Physik_Mechanik_2
Werbung
(1) Arbeit und Energie F Physikalische Arbeit W (work) : Verrichtet wenn Kraft entlang Weg wirkt Einfach: Konstante Kraft + geradliniger Weg → → W := F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos ϕ = FT ⋅ s ϕ FT s kg ⋅ m kg ⋅ m 2 = N ⋅m = J 2 ⋅m = 2 s s Allgemein : Betrag der Kraft oder Winkel verändert sich längs Weg ⇒ FT ≠ const Weg in n infinitessimale Wegelemente ∆s = s/n zerlegt für die F·cosϕ ≈ const Summation über alle n Beiträge ∆Wi = Fi ·∆s ·cosϕi Grenzübergang n→∞ : W als Integral entlang Weg C n n W = lim ∑ ∆W i = lim ∑ Fi ⋅ cos ϕ i ⋅ ∆s = n→∞ i =1 n→∞ i =1 F1 Wenn F ⊥ s dann W = 0J ! © H.Neuendorf → → ∫C F d s F2 Arbeit = Wegintegral der Kraft Nur tangentiale Kraftkomponente leistet Arbeit ! Linienintegral ϕ3 ∆s C F3 F8 F4 F6 F5 (2) Arbeit Fläche = W FT Tangentiale Kraftkomponente leistet Arbeit Kraft ist i.A. eine Funktion des Ortes = Kraftfeld : Fx ( x , y, z ) F ( x, y, z ) = F y ( x, y, z ) Fz ( x , y , z ) → → dW W = lim ∑ ∆W i = ∫ dW = i =1 B → A dh : für Normalkraft Bsp: Zentripetalkräfte → → ∫ F ⋅ ds A Linienintegral berechenbar, wenn F und der Weg in gleicher Weise parametrisierbar sind ...... Dh als Funktion desselben Parameters ausdrückbar sind © H.Neuendorf s Skalarprodukt = 0, wenn Kraft senkrecht zum Weg steht B n = B → dW = F ⋅ ds n→∞ ds A F2 F1 A ϕ3 ∆s F3 → dW = F ⋅ ds B F8 F4 F6 F5 (3) Beispiel Linienintegral FT An Rad wirkt Kraft gegen tangentialen Teil der Schwerkraft Drehung um 180° = π befördert Masse m nach oben Aufzubringen ist stets nur tangentialer Anteile von m·g Kraft FT = m·g·sinϕ ⇒ nicht konstant! Funktion des Drehwinkels ϕ Strecke s ebenfalls durch Drehwinkel parametrisierbar R ϕ FT = m ⋅ g ⋅ sin ϕ m·g ds = R ⋅ dϕ → → π π 0 0 ds = R ⋅ dϕ = m ⋅ g ⋅ R ⋅ [− cos ϕ ] 0 = m ⋅ g ⋅ R ⋅ (1 + 1) = 2 m ⋅ g ⋅ R π Berechnung von Linienintegralen erfordert geeignete Parametrisierung Hier : Kraft und Weg als Funktion derselben Variablen ausgedrückt = Winkel ϕ Grundlegende Einsichten aus einfachem Beispiel : 1. Arbeit ist in der Regel nicht einfach Kraft x Weg !! 2. Winkel der Kraft zum Weg (dh tangentialer Anteil) kann ständig variieren ! 3. Arbeit hängt bei konservativen Kräften nur von Anfangs- und Endort ab – nicht vom konkreten Weg dazwischen !! © H.Neuendorf s R ϕ= W = ∫ F ⋅ ds = ∫ ( m ⋅ g ⋅ sin ϕ )( R ⋅ dϕ ) = m ⋅ g ⋅ R ⋅ ∫ sin ϕ dϕ C s m (4) Typische Arbeiten s Normalkraft FN ds FN Kraft stets senkrecht zum Weg, zB : Reibungsfreie Bewegung auf Ebene Arbeitsfreie Kreisbewegung der Gestirne → → → → F ⊥ ds ⇒ W = ∫ F ⋅ ds = 0 FG Weiteres Beispiel : Lorentzkraft auf bewegte Ladung im Magnetfeld → → → r= const F = q⋅ v× B Reibungskraft FR Parallel Weg stets entgegengerichtet zur Bewegung Reibungskräfte sind nicht-konservativ ! Erforderliche Arbeit umso größer, je länger der Weg ⇒ Wegabhängigkeit der Reibungsarbeit In Wärme umgesetzt - nach Einsatz nicht mehr direkt verfügbar → → FR W = ∫ F ⋅ ds = FR ⋅ s s S1 B A S2 W S1 = B ( S1) → → ∫ A © H.Neuendorf F ⋅ ds ≠ B ( S 2) → → ∫ A F ⋅ ds = W S 2 (5) Typische Arbeiten Hubarbeit : Linear in Höhe - wegunabhängig !! m Masse m vertikal auf Höhe h angehoben FH h Auch bei schiefer Ebene oder krummlinigem Weg : → s → W = ∫ F ⋅ ds = m ⋅ g ⋅ sin(ϕ ) ⋅ ∫ ds = m ⋅ g ⋅ sin(ϕ ) ⋅ s = 0 C = m ⋅ g ⋅ sin(ϕ ) ⋅ h = m⋅ g⋅h sin(ϕ ) mg ϕ FN FH = mg sin ϕ Schwerkraft = konservative Kraft ⇒ Wegunabhängigkeit der Hubarbeit Elastische Verformungsarbeit gegen Federkraft : Quadratisch in Auslenkung Angewandte Kraft F = k·x bei Dehnung von Ruhezustand bis zur Auslenkung x ⇒ F stets parallel zur Weg, jedoch nicht konstant ! → → W = ∫ F ⋅ ds = x ∫ k ⋅ x dx = k ⋅ 0m C x 1 2 x dx = k ⋅ x ∫ 2 0m x k m Vorgespannte Feder : Auslenkung bereits x1 x2 W12 © H.Neuendorf ( 1 = ∫ k ⋅ x dx = k ⋅ x 22 − x12 2 x 1 ) F = - k·x k : Federkonstante (6) Vorzeichenkonvention: Arbeit und Potentielle Energie → → Fg = − mg ⋅ e x → Fa x x k → m m → Fa = + mg ⋅ e x = − Fg Ff Fg dx → → → → F f = −k ⋅ x ⋅ e x → Fa = + k ⋅ x ⋅ e x = − F f Fa → Über welche Kraft wird integriert ? Arbeit wird mit der von außen angewandten äußeren Kraft Fa gegen zu überwindende Kraft FSystem des Systems geleistet ! → Fa = − F System Arbeitsweg in Richtung Fa und entgegengesetzt zu FSystem → → → → W = ∫ Fa ⋅ ds = − ∫ F System ⋅ ds C C Vom System aufgenommene Energie heißt potentielle Energie Ep Maß für Fähigkeit des Systems, Arbeit zu leisten Vorzeichenkonvention aus Sicht des Systems : → → W = ∆E p = ∫ F a ⋅ ds C W > 0J ⇒ ∆Ep > 0, Ep ↑ : Am System wird Arbeit gegen Kräfte verrichtet System nimmt potentielle Energie auf, wenn Kraft konservativ ist W < 0J ⇒ ∆Ep < 0, Ep ↓ : System leistet Arbeit, gibt Arbeit nach außen ab System verliert potentielle Energie © H.Neuendorf (7) Typische Arbeiten Beschleunigungsarbeit: Quadratisch in Geschwindigkeit Masse m gegen ihre Trägheit mit F = m·a beschleunigt v = at Eindimensionale Beschleunigung längs x-Achse 1. Gleichförmige Beschleunigung a = const → → a 2 v2 x= t = 2 2a x m 2 p2 W = ∫ F ⋅ ds = ∫ m ⋅ a ⋅ dx = m ⋅ a ⋅ x = v = 2 2m C 0 m F = ma x 2. Ungleichförmige Beschleunigung a = a(t) = a(x) → → x2 x2 W = ∫ F ⋅ ds = ∫ m ⋅ a ( x ) ⋅ dx = m ⋅ ∫ C m = const x1 x1 dv ⋅ dx dt dx = v ⋅ dt Substitution: x = v·t p22 − p12 dv m 2 2 = m ⋅ ∫ ⋅ v ⋅ dt = m ⋅ ∫ v ⋅ dv = ⋅ (v 2 − v1 ) = dt 2 2m v v v2 v2 1 1 Beschleunigungsarbeit hängt nur von Masse und Geschwindigkeiten ab ! S1 Nicht von Dauer des Vorgangs v2 Nicht von durchlaufener Bahnkurve ⇒ Wegunabhängigkeit der Beschleunigungsarbeit A © H.Neuendorf v1 S2 B Konservative Kräfte (8) x B Bsp : Schwerkraft Arbeit bei konservativen Kräften unabhängig vom Weg Nur Anfangs- und Endpunkt entscheidend h S2 ⇓ S1 Die von konservativen Kräften entlang geschlossenem Weg geleistete Arbeit ist stets Null ! A m W S1 = B ( S1) → → ∫ F ⋅ ds = B ( S 2) → → ∫ A ⇒ B ( S1) → → ∫ F ⋅ ds − A ⇒ ∫ F ⋅ ds = 0J = mgh B ( S 2) → → ∫ F ⋅ ds = B ( S1) → → ∫ F ⋅ ds + A A→ → ∫ F ⋅ ds B ( S 2) = 0J Die auf irgendeinem geschlossenen Weg im Gravitationsfeld geleistete Arbeit ist Null ! Planetenbewegung erfordert keine effektive Arbeitsleistung, auch auf nicht-kreisförmigen Bahnen ...... Andernfalls hätte man ein Perpetuum Mobile ..... "Die Zirkulation über das Feld verschwindet …" Konservative Kräfte sind nicht zeitabhängig und hängen nicht von der Geschwindigkeit ab ! © H.Neuendorf FG A A → → F ⋅ ds = W S 2 Auch das elektrische Feld E ist konservativ : → → ∫ E ⋅ ds = 0V (9) Zentralkraft Es liegt Zentralkraft F vor ⇒ rein radiale Wirkung Bsp : Gravitationskraft zwischen Massen, Coulombkraft zwischen Ladungen Berechnung der Arbeit zur Verschiebung einer Masse / Ladung von 1 nach 2 Idee : m Nur Weganteile parallel zu Kraft tragen zur Arbeit bei ! 2 ⇒ Zerlegung des Weges in zwei Anteile : a) Weganteil auf Kreisbogen ⇒ konstanter Abstand von M Kraft stets senkrecht zu Teilweg ⇒ Wa) = 0 J b) Restlicher Weg radial ⇒ senkrecht zu Kreisbogen Kraft stets parallel zu Teilweg ⇒ Wb) ≠ 0 J → F =γ ⋅ r2 W = m⋅M r 2 → ⋅er ∫ Fdr = γ ⋅ m ⋅ M ⋅ r1 r2 1 1 − > 0 J dr = − ⋅ m ⋅ M ⋅ γ ∫ r2 r2 r1 r1 1 ⇒ Arbeit hängt nur von Koordinaten r1, r2 der Anfangs- und Endlage ab ! ⇒ Arbeit bei reinen Zentralkräften stets unabhängig vom konkreten Weg ! Grundsätzliches Kennzeichen konservativer Kräfte ! © H.Neuendorf a) r2 M r1 1 b) (10) Leistung (Power P) Berücksichtigung der Zeit, in der Arbeit erbracht wird Gleiche Arbeit in gleichen Zeiten ⇒ Mittlere Leistung / Durchschnittsleistung ∆W Pm := ∆t Bsp: Fahrradfahrer J Nm kgm 2 = 3 = Watt = W = s s s Momentane Leistung durch Grenzübergang ∆t → 0 : m = 90kg 1000 Höhenmeter in 1 Std ⇒ P = mgh / 3600s = 245.3 W W(t) = Erbrachte Arbeit bis Zeitpunkt t W (t + ∆t ) − W (t ) dW (t ) = ∆t → 0 dt ∆t P (t ) := lim Analog : P (t ) = U (t ) ⋅ I (t ) Umformulierung gemäß Definition der Arbeit : → → → dW (t ) = F (t ) ⋅ ds ⇒ → → dW (t ) F (t ) ⋅ ds → = = F (t ) ⋅ v (t ) P (t ) = dt dt Leistung wird nur erbracht, wenn Weg zurückgelegt wird und Kraft eine Komponente in Richtung des Weges, dh in Richtung der Geschwindigkeit hat : → → F (t ) ⊥ v (t ) ⇒ © H.Neuendorf P (t ) = 0 W (12) Energie Verrichtung von Arbeit an Körper bewirkt in Mechanik : 1. Lageänderung ↔ Hubarbeit 2. Formänderung ↔ Verformungsarbeit 3. Geschwindigkeitsänderung ↔ Beschleunigungsarbeit 4. Erwärmung ↔ Reibung Dissipation Sonderfall Wärme : Keine makroskopische mechanische Arbeit, nicht vollständig zurückgewinnbar, auf viele mikroskopische Freiheitsgrade verteilt Durch Thermodynamik behandelt Wenn Körper nicht in ursprüngliche Lage / Zustand zurückkehrt, kann er selbst Arbeit verrichten : An Körper verrichtete Arbeit ist als Arbeitsvorrat im Körper gespeichert. Gespeicherte Arbeit = Energie E : Energiesatz ∆ E = E nachher - E vorher = W Energie auf andere Körper übertragbar und in andere Energieform wandelbar Zwei grundsätzliche mechanische Energieformen 1. Potentielle Energie = Arbeitsfähigkeit aufgrund Lage oder Verformung: Homogenes Schwerefeld : E p = m·g·h Ep Feder : E p = k·x2 / 2 Nullpunkt beliebig wählbar da nur Differenzen der potentiellen Energie von Belang !! 2. Kinetische Energie = Arbeitsfähigkeit aufgrund Bewegung : Ek = m·v2 / 2 © H.Neuendorf (13) Energieerhaltungssatz der Mechanik Gesamte mechanische Energie ist Summe aus kinetischer + potentieller Energie : E = Ekin + Epot In einem abgeschlossenen System (kein Stoff- und Energieaustausch) ist bei rein mechanischen Vorgängen die mechanische Energie E = Ek + Ep = const E k + E p = const ⇒ d ( Ek + E p ) = 0 ⇒ dt Anwendung : Berechnung von Zustandsänderungen Aus 2. NewtonAxiom herleitbar dE p dE k =− dt dt Rein mechanischer Vorgang : Nur konservative Kräfte Bloße Umwandlung kinetischer und potentieller Energie Ek ↔ Ep Keine anderen Energieformen! (Wärme, em. Energie, chemische Energie) Keine Reibung ! Bei Auftreten von Reibung gilt nicht Ek + Ep = const da Wärmeverluste !! Erfassung aller Energieformen : Erfahrungstatsache Allgemeines Gesetz von der Erhaltung der Energie (1842) = 1.HS der Thermodynamik : In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Energien konstant → Energie kann nicht verschwinden oder aus Nichts entstehen → Verschiedene Energieformen wandeln sich nur ineinander um Reibung verringert ständig mechanische Energiemenge : Ek(tA) + Ep(tA) = Ek(tB) + Ep(tB) + WR(tAB) © H.Neuendorf Kein Perpetuum Mobile erster Art ! E-Satz der Mechanik : (14) h Einfache Beispiele h0 Masse m aus Höhe h0 mit v0 senkrecht nach oben geworfen v0 m Berechnung von vmax bei Aufschlag - zwei Lösungswege : Mittels Bewegungsgleichung Mittels Energiesatz Erfordert Bestimmung der Fallzeit t f + Deutlich einfacher, jedoch weniger Lösung quadratische Gleichung Informationen g h( t f ) = h0 + v 0 ⋅ t f − ⋅ t 2f = 0 m 2 2 ⇒ tf v0 2h0 v0 = + + g g g ⇒ v max = v (t f ) = v 0 − g ⋅ t f vmax E = E p 0 + E k 0 = E pe + E ke m 2 m 2 = m ⋅ g ⋅ h0 + v 0 = v max 2 2 ⇒ v max = v 02 + 2 g ⋅ h0 = v 02 + 2 g ⋅ h0 Berechnung mittels E-Satz einfacher - sofern nur Aufschlaggeschwindigkeit interessiert. Weg über Bewegungsgleichung liefert mehr Informationen : © H.Neuendorf h(t) und tf (15) Energieerhaltung : h Einfache Beispiele Freier Fall : Masse m fällt aus Höhe h0 ⇒ Ep nimmt ab, Ek nimmt zu g h(t ) = h0 − ⋅ t 2 2 v (t ) = g ⋅ t ⇒ ⇒ h0 m g2 2 E p (t ) = m ⋅ g ⋅ h(t ) = m ⋅ g ⋅ h0 − m ⋅ ⋅ t 2 ⇒ E k (t ) = m 2 m ⋅ v (t ) = ⋅ g 2 ⋅ t 2 2 2 E p (t ) + E k (t ) = m ⋅ g ⋅ h0 = const Gesamtenergie E jederzeit konstant, obgleich ständige Veränderung der Teilbeträge Ep und Ek Senkrechter Wurf : Masse m mit v0 nach oben geworfen g h(t ) = v 0 ⋅ t − ⋅ t 2 2 v (t ) = v 0 − g ⋅ t ⇒ ⇒ © H.Neuendorf ⇒ g2 2 E p (t ) = m ⋅ g ⋅ h( t ) = m ⋅ g ⋅ v 0 ⋅ t − m ⋅ ⋅ t 2 E k (t ) = m 2 m ⋅ v (t ) = ⋅ (v 02 + g 2 ⋅ t 2 − 2v 0 ⋅ g ⋅ t ) 2 2 m 2 E p (t ) + E k ( t ) = ⋅ v 0 = const 2 h v0 m Energieerhaltung: (16) Einfache Beispiele Harm. Oszillator : Masse m schwingt reibungsfrei an Feder mit Konstante k x (t ) = x 0 ⋅ cos(ω t ) ⇒ E p (t ) = ω= k 2 k ⋅ x (t ) = ⋅ x 02 ⋅ cos 2 (ω t ) 2 2 k m x k dx (t ) = − x 0 ⋅ ω ⋅ sin(ω t ) ⇒ v (t ) = dt m F = - k·x m 2 m 2 2 k 2 2 E k ( t ) = ⋅ v (t ) = ⋅ x 0 ⋅ ω ⋅ sin (ω t ) = ⋅ x 0 ⋅ sin 2 (ω t ) 2 2 2 ⇒ E p (t ) + E k (t ) = k 2 k ⋅ x 0 ⋅ (cos 2 (ω t ) + sin 2 (ω t ) ) = ⋅ x 02 = const 2 2 =1 Gesamtenergie E jederzeit konstant, obgleich ständige Veränderung der Anteile Ep und Ek Periodische Umwandlung der Energieformen : Maximale Ek = E : bei Nulldurchgang - hier Ep = 0 J Maximale Ep = E : bei maximaler Auslenkung = Umkehrpunkte - hier Ek = 0 J Bewegung im Phasenraum (x,v) wird eingeschränkt auf Fläche mit Ek(v) + Ep(x) = E = const Der mit E erreichbare Teil des Phasenraums ist endlich ⇒ beschränkte Bewegung © H.Neuendorf Unendliche Reichweite der Gravitation jedoch mit 1/ r 2 rasch abfallend ! Arbeit gegen Gravitationskraft Fluchtgeschwindigkeit einer Masse m : Verlassen des Anziehungsbereichs = Entfernen ins Unendliche FG(r) Durch kinetische Startenergie Ek aufzubringen : ∞ RE RE W = ∆E p = ∫ | FG | ⋅dr = ⇒ Ek = ∫ mM E m 2 v0 = γ 2 RE γ ME ∞ mM E mM E mM E dr = − = γ γ r R RE r2 E ⇒ v0 = 2 γ ⋅ ME RE ≈ 11.2 km / s m dr ∆Ep = Arbeit gegen Gravitation bis in unendliche Entfernung r ∞ (19) Mittlere Geschwindigkeit der Gasmoleküle der Erdatmosphäre (zB N2) bei 300 K ca 500m /s ⇓ Atmosphäre bleibt an Erde gebunden ! Schwarzschild-Radius : Klassisches Schwarzes Loch Maximale mögliche Fluchtgeschwindigkeit ist Lichtgeschwindigkeit c Wenn nur mit v0 > c Entkommen möglich, dann liegt schwarzes Loch vor! Damit Planet eine Atmosphäre halten kann, muss seine Masse / Gravitation ausreichend groß sein ! Nicht-relativistische Abschätzung des Schwarzen Loch Radius : m m⋅M Ek = c 2 = γ 2 Rs ⇒ Rs = 2γ ⋅ M c 2 Zahlenbeispiel : Msonne = 2·10 30 kg Rs ≈ 3 km Fluchtgeschwindigkeit für Neutronenstern mit MSonne und typischem Radius R = 13 km schon v = 1.3·108 m/s = 40 % c Materie mit Atomkerndichte von 1017 kg/m3 im Vergleich zu Atomdichte mit 103 kg/m3 Völlig analog: Elektrostatische Ep Potentielle Energie der Gravitation Sinnvolle Wahl des Nullpunktes : (21) Beliebig, da nur ∆Ep von physikalischer Bedeutung ! Willkürliche Konvention : Im Unendlichen r→∞ soll E p verschwinden: E p(r→∞) = 0 J mM E p = ∫γ ⇒ r 2 dr = −γ mM +c r E p ( r → ∞) = 0 J ⇒ c = 0J Sinn : In unendlicher Entfernung erfahren zwei Körper keine Wechselwirkung mehr ! mM E p = −γ r Konsequenz: E p hat negativen Wert E p < 0 J Anziehende Wechselwirkung Aber : r1 Differenz ∆E p bleibt > 0J, wenn Abstand durch Arbeitsleistung vergrößert wird ! E p nimmt zu. r2 r ∆E p > 0 E p (r) Differenz ∆E p bleibt < 0J, wenn Abstand verkleinert und dadurch Ek gewonnen wird ! E p nimmt ab. r2 r2 1 1 1 1 m⋅M m⋅M ∆E p = ∫ γ dr = − γ = γ ⋅ m ⋅ M ⋅ − 2 r r r r1 r2 r Spontane Bewegung : In Richtung abnehmender Ep © H.Neuendorf Nur die Änderung der potentiellen Energie hat eine physikalische Bedeutung. Ihr Absolutwert hat keine Bedeutung hat, da man den Nullpunkt der potentiellen Energie frei wählen kann, ohne dass sich an den energetischen Berechnungen etwas ändert ! (22) Potentielle Energie anziehender + abstoßender Kräfte Abstoßende Kraft Auch für abstoßende Kräfte: E p(r→∞) = 0 J Bsp: Gleichnamige Ladungen E p nimmt bei Annäherung zu ! ⇒ E p > 0J im gesamten Bereich ∆E p > 0J wenn Abstand durch Arbeitsleistung verkleinert wird ! ∆E p < 0J wenn Abstand vergrößert wird ! Ep nimmt zu. Ep nimmt ab. Gebundene Systeme: Kompliziertere Potentiale E p (r) Überlagerung anziehender + abstoßender Kräfte Intramolekulare Kräfte bei chem. Bindg. Abstoßende Wechselwirkung E p (r) ∆E p > 0 Abstoßung Anziehung Energie ungebundener Zustände - zu hohe Ek r2 r Bei chemischer Bindung nähern sich die Atome an, bis sich Abstoßung zwischen Atomrümpfen bemerkbar macht. Es gibt Gleichgewichtsabstand minimaler potentieller Energie. Dies ist der mittlere Abstand der beiden gebundenen Atome. Um diesen schwingen die Atome gemäß ihrer Ek. © H.Neuendorf ra r0 E p.0 r1 dE p dr Bindungsenergie = 0N r Stabiler Gleichgewichtsabstand im Minimum von Ep (23) Potentialgebirge Extrema der potentiellen Energie : Hat in allen Fällen den Anstieg / Gradienten 0 N Stabiles Gleichgewicht : Minimum von Ep → Kräfte wirken Auslenkung entgegen Labiles Gleichgewicht : Maximum von Ep → Kräfte verstärken Auslenkung Indifferentes Gleichgew : Ep = const E p (r) → Kräfte beeinflussen Auslenkung nicht Labil dE p dr = 0N Indifferent Oszillation Ea Stabile Gleichgewichtslage = Potentialtopf Oszillationen mit Amplitude gemäß verfügbarer Energie E a Stabil Entweichen aus Potentialtopf = gebundener Zustand : → Überwinden der Potentialbarriere → Erfordert ausreichende Aktivierungsenergie © H.Neuendorf (26) Energieerhaltungssatz der Mechanik 2. Newton Axiom (1d) : F ( x) = m ⋅ dv dt || ⋅ dx = v ⋅ dt ⇒ F ( x ) ⋅ dx = m ⋅ dv ⋅ v ⇒ m ⋅ v ⋅ dv − F ( x ) ⋅ dx = 0 J ⇒ ∫ m ⋅ v ⋅ dv − ∫ F ( x ) ⋅ dx = const ⇒ m 2 ⋅ v − ∫ F ( x ) ⋅ dx = const 2 ⇒ E k + E p = const Herleitung liefert Definition der potentiellen Energie E p als negatives Wegintegral der Kraft Voraussetzung : Potentialfunktion E p muss existieren ! System-Kraft F muss sich als deren negative Ortsableitung schreiben lassen Gelingt nur für konservative Kräfte ! Def : E p ( x ) = − ∫ F ( x ) ⋅ dx ⇒ F ( x) = − dE p ( x ) dx Energiesatz der Mechanik folgt aus Newtonschen Axiomen !! Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie eines energetisch abgeschlossenen Systems ist unveränderlich, wenn nur konservative System-Kräfte wirken. Die Lage des Nullpunkts der potentiellen Energie ist völlig willkürlich Dissipative Kräfte (Reibung) verringern die mechanische Energie eines Systems © H.Neuendorf (27) Potentielle Energie und Kraft - Potential und Feld Berechnung potentielle Energie : Negatives Wegintegral über System-Kraft → → E p = − ∫ F ⋅ ds → → Allgemeiner 3d Fall : dE p = − F ⋅ ds = −( Fx dx + F y dy + Fz dz ) Fx → → dE p ∂E p ∂E p ∂E p = − ∇ E p F == F y = − → =: − , , ∂x ∂y ∂z F ds z Gradient-Differential-Operator bildet aus skalarem Feld ein Vektorfeld Partielle Ableitungen Berechnung der zugrundeliegenden Kraft aus Ep : Gradientenbildung ∂ ∂ ∂ ∇= , , ∂x ∂y ∂z → In anderen Koordinaten (zB Kugelkoordinaten) ausgedrückt hat Operator eine andere Form ! Die Kraft / das Feld ist der negative Gradient der potentiellen Energie / des Potentials Einführung potentielle Energie ⇒ Vereinfachung der physikalischen Beschreibung : Kräfte = Vektoren mit drei Komponenten Für skalare potentielle Energie genügt eine einzige Ortsfunktion Mathe : Der Gradient einer Funktion g(x,y,z) ist der Vektor, der in die Richtung des maximalen Anstiegs von g zeigt. Durch ihn sind Richtung und Betrag des maximalen Anstiegs gegeben ! © H.Neuendorf (28) Kraft und potentielle Energie Bsp: Schwerkraft in negative z-Richtung → ⇒ Ep = m·g·z → → ∂ ∂ ∂ F = − ∇ E p = − mg ⋅ z , z , z , = − mg ⋅ (0,0,1) = − mg ⋅ e z ∂x ∂y ∂z Bsp: Rücktreibende Federkraft in x-Richtung → ⇒ Negatives Vorzeichen ist also erforderlich, um korrektes Kraft-Gesetz zu erhalten ! Ep = k/2·x2 → → k ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 k F = − ∇ E p = − ⋅ x , x , x , = − ⋅ (2 x,0,0 ) = −kx ⋅ e x 2 ∂x ∂y ∂z 2 Bei bekannter potentieller Energie Ep(r) kann für jeden Punkt des Raumes r die ihr zugrundeliegende System-Kraft F(r) berechnet werden. Zur Berechnung der potentiellen Energie wird über die Kraft integriert Zur Berechnung der Kraft wird die potentielle Energie differenziert nach allen Koordinatenrichtungen = Gradientenbildung mittels Gradient-Operator ⇒ Man erhält aus dem Skalar potentielle Energie den dreikomponentigen Kraft-Vektor. © H.Neuendorf Kraft und potentielle Energie Flächen mit Ep = const := Äquipotentialflächen Kraft steht stets senkrecht zu Äquipotentialflächen (29) → ∂E p ∂E p ∂E p = − ∇ E p F = − , , ∂x ∂y ∂z → Bewegung auf Äquipotentialflächen ohne Arbeitsleistung Bewegung senkrecht zu Äquipotentialfläche verrichtet Arbeit + ändert Ep Schwerkraft : Richtung mit dEp/dr > 0 N Nur konservative Kräfte lassen sich als Gradient einer potentiellen Energie formulieren ! FG -∇Ep → FW ∇Ep → Ep Richtung der Zunahme von Ep(r) : FG(r) Ep = const da r = const Kraft gegen die Ep(r) zunimmt = Schwerkraft FG(r) Verläuft in Richtung der Abnahme von Ep : © H.Neuendorf = Richtung mit dEp/dr < 0 N ⇒ Parallel zu - dEp/dr = - grad Ep Physikalisch interessant ist nicht Richtung der beim Arbeiten angewandten Kraft sondern Richtung der Naturkraft = System-Kraft = Schwerkraft. Dies wird durch das Minuszeichen erfasst ! Feld und Potential Gravitationsfeld G = Kraft pro Masseneinheit Charakterisierung der Kraftwirkung von M unabhängig von Testmasse m Gravitationspotential V = Ep pro Masseneinheit → → F G= m → F (r ) = −γ V= m⋅M E p (r ) = −γ r 2 → ⋅er m⋅M r ⇒ Definition des Feldes Ep ⇒ Definition des Potentials m → ⇒ V (r ) = −γ M r 2 Jedem Punkt des Raumes ist ein skalarer Zahlenwert zugeordnet ⋅er M M r Elektrostatik → Coulombkraft FC zwischen zwei Ladungen ⇒ el. Feld E und el. Potential V : → F C (r ) = 1 4πε 0 ⋅ q ⋅Q r 2 q ⋅Q E p (r ) = ⋅ 4πε 0 r 1 → ⋅er ⇒ → E (r ) = Sie kennzeichnen den gravitativen Zustand des Raumes um die Masse M 1 1 Q → ⋅ ⋅er 4πε 0 r 2 Q ⇒ V (r ) = ⋅ 4πε 0 r Das Feld + sein Potential sind nur von erzeugender Masse M und Abstand r abhängig © H.Neuendorf FG(r) → Gravitationsfeld = Vektorfeld : Gravitationspotential = Skalarfeld : m r ⇒ G (r ) = −γ Jedem Punkt des Raumes ist ein 3d-Kraftvektor zugeordnet (30) Vermessen der Kraft um Körper M durch kleine Probemasse m Gravitation (31) Feldlinien stehen senkrecht auf Äquipotentialflächen + zeigen auf Gravitationszentrum Arbeit W zum Überführen eines Körpers der Masse m von Punkt mit Potential V1 zu Punkt mit Potential V2 ist wegunabhängig und beträgt : W = ∆E p = m ⋅ (V2 − V1 ) © H.Neuendorf (32) Konservative Felder bzw Kräfte Folgende Aussagen für konservative Felder F(r) sind äquivalent : Es bezeichne F ein konservatives Feld - bzw eine konservative Kraft Das Feld ist konservativ Die Zirkulation über das Feld verschwindet : Das Feld ist ein Gradientenfeld, dh es besitzt ein Potential V als dessen negativer Gradient es ausgedrückt werden kann : → → → ∫ F ⋅ ds = 0 F = − ∇V Das Linienintegral über das Feld ist wegunabhängig : → → → → ∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ ds s1 → Das Feld ist wirbelfrei : → → → ∇× F = 0 s2 Gegenbeispiel : Magnetisches Feld B ist ein Wirbelfeld Vertreter : Gravitationskraft Gravitationsfeld Coulombkraft © H.Neuendorf Elektrisches Feld Es besitzt keine einfache Potentialfunktion nur ein Vektorpotential lässt sich konstruieren Jedes wirbelförmige Kraftfeld ist nicht konservativ ! (33) Analytische Eigenschaften von Quellen- und Wirbelfeldern ∂ ∂ ∂ ∇= , , ∂x ∂y ∂z → Ermittelt durch Anwendung der Operatoren der Vektoranalysis Divergenz : Liefert Zahl = Maß für Quellenstärke ∂Ax ∂A y ∂Az ∂ ∂ ∂ div A = ∇⋅ A = , , ⋅ ( Ax , A y , Az ) = + + ∂ x ∂ y ∂ z x ∂ y ∂ z ∂ → → Rotation : Liefert Vektor = Darstellung Wirbelstärke und -Richtung Prinzip der Bildung von Gradient, Divergenz und Rotation bleibt jedoch gleich! ∂Az ∂A y − ∂ y ∂ z → → ∂Ax ∂Az ∂ ∂ ∂ rot A = ∇× A = , , × ( Ax , A y , Az ) = − ∂ ∂ ∂ x y z ∂ z ∂x ∂A ∂ A y− x ∂x ∂ y Das elektrische Feld ist ein wirbelfreies Quellenfeld ⇒ Für kartesische Koordinaten. Für andere Koordinatensysteme kompliziertere Darstellung. → → → → → → → → → → ∇× E = 0 ∇⋅ E ≠ 0 + Es gibt elektrische Monopole = einzelne separierte Ladungen Das magnetische Feld ist ein quellfreies Wirbelfeld ⇒ Es keine magnetischen Monopole = einzelne separierte Pole – nur Paare davon © H.Neuendorf ∇× B ≠ 0 ∇⋅ B = 0 I Analytische Eigenschaften von Quellen- und Wirbelfeldern (34) Keine Rotation Quelle ⇒ positive Divergenz ⇒ positive Rotation © H.Neuendorf ⇒ Keine Divergenz positive Divergenz Wirbel ⇒ negative Rotation Keine Rotation Keine Divergenz Wirbel Senke (35) Kraft / Feldstärke + potentielle Energie / Potential für Masse- / Ladungs-Verteilungen 1 1 r 1. Punktmasse / -ladung F∝ 2 Ep ∝ r M, Q r 2. Homogene Massen- / Ladungs-Vollkugel F oszilliert ⇒ Gravitationswellen Quadrupolstrahlung a) außerhalb Vollkugel: r ≥ R R F∝ r 1 Ep ∝ r2 1 r Kugel kann durch äquivalente Punktmasse / -ladung im Schwerpunkt ersetzt werden F b) innerhalb Vollkugel: r < R R F∝ r 1 r F bleibt konstant ⋅ M (r ) = 2 1 4 3 ⋅ ⋅ ⋅ r ∝r ρ π 2 3 r ∝r Ep ∝ r2 Nur Teilkugel zwischen Position und Zentrum trägt bei äußere Massenschalen kompensieren sich Vorzeichen : - für anziehende Wechselwirkung + für abstossende Wechselwirkung © H.Neuendorf Gravitations- / Coulombkraft fallen nicht stets wie 1/r 2 ab !! Ep ∝ 1/ r2 R r R r ∝ 1/ r ∝ r2 (36) Kraft / Feldstärke + potentieller Energie / Potential 3. Homogene Massen- / Ladungs-Hohlkugel F a) außerhalb der Hohlkugel: r ≥ R R r F∝ 1 r Ep ∝ 2 ∝ 1/ r2 1 r =0N Ep b) innerhalb der Hohlkugel: r < R F =0 R ∞ © H.Neuendorf r ∝ 1/ r Nur Teilkugel zwischen Position und Zentrum trägt bei. Somit ist Kraft in Hohlkugel null ! r 1 r R E p = const 4. Unendlich langer homogener "Draht" F∝ r const r ∞ R E p ∝ ln (r ) Potentialverlauf ist stetig Verlauf des Feldes nicht ! 5. Unendlich ausgedehnte Ebene r ∞ ∞ ∞ ∞ F = const Ep ∝ r (37) Naturkräfte Gravitation Coulomb-Kraft Ursache 2 Massen Kraftrichtung Anziehung Stärke sehr klein stark nein ja Abschirmbarkeit Bedeutung 2 Ladungen Zusammenhalt Zusammenhalt der Atome des Makrokosmos Anwendung Mechanik, Astronomie Kraftgesetz Gesamte Chemie, Elektronik Festkörperphysik unendlich → F (r ) = −γ m⋅M r 2 Nur deshalb dominiert die Gravitation im Alltag und Moleküle Kosmologie Reichweite Entgegengesetzte Ladungen kompensieren sich fast immer, so dass nach Außen keine resultierende Kraftwirkung auftritt. Anziehung + Abstoßung unendlich → ⋅er → F C (r ) = 1 4πε 0 ⋅ q ⋅Q r 2 → ⋅er Naive Formulierung der Kraftgesetze : Weitere Kräfte : Fernwirkungsgesetze Starke Kraft → Kernkraft, Quarks Endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit aller Wirkungen im Universum werden darin nicht berücksichtigt Schwache Kraft → Betazerfall Maximale Ausbreitungsgeschwindigkeit = Lichtgeschwindigkeit c © H.Neuendorf (38) Massenpunktsysteme Bisher : Nur Eigenschaften eines Massepunktes Beschreibung der Wechselwirkung von Massepunkten → Bsp: Stoßgesetze Nun : System S von Massepunkten : Kräfte : Innere Kräfte Fij = Kräfte zwischen Massepunkten = Kraft auf i von j innerhalb S Äußere Kräfte Fi(a) = Kräfte auf Massepunkt i von außerhalb S → m3 F32 = - F23 m2 → F ij = − F → ji → ⇔ F ij + F ji =0 ⇒ N → → ∑ F ij = 0 i , j =1 Actio = Reactio F31 = - F13 F12 = - F21 m1 Fi(a) Äußere Kraft wirkt auf jedes Teilchen i von S © H.Neuendorf S Newtonsche Bewegungsgleichung für i-tes Teilchen N → → (a ) F i + F ji j =1 ∑ d → = p dt i → F ii = 0 N Spezialfall : Keine äußeren Kräfte = abgeschlossenes System S Erhaltungssätze : Impuls Stoß der Massen m1 und m2 = Kurze Krafteinwirkung Vor + nach Stoß wechselwirkungsfreie Bewegung 2. + 3. Newtonsches Axiom : → → → d p1 (t ) F 12 (t ) = dt v1 m1 v2 u2 → F 12 (t ) = − F 21 ( t ) (40) u1 Actio = Reactio → → F 21 (t ) = m2 Voraussetzung : Abgeschlossenes System !! d p 2 (t ) dt Nur innere Kräfte zwischen Massen Keine äußeren Kräfte Sonst würde sich Impuls verändern ! → → → → → d p1 (t ) d p 2 (t ) d p1 (t ) d p 2 (t ) d → =− ⇒ + =0 ⇒ p ( t ) + p ( t ) =0 1 2 dt dt dt dt dt ⇒ ⇒ → → p 1 ( t ) + p 2 (t ) = const Vektorsumme der Impulse nicht von Zeit abhängig ⇒ zeitlich konstant → → m1 ⋅ v 1 + m 2 ⋅ v 2 ⇒ Gesamtimpuls bleibt erhalten = → → m1 ⋅ u 1 + m 2 ⋅ u 2 = Impulserhaltungssatz Impulserhaltung wenn nur innere Kräfte wirken. Auch Reibung ist innere Kraft ⇒ Impulssatz gilt universell - auch bei dissipativen inneren Kräften (im Gegensatz zu E-Satz !) © H.Neuendorf (41) Erhaltungssätze : Impuls Kräftemäßig abgeschlossenes System : In abgeschlossenem System aus N Körpern ist Vektorsumme aller Impulse konstant: Massen des Systems wechselwirken nur untereinander durch innere Kräfte Fij N → Keine Einwirkung äußerer Kräfte auf Teilchen ∑ p i = const i =1 N Äußere Kraft F(a) wirkt auf System ⇒ Impulsänderung Beweis : Innere Kräfte gleich welcher Art spielen für Impulsänderung keine Rolle ! (2.Axiom) m1 m2 Fi(a) (a ) N → → d → p i = F i + ∑ F ij dt j =1 (a ) (a ) N → N N → N → d → ⇒ ∑ p i = ∑ F i + ∑∑ F ij = ∑ F i i =1 dt i =1 i =1 j =1 i =1 N N denn N → ∑∑ F i =1 j =1 © H.Neuendorf m3 → (a ) d→ d→ p = ∑ p i = F dt i =1 dt Nicht-abgeschlossenes System : → ij → → → → (a ) =F Actio = Reactio = ( F 12 + F 21 ) + ( F 13 + F 31 ) + K = 0 Impulserhalt ⇒ Stoßgesetze m1 Zentraler Stoß : u1 Körper vor und nach Stoß auf einer Linie (42) m2 v1 Elastischer Stoß : u2 v2 Horizontal ⇒ 1dim Kein Verlust mechanischer Energie durch Reibung, Deformation, ... Skalare Berechnung Bekannt: m1, m2 , v1, v2 ⇒ Energiesatz + Impulssatz erforderlich Gesucht: u1, u2 m1 ⋅ v1 + m 2 ⋅ v 2 = m1 ⋅ u1 + m 2 ⋅ u2 m1 2 m 2 2 m1 2 m 2 2 v1 + v2 = u1 + u2 2 2 2 2 ⇒ m1 ⋅ (v1 − u1 ) = m 2 ⋅ (u2 − v 2 ) (1) ( ) ( ⇒ m1 ⋅ v12 − u12 = m 2 ⋅ u22 − v 22 ) ⇒ m1 ⋅ (v1 + u1 ) ⋅ (v1 − u1 ) = m 2 ⋅ (u2 + v 2 ) ⋅ (u2 − v 2 ) (2) u1 = u2 + v 2 − v1 ⇒ u2 = u1 + v1 − v 2 ( 2) : (1) ⇒ (v1 + u1 ) = (u2 + v 2 ) (1) ⇒ u1 = m1 − m 2 2m 2 v1 + v2 m1 + m 2 m1 + m 2 u2 = m 2 − m1 2m1 v2 + v1 m1 + m 2 m1 + m 2 Das Kraftgesetz der Stoß-Wechselwirkung muss nicht bekannt sein ! © H.Neuendorf Impulserhalt ⇒ Stoßgesetze (43) m2 m1 Spezielle Fälle : u1 u1 = m1 − m 2 2m 2 v1 + v2 m1 + m 2 m1 + m 2 u2 = v1 v2 u2 m 2 − m1 2m1 v2 + v1 m1 + m 2 m1 + m 2 1.) m1 = m 2 :⇒ u1 = v 2 , u2 = v1 2.) m1 << m 2 , v 2 = 0 :⇒ u1 ≅ −v1 , u2 ≅ v 2 = 0 1.) Identische Massen : Körper vertauschen ihre Geschwindigkeiten Wenn Körper 2 vor Stoß ruht ⇒ Übertragung gesamte kinetische Energie von 1 auf 2 Generell: Maximaler kinetischer Energie-Übertrag, wenn Massen identisch ! 2.) Sehr unterschiedliche Massen : Ball gegen Mauer .... Kleinere Masse kehrt Geschwindigkeit um - wird reflektiert Impulsänderung ∆p = 2mv Große Masse nimmt fast keinen Impuls auf Stets müssen Impulssatz + Energiesatz erfüllt sein ! © H.Neuendorf Zentraler elastischer Stoß ohne Kenntnis der Struktur der Wechselwirkungskraft berechenbar ! Impulserhalt ⇒ Stoßgesetze m1 Spezielle Fälle: u1 = u1 2m 2 m1 − m 2 v2 v1 + m1 + m 2 m1 + m 2 3.) v 2 = 0 :⇒ ⇒ u1 = ∆E k 2 = E k1 m1 = m 2 m1 >> m 2 m1 << m 2 1 m1 − m 2 v1 m1 + m 2 2 m u 2 2 2 1 ⇒ ⇒ u2 = 2 m v 2 1 1 = Anwendung : Moderation (Abbremsung) schneller Neutronen durch Wasser (H-Atome) in Kernreaktoren auf niedrige Geschwindigkeiten. Nur für diese ist Einfangwahrscheinlichkeit durch U-Kerne ausreichend hoch. Voraussetzung für Kettenreaktion ! © H.Neuendorf u2 = u2 2m1 v1 m1 + m 2 m1v12 ⋅ (m1 + m 2 )2 ∆E k 2 =0 E k1 v1 2m1 m 2 − m1 v1 v2 + m1 + m 2 m1 + m 2 m 2 ⋅ 4m12 v12 ∆E k 2 =1 E k1 (44) m2 = 4 ⋅ m1m 2 (m1 + m 2 )2 Energieübertrag auf ruhende Masse v2 = 0 m/s : Maximaler Übertrag kinetischer Energie, wenn beide Massen identisch sind. Relativer Energieübertrag geringer, wenn sich Massen stark unterscheiden ⇒ Grenzfälle : m1 << m2 : Reflektion der kleineren Masse m1 >> m2 : Größere Masse erfährt keine Änderung (45) Impulserhalt ⇒ Stoßgesetze Unelastischer Stoß : Teilweise Umwandlung von Bewegungsenergie Ek in Wärme, Deformationsenergie, ... Verlustenergie ∆W muss bekannt sein, sonst u1 u2 nicht berechenbar m1 ⋅ v1 + m 2 ⋅ v 2 = m1 ⋅ u1 + m 2 ⋅ u2 m1 m1 2 m 2 2 m1 2 m 2 2 v1 + v2 = u1 + u 2 + ∆W 2 2 2 2 v1 m2 v2 u Speziell : Körper nach Stoß aneinander gebunden = Total unelastischer zentraler Stoß ⇒ Bewegen sich nach Stoß mit gleicher Geschwindigkeit u als ein Teilchen ⇒ Impulssatz reicht zur Berechnung von u m2 = 5·103 kg m1 ⋅ v1 + m 2 ⋅ v 2 = (m1 + m 2 ) ⋅ u ⇒ u= m1 ⋅ v1 + m 2 ⋅ v 2 m1 + m 2 v2 = 0 v1 = 1m/s Bsp: m1 = 6·103 kg Deformationen mit Reibung beruhen auf inneren Kräften. Auch beim unelastischen Stoß gilt Impulserhaltungssatz © H.Neuendorf u= m1 ⋅ v1 6 = m/s m1 + m 2 11 (46) Erhaltungssätze : Drehimpuls L ϕ F y Drehbewegungen → Definition angepasster Größen m 1. Drehmoment : r Nur senkrechte Kraft-Komponente F⊥ beschleunigt Drehung x Hebelgesetz: Beschleunigende Wirkung wächst mit Abstand r ⇒ Definition Drehmoment M → → → | M |:= r ⋅ F⊥ = r ⋅ F ⋅ sin ϕ =| r × F | → M := → → r×F 2 kg ⋅ m Nm = 2 s Vektor M Senkrecht zu r und F ⇒ Senkrecht zu Bahnebene Gleiche Einheit wie Joule - aber stets nur in Nm angegeben ! Ursprung im Zentrum der Kreisbahn p 1. Drehimpuls : y "Wucht" des rotierenden Massepunktes umso größer, je größer p und r ϕ m r Tangentialer Anteil des Impulses p senkrecht zu r interessiert ⇒ Definition Drehimpuls L → x → → | L |:= r ⋅ p⊥ = r ⋅ p ⋅ sin ϕ = | r × p | → L := © H.Neuendorf → → r× p kg ⋅ m Nms = s 2 Vektor L Senkrecht zu r und p ⇒ Senkrecht zu Bahnebene (47) Erhaltungssätze: Drehimpuls L Bewegungsgleichung : Zeitliche Änderung des Drehimpulses → • → → → → → dL d dr L= = ( r × p) = ×p + dt dt dt → • → L= ⇒ → dL =M dt → → dp r× dt → = → v× p + → → r× F → = 0+ M Zeitliche Drehimpulsänderung des Massepunktes wird bewirkt durch Drehmoment der wirkenden Kraft Drehimpulssatz für Massenpunkt : Analogie zum 2.Axiom : → → dL =M dt → → L↔ p → ↔ → d p → =F dt → M ↔F L = const in Betrag + Richtung ⇒ Drehimpuls L eines Massenpunktes ist konstant, wenn keine Kraft wirkt F = 0 N oder wenn Kraft F immer parallel zu Ortsvektor r(t) ⇒ Drehmoment M = 0 Nm → dL → → → = r× F = M dt → ⇒ © H.Neuendorf → F || r oder F = 0 N Bewegung in einer Ebene deren Lage sich nicht ändert ! Weitere Erhaltungsgröße der Physik ! → → ⇒ dL = 0 Nm dt → L = const Konstanz von Betrag + Richtung ! Drehmoment + Drehimpuls für Massepunktsysteme System mit N Massepunkten: Summation über N Einzelgrößen → M= N → N → i =1 i =1 → → ∑ M i = ∑ r i × Fi → d Li → ∀i : = Mi dt L= N → N → i =1 i =1 → ∑ Li = ∑ r i × pi (48) Summation über N Massepunkte Alle N Ortsvektoren ri müssen auf denselben Ursprung bezogen sein F(a) → dL → ⇒ =M dt m3 Zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses ist gleich wirkendes äußeres Gesamtdrehmoment F32 = - F23 F31 = - F13 F12 = - F21 m1 Drehimpulserhaltung für N-Teilchensysteme : Der Gesamtdrehimpuls eines abgeschlossenen Systems (keine äußeren Kräfte) ist konstant → N → → L = ∑ r i× pi = i =1 © H.Neuendorf → → → L1 + L1 + K + L N = const m2 S ri Gesamtkraft auf Teilchen i ist zusammengesetzt aus inneren und äußeren Kräften. Nur äußere Kräfte von Belang. Innere Kräfte heben sich wegen Actio = Reactio auf und üben kein resultierendes Drehmoment aus ! (51) Konstanter Drehimpuls : 2 Fälle 1. F = 0 N Es wirken weder Drehmoment M noch Kraft F auf Massenpunkt ⇒ Geradlinig gleichförmige Bewegung mit konstanten Impuls und Drehimpuls → → → → dL → = M = 0 Nm ⇒ L = r × p = const dt → d p → = F = 0N dt → ⇒ p = const y p r r⊥ p = const r⊥ = const ⇒ r⊥ ·p = L = const x Geradlinig bewegter Körper kann Drehimpuls ≠ 0 haben und diesen auf andere Körper übertragen ! Abhängig von Wahl des Koordinatenursprungs ! → 2. F || r Kraft zeigt stets zum Koordinatenursprung = Zentralkraft Bsp: Kreisbewegung mit Zentripetalkraft Fp = m·ω2·r || r : M = 0 Nm ⇒ Drehimpuls L = const und senkrecht zu Bahnebene 0 → → → → → → 2 2 L = r × p = m ⋅ r × v = m ⋅ r ⋅ω = m ⋅ r ⋅ 0 ω Wichtige Zentralkraft = Gravitation ⇒ © H.Neuendorf Planeten laufen auf Ellipsen-Bahnen mit konstantem Drehimpuls um Zentralgestirn ! y v r → L || ω x → Sinn der Drehimpulsdefinition → (52) F G || r Veranschaulichung anhand Ellipsenbahn eines Planeten - Fragestellung : Welche physikalischen Größen sind konstant im System 1 und welche im System 2 ? System 1 : → → → → Alle Größen des Planeten variieren ständig in Betrag und Richtung ! r F G (t ) a (t ) v (t ) Auch Impuls p des Planeten ist nicht konstant, da ständig die äußere Gravitations-Kraft einwirkt → → F G || r → → p (t ) ≠ const → → → M = r × F G = 0 Nm ⇒ Aber : Bahn-Drehimpuls L ist konstant → → L = const ⇒ Defintion der physikalischen Größe Dehimpuls ist sinnvoll. Während sich alle anderen physikalischen Größen ständig ändern gibt es doch eine konstante System-Größe → System 1 System 2 → System 2 : Abgeschlossenes GesamtSystem ⇒ Es wirken nur innere Kräfte und Dehmomente ⇒ Gesamter Impuls, Drehimpuls und Energie des GesamtSystems sind konstant © H.Neuendorf → → r (t ) F G ( r ) → v (t ) S → v (t ) Symmetrischer Kreisel → → L ω (57) → Im Schwerpunkt gelagerter Kreisel : dL → =M dt Es wirkt kein kippendes Drehmoment relativ zu Schwerpunkt, da Gewichtskraft genau im SP angreift "Hebelarm" = 0 m → SP → → → M = r × F = r × m ⋅ g = 0 Nm → → → denn : r = 0 m → ⇒ L = const Kräftefreier / Drehmomentfreier Kreisel : Einfacher / trivialer Fall Der Kreisel rotiert mit ortsfester Drehachse – bleibt in jeder schiefen Lage stehen. Richtung der Drehimpulsachse L bleibt fest im Raum stehen, ändert sich während Rotation nicht. Drehimpuls ist zeitlich konstant nach Betrag und Richtung. Frage : Was macht der Kreisel, wenn ein effektives konstantes Drehmoment versucht, die Kreiselachse zu kippen ? © H.Neuendorf ⇒ Figurenachse ist räumlich fest Präzession des Kreisels ..... → Symmetrischer Kreisel unter Einfluss eines Drehmoments → → r → L( t + dt ) → ω → dϕ → F = m⋅ g → → → dϕ = → M = r × F = r × m g ⇒ → → M⊥r → → → → ∧ M ⊥F L ≠ const → → ∧ M⊥L ⇒ → dL M ⋅ dt = L L dϕ M = ω pr = dt L → | L |= const → → d L = M ⋅ dt L(t ) Blick von der Seite → dL =M dt Blick von oben L SP (58) → → → M || d L Präzessionsfrequenz ωp Umso niedriger, je schneller Kreisel rotiert dh je größer sein Drehimpuls L ist Präzessionsfrequenz ist unabhängig vom Neigungswinkel Drehmoment M zeigt in Zeichenebene hinein, steht senkrecht zur Figurenachse und zu L ⇒ 1. Es ändert sich nur die Richtung von L - nicht sein Betrag 2. Drehimpuls weicht seitlich / senkrecht zur angreifenden Kraft aus 3. Kreisel kippt nicht um ! 4. Kreisel beschreibt Kreisbewegung mit Präzessionsfrequenz ωp © H.Neuendorf (59) Bewegungen starrer Körper Bisher: Einzelne idealisierte Massepunkte Nun: Ausgedehnter starrer Körper ⇒ keine Schwingung / Deformation Starrer Körper = System von Massepunkten mit konstantem Abstand = absolut formstabil Allgemeine Bewegung starrer Körper besteht aus : a) Translation : Alle Teile des Körpers haben gleiche Geschwindigkeit v (Betrag + Richtung) ⇒ durch Bewegung des Schwerpunkts beschreibbar b) Rotation : Teile des Körpers haben unterschiedlichen Abstand r von Drehachse und somit unterschiedliche Geschwindigkeit v ! ⇒ Berechnung Rotationsenergie + Drehimpuls nicht trivial v Wirkung von Kräften und Drehmomenten r r Hilfsbild : Starrer Körper setze sich diskret aus N Massepunkten am Ort ri mit Masse mi zusammen Tatsächlich hat man kontinuierliche Masseverteilung mit Massendichte ρ ⇒ Starrer Körper = Keine elastische potentielle Energie Übergang von diskreter Summation zur kontinuierlichen Integration über Massenverteilung Potentielle Energie nur als Lageenergie des Schwerpunktes © H.Neuendorf (65) Trägheitsmomente: Rotation starrer Körper um feste Achsen Kinetische Energie der Rotation eines Körpers aus N Teilchen = Summe der kinetischen Energien der Einzelmassen : Alle Teilchen haben gleiche Winkelgeschwindigkeit ω, aber unterschiedlichen Abstand ri von fester Drehachse N m E k = ∑ i ⋅ v i2 i =1 2 v i = ri ⋅ ω 1 N E k = ω ⋅ ∑ m i ⋅ ri2 2 i =1 2 Analogie: Translation ↔ Rotation m © H.Neuendorf ↔ I ↔ v Bestehe aus N Teilchen Umso besser, je kleiner und zahlreicher Teilchen sind N I = ∑ m i ⋅ ri2 i =1 N Körperform + Lage Drehachse bestimmen Trägheitsmoment und somit Rotationsenergie m 2 ⋅v 2 Diskretes Modell des Körpers : Trägheitsmoment erfasst Trägheit des Körpers gegen Rotation I Ek = ⋅ω 2 2 Ek = Drehachse ri Ek = I 2 ⋅ω 2 ↔ ω I = ∑ m i ⋅ ri2 i =1 = Trägheitsm oment [kg ⋅ m ] 2 Trägheitsmoment + Rotationsenergie sind abhängig von Lage der Drehachse auf die Abstände ri bezogen werden !! Zunahme mit : Masse des Körpers - zB Material höhere Dichte Abstand der Massen von Drehachse (66) Trägheitsmomente: Rotation starrer Körper um feste Achsen Drehimpuls eines starren Körpers aus N Teilchen = Summe der Drehimpulse der Einzelmassen : Alle Teilchen haben gleiche Winkelgeschwindigkeit ω, aber unterschiedlichen Abstand ri von Drehachse → N → N | L |=| Lz |= ∑ | L i | = ∑ ri ⋅ m i ⋅ v i i =1 ri Drehachse → L = r× p i =1 v i = ri ⋅ ω Feste Drehachse : Kreisbewegung N Ortsvektor ri und Geschwindigkeit vi stets senkrecht zueinander ⇒ i =1 Drehimpuls L senkrecht zu Bahnebene, parallel zu Winkelgeschwindigkeit ω L = ω ⋅ ∑ m i ⋅ ri2 = I ⋅ ω → → d → dω | M |=| M z |=| L |= I ⋅ = I ⋅α dt dt Analogie : Translation ↔ Rotation p = m ⋅v m © H.Neuendorf ↔ ↔ I → → L = I ⋅ω v ↔ ω Einwirkendes Drehmoment verändert Drehimpuls des rotierenden Körpers → vi ⊥ ri 0 L= 0 L z → ⇒ → → L || ω 0 ω = 0 ω z → (68) Trägheitsmomente : Berechnung für reale Körper Übergang vom diskreten Modell mit N Teilmassen zu realen Körpern : Kontinuierliche Massenverteilung mit Dichte ρ ⇒ Summation über unendlich viele infinitessimal kleine Teilmassen = Kontinuum ⇒ Übergang von diskreter Summation zur Integration N M = ∑ mi i =1 dm → M = ∫ dm = ∫ ⋅ dV = ∫ ρ ⋅ dV = ρ ∫ dV dV ρ = Dichte Homogener Körper hat konstante Dichte ρ Trägheitsmoment : Übergang zur Integration N I = ∑ m i ⋅ ri2 i =1 → I = ∫ r 2 dm = ∫ r 2 dm ⋅ dV = ρ ∫ r 2 dV dV Annahme: Homogener Körper konstanter Dichte r (x,y,z) = Abstand des infinitessimalen Volumenelements dV = dx dy dz von Drehachse I = ρ ⋅ ∫ r 2 dV = = ρ ∫∫∫ r ( x , y, z ) dx dy dz 2 V © H.Neuendorf Integral über Volumenelemente : Elementare Berechnung nur in geometrisch einfachen Fällen = symmetrische Körper Trägheitsmoment-Wert hängt ab von Form des Körpers + Lage Drehachse ! (69) Trägheitsmomente : Beispiel dünner Ring Berechnung für den selben Körper, jedoch zwei verschiedene Drehachsen : a) Drehung um Symmetrieachse Dünner Ring ⇒ Alle Volumenelemente dV haben näherungsweise gleichen Abstand R von Drehache I = ρ ⋅ ∫ r 2 dV = ρ ⋅ R 2 ⋅ ∫ dV = Näherungen umso besser, je dünner der Ring = ρ ⋅ R 2 ⋅V = m ⋅ R 2 Gemeinsamer Abstand R für alle Volumenelemente ⇒ Volumenintegral unproblematisch Gleiches Resultat auch für dünnen Hohlzylinder Generell : Wahl der passenden Koordinaten wichtig ! Wichtiger Unterschied zwischen Masse und Trägheitsmoment : Masse des Objekts ist konstant. Sein Trägheitsmoment aber kann dynamisch geändert werden, wenn sich Abstände der Massen von Drehachse ändern. © H.Neuendorf Wert des Trägheitsmoments hängt ab von Lage der Drehachse! Verschiedene Drehachsen liefern verschiedene Trägheitsmomente! Angabe eines Trägheitsmoments nur sinnvoll inklusive Angabe der zugehörigen Drehachse ! (70) Trägheitsmomente : Dünner Ring Näherungen umso besser, je dünner der Ring b) Drehung um Drehachse in Ringebene Dünner Ring ⇒ Dicke der Volumenelemente dV vernachlässigbar dV = A ⋅ R ⋅ dϑ A = Ring-Querschnittsfläche ds = R ⋅ dϑ dV = A ⋅ ds r = R ⋅ sin ϑ 2π I = ρ ⋅ ∫ r dV = ρ ⋅ ∫ ( R ⋅ sin ϑ ) 2 ⋅ A ⋅ R ⋅ dϑ = 2 0 2π Träge Masse m hängt nur vom Körper ab, nicht aber von der Bewegungsrichtung. Trägheitsmoment hängt nicht nur vom Körper ab, sondern auch von Lage der Drehachse. = ρ ⋅ A ⋅ R ⋅ ∫ sin ϑ dϑ = ρ ⋅ A ⋅ R ⋅ π = 3 2 3 0 = m m ⋅ A ⋅ R3 ⋅π = ⋅ R 2 A ⋅ 2π ⋅ R 2 Generell : Verschiedene Drehachsen haben verschiedene Trägheitsmomente Derselbe Ring, jedoch andere Drehachse : Kleineres Trägheitsmoment Bei Drehung um diese Drehachse ist mittlerer Abstand der Volumenelemente von Drehachse kleiner als beim vorangegangenen Fall ! © H.Neuendorf (72) Trägheitsmomente - Drehungen um parallele Achsen Problem : Trägheitsmoment IS für Drehachse durch Schwerpunkt S ist bekannt Wie groß ist Trägheitsmoment für Drehung um dazu parallele (!) andere Drehachse ?? Lösung : m Keine Neuberechnung erforderlich → Satz von Steiner IA = IS + m ⋅a2 S R a IA = Trägheitsmoment für Drehung um neue Achse A parallel zu Achse durch S Is = Trägheitsmoment für Drehung um Schwerpunktachse durch S m = Masse des Körpers A a = Abstand der Drehachse A vom Schwerpunkt Bsp: Dünner Ring Voraussetzungen des Satzes : Drehachsen S und A stehen senkrecht zur Papierebene - Beide Achsen müssen parallel sein - Achse mit bekannten Trägheitsmoment Is muss durch Schwerpunkt S gehen Neue Drehachse A muss nicht innerhalb des Körpers liegen ! I S = m ⋅ R2 I A = m ⋅ R2 + m ⋅ a2 Satz von Steiner gilt für homogene und auch inhomogene Körper Konsequenz : Achsen durch Schwerpunkt haben minimales Trägheitsmoment ! © H.Neuendorf Zusammenfassung : (73) Vergleich 1d Translation mit Rotation um feste Achse Translation Rotation ϕ (t ) x (t ) • Analogie zwischen verwandten physikalischen Größen • m↔I ω = ϕ (t ) v = x (t ) m I = ∑ m i ⋅ ri2 → F M = r×F → • d F = p = (m ⋅ v ) = m ⋅ a dt Ek = m 2 ⋅v 2 p↔L • d M = L = (I ⋅ ω ) = I ⋅α dt Ek = → F↔M L = I ⋅ω = r × p p = m ⋅v → Für konstante Masse bzw Trägheitsmoment I 2 ⋅ω 2 → Feste Drehachse : Drehbewegung in einer Ebene Konstante Richtung von Drehimpuls + Winkelgeschwindigkeit © H.Neuendorf → L || ω (74) Kinetische Energie des starren Körpers : Translation + Rotation Bewegung zusammengesetzt aus : 1. Translation des Schwerpunktes S mit Geschwindigkeit v + 2. Rotation um Schwerpunkt S mit Winkelgeschwindigkeit ω = v / R ⇓ Kinetische Energie = Kinetische Energie Translation + kinetische Energie Rotation : Ek = E trans k +E rot k m I m = ⋅ v 2 + S ⋅ω 2 = 2 2 m 2 IS v2 = ⋅v + ⋅ 2 2 2 R ω S R Bsp: Rollender Zylinder Gesamte kinetische Energie eines starren Körpers ist die Summe aus der Translationsenergie der im Schwerpunkt vereint gedachten Masse und der Rotationsenergie für die Drehung um den Schwerpunkt. © H.Neuendorf ω= v v R (75) Zusammenfassung : Bewegungsgleichungen + Erhaltungssätze Gilt für Massenpunkte und ausgedehnte Körper Ein System ändert seinen Impuls nur durch einwirkende äußere Kräfte ⇒ Wenn keine äußeren Kräfte wirken, ist Gesamtimpuls jederzeit konstant = Impulserhaltungssatz Ein System ändert seinen Drehimpuls nur durch einwirkende äußere Drehmomente ⇒ Wenn keine äußeren Drehmomente wirken, ist Gesamtdrehimpuls jederzeit konstant = Drehimpulserhaltungssatz → → → M = r×F d d 2r F = p = m ⋅a = m ⋅ 2 dt dt d p = F (a ) dt d d 2ϕ M = L = I ⋅α = m ⋅ 2 dt dt d L = M (a ) dt Energie : F (a ) = 0 N M ( a ) = 0 Nm ⇒ Keine Reibung, keine Wärmeverluste ! Die gesamte mechanische Energie ist jederzeit konstant = Energieerhaltungssatz der Mechanik E = E ktrans + E krot + E p = © H.Neuendorf ⇒ m 2 IS ⋅v + ⋅ ω 2 + E p = const 2 2 → → → L = r× p p = const L = const Innere Kräfte und Drehmomente verändern den Gesamtimpuls und Drehimpuls nicht ! Impulssatz und Drehimpulssatz gelten universell - auch in der Quantenmechanik ! (76) Die sechs Erhaltungsgrößen der Natur Erhaltungsgröße Wenn System invariant ist unter zeitlicher Translation, räumlicher Translation bzw räumlicher Rotation, dann ist entsprechende Größe erhalten. "Tieferer Sinn" Alltäglicher Erfahrungsbereich: Energie Homogenität der Zeit Impuls Homogenität des Raumes Drehimpuls Isotropie des Raumes Bereich des Mikrokosmos: Ladung Stabilität der Welt (?) Baryonenzahl Quark-Erhalt (?) Leptonenzahl Elementarcharakter (?) Kern-, Elementarteilchen- und alle anderen Reaktionen in Natur laufen stets so ab, dass diese Größen erhalten bleiben Elementare Grundbausteine der Materie : Fermionen = Spin 1/2 h Quarks = 6 Elementarbausteine : d,u,b,c,t,s Leptonen = Leichte Elementarteilchen : Elektron, Müon, Neutrinos, Tau Masselose Teilchen = Träger der Kräfte Bosonen Spin ganzzahlig Photon → Elmag. Aus Quarks zusammengesetzte Teilchen = Hadronen = starke WW : Baryonen = Schwere Teilchen aus 3 Quarks : p, n, Λ, .... Mesonen = Mittelschwere Teilchen aus 2 Quarks : Pionen, Kaon, Psi, ... © H.Neuendorf Gluon → Stark Kern Graviton → Grav. W → Schwache Kraft Die Elementarteilchen Name Symbol (77) Fermionen Spin 1/2 Masse (MeV) El.Ladung El. Ladung Antiteilchen Quarks : UP u 5 +2/3 -2/3 DOWN d 10 -1/3 +1/3 CHARM c 1500 +2/3 -2/3 Zwei Teilchenfamilien : STRANGE s 150 -1/3 +1/3 TOP t 17500 +2/3 -2/3 Quarks mit gedrittelter Ladung BOTTOM b 4700 -1/3 +1/3 Leptonen mit ganzzahliger Ladung Antiteilchen haben entgegengesetzte Ladung + Spin Leptonen : Elektron e 0,511 -1 +1 El-Neutrino νe < 4.5·10-6 0 0 Myon µ 106 -1 +1 170·10-3 0 0 τ 175 -1 +1 Tau-Neutrino ντ < 24 0 0 My-Neutrino νµ Tau < Neutrinomassen sind sehr ungenau bestimmt Es gibt keine isolierten Quarks - nur in gebundener Form nachweisbar Aber Streuexperimente zeigen eindeutig : Hadronen haben innere Struktur - Leptonen nicht ! © H.Neuendorf (78) Arten physikalischer Beziehungen Physikalische Gleichungen lassen sich unterschiedlichen Kategorien zuordnen: 1. Reine Definitionen neuer Größen → → → p = m⋅ v Simpel - aber bedeutsam, um auf Basis solcher sinnvoll neudefinierter Größen weitere Beziehungen aufstellen zu können ! → → L = r× p 2. Bilanzgleichungen – Erhaltungssätze + Extremalprinzipien → ∑ p(t ) = const → ∑ L(t ) = const E k (t ) + E p ( t ) = E = const → → ∫ F dl = 0 Lagrange Fermat 3. Ursache-Wirkungs-Beziehungen → → d p F= dt → M= → dL dt U = R⋅ dQ dt An solchen Erhaltungsgrößen + Extremalprinzipien orientieren wir uns bei zahlreichen physikalischen Problemstellungen - die andernfalls nur mühsam oder gar nicht lösbar wären Grundsätzliche Aussagen über das Wesen physikalischer Prozesse und deren kausale Struktur. Meist in Form von DGL Teilweise die eigentlichen Grundgleichungen der Physik Ursache © H.Neuendorf Wirkung
