Produktionsprogrammentscheidungen © Ewert/Wagenhofer 2014. Alle Rechte vorbehalten! Ziele Darstellung der Lösungsverfahren für die Planung des optimalen kurzfristigen Produktionsprogramms mit und ohne Kapazitätsrestriktionen Analyse des Einflusses von Fixkosten auf die optimale Entscheidung Verstehen des Inhalts und des Nutzens von verschiedenen Opportunitätskosten-Konzepten 3.2 Das Szenario Kurzfristig wirksame Entscheidungssituation Gegebener Bestand an Potentialfaktoren Keine zeitlichen Interdependenzen im Erlös-, Kosten- und Restriktionsbereich Nur monetäre Zielgrößen Ausschluss von Lagerhaltung Sichere Erwartungen Fragestellung Welche Produkte sollen in welchen Mengen mit welchen der vorhandenen Fertigungsverfahren hergestellt und abgesetzt werden? 3.3 Vollkosten oder Teilkosten? Zerlegung des Gesamtproblems nach der Fristigkeit aV : Aktion (Kombination variabler Aktionsparameter) AV a F : Aktionsraum max a V max aV G aV , a F mit a V A V a F G V aV a F G F a F mit a V A V a F Verwendung nur variabler Komponenten ist hinreichend (nicht notwendig) Fehlerpotential dann, wenn als reine Stückrechnung durchgeführt 3.4 Grafische Verdeutlichung K K1 K1 x1 k1 x1 x1 K2 K x K1 K2 k2 x 2 k1 x 2 KF x1 x2 x 3.5 Restriktionstypen Inhaltliche Ausrichtung Beschaffung Produktion Absatz (etc.) Gleichungen oder Ungleichungen Grundsätzlich auch in nichtlinearer Form möglich Wichtige Differenzierung nach der Wirksamkeit von Einproduktrestriktionen Mehrproduktrestriktionen 3.6 “Reine” Programmplanung auf Basis der einstufigen DB-Rechnung Gegebene Verfahren bei technisch unverbundenen Prozessen max G x 1 , , x J D x 1 , , x J K xj F J x j dj KF j 1 Unter den Nebenbedingungen J v ij x j j 1 Vi 0 xj xj i 1,, I j 1,, J 3.7 Grafische Verdeutlichung - Zwei Produkte x2 v i 1 x1 v i 2 x 2 Vi x 2 Vi v i 1 x1 vi2 vi2 x2 d1 x 1 d 2 x 2 D x2 D d1 x1 d2 d2 x 2 0 x1 x1 x1 3.8 Keine wirksame Mehrproduktrestriktion (Grafik) x2 x2 0 x1 x1 3.9 Keine wirksame Mehrproduktrestriktion (Procedere) Identifizierung aller Produkte mit dj > 0 Die jeweiligen Mengen werden auf die zugehörigen Absatzobergrenzen gesetzt Falls keine Mehrproduktrestriktion bindet, hat man das optimale Programm gefunden “Ausgangslösung” Falls d j 0 ist x j x j , andernfalls ist x j 0 3.10 Beispiel - Ausgangszahlen Produkt j=1 j=2 j=3 Preis pj 200 480 1.100 variable Kosten kj 160 400 1.170 Deckungsbeitrag d j 40 80 -70 Obergrenze x j 300 200 600 Verbrauch v 1j 2 8 5 Verbrauch v 2 j 9 4 1 i=1 2.500 i=2 3.700 K F 4.000 Aggregat Kapazität Vi 3.11 Eine wirksame Mehrproduktrestriktion (Grafik A) x2 x2 Vi v i 1 x1 vi2 vi2 d1 v i1 d2 vi2 d1 d d i 1 2 d i 2 v i1 vi2 x2 x2 0 x1 D d1 x1 d2 d2 x1 3.12 Eine wirksame Mehrproduktrestriktion (Grafik B) x2 x2 Vi v i 1 x1 vi2 vi2 d1 v i1 d2 vi2 d1 d d i 1 2 d i 2 v i1 vi2 x2 x2 0 x1 D d1 x1 d2 d2 x1 3.13 Eine wirksame Mehrproduktrestriktion (Grundsätzliches Procedere) Ausgangspolitik: Bei d j 0 ist x j x j , andernfalls ist x j 0 Dabei bindet genau eine Mehrproduktrestriktion i Ordnung der Produkte gemäß spezifischer Deckungsbeiträge dj d ij v ij j 1, , J Zuordnung gemäß dieser Reihung unter Beachtung der Absatzobergrenzen 3.14 Eine wirksame Mehrproduktrestriktion Beispiel Aggregat Kapazität Vi i=1 1.000 i=2 3.700 dj d ij v ij d 40 d11 1 20 v11 2 x 1 300; d1 40,d2 80 v11 2, v12 8 j 1,, J d 80 d12 2 10 v12 8 x 2 min200; 1.000 300 2 8 min200;50 50; x 3 0 Deckungsbeitrag D = 16.000 und Gewinn G = 12.000. 3.15 Eine wirksame Mehrproduktrestriktion (Grafik C) x2 dˆ11 dˆ12 und dˆ 21 dˆ 22 x2 0 x1 x1 3.16 Eine wirksame Mehrproduktrestriktion Spezialfälle Grundsätzliche Regel kann beibehalten werden, wenn wenigstens zwei Mehrproduktrestriktionen bei Ausgangspolitik binden und die Rangfolge der Produkte gemäß spezifischer Deckungsbeiträge für all diese Restriktionen gleich ist es eine für alle Produkte gleichmäßig strengste Mehrproduktrestriktion gibt 3.17 Stückweise lineare Deckungsbeiträge - degressiv Produkt j = 1a j = 1b j=2 Preis pj 200 170 480 variable Kosten kj 160 160 400 Deckungsbeitrag dj 40 10 80 Obergrenze x j 200 100 200 Verbrauch v1 j 2 2 8 Verbrauch v2 j 9 9 4 V1 1000 . V2 3.700 40 10 80 d11a 20; d11b 5; d12 10 2 2 8 x1a 200; x1b 0; x 2 75 Programm kann aus mehreren Produktarten bestehen, die nicht in ihren Höchstmengen gefertigt werden 3.18 Stückweise lineare Deckungsbeiträge - progressiv (1) Produkt j = 1a j = 1b j=2 Preis pj 200 200 480 variable Kosten kj 190 160 400 Deckungsbeitrag dj 10 40 80 Obergrenze x j 100 200 200 Verbrauch v1 j 2 2 8 Verbrauch v2 j 9 9 4 V1 1000 . V2 3.700 10 40 80 d11a 5; d11b 20; d12 10 2 2 8 d11 x1a v11 d11a V1 x1a v11 d11b x v d11b d11b d11a 1a 11 V1 V1 200 20 15 V1 für 200 V1 600 3.19 Stückweise lineare Deckungsbeiträge - progressiv (2) Je mehr Kapazität vorhanden, desto günstiger wird im Durchschnitt Produktart 1 “Kritischer” Mittelvorrat 3.000 ˆ 20 d12 10 V1 0 3.000 V1 300 10 V1 300: nur Produktart 2 300 V1 600: nur Produktart 1 600 V1 : Produktart 1 voll, Produktart 2 je nach Kapazitätshöhe 3.20 Mehrere wirksame Mehrproduktrestriktionen x2 v i 1 x1 v i 2 x 2 Vi x 2 Vi v i 1 x1 vi2 vi2 x2 d1 x 1 d 2 x 2 D x2 D d1 x1 d2 d2 x 2 0 x1 x1 x1 3.21 Mehrere wirksame Mehrproduktrestr. - Beispiel Produkt j=1 j=2 j=3 Preis pj 200 480 1.100 variable Kosten kj 160 400 1.170 Deckungsbeitrag d j 40 80 -70 Obergrenze x j 300 200 600 Verbrauch v 1j 2 8 5 Verbrauch v 2 j 9 4 1 Aggregat Kapazität Vi i=1 1.000 i=2 1.620 3.22 Gleichungssystem Einführung nichtnegativer Schlupfvariablen w 2 x1 8 x 2 1 w 1 0 w 2 0 w 3 0 w 4 1.000 9 x1 4 x 2 0 w 1 1 w 2 0 w 3 0 w 4 1.620 1 x1 0 x 2 0 w 1 0 w 2 1 w 3 0 w 4 300 0 x1 1 x 2 0 w 1 0 w 2 0 w 3 1 w 4 200 x1, x 2 0; w 1, w 2 , w 3 , w 4 0 Zielfunktion: D 40 x1 80 x 2 0 w 1 0 w 2 0 w 3 0 w 4 3.23 Ausgangstableau BV w1 w2 w3 w4 x1 x2 2 8 9 4 1 0 0 1 -40 -80 w1 1 0 0 0 0 w2 0 1 0 0 0 w3 0 0 1 0 0 w4 0 0 0 1 0 D 0 0 0 0 1 RS 1.000 1.620 300 200 0 1 D 40 x1 80 x 2 0 3.24 Tableau nach 1. Iteration BV x1 x2 1/4 w2 8 w3 1 w4 -1/4 -20 x2 1 0 0 0 0 w1 w2 1/8 0 -1/2 1 0 0 -1/8 0 10 0 w3 0 0 1 0 0 w4 0 0 0 1 0 D RS 0 125 0 1.120 0 300 0 75 1 10.000 D 1 0 .0 0 0 2 0 x 1 1 0 w 1 x1 1 x 2 0,25 w 1 1 x 2 0,125 w 2 9 4 0,25 8 w 2 0,125 4 0,5 3.25 Tableau nach der 2. Iteration (Endtableau) BV x2 x1 w3 w4 x1 0 1 0 0 0 x2 1 0 0 0 0 w1 w2 w3 9/64 -1/32 0 -1/16 1/8 0 1/16 -1/8 1 -9/64 1/32 0 8,75 2,5 0 w4 0 0 0 1 0 D RS 0 90 0 140 0 160 0 110 1 12.800 D 1 2 .8 0 0 8 ,7 5 w 1 2 ,5 w 2 8,75 9 1 80 40 64 16 2,5 1 1 80 40 32 8 3.26 Sensitivität und Endtableau - Ceteris Paribus x1 140 1 1 w1 w 2 16 8 w 3 160 1 1 w1 w 2 16 8 x 2 90 9 1 w1 w2 64 32 w 4 110 9 1 w1 w2 64 32 w 1 w 2 0 90 64 160 16 w 1 min ; 640 1 9 w 2 w 1 0 8 140 32 110 w 2 min ; . 1120 1 1 w 1 w 2 0 110 64 140 16 w 1 max ; 782,2 1 9 w 2 w 1 0 32 90 8 160 w 2 max ; 1.280 1 1 3.27 Verfahrensplanung Übersicht i 1 i2 m1 , 11 1,2 1,3 m1 m2 m2 m3 M i 1 2 M i 2 3 N 6 2,1 2,2 2,3 3.28 Alternativkalkulation N Kombinationsmöglichkeiten: J max x nj N I M i i 1 d nj x nj j 1n 1 u.d.N.: j 1 v imj n N m,i xnj Vim i 1, ,I; m 1, ,M i i1 m1 J N x nj n 1 xj x nj 0 j 1,, J j 1,, J; n 1,, N i2 11, 12, 13, m1 m2 N6 m3 21, 2,2 2,3 m2 M i 1 2 M i 2 3 3.29 Alternativkalkulation versus Arbeitsgangverfahren Arbeitsgangverfahren Alternativkalkulation Vorteile Adaption des Standardverfahrens Daher standardmäßig lösbar Nachteile Viele Kombinationen (multiplikativ) Viele Kalkulationen Daher relativ teuer Vorteile “Direkte” Planung der Verfahren Relativ wenig Variablen (additiv) Daher relativ günstiger Nachteile Neue Restriktionstypen Daher nicht mehr standardmäßig lösbar 3.30 Arten von Opportunitätskosten Bei optimalem Einsatz des Faktors erzielbarer Grenzerfolg/Faktoreinheit Opportunitätskosten Opportunitätskosten Inputbezogen Outputbezogen Optimalkosten Inputbezogen Alternativkosten Outputbezogen/Optimal Ressourcenbewertung mit inputbezogenem Grenzerfolg Outputbezogen/Alternativ Ressourcenbewertung mit Erfolg der besten, nicht mehr genutzten Verwendung 3.31 Intention der Verwendung von Opportunitätskosten Ressourcen können knapp sein Einbeziehung der Knappheit in den Wertansatz von Ressourcen Neue Kostenbewertung von Ressourcenverwendungen, wie bspw. Produkte, etc. Dadurch modifzierte Rangfolge der Vorteilhaftigkeit von Verwendungen Optimum könnte sich ggf alleine daraus schon bestimmen lassen Dann benötigte man kein umfassendes Modell unter expliziter Einbeziehung sämtlicher Restriktionen 3.32 Inputbezogene Opportunitätkosten - Formale Zusammenhänge (1) J LG x j d j i v ij x j V i j 1 j 1 i 1 J I x j LG 0 und 0: d j xj x j LG 0 und 0: d j xj i 0 und i 0 und J v ij x j j 1 J I v ij i i 1 I v ij i i 1 J j x j j 1 xj j 0 j 0 Vi v ij x j Vi j 1 j 0 und x j x j j 0 und x j x j 3.33 Inputbezogene Opportunitätskosten - Formale Zusammenhänge (2) LG i Vi dj J x j dj j 1 LG j xj I i v ij x j j x j i 1 x j I i i 1 BV x2 x1 w3 w4 J v ij x j j 1 x1 0 1 0 0 0 x2 1 0 0 0 0 D J j x j j 1 w1 w2 9/64 -1/32 -1/16 1/8 1/16 -1/8 -9/64 1/32 8,75 2,5 I λ Vi i 1 i w3 0 0 1 0 0 w4 0 0 0 1 0 D RS 0 90 0 140 0 160 0 110 1 12.800 J μ j xj j 1 3.34 Outputbezogene Optimalkosten Modifizierter Deckungsbeitrag j : j dj I i v ij i 1 j j m it x j 0 folgt: j 0 j mit x j 0 folgt: j 0 Man weiß nur, welche Produktarten das Programm enthält Explizites Modell zur Ermittlung der Mengen erforderlich 3.35 Outputbezogene Alternativkosten Konzept Produkt Deckungsbeitrag d j j=1 j=2 j=3 40 80 10 Obergrenze x j + + + Verbrauch v j 2 8 5 Spezifischer DB d j 20 10 2 x1 500; V 1000 . dm j dj j x 2 x 3 0; D 20.000 1 v 1 d 2 2 10 20 ; d 1m 40 20 20 2 v 2 d 1 8 20 160 ; d 2m 80 160 80 3 v 3 d 1 5 20 100 ; d 3m 10 100 90 3.36 Outbezogene Alternativkosten Probleme Produkt Deckungsbeitrag d j Obergrenze x j j=1 j=2 j=3 40 80 10 100 80 200 Verbrauch v j 2 8 5 Spezifischer DB d j 20 10 2 x1 100; x 2 80; x 3 32; V 1000 . D 10.720 1 v 1 d 2 2 10 20 ; d 1m 40 20 20 1 v 1 d 3 2 2 4 ; d 1m 40 4 36 2 v 2 d 1 8 20 160 ; d 2m 80 160 80 v d 8 2 16 ; d m 80 16 64 Nein! 3 v 3 d 2 5 10 50 ; d 3m 10 50 40 Nein! 2 2 3 Nein! 2 3 0 3.37 Opportunitätskosten Beurteilung Es gibt Größen mit der Eigenschaft, dass Knappheit in den Wertansatz integriert ist Eine richtige Ermittlung setzt aber die Kenntnis der Lösung voraus (auch bei Alternativkosten) Im linearen Fall könnte auch dann nicht auf ein explizites und umfassendes Modell verzichtet werden Angedachte Vorteile so nicht existent Verwendungsmöglichkeiten im Rahmen von postoptimalen Analysen Beispiel dafür: Preisuntergrenzen von Zusatzaufträgen, etc. 3.38 Nichtlineare Ansätze Besonderheiten Optimum muss keine Randlösung sein Eine wirksame Mehrproduktrestriktion Rangfolge gemäß spezifischer Grenzdeckungsbeiträge Diese SGD sind aber variabel Zuordnung daher unter Berücksichtigung sowohl der Absatzobergrenzen, als auch der SGD nachfolgender Produkte Ggf. werden mehrere Produkte parallel zugerodnet Undifferenzierte Anwendung der Lagrange-Methode führt nicht immer zur korrekten Lösung 3.39