4. Erhaltungssätze

4. Erhaltungssätze
4.1 Erhaltung der Masse
Bei chem. Reaktionen gilt:
Prinzip von der Erhaltung der Masse:
In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtmasse immer
gleich.
Ein Prinzip gilt bis eine Beobachtung widerspricht.
Es gibt physikalische Vorgänge, bei denen das obige Prinzip nicht gilt.
Kernfusion: Masse wird in Energie umgewandelt.
Erhaltungssätze
4.2 Energieerhaltungssatz
4.2.1 Arbeit
Arbeit: Der Begriff “ Arbeit ” ist im Alltag anders verwendet als in der
Physik.
Der physikalische Begriff muss eindeutige Ergebnisse bringen.
Heben eines Körpers:
Längs des Weges h wird die
Last F = mg gehoben.
Arbeit W = mgh
Erhaltungssätze
Schiebt man den Körper auf einer schiefen Ebene (oder rollt ihn), ist
weniger Kraftaufwand nötig.
Arbeit W = Fs · s
Erhaltungssätze
Rechenbeispiel:
h = 1,5 m
s = 3,6 m
FG = 1000 N
Heben:
W = F·h
W = 1000·1,5 = 1500 J
Schiefe Ebene:
Fs : F = h : s
h
Fs F 
s
Fs 1000 
W Fs  s 1000 
1,5
3,6
1,5
 3.6 1500J
3,6
Beide Male gleich.
(Was an Kraft gewonnen wird,
geht an Weg verloren.)
Erhaltungssätze
Definition für Arbeit:
W = Fs.s
Arbeit = Kraft in Wegrichtung mal Weg
 
WF  s
F
W  F  s  cos( (F, s))
W = F.s
Einheit: 1 Joule = 1Nm
s
Erhaltungssätze
Ein gehobener Körper
kann unter Verlust seiner
Höhe wieder Arbeit
verrichten. Die ihm
zugeführte Energie geht
nicht verloren, er kann
sie wieder abgeben
(Energieübertragung).
Der gehobene Körper
hat potentielle Energie
Epot = mgh
Erhaltungssätze
Bemerkung
Die potentielle Energie ist relativ bezogen auf das jeweilige
Bezugssystem. z.B. ein Kreidehalter auf dem Tisch:
m = 0,0278 kg
Abstand Fußboden – Lehrerpult: h = 0,9 m
Abstand Lehrerpult – Decke:
h = 2,3 m
Potentielle Energie:
In Bezug auf den Fußboden:
Epot = 0,0278·9,81 · 0,9 = 0,245 Joule
In Bezug auf den Tisch:
Epot = 0
In Bezug auf die Decke:
Epot = – 0,63 Joule
-
Das „ “ bedeutet einen gebundenen Zustand.
Erhaltungssätze
4.2.2 Beschleunigungsarbeit, Bewegungsenergie
Auf einen
Körper wirkt
eine konstante
Kraft.
→ Gleichmäßig
beschleunigte
Bewegung
a 2
s  t
2
W = F· s
v = a·t
a
= m·a·s = m·a  t 2  m  (at) 2
2
2
Beschleunigungsarbeit:
Wkin
mv 2

2
mv ²

2
Ein Körper mit der Geschwindigkeit v hat die kinetische Energie Ekin 
Erhaltungssätze
mv ²
2
4.2.3 Freier Fall, energetisch betrachtet
s = g/2 t²
Annahme: Körper befindet sich momentan
in der Höhe h:
2
m(gt)
g
mv 2
E  EKin  Epot 
mgh 
mg(H  t 2 ) 
2
2
2
H
h
Daraus ersieht man:
mg 2t 2
mg 2t 2

 mgH 
 mgH
2
2
E = Ekin + Epot = konstant
mv 2
E
 mgh
2
In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie gleich.
Erhaltungssätze
Beispiel: Welche Maximalhöhe erreicht ein lotrecht geworfener Stein
mit der Anfangsgeschwindigkeit 20 m/s ?
Energie unten: Eu = mv ²  0
2
Energie oben:
Eo = 0 + mgh
Ansatz:
Energie unten = Energie oben
mv ²
mgh 
:m
2
v²
2
v²
h
2g
gh 
→ h = 20,3 m
Erhaltungssätze
Beispiel 2: Ausflussgeschwindigkeit:
v=?
h
v  2gh
Erhaltungssätze
4.2.4 Arbeit beim Spannen einer Feder
x
F
Erhaltungssätze
4.2.4 Arbeit beim Spannen einer Feder
x
F
Erhaltungssätze
4.2.4 Arbeit beim Spannen einer Feder
F = k·x
Arbeit W = F·s
Die Kraft ändert sich
hier (nimmt zu).
k  xx k  x 2
W

2
2
Die Verformung ist umkehrbar, d. h. die gespannte Feder kann
Arbeit verrichten.
Erhaltungssätze
k  x2
Arbeit zum Spannen einer Feder: W 
2
2
Energie der verformten Lage: E  k  x
(stellt eine potentielle
p
2
Energie dar)
Erhaltungssätze
Erhaltungssätze
4.2.5 Energieerhaltungssatz
Beispiel: Ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit v bewegt sich
auf einer horizontalen Unterlage. Reibung wird berücksichtigt.
Energie am Anfang:
Energie am Ende:
EA 
mv ²
 mgh
2
Widerspruch
EE = 0 + mgh
Die kinetische Energie wird in innere Energie umgewandelt. →
Erwärmung des Körpers.
Allgemeine Formulierung des Energieerhaltungssatzes:
E = Ekin + Epot + U = konstant U ... innere Energie
In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant.
Die einzelnen Energieformen können sich in die anderen umwandeln.
Erhaltungssätze
Erhaltungssätze
Erhaltungssätze
Erhaltungssätze
Beispiel aus der Verkehrsphysik:
Wie kann die Verletzungsgefahr minimiert werden ?
mv ²
 Fs
2
F
mv ²
2s
F ... Abbremskraft
s ... Abbremsweg
Ziel: F klein halten !
Möglichkeiten: Langsamer fahren, Erhöhen des Abbremsweges
Erhaltungssätze
Überlege
nebenstehende
Grafik!
Erhaltungssätze
4.2.6 Leistung
Bei der Arbeit spielt die Zeit keine Rolle.
Um verschiedene Arbeiten vergleichen zu können, führen wir den
Begriff der Leistung ein.
Arbeit
Leistung 
benötigte Zeit
Einheit 1 Watt = 1 J/s
W
P
t
(1 W)
Alte Leistungseinheit: 1 PS = Leistung, die benötigt wird, um 75 kg
in einer Sekunde einen Meter zu heben.
1 PS = 0,7355 kW oder ¾ kW
Erhaltungssätze
Dauerleistung eines
Menschen: Berechne
die Leistung eines
Menschen, der in 3/4 h
auf den Pfänder
wandert!
m = 58 kg, h = 644 m,
t = 45 min = 2700 s
W = 366,423 kJ
P = 135,71 W
Erhaltungssätze
Von Watt abgeleitete Einheit:
1 kWh ... 1 Kilowattstunde = Einheit für die Arbeit
1000 Wh = 1000 W·3600 s = 3600000 Ws = 3,6 MJ
Führe Aufgabe A3 Seite 64 aus!
Erhaltungssätze
4.3 Impuls und Impulserhaltung
Wir betrachten Systeme, bei denen mehrere Körper (wir behandeln hier
nur 2-Körper-Probleme) aufeinander durch Kräfte einwirken.
Beispiele:
Skateboard +
Fahrer
2 Billardkugeln
Boot + Mensch
Mit der Energie allein lässt
sich das nicht beschreiben.
(Energie ist ein Skalar!!)
Auch die Richtung ist wichtig!
Erhaltungssätze
Wir führen dazu eine weitere Größe ein:
Der Impuls:


p  m.v
Er ist ein Vektor.
Einheit: [p] = [m.v] = 1 kgms-1 = 1 Ns
Beispiel:
Berechne den Impuls eines Güterzuges (m=800 t, v=80km/h)
Lösung: p = 800000·80/3,6 = 1,78·107 kgms-1
Erhaltungssätze
Versuch:
Ergebnis: Nur 1 Kugel wird weggestoßen.
Bei 2 anstoßenden Kugeln werden 2 weggestoßen. ….
Der Impuls wird auf die letzte Kugel übertragen.
Erhaltungssätze
Warum fliegt bei 2 Kugeln nicht eine, diese dafür schneller weg?
Der Energiesatz stimmt bei einer Kugel:
mv'2
2

mv 2
2
Würde nur eine Kugel bei 2 stoßenden wegfliegen, müsste
diese den Impuls
mv' = 2mv haben → v' = 2v
Danach hätte die Kugel aber die Energie
'2
mv
E
2

4mv 2
2
 2mv 2
was ein Widerspruch zum
Energiesatz ist.
(Perpetuum mobile).
Erhaltungssätze
4.3.1 Der Impulserhaltungssatz
In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls erhalten.





P  m1v1  m2v2  m3v3  ...  mnvn
Überprüfe dies anhand der Schülerversuche M4.6
Beispiel: Mann im Boot, beide zunächst ruhend. Mann springt aus
dem Boot. mB = 100 kg; mM = 75 kg; vM = 1 m/s
Berechne die Geschwindigkeit des Bootes nach dem Absprung!
Anfang:
P=0
Nachher:
P = mB ·vB + mM·vM
Erhaltungssätze
vB = (- 75/100) . 1 = -0,75m/s
Impulssatz



p  m1v1  m2v 2  ...  const.
Erhaltungssätze
Aufgabe zum Impuls
Lösung: -0,54m/s
Aufgabe 1:
Eine Surferin (m = 50 kg) springt von einem Surfbrett (m = 9 kg) ins Wasser.
Das Brett schießt dabei mit 3 m/s nach hinten weg. Wie groß war die
Horizontalgeschwindigkeit der Surferin beim Sprung ins Wasser?
Erhaltungssätze
4.3.2 Der Impulssatz im nicht abgeschlossenen System
Betrachten wir einen frei fallenden Körper nicht im abgeschlossenen
System Erde-Körper.
Auf ihn wirkt die Kraft:
F = m·g,
Sein Impuls beträgt:
F·t
P = m·v = m·(g·t) = m·g ·t =
bzw.
v = g·t
P = F.t
P
F
t
Dies gilt ganz allgemein. P  mv  m. v  m.a  F
t
t
t
Erhaltungssätze
P
F
t
In Worten:
In einem nicht abgeschlossenen System ist die zeitliche Änderung des
Gesamtimpulses gleich der gesamten von außen angreifenden Kraft.
Beispiel: Mit einem Hammer wird ein Nagel eingeschlagen. Dazu ist es
notwendig, dass man dem Hammer eine gewisse Geschwindigkeit
erteilt - nur das Darauflegen des Hammers reicht nicht.
m = 500g.
v = 5m/s
Δ t = 0,01s
F = m.(v-0)/Δt
F = 0,5·5/0,01 = 250 N
Sein Gewicht beträgt nur 5N.
Erhaltungssätze
4.3.3 Stöße
Einteilung der Stöße:
Elastische Stöße
Keine Änderung
–
Unelastische Stöße
Änderung
der inneren Energie
Kommt es zu Formveränderungen der Körper, so hat sich ein
Teil der kinetischen Energie in innere Energie umgewandelt.
( Arbeit zum Verformen wurde verrichtet.)
Aus Gründen der Einfachheit betrachten wir nur gerade Stöße
von Massenpunkten.
Erhaltungssätze
4.3.3.1 Gerade Stöße
Vor dem Stoß:
m
v2
v
1
1
m2
Nach dem Stoß:
v'1
v'2
m1
m
2
m1, m2 … Massen der Körper
v1, v2, … Geschwindigkeiten vor dem Stoß
v1' , v '2 … Geschwindigkeiten nach dem Stoß
Erhaltungssätze
Vor dem Stoß:
m
v2
v
1
1
m2
Nach dem Stoß:
v'1
Impulserhaltung:
Energieerhaltung:
v'2
m1
m
2
m1v1  m2v 2  m1v1'  m2v '2
m1v12
2

m2 v 22
2
U 
Erhaltungssätze
'2
m1v1
2

' 2
m2 v 2
2
 U'
Gerader elastischer Stoß
Die innere Energie ändert sich nicht: U = U’
Umformen der beiden Gleichungen und auflösen nach
v1' , v '2
liefert:
v1'
2m2 v 2  (m1  m2 )v1

m1  m2
v'2
Diskutiere folgende Fälle:
•
•
•
•
Die Massen sind gleich.
Die Masse m2 >> m1.
v2 = 0 und die beiden Massen sind gleich.
m2 ist eine ruhende schwere Wand
Erhaltungssätze
2m1v1  (m2  m1)v 2

m1  m2
v1'
2m2v 2  (m1  m2 )v1

m1  m2
v'2 
2m1v1  (m2  m1)v 2
m1  m2
Lösungen:
(1) m1 = m2 :
v1'
2mv 2

 v2
mm
v'2  v1
Die Geschwindigkeiten werden ausgetauscht.
(2) Die Masse m2 >> m1 :
v1'
2m2v 2  m2v1

 2v 2  v1
m2
v'2  v2
(3) v2 = 0 und die beiden Massen sind gleich.
(4) m2 ist eine ruhende schwere Wand:
Erhaltungssätze
v1'
v1'  v1
0
v'2  v1
v'2  0
Unfairer Massenvergleich
Erhaltungssätze
Gerader unelastischer Stoß
Beim idealen unelastischen Stoß gilt: Die beiden Stoßpartner bewegen
sich nach dem Stoß mit derselben Geschwindigkeit.
'
v2

'
v1
v
'
Impulssatz:
m1v1  m2v 2  (m1  m2 )v
'
Energiesatz:
m1v12
2

m2v 22
2
U 
(m1  m2 )v
2
'2
 U'
Erhaltungssätze
m1v1  m2v 2
v 
m1  m2
'
Aufgaben zum Impuls
(Lösung: 7,94 m/s ΔU = 46,6 kJ
Bus: 11,4 km/h )
Aufgabe 2:
Ein Kleinbus (m = 2650 kg) fährt mit 40 km/h von hinten auf einen vor einer roten Ampel stehenden Kleinwagen
(m = 1050 kg) auf. Der Stoß wird als völlig unelastisch betrachtet. Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die
beiden Wracks nach dem Zusammenstoß? Ein wie großer Teil der kinetischen Energie des Kleinbusses wurde bei
dem Zusammenstoß in innere Energie umgewandelt? Welche Geschwindigkeitsänderung erfuhr der Kleinbus bei
dem Zusammenstoß? Wie groß war die des Kleinwagens?
Erhaltungssätze
4.3.3.2 Schiefer unelastischer Stoß
Stroboskopaufnahme
eines schiefen
unelastischen Stoßes.
Unelastischer Stoß auf
eine Wand. Das Auto fährt
längs der Wand weiter
Erhaltungssätze
vp
v
vn
vp
Die zur Wand parallele Komponente vp bleibt bei vernachlässigbarer
Reibung unverändert.
Die zur Wand normale Komponente und ihre Bewegungsenergie
müssen aufgezehrt werden. (→innere Energie).
Anwendung: Leitplanken am Straßenrand sollen Auto nicht
zurückwerfen.
Erhaltungssätze
Schispringer
Erhaltungssätze
• Diskutiere die für den
Aufsprung des
Schispringers
wesentlichen Aspekte!
• Welche Art von Stoß liegt
vor?
• Warum muss der
Aufsprung im Steilhang
erfolgen?
• Welchen Bruchteil der
Bewegungsenergie muss
der Springer bei einem
Aufsprungwinkel von
α = 20° auffangen?
Erhaltungssätze
vp bleibt gleich, vn ist die
Aufprallgeschwindigkeit
normal auf die Schanze.
Diese muss er mit seinem
Körper auffangen.
vn  v  sin 
Bewegungsenergie, die er
bei 20° auffangen muss:
Ekin20
m  v n20

2
Ekin20
Ekin
2
m  v n20
2
2
2
v
v

sin
20
2
2
n
20




sin
20
2
2
2
mv
v
v
2
sin2 20  0,117  11,7%
2
Erhaltungssätze
Aufgaben zum Impuls
(Lösung: 0,28 m/s Richtung Tor )
Aufgabe 3:
Elfmeterschießen: Der Tormann (m = 70 kg) fängt den mit 90 km/h anfliegenden Ball
(m = 0,8 kg) im Sprung. Welche Auswirkung hat das (physikalisch gesehen) auf die
Bewegung des Tormanns? Sie können mit den Gleichungen des unelastischen Stoßes
rechnen.
Erhaltungssätze
Aufgaben zum Impuls
Lösung: Ball -24,4 m/s; Tormann: 0,56 m/s Ri Tor
Aufgabe 4:
Elfmeterschießen: Der mit 90 km/h fliegende Ball (m = 0,8 kg) springt von den Fäusten
des Tormanns (m = 70 kg) zurück ins Spielfeld. Welche Auswirkung hat das
(physikalisch gesehen) auf die Bewegung des Tormanns? Sie können mit den
Gleichungen des elastischen Stoßes rechnen.
Erhaltungssätze
Erhaltungssätze