Gravitationsgesetz - Universität Bayreuth

Gravitationsgesetz
1. Der Jupiter hat etwa 60 Monde auch
Trabanten genannt. Der Durchmesser seines größten Mondes Ganymed
beträgt 5262 km. Es gibt aber auch
Monde die nur einen Durchmesser
von etwa einem Kilometer haben.
Die Monde des Jupiters unterscheiden
sich relativ stark in ihrer Dichte. Nebenstehend wurde aber eine Auswahl
von relativ kleinen Monden getroffen,
die sich in ihrer Dichte nicht sehr unterscheiden.
Name
d in km
m in kg
Chaldene
4
Callirrhoe
9
7,5 · 1013
Ananke
28
Sinope
38
Carme
46
8,7 · 1014
3,0 · 1016
7,6 · 1016
1,3 · 1017
In dieser Tabelle bezeichnet d den
Durchmesser und m die Masse des
Trabanten.
(a) Berechne die Dichte für Carme.
(b) Erstelle ein d–g–Diagramm für die Trabanten. Dabei soll g die Fallbeschleunigung an der Oberfläche des Mondes sein. Wähle auf der d–Achse für fünf
1
ms−2
Kilometer einen Zentimeter und auf der Hochwertachse entspricht 2000
einem Zentimeter. Welchen Vernmutung kannst du für den Zusammenhang
zwischen d und g deinem Diagramm entnehmen?
(c) Beweise die von dir in der vorigen Aufgabe aufgestellte Vermutung.
Lösung: (a) 2,6 · 103
kg
m3
(b)
1
m
2000 s2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
bC
bC
bC
bC
bC
d
5 km
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Vermutung: d und g sind direkt proportional. D.h. in gleichem Maß wie der Durchmesser eines Himmelskörpers wächst, so wächst auch die Fallbeschleunigung an seiner
Oberfläche, sofern die Dichte konstant bleibt.
4 3
r π
M
4
(c) g = γ 2 = γ 3 2 = π γ r.
r
r
3
1
2. Der Öltanker ,,Jahre Viking” gilt mit einer Masse von 564 736 t (voll beladen) als
eines der größten Schiffe der Welt. Mit welcher Kraft würden sich zwei solche Schiffe
in einem Abstand von 100 m anziehen? Welche Beschleunigung würde ein solches
Schiff erfahren?
Lösung:
3. Wie groß ist die Fallbeschleunigung an der Sonnenoberfläche (Masse der Sonne
1,99 · 1030 kg, Durchmesser der Sonne 1,39 · 106 km)?
Lösung:
4. In welchem Punkt auf der Verbindungslinie Erde–Mond heben sich die Gravitationskräfte von Erde und Mond auf (Masse der Erde mE = 5,97 · 1024 kg, Masse des
Mondes mM = 7,35 · 1022 kg, Abstand Erde–Mond r = 384 400 km)?
P
E
M
bC
r1
r2
Lösung: Mit einer beliebigen Masse m muss
G
m mE
m mM
=G
r12
r22
r1 + r2 = r
gelten. Dies führt auf die quadratische Gleichung
mE (r − r1 )2 = mM r12 ,
die die Lösungen r1 = 3,46 · 105 km und r1 = 4,32 · 105 km besitzt.
5. In welcher Entfernung vom Erdmittelpunkt beträgt die Gravitationskraft nur noch
1
derjenigen an der Erdoberfläche?
1000
Lösung: r =
r
1000 G mE
= 2,02 · 105 km
g
6. An der Oberfläche des Planeten Uranus hat die Fallbeschleunigung einen Betrag
von 9,0 sm2 .
2
(a) Zunächst gehen wir davon aus, dass der Uranus und der Jupiter die gleiche
Masse haben. Der Radius des Jupiter ist etwa um den Faktor 2,75 größer
wie der des Uranus. Welchen Wert erhältst du unter dieser Annahme für die
Fallbeschleunigung an der Oberfläche des Jupiter?
(b) Nun gehen wir davon aus, dass der Jupiter und der Uranus den gleichen Radius
haben. Aber die Masse des Jupiter ist etwa 22–mal so groß wie die des Uranus.
Welchen Wert erhältst du nun für die Fallbeschleunigung an der Oberfläche
des Jupiter?
(c) Welcher Wert ergibt sich für die Fallbeschleunigung an der Oberfläche des
Jupiter, wenn du sowohl das Massenverhältnis als auch das Größenverhältnis
der beiden Planeten berücksichtigst?
2
Lösung: (a) 9,0 sm2 : 11
= 1,4 sm2
4
(b) 9,0 sm2 · 22 = 2,0 · 102 sm2
2
· 22 = 26 sm2
(c) 9,0 sm2 : 11
4
7. Im Tabellenteil einer Formelsammlung findet man unter der Rubrik ”Astronomische
Daten” für die Himmelskörper des Sonnensystems folgenden Auszug:
Himmelskörper
...
Mars
...
Neptun
relative Masse
...
0,107
...
17,2
relativer Radius
...
0,533
...
3,80
g in
m
s2
...
3,73
...
Dabei sind die Massen bzw. Radien der Planeten in Vielfachen der Erdmasse bzw. des
Erdradius angegeben. g bezeichnet die Fallbeschleunigung an der Oberfläche des
Planeten. Durch einen Tintenfleck ist leider die Fallbeschleunigung an der Oberfläche des Neptun unleserlich geworden. Berechne diesen Wert unter Verwendung
der restlichen in der Tabelle angegebenen Informationen.
Lösung: 3,73 sm2 ·
17,2
0,107
:
3,8
0,533
2
= 11,8 sm2 .
8. Der Superstern R136a1
Am 8. April 1981 wurde durch Astronomen der Ruhr–Universität Bochum der Supersternhaufen R136 in einer unserer Nachbargalaxien, der großen Magellanschen
Wolke im Doradusnebel entdeckt. Am 22. Juli 2010 ging die Meldung, dass für den
größten Stern R136a1 in diesem Haufen nun astronomische Daten bestimmt werden konnten, durch die Presse. So betrug die Masse dieses Sterns ursprünglich 320
und beträgt heute noch 265 Sonnenmassen. Wie groß war die Fallbeschleunigung
an der ”Oberfläche” dieses Sterns ursprünglich, wenn noch bekannt ist, dass die
Fallbeschleunigung an der Sonnenoberfläche 274 ms−2 beträgt?
Lösung:
√
3
320 · 274 ms−2 = 1,87 · 103 ms−2
3
9. Im September 2010 wurde die Entdeckung von Gliese g bekannt gegeben. Dies ist einer von sechs Planeten, die sich um den Stern Gliese bewegen. Man hat abgeschätzt,
dass die Masse von Gliese g zwischen 3,1 und 4,3 Erdmassen beträgt. Der Planet
besitzt etwa einen 1,2– bis 1,4–fachen Erddurchmesser. Zwischen welchen Grenzen
liegt die Fallbeschleunigung an der Oberfläche dieses Planeten in Vielfachen der
Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche?
Lösung: 1,6 gErde ≦ gGlieseg ≦ 3,0 gErde
10. In der Äquatorialebene eines Planeten mit Radius R und konstanter Dichte ̺ liegt ein Ringtunnel
mit Radius r, dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt des Planeten zusammenfällt. Im evakuierten
Tunnel kreist ein kleiner Satellit der Masse m um
den Planetenmittelpunkt.
r
ω0
(a) Berechne die Stärke g(r) des Gravitationsfeldes im Ringtunnel. Der Term soll außer r nur
̺ und Konstanten enthalten.
m
vi
R
(b) Berechne die Umlaufdauer Ti (r) und die Geschwindigkeit vi (r) des Satelliten in einem
(nichtrotierenden) Inertialsystem.
(c) Der Planet dreht sich im Inertialsystem in der Zeit T0 (Ti < T0 ) einmal um
seine Achse, der Umlaufsinn des Satelliten und der Drehsinn des Planeten sind
gleich. Tr ist die Umaufdauer des Satelliten von einem im Ringtunnel ruhenden
Beobachter aus betrachtet. Drücke Tr durch Ti und T0 aus.
3
G · 4π
GM (r)
4πG̺
3 ̺r
·r
=
=
r2
r2
3
r
mvi2
4πG̺
4π 2 r 2
3π
(b)
=
= mg(r) =⇒
· r =⇒ Ti =
2
r
3
G̺
rTi
r
vi2
4πG̺
= g(r) =⇒ vi =
·r
r
3
(c) Ein Punkt des Tunnels dreht sich im Inertialsystem mit der Geschwindigkeit v0 , der
Satellit hat im rotierenden System die Geschwindigkeit vr :
Lösung: (a) g(r) =
vr = v i − v 0
=⇒
1
1
1
=
−
Tr
Ti T0
2rπ 2rπ
2rπ
=
−
Tr
Ti
T0
=⇒
Tr =
T0 Ti
T0 − Ti
11. Der Jupitermond Europa hat den Radius R = 1569 km. Eine Raumsonde (deren
Start allerdings erst für 2015 geplant ist) umkreist Europa in der Höhe h = 441 km
über der Oberfläche in der Zeit T = 2 h 46 min 44 s (in einem Inertialsystem gemessen).
4
(a) Drücke die Fallbeschleunigung an der Oberfläche von Europa durch R, h und
T aus und berechne dann den Zahlenwert.
(b) In welcher Zeit fällt ein Eisklumpen von einem 20,0 m hohen Eisberg auf den
Boden Europas?
Lösung: (a) Mit der Mondmasse M , der Sondenmasse m und r = R + h gilt:
GM m
mv 2
4mπ 2 r 2
4mπ 2 r
=
=
=
r2
r
rT 2
T2
g(R) =
=⇒
M=
4π 2 r 3
= 4,80 · 1022 kg
GT 2
4π 2 r 3
4π 2 (R + h)3
GM
=
=
R2
R2 T 2
R2 T 2
Mit T = 10 004 s ist
g(R) =
g
(b) x = t2
2
=⇒
t=
r
m
4π 2 · (2,01 · 106 m)3
= 1,30 2
6
2
(1,569 · 10 m · 10 004 s)
s
2x
= 5,55 s
g
5