Eine wirksame Mehrproduktrestriktion

Produktionsprogrammentscheidungen
© Ewert/Wagenhofer 2008. Alle Rechte vorbehalten!
Ziele

Darstellung der Lösungsverfahren für die Planung des
optimalen kurzfristigen Produktionsprogramms mit und ohne
Kapazitätsrestriktionen

Analyse des Einflusses von Fixkosten auf die optimale
Entscheidung

Verstehen des Inhalts und des Nutzens von verschiedenen
Opportunitätskosten-Konzepten
3.2
Das Szenario
Kurzfristig wirksame Entscheidungssituation

Gegebener Bestand an Potentialfaktoren

Keine zeitlichen Interdependenzen im Erlös-, Kosten- und
Restriktionsbereich

Nur monetäre Zielgrößen

Ausschluss von Lagerhaltung

Sichere Erwartungen
Fragestellung
Welche Produkte sollen in welchen Mengen mit welchen
der vorhandenen Fertigungsverfahren hergestellt und
abgesetzt werden?
3.3
Vollkosten oder Teilkosten?
Zerlegung des Gesamtproblems nach der Fristigkeit
aV : Aktion (Kombination variabler Aktionsparameter)
 
AV a F : Aktionsraum
max
a
V
max
aV

G aV , a F

 

mit aV  AV a F

 
GV aV a F  G F a F
 
mit aV  AV a F
Verwendung nur variabler Komponenten ist hinreichend
(nicht notwendig)
Fehlerpotential dann, wenn als reine Stückrechnung durchgeführt
3.4
Grafische Verdeutlichung
K
K1 
K1
 x1  k1  x1
x1
K2
K x 
K1
K2  k2  x 2  k1  x 2
KF
x1
x2
x
3.5
Restriktionstypen

Inhaltliche Ausrichtung
 Beschaffung
 Produktion
 Absatz (etc.)

Gleichungen oder Ungleichungen

Grundsätzlich auch in nichtlinearer Form möglich

Wichtige Differenzierung nach der Wirksamkeit von
 Einproduktrestriktionen
 Mehrproduktrestriktionen
3.6
“Reine” Programmplanung auf Basis der
einstufigen DB-Rechnung
Gegebene Verfahren bei technisch unverbundenen Prozessen
max G x1,, x J   D x1,, x J   K
xj
F

J
 xj dj
 KF
j 1
Unter den Nebenbedingungen
J
 v ij  x j
j 1
 Vi
0  xj  xj
i  1,, I
j  1,, J
3.7
Grafische Verdeutlichung
- Zwei Produkte x2
v i 1  x1  v i 2  x 2  Vi  x 2 
Vi
v
 i 1  x1
vi2 vi2
x2
d1  x 1  d 2  x 2  D
 x2 
D d1

 x1
d2 d2
x 2
0
x1
x1
x1
3.8
Keine wirksame Mehrproduktrestriktion
(Grafik)
x2
x2
0
x1
x1
3.9
Keine wirksame Mehrproduktrestriktion
(Procedere)



Identifizierung aller Produkte mit dj > 0
Die jeweiligen Mengen werden auf die zugehörigen
Absatzobergrenzen gesetzt
Falls keine Mehrproduktrestriktion bindet, hat man das optimale
Programm gefunden
“Ausgangslösung”
Falls d j  0 ist x j  x j , andernfalls ist x j  0
3.10
Beispiel - Ausgangszahlen
K
Produkt
j=1
j=2
j=3
Preis pj
200
480
1.100
variable Kosten kj
160
400
1.170
Deckungsbeitrag d j
40
80
-70
Obergrenze x j
300
200
600
Verbrauch v 1j
2
8
5
Verbrauch v 2 j
9
4
1
F
 4.000
Aggregat
Kapazität Vi
i=1
2.500
i=2
3.700
3.11
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion
(Grafik A)
x2 
x2
Vi
v
 i 1  x1
vi2 vi2

d1
v
  i1
d2
vi2

d1
d
 d i 1  2  d i 2
v i1
vi2
x2
x2 
0
x1
D d1

 x1
d2 d2
x1
3.12
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion
(Grafik B)
x2 
x2
Vi
v
 i 1  x1
vi2 vi2

d1
v
  i1
d2
vi2

d1
d
 d i 1  2  d i 2
v i1
vi2
x2
x2 
0
x1
D d1

 x1
d2 d2
x1
3.13
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion
(Grundsätzliches Procedere)
Ausgangspolitik: Bei d j  0 ist x j  x j , andernfalls ist x j  0

Dabei bindet genau eine Mehrproduktrestriktion i

Ordnung der Produkte gemäß spezifischer Deckungsbeiträge
dj

d ij 
v ij

 j  1,, J 
Zuordnung gemäß dieser Reihung unter Beachtung der
Absatzobergrenzen
3.14
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion Beispiel Aggregat
Kapazität Vi
i=1
1.000
i=2
3.700
dj

d ij 
v ij
d
40
d11  1 
 20
v11
2
x1  300;
d1  40,d2  80
v11  2, v12  8
j  1,, J
d
80
d12  2 
 10
v12
8
x 2  min200;1000
.
 300  2 8 
 min200;50  50;
x 3  0
Deckungsbeitrag D = 16.000 und Gewinn G = 12.000.
3.15
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion
(Grafik C)
x2
dˆ11  dˆ12 und dˆ21  dˆ22
x2
0
x1
x1
3.16
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion Spezialfälle 
Grundsätzliche Regel kann beibehalten werden, wenn
 wenigstens zwei Mehrproduktrestriktionen bei Ausgangspolitik
binden, und die
 Rangfolge der Produkte gemäß spezifischer Deckungsbeiträge
ist gleich für all diese Restriktionen
 es eine für alle Produkte gleichmäßig strengste
Mehrproduktrestriktion gibt
3.17
Stückweise lineare Deckungsbeiträge
- degressiv Produkt
j = 1a
j = 1b
j=2
Preis pj
200
170
480
variable Kosten kj
160
160
400
Deckungsbeitrag
dj
Obergrenzex j
40
10
80
200
100
200
2
2
8
9
9
4
Verbrauch v1 j
Verbrauchv2 j
V1  1000
.
V2  3.700
40
10
80
d11a 
 20; d11b 
 5; d12 
 10
2
2
8
x1a  200;
x1b  0;
x 2  75
 Programm kann aus mehreren Produktarten bestehen, die
nicht in ihren Höchstmengen gefertigt werden
3.18
Stückweise lineare Deckungsbeiträge
- progressiv (1) Produkt
j = 1a
j = 1b
j=2
Preis pj
200
200
480
variable Kosten kj
190
160
400
Deckungsbeitrag
dj
Obergrenzex j
10
40
80
100
200
200
2
2
8
9
9
4
Verbrauch v1 j
Verbrauchv2 j
V1  1000
.
V2  3.700
10
40
80
d11a 
 5; d11b 
 20; d12 
 10
2
2
8
x1a  v11  d11a  V1  x1a  v11  d11b
x v
d11 
 d11b  d11b  d11a  1a 11 
V1
V1


200
 20  15 
V1

für 200  V1  600
3.19
Stückweise lineare Deckungsbeiträge
- progressiv (2) 
Je mehr Kapazität vorhanden, desto günstiger wird im
Durchschnitt Produktart 1

“Kritischer” Mittelvorrat
20 
0
3.000 
 d12  10

V1

V1 
3.000
 300
10
 V1  300: nur Produktart 2
300  V1  600: nur Produktart 1
600  V1
: Produktart 1 voll, Produktart 2 je nach Kapazitätshöhe
3.20
Mehrere wirksame
Mehrproduktrestriktionen
x2
v i 1  x1  v i 2  x 2  Vi  x 2 
Vi
v
 i 1  x1
vi2 vi2
x2
d1  x 1  d 2  x 2  D
 x2 
D d1

 x1
d2 d2
x 2
0
x1
x1
x1
3.21
Mehrere wirksame Mehrproduktrestr.
- Beispiel Produkt
j=1
j=2
j=3
Preis pj
200
480
1.100
variable Kosten kj
160
400
1.170
Deckungsbeitrag d j
40
80
-70
Obergrenze x j
300
200
600
Verbrauch v 1j
2
8
5
Verbrauch v 2 j
9
4
1
Aggregat
Kapazität Vi
i=1
1.000
i=2
1.620
3.22
Gleichungssystem
Einführung nichtnegativer Schlupfvariablen w
2  x1  8  x 2  1  w 1  0  w 2  0  w 3  0  w 4  1.000
9  x1  4  x 2  0  w 1  1  w 2  0  w 3  0  w 4  1.620
1  x1  0  x 2  0  w 1  0  w 2  1  w 3  0  w 4  300
0  x1  1  x 2  0  w 1  0  w 2  0  w 3  1  w 4  200
x1, x 2  0; w 1, w 2 , w 3 , w 4  0
Zielfunktion:
D  40  x1  80  x 2  0  w 1  0  w 2  0  w 3  0  w 4
3.23
Ausgangstableau
BV
w1
w2
w3
w4
x1 x2
2
8
9
4
1
0
0
1
-40 -80
w1
1
0
0
0
0
w2
0
1
0
0
0
w3
0
0
1
0
0
w4
0
0
0
1
0
D
0
0
0
0
1
RS
1.000
1.620
300
200
0
1  D  40  x1  80  x 2  0
3.24
Tableau nach 1. Iteration
BV x1
x2 1/4
w2
8
w3
1
w4 -1/4
-20
x2
1
0
0
0
0
w1 w2
1/8 0
-1/2 1
0
0
-1/8 0
10
0
w3
0
0
1
0
0
w4
0
0
0
1
0
D
RS
0
125
0 1.120
0
300
0
75
1 10.000
D  10.000  20  x1  10  w 1
x1  1
x 2   0,25
w 1  1 x 2   0,125
w 2   9  4  0,25   8
w 2  0,125  4  0,5
3.25
Tableau nach der 2. Iteration (Endtableau)
BV
x2
x1
w3
w4
x1
0
1
0
0
0
x2
1
0
0
0
0
w1
w2
w3
9/64 -1/32 0
-1/16 1/8
0
1/16 -1/8
1
-9/64 1/32 0
8,75
2,5
0
w4
0
0
0
1
0
D
RS
0
90
0
140
0
160
0
110
1 12.800
D  12.800  8,75  w 1  2,5  w 2
8,75 
9
1
 80 
 40
64
16
2,5  
1
1
 80   40
32
8
3.26
Sensitivität und Endtableau
- Ceteris Paribus x1  140 
1
1
 w1   w 2
16
8
w 3  160 
1
1
 w1   w 2
16
8
x 2  90 
9
1
 w1 
 w2
64
32
w 4  110 
9
1
 w1 
 w2
64
32
w 1  w 2  0
 90  64 160  16 
w 1  min
;
  640
1 
 9
w 2  w 1  0
 8  140 32  110 
w 2  min
;
.
  1120
1 
 1
w 1  w 2  0
 140  16 110  64 
w 1  max  
;
   782,2
1
9


w 2  w 1  0
32  90 
 8  160
w 2  max  
;
.
   1280
1
1


3.27
Verfahrensplanung
Übersicht
i 1
i2
m1
,
11
1,2
1,3
m1
m2
m2
m3
M  i  1  2
M  i  2  3
N6
 2,1
 2,2
 2,3
3.28
Alternativkalkulation

N
Kombinationsmöglichkeiten:
J
max 
x nj
N


   x nj 


 n  N m,i  
 v imj
j 1
N
 x nj
n 1
 xj
x nj  0
 M i 
i 1
 d nj  x nj
j 1n 1
u.d.N.:
J
I
i1
i2
m1

Vim
 j  1,, J 
 j  1,, J; n  1,, N 
i  1,m,I1; m  1,, M  i 
12,
13,
m2
N6
m3
21,
2,2
2,3
m2
M i  1  2
11,
M  i  2  3
3.29
Alternativkalkulation versus
Arbeitsgangverfahren
Arbeitsgangverfahren
Alternativkalkulation

Vorteile
 Adaption des
Standardverfahrens
 Daher standardmäßig
lösbar

Nachteile
 Viele Kombinationen
(multiplikativ)
 Viele Kalkulationen
 Daher relativ teuer

Vorteile
 “Direkte” Planung der
Verfahren
 Relativ wenig Variablen
(additiv)
 Daher relativ günstiger

Nachteile
 Neue Restriktionstypen
 Daher nicht mehr
standardmäßig lösbar
3.30
Arten von Opportunitätskosten
Opportunitätskosten
Inputbezogen

Inputbezogen
 Bei optimalem Einsatz des
Faktors erzielbarer
Grenzerfolg/Faktoreinheit

Outputbezogen/Optimal
 Ressourcenbewertung mit
inputbezogenem Grenzerfolg

Outputbezogen/Alternativ
 Ressourcenbewertung mit
Erfolg der besten, nicht mehr
genutzten Verwendung
Outputbezogen
Optimalkosten
Alternativkosten
3.31
Intention der Verwendung von
Opportunitätskosten

Ressourcen können knapp sein

Einbeziehung der Knappheit in den Wertansatz von Ressourcen

Neue Kostenbewertung von Ressourcenverwendungen, wie bspw.
Produkte, etc.

Dadurch modifzierte Rangfolge der Vorteilhaftigkeit von
Verwendungen

Optimum könnte sich ggf alleine daraus schon bestimmen lassen

Dann benötigte man kein umfassendes Modell unter expliziter
Einbeziehung sämtlicher Restriktionen
3.32
Inputbezogene Opportunitätkosten
- Formale Zusammenhänge (1)  J

LG   x j  d j    i    v ij  x j  Vi  
 j 1

j 1
i 1
J
I
x j
 LG 
 0 und
 0: d j 
 xj
x j
 LG 
 0 und
 0: d j 
 xj
i
 0 und
i  0 und
J
 v ij  x j
j 1
J
I
 v ij  i
i 1
I
 v ij  i
i 1
J
  j  x j
j 1
 xj

  j  0
  j  0
 Vi
 v ij  x j  Vi
j 1
 j  0 und x j  x j
 j  0 und x j  x j
3.33
Inputbezogene Opportunitätskosten
- Formale Zusammenhänge (2)  LG 
 i
 Vi
dj 
J
x j
dj 
j 1
 LG 
  j
 xj
 I 

    i  v ij   x j   j  x j
 i 1

x j

I
i
i 1

BV
x2
x1
w3
w4
 J


   v ij  x j  
 j 1

x1
0
1
0
0
0
x2
1
0
0
0
0
J
  j  x j
j 1
w1
w2
9/64 -1/32
-1/16 1/8
1/16 -1/8
-9/64 1/32
8,75
2,5
I
w3
0
0
1
0
0
w4
0
0
0
1
0
D
RS
0
90
0
140
0
160
0
110
1 12.800
J
D   λ  Vi   μj  x j

i1

i
j1
3.34
Outputbezogene Optimalkosten
Modifizierter Deckungsbeitrag  j :
 j  dj 
I
 i  v ij
i 1
  j
 j mit x j  0 folgt:  j  0
 j mit x j  0 folgt:  j  0


Man weiß nur, welche Produktarten das Programm
enthält
Explizites Modell zur Ermittlung der Mengen erforderlich
3.35
Outputbezogene Alternativkosten
Konzept
Produkt
Deckungsbeitrag d j
j=1 j=2 j=3
40
80
10
Obergrenze x j
+
+
+
Verbrauch v j
2
8
5
Spezifischer DB d j
20
10
2
x1  500;
V  1000
.
dm
j  dj   j
x 2  x 3  0; D   20.000
 1  v1  d 2  2  10  20 ; d1m  40  20  20
 2  v 2  d1  8  20  160 ; d 2m  80  160   80
 3  v 3  d1  5  20  100 ; d 3m  10  100   90
3.36
Outbezogene Alternativkosten
Probleme
Produkt
Deckungsbeitrag d j
Obergrenze x j
j=1 j=2 j=3
40
80
10
100
80
200
Verbrauch v j
2
8
5

Spezifischer DB d j
20
10
2
x1  100;
x 2  80;
x 3  32;
V  1000
.
D   10.720
 1  v1  d 2  2  10  20 ; d1m  40  20  20
Nein!
 1  v1  d 3  2  2  4 ; d1m  40  4  36
 2  v 2  d1  8  20  160 ; d 2m  80  160   80 Nein!
 2  v 2  d 3  8  2  16 ; d 2m  80  16  64
 3  v 3  d 2  5  10  50 ; d 3m  10  50   40
3  0
Nein!
3.37
Opportunitätskosten
Beurteilung

Es gibt Größen mit der Eigenschaft, dass Knappheit in den
Wertansatz integriert ist

Eine richtige Ermittlung setzt aber die Kenntnis der Lösung voraus
(auch bei Alternativkosten)

Im linearen Fall könnte auch dann nicht auf ein explizites und
umfassendes Modell verzichtet werden

Angedachte Vorteile so nicht existent

Verwendungsmöglichkeiten
im Rahmen von postoptimalen Analysen

Beispiel dafür: Preisuntergrenzen von Zusatzaufträgen, etc.
3.38
Nichtlineare Ansätze
Besonderheiten

Optimum muss keine Randlösung sein

Eine wirksame Mehrproduktrestriktion
 Rangfolge gemäß spezifischer Grenzdeckungsbeiträge
 Diese SGD sind aber variabel
 Zuordnung daher unter Berücksichtigung sowohl der

Absatzobergrenzen, als auch der

SGD nachfolgender Produkte
 Ggf. werden mehrere Produkte parallel zugerodnet

Undifferenzierte Anwendung der Lagrange-Methode führt nicht
immer zur korrekten Lösung
3.39