele irreduzible
Faktoren zerlegt werden kann. Angenommen, das geht nicht. Dann kann man, ausgehend von
r0 := r für alle j ≥ 1 induktiv Elemente fj , rj mit fj irreduzibel und keine Einheit sodaß
A.2. Algebra
293
rj−1 = fj rj ist, definieren. Da hrj−1 i ⊆ hrj i ist, entsteht hierdurch eine aufsteigende Kette
hr0 i ⊆ hr1 i ⊆ hr2 i ⊆ · · ·
von Hauptidealen, deren Vereinigung, als Hauptideal, von der Form hai für ein Element
a ist. Dieses Element a liegt in der Vereinigung, also gibt es ein j0 mit a ∈ hrj0 i. Somit
ist hai = hrj0 i = hrj0 +1 i. Deshalb gibt es ein b ∈ R, sodaßsowohl rj0 +1 = brj0 als auch
(konstruktionsgemäß) rj0 = fj0 +1 rj0 +1 gilt. Hieraus entnimmt man
rj0 +1 = bfj0 +1 rj0 +1 ,
also 1 = bfj0 +1 , sodaß insbesondere, entgegen der Annahme, fj0 +1 eine Einheit ist.
Die Eindeutigkeit folgt durch Induktion aus 3.
Beweis zu 3.: Es sei f irreduzibel und keine Einheit und ein Teiler von ab. Das Ideal ha, f i ist
ein Hauptideal, also gibt es p, q, d mit a = pd und f = qd. Da f irreduzibel ist, muß entweder
q oder d eine Einheit sein. Wäre q eine Einheit, so wäre a bis auf eine Einheit mit f identisch
und der Beweis fertig. Somit können wir annehmen, daß d Einheit ist. Dann ist ha, f i = R
und daher gibt es dann x, y mit ax + f y = 1. Multiplikation mit b zeigt abx + f by = b und
somit ist f ein Teiler von b.
Beispiel 282 Als Konsequenz des Vorangegangenen erweisen sich alle euklidischen Ringe,
insbesondere ZZ, k[x] und der Ring der Laurentpolynome als faktoriell.
Wir vermerken noch die folgende Beobachtung über mehrfache Faktoren.
Anmerkung 283 (Mehrfache Faktoren, Vielfachheit, Test durch Differenzieren im Polynomring) Ist R faktoriell und p = f k q eine Zerlegung von p ∈ R derart,
daß f irreduzibel und keine Einheit ist, und ggT(f,q)=1 ist, so nennt man k die Vielfachheit des Faktors f . Ist insbesondere R = k[x], so gelten folgende Aussagen:
P
i
1. Ist c ∈ k und h
c : k[x] → k die Abbildung, die jedem Polynom f :=
i fi x den
P
i
Wert hc (f ) := i fi c zuordnet (“Einsetzen von c statt der Polynomvariablen x”),
ein Ringhomomorphismus. Es ist hc (f ) = 0 g.d.w. f den Linearfaktor (x−c) besitzt.
P
P
2. Für jedes f = i fi xi kann eine formale Ableitung f 0 := i ifi+1 xi definiert werden. Sie ist linear und erfüllt die Produktregel.
3. f hat genau dann keine mehrfachen irreduziblen Faktoren, wenn ggT (f, f 0 ) = 1
gilt. (Insbesondere kann f keine mehrfachen Nullstellen haben).
4. Ist die Charakteristik des Körpers Null, so sind die Nullstellen von f genau jene
von ggTf(f,f 0 ) .
Beweis:
294
ANHÄNGE
1. Wir müssen noch hc (f g) = hc (f )hc (g) nachweisen, m.a.W., daß hc Ringhomomorphismus ist:
X X
fi gj )xm )
hc (f g) = hc ( (
m
i+j=m
X X
=
(
fi gj )cm
m
= (
i+j=m
X
X
fi ci )(
gj cj )
i
j
= hc (f )hc (g).
P
P
P
P
P
P Pi
j ci−j ,
Ist i fi ci = 0, so ist i fi xi = i fi xi − i fi ci = i≥1 fi (xi −ci ) = (x−c) i≥1
x
j=0
also f durch x−c teilbar. Andrerseits, falls f = (x−c)g, so ist hc (f ) = hc (c−x)hc (g) = 0.
2. Die Linearität sieht man leicht ein. Deswegen genügt es, die Produktregel für f = xi ,
g := xj nachzuweisen:
(xi xj )0 = (xi+j )0 = (i + j)xi+j−1 = ixi−1 xj + xi jxj−1 = (xi )0 xj + xi (xj )0 .
3. Es sei p = f k g, dann ist p0 = kf k−1 g +f k g 0 = f k−1 ((k −1)g +f g 0 ), somit, falls k ≥ 2 ist,
f ein gemeinsamer Faktor von p und p0 . Ist umgekehrt f ein gemeinsamer irreduzibler
Faktor von p und p0 , so gilt p = f g und somit p0 = f 0 g + f g 0 , sodaß f ein Teiler von
f 0 bzw. g sein muß. Da f irreduzibel ist, und f 0 kleineren Grad hat, kann f kein Teiler
von f 0 sein. Somit ist f Teiler von g und hat zumindest Vielfachheit 2.
4. Folgt direkt aus dem vorigen.
Beispiel 284 Vorbereitung auf das Rechnen im endlichen Körper IF8 in Beispiel 157 (S.164):
? Wie lautet die Zerlegung in irreduzible Faktoren für das Polynom x8 − x aufgefaßt mit
Koeffizienten in IF2 (dem Körper mit 2 Elementen)?
Antwortfindung: Sichtlich ist x ein Faktor. Danach steht da x7 − 1 = (x − 1)(x6 + x5 +
4
x + x3 + x2 + x + 1). Wir behaupten, daß es keine mehrfachen Faktoren geben kann. Dazu
benützen wir das Ausgangspolynom x8 − x, das differenziert 8x − 1 = 1 ergibt (Körper mit
2 Elementen!). Somit sind alle irreduziblen Faktoren einfach. Nun ist es gerechtfertigt, einen
Ansatz
x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = pq
mit p vom Grad 2 oder 3 zu machen. Ein wenig voraus wissend, soll 3 genommen werden.
Dann kann man p = x3 + ax2 + bx + 1, q := x3 + cx2 + dx + 1 annehmen (weil das Produkt der
höchsten bzw. niedrigsten Koeffizienten 1 ist). Nun erkennt man, daß nach Multiplikation der
Term 5.Ordnung die Gleichung a + c = 1 ergibt. O.B.d.A. nehmen wir a = 1 und c = 0 an
(sonst vertauschen p und q ihre Rollen). Das lineare Glied ergibt b + d = 1 und nun versucht
man einfach p = x3 + x2 + 1 und q = x3 + x + 1. Ausmultiplizieren ergibt die Korrektheit der
A.2. Algebra
295
Zerlegung. Schließlich erweisen sich p und q als unzerlegbar, weil ein Linearfaktor auftauchen
müßte, der zu einer Nullstelle in IF2 führt – letztere existiert nicht!
Antwort: x8 − 1 = x(x − 1)(x3 + x2 + 1)(x3 + x + 1) ist eine Zerlegung in über IF2 irreduzible
Faktoren.
Schließlich noch Algebrabeispiel, welches mit Beispiel 41 (S.49) (Frage 2) in der Wahrscheinlichkeitstheorie zusammenhängt:
Beispiel 285
? (Faktorzerlegung und Prozentzahlen) Es sei die Zahlenfolge {hi | i = 1, 2, 3, 4, 5, 6} =
{16.8, 17.3, 16.4, 16.7, 16.2, 16.6} gegeben. Es soll sich dabei um “relative Häufigkeiten” in
i
Prozenten handeln, also hi := 100H
N . Dabei ist jede absolute Häufigkeit Hi ∈ IN und H1 +
· · · + H6 = N . Es ist gefragt, wie groß das kleinste N ist, sodaß die angegebene Zahlenfolge
entsprechende Prozentzahlen ausdrückt.
Antwortfindung: Multipliziert man jede der Zahlen mit 10, so ergibt sich offenkundig 1000 =
168 + . . . + 166, sodaß das gesuchte N bestenfalls ≤ 1000 sein kann. Die kleinste natürliche
Zahl k, derart, daß alle zi := hi ∗ k ∈ IN liegen, ist offenkundig auch k = 10. Danach ergibt
für i = 1, . . . , 6 die Beziehung
zi N = 1000Hi .
Nun muß jeder Primteiler von zi ein Teiler von entweder 1000 oder von Hi sein. Sieht man
sich jetzt die Zahlenfolge der zi , nämlich {168, 173, 164, 167, 162, 166} an, so bemerkt man die
Primzahl 173, die kein Teiler von 1000 ist. Somit ist H2 ein Vielfaches von 173. Wegen der
Minimalität von N ist deshalb H2 = 173 und N = 1000.
A.2.10
Beweise zu Anmerkung 156 (S.163)
1. Der Nachweis geht genauso wie im 2.ten Teil von Beispiel 143 (S.152) 6. Der Teilkörper
besteht aus allen Elementen der Form k·1F := 1F + 1F + · · · + 1F mit k = 0, 1, . . . , p−1
|
{z
}
k
mal
und 1F das Einselement in F . Wenn nun x ∈ F ist, so hat man px = x
· · + x} =
| + ·{z
p
mal
x (1 + · · · + 1) = x · 0 = 0, wie behauptet.
|
{z
}
p
mal
Um (x + y)p = xp + y p zu zeigen, bemerken wir zunächst, daß k! für 0 ≤ k ≤ p − 1
in ZZ p kein Nullteiler
(keiner der Faktoren ist es) ist. Deshalb ist x := k!1F ∈ F \
p
{0} und somit k x = p!1F = 0 für 1 ≤ k ≤ p − 1. Danach ergibt der binomische
Lehrsatz21 Behauptung. Ist F ein endlicher Integritätsbereich, so ist F \{0} eine endliche
Halbgruppe mit Kürzungseigenschaft. Deshalb ist sie wegen Anmerkung 140 (S.149)
eine Gruppe und somit F ein Körper.
21
Vgl.Beispiel 143 (S.152) 7.
296
ANHÄNGE
2. Die Abbildung φ : F → F , die durch φ(x) := xp definiert ist, ist wegen 1. ein Homomorphismus. Ihr Kern ist trivial, weil xp = 0 natürlich x = 0 zur Folge hat, also ist sie
eine Bijektion.
3. Da F endlich ist, ist die von φ erzeugte zyklische Halbgruppe endlich. Es gilt die
Kürzungseigenschaft, weil φ ein Isomorphismus ist. Demnach ist wegen Anmerkung
141 (S.150) hφi eine endliche Gruppe. Sei n die Ordnung von φ. Umformuliert heißt
das, daß
n
(∀x ∈ F ) xp = x
gilt.
4. Es ist F ein IFp -Vektorraum. Deshalb besitzt er eine endliche Basis und hat daher die
Ordnung q := pk für ein passendes k ≥ 1. Somit ist die Ordnung der multiplikativen
Gruppe von F , d.i. |F \ {0}| genau q − 1, also genügen alle Elemente von F \ {0} der
Gleichung xq−1 = 1 wegen Anmerkung 132 (S.145). Deshalb genügen alle x ∈ F der
Gleichung xq − x = 0. Dies ist gleichbedeutend mit φk (x) = x, und da die Ordnung von
φ gleich n ist, gilt k ≥ n. Wegen Anmerkung 140 (S.149) und (xq − x)0 = −1 hat die
Gleichung keine mehrfachen Wurzeln, also genau die q Elemente von F als Nullstellen.
Andrerseits hat der Frobeniusautomorphismus die Ordnung n, was darauf hinausläuft,
n
daß jedes Element von F auch der Gleichung xp − x = 0 genügt. Da diese Gleichung
nicht mehr als pn Wurzeln haben kann, hat F höchstens pn Elemente, somit hat man
pn ≤ pk , also n ≤ k und daher ist n = k.
Nun wählen wir in F \ {0} ein Element f mit größtmöglicher Ordnung s und wir wollen
zeigen, daß s = q − 1 gilt. Es ist f q−1 = 1, also s ein Teiler von q − 1. Angenommen es
ist s < q − 1. Da das Polynom xs − 1 = 0 in F nicht mehr als s Wurzeln haben kann,
gibt es dann ein Element a ∈ F mit as − 1 6= 0. Dieses a hätte größere Ordnung im
Widerspruch zur Annahme über f . Somit ist F \ {0} zyklisch.
A.3
A.3.1
Topologie
Konstruktion der Vervollständigung für einen metrischen Raum (X, d)
Das Konstruktionsprinzip erinnert ein wenig an Numerik:
• Man geht vom Raum aller Folgen X IN aus und betrachtet hierin die Teilmenge aller
Cauchyfolgen, die mit CF (X) bezeichnet werde. Jede solche Folge darf man sich als
“numerisches Verfahren” vorstellen, von dem man eigentlich annehmen will, daß es
konvergiert, weil es ja Cauchysch ist, aber der Grenzwert in X nicht zu existieren
braucht.
∞
• Zwei Cauchyfolgen {xn }∞
n=1 und {yn }n=1 will man nun als gleichwertig erachten, wenn
sie “zum gleichen Grenzwert konvergieren”. Der muß aber X nicht existieren. Falls
doch, würde auch
∞
D({xn }∞
n=1 , {yn }n=1 ) := lim d(xn , yn ) = 0
n→∞
(A.1)
A.3. Topologie
297
zu gelten haben. Nun kommt der Trick: die linke Seite, das D, läßt sich für je zwei
∞
Cauchyfolgen {xn }∞
n=1 , {yn }n=1 definieren, sogar dann, wenn ihr Grenzwert in X nicht
existiert.
• Die Funktion D : CF (X)×CF (X) → IR+ ∪{0} erfüllt gewisse der Axiome einer Metrik.
Sie ist symmetrisch, nicht negativ, und die Dreiecksungleichung kann nachgewiesen
∞
werden. Allerdings folgt aus D({xn }∞
n=1 , {yn }n=1 ) = 0 nicht notwendig die Gleichheit
∞
der Folgen. Die angekündigte Gleichwertigkeit der Cauchyfolgen {xn }∞
n=1 und {yn }n=1
wird formal als Äquivalenzrelation definiert, indem man sie als äquivalent ansieht, wenn
Glg.(A.1) gilt.
˜ ty) zu
• (Definition von X̃) Nun wird X̃ als Menge der Äquivalenzklassen erklärt. Um d(x̃,
∞
definieren, wählt man Cauchyfolgen (d.i. Repräsentanten) {xn }n=1 ∈ x̃ und {yn }∞
n=1 ∈ ỹ
∞
∞
˜
und definiert d(x̃, ỹ) := D({xn }n=1 , {yn }n=1 ). Diese Definition erweist sich als von den
gewählten Folgen in x̃, ỹ unabhängig.
0 ∞
∞
0 ∞
Wir wollen das kurz vorführen: Es seien {xn }∞
n=1 , {xn }n=1 ∈ x̃ und {yn }n=1 , {yn }n=1 ∈
∞
∞
0
∞
0
∞
ỹ. Man muß dann D({xn }n=1 , {yn }n=1 ) = D({xn }n=1 , {yn }n=1 ) zeigen.
Zunächst liefert die Dreiecksungleichung für alle n ∈ IN
d(x0n , yn0 ) ≤ d(x0n , xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , yn0 ),
und geht man mit n → ∞, so ergibt sich wegen der Definition von D und der Äquivalenzklassen x̃, ỹ sofort
0 ∞
∞
∞
D({x0n }∞
n=1 , {yn }n=1 ) ≤ D({xn }n=1 , {yn }n=1 ).
Die gleiche Prozedur mit vertauschten Rollen der gestrichenen und ungestrichenen Folgen ergibt
∞
0 ∞
0 ∞
D({xn }∞
n=1 , {yn }n=1 ) ≤ D({xn }n=1 , {yn }n=1 ),
woraus die Behauptung unmittelbar folgt.
• (isometrische Einbettung von X) Jedem Element x ∈ X wird die konstante Folge
{xn }∞
n=1 mit xn = x zugeordnet. Dann ist d(xm , xn ) = d(x, x) = 0, also diese Folge
∞
∞
{xn }∞
n=1 eine Cauchyfolge. Einsichtig ist auch, daß konstante Folgen {xn }n=1 , {yn }n=1
∞
∞
mit xn = x, yn = y zunächst D({xn }n=1 , {yn }n=1 ) = d(x, y) ergeben. Hieraus ergibt
˜ ỹ) = d(x, y), sobald x̃ und ỹ konstante Folgen mit Werten x, y enthalten.
sich d(x̃,
• (Nachweis, daß X in X̃ dicht liegt) Daß jedes x̃ ∈ X̃ Grenzwert von Elementen in X
ist, ergibt sich wie folgt: Zunächst wählt man einen Repräsentanten {xn }∞
n=1 ∈ x̃. Nun
∞
betrachtet man zu jedem k ∈ IN die konstante Folge xk := {xkn }n=1 definiert durch
xkn := xk . Wir wollen zeigen, daß bei k → ∞ diese Folge limk→∞ D(xk , {xn }∞
n=1 )
∞
∞
erfüllt. Es ist D(xk , {xn }n=1 ) = limn→∞ d(xk , xn ). Weil jedoch {xn }n=1 konvergent,
und somit CF ist, gibt es zu vorgegebenem > 0 ein N sodaß für alle n, k der Ausdruck
d(xk , xn ) < und somit D(xk , {xn }∞
n=1 ) ≤ wird. Also gilt die Konvergenzbehauptung.
298
ANHÄNGE
˜
• (Nachweis der Vollständigkeitkeit von X̃). Es sei {x̃k }∞
k=1 eine Cauchyfolge in (X̃, d).
˜ k , x̃) = 0 gibt. Weil X
Dann ist zu zeigen, daß es eine Element x̃ ∈ X̃ mit limk→∞ d(x̃
dicht liegt, gibt es zu jedem Folgenglied x̃k ein Element xk ∈ X, welches, als konstante
Folge aufgefaßt (d.h. als Folge xk ∈ CF (X) definiert als xkn := xk ), die Abschätzung
˜ k , xk ) < 1k erfüllt. Hieraus ergibt geeignetes Anwenden der Dreiecksungleichung
d(x̃
2
˜ k , x̃l ) + 1 .
˜ k , xl ) ≤ d(x
˜ k , x̃k ) + d(x̃
˜ k , x̃l ) + d(x̃
˜ l , xl ) ≤ 1 + d(x̃
d(xk , xl ) = d(x
k
2
2l
Weil nun {x̃k }∞
k=1 die Cauchyeigenschaft hat, gibt es zu jedem > 0 ein N ∈ IN mit
˜ l , xl ) < für alle k, l ≥ N , und für alle k, l, die zusätzlich 1k + 1l < erfüllen, ist
d(x̃
2
2
dann auch
˜ k , xl ) ≤ 2.
d(x
Deshalb ist {xk }∞
k=1 eine Cauchyfolge von Elementen in X, welche definitionsgemäß ein
Element x̃ ∈ X repräsentiert.
Die Konvergenz der Folge {x̃k }∞
k=1 gegen x̃ ergibt sich nun wie folgt. Zunächst benützt
man die Dreiecksungleichung und erhält:
˜ k , x̃) ≤ 1 + d(x
˜ k }∞ , xk ) + d(x
˜ k }∞ , x̃) ≤ d({x̃
˜ k , x̃).
d({x̃
k=1
k=1
2k
Ist nun > 0 beliebig vorgegeben, so gibt es ein N ∈ IN , sodaß sowohl 21k < 2 als auch
˜ k , x̃) < für alle k ≥ N
(wegen der Konvergenz von xk gegen x̃) die Ungleichung d(x
2
gelten. Demnach gilt die behauptete Konvergenz.
A.3.2
Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes Anmerkung 167 (S.176)
Beispiel 286 Hier ist der Beweis der einzelnen Punkte.
1. Es sei {xn }∞
n=1 konvergent gegen x. Dann gibt es zu jedem > 0 ein N mit d(xn , x) < für alle n ≥ N . Wegen der Kontraktionseigenschaft hat man für die gleichen n auch
d(f (xn ), f (x)) ≤ λd(xn , x) < d(xn , x) < , also die Stetigkeit von f .
2. Zunächst soll die Eindeutigkeit von p gezeigt werden. Angenommen, es ist p 6= q, sowie
p = f (p) und q = f (q). Dann ist d(p, q) = d(f (p), f (q)) ≤ λd(p, q) < d(p, q), ein
Widerspruch.
Nützlich ist zunächst die folgende Abschätzung:
d(xn−1 , xn ) ≤ λn−1 d(x0 , x1 ),
(A.2)
die sich sehr leicht mittels vollständiger Induktion für alle n ∈ IN zeigen läßt. Hieraus
bekommt man
d(x0 , xn ) ≤ d(x0 , x1 ) + d(x1 , x2 ) + · · · + d(xn−1 , xn )
≤ (1 + λ + . . . + λn−1 )d(x0 , x1 )
0 ,x1 )
≤ d(x1−λ
A.3. Topologie
299
Die Existenz von p ist gezeigt, wenn {xn }∞
n=1 sich als Cauchyfolge erweist. Es sei n > m,
dann ist unter Verwendung der vorigen Abschätzung (in der n durch n − m zu ersetzen
ist) und Glg.(A.2):
d(xm , xn ) ≤ λd(xm−1 , xn−1 ) ≤ · · · ≤ λm d(x0 , xn−m ) ≤
λm d(x0 , x1 )
.
1−λ
Nun sei > 0 vorgegeben. Danach wählt man N so groß, daß
λN d(x0 , x1 )
<
1−λ
ist. Sind dann m, n ≥ N und etwa m > n, so gilt
d(xm , xn ) ≤
λm d(x0 , x1 )
λN d(x0 , x1 )
≤
< ,
1−λ
1−λ
sodaß {xn }∞
n=1 sich als Cauchyfolge, und somit, wegen der Vollständigkeit, als konvergent erweist.
Es verbleibt zu zeigen, daß die Folge {xn }∞
n=1 , die zwar gegen ein x ∈ X konvergiert,
gegen den Fixpunkt p konvergiert, m.a.W., daß x = p sein muß. Die Folge {yn }∞
n=1 ,
definiert durch yn := xn+1 konvergiert gegen x. Da f stetig ist, konvergiert {yn }∞
n=1 =
∞
{f (xn )}n=1 gegen f (x). Also gilt x = f (x) und es ist x ein Fixpunkt von f . Wegen der
eingangs gezeigten Eindeutigkeit hat man x = p.
3. Wurde bereits unter 2. mit bewiesen.
4. Ausgehend von der unter 2. gewonnen Abschätzung
d(xm , xn ) ≤
λm d(x0 , x1 )
,
1−λ
die für alle m, n ∈ IN gilt, findet man
d(x, xm ) ≤ d(x, xn ) + d(xm , xn ) ≤ d(x, xn ) +
λm d(x0 , x1 )
,
1−λ
und weil für n → ∞ der Term d(x, xn ) gegen Null geht, ergibt sich die Behauptung.
A.3.3
Beweise der Aussagen über offene, abgeschlossene, kompakte, etc.
Mengen in Anmerkung 172 (S.185)
Beispiel 287 Es sollen Beweise angedeutet werden:
1. Es sei K(x0 , r) offene Kugel und y ∈ K(x0 , r). Setzt man ρ := r − d(y, x0 ), ist ρ >
0 (weil ja d(x0 , y) < r gilt) und so ergibt sich für beliebiges z ∈ K(y, ρ) zunächst
d(z, y) < r − d(y, x0 ), also wegen der Dreiecksungleichung d(x0 , z) ≤ d(x0 , y) + d(y, z) <
d(x0 , y) + (r − d(y, x0 )) = d(x0 , y). Deshalb ist z ∈ K(xo , y), also K(y, ρ) ⊆ K(x0 , r)
und somit K(x0 , r) offen.
300
ANHÄNGE
2. Zu jedem Punkt x einer offenen Menge O gibt es eine offene Kugel K(x, rx ), die ganz
in O liegt. Deshalb ist O Vereinigung von offenen Kugeln.
3. Ist x aus der Vereinigung beliebig vieler offener Mengen, so gibt es eine offene Menge,
zu der er gehört, und eine offene Kugel, die in dieser offenen Menge und somit in der
Vereinigung liegt. Also ist die Vereinigung offen.
Sind O1 und O2 offen und x ∈ O1 ∩ O2 , so gibt es Kugeln K(x, ri ) die ganz zu Oi
gehören. Deshalb ist für r := min{r1 , r2 } die Kugel K(x, r) ganz in O1 ∩ O2 und somit
O1 ∩ O2 offen.
4. Läßt sich aus 5. und 3. mittels der De Morganschen Gesetze folgern.
5. Es sei {xn }∞
n=1 eine gegen x konvergente Folge von Punkten xn im Komplement der
offenen Menge O. Zu zeigen ist, daß dann x auch nicht in O liegt. Angenommen x ∈ O.
Dann gibt es r > 0 mit K(x, r) ⊆ O. Da jedoch die Folge {xn }∞
n=1 gegen x konvergiert,
gibt es ein N > 0 mit d(x, xn ) < r für alle n ≥ N . Solches xn gehört dann sowohl zu O
als auch (aufgrund unserer Wahl) zum Komplement, ein Widerspruch.
Ähnlich argumentiert man, um zu zeigen, daß das Komplement einer abgeschlossenen
Menge offen ist.
6. Es genügt, die Beschränktheit zu zeigen. Angenommen, C ist kompakt und unbeschränkt. Dann gibt es eine Folge {cn }∞
n=1 und ein c ∈ C mit d(c, cn ) ≥ n. Weil C (folgen)kompakt ist, kann durch Übergang zu einer Teilfolge die Konvergenz von {cn }∞
n=1
gegen ein x ∈ C angenommen werden. Deshalb existiert ein N sodaß d(x, xn ) < 1 für
alle n ≥ N gilt. Dann ergibt sich für alle n ≥ N aus der Dreiecksungleichung
n ≤ d(c, xn ) ≤ d(c, x) + d(x, xn ) ≤ d(c, x) + 1,
ein Widerspruch, weil ja n beliebig groß werden kann.
Für den Nachweis des Satzes von Heine Borel sei auf [13], Seite 33 verwiesen.
A.4
A.4.1
Banachräume
Beweis für Anmerkung 216 (S.235) – Vollständigkeit des Dualraums
Beweis: Es sei {x0n }∞
n=1 eine Cauchyfolge von Funktionalen. Dann ist wegen
|(x0n − x0m )(x)| ≤ kx0n − x0m kkxk
die Folge {x0n (x)} eine Cauchyfolge in IR (bzw. C) und man kann ein Funktional x0 durch
seine Werte x0 (x) := limn→∞ x0n (x) definieren. Um zu wissen, daß x0 zu V 0 gehört, beachten
wir zunächst für beliebiges n
|x0 (x)| ≤ |x0 (x) − x0n (x)| + |x0n (x)|.
A.4. Banachräume
301
Nun wählen wir > 0 beliebig und N so groß, daß kx0n − x0m k < für alle m, n ≥ N gilt. Für
solche m, n ergeben die Ungleichungen zuächst
|x0n (x)| − |x0m (x)| ≤ |(x0n − x0m )(x)| ≤ kx0n − x0m kkxk ≤ kxk,
also
|x0n (x)| ≤ kxk + |x0m (x)| ≤ ( + kx0m k)kxk.
Nun konvergiert die linke Seite gegen |x0 (x)| sodaß die Beschränktheit von x0 folgt, also x0
im Dualraum liegt.
Aus der ersten der Ungleichungen ergibt sich für alle x mit Norm 1
x0n (x) − x0m (x) < .
Läßt man entweder n oder m nach Unendlich gehen, ergeben sich die Ungleichungen
x0 (x) − x0m (x) ≤ ,
x0n (x) − x0 (x) ≤ .
Aus ihnen ergibt sich für n ≥ N
|(x0 − x0n )(x)| = |x0 (x) − x0n (x)| ≤ ,
und weil die rechte Seite nicht von x abhängt kann man links zum Supremum übergehen,
bekommt somit
kx0 − x0n k ≤ ,
somit die Konvergenz.
Nachweis für die Eigenschaften von A0 . Zunächst ist A0 auf dem gesamten Dualraum V ∗
wohldefiniert, wie in Definition 196 (S.210) vermerkt worden ist. Ist v 0 ∈ V 0 und u ∈ U , so
hat man
|A0 (v 0 )(u)| = |v 0 (A(u))| ≤ kv 0 kV 0 kAukV ≤ kv 0 kV 0 kAkkukU .
Hieraus ergibt sich sofort kA0 (v 0 )kU 0 ≤ kv 0 kV 0 kAk, also ist A0 beschränkt und obendrein ist
kA0 k ≤ kAk.
Um kA0 k ≥ kAk zu zeigen, wählen wir zunächst > 0. Nun wird u ∈ U mit kukU = 1
und kAukV ≥ kAk − gewählt. Als nächstes verwenden wir den Satz von Hahn-Banach
(Anmerkung 288 (S.302)) um auf dem zunächst auf dem 1-dimensionalen Teilraum (Au) von
V das lineare Funktional v00 (Au) := Au zu definieren, zu beachten, daß es Norm 1 hat, und
zu einem Funktional v 0 auf ganz V mit Norm 1 fortzusetzen. Interessant ist die Tatsache
|v 0 (Au)| = kAukV , diese benützend ergibt sich die Abschätzung
kAk − ≤ kAukV = |v 0 Au| = |(A0 v 0 )(u)| ≤ kA0 v 0 kU 0 ≤ kA0 k,
aus der die gefragte Ungleichung folgt.
W.z.z.w.
302
A.4.2
ANHÄNGE
Satz von Hahn-Banach*
Ein im Aufbau der Operatortheorie unverzichtbares Werkzeug ist der Satz von Hahn-Banach.
Z.B. kann mit seiner Hilfe gezeigt werden, daß für einen beschränkten Operator A der duale
Operator A0 ebenfalls beschränkt ist (Anmerkung 216 (S.235)). Eine andere simple Anwendung ist der Nachweis der Existenz eines abgeschlossenen Teilraumes im Banachraum V , der
zu einem gegebenen endlichdimensionalen Teilraum einen Komplementärraum bildet.
Im IRn besagt er in stark vereinfachter Form, daß ein lineares Funktional von einem linearen
Teilraum U so auf den ganzen Raum fortsetzbar ist, daß die Norm sich nicht vergrößert. Ist
das Funktional das Nullfunktional, so setzt man nämlich durch Null fort. Andernfalls ist der
Teilraum direkte Summe eines 1-dimensionalen Teilraumes und des Kerns des Funktionals,
einer Hyperebene. Man wählt eine Basis des IRn mit einem Basisvektor im 1-dimensionalen
Teilraum mit kv 0 kU = v 0 (b), sowie den Rest der Basis im Kern und eventuell noch genügend
viele Basiselemente, um den gesamten IRn aufspannen zu können. Danach setzt man das
Funktional auf allen Basisvektoren ungleich b zu Null an. Man kann sich leicht vorstellen, daß
die Werte des neuen Funktional letztlich nur die Werte sind, die auf U angenommen werden.
Insbesondere steigt die Norm nicht an. Diese geometrische Idee für unendlichdimensionale
Räume zum Beweis werden zu lassen, wird transfinite Induktion oder auch das Zornsche
Lemma verwendet. Ein Beweis findet sich z.B. in [2] und hier ist eine einfache Version des
Satzes von Hahn-Banach:
Anmerkung 288 (Satz von Hahn-Banach) Es sei ein Banachraum (V, k · kV ), eine
Halbnorm p, d.h. eine Funktion p : V → [0, ∞) mit p(rv) = rpv für r ≥ 0, p(v1 + v2 ) ≤
p(v1 ) + p(v2 ), ein linearer Teilraum U und schließlich ein stetiges lineares Funktional
u0 : U → IR mit u0 (u) ≤ p(u) für alle u ∈ U gegeben.
Dann kann u0 zu einem stetigen linearen Funktional v 0 mit
v 0 (v) ≤ p(v)
für alle v ∈ V fortgesetzt werden.
Speziell ist p(v) := kvkV als solch eine Funktion wählbar, sodaß der Satz in diesem
Fall die Ausdehnung eines auf einem Teilraum gegebenen stetigen linearen Funktionals
auf ganz V mit der gleichen Norm garantiert.
Anmerkung 289 Die folgenden Fakten sind unmittelbare Konsequenzen aus dem Satz:
Stützebene für Einheitskugel: Zu jedem x auf der Einheitskugel gibt es ein stetiges
Funktional v 0 mit Norm 1 sodaß v 0 (x) = 1 und kv 0 kV 0 = 1 ist.
A.4. Banachräume
303
v’(x)=−1
v’(x)=1
x
(Im IR2 besagt dies lediglich, daß man eine Linearform v 0 (x1 , x2 ) findet, deren Niveaulinien für x dem Wert 1 entsprechen, und daß bei x die Linearform ihr Maximum auf der Vollkugel annimmt.)
Weiter haben die Elemente des Kerns von v 0 zu x mindestens den Abstand 1.
Distanz Kugeloberfläche zu echtem Teilraum: Ist H echter abgeschlossener Teilraum des Banachraumes (V, k · kV ), so gibt es zu jedem positiven einen Punkt s
auf der Oberfläche der Einheitskugel S := {v ∈ V | kvkV = 1} mit d(x, h) ≥ 1 − x
1−ε
H
Abschluß eines linearen Teilraumes: Ist H linearer Teilraum des Banachraumes V ,
so ist
\
ker(v 0 ).
H=
{v 0 ∈V 0 |H≤ker(v 0 )}
304
ANHÄNGE
Hier die Beweise dazu:
Stützebene an eine Kugeloberfläche Zum Beweis für die Existenz der Stützebene definiert man ein Funktional v00 durch v00 (rx) = r, für r ∈ IR. Dieses Funktional hat Norm 1
und man benützt den Satz von Hahn-Banach, um es zu einem normgleichen Funktional
v 0 auf ganz V auszudehnen. Dann ist die erste Aussage erfüllt.
Distanz Kugeloberfläche – linearer Teilraum: Weil H echter Teilraum ist, gibt es z ∈
V mit z 6∈ H. Nun definiert man ein Funktional v00 auf L(H, z) = H ⊕ ‡ durch v00 (h +
λz) := λ, also mit H komplett im Kern. Dieses Funktional besitzt nach dem Satz von
Hahn-Banach eine Erweiterung v 0 auf ganz V mit gleicher Norm. Deshalb gibt es ein
x ∈ S mit kvk0 V 0 ≥ v 0 (x)(1 − ) (das folgt aus der Supremumseigenschaft der Norm).
Sei nun h ∈ H beliebig. Dann gilt
(1 − )kv 0 kV 0 ≤ v 0 (x) = v 0 (x − h) ≤ kx − hkV kv 0 kV 0 ,
sodaß die Enden der Ungleichungskette nach Kürzen der Norm von v 0 auf
kx − hkV ≥ (1 − )
führt, was zu zeigen war.
Abgeschlossener Teilraum als Schnitt der Kerne: Da die rechte Seite als Durchschnitt
abgeschlossener Mengen (jeder ker(v 0 ) ist abgeschlossen) selbst abgeschlossen ist und
H enthält, ist die linke Seite in der rechten enthalten.
Nun sei v in der rechten Seite enthalten, jedoch nicht in H̄. Dann definiert man ein
Funktional v00 auf L(H̄, v) durch v00 (h̄ + ry) = r und sieht v00 (y) = 1 sofort ein. Dieses
Funktional erlaubt eine normgleiche Erweiterung v 0 auf ganz V , für die v 0 (y) = 1
ist. Andrerseits ist H̄ im Kern des Funktionals, also sollte auch v 0 (y) = 0 sein, ein
Widerspruch.
A.4.3
Nachweise der Aussagen in Anmerkung 221 (S.240) über kompakte
Operatoren
Beispiel 290 Hier nun die Beweise zu Anmerkung 221 (S.240).
Stetigkeit: Es genügt, die Beschränktheit von K auf der Einheitskugel {u | kuk ≤ 1} zu
zeigen. Wäre diese nicht gegeben, so fände sich eine Folge {un }∞
n=1 mit kKun k ↑ ∞ bei
n ↑ ∞. Da jedoch diese Folge durch den Wert 1 beschränkt ist, müßte es eine konvergente
∞
Teilfolge {Kunk }∞
k=1 geben, ein Widerspruch zur Divergenz der Folge {kKunk k}k=1 nach
∞. Hat V keine endliche Dimension, so kann die Identität I : V → V , die zwar stetig
ist, nicht kompakt sein. Sonst könnte man im Gegensatz zu Anmerkung 207 (S.225) in
{x ∈ V | kxkV = 1} eine konvergente Teilfolge konstruieren können.
Endliche Dimension etc.: Da mit K auch σK kompakt ist, genügt es, den Nachweis für
σ = 1, also für I − K zu führen. Angenommen, der Kern hat unendliche Dimension.
A.4. Banachräume
305
1
Dann produziert man im Kern eine Folge {un }∞
n=1 mit kun kV = 1 und kui − uj kV ≥ 2
für alle i 6= j wie im Beweis der endlichen Dimension eines für beschränkte Teilmengen
folgenkompakten linearen Teilraumes (siehe Beispiel 208 (S.225)). Diese Eigenschaft
gilt auch für jede Teilfolge, auch für eine solche, für die {K(un )}∞
n=1 schon konvergent,
also auch Cauchyfolge ist. Weil
I(ui − uj ) = K(ui − uj )
ist, ergibt die Cauchyeigenschaft ein N mit kK(ui − uj )kV < 21 falls i, j ≥ N ist,
während die linke Seite die Ungleichung kui − uj kV ≥ 21 ergibt, ein Widerspruch. Der
besagte Kern ist endlichdimensional.
Konvergenz kompakter Operatoren in der Norm: Es sei {un }∞
n=1 eine o.B.d.A. durch
1 beschränkte Folge in V . Angenommen K ist nicht kompakt. Dann existiert ein a > 0
und man kann die Folge so anlegen, daß
kK(ui − uj )kV ≥ a
für alle Indizes i 6= j gilt. Es gibt ein n mit
kK − Kn k <
a
,
2
wegen der Konvergenz der Folge {Kn }∞
n=1 gegen K im Sinne der Norm. Der Ausdruck
k(K − Kn )(ui − uj )kV kann nach unten durch kK(ui − uj )kV −kKn ui − Kn uj kV und
|
{z
}
≥a
nach oben durch a2 kui − uj kU abgeschätzt werden, woraus sich die Ungleichung
a ≤ kui − uj kU + kKn ui − Kn uj kV
ergibt. Da Kn kompakter Operator ist, kann durch Übergang zu einer Teilfolge kKn ui −
Kn uj kV < a2 erreicht werden, ein Widerspruch. Deshalb ist K kompakt.
Dualer Operator K 0 kompakt: Angenommen nein. Dann gibt es eine Folge {vn0 }∞
n=1 von
Elementen mit Norm 1, sodaß die Folge der Werte Kvn0 keine Cauchyfolge enthält, somit
ein a > 0 mit
0
kK 0 vn0 − K 0 vm
k≥a
gilt. Dann gibt es insbesondere Elemente umn ∈ U mit Norm 1 und sodaß
0
0
(vn0 − vm
)Kumn = (K 0 vn0 − K 0 vm
)umn ≥
a
2
ist. Zunächst betrachtet man die doppelt indizierte Folge Kumn und kann durch Übergang zu einer Teilfolge erreichen, daß sie gegen ein Ku konvergiert. Dadurch erreicht
man für unendlich viele Indizes etwa
0
(vm
− vn0 )Ku ≥
a
3
306
ANHÄNGE
Geschick ist nötig (ein Diagonalverfahren – in z.B. [2] wird der Satz von Arzela-Ascoli
verwendet), um die Indizes m und n durch die gleiche Indexmenge laufen zu lassen
0 Ku eine beschränkte Zah– darauf gehe ich hier nicht ein. Nun ist die Folge der vm
lenfolge und enthält eine konvergente Teilfolge. Dann wäre sie auch Cauchyfolge, ein
Widerspruch.
Fredholmeigenschaft etc: Zunächst ist der Kern von I − K endlichdimensional. Daß er
ein abgeschlossenes Komplement M in U besitzt kann wie folgt eingesehen werden: Man
wählt im Kern eine Basis und dazu eine Kobasis in ker(I − K)∗ . Diese Kobasis besteht
somit aus linearen Funktionalen mit Norm 1 und können mittels des Satzes von HahnBanach (Anmerkung 288 (S.302)) zu normgleichen Funktionalen auf ganz U erweitert
werden. Ist nun B = {bi } die Basis und B 0 = {bj } die
erweiterte Kobasis,
Pbereits
0 (x)b, wobei b0 (b ) = δ
so definieren wir P : U → ker(I − K) durch P (x) :=
b
ij
i j
b
laut Konstruktion gilt. Nun ist Q := I − P ein stetiger Operator, dessen Kern M das
gewünschte abgeschlossene Komplement zu ker(I − K) ist.
Um die Abgeschlossenheit von R(I − K) und Existenz von N nachzuweisen, genügt
es nun, I − K auf M einzuschränken, m.a.W., “von Haus aus” I − K als injektiv
anzunehmen. Die Abgeschlossenheit von R(I − K) ist gezeigt, wenn für eine Folge
{un }∞
n=1 mit (I − K)un → v sich ein u mit v = (I − K)u finden läßt. Wegen der
Kompaktheit von K kann man zu einer Teilfolge übergehen, derart daß die Folge
1
K(un ) → v0
kun k
konvergiert. Wir behaupten daß die Folge {un }∞
n=1 beschränkt sein muß. Andernfalls
würde nämlich einerseits
un
un
un
(I − K)
=
−K
kun k
kun k
kun k
nach Null konvergieren (linke Seite, weil die Zähler gegen v, die Nenner gegen ∞ konvergieren), andrerseits deshalb der Term auf der rechten Seite konvergieren, also
un
→ v0
kun k
gelten. Es ergibt
sich sofort v0 = Kv0 , also (I − K)v0 = 0, d.h. v0 = 0. Das kann nicht
sein, weil alle kuunnk Norm 1 hatten. Also ist die Folge {un }∞
n=1 beschränkt.
Nun darf (notfalls nach Übergang zu einer Teilfolge) die Konvergenz von Kun gegen
ein w ∈ V angenommen werden. Das ergibt
(I − K)un = un − Kun
und durch Grenzwertbetrachtung die Konvergenz der Folge {un }∞
n=1 selbst – gegen
einen GW u. Es erweist sich (I − K)u = v, was zu zeigen war. Somit ist R(I − K)
abgeschlossen.
Der noch fehlende Nachweis, daß der Anihilator von R(I − K) genau mit dem Kern
von I −K 0 übereinstimmt verläuft analog zum algebraischen Gegenstück in Anmerkung
199 (S.216).
A.4. Banachräume
A.4.4
307
Inneres Produkt im Cn bzw. IRn Zusammenfassung
Beispiel 291
1.
? Es sei h·, ·i ein beliebiges inneres Produkt auf Cn . Man zeige, daß es eine n×n-Matrix
A mit folgenden Eigenschaften gibt
(a) Aij = h~ei , ~ej i und h~x, ~y i = ~x∗ A~y .
(b) A∗ := AT erfüllt A∗ = A (A ist hermitisch).
(c) A ist positiv definit, d.h. ~x∗ A~x > 0 für alle ~x 6= ~0.
Umgekehrt, wenn A die drei Eigenschaften erfüllt, wird durch h~x, ~y i = ~x∗ A~y ein inneres
Produkt auf Cn definiert.
P
P
Antwort(findung): Es ist für ~x = i xi~ei und ~y = j yj ~ej wegen der Sesquilinearität
des inneren Produkts
XX
X
X
h~x, ~y i =
hxi~ei , yj ~ej i =
x̄i yj h~ei , ~ej i =
x̄i yj Aij = ~x∗ A~y .
i
j
i,j
i,j
Also gilt (a). Um (b) zu zeigen, genügt es
(A∗ )ij = Āji = h~ej , ~ei i = h~ei , ~ej i = Aij
zu vermerken. Schließlich ist (c) gleichbedeutend mit der positiven Definitheit des inneren Produkts, weil wegen (a) die Gleichung k~xk2 = ~x∗ A~x gilt.
2.
? (Choleskyzerlegung) Jede positiv definite Hermitische Matrix (ihre definierende
Eigenschaft ist, daß sie bei Transponieren und komplex-Konjugieren aller Einträge in
sich selbst übergeht) erlaubt eine Zerlegung der Form A = LL∗ , mit L untere Dreiecksmatrix.
Antwort: Hier ist ein Beweis gefragt, und üblicherweise wird er mittels Induktion nach
n geführt: Ist n = 1, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls erlaubt die Matrix die Blockzerlegung
α ~a∗
A=
~a B
und man bestätigt durch Rechnung
!
√
~0∗
α ~0
1
A=
√1 ~
~0 B − 1 ~a∗~a
a I
α
α
√
α
~0
√1 ~
a∗
α
!
I
Hiermit ist ein 1. Schritt des Choleskyverfahrens getätigt. Faßt man ihn als Koordinatentransformation auf, so erweist sich die mittlere Matrix wieder als positiv definit,
insbesondere die (n − 1) × (n − 1) Matrix B − α1 ~a∗~a, die laut Induktionsvoraussetzung
eine Zerlegung der Form U U ∗ mit U untere Dreiecksmatrix besitzt. Hieraus ergibt sich
!
!
√
√
α ~0
α ~0
1 ~0∗
L=
=
,
√1 ~
√1 ~
~0 U
a I
a U
α
α
welche sichtlich untere Dreiecksmatrix mit A = LL∗ ist.
308
ANHÄNGE
3.
? Es sei A hermitisch. Dann hat A eine Eigenbasis orthogonaler Vektoren. Ordnet
man sie in eine Matrix S, so ist diese unitär, d.h. erfüllt S ∗ S = I und es gilt AS = SΛ,
wobei Λ eine Diagonalmatrix aus Eigenwerten von A ist. Es ist die i.te Spalte von S
Eigenvektor zum i.ten Eigenwert (als Diagonalelement in Λ). Die Matrix Λ ist reell und
hat genau dann positive Diagonalelemente, wenn A positiv definit ist.
Antwort: Auch hier sind Beweise gefragt. Ist λ ein Eigenwert, so gibt es ein ~v 6= 0 mit
A~v = λ~v . Dann ist ~v ∗ A~v = λ~v ∗~v , also
~v ∗ A~v = λk~v k2 .
Da das Element auf der linken Seite reell ist. ist es auch λ. Somit kann A nur reelle
Eigenwerte haben.
Um die Existenz der Eigenbasis zu zeigen, benützen wir Induktion. Für eine n × nMatrix ist nichts zu zeigen. Sei nun λ ein Eigenwert und ~v ein zugehöriger Eigenvektor
(der Länge 1). Ist dann ~u ∈ ~v ⊥ , so auch A~u, weil
~v ∗ A~u = ~u∗ A∗~v = ~u∗ A~v = λ~u∗~v = 0,
also ist A~u auch im Orthogonalraum zu ~v . Ergänzt man ~v mit einer ONB des Orthogonalraumes, so gewinnt A bezüglich der neuen ONB von Cn eine Blockstruktur
α ~0∗
A= ~
0 B
mit B hermitisch. Danach ergibt die Induktionsannahme die Existenz von S mit den
geforderten Eigenschaften.
? Welche Bedeutung für innere Produkte hat die unitäre Diagonalisierbarkeit?
Antwort:
Charakterisierung innerer Produkte im Cn : Ist ein beliebiges inneres Produkt
gegeben, so gibt es stets eine ONB in Cn und positive Zahlen λi mit
h~x, ~y i =
X
λi x̄i yi .
i
Energiemethode, Hermitesche Formen: Man bestimme die Extrema von ~x∗ A~x
unter der Nebenbedingung ~x∗ B~x = 1 für hermitisches A und positiv definites
hermitisches B. Es wird uns beim Problem der Eigenfunktionen der gespannten
Saite in Kapitel B (S.321) begegnen und ist auch zur Bestimmung der
einer
pPNorm
n
2
Matrix L bezüglich der euklidischen Metrik (gegeben durch k~xk=
i=1 |xi | =
∗
~x ~x) wichtig, weil
kLk= sup{kL~xk | ~x∗ ~x = 1}
ist, also hierbei B = I gilt.
A.4. Banachräume
309
Die Aussage besteht darin, daß man eine reguläre Matrix X und eine Diagonalmatrix Λ mit
AX = BXΛ
finden kann. Die Spalten von X sind, wie man durch Matrizenrechnung sofort
bestätigt, verallgemeinerte Eigenvektoren
A~vi = λi B~vi .
Der Nachweis ist wie folgt: Zunächst existiert eine unitäre Matrix U sodaß für
~x = U ~y in neuen Koordinaten für ~y ∗ U ∗ AU ~y unter der Nebenbedingung ~y ∗ D2 ~y = 1
gesucht sind. Setzt man ~y = D~z mit D Diagonalmatrix mit positiven Einträgen,
so hat man nunmehr ~z∗ DU ∗ AU D~z unter der Bedingung ~z∗~z = 1 auf Extrema
zu untersuchen. Schlußendlich findet sich eine unitäre Eigenbasis T der hermitischen Matrix D−1 U ∗ AU D−1 mit T ∗ D−1 U ∗ AU D−1 T = Λ diagonal und reell. Die
schlußendliche Koordinatentransformation ~z = T w
~ führt dazu, w
~ ∗ Λw
~ unter der
∗
Nebenbedingung w
~ w
~ = 1 auf Extrema zu untersuchen.
Als Nebenprodukt erweist sich X := U D−1 T als gemeinsame Eigenbasis, nämlich
AX = BXΛ
Singulärwertzerlegung: Es sei A eine beliebige (komplexe) n×n-Matrix.
gibt
2 Dann
D 0
mit D
es Orthonormalbasen U und V und eine Diagonalmatrix Λ =
0 0
eine r × r Diagonalmatrix mit lauter positiven Einträgen, sodaß die Wirkung von
A durch die Formel
r
X
A~x =
di h~x, ~ui i~vi
i=1
beschrieben werden kann. Dies wiederum verhilft bei singulärem A zu einer Lösung
von
A~x = ~b
durch
~x =
r
X
1 ~
hb, ~vi i~ui
di
i=1
sofern ~b im Orthogonalraum von ker A∗ liegt. Der Wert der Zerlegung liegt darin,
auch über die “Kleinheit” von di entscheiden zu können, ob es “wie eine Null”
behandelt werden soll.
Die Matrizen U und V werden wie folgt gefunden: Zunächst ist U eine Eigenbasis
des offenkundig hermitischen Operators A∗ A, derart, daß die ersten r Spalten
2 Ur zu
D 0
∗
den nicht verschwindenden Eigenwerten gehören. Da dann A AU = U
0 0
ist mit D eine r × r Matrix mit positiven Einträgen, kann V durch Angabe von r
Spaltenvektoren mit der Eigenschaft Vr = AUr D−1 und die verbleibenden Spalten
eine ONB des Kerns von A∗ .
310
ANHÄNGE
A.4.5
Beweise zu Anmerkung 226 (S.245)
Beispiel 292 Hier sollen fehlende Beweise nachgetragen werden.
Cauchy-Bunjakowskiĭ-Schwarzsche Ungleichung: Ausgehend von 0 ≤ hkx − ly, kx −
lyi = |k|2 kxk2 − k̄lhx, yi−k¯lhy, xi+|l|2 kyk2 wählt man k := kyk2 und l := hy, xi = hx, yi
und findet nach kurzer Rechnung
0 ≤ kyk2 (kxk2 kyk2 − |hx, yi|2 ),
woraus die Ungleichung unmittelbar folgt.
Sesquilinearität: Es ist
hku + lv, wi =
=
=
=
hw, ku + lvi
khw, ui + lhv, wi
k̄hw, ui + ¯lhv, wi
k̄hu, wi + ¯lhv, wi.
(H, k · k) ist Prähilbertraum: Zunächst folgt aus der Definitheit des inneren Produkts
jene der Norm. Um die Dreiecksungleichung ku + vk ≤ kuk + kvk nachzuweisen, genügt
es ku + vk2 ≤ (kuk + kvk)2 nachzuweisen, also (nach ein wenig Rechnung)
<(hu, vi) + <(hv, ui) ≤ 2kukkvk.
Weil <hu, vi ≤ |hu, vi| und <hv, ui ≤ |hu, vi| folgt der Nachweis nun aus der CauchySchwarzschenpUngleichung. Schließlich
ergibt Benützung der Sesquilinearität kkuk =
p
p
hku, kui = k̄khu, ui = |k| hu, ui = |k|kuk, also die Homogeneität.
Polarformen: Verifizieren ergibt sich durch Benützen der Definition der Norm kwk2 =
hw, wi durch das innere Produkt, danach Benützen der (Sesqui)linearität und Wegkürzen
der Terme, es sei an der reellen Polarform demonstriert:
1
2 (||u
+ v||2 − ||u||2 − ||v||2 ) = 21 (hu + v, u + vi − hu, ui − hv, vi)
= 12 (hu, ui + 2hu, vi + hv, vi − hu, ui − hv, vi)
= hu, vi.
Parallelogrammregel: Der Beweis der Parallelogrammregel geht genauso wie jener der
Polarformen, bitte selbst ausführen.
Die elementargeometrische Deutung der Namensgebung sei an einem wie in der Schule
mit Seiten a, b, c, d und Diagonalen e, f beschrifteten Parallelogramm erläutert. Dann
ist
a2 + b2 + c2 + d2 = e2 + f 2
und wenn man ||u|| = a = c, ||v|| = b = d, e = ||u+v|| sowie f = ||u−v|| einsetzt, erhält
man die Parallelogrammregel auf elementarem Weg. Um nun eben diese elementare
Beziehung von Seiten und Diagonalen in einem beliebigen Parallelogramm zu verstehen,
benützen wir den Kosinussatz auf 2 Arten:
A.4. Banachräume
2
a
b2
2
ef
f
=
− 2 cos(γ)
+
2
2
22
e 2 f 2
ef
=
+
− 2 cos(π − γ)
2
2
22
e 2
311
o
ooo f
o
o
o
γ
ooo
ooo
a
o
ooo
o
o
o
ooo b
ooo
e
Addition der Gleichungen und Beachten von cos(γ) = − cos(π − γ) und a = c, sowie
b = d ergeben die elementare Form der Parallelogrammregel.
Der algebraische Nachweis, d.i. das Nachrechnen der Parallelogrammregel und geometrischen Deutung der Vektoren als Parallelogramm in der euklidischen Ebene erlauben es,
die Parallelogrammregel als Aussage über Elementargeometrie der euklidischen Ebene
aufzufassen.
* Parallelogrammregel ⇒ Prähilbertraum: Es soll hier nur der Fall K = IR gezeigt
werden. Dann ist notwendigerweise (weil ja im Falle der Richtigkeit der Aussage die
Polarform gilt)
1
hu, vi := (ku + vk2 − ku − vk2 ).
4
(Definitheit) Es ergibt sich für u = v hu, ui = kuk2 und somit folgt die Definitheit
aus der Definitheit der vorgegebenen Norm. Die Symmetrie ist aus der Formel sofort
ersichtlich.
Der Nachweis der Linearität in u gelingt in einigen Schritten.
• Zunächst wird lediglich T (u, v, w) := hu + v, wi − hu, wi − hv, wi = 0 gezeigt:
Einsetzen der Definition von h·, ·i ergibt
1
T (u, v, w) = (ku + v + wk2 − ku + vk2 − ku + wk2 − kv + wk2 + kuk2 + kvk2 + kwk2 .
2
Ein Kunstgriff ist nötig, um den Term ku+v+wk2 durch die Normen von Vektoren
mit lediglich 2 oder 1 der Vektoren u, v, w auszudrücken, und das geht z.B. so, daß
man die Parallelogrammregel verwendet:
ku + v + wk2 + ku − (v + w)k2
= 2(kuk2 + kv + wk2
−k(u − v) + wk2 − ku − (v + w)k2 = −2(ku − vk2 − kwk2
k(u + w) − vk2 + ku + w + v)k2
= 2(ku + wk2 + kvk2
Nach Addition der drei Gleichungen und Kürzen durch “2” verbleibt
ku + v + wk2 = −ku − vk2 − kwk2 + kuk2 + kv + wk2 + ku + wk2 + kvk2 .
312
ANHÄNGE
Setzt man dies in das T (u, v, w) ein, so verbleibt ein Ausdruck, der kein w enthält
und der durch Anwendung der Parallelogrammregel für u und v sich als Null
erweist. Also hat man
hu + v, wi = hu, wi + hv, wi
gezeigt.
• Es fehlt noch, hku, vi = khu, vi für alle k ∈ IR zu zeigen. Aus dem vorigen Punkt
und vollständiger Induktion ergibt sich für alle n ∈ IN
hnu, vi = nhu, vi
Aus der DN von h·, ·i ergibt sich unmittelbar h−u, vi = −hu, vi. Somit hat man
insgesamt hku, vi = khu, vi für alle k ∈ ZZ. Nun sei k = pq eine beliebige rationale
Zahl, wobei q ∈ IN ist. Dann ist
p
p
phu, vi = hpu, vi = hq
u , vi = qh u, vi
q
q
also pq hu, vi = h pq u, vi. Somit gilt hku, vi = khu, vi für alle rationalen Zahlen.
Schlußendlich benützt man ein Stetigkeitsargument. Die Funktion k 7→ kkuk ist
stetig, sodaß die Funktion k 7→ hku, vi − khu, vi ebenfalls stetig auf IR ist. Da Q
dicht liegt, und die Funktion auf Q verschwindet, ist sie Null.
A.4.6
Beweis für die Äquivalenz der in Anmerkung 234 (S.254) gegebenen
Charakterisierungen eines vollständigen ONS
Beispiel 293 “1 ⇒2”: Es sei h ∈ S ⊥ beliebig. Da L(S) dicht
> 0 eine
P liegt, gibt es zu jedem
P
endliche Teilmenge S0 von S und ein Linearkombination s∈S0 cs s mit kh − s∈S0 cs sk < .
Da bekanntlich (Mathematik 2 ET)
X
h0 :=
hs, his
s∈S0
jenes Element in L(S) mit minimalem Abstand zu h ist, und hs, hi = 0 ergibt sich
X
khk = kh −
hs, hisk < .
s∈S0
Da beliebig positiv war, folgt h = 0, wie behauptet.
“2 ⇒3”:
Es sei S0 eine beliebige endliche Teilmenge von S. Aus der Ungleichung
X
0 ≤ kh −
hs, hisk2
s∈S0
und Umformung der rechten Seite ergibt ein wenig Rechnung
X
|hs |2 ≤ khk2 .
s∈S0
A.4. Banachräume
313
Hieraus ergibt sich insbesondere, daß die unendliche Reihe
X
|hs |2 ≤ khk2
s∈S
P
P
erfüllt, somit hs s ein in H wohldefiniertes Element ist. Danach ist h− s∈S hs s orthogonal
auf alle Elemente s ∈ S und muß laut Voraussetzung gleich Null sein. Die Abzählbarkeit ist
eine Konsequenz der Fußnote22 .
“3 ⇒4”: Es sei h ∈ H beliebig. Da S vollständig ist, hat man
X
h=
hs s
s∈S
mit hs = hs, hi. Diese Gleichung bedeutet für beliebiges positives die Existenz einer endlichen Teilmenge S0 von S mit
X
hs sk < .
kh −
s∈S0
Quadrieren und etwas Umformen führt auf
X
khk2 −
|hs |2 < 2 ,
s∈S0
aus der insbesondere
khk2 ≤
X
|hs |2
s∈S
folgt. Umgekehrt ergibt sich aus 0 ≤ kh − s∈S0 hs sk2 durch ähnliche Rechnung sofort
X
|hs |2 ≤ khk2 ,
P
s∈S
also insgesamt die Parsevalsche Gleichung. Zur Abzählbarkeit siehe die schon erwähnte Fußnote.
“4 ⇒1”: Angenommen L(S) ist nicht dicht in H. Dann gibt es ein h 6= 0 und ein > 0
sodaß für alle b ∈ L(S) stets
kb − hk ≥ ist. Die Gültigkeit der Parsevalschen
Gleichung zieht die Existenz
einer endlichen Teilmenge
P
P
S0 von S nach sich mit khk2 − s∈S0 |hs |2 + . Es ist b := s∈S0 hs s in L(S) und
X
X
kh − bk2 = kh −
hs sk2 = khk2 −
|hs |2 < ,
s∈S0
s∈S0
ein Widerspruch.
22
P Es sei I eine Menge und {ai | i ∈ I} eine Menge positiver Zahlen, für die das Supremum über alle Summen
i∈J ai mit endlicher Teilmenge J von I endlich ist. Es wird behauptet, daß I höchstens abzählbar ist. Ist
nämlich n ∈ IN beliebig, so kann die Menge In := {i ∈ I | ai ≥ n1 } höchstensSendlich sein, weil ja sonst
endliche Teilsummen
beliebiger Größe fabriziert werden könnten. Danach ist I ⊆ ∞
n=1 In abzählbar. Dies im
P
Auge kann i∈I ai als das genannte Supremum definiert werden, und die Reihe konvergiert genau dann, wenn
die Menge der i mit ai 6= 0 höchstens abzählbar ist, und demnach die Reihe im üblichen Sinn konvergiert.
314
ANHÄNGE
Existenz einer ONB: Hat der Hilbertraum eine abzählbare dichte Teilmenge (wie z.B.
L2 (I) für kompaktes Intervall I), so genügt es, das Orthogonalisierungsverfahren heranzuziehen. Im allgemeinen Fall benötigt man transfinite Induktion. Der Raum L2 (IR, C)
ist nicht separabel. Eine ONB kann mit konstruktiven Mitteln nicht angegeben werden.
Isometrie zu l2 (S): Die Parsevalsche Gleichung zeigt, daß jedem h ∈ H ein Element in
l2 (S) zuordenbar ist. Offenkundig hat
Pes die gleiche Norm. Sie zeigt auch, daß umgekehrt
jede Funktion a in l2 (S) durch h = s∈S as s ein Element in H festlegt deren Bild a ist.
Satz von Riesz: Es ist bequem, die Existenz einer ONB S voraus zusetzen. Danach sei
φ ∈ H0 . Ist S0 endliche Teilmenge von S, so ergibt sich für h ∈ L(S0 )
X
φ(h) =
hs φ(s),
s∈S0
und wegen der Beschränktheit von φ
|φ(h)| ≤ kφkkhk,
sodaß für h :=
P
s∈S0
φ(s)s sich
X
2
|φ(s)| ≤ kφk
sX
s∈S0
und nach Kürzen
|φ(s)|2
s∈S0
sX
|φ(s)|2 ≤ kφk
s∈S0
ergibt. Dies zeigt, daß der Vektor
R(φ) :=
X
φ(s)s
s∈S
ein wohldefiniertes Element in H ist, und sichtlich gilt φ(h) = hR(φ), hi für beliebiges
h ∈ H.
A.4.7
Distributionen
Definition 294 Es sei I = [0, 1] oder IR.
(Schwartz)-Testfunktionen: Jede unendlich oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger heißt Testfunktion. Ist I = IR, so ist eine Schwartztestfunktion eine unendlich oft differenzierbare Funktion φ, für welche
|xm φ(n) |
für beliebe Potenz xm und Ableitung der Ordnung n von φ beschränkt ist. Die Testfunktionen bilden einen Vektorraum D, die Schwartzfunktionen einen Vektorraum S.
A.4. Banachräume
315
Konvergenz in D und S: Auf D wird ein Konvergenzbegriff durch
φk → φ
falls alle φk außerhalb einer kompakten Menge K verschwinden und auf K gleichmäßige
(n)
(n)
Konvergenz der φk gegen φk für alle Ableitungsordnungen n = 0, 1, 2, . . . gilt.
Auf S wird ein Konvergenzbegriff
φk → φ
durch gleichmäßige Konvergenz aller Ableitungen eingeführt.
(Temperierte) Distributionen: Jedes folgenstetige Element des Dualraumes von D (von
S) heißt Distribution oder verallgemeinerte Funktion (temperierte D. bzw. temperierte v.F.). Die Notation hd, φi statt d(φ) für d (temperierte) Distribution und φ
(Schwartz)testfunktion ist geläufig.
Distributionenraum: Die Menge der (temperierten) Distributionen unter der punktweisen
Addition (d.i. hd1 + d2 , φi := hd1 , φi + hd2 , φi) und Multiplikation mit Skalaren (d.i.
hrd, φi := rhd, φi) bilden einen Vektorraum, den topologischen Dualraum D0 (bzw. S 0 )
des topologischen Vektorraumes der (Schwartz)testfunktionen.
Konvergenz im Distributionenraum: Man sagt
dn → d
im Distributionenraum, falls
hdn , φi → hd, φi
für alle (temperierten) Testfunktionen gilt.
Anmerkung 295 Die wichtigsten Fakten sind:
Gewöhnliche Funktionen als D.: Ist f Riemann
integrierbar (bzw., allgemeiner LeR
besgue integrierbar), so wird durch φ → I f (x)φ(x) dx eine (temperierte) Distribution definiert, die üblicherweise als hf, φi geschrieben wird. Ist d eine (temperierte) Distribution, so gibt es höchstens ein stetiges f mit hd, φi = hf, φi für alle φ
(Dubois-Reymond).
Träger einer Distribution: Für jede stetige Funktion ist ihr Träger der Abschluß der
Menge {x | f (x) 6= 0}. Für eine Distribution d gehört ein Punkt x genau dann
nicht zum Träger, wenn er eine offene Umgebung besitzt, sodaß hd, φi = 0 für jede
Testfunktion mit Träger in dieser offenen Umgebung gilt.
Dirac δ-Funktion und Folgen vom Typ δ: Die Abbildung δx mit hδx , φi := φ(x)
heißt Dirac δ Funktion (und ist keine Funktion im klassischen Sinn). Eine Folge
316
ANHÄNGE
vom Typ δ ist eine Folge {fn }∞
n=1 von (stetigen) Funktionen, die im Sinne der
Distributionenkonvergenz gegen δx konvergiert. So etwa ist fn (x) = n2 auf [− n1 , n1 ]
und Null sonst eine gegen δ = δ0 konvergente Folge. Die Folge
1
√
1
σn 2π
2
e− 2 (x/σn )
ist eine Folge vom Typ δ im Raum S 0 , falls nur σn → 0 konvergiert. Der Träger der
Diracfunktion δx ist der Punkt x.
Faltung und Glättungsoperatoren: Unter
Z ∞
f (t)g(x − t) dx
f ∗ g(x) :=
−∞
wird für stetiges f und g eine Testfunktion die Faltung definiert. Unter Benützung
von Ta (f )(x) := f (x − a) und fˇ(x) := f (−x) läßt sich das sehr kurz als f ∗ g(x) =
hf, Tx (fˇ)i hinschreiben. Mittels dieser Schreibweise läßt sich allgemeiner für eine
Distribution
(d ∗ φ)(x) := hd, Tx (φ̌)i
definieren. Dies erweist sich stets als unendlich oft differenzierbare Funktion. Wählt
man für φ insbesondere eine Testfunktion, die außerhalb des Einheitsintervalls verschwindet, positiv ist und Fläche 1 besitzt, so zeigt sich, daßfür φ (x) := 1 φ(x)
man
d ∗ φ → T
erreicht. Es ist d ∗ φ eine Glättung von d. Als wesentliche Konsequenz hat man, daß
die unendlich oft differenzierbaren Funktionen eine dichte Teilmenge von D0 (bzw.
S 0 ) bilden und somit folgenstetige Operatoren auf C ∞ (I) eine eindeutige stetige
Fortsetzung in den Distributionenraum besitzen.
Verallgemeinerte Ableitung(en): Zunächst hat man
Z ∞
Z ∞
hf, φ0 i =
f (x)φ0 (x) dx = φ(x)f (x)|∞
−
f 0 (x)φ(x) dx = −hf 0 , φi
−∞
|
{z
}
−∞
∞
=0
für beliebiges im klassischen Sinn differenzierbares f . Differenzieren erweist sich als
folgenstetig. Somit ist
hd0 , φi := −hd, φ0 i
eine stetige Fortsetzung des Differenzierens auf den Distributionenraum.
Insbesondere ist für eine monotone beschränkte Funktion F die verallgemeinerte
Ableitung durch
X
F0 = f +
(F (s+ ) − F (s− ))δs
s
gegeben, wobei s alle Sprungstellen durchläuft und f die klassische Ableitung von
F auf allen offenen Intervallen zwischen den Sprungstellen.
A.4. Banachräume
317
0
0
Konvergenz und
folgt
PDifferenzieren:P Ist0 dn →0 d, so gilt dn → d . Insbesondere
für Reihen n dn → S stets n dn → S . Klassisches Beispiel ist f (t) = π4 |t| auf
[−π, π]. Diese Funktion besitzt eine punktweise konvergente Fourierentwicklung
∞
f (t) =
π 2 X cos(2n + 1)t
−
.
8
(2n + 1)2
n=0
Diese Reihe ist auch konvergent als Summe von Distributionen und erlaubt daher
distributionelles gliedweises differenzieren, d.h.
0
f =
∞
X
sin(2n + 1)t
n=0
2n + 1
und sogar noch klassische Ableitung in allen nicht ganzzahligen Vielfachen von π.
Nochmaliges distributionelles Differenzieren führt auf
f 00 =
∞
X
cos(2n + 1)t.
n=0
Aus einer Skizze entnimmt man die Sprungstellen der Höhe
mit k ∈ ZZ, somit ergibt sich
π
2
in allen Punkten kπ
∞
X
πX
(−1)k δ(t − kπ) =
cos(2n + 1)t,
2
n=0
k∈Z
Z
eine Reihenentwicklung von Distributionen.
Multiplizieren einer C ∞ Funktion mit Distribution: Es läßt sich durch
hf d, φi := hd, aφi
das Produkt einer C ∞ -Funktion f mit einer Distribution d erklären.
Rieszscher Darstellungssatz: Eine Distribution d ist positiv, falls jede nicht negative
Testfunktion φ einen nicht negativen Wert hd, φi erhält. Jede solche Distribution
läßt sich als Radonmaß beschreiben, d.h. es gibt ein f , welches absolut
R ∞ integrierbar
bezüglich des Lebesgueintegralbegriffes ist, und sodaß hd, φi = −∞ f (x)φ(x) dx
gilt.
Als Konsequenz zeigt man, daß eine Distribution d in D0 im beschränkten Intervall
J als Ableitung d = f (n) endlicher Ordnung einer in J stetigen Funktion aufgefaßt werden kann. (Es war dies auch der Ausgangspunkt der russischen Schule –
Distributionen als verallgemeinerte Ableitungen stetiger Funktionen zu definieren).
318
ANHÄNGE
Schwache Formulierungen (Variationsproblem, Galerkinmethode): Ist ein Variationsproblem
δJ(u) = 0
R1
mit J(u) := 0 L(x, u, u0 ) dx vorgegeben, so ergibt sich zunächst
Z
0 = δJ(u)(h) =
1
(Lu h + Lu0 h0 ) dx,
0
wobei noch Randbedingungen zu berücksichtigen sind. Für gewisse Klassen von
Problemen ergibt sich eine distributionelle Auffassung von δJ(u), etwa im Beispiel
Z
J(u) :=
0
1
1 0 2 1 2
(u ) − u − f u du,
2
2
wo sich
Z
0 = δJ(u)(h) =
1
(u0 h0 − uh − f h) dx
0
ergibt. Sind die Randbedingungen gleich Null, so folgert man
0 = hu0 , φ0 i − hu, φi − hf, φi
also eine Differentialgleichung
−u00 − u − f = 0
für die Distribution u und die Distribution f . Hier hat man insofern Glück, als
man die Eulergleichung distributionell auffassen kann. Diese distributionelle Differentialgleichung heißt schwache Formulierung, falls f selbst noch lokal integrierbare
Funktion ist.
Auch für DGL, die nicht als Eulergleichungen eines Variationsproblems auffaßbar
sind, lassen sich schwache Formulierungen aufstellen. Diese Idee liegt bei Galerkinverfahren zugrunde.
DGL in einer Variablen - lineare Systeme: Der Wert der D-Theorie liegt in der
Aussage, daß jedes lineare System
~x˙ = A(t)~x(t) + f~(t)
mit A unendlich oft differenzierbar, für f~ lediglich die klassischen Lösungen hat
(aufgefaßt als Distributionen). Für beliebige Distribution f~ gibt es eine Distributionenlösung ~x.
A.4. Banachräume
319
DGL mit konstanten Koeffizienten - Grundlösung -Greenfunktion: Zu jeder
DGL mit konstanten Koeffizienten, etwa
−u00 − u = f
gibt es stets eine Grundlösung g (Satz von Malgrange-Ehrenpreis), d.i. eine Lösung
von
−u00 − u = δ
Aus ihr kann durch u = g ∗ f eine partikuläre Lösung der DGL gewonnen werden.
Es ist g die Greenfunktion des Problems. Erweist sich u als stetige Funktion, so
kann die Lösbarkeit von Randwertaufgaben entschieden werden. Die DGL wird im
distributionellen Sinn gelöst, die Randwerte durch Interpretation der Distribution
als stetige Funktion.
Es erweist sich Kf (x) := g ∗ f (x) als kompakter Operator, sofern man f ∈ L2 (I)
annimmt.
320
ANHÄNGE
Anhang B
Saite - etwas mathematische Physik
B.1
Mathematisches Modell und Allgemeines zum Lösen
Hier in diesem kurzen Abschnitt soll Grundsätzliches zur mathematischen Modellbildung und
(numerischen) Lösung gesagt werden. Um nämlich zu effizienter mathematischer Simulation
zu kommen, bedarf es der korrekten Gestelltheit des Problems:
Existenz: Es sollte eine Lösung geben.
Eindeutigkeit: Die Lösung sollte eindeutig sein.
(Numerische) Stabilität: Kleine Änderungen (Fehler der Messung, numerische Fehler)
sollten auch das Resultat nur geringfügig ändern.
B.1.1
Die involvierten physikalischen Begriffe
1
0
u
Auslenkung u, Randwerte: Eine als auf I := [0, 1] definierte stetige Funktion u gebe die
Auslenkung einer Saite von der Nullage an. Die Werte u(0), u(1) (bzw. ihrer Ableitungen
u0 (0), u0 (1), u00 (0), u00 (1) etc.) am Rand heißen Randwerte. Es wird von sehr kleinen
Auslenkungen die Rede sein, sodaß mancherlei Approximationen ins Spiel kommen.
321
322
Saite - etwas mathematische Physik
1
2
Von der Zugspannung geleistete Arbeit
R1
0
(u0 )2 dx:
∆x
∆u
∆ x2 + ∆ u2
Es wird vom Hookeschen Gesetz ausgegangen,
welches besagt, daß die Saite sich im
√
Stück ∆x von der Länge ∆x in die Länge ∆x2 + ∆u2 verlängert hat, somit die Zugspannung Arbeit proportional zu
s

2
p
p
∆u
∆x2 + ∆u2 − ∆x =  1 +
− 1 ∆x ≈ ( 1 + u0 (x)2 − 1)∆x
∆x
leistet.
Unter der weiteren Annahme, daß u0 (x) “sehr klein” ist, ergibt die Entwicklung
√
1 + a = 1 + 12 a + o(a) als ausreichende Approximation dieser Arbeit
1 0 2
u (x) ∆x.
2
Insgesamt ergibt sich unter Beachtung einer vom Ort abhängigen Materialfunktion p
als Verformungsenergie
Z 1
1
Ev (u) :=
p(x)(u0 )2 (x) dx.
2
0
Die den Elastizitätsmodul einbeziehende Funktion p wird im allgemeinen positiv und
hinreichend oft differenzierbar sein, manchmal nur stückweise, wenn die Saite aus verschiedenen Materialien an einer Stelle zusammengefügt worden ist. Gelegentlich wird
sie (in unseren Modellen) am Rand Null sein dürfen. Es wird davon ausgegangen, daß
horizontale Verschiebungen nicht stattfinden, sodaß die in u-Richtung wirkende Komponente alleine der Verformung der Saite entgegenwirkt.
R1
Gewichtsfunktion, Potential Ep (u) := 0 21 q(x)u(x)2 dx. im äußeren Feld: Gelegentlich
wird sich die Saite in einem Kraftfeld befinden, welches linear in u ist (etwa, wenn die
Saite um die Nullage rotiert). Die Arbeit, welche diese Kraft verrichtet ist unter Einbeziehen der Gewichtsfunktion, d.i. der Massendichte q(x) von der Gestalt
Z
Ep (u) :=
0
1
1
q(x)u(x)2 dx.
2
Die Materialfunktion q erfüllt ähnliche Annahmen wie p und bezieht die Massendichte
entlang der Saite ein.
B.1. Mathematisches Modell und Allgemeines zum Lösen
323
Arbeit einer in u-Richtung wirkenden Kraftdichte entlang der Saite: Gelegentlich
leistet externe Kraft mit der Kraftdichte f entlang der Saite in u-Richtung ebenfalls
Arbeit, nämlich
Z
1
Ef (u) :=
f (x)u(x) dx.
0
Es wird f recht allgemein sein dürfen, z.B. die Deltafunktion, oft jedoch auch stetig
differenzierbar, z.B. konstant (Gravitation).
B.1.2
Mathematische Physik – Prinzip der kleinsten Wirkung - Variationsproblem
Es ist
Z
1
J(u) := Ev (u) − Ep (u) − Ef (u) =
0
1
pu02 − qu2 − uf
2
dx
die Energiebilanz
R 1 für eine unter diesen Kräften befindlichen Saite. Dabei ist, üblicher Konvention folgend, 0 uf dx im Sinne von hf, ui, also Anwendung der distributionellen Kraftdichte
auf die Funktion u zu verstehen (Anmerkung 295 (S.315)). Als Kandidaten für u im stationären Zustand, d.h., wo die Saite nicht in “Bewegung gerät”, also im Gleichgewicht ist
(bezüglich eines mit der Saite mitrotierenden Koordinatensystems in “Ruhe befindet”) erweisen sich die stationären Lösungen u des Variationsproblems
δJ(u)(h) = 0
für alle (z.B.) 2 mal stetig differenzierbaren h. Das interpretiert man oft so, daß “in Summe”
so wenig als möglich Energieumwandlung von einer Art der Energie in eine andere stattfindet
– insbesondere dann, wenn das Gleichgewicht stabil ist, ansonst eher wie einen Flachpunkt
bzw. Sattelpunkt in der Theorie der Extremwertaufgaben.
B.1.3
Variationsformulierung – distributionelle Lösung
Es ergibt sich
Z
δJ(u)(h) =
1
(pu0 h0 − quh − f h) dx
(B.1)
0
wie Anmerkung 295 (S.315) ausgeführt, und in Beispiel 198 (S.213) in einem Spezialfall
vorgerechnet worden ist. Hierin ist h ∈ D(I) beliebig, also eine C ∞ -Funktion mit Träger
ein echtes Teilintervall von I. Hieraus findet man durch partielle Integration zunächst die
Eulergleichung
− (pu0 )0 − qu − f = 0
(B.2)
und es sind noch Vorgaben an Randwerte zu setzen, weil die Gleichung, analog wie in der
Theorie der DGL nicht eindeutig lösbar ist.
Man faßt u und f als Distributionen auf, solange man für h lediglich Testfunktion, deren
Träger die Punkte 0 und 1 nicht enthält, wählt. Danach weiß man, daß jede Distributionenlösung u eine Funktion auf I sein muß. Allerdings hat sie Ableitungen vorerst nur im
distributionellen Sinn (=verallgemeinerte Ableitungen).
324
Saite - etwas mathematische Physik
Ob, und inwieweit distributionelle Lösungen durch Randwerte bestimmt werden können, ist
nicht grundsätzlich einfach, vor allem dann, wenn p bzw. q nicht konstant sind. Hier erweist
sich die Hilbertraumformulierung (Soboleffnormen) im allgemeinen als zweckmäßiger.
B.1.4
Hilbertraumformulierung – Soboleffnormen
Auch inwieweit eine etwaige distributionelle Lösung klassische Ableitungen hat, hängt im
weiteren von p, q und f , bzw. den Ableitungsordnungen der Randwerte ab. Diese Ableitungsordnungen rufen die Soboleffnormen auf den Plan. Wie nämlich in Beispiel 211 (S.228) 2.
vorgeführt wurde, sind die Elemente im Hilbertraum H 1 (I), der Vervollständigung der auf I
stetig differenzierbaren Funktionen bezüglich der Norm
s
Z 1
kuk =
(u2 + u02 ) dx
0
als stetige Funktionen auffaßbar. Deshalb ist H 1 (I) ein guter Kandidat für Randwertprobleme, die lediglich u(0) und u(1) involvieren. Für höhere Ableitungen sind es wohl eher
k
Teilräume
R 1 von0 H0 (I) mit k ≥ 1. Eine wesentliche Beobachtung ist jedoch die bilineare Struktur von 0 (pu v − quv) dx bezüglich u und v.
R1
Besonders interessant ist dabei der erste Ausdruck 0 pu0 v 0 dx, weil er die höchsten Ableitungsordnungen involviert und der Norm auf H01 (I), dem Raum mit Randdaten u(0) = u(1) =
0, sehr ähnlich ist. Tatsächlich sind unter der Annahme, daß p(x) durch eine positive
KonqR
1
0
2
stante nach unten beschränkt ist (sogenannte Koerzivität), die Normen kukE :=
0 p|u | dx
und die H01 -Norm äquivalent, wie man leicht einsieht.
Jedenfalls versucht man, einen Hilbertraum H zu finden, der a) in H 1 (I) liegt, und b)
Interpretation der Randdaten erlaubt.
Hat man H gefunden (hängt von den Randbedingungen an u ab), so können ιp (u)(v) :=
R1
R1 0 0
0
0 pu v dx und ιq (u)(v) := 0 quv dx als Abbildungen ιp bzw ιq von H in den Dualraum H
aufgefaßt werden. In abstrakter Form findet man für alle v ∈ H,
h(Rιp (u) − Rιq (u) − Rf ), viH = 0
wobei u die Randbedingen zu erfüllen hat. Es ist dabei R die Rieszabbildung. Die Menge der
u ∈ H, welche die (stets homogenen linearen) Randbedingungen erfüllt, ist ein abgeschlossener Teilraum U von H.
B.1.5
Lösungstechniken
Aus dem Zusammenspiel der beiden Formulierungen ergeben sich folgende Lösungstechniken:
Distributionen: Wenn p, q und f hinreichend einfache Form haben, können oft Distributionenlösungen kalkülmäßig rasch gefunden werden. Ist z.B. u eine Lösung von −(pu0 )0 −
qu = δa , so ist bekanntlich u ∗ f eine Distributionenlösung von −(pu0 )0 − qu = f (Anmerkung 295 (S.315)).
B.1. Mathematisches Modell und Allgemeines zum Lösen
325
Rieszabbildung: Eine
R 1 explizite Beschreibung der Rieszabbildung gelingt sehr oft in der
Form hRu, f i = 0 G(x, t)f (t) dt, wobei G ein explizit bestimmbarer Integralkern, d.h.
Funktion in 2 Variablen ist, eine sogenannte Greenfunktion.
FEM – Finite Elementmethode: Die Grundidee besteht darin, einen endlich-dimensionalen Raum V durch eine ausgezeichnete Basis von z.B. Hutfunktionen vorzugeben, die
bereits, jede einzeln, die Randbedingungen erfüllen. Danach wird das Variationsproblem
auf V × V P
eingeschränkt. Konkret, wenn B eine Basis von V ist, so ist jedes u von der
Form u = x u(b)b mit u(b) ∈ IR, sodaß sich für alle c ∈ B
X
Z
u(b)
1
(pb0 c0 − qbc − f c) dx = 0
0
b∈B
R1
ergibt, insgesamt ein lineares Gleichungssystem der Form A~x = ~b mit Abc := 0 (pb0 c0 −
R1
qbc) dx, Unbekannten ~xb := u(b) (b ∈ B) und rechter Seite ~bb = 0 f b dx, das mit
Standardmethoden der numerischen linearen Algebra gelöst wird. Die Genauigkeitsschranken, welche V mitbestimmen, können im voraus eingestellt werden.
Beispiel 296 (Bilinearform und eingespannte Saite)
1.
? Auf dem Raum der stückweise stetig differenzierbaren, stetigen Funktionen u :
[−2, 2] → IR mit u(−2) = u(2) = 0 ist durch
B(u, v) :=
1
2
Z
2
u0 (x)v 0 (x) dx
−2
eine Bilinearform gegeben. Ist sie symmetrisch? Weiters seien ψ(x) := 1 − |x| auf [−1, 1]
und sonst Null auf ganz IR (Skizze). Nun sei φi (x) := ψ(x − i) für i = −1, 0, 1, wobei
wir diese Funktionen nur auf [−2, 2] betrachten. Es sind die Graphen der Funktionen
zu skizzieren. Zeigen Sie:
(a) B(φ−1 , φ1 ) = 0.
(b) B(φ−1 , φ0 ) = B(φ0 , φ1 ) = − 21 .
(c) B(φi , φi ) = 1.
(d) Sind u, v von der Gestalt
u = x−1 φ1 + x0 φ0 + x1 φ1 , v = y−1 φ1 + y0 φ0 + y1 φ1 ,
so ist

2
1
B(u, v) = (x−1 , x0 , x1 )  −1
2
0
−1
2
−1


y−1
0
−1   y0  .
y1
2
326
Saite - etwas mathematische Physik
Antwort: Es handelt sich um Hutfunktionen φ−1 , φ0 , φ1 :
??
???

?
???

??
???

Die Ableitungen sind lediglich an den Knickstellen nicht definiert und ansonst folgender
Tabelle entnehmbar, die wiederum ganz leicht aus den Skizzen ablesbar ist:
-1
0
1
(-2,-1)
1
0
0
(-1,0)
-1
1
0
(0,1)
0
-1
1
(1,2)
0
0
-1
Sind nun die Indizes verschieden, so ist das Produkt der Ableitungen −1 auf einem
Intervall der Länge 1, bzw. überall 0, je nachdem, ob die Indizes “Abstand 1” bzw
“Abstand größer 1” haben. Sind die Indizes gleich, so gibt es 2 Intervalle, auf denen
(φ0i )2 den Wert 1 annimmt, somit das Integral den Wert 2. Hieraus ergeben sich all die
angegebenen Werte von B(φi , φj ).
Schließlich zu d): B ist auch symmetrische Bilinearform auf dem von φ−1 , φ0 , φ1 aufgespannten linearen Teilraum. Wählt man diese Hutfunktionen als Basis, so ergeben sich
die Koeffizienten der Matrix für B aus Bspl.3 zu
Z 2
φ0i (x)φ0j (x) dx,
Aij = B(φi , φj ) =
−2
wobei die ungewohnte Indizierung “problemangepaßt” ist.
2.
? (Gleichmäßig belastete, an den Enden eingespannte Saite bei geringem Durchhang)
Es seien u eine auf dem Intervall I = [−2, 2] gegebene stückweise stetig differenzierbare,
stetige Funktion, sowie f (x) = 1. Durch
1
J(u) :=
2
Z
2
02
Z
2
u (x) dx +
−2
f (x)u(x) dx
−2
ist ein in u quadratisches Funktional gegeben.
Falls u = x−1 φ−1 + x0 φ0 + x1 φ1 ) ist, finde man A, ~b und c, sodaß
J(u) = ~xT A~x + 2~bT ~x + c.
B.1. Mathematisches Modell und Allgemeines zum Lösen
327
Antwort: Nachdem Q(u) = B(u, u), kann man die Matrix für B verwenden, sodaß


2 −1 0
1
A=
−1 2 −1  .
2
0 −1 2
R2
Um ~bT zu gewinnen, erinnert man sich, daß u 7→ −2 f (x)u(x) dx bei festem f eine
lineare Abbildung bezüglich u ist. Deshalb, dem üblichen Rezept folgend, wenden wir,
hier für f (x) = 1, diese lineare Abbildung der Reihe nach auf φ−1 , φ0 , und φ1 an,
m.a.W., man ermittelt als Komponenten von ~b die Integrale
Z 2
Z 2
Z 2
φ1 (x) dx.
φ0 (x) dx, b1 =
φ−1 (x) dx, b0 =
b−1 =
−2
−2
−2
Aus der obigen Skizze erkennt man, daß es sich jeweils um den Flächeninhalt handelt,
der bei allen drei Funtionen gleich 1 ist. Somit ergibt sich
 
1
1
~b =  1  .
2
1
Schließlich ist c = 0.
3.
? (Ritzmethode für die eingespannte Saite unter gleichmäßiger Belastung) Man fine
~x0 ∈ IR3 und γ ∈ IR, sodaß f (~x) = (~x − ~x0 )T A(~x − ~x0 ) + γ ist, wobei ~x := (x−1 , x0 , x1 )T
und


2 −1 0
1
f (~x) = ~xT  −1 2 −1  ~x + (1, 1, 1)~x
2
0 −1 2
Man skizziere die dazugehörige Lösungsfunktion
u = x−1 φ−1 + x0 φ0 + x1 φ1 .
Vergleichen Sie die hier gewonnene “Ritznäherung”.
 3 
2
Antwort: Zunächst ergibt sich ~x0 =  2  durch Lösen des Gleichungssystems
3
2
2 −1
0 −1
−1
2 −1 −1
0 −1
2 −1
Somit ergibt sich der Graph der Näherungsfunktion u = − 32 φ−1 −2φ0 − 23 φ1 als Streckenzug, welcher der Reihe nach die Punkte
3
3
(−2, 0), (−1, − ), (0, −2), (1, − ), (2, 0)
2
2
328
Saite - etwas mathematische Physik
2
verbindet. Die exakte Funktion u = x2 − 2 ist ein Parabelbogen, der an den Stützstellen
die gleichen Werte u(±2) = 0, u(±1) = 32 und u(0) = 2 wie die gefundene Näherung
hat.
B.2
B.2.1
Eingespannte Saite unter Belastung in Ruhe, −(pu0 )0 = f ,
u(0) = u(1) = 0 und q = 0.
Formulierung des Randwertproblems
? Wie findet man die in der Überschrift genannte distributionelle Formulierung?
Antwort(findung): Die Saite befinde sich lediglich unter Krafteinwirkung f , somit ist der
Energieterm mit der Massendichte q nicht vorhanden, was darauf hinausläuft q = 0 anzunehmen. Sie wird am Rand festgehalten, also muß offenbar u(0) = u(1) = 0 gelten. Deshalb (und
nicht nur deshalb, sondern auch aus physikalischen Gründen) erweist sich die Stetigkeitsannahme an u als sinnvoll. Damit ergibt sich als distributionelle Formulierung der Formelanteil
der Unterabschnittüberschrift.
? Welchen Hilbertraum wählen?
Antwortfindung: Zumindest stetig sollten die Funktionen sein. In Beispiel 211 (S.228) 2.
wurde der Hilbertraum stetiger Funktionen H 1 (I), d.i. die Vervollständigung des Raumes der
stetig differenzierbaren Funktionen unter der Integralnorm
s
Z 2
kuk1 :=
(u2 + u02 ) dx
0
beschrieben. Er sollte für die meisten physikalischen Probleme dieser Art ausreichen. Es hat
sich in Beispiel 211 (S.228) 2. herausgestellt, daß der Raum H01 (I) = {u ∈ H 1 (I) | u(0) =
R1
u(1)} mit dem H01 -inneren Produkt hu, vi := 0 u0 v 0 dx ein Hilbertraum ist (dessen Norm wir
einfachheitshalber nur mit k · k bezeichnen wollen). Das ist interessant, weil die Bilinearform
recht ähnlich aussieht (z.B. für p = 1 wäre B(u, v) = −hu, vi).
B.2.2
Hilbertraumformulierung - Existenz und Eindeutigkeit
? Wie lautet die Hilbertraumformulierung, wenn man p(x) > c > 0 für alle x ∈ I
annimmt (sogenannte Koerzivität)? Kann man hiermit Existenz und Eindeutigkeit der
Lösung beweisen?
Antwortfindung: Es erscheint sinnvoll H = H01 (I) zu wählen, dann erfüllt
qRjedes u ∈ H
1
02
die Randbedingungen automatisch. Danach ist die Energienorm kukE :=
0 pu dx zur
H01 -Norm äquivalent, weil wir p > c > 0 für eine Konstante c annehmen. Falls man weiß,
daß f stetiges lineares Funktional ist, ergibt die Rieszabbildung genau ein Rf ∈ H mit
hRf, viE = f (v) für alle v ∈ H. Danach ergibt sich die Hilbertraumformulierung
hu, viE = hRf, viE ,
B.2. Eingespannte Saite unter Belastung in Ruhe, −(pu0 )0 = f , u(0) = u(1) = 0
und q = 0.
329
für alle v ∈ H, also
u = Rf
als eindeutige
H01 (I)-Lösung.
R1
? Es sei f ∈ L2 (I) bzw. f = δa , wobei a ∈ (0, 1) ist. Ist f bzw. u 7→ 0 δ(a −
x)u(x) dx := f (a) als stetiges Funktional auf H01 (I) interpretierbar?
Antwortfindung: Es hilft die Poincaréungleichung, nämlich kφk∞ ≤ kφk, die für alle φ ∈ H01
gilt, weiter (vgl. Beispiel 211 (S.228) 2.). Ist nun f eine L2 -Funktion, so ergibt zunächst die
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung in L2 und danach die Poincaréungleichung
|hf, φiL2 | ≤ kf kL2 kφkL2 ≤ Ckφk,
wobei man C := kf kL2 wählen kann. Mithin ist das Funktional f stetig bezüglich der H01 Norm.
(Ein kleiner Schwindel: Das Integral muß man sich als Grenzwert von Integralen mit stetigen Integranden zustande gekommen denken - oder eben doch als Lebesgueintegral interpretieren.)
Auch für f eine Deltafunktion, also hf, φi = hδa , φi = φ(a) kann die Stetigkeit bezüglich
der H01 -Norm gezeigt werden:
s
Z a
Z 1
Z 1
0
0
|hδa , φi| = |φ(a)| = φ (x) dx ≤
|φ (x)| · 1 dx ≤
(φ0 (x))2 dx = kφk.
0
B.2.3
0
0
Globale Minimumeigenschaft des Wirkungsintegrals J
R1
? Nimmt das Wirkungsintegral J(u) = 0 12 pu02 − uf dx an der Stelle u0 := Rf ein
globales Minimum an?
Antwortfindung: Das Energiefunktional nimmt die abstrakte Gestalt
1
1
1
J(u) = kuk2E − hR(f ), uiE = ku − R(f )k2E − kR(f )k2E
2
2
4
an, sodaß für
u = R(f )
tatsächlich ein globales Minimum vorliegt.
B.2.4
Konstruktion der Rieszabbildung – Konsequenzen
? Man zeige, daß die Rieszabbildung für stetiges f durch
Z
R(f )(x) =
1
K(t, x)f (t) dt
0
mit K(t, x) = t(1 − x) für 0 ≤ t ≤ x ≤ 1 und K(t, x) = x(1 − t) für 0 ≤ t ≤ x ≤ 1
beschrieben werden kann
330
Saite - etwas mathematische Physik
Antwort(findung): Es sollte R(f ) eine quadratisch integrierbare Ableitung haben (was zum
Beispielende
R 1 noch zu verifizieren
R 1 ist) und die Randbedingungen erfüllen. Deshalb geht geht
man von 0 u(x)f (x) dx = 0 (R(f ))0 (x)u0 (x) dx aus, wobei R(f )(0) = R(f )(1) = 0 gelten
müssen. Partielle Integration auf der rechten Seite ergibt
Z 1
Z 1
1
0
u(x)f (x) dx = (R(f )) (x) 0 −
u(x)R(f )00 (x)u(x) dx.
|
{z
}
0
0
=0
Weil dies für alle stetig differenzierbaren u in H01 (I) gilt, schließt man auf
R(f )00 + f = 0.
Zweimalige Integration und Einsetzen der Randbedingungen führt auf
Z 1 Z s
Z x Z s
R(f )(x) =
ds
f (t) dt +
ds
f (t) dt x.
0
0
0
0
Die zweimalige Integration kann noch umgeformt werden zu
Z x Z s
Z x
Z x
Z x
ds
f (t) dt =
f (t) dt
ds =
(x − t)f (t) dt,
0
0
0
t
0
und Einsetzen ergibt die Behauptung. Etwas genauer ist dies zu Beginn von Unterabschnitt
6.3.3 (S.239) zu verfolgen. Die stetige Differenzierbarkeit von R(f ) ergibt sich aus den üblichen Fakten über Parameterintegrale.
? Wie lautet die Rieszabbildung für das lineare Funktional δa ?
Die Antwort findet sich in Beispiel 236 (S.257).
? Welchen Gewinn zieht man aus der Integraldarstellung?
Antwort: Die Integration ist numerischen Methoden unter geeigneten Voraussetzungen an
die Gewichtsfunktion p (die hier der Einfachheit halber gleich 1 war) Bei Benützung von
FEM approximiert man f und p durch Hutfunktionen und verwendet Standardintegrationsroutinen.
B.3
B.3.1
Eingespannte Saite im Potentialfeld unter Krafteinwirkung
Physikalische Fragestellung
Es soll im Gegensatz zur vorigen Situation ein Kraftfeld auf die Saite wirken, welches proportional zur Auslenkung u der Saite ist. Dann ergibt sich für das Wirkungsintegral
Z 1
1 0 2
J(u) =
(u (x) − ω 2 u(x)2 ) − f (x)u(x)) dx,
0 2
B.3. Eingespannte Saite im Potentialfeld unter Krafteinwirkung
331
und da die Saite eingespannt wird, haben wir u(0) = u(1) = 0. Der Soboleffraum H01 (I) ist
der natürliche Hilbertraumkandidat, in welchem Lösungen u von
δJ(u)(φ) = 0
für alle Testfunktionen φ gesucht werden. Der Faktor ω kann als Winkelgeschwindigkeit einer
um die Ruhelage der Saite als Achse rotierenden Flüssigkeit gedacht werden, welche die
Saite “mitnimmt”. Wie früher angedeutet, betrachten wir das Problem als stationär, wenn
der Beobachter “mitrotiert” und sich die Saite für ihn dann nicht bewegt. Solche Lösungen
werden durch das obige Variationsproblem gesucht! Ist die Rotationsgeschwindigkeit ω = 0,
so nimmt die Saite eine eindeutig bestimmte Lage in H01 (I) an, wie im vorigen Abschnitt
gezeigt wurde. Das sollte man auch für kleines ω erwarten dürfen. Wenn man ω steigert, ist
eine endlich-parametrige Schar von Gleichgewichtslösungen denkbar. Selbst wenn die Kraft
f = 0 ist, darf man Verformungen mit immer mehr Knoten erwarten.
B.3.2
Hilbertraumformulierung
? Es sei p durch eine positive Konstante nach unten beschränkt. Man zeige, daß die
Hilbertraumformulierung
Rιp u − Rιq u − Rf = 0
lautet. Zeigen Sie daß Rιp invertierbar ist. Weiter, daß Rιq kompakt ist.
Antwortfindung: Die Hilbertraumformulierung ergibt sich aus Unterabschnitt B.1.4 (S.324):
hRιp u − Rιq u − Rf, viE = 0
für alle v ∈ H = H01 (I), sodaß die erste Teilbehauptung klar ist. Die Invertierbarkeit von
Rιp folgt aus der Äquivalenz der Norm k · kE mit der H01 -Norm: die Injektivität ergibt sich
aus Rιp u = 0 gleichbedeutend zu hu, vi0 = hRιp u, vi = 0 für alle v ∈ H01 (I), also u = 0. In
analoger Weise prüft man die Existenz der zusammengesetzten Abbildung
/ H 1 (I)0
0
ι
H01 (I)
S
/ H 1 (I)
0
qR
1 02
wobei H01 (I) mit der üblichen Norm (kuk :=
0 u dx) ausgestattet ist und S durch die
Vorschrift hSu, vi = hu, viE festgelegt ist. Es ist nicht schwierig zu sehen, daß Sι Inverse zu
Rιp ist.
Um die Kompaktheit von Rιq zu erkennen, setzen wir y = Rιq u und finden
Z
1
0 0
Z
py v dx =
0
1
quv dx
0
für alle y, v ∈ H01 (I). Beschränkt man sich zunächst auf y, v ∈ D, also Testfunktionen, so
kann die Gleichung distributionell gelesen werden:
−(py 0 )0 = qu
332
Saite - etwas mathematische Physik
Zweimalige Integration ergibt zunächst
Z x
Z s
ds
y(x) = −
q(t)u(t) dt + αx,
0 p(s) 0
woraus Vertauschung der Integrationsreihenfolge die Darstellung
Z x
Z x
ds
q(t)u(t)dt
y(x) = −
+ αx
t p(s)
0
ergibt. Es ist α so zu wählen, daß y(1) = 0 gilt. Insgesamt bekommt man
1
Z
G(x, t)u(t) dt
y(x) = Rιq (u)(x) =
0
mit
(
G(x, t) =
q(t)(x
R1
ds
t p(s)
−
Rx
q(t)x
ds
)
t≤x
0 p(s)
x≤t
Rt 1p(s)
ds
Ähnlich, wie in Beispiel 222 (S.240) zeigt man, daß sich durch diese Integraldarstellung Rιq
als kompakter Operator erweist.
B.3.3
Bemerkungen zur Lösbarkeit – Fredholmalternative
? Die Hilbertraumformulierung ist äquivalent zu
(I − K)u = (Rιp )−1 Rf
mit K = ω 2 (Rιp )−1 Rq kompakter Operator. Der Kern von I − K kann nur endlichdimensional sein. Wie hängt die Bestimmung des Kerns mit Eigenwertproblemen zusammen?
Antwortfindung: Es ist K = ω 2 (Rιp )−1 Rq die Zusammensetzung eines kompakten mit
einem stetigen Operator, also kompakt. Wegen Anmerkung 221 (S.240) ist sein Kern endlichdimensional. Die distributionelle Formulierung zeigt, wie der Kern bestimmt wird:
−(pu0 )0 − ω 2 qu = 0, u(0) = u(1) = 0.
M.a.W., man löst ein spezielles Sturm-Liouville Eigenwertproblem.
? Welche Aussage läßt sich über die Lösbarkeit des Problems machen?
Antwortfindung: Ist zunächst ω 2 klein, so verrät uns der Fixpunktsatz von Banach (vgl.
Beispiel 169 (S.179)), bzw. eine geometrische Reihe, nämlich
(I − K)
−1
=
∞
X
j=0
Kj,
B.3. Eingespannte Saite im Potentialfeld unter Krafteinwirkung
333
konvergent für kKk < 1, daß I − K invertierbar ist. Somit ist in solch einem Fall die Lösung
sogar eindeutig.
Ansonst kann die Gleichung (I −K)u = Rf wohl nur dann lösbar sein, wenn Rf im Bild des
Operators auf der linken Seite ist. Das ist genau dann der Fall, wenn Rf von allen Elementen
des Kerns des dualen Operators annulliert wird, also, wenn
(I − K)0 (u0 ) = 0
stets u0 (Rf ) = 0 nach sich zieht. Es ist (I − K)0 ebenfalls kompakter Operator (vgl. Anmerkung 221 (S.240)), hat also ebenfalls endlich dimensionalen Eigenraum. Deshalb findet man
ein endliches System von Funktionalen u0 , welche die Lösbarkeit entscheiden. Gibt es eine
Lösung, dann auch unendlich viele, wenn der Eigenraum nicht trivial ist.
334
Saite - etwas mathematische Physik
Literaturverzeichnis
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Computermathematik, WS 2003/2004
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335
2000,
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Springer 1992
Index
IF2
H01 (I)
Körper mit 2 Elementen, 154
Soboleffraum, 230
Kodierungstheorie, 220
l2 als verallgemeinerter Koordinatenraum, 248
⇐ folgt aus, 12
l2 quadratisch konvergente Folgen, 248
L1 (I, IR) absolut (Lebesgue)integrierbare Funk- IN natürliche Zahlen, 21
Q Körper der rationalen Zahlen, 152
tionen, 225
Q rationalen Zahlen, 21
Γ-Funktion, 119
IR reelle Zahlen, 21
Ω
IR3 als heterogene Algebra (Anhang), 284
Bezeichnung für W-Raum, 53
2
⇒ Implikation, 12
χ Test, 126
2
ZZ als euklidischer Ring (Anhang), 288
χn Verteilung, 120
Z
Z ganze Zahlen, 21
k-stellige Relation, 31
T
S allgemeiner Durchschnitt, 28
< meist für strikte Ordnung, 36
allgemeine Vereinigung, 28
A0 (topologischer) Dualraum zu normiertem ∩ Durchschnitt, 22
linearen Raum A, 235
◦ Zusammensetzen von Funktionen (oft wegA0 Komplement der Menge A, 23
gelassen), 43
A∗ (algebraischer) Dualraum zu Vektorraum ∪ Vereinigung, 23
A, 211
leeres Wort, 267
A∗ freies Monoid über Alphabet A, 267
≡ Kongruenz, 141
A+ freies Monoid ohne leeres Wort, 267
∈ Element enthalten in, 20
B A Funktionen von A nach B, 40
¬
Q Negation, 12
C(I) = C([0, 1], IR), 224
Qnallgemeines Produktzeichen, 139
C[0, 2π]
i=1 Ai kartesisches Produkt von Mengen, 41
auf [0, 2π] stetige Funktionen, 198
⊆
P Teilmenge, 20
CA (B) Mengenkomplement, 23
P allgemeines Summenzeichen, 139
G \ H Linksnebenklassenzerlegung, 143
m∈X ∗ fm m formale Potenzreihe in nicht komH01 (I)Soboleffraum stetiger Funktionen, 231
mutierenden Variablen X, 155
IFq endlicher Körper mit q Elementen, 163
⊇ Obermenge, 20
L2 (S) quadratische konvergente Funktionen →,→∗ herleitbar in TES, 268
auf S, 254
∨ Disjunktion, 12
L2 (IR, C) quadratisch integrierbare Funktio- ∧ Konjunktion, 12
nen, 251
k[x] Polynomring der Polynome in x mit KoLp -Raum, lp -Raum, 227
effizienten in k, 158
C komplexe Zahlen, 21
P(M ) Potenzmenge, 29
D(IR) Testfunktionen, 194
(Ti )i∈I Mengenfamilie, 41
337
338
⇔ Logische Äquivalenz, 12
B(X, IR) beschränkte Funktionen, 223
C(I, IR) auf I stetige Funktionen, 223
C ∞ (IR) unendlich oft auf IR differenzierbare
Funktionen, 194
H k (I) Soboleffraum, 230
Abbildung=Funktion, 39
additive, 206
duale, 211
homogene vom Grad 1, 206
kontrahierende, 176
abelsch=kommutativ, 137
abelsche (Halb)gruppe, 137
abgeschlossen, 184
Teilraum in normiertem Raum, 225
Ableitungs
-baum
einer heterogenen Algebra, 284
in heterogener Algebra (Anhang), 286
Termalgebra einer heterogenen Algebra,
286
UPN, 272
-graph für TES, 268
Abschluß, 184
Abstandsfunktion=Metrik, 169
abzählbare Menge, 263
Additionstheorem
Gaussverteilter Zufallsvariabler, 92
additive
Abbildung, 206
Gruppe
in einem Ring, 151
Halbgruppe, 137
Additivität
einer reellwertigen Mengenfunktion, 54
algebraische
Körpererweiterung, 160
Alphabet, 267
Annullator, 216
Antisymmetrie, 33
antisymmetrisches TES, 268
Approximation
gleichmäßig durch (trigonometrische) Polynome, 188
Index
gleichmäßig durch Hutfunktionen, 189
im Fixpunktsatz, 176
und dichte Teilmenge, 184
Äquipotentiallinien, 37
Äquivalenz
-klasse, 34, 40
-relation, 34
algorithmisches Hilfsmittel TES, 269
logische, 12
von Cauchyfolgen, 173
von Kongruenz und Homomorphismus bei
(Halb)gruppen, 142
Ringen, 159
von Normen im IRn , 225
Assoziativität
∩,∪, 26
∨,∧, 14
(Halb)gruppe und Monoid, 137
TES, 270
Zusammensetzung von
Funktionen, 43
Relationen, 33
Aussagenlogik, 11
Auswahlfunktion, 41
Automat
Akzeptor, 272
Sprache, 273
AWP=Anfangswertproblem, 183
Babylonische Methode, 174
und Fixpunktsatz, 178
Banach
-raum, 221
B(I, IR) die auf I beschränkten F. und
Sup.Norm, 224
C(I) der auf I stetigen Funktionen mit
Sup.-Norm, 224
IR bzw. C als B., 221
IRn als B., 223
Fixpunktsatz, 176
Basis
Erweiterung, 203
Vektorraum, 199, 203
von K n , 203
Index
339
-e Teilmenge, 184
Charakterisierung von vollst. ONS, 254
Einbettung, 173
und Approximation, 184
Dichte einer Verteilung, 69
Differentialoperator
und Matrizendarstellung, 209
Differenz (von Mengen), 23
Differenzieren
im Polynomring und Identitäten, 162
Diffie-Hellman Verfahren, 138
Dimension, 203
Dirac
-maß, 76
-verteilung, 87
Deltafunktion
(Anhang), 315
als stetiges Funktional, 236
als unstetiges Funktional, 236
Dirac-Deltafunktion
als stetiges Funktional, 329
disjunkt, 23
Cauchy-Bunjakowskiĭ-Schwarzsche Ungl., 227,
Zerlegung, 28
245
Disjunktion, 12
quadratisch konvergente Folgen l2 , 249
diskret
Cauchyfolge, 170
Zufallsvariable, 62
Charakteristik eines Körpers, 163
diskreter Logarithmus, 138
Chauchymultiplikation
Distribution (Anhang), 315
im nicht kommutativen Potenzreihenring, distributionelle Lösung (Saite), 323
155
Distributivität
Choleskyzerlegung, 307
∩,∪, 26
Chomskygrammatik, 271
in Ring und Körper, 151
Code
logische Verknüpfung, 14
linearer, 220
Division mit Rest (Anhang), 288
zyklischer, 165
Doppelnegation, 14
concatenation, 267
Drehung Matrizendarstellung, 209
Dreiecksungleichung
Defekt (lineare Abbildung), 208
einer Metrik, 169
Definitheit
Norm, 221
einer Metrik, 169
duale Abbildung, 211
inneres Produkt, 243
Dualer Operator
Norm, 221
eines kompakten Operators, 240
Definitionsbereich, 39
Dualität
dicht
De’Morgan, 26
bedingte Wahrscheinlichkeit, 57
Bernoulli
-experiment, 96
-verteilung, 85
beschränkt
-e Menge, 184
-er Operator, 231
Bestapproximation
im Hilbertraum, 255
und klassische Fourierreihe, 256
und kompakte Menge, 187
Beulenfunktion, 194
Bierdeckel, 29
Bijektion, 40
Bild
einer kompakten Menge, 185
range, 206
unter einer Funktion, 39
Binomialverteilung, 87
binomischer Lehrsatz, 154
Buchstaben, 267
340
Deutung im IR3 , 217
logischer Verknüpfungen, 14
und lineares Gleichungssystem, 218
von Teilräumen, 216
Dualraum
algebraischer, 211
topologischer, 235
Durchschnitt
von Mengen, 23
allgemeiner, 28
von Teilräumen, 197
dynamisches System
Abkühlungsgesetz, 279
Automat, 279
diskretes, 279
kontinuierliches, 279
Verzinsung, 279
Index
unvereinbar, 54
zufälliges, 50
Ereignisse
unabhängig, 61
Erwartungswert
Rechenregeln, 78
vektorwertig - Schwerpunkt, 76
erwartunstreu, 111
Erweitern
Differenzen bzw. Brüche in Halbgruppe
mit Kürzungseigenschaft, 149
Integritätsbereich zu Körper=Quotientenkörper, 158
Körper algebraisch, 160
Erweiterung=Fortsetzung
bei Funktionen, 43
Erzeugendensystem
linearer Teilraum, 199
Eigenvektoren
erzeugte(r)
verallgemeinerte, 309
Unterhalbgruppe, Monoid, Untergruppe,
Eigenwertproblem
144
Sturm-Liouville, 332
Eulergleichung
und Norm einer Matrix, 233
Saite, 323
Einheit, 151
Variationsrechnung, 215
Einheitskugel, 222
Exponential
Element
-verteilung, 91
irreduzibles, 152
Exponentialfunktion
Elementarereignis, 50
diskrete, 138
Elementaroperationen mit ErzeugendensysteHomomorphismus, 142
men, 199
Faktor, 151
empirische Verteilungsfunktion, 109, 127
Faktorgruppe=Quotientengruppe, 147
endliche Körper, 163
faktorieller Ring (Anhang), 292
der Ordnung p, 154
Faktorzerlegung
Konstruktion von IF8 , 164
Kodierungstheorie, 165
zyklischer Code, 165
Faktorzerlegung in IF2 [x] (Anhang), 294
Energiemethode
Faltung (Anhang), 316
im Cn , 308
Fehlergesetz
Saite, 329
nach Gauss, 100
Ereignis
Feldlinien, 37
-graph, 58
FEM (Saite), 325
elementares, 50, 53
Fixpunkt, 176
Indikatorfunktion, 64
Fixpunktsatz von Banach, 176
komplementäres, 53
Existenz- und Eindeutigkeit von AWP, 183
messbar, 53
Index
Formulierung im IRn , 179
Gauß-Seidelverfahren, 182
Hauptsatz der impliziten Funktionen, 181
Nachiteration, 182
Neumannreihe, 181
Newtonalgorithmus, 180
Nullstellenverfahren, 179
und lineare Funktion, 176
Folge
Cauchysche, 170
konvergente, 170
vom Typ δ (Anhang), 315
folgenkompakt, 184
Fortsetzung
stetige, 186
Fortsetzung=Erweiterung (bei Funktionen), 43
Fourierkoeffizient, 254
Fourierreihe
klassische, 255
verallgemeinerte, 254
Fredholmeigenschaft
von kompaktem Operator, 240
freies Monoid, 267
Frobeniusautomorphismus, 296
fundiert=noethersch, 36
Funktion, 39
Γ-, 119
bijektive, 40
Einschränkung, 43
Erweiterung, 43
injektive, 40
partielle, 40, 206
stetige im metrischen Raum, 185
surjektive, 40
verträglich mit Relationen, 43
Funktional
erste Variation, 213
lineares, 211
stetiges, 235
Funktionenbeispiele, 42
Funktionenraum, 192, 203
Funktionsgraph, 39
341
260
Gauß
-Seidelverfahren, 182
-verteilung, 92
in Tabelle, 86
geordnetes Paar, 30
Gesetz
der großen Zahlen, 98
Gleichheitsrelation, 36
Gleichverteilung, 86
größtes Element, 35
Gram-Schmidt Orthogonalisierung, 251
Orthogonalpolynome und Rekursion, 253
Grammatik
TES, 271
umgekehrte polnische Notation, 273
Graph, 33
Akzeptor, 273
freies Monoid, 267
Greenfunktion (Anhang), 319
Grenzwert
im metrischen Raum, 170
Grenzwertsatz
zentraler, 99
Grundmenge, 23
Gruppe, 137
abelsche=kommutative, 137
zyklische, 137
Gruppenhomomorphismus
DN, 141
Gruppenwirkung, 277
Häufigkeit
relative, 49
Höldersche Ungleichung, 227
Hahn-Banach
Satz von (Anhang), 302
Halbgruppe, 137
abelsche=kommutative, 137
kommutative, 137
zyklische, 137
Halbgruppenhomomorphismus
Aussagenlogik, 143
DN, 141
Gödelscher Unvollständigkeitssatz (Anhang),
342
Index
Infimum, 35
und Aussagenlogik, 44
Injektion, 40
Halbgruppenwirkung, 277
inneres Produkt, 243
als heterogene Algebra (Anhang), 285
Charakterisierung im Cn , 308
und Newtonalgorithmus, 278
durch Integral gegeben, 244
Halbordnung, 34
im l2 , 249
linear=totale, 36
in IRn und Cn , 307
noethersch, 36
in l2 (S), 254
und Teilbarkeit natürlicher Zahlen, 38
Integral
Hammingdistanz, 170
-kern, 240
und Konvergenz, 172
-norm, 224
Hassediagramm, 38, 39
stetige Funktionen, 224
und TES, 268
-operator, 240
Hauptideal, 159
Integraloperator
Hauptidealring, 160
Rieszabbildung, 257
Hauptsatz der impliziten Funktionen
Integritätsbereich, 151
Beweis mittels Fixpunktsatz, 181
Intervallschätzer
Heine-Borel
allgemeines Schema, 115
kompakt, 185
für µ, 117
Hermitische Matrix, 307
für σ, 121
heterogene Algebra (Anhang), 283
für p, 116
Hilbertraum, 248
inverse Relation, 32
Hilberts Hotel, 263
Hintereinanderausführen=Zusammensetzen, 43 Isobaren, 37
Isometrie
homogen
im normierten linearen Raum, 235
Abbildung, 206
von Hilbertraum zu L2 (S), 254
Homogenität
Isomorphismus
der Norm, 221
bei (Halb)gruppen, 141
Homomorphismus
bei Ringen und Körpern, 159
Exponential- u Logarithmusfunktion, 142
Hutfunktionen, 204
Jacobi-Polynome, 257
und gleichmäßige Approximation, 189
Juxtaposition, 267
und schwache Lösung, 238
hypergeometrische
Körper, 151
Verteilung, 90
-erweiterung, 160
hypergeometrische Verteilung, 85, 163
-isomorphismus, 159
der rationalen Funktion, 158
Ideal, 158
elementare Beispiele, 152
Implikation, 12
endliche, 163
Indexmenge, 41
Kürzungseigenschaft
Indikatorfunktion
Halbgruppe, 149
eines Ereignisses, 64
in endlicher Halbgruppe, 150
induzierte
Kardinalität, 45
Metrik, 221
kartesisches Produkt, 41
Norm, 246
Index
343
heterogene Algebra (Anhang), 285
abzählende Kombinatorik, 46
in Gruppen und Normalteiler, 147
Relationsschema, 265
in Ringen, 158
zweier Mengen, 30
modulo m in ZZ, 158
Kellerautomat (Anhang), 276
Restklassenaddition in ZZ m , 142
Kern
Wirkungen, 282
bei linearer Abbildung, 206
Konjunktion (Logik), 12
eines Gruppenhomomorphismus, 147
kurz für Integralkern bei Integraloperato- kontextfreie Sprache, 271
Kontradiktion, 14
ren, 240
kontrahierende Abbildung, 176
Kettenalgorithmus
Konvergenz
(Anhang), 289
bezüglich Hammingdistanz, 172
Berechnung ggT (Anhang), 289
im metrischen Raum, 170
Partialbruchzerlegung (Anhang), 290
im quadratischen Mittel, 227, 250
kleinstes Element, 35
Koordinatenraum, 191
Koeffizient
l2 als Ersatz im Hilbertraum, 254
Linearkombination, 199
korrekt gestelltes Problem, 321
Kombinationen, 46
kritischer Bereich, 123
kommensurable Strecken, 150
kommutativer Ring
Länge eines Wortes, 267
binomischer Lehrsatz, 154
Löwenheim-Skolem (Anhang), 261
Kommutativgesetz
Lagrange
∩,∪, 26
-multiplikatoren
∧,∨, 14
Norm von Funktional auf lp , 234
(Halb)gruppe und Monoid, 137
Multiplikatormethode, 186, 233
Kommutativität
Satz über Ordnung von Untergruppe, 145
Ring, 151
Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum,
51
kompakt
Legendre-Polynome, 257
-e Menge, 184
Linear
-er
-form, 211
Operator, 240
-kombination, 199
-er Operator, 239
linear
kompakter
(un)abhängig, 199
Operator
Code, 220
Rieszabbildung (Saite), 331
Differentialoperator, 209
Komplement, 195
gelegentlich Kurzform für Komplementärraum, Funktional, 211
Operator=Abbildung, 206
195
lineare
mengtheoretisches, 23
Abbildung, 206
Komplementärraum, 195
Matrixdarstellung, 208
Komplexprodukt, 144
stetige, 231
Komposition=Zusammensetzung, 43
Hülle,
199
Kongruenz
lineares
-relation
Funktional, 211
Halbgruppe, 141
344
und erste Variation, 213
Linkseinheit, 151
Lipschitzstetigkeit
bei linearem Operator, 231
Logarithmus
Homomorphismus, 142
mathematische Theorie (Anhang), 259
Matrix
Hermitische, 307
Matrixdarstellung, 208
maximales Element, 35
Maximum, 35
Maximum Likelihood, 114
Maximumnorm, 222
Median, 70
Menge, 18
abgeschlossene im metrischen Raum, 184
abzählbare, 263
beschränkte, 184
beschränkte im metrischen Raum, 184
dichte, 184
dichte im metrischen Raum, 184
kompakte, 184
leere, 20
offene, 184
offene im metrischen Raum, 184
Mengen
-familie, 41
-operationen, 23
Rechengesetze, 26
Mengenalgebra, 50
messbar, 53
Zufallsvariable, 63
Metrik, 169
diskrete, 170
durch Norm induzierte, 221
euklidische, 169
Hammingdistanz, 170
minimales Element, 35
und TES, 268
Minimum, 35
Minkowskische Ungleichung, 227
Mobilfunk, 31, 40
Index
Moivre-Laplace
Satz von, 99
Monoid, 137
freies, 267
Monoidhomomorphismus
DN, 141
Monoidwirkung, 277
und Exponentialfunktion, 278
multiplikative
Halbgruppe, 137
Nachiteration, 182
Nebenklassen, 143
-repräsentantensystem, 143
Negation, 12
des Stetigkeitskriteriums, 18
Neumannreihe, 181
Lösung rotierende Saite, 333
Newtonalgorithmus
Fixpunktsatz, 180
nichtterminale Variable=syntaktische V., 271
noethersche Halbordnung, 36
Norm, 221
Äquivalenz aller im IRn , 225
einer 2 × 2-Matrix, 233
für Funktional auf lp , 234
induzierte, 246
Integralnorm, 224
Maximimumnorm, 222
Soboleffsche, 228
Supremumsnorm
auf C(I) = C([0, 1], IR), 224
auf beschränkten Funktionen, 223
von stetigem linearen Funktional, 235
Normal
-verteilung, 92
Normalform
TES, 268
Normalteiler, 147
in abelscher Gruppe, 147
Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks,
148
und Kongruenz, 147
normierter linearer Raum, 221
Index
nicht vollständiger, 225
Nullstellenverfahren
Fixpunktsatz, 179
Nullteiler, 151
im Restklassenring ZZ m , 153
nullteilerfrei, 151
Obermenge, 20
offen, 184
offene Kugel, 184
ONB=Orthonormalbasis, 251
ONS=Orthonormalsystem, 251
Operator
-norm (DN), 232
-norm und Fixpunktsatz, 179
beschränkter, 231
kompakter, 239
Fredholmeigenschaft, 240
stetiger, 231
Operator=Abbildung, 206
Ordnung
einer (Halb)gruppe, 136
eines Gruppenelements, 138
Element, 138
lineare=Totalordnung, 36
partielle, 36
Orthogonal
-polynome auf [−1, 1]
Rekursion, 253
Tabelle, 257
-projektion
in abgeschlossenen Teilraum, 255
-system
DN, 251
Orthogonalität
von Vektoren, 246
Orthonormalsystem
DN, 251
Parallelogrammregel
elementargeometrische Deutung, 311
und induzierte Norm, 247
Parallelprojektion, 40
Parkautomat (Anhang), 275
345
Parsevalsche Gleichung, 254
und klassische Fourierreihe, 256
partielle
Funktion, 40
Ordnung, 36
Partition, 28
Äquivalenzrelation, 35
abzählende Kombinatorik, 45
Abzählung, 139
durch Funktion, 40
Hohlzylinder, 29
Stromlinien, 37
Permutation, 46
PGP, 138
Picard-Lindelöf, 183
Poincarésche Ungleichung, 230
Poisson
-verteilung, 85, 89
Polarform und Kosinussatz, 246
Polynom
-ring, 156
-ring k[x] als euklidischer Ring (Anhang),
288
abstrakte Termdefinition, 155
positiv definit, 307
Potenzen in additiver und multiplikativer Notation, 137
Potenzmenge, 29
Potenzreihen
formale und Differenzieren, 157
formale und Reihenmanipulation, 157
ring
in nicht kommutierenden Variablen, 155
Prähilbertraum, 243
Prädikatenlogik, 16
Primelement, 152
Produktion (Grammatik), 271
Produktzeichen, 139
Programmausschnitt und logische Verknüpfung,
15
punktetrennend, 188
Quantil, 70
Quantoren, 17
346
Quotienten
-(halb)gruppe, 142
-(vektor)raum, 194
-gruppe
DN, 147
-körper, 158
Q als Q., 158
-menge, 35, 40
-raum
und Riemannintegral, 208
-raum DN, 194
Randwertproblem, 214
Rang (lineare Abbildung), 208
Raum
linearer, 191
metrischer, 169
mit innerem Produkt, 243
von Funktionen, 192
Rechengesetze
in heterogener Algebra (Anhang), 287
in Ringen, 151
logischer Verknüpfungen, 14
Mengenoperationen, 26
Rechnen modulo m, 137
Rechtseinheit, 151
Reflexivität, 33
reguläre
Ausdrücke (Anhang), 274
Sprache, 271
Additionskolonnen, 272
Akzeptor, 273
Relation
k-stellige, 31
binäre, 31
inverse, 32
Relationsschema, 34
Repräsentant, 35
Repräsentantensystem, 35
Restklassen
-addition
in ZZ m , 142
-ring
ZZ p = IFp Körper mit p Elementen, 154
Index
-ring mod Primzahl
Diffie-Hellmanverfahren, 139
Riemannintegral
als duale Abbildung, 212
und Quotientenraum, 208
Rieszabbildung
DN, 255
kompakter Integraloperator, 257
Konstruktion (Saite), 329
Ring
-axiome, 151
-homomorphismus, 158
-isomorphismus, 159
-kongruenz, 159
im kommutativen Polynomring, 160
in ZZ, 159
der Laurentpolynome (Anhang), 293
elementare Beispiele, 152
euklidischer (Anhang), 288
faktoriell (Anhang), 292
Integritätsbereich, 151
kommutativ, 151
nullteilerfrei, 151
reeller Funktionen, 153
Restklassenring ZZ m , 152
von Matrizen, 153
Saite
Modellbildung, 321
Satz
in Chomsky Grammatik, 271
Satzform, 271
Schätzer
erwartungstreu, 111
konsistent, 111
Schiefkörper, 151
Quaternionen, 153
Schnitt, 35
Schranke, 35
schwache Lösung, 238
Semi-Thuesystem=TES, 268
Sender
Einzugsbereich, 29
Kodierungstheorie, 165, 220
Index
347
und Kompaktheit, 186
Sesquilinearität, 246
Supremumsnorm, 223
sigmaadditiv, 53
stetige Funktionen, 223
Sigmaalgebra, 53
Surjektion, 40
Signifikanz, 123
Singulärwertzerlegung einer n×n Matrix, 309 Symmetrie
bei Metrik, 169
Skalar
bis auf Konjugiertheit, 243
-körper, 191
eines Quadrats mit Diagonale, 280
Skalarprodukt, 243
Relation, 33
Soboleff
und TES, 281
-norm, 236
beim Problem der ruhenden gespann- syntaktische Variable, 271
ten Saite, 324
für k-fach stetig differenzierbare F., 228 t-Test, 125
Tautologie, 14
Sprache
Teiler, 151
abstrakte, 267
Teilmenge, 20
aussagenlogische, 38
Chomskysprache und Turingmaschine (An- Teilmonoid, 143
Teilraum
hang), 277
aufgespannter bzw. erzeugter, 199
der formalen Logik (Anhang), 260
linearer, 194
kontextfrei, 271
Term
kontextfrei und Kellerautomat (Anhang),
in heterogener Algebra (Anhang), 286
276
Terminal
mit Grammatik G, 271
-wort, 271
prädikatenlogische, 16
-zeichen, 271
reguläre, 271
TES
Startsymbol, 271
=Termersetzungssystem, 268
stetige Funktionen
und Quotientenring von k[x] modulo Ideund Integralnorm, 224
al, 160
und Supremumsnorm, 223
und algebraische Konstruktion von C, 162
stetiges lineares Funktional, 235
und Einsetzen von Wurzelausdrücken in
Stetigkeit, 185
Polynome, 288
Stichproben
und endliche Erweiterung von IF7 , 162
-mittel, 112
und
Konstruktion von IF8 , 164
-varianz, 112
und
Polynomdivision mit Rest, 161
stochastisch
TES=Termersetzungssystem
Funktion, 62
Additionskolonnen von Binärzahlen, 270
Variable, 62
Assoziativität, 270
Stone-Weierstraß, 188
Ausschnitt deutscher Grammatik, 270
und kompakte Integraloperatoren, 240
inx
Grammatik, 271
Vollständigkeit von e
im L2 , 255
konfluentes, 268
strikte Ordnung, 36
Rechnen modulo 7, 270
Sturm-Liouville Eigenwertproblem, 332
Restklassenaddition in ZZ m , 142
Summenzeichen, 139
Supremum, 35
348
Symmetrie von Quadrat mit Diagonale,
281
umgekehrte polnische Notation, 272
und HTML, 269
Test
χ2 , 126
Grundidee, 123
Kolmogorv-Smirnov, 127
parametrisch
bei Normalverteilungen, 124
Grundidee, 123
t-, 125
Testfunktion, 193, 215
(Anhang), 314
totale Wahrscheinlichkeit, 59
Totalordnung=lineare Ordnung, 36
Träger
einer Funktion, 139
einer Distribution (Anhang), 315
einer Funktion, 203
DN, 196
Transitivität, 33
Treppenfunktionen, 204
trivial
Homomorphismus, 142
Monoid, 142
Tschebyscheff
-polynome, 257
-sche Ungleichung, 94
n-Tupel, 41
Turingmaschine (Anhang), 277
umgekehrte polnische Notation = UPN, 272
unabhängig
Ereignisse, 61
Unabhängikeit
Zufallsvariable, 81
unendlich, 263
unendliche Mengen, 263
Ungleichung
Cauchy-Bunjakowskiĭ-Schwarz, 245
Cauchy-Bunjakowskiǐ-Schwarz, 227
Hölder, 227
Minkowski, 227
Index
Poincaré, 230
Tschebyscheff, 94
Young, 226
universelle Eigenschaft
des freien Monoids, 279
Potenzreihenring, 156
Unter(halb)gruppe, 143
unvergleichbar, 35
Unvollständigkeitssatz von Gödel (Anhang),
260
UPN=Umgekehrte Polnische Notation, 272
Urbild, 39
Variationsproblem
und isometrische Einbettung, 238
lineares Funktional, 213
Saite, 323
Vektorprodukt, 207
Vektorraum, 191
euklidischer=Prähilbertraum, 243
normierter, 221
verallgemeinerte Ableitung
(Anhang), 316
Saite, 323
Vereinigung, 22
allgemeine, 28
vergleichbar, 35
Verknüpfung
in heterogener Algebra, 263
logische, 12
Verschmelzungsgesetz, 14
Verteilung
χ2n -, 120
binomiale=Bernoullische, 87
eines Zufallvektors, 74
Exponential-, 91
Gauß, 92
hypergeometrische, 90
Poissonsche, 89
Verteilungen
Tabelle der, 85
Verteilungs
-dichte, 69, 77
-funktion
Index
349
Zerlegung eines Vektors in orthogonale Komeindimensionale, 69
ponenten, 244
empirische, 109
Zermelo-Fraenkel Axiome der Mengenlehre (Anmehrdimensionale, 74
hang), 261
Vervollständigung
durch isometrische Einbettung im top. Dual-ZGWS, 98, 99
Zufalls
raum, 237
-variable, 62
metrischer Raum, 173
messbare, 63
vollständig
unabhängige, 81
-er linearter normierter Raum=Banachraum,
-vektor, 62
221
Zusammensetzung
metrischer Raum, 172
Funktionen, 42
ONB Existenz, 254
Relationen, 32
Orthonormalsystem (Charakterisierungen),
zyklische
254
(Halb)gruppe, 137
Prähilbertraum, 248
Codes, 165
Wahrscheinlichkeitsraum
diskreter, 54
endlicher, 51
Laplacescher, 51
W-Raum, 53
Wahrheitstabelle, 12
Wahrscheinlichkeit
bedingte, 57, 83
totale, 59
Wahrscheinlichkeitsmaß, 53
endliches, 51
Wahrscheinlichkeitsraum
Laplacescher, 51
Weierstraß
Approximationssatz, 188
Wertebereich, 39, 206
Widerspruch, 14
Wirkung
Gruppe, 277
Halbgruppe, 277
Kongruenz, 282
Monoid, 277
Wohlordnung, 36
Wort, 267
leeres, 267
Youngsche Ungleichung, 226
zentraler Grenzwertsatz=ZGWS, 98
350
Index
Anhang C
Logfile
Die Korrekturen beziehen sich auf das Gesamtskriptum (M3 WS10+SS11). Etwaige Fragezeichen in Referenzen deuten darauf hin, daß die Korrektur für die vorliegende Version (lediglich
Teilskriptum) nicht von Bedeutung ist.
29.12.11 Beispiel 124 (S.141)1. Es ist eine m × n-Matrix A
G.Marsch verdanke ich einen Hinweis auf Korrektur der Gleichheitsaxiome in Definition
237 (S.259)
7.12.11 Herrn Zisser danke ich für den Hinweis auf einen Vorzeichenfehler in der Neumannreihe (S 181)
18.11.11 In Beispiel 210 (S.227) die Klammer im Integral nach links gerückt.
20.12.10 Das Ergebnis für die Matrix A in Beispiel 197 (S.211) wurde korrigiert. Herrn
Nikowitz sei gedankt. Herr Ragy hat mich freundlicherweise auf etlich Schreib- und
Tippfehler hingewiesen
11.11.10 Anmerkung 38 (S.45) Variationen von . . . Das Beispiel mit den Personen wurde
korrigiert. U.a. ist Hrn Kampl für den Hinweis zu danken.
10.11.10 Anmerkung 38 (S.45) Funktionen von I nach Ω. Im Beispiel sind I = {G1 , G2 , G3 , G4 , G5 }
und Ω = {S, R, W }. Herrn Hettegger danke ich für seine Aufmerksamkeit.
21.10.10 Kombinationen mit Wiederholung Seite 47 korrigiert.
8.10.10 Internetversion umfaßt auch die Anhänge
4.1.11 Herrn Maher sei für zahlreiche Hinweise auf Schreibfehler gedankt. Insbesondere wurde korrigiert:
Beispiel 46 (S.52) 4.
Unterste Zeile der Tabelle auf Seite 56: 14/30 statt 14/60. Beispiel 56 (S.59) Maschinen
X, Y etc.: Am unteren Ende der Seite sind es in der Zwischenrechnung 0.028 und nicht
0.28.,
351
352
Logfile
Beschriftung in der Abbildung 2.1 auf Seite 59 (der unterste Ast r 7→ w)
Die Tabelle auf Seite 67 und die nachfolgende Graphik der Verteilungsfunktion.
13.1.11 Auf Seite 107 wurde das Beispiel der Anwendung der Gaußverteilung korrigiert.
18.1.11 Herrn Maher sei für etliche Hinweise auf Druck- und Tippfehler gedankt, insbesondere für die folgenden Korrekturen.
Anmerkung 59 (S.61)1. Text korrigiert, sollte jetzt verständlicher sein.
Unterabschnitt 3.1.3 (S.107) wurde der approximative Wert von P (S ∈ [x, y)) auf
0.08075 korrigiert. Aufmerksamen Beobachtern im ET-Forum sei gedankt.
21.1.11 In Anmerkung 87 (S.99) wurde fehlendes Quadrat in N (µ, σ 2 ) korrigiert, sowie
fehlendes “ 21 ” in der Formel für Φ.
26.1.11 In Beispiel 81 (S.90) wird nicht aus M sondern aus N in zufälliger Weise gewählt.
31.3.11 Herrn Maher verdanke ich folgende Hinweise.
In Anmerkung ?? (S.??) wurden die quadratische Gleichung und deren Lösung korrigiert.
Anmerkung 103 (S.123) Die Definition des kritischen Bereichs wurde etwas präziser
formuliert.
Anmerkung 105 (S.124) Der Wert von z0.995 wurde korrigiert, ändert aber nichts am
Ergebnis.
Im jeweils 3.ten • bei der 2.ten und 3.ten Problemstellung wurde versehentlich von
(1 − α2 ) statt von 1 − α gesprochen. Beispiel 106 (S.125) 1. In der Antwort sollte es “6>”
heißen. Wurde korrigiert.
Beispiel 108 (S.126) Besseres Hervorheben der Zahl m der Klassen.
13.4.11 Herrn Maher bin ich abermals für zahlreiche Hinweise auf Tippfehler dankbar. Inhaltliche Fehlerkorrekturen:
Beispiel 143 (S.152)2. die Kongruenzrechnung.
Beispiel 168 (S.176)1. wurde das kontrahierende Beispiel auf y = 14 x −
sodaß Skizze und Werte zusammenpassen.
24.5.11 Anmerkung 212 (S.231) Punkt 2.
27.6.11 Herrn Kerbler ist für die Korrektur von Glg.(2.1) zu danken
3
4
abgeändert,