Pflichtteil Klausur Nr. 2 - lehrer.uni

2011-05-18
Klausur Nr. 2
Einführung analytische Geometrie
Pflichtteil
keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.
Name:
0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche
VP
Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen
/2
Ihnen bis zu 2 Punkte.
1. Gegeben sind die Geraden
:
1
0
1
∙
und
1
0 , ∈
1
mit
bzw.
/4
:
0
0
1
∙
0,5
, ∈
0
0
Beschreiben Sie die Lage jeder Geraden mit Worten kurz aber so exakt wie möglich.
2. Beschreiben Sie ein Verfahren, wie Sie die Lage zweier Geraden g und h zueinander mit
g:
∙ , ∈
und h:
∙ , ∈
bestimmen können.
bitte wenden…
/4
2011-05-18
2011-05-18
Klausur Nr. 2
Einführung analytische Geometrie
Wahlteil
Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen.
Name:
VP
4. Gegeben sind die Punkte A(0/4/0), B(0/0/2) und C(4/0/0).
/6
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist mit a = c.
b) Ergänzen Sie das Dreieck ABC durch einen weiteren Punkt zu einer Raute.
c) Berechnen Sie die Innenwinkel der Raute auf eine Dezimale genau.
5. Die x1x2-Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in der ein Flugplatz liegt. Eine
/6
Radarstation befindet sich im Punkt R(6/3/0). Das Radar erfasst ein Testflugzeug
F um 7.00 Uhr im Punkt P(7/29/7) und ermittelt als Flugbahn des Flugzeugs
7
29
7
:
∙
3
2 , t in Minuten nach 7.00 Uhr, Angaben in km
1
a) In welchem Punkt befindet sich das Flugzeug um 7.01 Uhr?
b) Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug im Sinkflug befindet?
c) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h.
d) Zu welcher Uhrzeit und in welchem Punkt würde das Flugzeug bei Beibehaltung der Flugbahn auf dem Boden aufsetzen?
6. Ein Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide mit sechs
/2
gleich langen Kanten der Länge s. M1 und M2 sind
gegenüberliegende Kantenmitten (siehe Skizze).
Zeigen Sie, dass für das Skalarprodukt der Vektoren
und
gilt:
∙
.
Viel Erfolg!
Notenschlüssel siehe
Erwartungshorizont siehe
http://www.hoeger.org  Schule  Notengebung
http://www.hoeger.org/M11/ m11_4_1011_anageom-einfuehrung.pdf
Rückgabe am 25. Mai 2011
Note:
mündlich:
Arithmetisches Mittel:
von 30 VP
2011-05-18
Erwartungshorizont
Einführung analytische Geometrie
Pflichtteil
keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.
Name:
0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche
VP
Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen
/2
Ihnen bis zu 2 Punkte.
1. Gegeben sind die Geraden
:
1
0
1
∙
und
1
0 , ∈
1
mit
bzw.
/4
:
0
0
1
∙
0,5
, ∈
0
0
Beschreiben Sie die Lage jeder Geraden mit Worten kurz aber so exakt wie möglich.
Die Gerade g liegt in der x1x3-Ebene und stellt dort die Winkelhalbierende zwischen den
Achsen mit verschiedenen Vorzeichen, die sogenannte 2. Winkelhalbierende dar.
(2 VP)
Die Gerade h verläuft parallel zur x1-Achse und schneidet die x3-Achse im Punkt (0/0/1).
(2 VP)
2. Beschreiben Sie ein Verfahren, wie Sie die Lage zweier Geraden g und h zueinander mit
g:
∙ , ∈
und h:
∙ , ∈
bestimmen können.
bitte wenden…
/4
2011-05-18
2011-05-18
Erwartungshorizont Wahlteil
4.
Gegeben sind die Punkte A(0/4/0), B(0/0/2) und C(4/0/0).
a)
Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist mit a = c.
Da
und
ist nur zu zeigen, dass gilt:
4
0
0
0
0
2
4
0
2
0
4
2
0
0
2
0
4
0
:
4²
0²
0²
4 ²
2 ²
√20
2√5
2²
√20
2√5
Somit gilt die Behauptung. (2 VP)
b)
Für
diese
und
die
nebenstehende
Skizze:
Ergänzen Sie das Dreieck
D
ABC durch einen weiteren
Punkt
zu
C
Skizze:
nächste Teilaufgabe siehe
einer
Raute.
B
Da die Seiten a und c gleich
lang sind (siehe Teilaufgabe
a), muss das Dreieck wie in
A
der Skizze um den Punkt D
zur Raute erweitert werden.
0
4
0
c)
Berechnen
Sie
die
Innenwinkel
Zunächst wird der Winkel
∙
4
0
2
der
 D(4/4/-2)
Raute
auf
eine
(2 VP)
Dezimale
genau.
bei B bestimmt:
4
0 ,
2
wegen
∙
4
4
2
0
4 [siehe a)] gilt:
2
∙
√
∙√
Aus Symmetriegründen gilt

78,5°
78,5° und damit
180°
101,5°
(2 VP)
2011-05-18
5.
Die x1x2-Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in der ein Flugplatz liegt. Eine
Radarstation befindet sich im Punkt R1(6/3/0). Das Radar erfasst ein Testflugzeug F um
7.00
Uhr
im
7
29
7
:
a)
Punkt
∙
P(7/29/7)
und
ermittelt
als
Flugbahn
des
Flugzeugs
3
2 , t in Minuten nach 7.00 Uhr, Angaben in km
1
In welchem Punkt befindet sich das Flugzeug um 7.01 Uhr?
Um 7.01 Uhr gilt: t = 1. Daher befindet sich das Flugzeug um diese Zeit in einem Punkt
7
29
7
Q mit dem Ortsvektor
b)
1∙
3
2
1
10
27  Q(10/27/6).
6
(1 VP)
Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug im Sinkflug befindet?
Da die x3-Koordinate die Höhe des Flugzeugs beschreibt und die x3-Koordinate des
Richtungsvektors
3
2 negativ ist, muss sich das Flugzeug im Sinkflug befinden.
1
(1 VP)
c)
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h.
Der Betrag des Richtungsvektors gibt die Länge der in einer Minute zurückgelegten
Strecke (gemessen in km) an, der 60-fache Wert den pro Stunde zurückgelegte Weg.
3
2
1
3²
2
1²
√14, damit ergibt sich 60√14
Das Flugzeug hat eine Geschwindigkeit von ca. 224 km/h.
d)
224.
(2 VP)
Zu welcher Uhrzeit und in welchem Punkt würde das Flugzeug bei Beibehaltung
der Flugbahn auf dem Boden aufsetzen?
Wenn das Flugzeug auf dem Boden aufsetzt gilt x3=0. Man betrachtet also nur diese
Koordinate: 7
1
0 und erhält t = 7, also 7.07 Uhr als Zeitpunkt des Aufsetzens.
Der Ort ergibt sich durch Einsetzen in die Geradengleichung:
7
29
7
7∙
3
2
1
28
15  S12(28/15/0).
0
(2 VP)
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6. Ein Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide mit sechs gleich langen Kanten der
Länge s. M1 und M2 sind gegenüberliegende Kantenmitten (siehe Skizze).
Zeigen Sie, dass für das Skalarprodukt der Vektoren
und
gilt:
∙
.
Das Tetraeder besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken, daher haben alle Winkel
der Seitendreiecke die Weite 60°.
Sei
der Winkel zwischen den Vektoren
Wegen cos
∙
| |∙
gilt:
Die Länge der Vektoren
| |∙
∙
und
und .
∙ cos
.
ist mit s vorgegeben.
Deshalb gilt:
∙
∙ ∙ cos 60° , also
∙
.
(2 VP)
[Anmerkung:
Die Punkte M1 und M2 sind für diesen Beweis unerheblich.]