Gravitationsgesetz 1. Der Jupiter hat etwa 60 Monde auch Trabanten genannt. Der Durchmesser seines größten Mondes Ganymed beträgt 5262 km. Es gibt aber auch Monde die nur einen Durchmesser von etwa einem Kilometer haben. Die Monde des Jupiters unterscheiden sich relativ stark in ihrer Dichte. Nebenstehend wurde aber eine Auswahl von relativ kleinen Monden getroffen, die sich in ihrer Dichte nicht sehr unterscheiden. Name d in km m in kg Chaldene 4 Callirrhoe 9 7,5 · 1013 Ananke 28 Sinope 38 Carme 46 8,7 · 1014 3,0 · 1016 7,6 · 1016 1,3 · 1017 In dieser Tabelle bezeichnet d den Durchmesser und m die Masse des Trabanten. (a) Berechne die Dichte für Carme. (b) Erstelle ein d–g–Diagramm für die Trabanten. Dabei soll g die Fallbeschleunigung an der Oberfläche des Mondes sein. Wähle auf der d–Achse für fünf 1 ms−2 Kilometer einen Zentimeter und auf der Hochwertachse entspricht 2000 einem Zentimeter. Welchen Vernmutung kannst du für den Zusammenhang zwischen d und g deinem Diagramm entnehmen? (c) Beweise die von dir in der vorigen Aufgabe aufgestellte Vermutung. Lösung: (a) 2,6 · 103 kg m3 (b) 1 m 2000 s2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 bC bC bC bC bC d 5 km 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vermutung: d und g sind direkt proportional. D.h. in gleichem Maß wie der Durchmesser eines Himmelskörpers wächst, so wächst auch die Fallbeschleunigung an seiner Oberfläche, sofern die Dichte konstant bleibt. 4 3 r π M 4 (c) g = γ 2 = γ 3 2 = π γ r. r r 3 1 2. Der Öltanker ,,Jahre Viking” gilt mit einer Masse von 564 736 t (voll beladen) als eines der größten Schiffe der Welt. Mit welcher Kraft würden sich zwei solche Schiffe in einem Abstand von 100 m anziehen? Welche Beschleunigung würde ein solches Schiff erfahren? Lösung: 3. Wie groß ist die Fallbeschleunigung an der Sonnenoberfläche (Masse der Sonne 1,99 · 1030 kg, Durchmesser der Sonne 1,39 · 106 km)? Lösung: 4. In welchem Punkt auf der Verbindungslinie Erde–Mond heben sich die Gravitationskräfte von Erde und Mond auf (Masse der Erde mE = 5,97 · 1024 kg, Masse des Mondes mM = 7,35 · 1022 kg, Abstand Erde–Mond r = 384 400 km)? P E M bC r1 r2 Lösung: Mit einer beliebigen Masse m muss G m mE m mM =G r12 r22 r1 + r2 = r gelten. Dies führt auf die quadratische Gleichung mE (r − r1 )2 = mM r12 , die die Lösungen r1 = 3,46 · 105 km und r1 = 4,32 · 105 km besitzt. 5. In welcher Entfernung vom Erdmittelpunkt beträgt die Gravitationskraft nur noch 1 derjenigen an der Erdoberfläche? 1000 Lösung: r = r 1000 G mE = 2,02 · 105 km g 6. An der Oberfläche des Planeten Uranus hat die Fallbeschleunigung einen Betrag von 9,0 sm2 . 2 (a) Zunächst gehen wir davon aus, dass der Uranus und der Jupiter die gleiche Masse haben. Der Radius des Jupiter ist etwa um den Faktor 2,75 größer wie der des Uranus. Welchen Wert erhältst du unter dieser Annahme für die Fallbeschleunigung an der Oberfläche des Jupiter? (b) Nun gehen wir davon aus, dass der Jupiter und der Uranus den gleichen Radius haben. Aber die Masse des Jupiter ist etwa 22–mal so groß wie die des Uranus. Welchen Wert erhältst du nun für die Fallbeschleunigung an der Oberfläche des Jupiter? (c) Welcher Wert ergibt sich für die Fallbeschleunigung an der Oberfläche des Jupiter, wenn du sowohl das Massenverhältnis als auch das Größenverhältnis der beiden Planeten berücksichtigst? 2 Lösung: (a) 9,0 sm2 : 11 = 1,4 sm2 4 (b) 9,0 sm2 · 22 = 2,0 · 102 sm2 2 · 22 = 26 sm2 (c) 9,0 sm2 : 11 4 7. Im Tabellenteil einer Formelsammlung findet man unter der Rubrik ”Astronomische Daten” für die Himmelskörper des Sonnensystems folgenden Auszug: Himmelskörper ... Mars ... Neptun relative Masse ... 0,107 ... 17,2 relativer Radius ... 0,533 ... 3,80 g in m s2 ... 3,73 ... Dabei sind die Massen bzw. Radien der Planeten in Vielfachen der Erdmasse bzw. des Erdradius angegeben. g bezeichnet die Fallbeschleunigung an der Oberfläche des Planeten. Durch einen Tintenfleck ist leider die Fallbeschleunigung an der Oberfläche des Neptun unleserlich geworden. Berechne diesen Wert unter Verwendung der restlichen in der Tabelle angegebenen Informationen. Lösung: 3,73 sm2 · 17,2 0,107 : 3,8 0,533 2 = 11,8 sm2 . 8. Der Superstern R136a1 Am 8. April 1981 wurde durch Astronomen der Ruhr–Universität Bochum der Supersternhaufen R136 in einer unserer Nachbargalaxien, der großen Magellanschen Wolke im Doradusnebel entdeckt. Am 22. Juli 2010 ging die Meldung, dass für den größten Stern R136a1 in diesem Haufen nun astronomische Daten bestimmt werden konnten, durch die Presse. So betrug die Masse dieses Sterns ursprünglich 320 und beträgt heute noch 265 Sonnenmassen. Wie groß war die Fallbeschleunigung an der ”Oberfläche” dieses Sterns ursprünglich, wenn noch bekannt ist, dass die Fallbeschleunigung an der Sonnenoberfläche 274 ms−2 beträgt? Lösung: √ 3 320 · 274 ms−2 = 1,87 · 103 ms−2 3 9. Im September 2010 wurde die Entdeckung von Gliese g bekannt gegeben. Dies ist einer von sechs Planeten, die sich um den Stern Gliese bewegen. Man hat abgeschätzt, dass die Masse von Gliese g zwischen 3,1 und 4,3 Erdmassen beträgt. Der Planet besitzt etwa einen 1,2– bis 1,4–fachen Erddurchmesser. Zwischen welchen Grenzen liegt die Fallbeschleunigung an der Oberfläche dieses Planeten in Vielfachen der Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche? Lösung: 1,6 gErde ≦ gGlieseg ≦ 3,0 gErde 10. In der Äquatorialebene eines Planeten mit Radius R und konstanter Dichte ̺ liegt ein Ringtunnel mit Radius r, dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt des Planeten zusammenfällt. Im evakuierten Tunnel kreist ein kleiner Satellit der Masse m um den Planetenmittelpunkt. r ω0 (a) Berechne die Stärke g(r) des Gravitationsfeldes im Ringtunnel. Der Term soll außer r nur ̺ und Konstanten enthalten. m vi R (b) Berechne die Umlaufdauer Ti (r) und die Geschwindigkeit vi (r) des Satelliten in einem (nichtrotierenden) Inertialsystem. (c) Der Planet dreht sich im Inertialsystem in der Zeit T0 (Ti < T0 ) einmal um seine Achse, der Umlaufsinn des Satelliten und der Drehsinn des Planeten sind gleich. Tr ist die Umaufdauer des Satelliten von einem im Ringtunnel ruhenden Beobachter aus betrachtet. Drücke Tr durch Ti und T0 aus. 3 G · 4π GM (r) 4πG̺ 3 ̺r ·r = = r2 r2 3 r mvi2 4πG̺ 4π 2 r 2 3π (b) = = mg(r) =⇒ · r =⇒ Ti = 2 r 3 G̺ rTi r vi2 4πG̺ = g(r) =⇒ vi = ·r r 3 (c) Ein Punkt des Tunnels dreht sich im Inertialsystem mit der Geschwindigkeit v0 , der Satellit hat im rotierenden System die Geschwindigkeit vr : Lösung: (a) g(r) = vr = v i − v 0 =⇒ 1 1 1 = − Tr Ti T0 2rπ 2rπ 2rπ = − Tr Ti T0 =⇒ Tr = T0 Ti T0 − Ti 11. Der Jupitermond Europa hat den Radius R = 1569 km. Eine Raumsonde (deren Start allerdings erst für 2015 geplant ist) umkreist Europa in der Höhe h = 441 km über der Oberfläche in der Zeit T = 2 h 46 min 44 s (in einem Inertialsystem gemessen). 4 (a) Drücke die Fallbeschleunigung an der Oberfläche von Europa durch R, h und T aus und berechne dann den Zahlenwert. (b) In welcher Zeit fällt ein Eisklumpen von einem 20,0 m hohen Eisberg auf den Boden Europas? Lösung: (a) Mit der Mondmasse M , der Sondenmasse m und r = R + h gilt: GM m mv 2 4mπ 2 r 2 4mπ 2 r = = = r2 r rT 2 T2 g(R) = =⇒ M= 4π 2 r 3 = 4,80 · 1022 kg GT 2 4π 2 r 3 4π 2 (R + h)3 GM = = R2 R2 T 2 R2 T 2 Mit T = 10 004 s ist g(R) = g (b) x = t2 2 =⇒ t= r m 4π 2 · (2,01 · 106 m)3 = 1,30 2 6 2 (1,569 · 10 m · 10 004 s) s 2x = 5,55 s g 5