Magnetismus 1 Überblick über magnetische Felder

Physik BG12
Magnetismus
1 Überblick über magnetische Felder
1.1 Dauermagnete
Magnete sind uns aus dem Alltagsleben bekannt. Wir wissen, dass sie Eisen
anziehen, nicht aber Kupfer oder Aluminium. Eisen lässt sich magnetisieren,
Kupfer und Alu dagegen nicht. Wir kennen alle die kleinen Rundmagnete,
mit denen sich Notizzettel an an Flächen aus Eisen (bzw. Stahl) “ankleben”
lassen. Solche Magnete nennt man Dauer- (oder Permanent-) Magnete.
Magnete haben immer (mindestens) zwei Pole, die man in Anlehnung an
das Magnetfeld der Erde Nord- bzw. Südpol nennt. Die Erde ist von einem
Magnetfeld umgeben. Mit einer Kompassnadel können wir die Nordrichtung
bestimmen (das blaue Ende zeigt nach Norden) und uns damit orientieren.
Dazu muss man wissen: am geografischen Nordpol (etwas daneben in Nordkanada) befindet sich ein magnetischer Südpol! Das gebläute Ende der Kompassnadel stellt also einen Nordpol dar.
Versuch: eine Kunststoffschale wird mit Wasser (mit ein wenig Spülmittel)
gefüllt. In das Wasser wird ein Korken mit einem Eisennagel gesetzt (möglichst in der Mitte). Ein Stabmagnet am Rand des Gefäßes führt zu einer
Bewegung des Korkens, zuerst ganz langsam, dann immer schneller werdend, bis er schließlich gegen die Wand knallt.
Versuch: Der Stabmagnet wird neben eine Kompassnadel gehalten. Sie
weist zum grünen Ende hin. Das grüne Ende ist also ein Südpol. Durch
Bewegung des Magneten kann man sehen, wie die Nadel dem Magnetfeld
des Magneten folgt.
Mit einer Kompassnadel kann man die Richtung von Magnetfeldlinien sichtbar machen. Die Feldlinien verlaufen per Definition vom Nord- zum Südpol.
Sie geben damit die Kraft an, die auf einen magnetischen Nordpol wirkt. Das
blaue Ende der Kompassnadel, ein Südpol, zeigt zum Nordpol hin. Die Feldlinien des Magnetfelds bilden stets geschlossene Linien. Das liegt daran,
dass es keine einzelnen Magnetpole (sog. Monopole) gibt, sondern immer
nur Paare. Wenn man einen Stabmagneten zersägen würde, entstünde
daraus nicht ein Nord- und ein Südpol, sondern wieder zwei kleinere Stabmagnete mit je einem Nord- und Südpol. Es gibt auch Magnete mit 4 Polen
(Quadrupol-Magnet) oder mit 6, aber keine mit 3 oder 5 Polen.
Versuch: Das Magnetfeld eines Stabmagneten wird durch Eisenfeilspäne
sichtbar gemacht. Es zeigt sich deutlich ein Dipolfeld, das dem aus der
Elektrostatik bekannten Dipolfeld ähnelt.
Es gibt keine magnetischen Monopole. Magnetpole treten immer paarweise
auf. Daher sind Magnetfeldlinien immer geschlossen.
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
1
Physik BG12
1.2 Das Magnetfeld elektrischer Ströme
Buch S. 289: Der Däne Christian Oersted fand 1820 heraus, dass ein Magnetfeld auch durch einen Strom erzeugt werden kann. Diese Entdeckung gilt
ganz allgemein für Gleich- und Wechselströme und hatte weitreichende Folgen. In den Bilder 1 und 2 wird Oersteds Versuch und das Ergebnis gezeigt:
ein stromdurchflossener Leiter ist von einem ringförmigen Magnetfeld
umgeben.
Versuch: Durch einen Kupferdraht wird ein Strom von ca. 10 A geschickt (24
Windungen von der Spule mit 72 Windungen in Reihe schalten). Das Feld
wird mit Eisenfeilspäne sichtbar gemacht. Bild: Magnetfeld_um_Draht.pdf.
Die Richtung der Feldlinien lässt sich so ermitteln: weist der Daumen der
linken Hand in die Richtung des Elektronenflusses, zeigen die gekrümmten
Finger in die Richtung des Magnetfelds, s. Bild 5 auf S. 291.
In unserem Buch wird meist auf die Richtung des Elektronenflusses Bezug genommen. Das ist unüblich. Im
Allgemeinen bezieht man sich auf die technische
Stromrichtung, die der Elektronenrichtung entgegengesetzt ist. Dann muss man die rechte Hand nehmen!
Im Folgenden meint Stromrichtung immer die technische Stromrichtung (wie nebenstehend gezeigt).
Die Richtung der Magnetfeldlinien ist so definiert, dass sie die Kraftrichtung
auf einen Nordpol angibt.
Hausaufgabe 1
Lesen Buch S. 289.
Ein gerader stromdurchflossener Leiter ist von einem ringförmigen Magnetfeld umgeben. Die Richtung des Magnetfelds zeigen die gekrümmten Finger
der linken Hand an, wenn der Daumen in Richtung der Elektronen zeigt. Für
die technische Stromrichtung muss man die rechte Hand nehmen.
Oersteds Entdeckung wurde weiterentwickelt und führte zur Erfindung des
Elektromotors, der Lokomotiven antreibt (Buch S. 289 Bild 3 und 6), aber
auch zur Erfindung des Generators, den wir vom Fahrrad als Dynamo kennen und der in Kraftwerken elektrische Energie erzeugt. Das Magnetfeld von
Spulen lenkt Elektronen ab und erzeugt so das Fernsehbild (Kathodenstrahlröhre, s. Bild 4 und 7 und Folie von Datei Fernseher-Ablenkspule.JPG,
Bild: Fernseher_Ablenkspule.pdf), andererseits führt es die Elektronen in
Beschleunigungsringen beim Forschungsinstitut DESY in Hamburg (Bild 5).
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
2
Physik BG12
Mit Spulen lassen sich starke Magnetfelder erzeugen, sie wirken quasi wie
ein „Verstärker“ für Magnetfelder. Den Grund dafür erkennen wir in Bild 6
auf S. 291: Eine zu einem Kreis gebogene Leiterschleife erzeugt ein Magnetfeld, das sich in der Mitte verstärkt. Man denkt sich dazu den Draht in
kleine Stücke zerlegt. Um jedes Drahtstück entsteht das ringförmige Magnetfeld, das wir bereits von einem stromdurchflossenen Draht her kennen.
In der mittleren Zone treffen diese einzelnen Magnetfelder gleichsinnig aufeinander und addieren sich daher. Durch eine zweite Leiterschleife kommt
nocheinmal ein ebensogroßes Magnetfeld hinzu, insgesamt entsteht ein doppelt so starkes Magnetfeld. Bei einer dritten Leiterschleife wiederholt sich der
Vorgang abermals, das Feld ist nun dreimal so stark. Setzt man diesen Vorgang fort, so gelangt man zu dem Schluss, dass bei n Leiterschleifen das
Magnetfeld n-mal so stark wie bei einer einzelnen Leiterschleife sein muss.
Dabei müssen die einzelnen Leiterschleifen nicht einzeln an Spannungsquellen angeschlossen sein, der Verstärkungseffekt tritt ebenso bei den (miteinander spiralig verbundenen) Windungen einer Spule auf.
Versuch: Durch eine Leiterschleife aus 2 Kupferwindungen wird ein Strom
von ca. 10 A geschickt. In die Mittelebene der Leiterschleife wird eine Pappe
geklemmt. Aufgestreute Eisenfeilspäne lassen die Magnetfeldlinien erkennen. Man kann deutlich den Übergang von einem ringförmigen Magnetfeld in
der Nähe des Leiters zu einem ungefähr homogenen Feld im Zentrum
beobachten.
Versuch: Durch eine Spule wird ein starker Strom von ca. 9 A geschickt. Das
Magnetfeld der Spule wird mit Eisenfeilspänen sichtbar gemacht. Bild:
Magnetfeld_Spule.pdf
Die Richtung des Magnetfeldes ergibt sich wieder folgendermaßen: Legt man
die gekrümmten Finger der rechten Hand in die Richtung des Stroms (technische Stromrichtung!), weist der Daumen in die Feldrichtung. Im Außenraum der Spule verlaufen die Feldlinien vom Nord- zum Südpol, im Innenraum ist es umgekehrt.
Hausaufgabe 2
a)
Erläutern Sie den Verstärkungseffekt einer stromdurchflossenen Spule.
b)
Lesen S. 291 oben „Bewegte Ladungen erzeugen Magnetfelder“
Man kann deutlich eine Ähnlichkeit mit dem Feld eines Stabmagneten
erkennen.
Folie Magnetfeld Spule – Stabmagnet
Das Magnetfeld einer Spule ähnelt dem Feld eines Stabmagneten. Dies ist
natürlich kein Zufall. Man stellt sich vielmehr vor, dass auch in einem
Permanentmagneten auf atomarer Ebene kleine Kreisströme fließen, die sich
in ihrer Wirkung auf der Oberfläche summieren und so das Magnetfeld
erzeugen.
In Eisen ordnen sich diese atomaren Magnete zu mikroskopisch (etwa 10 bis
100 µm) kleinen Bereichen (sog. Weiß’sche Bezirke), die zwar in sich ein20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
3
Physik BG12
heitlich magnetisiert sind, aber normalerweise regellos im Eisen angeordnet
sind. Dadurch ist Eisen zunächst unmagnetisch. Die Weiß’schen Bezirke lassen sich aber in einem äußeren Magnetfeld von genügender Stärke einheitlich ausrichten. Dadurch summieren sich ihre Magnetfelder. Die Ausrichtung bleibt auch dann noch erhalten, wenn das äußere Magnetfeld wieder abgeschaltet wird, ein Permanentmagnet ist entstanden.
1.3 Elektrische Ströme im Magnetfeld: die Lorentzkraft
Bisher haben wir gesehen: Ströme erzeugen ein Magnetfeld, das auf magnetische Körper (z. B. eine Kompaßnadel) in seiner Nähe eine Kraft ausübt.
Jetzt untersuchen wir die Umkehrung dieses Effekts: Werden auch Kräfte auf
einen stromdurchflossenen Draht ausgeübt, der in einem Magnetfeld verläuft? (Buch S. 291/292)
1.3.1 Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter
Versuch: Ein dünner Kupferdraht wird zwischen zwei Stative lose aufgehängt
und die Enden an Isolatoren angebunden und mit Tesafilm verklebt. Der
Draht wird über eine Spule als Vorwiderstand an eine Spannungsquelle
angeschlossen. Schaltbild:
Spule, 24
Wdg.
ca. 1 A
dünner, durchhängender Kupferdraht
+
I
U0
Über den Draht wird an seiner tiefsten Stelle ein U-Magnet geschoben. Beim
Einschalten des Stroms wird der Draht, je nach Stromrichtung, in den Magneten hineingezogen bzw. aus ihm herausgedrängt. Nach dem Umdrehen
des Magneten verhält es sich genau umgekehrt. Der U-Magnet wird unter
verschiedenen Winkeln neben den Draht gehalten. Dabei erkennen wir, dass
der Effekt am stärksten ist, wenn der Magnet senkrecht zum Draht steht.
Wird er dagegen parallel zum Draht gehalten, ist (fast) keine Beeinflussung
des Drahtes erkennbar.
F
Die Kraft, die dabei auf den Draht wirkt, nennt
sich nach dem niederländischen Physiker Hendrik
Antoon Lorentz Lorentzkraft. Die Lorentzkraft
I
wirkt immer senkrecht zur Magnetfeldrichtung
und senkrecht zur Stromrichtung. Man kann sich
B
das leicht merken:
a)
Dreht man den Strompfeil über den kleineren
Winkel in den Magnetfeldpfeil, so zeigt die
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
4
Physik BG12
Kraft in Richtung einer Schraube, die so gedreht wird.
b)
Weist der Daumen der rechten Hand in die Stromrichtung, der Zeigefinger in die Magnetfeldrichtung, so zeigt der abgewinkelte Mittelfinger in
die Kraftrichtung. Reihenfolge der Finger: IBF (rückwärts: FBI).
Wenn man die Elektronenflussrichtung betrachtet, muss man wieder die
linke Hand (bzw. eine Linksschraube) nehmen (vgl. Bild 1 auf S. 292).
Hausaufgabe 3
a)
Beschreiben Sie den Versuch und deuten Sie seinen Ausgang.
b)
Lesen S. 291 unten „Grundlagen: Bewegte Ladungsträger im Magnetfeld...“ mit schriftl. Zusammenfassung.
1.3.2 Kraft auf zwei parallele Leiter
Vgl. Buch S. 292: Wir sahen bereits, dass ein Strom ein Magnetfeld erzeugt.
Verlaufen zwei Drähte parallel, so hat das zur Konsequenz, dass ein Draht
(B) im Magnetfeld des anderen (A) liegt. Auf ihn (B) wirkt daher eine
Lorentzkraft. Nach dem 3. Newtonschen Axiom wirkt auf A eine gleichgroße
Wechselwirkungskraft. Werden beide Leiter von Strom in der gleichen Richtung durchflossen, so kommt es zu einer Anziehung der beiden Drähte, bei
entgegengesetzter Stromrichtung zur Abstoßung.
Versuch: Zwei dünne Kupferdrähte werden lose zwischen zwei Stativstangen
aufgehängt. Durch die Drähte wird ein Strom geschickt. Durch einen Schalter können die Drähte vom Stromfluß abgekoppelt werden. Durch periodisches Schalten erkennt man eine kleine Bewegung der Drähte.
Hausaufgabe 4
Wie verhält es sich bei zwei gekreuzten Leitern?
2 Quantitative Beschreibung des Magnetfelds
2.1 Definition der Magnetfeldstärke durch die Lorentzkraft
Buch S. 293 unten: Die Lorentzkraft ist eine mechanische Größe, die man
mit einem Kraftmesser (Feder) messen kann. Über die Lorentzkraft gelangen
wir zu einer genauen Definition der Magnetfeldstärke B (B wurde früher oft
auch als magnetische Flußdichte bezeichnet).
Die Lorentzkraft ist zur Stromstärke und zur Magnetfeldstärke proportional.
Sie hängt zudem noch vom Winkel zwischen Strom- und Magnetfeldrichtung
ab. Verläuft der Strom genau parallel zu den Feldlinien, tritt keine Lorentzkraft auf. Verläuft der Strom genau senkrecht zum Magnetfeld, erreicht die
Lorentzkraft ihren größten Wert. Aus diesen beiden Extremwerten kann man
erraten, dass hier wohl der Sinus des eingeschlossenen Winkels eine Rolle
spielt.
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
5
Physik BG12
Um das herzuleiten, betrachten wir
I
die nebenstehende Abbildung. In
Is Ip = I cos γ
einem Drahtstück fließe ein Strom I,
Is = I sin γ
der durch die Strömung von (geγ
B
dachten positiven) Ladungsträgern
Ip
hervorgerufen wird. Die Geschwindigkeit der Ladungsträger sei v. Die
Geschwindigkeit wird nach Größe und Richtung durch einen Pfeil (Vektor)
dargestellt. Da der Strom in der gleichen Richtung dieser Ladungsträger
fließt, können wir ihm die Richtung der Geschwindigkeit zuordnen und
erhalten so einen Stromvektor I. Der Stromvektor weist hier also in Richtung
der technischen Stromrichtung. Das Magnetfeld, es wird üblicherweise mit B
bezeichnet, schließe nun mit dem Strom- bzw. Geschwindigkeitsvektor den
Winkel γ ein. Trick: Wir denken uns die tatsächliche Bewegung der Ladungsträger zerlegt in zwei Teilbewegungen, die sich überlagern und zusammen
wieder die tatsächliche Bewegung ergeben. Die eine Teilbewegung verlaufe
nun parallel zum Magnetfeld mit der Geschwindigkeit vp (entsprechend dem
Strom Ip), die andere (vs) senkrecht dazu (entsprechend dem Strom Is). Das
aus I, Ip und Is gebildete Dreieck ist rechtwinklig und man liest aus der
Abbildung ab:
Ip = I cos γ
Is = I sin γ
Auf die parallel zum Magnetfeld verlaufende Geschwindigkeit bzw. den zugehörigen Strom Ip wirkt dann keine Lorentzkraft, sondern nur auf Is. Die
Lorentzkraft ist also proportional zu sin γ.
Anm.: Alternativ kann man auch den Vektor des Magnetfelds B in eine
Komponente, die parallel zu I verläuft (B cos γ), und eine dazu senkrechte
Komponente (B sin γ) zerlegen. Für die Lorentzkraft wirksam ist nur die
senkrechte Komponente B sin γ.
Wenn wir alles bisher gesagte zusammenfassen, erhalten wir für die
Lorentzkraft FL:
Formel 1: FL ~ B I sin γ
Hausaufgabe 5
Das Magnetfeld (s. Zeichnung) sei homogen und weise genau nach oben
(in Richtung der z-Achse). Der Winkel γ, den die 3 Ströme mit dem Magnetfeld einschliessen, sei in allen 3 Fällen gleich gross. Zeichnen Sie in die
xy-Ebene die Komponente des Stroms ein, die für die Lorentzkraft relevant ist. Zeichnen Sie in einer anderen Farbe die wirkende Lorentzkraft
(als Vektor) ein.
Hausaufgabe 6
Bei einem Winkel von 30° zwischen Magnetfeld und einem Draht, durch
den ein Strom fließt, wirkt auf den Draht eine Lorentzkraft FL. Beim doppelten Winkel ist die Lorentzkraft dann
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
6
Physik BG12
a. 2 mal
b. 1,5 mal
c.
2 mal
d.
3 mal so groß.
Eine Kleinigkeit fehlt noch: Es kommt auch auf die Länge des Drahtes an, die
im Magnetfeld verläuft. Das liegt daran, dass die Lorentzkraft auf die Ladungsträger im Draht wirkt, die den Strom bilden. Je mehr Ladungsträger
vom Magnetfeld erfasst werden, desto größer ist die Kraft. Daher ist die
Lorentzkraft auch zu dieser Länge (s) proportional. Weitere Abhängigkeiten
zeigen sich nicht. Wir erhalten (der Proportionalitätsfaktor wird gleich 1
gesetzt):
Formel 2: FL = B I s sin γ
Feldrichtung
mit γ = Winkel zwischen Strom- und
Die Kraft lässt sich mit einem Kraftmesser messen, die Stromstärke mit
einem Strommesser, die Strecke s kann zumindest näherungsweise mit
einem Meterstab gemessen werden (näherungsweise deshalb, weil es hier
auf die im Magnetfeld verlaufende Strecke ankommt und der „Rand“ des
Magnetfelds nicht exakt bestimmt werden kann). Somit kann diese Gleichung für die Definition der Magnetfeldstärke B herangezogen werden. Speziell bei einem rechten Winkel zwischen Strom- und Magnetfeldrichtung
ergibt sich daraus für B:
Formel 3: B =
FL
(s⊥=zu B senkrechte Komponente)
Ι∗s⊥
Diese Formel ist im Buch auf S. 294 angegeben. Als Einheit für B ergibt sich
daraus N/(A m), eine Einheit, die man zu Ehren des amerikanischen Physiker
Nicola Tesla auch als Tesla (T) abkürzt:
1T=1
N
Am
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
7
Physik BG12
Beispiel: Bezogen auf die Abb. 8 auf
S. 293 im Buch sei jetzt B = 0,2 T und
I = 2,5 A gegeben. Im Fall a verlaufe
der Leiter gerade durch die Polschuhe,
also senkrecht zum Magnetfeld, im
Fall b und c dagegen schräge. Es ist in
allen 3 Fällen die Lorentzkraft auf das
Drahtstück zu berechnen.
Fall a: In diesem Fall ist sin γ = 1, so
dass sich Formel 2 vereinfacht zu
FL = B·I·s
Dabei ist s = 0,07 m zu nehmen.
FL = 0,2 T·2,5 A·0,07 m =
0,035 N = 35 mN.
N
EN: TAm =
·Am = N.
Am
Fall b: Der Leiter ist jetzt länger (s = 2² + 7² cm = 7,28 cm), aber das
senkrecht zu B verlaufende Leiterstück ist wieder 7 cm lang.
Probehalber berechnen wir die Länge:
tan γ = 7/2 = 3,5 ⇒ γ = 74,05°.
sin γ = 0,9615 ⇒ s·sin γ = 7,28 cm·0,9615 = 7 cm.
Es ergibt sich somit auch die gleiche Lorentzkraft.
Fall c: Der Leiter sei nun wie in Fall a 7 cm lang, verlaufe aber schräg im
Magnetfeld wie im Fall b, also γ = 74,05°. Dann ist die Lorentzkraft:
FL = B·I·s·sin γ = 35 mN·0,9615 = 33,65 mN
Auf einen stromdurchflossenen Draht, der sich in einem Magnetfeld B befindet, wirkt die sog. Lorentzkraft. Bei einem Winkel γ zwischen Strom- und
Magnetfeldrichtung lässt sich die Lorentzkraft berechnen nach
FL = B I s sin γ
Die Kraftrichtung kann mit der rechten Hand (Elektronen: linke Hand)
bestimmt werden:
Daumen in Stromrichtung (I)
Zeigefinger in Magnetfeldrichtung (B)
abgewinkelter Mittelfinger in Kraftrichtung (F).
Magnetfelder werden in Tesla (T) gemessen, wobei gilt: 1 T=1 N/(Am).
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
8
Physik BG12
Hausaufgabe 7
a)
Anschließend an die Hausaufgabe 5 berechnen Sie nun die Kraft auf
1 cm Drahtlänge, wenn der Strom I = 1,25 A, das Magnetfeld 35 mT
und der Winkel γ =30° beträgt.
b)
Im Buch S. 295 A1.
Lösung:
a)
b)
2.2 Lorentzkraft auf ein Elektron
2.2.1 Elektronenbewegung im homogenen Magnetfeld
Vgl. Buch S. 294 unten.
In diesem Abschnitt wird die Lorentzkraft hergeleitet, die auf ein einzelnes
Elektron wirkt. Die Herleitung wird anhand eines stromdurchflossenen Drahtes durchgeführt, sie gilt aber ebenso für frei fliegende Elektronen, z. B. die
Elektronen, die in einer Fernsehröhre von der Kathode zur Anode fliegen.
Die Herleitung benutzt eine Methode, die ich „die Methode des mitfahrenden
Fahrstuhlkorbs“ nennen möchte und die häufig bei Strömungsproblemen
verwendet wird.
In der folgenden Abbildung betrachten wir einen gedachten Zylinder der
Länge s, der den gleichen
Querschnittsfläche A
Durchmesser wie der Draht
hat (gestrichelt gezeichnet).
Der Strom I in dem Draht
s=vt
wird durch einen Fluss von
Leitungselektronen verursacht. Auch wenn sich die
einzelnen Elektronen unterschiedlich schnell bewegen
(in der Abbildung nach rechts), lässt sich doch ein Durchschnittswert für
deren Geschwindigkeit angeben, er sei v. Der gedachte Zylinder möge sich
nun wie ein Fahrstuhlkorb mit der gleichen Geschwindigkeit v nach rechts
bewegen. Dadurch bleibt die Anzahl der im Zylinder enthaltenen Elektronen
im Durchschnitt konstant, sie werde mit Ns bezeichnet.
Nach einer gewissen Zeit ts hat sich der Zylinder mit den darin enthaltenen
Elektronen um seine eigene Länge s fortbewegt. Nach dem Weg-Zeit-Gesetz
der gleichförmigen Bewegung gilt dann für s, v und ts die Beziehung
s = v ts
In dieser Zeit sind alle Elektronen durch die Querschnittsfläche A, die zu
Beginn die vordere Stirnfläche des Zylinders war, hindurchgewandert. Die
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
9
Physik BG12
durch die Elektronen gebildete Ladung ist Qs = Ns∗e. Der Strom, den die
Elektronen hervorrufen, ist definitionsgemäß die pro Zeiteinheit durch einen
Drahtquerschnitt fließende Ladung. Also gilt
I = Qs / ts = Ns e / ts
Wird der Draht von einem Magnetfeld B senkrecht durchsetzt, so wirkt auf
ihn die Lorentzkraft
Ns e
s
FL = B I s = B
s = B Ns e
= B Ns e v
ts
ts
Die auf ein Elektron wirkende Kraft ist dann
FL
=Bev
Ns
Wir bezeichnen diese Kraft pro Elektron mit FL,1e (im Buch leider wieder mit
FL). Wenn das Magnetfeld den Draht nicht senkrecht, sondern unter einem
Winkel γ durchsetzt, gilt entsprechend:
Formel 4: FL,1e = B e v sin γ
Übungsaufgabe: Elektronen werden in einer Kathodenstrahlröhre (Computermonitor, CRT = cathod ray tube) durch eine Hochspannung von
1200 V beschleunigt. Angenommen, die Ablenkspulen erzeugen ein
Magnetfeld von 0,15 mT. Wie groß ist die Lorentzkraft auf die Elektronen bei senkrechter Durchdringung des Magnetfeldes?
Lösung: Zunächst muss die Geschwindigkeit der Elektronen berechnet
werden, die sie durch das elektrische Feld zwischen Kathode und Anode
(Bildschirm) erhalten. Aufgrund des Energieerhaltungssatzes wird die
Beschleunigungarbeit Wkin durch die elektrische Arbeit WK,A aufgebracht:
Wkin = WK,A
Da die Elektronen die Kathode mit einer vernachlässigbar kleinen Geschwindigkeit verlassen, können wir Wkin mit 1/2mv² ansetzen. Bei der
elektrischen Arbeit bedenken wir, dass QP = e ist. Wir erhalten so:
1
/2mv² = eU
v=
| auflösen nach v
2eU/m
Beim Einsetzen der Zahlenwerte ist zu bedenken, das m in der Formelsammlung in u angegeben ist und in kg umgerechnet werden muss.
v=
EN.:
2∗1,6022∗10-19 C∗1200 V
= 2,055∗107 m/s
5,4858∗10-4 ∗1,66054∗10-27 kg
CV/kg = J/kg =
kg m²/s²
= m²/s² =m/s kg
Wenn die Elektronen dieses Magnetfeld senkrecht durchfliegen, erfahren
sie nach Formel 4 eine Lorentzkraft von
FL,1e = 0,15∗10-3 T∗1,6022∗10-19 C∗2,055∗107 m/s = 4,938∗10-16 N
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
10
Physik BG12
EN: T∗C∗m/s =
N As m
=N
Am s
Zusatzfrage:
Wie groß ist die Elektronengeschwindigkeit in Prozent der Lichtgeschwindigkeit? 2,055∗107 m/s / 2,9979∗108 m/s ∗ 100% = 6,85%.
Die berechnete Lorentzkraft erscheint zunächst einmal äußerst gering
zu sein. Das liegt aber an der „großen“ Einheit Newton, die für makroskopische Körper angemessen ist, nicht jedoch für Elementarteilchen.
Wir vergleichen die Kraft mit der Gewichtskraft eines Elektrons:
m = 5,4858∗10-4 ∗1,66054*10-27 kg = 9,109∗10-31 kg
FG = m∗g = 9,109∗10-31 kg∗9,81 m/s2 = 8,936∗10-30 N
Verglichen damit ist die Lorentzkraft also viel größer, genau gesagt um
den Faktor 5,64∗1013, m. a. W. ist das Elektron einer Beschleunigung
von 5,64∗1013 g ausgesetzt, ein Wert, der jeden Menschen sofort zerquetschen würde!
2.2.2 Der Hall-Effekt
Buch S. 296: Der Hall Effekt wird meist für halbleitende Materialien (hauptsächlich Germanium und Silizium) diskutiert, tritt aber in Metallen grundsätzlich auch auf. Der Effekt, d. h. die Hall-Spannung, ist jedoch in Halbleitern viel größer (vgl. Aufg. A3 e).
Die Erörterung in dem Artikel „Grundlagen: Der Hall-Effekt“ bedarf keiner
weiteren Erläuterung. Der Hall-Effekt ist das erste und zugleich ein sehr
schönes Beispiel für das Zusammenwirken zweier Kräfte (elektrischer und
magnetischer), die hier ein Kräftegleichgewicht bilden (vgl. im Buch S. 7/8).
Folie Halbleiterplättchen
Die Gleichung (1) im Buch S. 296
UH = b v B
eignet sich noch nicht, um Magnetfelder zu vermessen, da darin die
Geschwindigkeit v der Ladungsträger vorkommt. In Aufgabe 3 b ist eine
Gleichung (2) angegeben, die die Geschwindigkeit der Ladungsträger mit der
Stromstärke in Beziehung bringt. Diese Gleichung soll nun hergeleitet
werden.
Wir benutzen dazu wieder die „Methode des mitfahrenden Fahrstuhlkorbs“
für einen runden Draht (für einen rechteckigen funktioniert es aber genauso). Dazu stellen wir uns im
Querschnittsfläche A
Draht ein zylinderförmiges Teilvolumen V vor, das sich mit den
Ladungsträgern bewegt. Der
s=vt
Strom I war definiert als die
Ladungsmenge, die pro Zeiteinheit durch einen Querschnitt
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
11
Physik BG12
des Leiters fließt. Dieser Querschnitt sei die rechte Stirnfläche des Teilvolumens zum Zeitpunkt t=0 (obere Abbildung).
Der Zylinder bewegt sich nun mit den Elektronen mit einer Geschwindigkeit
v nach rechts, so dass er sich zu einem späteren Zeitpunkt t gerade einmal
um seine eigene Länge nach rechts bewegt hat. Er hat sich also in der Zeit tS
vollständig durch den anfangs betrachteten Querschnitt hindurchbewegt.
Stoff Ladungsdichte
Welche Ladung ist nun durch den Querschnitt ge[C/mm3]
flossen? Um diese Frage zu beantworten, ist ein
Li
7,4617
Kunstgriff nötig: Wir führen die neue Größe LaNa
4,0101
dungsdichte als Ladung pro Volumen (das die
Mg
14,3519
Ladung einnimmt) ein und verwenden für sie den
Al
29,8707
Formelbuchstaben q:
K
2,2780
Formel 5: q = Q / V
Cu
13,5920
Rb
1,7866
Der Grund dafür ist, dass die Ladungsdichte eine
Ag
9,4114
Materialkonstante ist (einige Werte s. Tabelle).
Cs
1,3771
Anmerkung: Diese Vorgehensweise ist völlig anaAu
9,4883
log zu der (Massen-) Dichte eines Stoffs. Sie wird
InSb
2,40∗10-6
auch spezifisches Gewicht genannt und ist als
Ge
3,68∗10-9
Masse pro Volumen definiert. Sie wird üblicher2,88∗10-11
weise mit bezeichnet: = m / V (in kg/m³). Sie Si
GaAs
2,08∗10-16
ist ebenfalls eine Materialkonstante und kann in
Tabellenwerken nachgeschlagen werden.
Zur Orientierung sind in der nebenstehenden Tabelle einige Werte für die
Ladungsdichte verschiedener Materialien aufgeführt. Die Werte für Halbleiter
(InSb, Ge, Si, GaAs) gelten für Zimmertemperatur und hängen stark von der
Temperatur ab.
Mit Hilfe dieser neuen Größe Ladungsdichte lässt sich die Ladung in dem
betrachteten Volumen V ausdrücken als
Q = q∗V
Das Volumen eines Zylinders mit Stirnfläche A und Länge s ist gegeben
durch
V = s∗A
Eingesetzt ergibt sich somit Q = q∗s∗A.
Die Ladungsträger, die die Ladung Q darstellen, mögen sich durch eine
angelegte Spannung mit der Durchschnittsgeschwindigkeit v bewegen. Der
gedachte Zylinder bewege sich dann ebenfalls mit der Geschwindigkeit v
(nach rechts in der Abbildung). Die Länge s des Zylinders ist nach dem WegZeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung gegeben durch
s = v∗tS
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
12
Physik BG12
wobei tS die Zeit sei, in der der Zylinder sich gerade um seine eigene Länge
s fortbewegt. Wenn wir dies einsetzen erhalten wir
Q = q∗v∗tS∗A
Der Strom I ist dann die geflossene Ladung geteilt durch die Zeit tS, also:
Formel 6: I = q∗v∗A
Damit wird die Stromstärke in Beziehung zur Geschwindigkeit der Ladungsträger gesetzt.
Beispiel: Wie groß ist die Elektronengeschwindigkeit in einem Silberdraht
von 0,75 mm2 Querschnitt bei einem Strom von 0,5 A?
Lösung: Wir lösen auf: v = I / (q A). Einsetzen der Werte ergibt (dabei
berücksichtigend, dass 1 C = 1 As):
v = 0,5 A / (9,4114∗109 As/m3∗0,75∗10-6 m2) = 7,084∗10-5 m/s
Die Elektronen fließen also selbst bei diesem relativ starken Strom sehr
langsam (70,84µm/s).
Hausaufgabe 8
Wie groß ist der Strom in einem Kupferdraht von 0,5 mm Durchmesser,
wenn die Elektronengeschwindigkeit v=0,05 mm/s beträgt? Welche
Elektronengeschwindigkeit ergibt sich bei gleichem Strom, wenn der
Drahtdurchmesser halbiert wird (ohne Rechnung)?
Lösung: A = 1,963
C m
∗ ∗m² = C/s = A, Wert:
Einheit:
m³ s
halber Durchmesser ⇒
Im Buch wird jedoch nicht die Ladungsdichte q benutzt, sondern die Elektronendichte n= N/V (N= Anzahl der Elektronen im Volumen V). Da jedes
Elektron eine Ladung vom Betrage e trägt, ist die Ladungsdichte (dem
Ne
Betrage nach)
= n e. Somit stellt der Ausdruck n e die Ladungsdichte q
V
dar:
q=ne
Anm.: Auf das negative Vorzeichen der Elektronenladung kommt es in
diesem Zusammenhang nicht an. Es drückt lediglich aus, dass sich ein
Elektron nicht in Richtung des elektrischen Feldes (bzw. der Spannung U)
bewegt, sondern entgegengesetzt dazu (physikalische Stromrichtung).
Das würde nur die Stromrichtung ändern, nicht aber die Stromstärke.
Ein einfaches Beispiel mit Äpfeln verdeutlicht diesen Zusammenhang:
Ein Lkw hat ein Ladevolumen von 25 m³ und ist mit 10 000 Äpfeln (=N)
beladen. Die Apfeldichte n ist dann
n = 10 000/25 m³ = 400/m³.
Hat ein Apfel eine Masse ( e) von 0,2 kg, so ist das Gesamtgewicht
mges. = 10 000∗0,2 kg = 2000 kg ( N·e)
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
13
Physik BG12
Die Massendichte ist dann
= 2000 kg/25 m³ = 80 kg/m³ ( q).
Das gleiche Ergebnis erhalten wir auch, indem wir die Apfeldichte n mit
der Masse eines Apfels multiplizieren:
= 400/m³∗0,2 kg = 80 kg/m³.
Für Kupfer ergibt sich beispielsweise eine Elektronendichte von
n = q/e =
13,5920 C/mm³
= 8,483∗1019 1/mm³
1,6022∗10-19 C
Somit ergibt sich für den Strom I:
Formel 7: I = n e v A
Aus der Gleichung (1) auf S. 296 (UH = b v B) kann nun v eliminiert werden.
Wir lösen die vorige Gleichung nach v auf und erhalten:
v = I / (neA)
Dies setzen wir in (1) ein und erhalten:
UH = b
I
I
I
B=b
B=
B
neA
nebd
qd
Formel 8: UH =
N.B.: A=bd
IB
qd
Wichtigstes Ergebnis: Die Hall-Spannung ist der Magnetfeldstärke proportional! Außerdem führen Plättchen mit geringer Breite (d) und geringer Elektronendichte zu hohen Hall-Spannungen. Daher eignen sich Halbleiter besser
zur Messung von Magnetfeldern als Metalle.
Ein Beispiel: Ein Siliziumplättchen mit d=1 mm Breite wird von einem Strom
von I = 2 mA durchflossen. Es befindet sich in einem Magnetfeld von
B = 100 mT. Wie groß ist die Hall-Spannung?
Lösung: Aus der Tabelle entnehmen wir die Ladungsdichte für Silizium:
q = 2,88∗10-11 C/mm³.
Gegebene Größen in Standardeinheiten umrechnen:
d = 1∗10-3 m
I = 2∗10-3 A
B = 100∗10-3 T
q = 2,88∗10-11 ∗109 C/m³ = 2,88∗10-2 C/m³
UH = 2∗10-3 A∗100∗10-3 T/(2,88∗10-2 C/m³∗1∗10-3 m) = 6,944 V
EN:
A∗T
A∗T
A∗T∗m²
A∗N∗m²
Nm J
=
=
=
=
= =V
C
C
C
C∗A∗m
C
C
∗m
m³
m²
Zum Vergleich: Wie groß wäre die Hall-Spannung bei einem Plättchen
aus Kupfer?
Lösung: q = 13,5920 C/mm³ = 13,5920∗109 C/m³
20.05.15, 22:32
© K.-B. Rohloff
BG12_2014_Magnetismus.doc
14