Inhalt - Institut für Elektrische Energiewandlung

Universität
Stuttgart
Institut für Leistungselektronik
und Elektrische Antriebe
Abt. Elektrische Energiewandlung
Prof. Dr.-Ing. N. Parspour
Inhalt 4 Halbleiterelektronik – Operationsverstärker ................................................................ 4-46 4.5 Der Operationsverstärker ..................................................................................... 4-46 4.5.1 Ersatzschaltbild des einstufigen Wechselstromverstärkers ............................. 4-46 4.5.2 Anforderungen an einen Verstärker ................................................................. 4-49 4.5.3 Funktionsweise des Operationsverstärkers ...................................................... 4-49 4.5.4 Idealer Operationsverstärker ............................................................................ 4-52 4.5.5 Operationsverstärker ohne Rückkopplung ....................................................... 4-52 4.5.6 Operationsverstärker mit Rückkopplung ......................................................... 4-53 4.5.7 Schaltungen mit rückgekoppelten Operationsverstärkern ............................... 4-55 4-46
4 Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4.5
Der Operationsverstärker
Im vorangegangenen Kapitel wurde eine Wechselstromverstärkerschaltung vorgestellt. Die
vorgestellte Schaltung ist ein sogenannter einstufiger Verstärker.
In der Praxis werden die Verstärker mit mehreren Stufen gebaut, da die erreichbare Verstärkung einer einzigen Stufe meistens nicht ausreicht. Häufig werden mehrstufige Transistorverstärker in integrierten Schaltkreisen zusammengefasst. In einer integrierten Schaltung sind alle Elemente (Transistoren und Widerstände) auf einem einzigen Siliziumchip
durch unterschiedliche Dotierung realisiert. Dadurch erhält man leicht konfigurierbare
Universal-Verstärker.
Der häufigste Universalverstärker ist der Operationsverstärker. Der detaillierte Aufbau des
Operationsverstärkers ist komplex und wird in dieser Vorlesung nicht vorgestellt. Vielmehr
wird der Operationsverstärker als ein eigenständiges Bauelement mit einem eigenen Schaltsymbol und einem Ersatzschaltbild behandelt.
Im Folgenden wird jedoch zunächst das elektrische Ersatzschaltbild des einstufigen Wechselstromverstärkers vorgestellt. Basierend auf dem allgemeinen Ersatzschaltbild wird dann das
Ersatzschaltbild des Operationsverstärkers behandelt.
4.5.1 Ersatzschaltbild des einstufigen Wechselstromverstärkers
Der im Kapitel 4.4 vorgestellte Wechselstromverstärker kann – aus der Sicht der Eingangsund Ausgangssignale betrachtet – mit dem im Bild 4.39 dargestellten Ersatzschaltbild beschrieben werden. Der Verstärker besteht aus einem Eingangskreis und einem Ausgangskreis.
Das zu verstärkende Signal ue(t) wird dem Eingang der Schaltung zugeführt. Das verstärkte
Signal ua(t) wird am Ausgang abgenommen.
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-47
Bild 4.39 Ersatzschaltbild eines einstufigen Wechselstromverstärkers (mit einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle)
Das im Bild 4.39 verwendete Symbol für die ideale Spannungsquelle unterscheidet sich von
dem bisher verwendeten allgemeinen Symbol für die Spannungsquellen. Das hier dargestellte
Symbol (Raute mit „+“ Zeichen) stellt eine steuerbare Spannungsquelle dar. Dadurch wird
die Funktion im Ersatzschaltbild wiedergegeben, welche die Abhängigkeit der Ausgangsspannung des Verstärkers von seiner Eingangsspannung darstellt.
Eingangskreis:
Die Eingangsseite der Verstärkerschaltung ist durch den Eingangswiderstand Re ersetzt. Das
zu verstärkende Signal ue(t) wird von Re „abgegriffen“. Dieser Vorgang ist ähnlich, wie bei
der Messung einer Spannung: der Eingangswiderstand stellt hier das „Messgerät“ dar.
Wünschenswert ist, dass die Spannungsmessung immer hochohmig erfolgt (alle Spannungsmessgeräte haben einen hochohmigen Eingang), damit nur sehr geringe Ströme in das
Messgerät bzw. in diesem Fall durch den Eingangswiderstand des Verstärkers fließen.
Ausgangskreis:
Die Ausgangsseite des Ersatzschaltbilds stellt eine reale Spannungsquelle mit Innenwiderstand Ra und idealer Quelle mit der (spannungsgesteuerten) eingeprägten Spannung
ua0(t) = vuue(t) dar. Ra ist der Ausgangswiderstand des Wechselstromverstärkers.
Es ist bekannt, dass der Innenwiderstand einer Spannungsquelle möglichst klein sein sollte,
damit möglichst viel Spannung von der idealen Quelle am Ausgang abgegriffen werden kann
und nicht als Spannungsabfall (bedingt durch einen Laststrom im Ausgangskreis) an Ra verloren geht.
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-48
Allgemeines Ersatzschaltbild des Wechselstromverstärkers
Im Ersatzschaltbild 4.39 sind Eingangs- und Ausgangskapazitäten sowie die Transistorkapazitäten bewusst weggelassen worden, um das Funktionsprinzip so einfach wie möglich
darzustellen. Sollten diese berücksichtigt werden, so ergibt sich das Ersatzschaltbild 4.40, in
dem die Widerstände durch Impedanzen ersetzt sind und der Verstärkungsfaktor eine
komplexe Zahl ist.
Bild 4.40 Ersatzschaltbild eines Wechselstromverstärkers unter Berücksichtigung der
Koppel- bzw. Transistorkapazitäten
Mehrstufige Verstärker
Ein mehrstufiger Verstärker stellt eine Kette (Hintereinanderschaltung) aus einzelnen einstufigen Verstärkern dar. Als Beispiel ist im Bild 4.41 eine zweistufige Verstärkerschaltung
dargestellt.
Bild 4.41 Ersatzschaltbild eines zweistufigen Wechselstromverstärkers
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-49
Die Ermittlung der „Gesamt“-Verstärkung wird wie folgt durchgeführt:
u a 01 (t) = v1 ⋅ u e1 (t)
u e2 (t) = u a 01 (t) ⋅
(4.62)
R e2
R a1 + R e2
(4.63)
u a 02 (t) = v 2 ⋅ u e2 (t)
u a 02 (t) = v1 ⋅ v 2 ⋅ u e1 (t) ⋅
(4.64)
R e2
R a1 + R e2
(4.65)
4.5.2 Anforderungen an einen Verstärker
Ein Verstärker hat die Aufgabe das Einganssignal ue(t) möglichst mit geringem Verlust an
Information zu verstärken und nach einer möglichst hohen Verstärkung das Ausgangssignal
ua(t) der nächsten Stufe einer Schaltung – ebenfalls mit möglichst geringem Verlust an
Information – zur Verfügung zu stellen. Die Übertragung dieser gewünschten Charakteristik
auf die Parameter des Verstärker-Ersatzschaltbilds führt zu folgenden Anforderungen:
Æ
Der Eingangswiderstand der Verstärkerschaltung soll möglichst groß sein.
Æ
Der Ausgangswiderstand der Verstärkerschaltung soll möglichst klein sein.
Æ
Der Verstärkungsfaktor vu der Verstärkerschaltung soll möglichst groß sein.
4.5.3 Funktionsweise des Operationsverstärkers
Ein Operationsverstärker ist ein mehrstufiger Transistorverstärker mit sehr hoher Verstärkung. Der Operationsverstärker wird in dieser Vorlesung als „Blackbox“ mit zwei Eingängen
und einem Ausgang und dem Schaltsymbol gemäß Bild 4.42 betrachtet. Verstärkt wird die
Spannung zwischen den beiden Eingängen.
Die Ein- und Ausgangsströme sowie Spannungen können hierbei Gleich-, Wechsel- oder
gemischte Größen sein. Sie werden daher allgemeingültig durch Kleinbuchstaben gekennzeichnet.
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-50
Bild 4.42 Schaltsymbol des Operationsverstärkers
Für ihren Betrieb benötigen Operationsverstärker meist zwei Gleichspannungsquellen mit
dem gleichen Betrag aber unterschiedlicher Polarität: +UBat und -UBat. Sehr gebräuchlich sind
die Werte ±5 V, ± 12 V und ± 15 V.
Die Spannungen an den Eingängen und am Ausgang werden auf einen gemeinsamen Bezugspunkt bezogen. Dieser Punkt ist auch der Bezugspunkt (Masse) der beiden Betriebsspannungen.
Bild 4.43 Operationsverstärker mit Eingangs- und Ausgangsspannungen im sogenannten
Open-Loop-Betrieb
Für die Beziehung zwischen der Ausgangsspannung und den Eingangsspannungen gilt die
Gleichung:
u a 0 = A OL ⋅ (u e2 − u e1 ) = A OL ⋅ ∆u e = A OL ⋅ u d
(4.66)
∆u e = u d
(4.67)
Mit:
ud:
Differenzspannung und
AOL:
Open Loop - bzw. Leerlauf-Verstärkung
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-51
Der Operationsverstärker wird häufig abgekürzt als OP, OV oder OPV und in englischer
Sprache mit OPAmp (Operational Amplifier) bezeichnet. Diese Bezeichnungen stammen aus
einer Zeit, in der mit Hilfe von Operationsverstärkern mathematische Operationen in
analogen Rechnern durchführt wurden. Diese Operationen werden heute durch digitale
Bausteine (Mikroprozessoren und Software) realisiert. Es ist auch interessant zu wissen, dass
die OPs zuerst in Röhrentechnik und erst später mit den diskreten Bauelementen
(Transistoren und Widerstände) gebaut wurden. Heute werden sie als integrierte Schaltung
(IC) auf Halbleiterbasis hergestellt. Dabei werden die schwierig zu integrierenden Widerstände durch Transistoren ersetzt.
Ersatzschaltbild des Operationsverstärkers
Ein Operationsverstärker wird, basierend auf den Kenntnissen aus der Entwicklung des
Ersatzschaltbildes des Wechselstromverstärkers, durch folgendes Ersatzschaltbild 4.44 dargestellt.
Bild 4.44 Ersatzschaltbild eines Operationsverstärkers im Open-Loop-Betrieb (ohne Rückkopplung)
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-52
4.5.4 Idealer Operationsverstärker
Ein Operationsverstärker wird als ideal bezeichnet, wenn er folgende Eigenschaften aufweist:
•
Der Eingangswiderstand Re ist unendlich groß (real: 1 bis 1000 MΩ)
•
Die Leerlaufverstärkung AOL ist unendlich groß (real: 106)
•
Der Ausgangswiderstand Ra ist null
•
Der Frequenzbereich erstreckt sich von f = 0 bis unendlich
•
Der OP ist vollkommen symmetrisch (wenn ue2 = ue1 ist, dann ist ua = 0)
•
Beim idealen OP tritt kein Rauschen und keine Temperaturabhängigkeit auf
•
Die Beziehung zwischen der Eingangs- und Ausgangsspannung ist linear
Beim Einsatz von Operationsverstärkern sind möglichst ideale Eigenschaften gewünscht. Ein
idealer OP ist leider nicht herstellbar. In vielen Anwendungen ist es jedoch ausreichend,
wenn der OP als ideal betrachtet wird.
In dieser Vorlesung werden nur ideale Operationsverstärkern betrachtet!
4.5.5 Operationsverstärker ohne Rückkopplung
Ein OP im Open-Loop-Betrieb (d. h. ohne Rückkopplung des Ausgangs auf den Eingang)
wird sich wie folgt verhalten:
Ist ud > 0, dann geht ua theoretisch gegen +∞ aber in der Praxis wird ua = Uamax
Ist ud < 0, dann geht ua theoretisch gegen -∞ aber in der Praxis wird ua = Uamin
Die Ausgangsspannung ist im Bereich Uamin < ua < Uamax linear von ud abhängig. Dieser
Bereich heißt Ausgangsaussteuerbarkeit. Wenn diese Grenze erreicht ist, steigt ua bei einer
weiteren Vergrößerung von ud nicht mehr an. Uamax liegt um ca. 3 V unter der positiven
Betriebsspannung (bzw. Uamin 3 V über der negativen Betriebsspannung). Bei einer Betriebsspannung von ± 15 V liegt die Ausgangsaussteuerbarkeit bei ca. ± 12 V.
Diese Eigenschaft des Operationsverstärkers kann dazu benutzt werden um zwei Spannungen
miteinander zu vergleichen. In dieser Betriebsart wird der OP als Komparator bezeichnet.
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-53
Operationsverstärker als Komparator
Wird ein OP ohne Gegenkopplung betrieben, erhält man einen Komparator. Die Ausgangsspannung beträgt:
ua = Uamax
für u2 > u1
ua = Uamin
für u1 < u2
Wegen der hohen Verstärkung spricht die Schaltung auf sehr kleine Spannungsdifferenzen
an. Sie eignet sich daher zum Vergleich zweier Spannungen mit hoher Präzision.
Bild 4.45
Operationsverstärker als Komparator
Beim Nulldurchgang der Differenzspannung springt die Ausgangsspannung nicht sofort von
einer Grenze zu der anderen. Die so genannte Slew-Rate (Anstiegsrate) ist begrenzt. Zum
Beispiel bei einer Slew-Rate von 1 V/µs dauert der Anstieg von –12 V auf + 12 V ca. 24 µs.
4.5.6 Operationsverstärker mit Rückkopplung
Damit sich auch Spannungswerte zwischen Uamax und Uamin am Ausgang in Abhängigkeit
von den Eingangswerten einstellen können, ist es notwendig, dass eine Rückkopplung des
Ausgangs auf den Eingang erfolgt. Bild 4.46 zeigt das Prinzip der Rückkopplung beim OP.
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-54
Bild 4.46 Prinzip der Rückkopplung (Blockschaltbild, kein elektrisches Ersatzschaltbild!)
Wenn die rückgekoppelte Spannung wie im Bild 4.46 von der Eingangsspannung subtrahiert
wird, spricht man von Gegenkopplung; wenn sie addiert wird, von Mitkopplung.
Verstärker mit OPs werden mit starker Gegenkopplung betrieben. Die Ausgangsspannung
stellt sich so ein, dass die Eingangs-Differenzspannung beim idealen OP ud = 0 wird.
In einer Schaltung mit Operationsverstärkern erfolgt die Rückkopplung im einfachsten Fall
durch einen Spannungsteiler. Ein Beispiel dazu ist im Bild 4.47 gezeigt. Die Rückkopplung
erfolgt hier durch zwei Widerstände. Durch diese Rückkopplung entsteht ein Verstärker,
dessen Verstärkung nur durch das äußere Rückkopplungsnetzwerk und nicht durch die OpenLoop-Verstärkung des OPs bestimmt wird.
Bild 4.47 Beispielschaltung für einen OP mit Gegenkopplung
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-55
Was bewirkt die Rückkopplung?
In der Schaltung gemäß Bild 4.47 lassen wir die Eingangsspannung von Null auf einen
positiven Wert Ue springen. Im ersten Augenblick ist die Ausgangsspannung gleich Null. Die
Differenzspannung ud am Eingang des OP ist in diesem Moment gleich der Eingangsspannung. Dieser Wert wird durch den OP mit dem Faktor AOL verstärkt. Ua steigt daher sehr
schnell auf den hohen positiven Wert von AOL.Ue an. Ein Teil dieser Spannung wird von der
Eingangsspannung des OP subtrahiert. Dadurch verkleinert sich wiederum Ud und infolgedessen die Ausgangsspannung. Der Vorgang wird fortgesetzt bis sich ein stabiler Endzustand
einstellt. In diesem Zustand ist die Differenzspannung sehr klein und kann näherungsweise
gleich Null angenommen werden. Die Ausgangsspannung ist dann proportional zu dem
Spannungsabfall im rückgekoppelten Zweig.
4.5.7 Schaltungen mit rückgekoppelten Operationsverstärkern
In dieser Vorlesung werden folgende Schaltungen mit rückgekoppelten Operationsverstärkern behandelt:
•
Invertierender Verstärker, Sonderfall: Inverter
•
Nicht invertierender Verstärker, Sonderfall: Impedanzwandler (Spannungsfolger)
•
Addierer
•
Subtrahierer
•
Integrierer
Für alle Schaltungen in dieser Vorlesung gilt: der OP ist ideal.
Entscheidend für die Analyse der Schaltungen sind drei Eigenschaften des idealen Operationsverstärkers:
1. Verstärkung Aol ist gleich unendlich
2. Ausgangswiderstand Ra ist gleich 0 und
3. Eingangswiderstand Re ist sehr groß
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-56
Aus diesen Voraussetzungen folgt:
I.
Da Re sehr groß ist, sind die Eingangsströme des Operationsverstärkers vernachlässigbar klein id ≈ 0.
II.
Die unendlich große Verstärkung führt durch die Gegenkopplung dazu, dass Ud ≈ 0.
4.5.7.1 Invertierender Verstärker
Bild 4.48 zeigt eine Schaltung mit einem durch einen ohmschen Widerstand rückgekoppelten
Operationsverstärker. Der nichtinvertierende Eingang ist auf Masse gelegt. Über den
Widerstand R1 wird der Schaltung die Eingangsspannung ue zugeführt.
Ziel ist die Bestimmung der Ausgangsspannung ua in Abhängigkeit von der Eingangsspannung ue. Dazu wird das Ersatzschaltbild des Operationsverstärkers in die Schaltung
eingezeichnet (Bild 4.49).
Bild 4.48 Invertierender Verstärker
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-57
Bild 4.49 Invertierender Verstärker mit Operationsverstärker-Ersatzschaltbild
Die Maschen- und Knoten-Gleichungen lauten:
I:
R1 ⋅ i1 − u d − u e = 0
(4.68)
II:
u a + u d − R 2 ⋅ i2 = 0
(4.69)
c: i1 + i 2 − ie = 0
(4.70)
Ein idealer Operationsverstärker wird vorausgesetzt:
ie ≈ 0 (da Re sehr hoch ist) und
u d ≈ 0 (durch die Rückkopplung und weil A 0L → ∞ )
Die Spannungsverstärkung eines gegengekoppelten Operationsverstärkers wird als
vu =
ua
definiert.
ue
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-58
Werden die Eigenschaften des idealen Operationsverstärkers in die Gleichungen (4.68) bis
(4.70) eingesetzt, ergeben sich:
I:
u e = R1 ⋅ i1
(4.71)
II:
u a = R 2 ⋅ i2
(4.72)
c
i1 = − i 2
(4.73)
Aus den Gleichungen (4.71) bis (4.73) folgt:
ua
R
=− 2
ue
R1
(4.74)
bzw. für die Spannungsverstärkung
Vu =
ua
R
=− 2
ue
R1
(4.75)
Die Eingangsspannung wird mit dem Faktor R1/R2 verstärkt und (durch das „–“-Zeichen)
invertiert.
Diese Schaltung wird deshalb invertierender Verstärker genannt.
Vu ist somit die Spannungsverstärkung der gesamten rückgekoppelten
Operationsverstärkerschaltung.
Sonderfall: Was passiert, wenn R1 = R2 ist?
In diesem Fall ist die Verstärkung der Schaltung gleich Vu = –1. Die Schaltung funktioniert
als ein Inverter.
4.5.7.2 Nichtinvertierender Verstärker
Bild 4.51 zeigt die Schaltung eines nichtinvertierenden Verstärkers. Der invertierende Eingang ist über den Widerstand R1 auf Masse gelegt. Die Eingangsspannung ue wird direkt dem
nichtinvertierenden Eingang zugeführt.
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-59
Bild 4.50 Nichtinvertierender Verstärker
Bild 4.51 Nichtinvertierender Verstärker mit Operationsverstärker-Ersatzschaltbild
Die Maschen- und Knoten-Gleichungen lauten:
I:
R1 ⋅ i1 − u d + u e = 0
(4.76)
II:
u a − u e + u d − R 2 ⋅ i2 = 0
(4.77)
c: i1 + i 2 − ie = 0
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
(4.78)
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-60
Unter der Voraussetzung eines idealen Operationsverstärkers ( ie ≈ 0,ud ≈ 0 ) ergeben sich:
I:
R1 ⋅ i1 = − u e
(4.79)
II:
u a − u e − R 2 ⋅ i2 = 0
(4.80)
c: i1 = − i 2
(4.81)
Aus den Gleichungen (4.96) bis (4.98) folgt:
ua ⎛
R ⎞
= ⎜1 + 2 ⎟
ue ⎝
R1 ⎠
(4.82)
bzw. für die Spannungsverstärkung
Vu =
ua ⎛
R ⎞
= ⎜1 + 2 ⎟
ue ⎝
R1 ⎠
(4.83)
Gleichung (4.83) beschreibt den Spannungsverstärkungsfaktor der gesamten rückgekoppelten
Operationsverstärkerschaltung.
Diese Schaltung verstärkt das Eingangssignal mit dem Faktor (1+R2/R1) ohne diese zu
invertieren. Deshalb wird diese Schaltung als nichtinvertierender Verstärker bezeichnet.
Sonderfall: was passiert, wenn R1 sehr groß wird (R1 Æ unendlich) und R2 = 0 ist?
In diesem Fall ist Vu gleich 1.
Der Einsatzbereich dieser Schaltung ist als der sogenannte Impedanzwandler. Ein Impedanzwandler
hat
einen
sehr
hohen
Eingangswiderstand
und
einen
niedrigen
Ausgangswiderstand. Die Verstärkung der Schaltung ist gleich 1. Impedanzwandler werden
zum Koppeln von niederohmigen Verbrauchern an Quellen mit hohem Innenwiderstand
benutzt. Ein Impedanzwandler wird zwischen dem Verbraucher und der Quelle geschaltet
und „wandelt“ die Quelle mit einem hohen Innenwiderstand in eine Quelle mit einem
niedrigeren Innenwiderstand um.
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-61
ue
Bild 4.52
ua
Impedanzwandler
4.5.7.3 Addierer
Eine wichtige Schaltung von Operationsverstärkern ist der Addierer (Bild 4.53). Mit dieser
Schaltung können analoge Spannungen addiert und gleichzeitig verstärkt werden.
III
R1
II
R1
i1
i2
R2
1
i3
ud
u1
u2
I
ua
Bild 4.53 Addierer
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-62
Unter der Voraussetzung eines idealen Operationsverstärkers folgt:
I:
−u 2 + R1 ⋅ i3 = 0
(4.84)
II:
− u1 + R 1 ⋅ i1 − R 1 ⋅ i3 + u 2 = 0
(4.85)
III:
u a − u1 + R 1 ⋅ i1 − R 2 ⋅ i 2 = 0
(4.86)
c: i1 + i3 + i2 = 0
(4.87)
Die Schaltung kann als invertierender Addierer verwendet werden. Die Ausgangsgröße ua
wird gleichzeitig mit R2/R1 multipliziert.
ua = −
R2
⋅ ( u1 + u 2 )
R1
(4.88)
4.5.7.4 Subtrahierer
Bild 4.54 zeigt eine Subtrahierer-Schaltung mit gleich großen Widerständen R1 und R2 im
invertierenden und nichtinvertierenden Eingangskreis.
III
i2
R1
i1
II
R1
i3
1
ud
2
i4
ue2
ue1
I
R2
ua
R2
Bild 4.54 Subtrahierer
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-63
I:
− u e1 + R1 ⋅ i3 + R 2 ⋅ i 4 = 0
(4.89)
II:
− u e2 + R1 ⋅ i1 − R1 ⋅ i3 + u e1 = 0
(4.90)
III:
− u e2 + R1 ⋅ i1 + R 2 ⋅ i 2 + u a = 0
(4.91)
c: i1 = i 2
(4.92)
d: i3 = i 4
(4.93)
Nach Auflösung des Gleichungssystems erhält man:
ua =
R2
⋅ ( u e1 − u e2 )
R1
(4.94)
Die Schaltung bildet also die Differenz der Eingangsspannungen und multipliziert diese mit
dem Verstärkungsfaktor R2/R1.
4.5.7.5 Integrierer
Mit Operationsverstärkern können auch zeitabhängige Schaltungen, wie sie z. B. in der
Regelungstechnik benötigt werden, realisiert werden. Bild 4.55 zeigt einen Integrierer.
II
C
R
i1
i2
1
uC
ud
I
ue
ua
Bild 4.55 Integrierer
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker
4-64
Die Schaltung enthält drei Zweige:
I:
− u e + R ⋅ i1 = 0
(4.95)
II:
− u e + R ⋅ i1 − u C + u a = 0
(4.96)
c: i1 + i 2 = 0
(4.97)
Die Spannung uC erhält man nach der Kondensatorgleichung aus dem Strom i2:
uC =
1
⋅ i 2 ⋅ dt + K
C ∫
(4.98)
mit
K: die Integrationskonstante
Aus den Gleichungen (4.95) bis (4.98) folgt:
uC =
1
1
1 u
⋅ ∫ i 2 ⋅ dt + K = − ⋅ ∫ i1 ⋅ dt + K = − ⋅ ∫ e ⋅ dt + K
C
C
C R
(4.99)
Die Gleichungen (4.95) und (4.96) ergeben: ua = uc
und somit:
ua = −
1
⋅ u e ⋅ dt + K
RC ∫
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
(4.100)
Kapitel 4: Halbleiterelektronik – Operationsverstärker