4. Übungsblatt - Mathematik@TU
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A Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Lehn T. Harth A. Rößler B. Walther SS 2003 TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT 04./05.06.2003 Einführung in die Statistik für WInf, Inf, Bi, ET etc. 4. Übung Gruppenübungen Aufgabe G10 a) Es sei X eine χ2r -verteilte Zufallsvariable. (i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X ≥ 15.31) bei r = 28 Freiheitsgraden. (ii) Bestimmen Sie für r = 550 näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P (X ≤ 610). b) Es sei X eine tr -verteilte Zufallsvariable. (i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X ≥ 2.18) bei r = 12 Freiheitsgraden. (ii) Bestimmen Sie für r = 45 näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P (X ≤ 1.6). c) Es sei X eine Fr,s -verteilte Zufallsvariable. (i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X ≤ 2.54) bei r = 10 und s = 15 Freiheitsgraden. (ii) Bestimmen Sie eine Schranke c so, dass bei r = 11 und s = 15 Freiheitsgraden P (X ≤ c) = 0.01 gilt. Aufgabe G11 a) Die Zufallsvariablen X1 , . . . , X100 seien unabhängig und identisch N (0, 1)-verteilt. Bestimmen Sie Zahlen s1 , s2 und s3 so, dass gilt 2 (i) P (X12 + . . . + X20 ≥ s1 ) = 0.05 2 2 (ii) P (X29 /(X12 + . . . + X28 ) ≤ s2 ) = 0.95 (iii) P (|X1 + . . . + X100 |/100 ≤ s3 ) = 0.95 b) In einem Walzwerk werden Stahlplatten hergestellt, die eine gleichmäßige Dicke µ besitzen sollen. Nach dem Walzvorgang wird die Dicke jeder Stahlplatte an 16 Punkten gemessen. Es wird angenommen, dass sich die Messwerte durch unabhängige, normalverteilte Zufallsvariablen X1 , . . . , X16 mit E(Xi ) = µ, V ar(Xi ) = σ 2 für i = 1, . . . , 16 beschreiben lassen. Die Qualität der Stahlplatte wird durch die Summe der quadratischen Abweichungen Z = (X1 − µ)2 + . . . + (X16 − µ)2 beurteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Stahlplatte nicht verkauft wird, was genau dann der Fall ist, wenn der Wert von Z größer als 32σ 2 ist. Aufgabe G12 Bei einer Fluggesellschaft weiß man, dass im Mittel 8% derjenigen Personen, die sich einen Platz für einen Flug auf einer bestimmten Route reservieren lassen, zum Abflug nicht erscheinen. Um die Zahl der ungenutzten Plätze nicht zu groß werden zu lassen, werden daher für einen 400-sitzigen Jet 420 Platzreservierungen vorgenommen. a) Berechnen Sie mittels des Grenzwertsatzes von Moivre-Laplace einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit, dass alle zum Abflug erscheinenden Personen, für die ein Platz reserviert wurde, auch einen Platz erhalten. Nehmen Sie dabei an, daß die Entscheidungen darüber, ob die einzelnen Reservierungen wahrgenommen werden, unabhängig zustande kommen. Vergleichen Sie die Ergebnisse bei Rechnung mit bzw. ohne Stetigkeitskorrektur. b) Wieviele Platzreservierungen dürfen höchstens vorgenommen werden, damit die entsprechende Wahrscheinlichkeit mindestens 95% beträgt? Geben Sie die Antwort mit Hilfe einer Näherungsrechnung. Hausübungen Abgabe am 12./13. Juni Aufgabe H19 a) Sei X eine t-verteilte Zufallsvariable mit 20 Freiheitsgraden. Bestimmen Sie das 0.9Quantil von X sowie das 0.9-Quantil von X 2 . b) Bestimmen Sie folgende Quantile mit Hilfe der Ihnen zur Verfügung gestellten Quantiltafeln (wenn möglich exakt): u0.05 , χ2102;0.975 , χ230;0.95 , t22;0.05 , t180;0.8 , F8,3;0.01 Aufgabe H20 Die Füllmenge einer automatisch abgefüllten Limonadenflasche lasse sich durch eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ = 700[ml] und Varianz σ 2 = 4[ml2 ] beschreiben. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Füllung einer zufällig der Produktion entnommenen Limonadenflasche mehr als 0.5% vom Erwartungswert abweicht. b) Welche Mindestfüllmenge darf auf der Verpackung angegeben werden, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Füllmenge unterschritten wird, höchstens 0.01 betragen soll? c) Der Hersteller erwägt, die Abfüllmaschine auf eine höhere Abfüllmenge einzustellen, so dass als Mindestfüllmenge 700[ml] angegeben werden darf, wobei die Wahrscheinlichkeit für das Unterschreiten dieser Füllmenge wiederum höchstens 0.01 betragen soll. Unter der Annahme, dass sich die Füllmenge nach der Neueinstellung durch eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ e und Varianz σ 2 = 4[ml2 ] beschreiben läßt, bestimme man die mindestens einzustellende Füllmenge µ e. Aufgabe H21 Zur Überprüfung, ob die Anzahl defekter Exemplare in einer Lieferung von 1000 Luftballons nicht zu hoch ist, haben Lieferant und Käufer folgendes Verfahren vereinbart: 50 Luftballons werden der Lieferung zufällig (ohne Zurücklegen) entnommen und untersucht. Befinden sich darunter mindestens 2 defekte Exemplare, so wird die Lieferung zurückgewiesen, anderenfalls wird nichts gegen die Qualität der Lieferung eingewendet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lieferung zurückgewiesen wird für den Fall, dass in der Lieferung genau 10 defekte Exemplare sind, a) exakt, b) durch Anwendung der Binomialapproximation der hypergeometrischen Verteilung, c) durch Näherungsrechnungen für die Binomialwahrscheinlichkeiten in b) mit Hilfe des (i) Poissonschen Grenzwertsatzes. (ii) Grenzwertsatzes von Moivre und Laplace. Vergleichen Sie Ihre Näherungswerte. Aufgabe H22 Die Auswertung der Zugriffsstatistik einer privaten Website rechtfertige die Annahme, dass die Anzahl der Zugriffe pro Tag als normalverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert 853 und Standardabweichung 75 angesehen werden kann. Falls an einem Tag mehr als 1000 Zugriffe gezählt werden, wird dies im Logbuch der Website gesondert vermerkt, da es wegen der geringen Anbindungskapazität des Servers zu Engpässen kommen kann. Gehen Sie davon aus, dass die Anzahlen der Zugriffe an verschiedenen Tagen voneinander unabhängig sind. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem beliebigen Tag ein Eintrag ins Logbuch vorgenommen wird? b) Berechnen Sie die exakte Wahrscheinlichkeit dafür, dass an zehn aufeinanderfolgenden Tagen höchstens 1 Vermerk ins Logbuch der Website aufgenommen wird. Modellieren Sie dafür den Sachverhalt durch Einführung geeigneter Zufallsvariablen. c) Bestimmen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Jahr (mit 365 Tagen) mehr als 15 Vermerke ins Logbuch der Website eingetragen werden. Aufgabe H23 a) Vor einer Theaterkasse warten in einer Schlange 40 Personen, deren Bedienung im Mittel jeweils 50 Sekunden dauert. Es wird angenommen, dass sich die Bedienungszeiten durch unabhängige, identisch exponentialverteilte Zufallsvariablen beschreiben lassen. Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 40 Personen innerhalb von 35 Minuten bedient werden. b) Sei U eine R(0, π)-verteilte Zufallsvariable. Die Zufallsvariable V sei definiert durch die Transformation V = cos(U ). (i) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von V . (ii) Die Zufallsvariablen V1 , . . . , V50 seien unabhängig und identisch verteilt wie V . Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P (V1 + . . . + V50 > 5). Aufgabe H24 Ein Zufallsexperiment werde unter jeweils gleichen Bedingungen mehrfach durchgeführt. Es ist bekannt, dass die hierbei gemessene Größe durch unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen beschrieben werden kann. Weiterhin weiß man aus Erfahrung, dass die Varianz dieser Zufallsvariablen den Wert 3 annimmt. Bestimmen Sie eine untere Schranke für die Anzahl von Messungen, so dass die Differenz zwischen dem Erwartungswert der Zufallsvariablen und dem arithmetischen Mittel der Messreihe mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98% kleiner als 0.5 ist. Verwenden Sie hierzu a) die Ungleichung von Tschebyscheff. b) den Zentralen Grenzwertsatz. Allgemeiner Hinweis: Rechnen Sie alle Aufgaben, in denen Sie für diskret verteilte Zufallsvariablen den Zentralen Grenzwertsatz anwenden, mit Stetigkeitskorrektur (sofern nicht ausdrücklich anders verlangt).
