Messbarkeit und Stochastische Prozesse

Messbarkeit und Stochastische Prozesse
Tutorium Stochastische Prozesse
08. November 2016
Inhalte des heutigen Tutoriums
Im heutigen Tutorium besprechen wir:
Inhalte des heutigen Tutoriums
Im heutigen Tutorium besprechen wir:
(1) Messbarkeit, Zufallsvariablen und Verteilungen
Inhalte des heutigen Tutoriums
Im heutigen Tutorium besprechen wir:
(1) Messbarkeit, Zufallsvariablen und Verteilungen
(2) Stochastische Prozesse als pfadwertige Zufallsvariablen
Inhalte des heutigen Tutoriums
Im heutigen Tutorium besprechen wir:
(1) Messbarkeit, Zufallsvariablen und Verteilungen
(2) Stochastische Prozesse als pfadwertige Zufallsvariablen
(3) Die Produkt-σ-Algebra
Inhalte des heutigen Tutoriums
Im heutigen Tutorium besprechen wir:
(1) Messbarkeit, Zufallsvariablen und Verteilungen
(2) Stochastische Prozesse als pfadwertige Zufallsvariablen
(3) Die Produkt-σ-Algebra
(4) Endlich-dimensionale Verteilungen
Inhalte des heutigen Tutoriums
Im heutigen Tutorium besprechen wir:
(1) Messbarkeit, Zufallsvariablen und Verteilungen
(2) Stochastische Prozesse als pfadwertige Zufallsvariablen
(3) Die Produkt-σ-Algebra
(4) Endlich-dimensionale Verteilungen
(5) Eindeutigkeit von Verteilungen und Dynkin’s π-λ Lemma
Messbare Abbildung
Frage: Wann ist eine Abbildung X : Ω → S messbar?
Messbare Abbildung
Frage: Wann ist eine Abbildung X : Ω → S messbar?
Definition (Messbarkeit)
Seien (Ω, A) und (S, S) messbare Räume. Dann bezeichnen wir die Abbildung X : Ω → S als A-S-messbar, wenn
{X ∈ B} ∈ A
für alle B ∈ S.
Messbare Abbildung
Frage: Wann ist eine Abbildung X : Ω → S messbar?
Definition (Messbarkeit)
Seien (Ω, A) und (S, S) messbare Räume. Dann bezeichnen wir die Abbildung X : Ω → S als A-S-messbar, wenn
{X ∈ B} ∈ A
für alle B ∈ S.
Bemerkung: Mit {X ∈ B} meinen wir die Urbildmenge von B unter X:
{X ∈ B} = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B).
Messbare Abbildung
Frage: Wann ist eine Abbildung X : Ω → S messbar?
Definition (Messbarkeit)
Seien (Ω, A) und (S, S) messbare Räume. Dann bezeichnen wir die Abbildung X : Ω → S als A-S-messbar, wenn
{X ∈ B} ∈ A
für alle B ∈ S.
Bemerkung: Mit {X ∈ B} meinen wir die Urbildmenge von B unter X:
{X ∈ B} = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B).
Bemerkung: Ist (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, heißt X Zufallsvariable.
Verteilungen
Frage: Was ist die Verteilung der Zufallsvariablen X?
Verteilungen
Frage: Was ist die Verteilung der Zufallsvariablen X?
Definition (Verteilung)
Sei X : (Ω, A, P) → (S, S) eine Zufallsvariable. Dann nennen wir das
Wahrscheinlichkeitsmaß PX auf (S, S) mit
PX [B] , P[X ∈ B]
die Verteilung von X.
für alle B ∈ S
Verteilungen
Frage: Was ist die Verteilung der Zufallsvariablen X?
Definition (Verteilung)
Sei X : (Ω, A, P) → (S, S) eine Zufallsvariable. Dann nennen wir das
Wahrscheinlichkeitsmaß PX auf (S, S) mit
PX [B] , P[X ∈ B]
für alle B ∈ S
die Verteilung von X.
Bemerkung: Wir schreiben typischerweise P[X ∈ ·] für die Verteilung von X. Anderer Schreibweisen sind:
P[X ∈ ·] = P[{X ∈ ·}] = P ◦ X −1 = PX .
Verteilungen
Frage: Was ist die Verteilung der Zufallsvariablen X?
Definition (Verteilung)
Sei X : (Ω, A, P) → (S, S) eine Zufallsvariable. Dann nennen wir das
Wahrscheinlichkeitsmaß PX auf (S, S) mit
PX [B] , P[X ∈ B]
für alle B ∈ S
die Verteilung von X.
Bemerkung: Wir schreiben typischerweise P[X ∈ ·] für die Verteilung von X. Anderer Schreibweisen sind:
P[X ∈ ·] = P[{X ∈ ·}] = P ◦ X −1 = PX .
Bemerkung: P[X ∈ ·] ist wohldefiniert aufgrund der Messbarkeit von X.
Stochastische Prozesse
Frage: Was ist ein stochastischer Prozess?
Stochastische Prozesse
Frage: Was ist ein stochastischer Prozess?
Definition (Stochastischer Prozess)
Sei T ⊂ R eine Indexmenge und sei X = {X(t)}t∈T eine Familie von
Zufallsvariablen
X(t) : (Ω, A, P) → (S, S),
t∈T.
Dann nennen wir die Familie X einen stochastischen Prozess.
Stochastische Prozesse
Frage: Was ist ein stochastischer Prozess?
Definition (Stochastischer Prozess)
Sei T ⊂ R eine Indexmenge und sei X = {X(t)}t∈T eine Familie von
Zufallsvariablen
X(t) : (Ω, A, P) → (S, S),
t∈T.
Dann nennen wir die Familie X einen stochastischen Prozess.
Bemerkung: Typischerweise wird T als Zeitindexmenge aufgefasst. Die Zufallsvariable
ω 7→ X(t, ω),
ω ∈ Ω,
beschreibt dann den Prozess zum Zeitpunkt t ∈ T .
Prozesse als pfadwertige Zufallsvariable
Sei X = {X(t)}t∈T ein (S, S)-wertiger stochastischer Prozess. Dann können wir
den Prozess auch als pfadwertige Zufallsvariable auffassen:
X : Ω → ST ,
ω 7→ X(·, ω),
wobei S T den sogenannten Pfadraum bezeichnet:
S T , f : f ist Abbildung von T nach S .
Das heißt also, jedes ω ∈ Ω bildet auf die Abbildung t 7→ X(t, ω) ab.
Prozesse als pfadwertige Zufallsvariable
Sei X = {X(t)}t∈T ein (S, S)-wertiger stochastischer Prozess. Dann können wir
den Prozess auch als pfadwertige Zufallsvariable auffassen:
X : Ω → ST ,
ω 7→ X(·, ω),
wobei S T den sogenannten Pfadraum bezeichnet:
S T , f : f ist Abbildung von T nach S .
Das heißt also, jedes ω ∈ Ω bildet auf die Abbildung t 7→ X(t, ω) ab.
Frage: Gibt es eine σ-Algebra auf dem Pfadraum S T , so dass der stochastische Prozess X als pfadwertige Zufallsvariable messbar ist?
Die Produkt-σ-Algebra
Frage: Wie ist die Produkt-σ-Algebra ST auf S T definiert?
Die Produkt-σ-Algebra
Frage: Wie ist die Produkt-σ-Algebra ST auf S T definiert?
Definition (Produkt-σ-Algebra)
Die Produkt-σ-Algebra ST auf S T ist definiert als
ST , σ(Z),
wobei Z die endlich-dimensionalen Zylindermengen bezeichnet:
Z,
Q
t∈T
Bt : Bt ∈ S für alle t ∈ T und
Bt 6= S für maximal endlich viele t ∈ T .
Die Produkt-σ-Algebra
Frage: Wie ist die Produkt-σ-Algebra ST auf S T definiert?
Definition (Produkt-σ-Algebra)
Die Produkt-σ-Algebra ST auf S T ist definiert als
ST , σ(Z),
wobei Z die endlich-dimensionalen Zylindermengen bezeichnet:
Z,
Q
t∈T
Bt : Bt ∈ S für alle t ∈ T und
Bt 6= S für maximal endlich viele t ∈ T .
Übungsaufgabe: Ein stochasticher Prozess X aufgefasst als pfadwertige Zufallsvariable ist A-ST -messbar. Umgekehrt gilt für jede A-ST -messbare Zufallsvariable
X : Ω → S T , dass X(t) für alle t ∈ T eine A-S-messbare Zufallsvariable ist.
Verteilung von stochastischen Prozessen
Sei X = {X(t)}t∈T ein stochastischer Prozess. Da die pfadwertige Zufallsvariable
X : Ω → ST ,
ω 7→ X(·, ω)
eine A-ST -messbare Zufallsvariable ist, existiert die Verteilung von X:
P[X ∈ ·] : ST → [0, 1],
T
T
P[X ∈ ·] ist also ein Maß auf (S , S ).
B 7→ P[X ∈ B].
Verteilung von stochastischen Prozessen
Sei X = {X(t)}t∈T ein stochastischer Prozess. Da die pfadwertige Zufallsvariable
X : Ω → ST ,
ω 7→ X(·, ω)
eine A-ST -messbare Zufallsvariable ist, existiert die Verteilung von X:
P[X ∈ ·] : ST → [0, 1],
T
B 7→ P[X ∈ B].
T
P[X ∈ ·] ist also ein Maß auf (S , S ).
Frage: Wie hängen die Verteilungen der Zufallsvariablen X(t), t ∈ T , mit der Verteilung des Prozesses X zusammen?
Endlich-Dimensionale Verteilungen
Frage: Was sind die endlich-dimensionalen Verteilungen von X?
Endlich-Dimensionale Verteilungen
Frage: Was sind die endlich-dimensionalen Verteilungen von X?
Definition (Endlich-Dimensionale Verteilungen)
Sei X = {X(t)}t∈T ein stochastischer Prozess und F = {t1 , . . . , tn } ⊂ T
eine endliche Teilmenge von T . Definiere einen Zufallsvektor X F durch
X F , X(t1 ), . . . , X(tn )
und bezeichne mit PF = P[X F ∈ ·] die Verteilung von X F auf (S F , SF ).
Dann bezeichnen wir die Familie
F
P : F ⊂ T endlich
als die endlich-dimensionalen Verteilungen von X.
Charakterisierung der Verteilung
Behauptung: Die endlich-dimensionalen Verteilungen bestimmen die Verteilung eines Prozesses eindeutig.
Charakterisierung der Verteilung
Behauptung: Die endlich-dimensionalen Verteilungen bestimmen die Verteilung eines Prozesses eindeutig.
Wir haben also folgende Aussage zu beweisen:
• Sei X ein Prozess mit endlich-dimensionalen Verteilungen {PF }F ⊂T
endlich
• und sei Y ein Prozess mit denselben endlich-dimensionalen Verteilungen,
dann haben X und Y dieselbe Verteilung, d.h.
P[X ∈ B] = P[Y ∈ B]
für alle B ∈ ST .
Charakterisierung der Verteilung
Behauptung: Die endlich-dimensionalen Verteilungen bestimmen die Verteilung eines Prozesses eindeutig.
Wir haben also folgende Aussage zu beweisen:
• Sei X ein Prozess mit endlich-dimensionalen Verteilungen {PF }F ⊂T
endlich
• und sei Y ein Prozess mit denselben endlich-dimensionalen Verteilungen,
dann haben X und Y dieselbe Verteilung, d.h.
P[X ∈ B] = P[Y ∈ B]
für alle B ∈ ST .
Bemerkung: Für den Beweis benötigen wir Dynkin’s π-λ Lemma.
Dynkin’s π-λ Lemma
Definition (π-System)
Ein nicht-leeres Mengensystem Z von Teilmengen von S T heißt π-System,
wenn es stabil unter endlich vielen Schnitten ist.
Dynkin’s π-λ Lemma
Definition (π-System)
Ein nicht-leeres Mengensystem Z von Teilmengen von S T heißt π-System,
wenn es stabil unter endlich vielen Schnitten ist.
Definition (λ-System)
Ein Mengensystem E von Teilmengen von S T heißt λ-System, wenn S T ∈
E und E stabil unter Komplementbildung und abzählbaren disjunkten Vereinigungen ist.
Dynkin’s π-λ Lemma
Definition (π-System)
Ein nicht-leeres Mengensystem Z von Teilmengen von S T heißt π-System,
wenn es stabil unter endlich vielen Schnitten ist.
Definition (λ-System)
Ein Mengensystem E von Teilmengen von S T heißt λ-System, wenn S T ∈
E und E stabil unter Komplementbildung und abzählbaren disjunkten Vereinigungen ist.
Theorem (Dynkin’s π-λ Lemma)
Sei Z ein π-System und sei λ(Z) das kleinste λ-System, welches Z enthält.
Dann gilt
λ(Z) = σ(Z).
Zusammenfassung
Zusammenfassung:
Zusammenfassung
Zusammenfassung:
(1) Stochastische Prozesse X = {X(t)}t∈T sind Familien von Zufallsvariablen.
Zusammenfassung
Zusammenfassung:
(1) Stochastische Prozesse X = {X(t)}t∈T sind Familien von Zufallsvariablen.
(2) Für alle t ∈ T ist die Zufallsvariable X(t) eine A-S-messbare Abbildung.
Zusammenfassung
Zusammenfassung:
(1) Stochastische Prozesse X = {X(t)}t∈T sind Familien von Zufallsvariablen.
(2) Für alle t ∈ T ist die Zufallsvariable X(t) eine A-S-messbare Abbildung.
(3) Wir können Prozesse aber auch als pfadwertige Zufallsvariablen auffassen:
X : Ω → ST ,
ω 7→ X(·, ω).
Zusammenfassung
Zusammenfassung:
(1) Stochastische Prozesse X = {X(t)}t∈T sind Familien von Zufallsvariablen.
(2) Für alle t ∈ T ist die Zufallsvariable X(t) eine A-S-messbare Abbildung.
(3) Wir können Prozesse aber auch als pfadwertige Zufallsvariablen auffassen:
X : Ω → ST ,
ω 7→ X(·, ω).
(4) In diesem Fall ist X eine A-ST -messbare Abbildung.
Zusammenfassung
Zusammenfassung:
(1) Stochastische Prozesse X = {X(t)}t∈T sind Familien von Zufallsvariablen.
(2) Für alle t ∈ T ist die Zufallsvariable X(t) eine A-S-messbare Abbildung.
(3) Wir können Prozesse aber auch als pfadwertige Zufallsvariablen auffassen:
X : Ω → ST ,
ω 7→ X(·, ω).
(4) In diesem Fall ist X eine A-ST -messbare Abbildung.
(5) Es macht deshalb auch Sinn, von der Verteilung P[X ∈ ·] von X zu sprechen.
Zusammenfassung
Zusammenfassung:
(1) Stochastische Prozesse X = {X(t)}t∈T sind Familien von Zufallsvariablen.
(2) Für alle t ∈ T ist die Zufallsvariable X(t) eine A-S-messbare Abbildung.
(3) Wir können Prozesse aber auch als pfadwertige Zufallsvariablen auffassen:
X : Ω → ST ,
ω 7→ X(·, ω).
(4) In diesem Fall ist X eine A-ST -messbare Abbildung.
(5) Es macht deshalb auch Sinn, von der Verteilung P[X ∈ ·] von X zu sprechen.
(6) Die Verteilung P[X ∈ ·] ist eindeutig durch die endlich-dimensionalen Verteilungen {PF }F ⊂T endlich bestimmt.