Eine optimale systolische Ungleichung für Flächen vom Genus 2

Eine optimale systolische Ungleichung für
Flächen vom Genus 2
F. Telschow, D. Luckhardt
1. August 2011
In den vorangegangenen Vorträgen wurde immer die Systole einer bestimmten Riemannschen Fläche Σ mit einer bestimmten Metrik G (mit Singularitäten) abgeschätzt. Man kann sich jedoch die weiterführende Frage stellen, ob es Abschätzungen der Systole gibt, die lediglich von metrischen
Größen – wie dem Volumen – abhängen. Konkret bedeutet dies:
Gibt es für eine Fläche Σ eine Ungleichung der Form sys π1 (G)2 ≤ Cvol(G),
wobei C unabhängig von der Metrik ist? Und für welche Metriken gilt der
Gleichheitsfall?
Im Rahmen dieses Seminarvortrages werden wir diese Frage für Flächen
vom Geschlecht zwei beantworten. Der behandelte Stoff ist von M. Katz
und S. Sabourau im Jahr 2006 veröffentlicht worden. (siehe [6])
1 Cat(0)-Metriken und Überlagerungen
In diesem Kapitel wollen wir den Begriff der Cat(0)-Räume einführen, welche eine Verallgemeinerung von Räumen negativer Skalarkrümmung (in unserem Fall, da
dim(M ) = 2, negativer Gaußkrümmung) sind. Da wir für den Raum, der das optimale
systolische Verhältnis erfüllt, auch Räume mit Singularitäten zulassen müssen, werden
wir diese ebenfalls kurz behandeln.
Definition 1.1. Eine Metrik G auf einer glatten Fläche Σ heißt Cat(0), falls κ ≤ 0
für alle p ∈ Σ und (Σ, G) ein vollständiger Raum ist.
Bemerkung 1.2. Für eine allgemeinere Definition eines Cat(0)-Raumes verweisen
wir auf das Buch [5]. Die wesentliche Idee ist, dass Dreiecke in einem derartigen Raum
dünner wirken als im Rn .
Bemerkung 1.3. In einer glatten Fläche (Σ, G) lassen sich mittels der riemannschen
Exponentialabbildung Normalkoordinaten einführen. In diesen Koordinaten gilt:
Seminar Systolische Geometrie“, SS 2011, Universität Göttingen
”
1
2
1 Cat(0)-Metriken und Überlagerungen
1. G ≡ dr2 + g(r, θ) dθ2 , wobei g(r, θ) positiv.
p
2. Definieren f (r) = g(r, θ), so gilt f (0) = 0 und f 0 (0) = 1.
00
3. Die Gaußkrümmung für Punkte in der Karte kann dann über κ = − ff berechnet
werden.
Lemma 1.4. Sei Bp (ρ) ⊆ Σ eine geodätische Scheibe und G eine Cat(0)-Metrik auf
Σ. Weiter sei volG (Bp (ρ)) = Aρ . Dann gilt Aρ ≥ πr2 . Gleichheit gilt genau dann,
wenn Bp (ρ) isometrisch zur flachen Scheibe mit Radius ρ,
Beweis. Wir nutzen Normalkoordinaten. Die Cat(0)-Bedingung impliziert f 00 (r) ≥ 0.
Folglich gilt f (r) ≥ r für alle r ∈ [0, ρ] und somit
Z
2π
Z
Aρ =
0
ρ
p
Z
2π
Z
g(r, θ) dr dθ ≥
0
0
ρ
r dr dθ = πρ2 .
(1)
0
Für die Gleichheit muss f (r) = r für alle θ und somit g(r, θ) ≡ r2 .
Eine weitere beeindruckende Eigenschaft negativ gekrümmter Räume wird in folgendem Lemma behandelt:
Lemma 1.5. Sei (Σ, G) eine negativ gekrümmte, einfachzusammenhängende Fläche,
so schneiden sich zwei Geodäten in maximal einem Punkt.
Beweis. Dies ist eine kleine Anwendung des Satzes von Gauß-Bonnet der für stückweise glatt berandete, kompakte Flächen besagt, dass
Z
Z
κ dΣ +
kg ds = 2πχ(Σ)
(2)
Σ
∂Σ
gilt, wobei kg die geodätische Krümmung des Randes beschreibt. Nimmt man nun
an, dass zwei Geodäten γ1 und γ2 sich in mehr als einem Punkt schneiden, so beranden diese zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schnittpunkten ein nach Voraussetzung
einfachzusammenhängendes stückweise glatt berandetes Gebiet, für welches nach dem
Satz von Gauß-Bonnet folgendes gelten muss:
Z
κ dΣ + α1 + α2 = 2π.
(3)
Σ
Hierbei bezeichnen die αi die Winkel um die sich die Tangente an den Kanten des
berandeten Gebiets drehen muss. Daher gilt α1 +α2 < 2π und somit kann die Gleichheit
in obiger Gleichung nicht erfüllt werden.
Definition 1.6. Sei Σ eine Fläche. Dann heißt der Bruch
SR(G) :=
sys π1 (G)2
vol(Σ, G)
(4)
1 Cat(0)-Metriken und Überlagerungen
3
das systolische Verhältnis zu einer riemannschen Metrik G auf Σ. Das optimale systolische Verhältnis ist dann definiert durch
SR(Σ) := sup
G
sys π1 (G)2
vol(Σ, G)
(5)
Für eine allgmeinen Fläche vom Geschlecht 2 ist die bisher beste Schranke des systolischen Verhältnisses γ2 ≈ 1, 1547. Schränkt man jedoch die Klasse der betrachteten
Flächen auf nicht-positiv gekrümmte ein, so werden wir im letzten Abschnitt feststellen, dass eine optimale Ungleichung bewiesen werden kann. Das optimale Verhältnis
wird von der im nächsten Abschnitt erläuterten Bolza-Fläche, welche eine singuläre
Metrik trägt, angenommen.
Definition 1.7. Eine glatte, kompakte riemannsche Fläche (Σ, G) mit Singularitäten. Ist eine riemannsche Fläche mit einer Metrik G, welche für eine endliche Anzahl
von Punkten (den singulären Punkten) eine Koordinatenumgebung (U, z) besitzt, die
folgendes erfüllen:
1. z(p) = 0
θ
2. eh(z) |z| π −2 | dz|2 mit | dz|2 = dx2 + dy 2
die reelle Zahl θ in (2) nennt man den Winkel der Singularität an p und h(z) den konformen Faktor. Wir nennen eine solche Metrik Cat(0), wenn sie ausserhalb singulärer
Punkte Cat(0) ist und alle Winkel an Singularitäten θ ≥ 2π erfüllen.
θ
Man sollte anmerken, dass U mit |z| π −2 | dz|2 isometrisch zu einem euklidischen
Kegel mit Öffnungswinkel θ ist und man somit den Begriff eines Tangentialkegels
(analog zum Tangentialraum) an den Singularitäten definieren kann. (vgl. [9])
Lemma 1.8. Sei p ∈ Σ beliebig, so gibt es eine flache Ebene mit konischen Singularitäten Tp Σ und eine Überlagerungsabbildung expp : Tp Σ → Σ, sodass folgendes
gilt:
1. expp (O) = p
2. expp bildet konische Singularitäten von Tp Σ auf konische Singularitäten von Σ
ab.
3. expp bildet ein paar von Geodäten beginnend an O mit Winkel α zueinander auf
ein Paar von Geodäten in Σ mit gleicher Länge und gleichem Winkel an p ab.
Bemerkung 1.9.
1. Unter gewissen Einschränkungen kann man dann an Singularitäten auch geodätische Polarkoordinaten einführen. (vgl. [8])
2. Der Begriff konformer Metriken wird auf Cat(0)-Räume mit Singularitäten verallgemeinert, indem man zulässt, dass der konforme Faktor Singularitäten oder
Nullstellen aufweist.
4
1 Cat(0)-Metriken und Überlagerungen
3. Lemma 1.4 und 1.5 gilt mit nahezu gleichem Beweis auch für Flächen mit Singularitäten. Zur Verallgemeinerung der Gauß- Bonnet-Formel siehe [9].
Lemma 1.10. Seien G1 , G2 zwei konform äquivalente Cat(0)-Metriken, so ist G =
1
2 (G1 + G2 ) ebenfalls Cat(0).
Beweis. Sei G0 eine flache Metrik in einer Umgebung U eines Punktes p. Wir können
o.B.d.A annehmen, dass G2 = G0 . Ausserdem sei G1 := G eine hierzu konforme Cat(0)Metrik, d.h. lokal G = eh G mit ∆h ≥ 0. Wir wissen aus dem ersten Vortrag, dass das
Vorzeichen der Gaußkrümmung das Vorzeichen des Ausdrucks −∆ log (1 + eh ) ist.
Sei f (t) = log(1 + et ). Dann gilt f 0 ≥ 0 und f 00 ≥ 0. Sei weiter g = f ◦ h, so gilt:
∆g = f 00 (h)k∇hk2 + f 0 ∆h ≥ 0
(6)
also ist die gemittelte Metrik ebenfalls Cat(0), falls alle Punkte regulär sind. An singulären Stellen ist die Cat(0)-Bedingung per definitionem offensichtlich. (vgl. 1.7)
Aus der Topologie wissen wir, dass jeder lokal euklidische Raum eine universelle
Überlagerung besitzt, d.h. einen einfachzusammenhängenden Raum Σ̃ zusammen mit
einer Überlagerungsprojektion π : Σ̃ → Σ. Da letztere für glatte Flächen ein lokaler
Diffeomorphismus ist, kann man die Pullback-Metrik π ∗ G auf Σ̃ für eine beliebige
Metrik G auf Σ bilden und rechnet leicht nach, dass diese Cat(0) ist, falls G schon
diese Eigenschaft hatte.
Zum Abschluss dieses Kapitels soll noch eine erste systolische Ungleichung bewiesen
werden:
Lemma 1.11. Jede J invariante Cat(0)-Metrik G auf einer geschlossenen, hyperelliptischen Fläche Σg des Geschlechts g, erfüllt
SR(Σg , G) ≤
8
(g + 1)π
(7)
Beweis. Bezeichne nun pr : Σ → S 2 = Σ/J die kanonische Projektion. Dann ist das
Urbild eines Weges γ zwischen den Bildern zweier Weierstraßpunkte eine nicht
nullhomotope Schleife in Σ, da π −1 γ = γ 0 ◦ (Jγ 0 )−1 für einen gewissen Weg γ 0 ∈ Σ
und γ 0 und Jγ 0 in verschiedenen Blättern der verzweigten Überlagerung liegen.
Daher und aufgrund der J-Invarianz der Metrik erfüllt der Abstand zwischen den
beiden Weierstraß-Punkten p, q
d(p, q) ≥
1
sys π1 (Σ, G)
2
(8)
Es gibt daher 2g + 2 disjunkte, geodätische Bälle Bq (r) des Radius 41 sys π1 (Σg , G)
um die Weierstraßpunkte. Die Cat(0)-Bedingung impliziert nach Lemma 1.4, dass
π
jeder Ball vol2 (Bq (r)) ≥ 16
sys π1 (Σg , G) erfüllt. Daher erhalten wir:
SR(Σg , G) =
sys π1 (G)2
1
≤
vol2 (Σ, G)
(2g + 2) ·
π
16
=
8
(g + 1)π
(9)
2 Die Bolza-Fläche
5
∞
i
−1
1
−i
0
Abbildung 1: Das Oktaeder mit seinem dualen Körper [11] und als Triangulation der
Riemannsche Sphäre [10]
2 Die Bolza-Fläche
Die Bolza-Fläche B wird bei uns wie im Vortrag von Dahmen und Dönges [3] als glatte
Vervollständigung der komplexen algerbaischen Kurve
y 2 = x5 − x
eingeführt. Wir wiederholen, dass die hyperelliptische Involution durch die Abbildung
J(x, y) = (x, −y) gegeben ist und, dass es sich bei der Quotientenfläche B/J um eine
Riemannsche Sphäre handelt. Die 6 = 2 · 2 + 2 Weierstraßpunkte sind einmal durch die
fünf reellen Nullstellen von x5 − x gegeben und andererseit durch genau einen weiteren
Punkt, der den Abschluss bildet und den wir mit Koordinaten (∞, ∞) bezeichen.
Insgesamt haben wir also
(0, 0),
(1, 0),
(−1, 0),
(i, 0),
(−i, 0)
und
(∞, ∞).
Wir werden die Punkte abkürzend mit ihrer x-Koordinate bezeichnen. Ferner ist der
Quotient nicht nur holomorph zur Riemannschen Sphäre, sondern lässt sich sogar explizit über die x-Koordinate als Punkt der Riemannschen Sphäre parametrisieren, da J
die y-Koordinate herausfaktorisiert. Konkret heißt das, dass einfachzusammenhängende Teile der Sphäre, die keinen Weierstraßpunkt enthalten, konform zu zwei disjunkten
Ausschnitten der Bolzafläche sind.
2.1 Beschreibung der Bolza-Fläche
Die Weierstraßpunkte lassen sich auf der Riemannschen Sphäre wie in Abbildung 1
durch Geodäten, d.h. Großgreise, verbinden. Dies ergibt eine Triangulation der Riemannschen Sphäre, die der Triangulation eines Oktaeders entspricht. Ferner ist das
Urbild dieser Triangulation unter J eine Triangulation B4 der Bolza-Fläche mittels Geodäten. Dabei entsprechen jedem Dreieck des Oktaeders zwei 2-Simplizes der
Bolzafläche. Das zugehörige 1-Skelett, bestehend aus den Ecken und Kanten von B4 ,
6
2 Die Bolza-Fläche
0
0
0
−1
−i
1
i
0
i
∞
0
0
−i
−1
1
0
0
Abbildung 2: Die triangulierte Bolza-Fläche.
(1)
sei mit B4 bezeichnet. Es lässt sich nun bereits explizit wie in Abbildung 2 geschehen
angeben.
Lemma 2.1. Die Auomorphismengruppe der Bolza-Fläche ist isomorph zu der Automorphismengruppe der Triangulation B4 .
Beweis. Die Hypereliptische Involution J erhält B4 . Es bleiben die Automorphismen
des Quotienten B/J zu bestimmen, welche sich auf B fortsetzen lassen. Jeder solcher
Automorphismus hat Weierstraßpunkte auf Weierstraßpunkte zu überführen. Wegen
Konformität und Erhaltung von Großkreisen wird sogar das 1-Skelett des Oktaeders,
(1)
somit auch B4 , in sich überführt. Folglich ist jeder gesuchte Automorphismus ein
Automorphismus des Simplizialkomplexes B4 .
Umgekehrt ist zu überprüfen, dass ein Automorphismus von B4 als ein konformer
Automorphismus der Bolza-Fläche realisiert werden kann. Für J ist dieses bekanntlich möglich, sodass nur die Automorphismen des Tetraeders verbleiben. Ein orientierungsumdrehender Automorphismus ergibt sich bespielsweise durch (x, y) 7→ (x̄, ȳ).
Die Orientierungserhaltenden Automorphismen werden von den drei Vierteldrehungen
um Achsen durch Tetraederecken erzeugt. Die betreffenden Drehungen lassen sich auf
der Spähre durch folgende Möbiustransformationen beschreiben
x 7→ e2πi/4 x,
x 7→
x+1
z−1
sowie
x 7→
x+i
.
ix + 1
Nun zerlegen wir die Sphäre in 1-zusammenhängende Teile ohne Weierstraßpunkte.
Darüber können wir jeweils eine konforme Abbildung der Bolzafläche ohne Weierstraßpunkte in sich konstruieren, weil Verkettungen konformer Abbildungen konform
sind. Da an den Weierstraßpunkten immer zweifache Überlagerungen vorliegen, lässt
sich jeweils die Abbildung konform auf die Weierstraßpunkte fortsetzen.
Mit diesem Lemma ergibt sich die Ordnung der Automorphismengruppe einfach aus
der Ordnung der Involution J und der Automporphismengruppe des Oktaeders B4 /J.
2 Die Bolza-Fläche
7
Letztere entspricht der Symmetriegruppe des dualen Körpers, sprich eines Würfels.
Insgesamt haben wir also
| Aut(B)| = 2 · 48 = 96.
Desweiteren bezeichnen wir als besonderen Punkte die 16 Fixpunkte von Automorphismen der Ordnung drei. Zu Details der Konstruktion dieses Abschnitts, insb. bzgl.
(1)
der Metrik auf B, siehe [4]. Die Urbilder der 12 Kanten des Oktaeders sind in B4
Loops. Bei ihnen handelt es sich sogar um Systolen [7]. Die Bolzafläche wird von ihnen, wie in Abbildung 2 dargestellt, in 16 = 2 · 8 gleichseitige hyperbolische Dreiecke
unterteilt. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind die 16 besonderen Punkte, korrespondieren also mit den Ecken des dualen Würfels (vgl. [7]).
2.2 Grenzfall-Metrik
Wir werden nun die besagte Grenzfall-Metrik auf der Bolza-Fläche angeben.
Proposition 2.2. Auf der Bolzafläche gibt es eine Metrik G(16, 94 π), die die folgenden
Eigenschaften erfüllt
1. die Metrik ist Flach mit Singularitäten an den besonderen Punkten.
2. jede Singularität hat einen Winkel von 49 π. Somit ist die Metrik Cat(0).
3. die Metrik ist aus 6 flachen regelmäßigen Achtecken zusammengeklebt, die an
den Weierstraßpunkten zentriert sind.
√
4. das systolische Verhältnis entspricht SR G(16, 94 π) = 13 ( 2 + 1).
Anschauliche Vorüberlegung: Ein Kegel besitzt eine größere Fläche als eine Kreisscheibe mit gleichem Umfang und hat am Mittelpunkt einen Winkel von weniger als
2π. Wenn am Mittelpunkt ein Winkel größer als 2π anliegt, so ist daher dann anzunehmen, dass bei gleichem Umfang die Fläche kleiner wird. Wenn wir nun das systolische
Verhältnis einer aus ebenen, gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzen Bolzafläche
erhöhen wollen, so müssen wir unter Beibehaltung der systolischen Länge die Fläche
minimieren. Wenn wir nun also die gleichseitigen Dreiecke auf der Bolzafläche als Kegel denken, so gibt dessen Rand die Systole vor. Die Cat(0)-Eigenschaft erlaubt ferner
einen Winkel von über 2π in die Mitte, d.h. an die besonderen Punkte, zu setzen. Wir
können also bei gleicher Systole die Fläche immer mehr eingehen lassen. Darin können
wir allerdings nur solange fortschreiten, wie an keiner anderen Stelle Winkel von unter
2π entsteht. Diese Gefahr besteht an den Weierstraßpunkten. Die Grenzfall-Metrik
wird also an den besonderen Punkten flach sein.
Beweis. Wir werden die Fläche samt Metrik aus den besagten 16 gleichseitigen Dreiecken zusammenkleben. Allerdings setzen wir diese Dreiecke wiederum aus anderen
Dreiecken zusammmen. Wie in der folgenden Abbildung dargestellt bestehen die neuen gleichschenkligen Dreiecke jeweils aus drei flachen gleichschenkligen Dreiecken mit
Basisinkel 43 π. Die Basiswinkel der Größe 12 (π − 34 π) = 18 π halbieren jeweils die Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks.
8
2 Die Bolza-Fläche
Diese Mittelpunte sind gerade nach Definition die besonderen Punkte. Der Winkel an
diesen Singularitäten bemisst 3 · 43 π = 94 π. An den Weierstraßpunkten treffen 16 = 8 · 2
Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke aufeinander. Wegen 16 · 18 π = 2π ist die
Metrik dort also flach. Damit folgen 1 und 2.
x
1
8π
3
4π
x
Die insgesamt 3·16 = 48 gleichschenkligen Dreicke werden weiter entlang ihrer Höhe in
jeweils zwei rechtwiklige Dreiecke aufgeteilt. Somit entstehen 2 · 48 = 96 rechtwinklige
Dreieck. Immer 2 · 8 = 16 um einen Weierstraßpunkt gelegene rechtwinklige Dreiecke
lassen sich zu einem flachen Achteck zusammenfügen, wie in der Abbildung dargestellt.
Da jedes rechtwinklige Dreieck genau einen Weierstraßpunk als Ecke besitze, sind
96
Achtecke entstanden, die die ganze Bolzafläche ausfüllen. Es folgt 3.
6 = 2·8
Sei x die Kantenlänge des gleichseitigen Dreiecks. Das Volumen der Bolzafläche
ergibt sind als Summe der Volumina der 96 rechtwinkligen Dreiecke
area B = 96 ·
√
1x x
1
2−1 .
· tan π = 12 · x2
22 2
8
Es bleibt noch die Systole zu berechnen. Wie die Folgende Proposition zeigt, ist die
Systole gerade der geschlossene weg entlang einer Kante e1 von einem Weierstraßpunkt
zu einem adjeszenten und auf der anderen Kanten e2 zwischen den beiden Weierstraßpunkten wieder zurück. Beide Kanten werden durch die hyperellipptische Involution
miteinander identifiziert. Ihre Länge ist gerade jeweils x, d.h. Gesamtweglänge 2x. 4
rechnet sich also wie folgt nach
sys G 16, 49 π
9
(2x)2
1 √
√
SR G 16, π =
=
=
2
+
1
.
4
3
area G 16, 94 π
12 · x2 ( 2 − 1)
(1)
Je zwei Kanten von B4 mit gleichen Randpunten bilden einen geschlossenen Weg.
(1)
Diese Wege nennen wir Weierstraßschleife. Ihre Länge beträgt 2x. B sei der durch
die Kanten der Achtecke aus 3 von Proposition 2.2 gegebene Graph. Jedes Achteck
(1)
(1)
entspricht einem Rechteck im Quotientenraum B /J. Das 1-Skelett B hat die 16
6·8
besonderen Punkte als Ecken und 2 = 24 Kanten.
Proposition 2.3. In der Metrik G(16, 94 π) von Proposition 2.2 ist eine systolische
Schleife durch eine Weierstraßschleife gegeben.
2 Die Bolza-Fläche
9
Beweis. Die Proposition ergibt sich aus zwei Argumenten:
1. Jeder geschlossene nicht 0-homotope Weg kürzer 2x liegt in der Homotopieklasse
einer der besagten Weierstraßschleife.
2. Die Weierstraßschleifen sind längenminimierend in ihrer Homotopieklasse.
Zur zweiten Aussage beachte, dass eine Weierstraßschleife eine Geodäte ist, und, dass
wir eine Cat(0)-Metrik vorliegen haben. Nach einem Satz aus [2] (Satz 6.8) kann gefolgert werde, dass diese Geodäte längenminimierend sein muss. Der erste Punkt wird
durch folgendes Lemma erbracht.
Lemma 2.4. Jeder Loop α mit Länge kleiner als 2x ist entweder kontrahierbar oder
freihomotop zu einer Weierstraßschleife.
Beweis. Erster Schritt: Zu einem nichtkontrahierbaren Loop α von Länge kleiner 2x
konstruieren wir einen homotopen Loop β von Länge kleiner 8x. Dazu unterteile α
(1)
in Abschnitte α1 , . . . , αN , sodass αi entweder auf den Kanten eines Achtecks aus B
(1)
verläuft oder genau der Anfangs- und Endpunkt von αi auf B liegen, sprich αi einen
Abschnitt innerhalb eines Achtecks beschreibt. Sei βi der Weg zwischen Anfangs- und
(1)
Endpunkt von αi , der entlange des Umgebenden Achtecks in B verläuft und nicht
länger als viermal die Kantenlänge des Achtecks ist.
βi
αi
1
8π
Nun schätzen wir die Länge von βi bzgl. αi ab. Sei φ die zentrische Abbildung der
Form φ : (r, ϑ) 7→ (f (ϑ) · r, ϑ), die das Achteck bijektiv in seinen Umkreis überführt.
Aus der Betrachtung eines infitesimalen Streckenstücks wird sofort ersichtlich, dass
φ Längen nicht verringert und maximal um den Faktor (cos π8 )−1 ≤ 1.1 verlängert.
Folglich schätzt man ab
length βi ≤ length φ(βi ) ≤ π length φ(αi ) ≤ π · 1.1 length αi < 4 length αi .
Summation über length(βi ) ergibt nun, dass der aus allen βi zusammengesetze Loop
β kürzer als 4 · 2x ist.
(1)
Zweiter Schritt: ein nichtkontrahierbarer Loop α entlang B ist frei homotop zu
(1)
einer Weierstraßschleife. Da jede geschlossene Schleife entlang B eine gerade Anzahl
von Kanten haben muss, hat sie höchstens Länge 6x. Kombinatorisch ergeben sich
folgende vier Fälle:
10
2 Die Bolza-Fläche
(1)
1. α ist nicht geschlossen. Da keine Verzweigungspunkte auf B /J liegen, lieftet
α nicht zu einer geschlossenen Kurve auf der Bolzafläche.
(1)
2. α ist geschlossen und hat Länge 4x. In B /J sehen wir einen Loop entlang
einer Seitenfläche des Würfels. Dieser besitzt aber nach folgender Abbildung zu
keinem Loop.
b
c1
b1
a
a2
a2
a1
b2
c2
c
3. α ist geschlossen, hat Länge 6x und umschließt wie in der Abbildung dargestellt
(1)
in B /J zwei Quadrate. α liftet, wie in letzter Abbildung ersichtlich, zu einem
Loop in B. Dieser ist allerdings homotop zu der gestrichelten Weierstraßschleife.
4. α ist geschlossen, hat Länge 6x und umschließt wie in der Abbildung dargestellt
(1)
in B /J drei Quadrate. Angenommen, diesem Loop würde ein Loop in B ensprechen. Wir wissen, dass es ebenfalls einen Loop β gibt, der dem Umlaufen von
zwei Quadraten entspricht, sodass α|[0,4x] = β|[0,4x] . Indem wir β eine Strecke
von 2x zurücklaufen und dann β entlanglaufen, erhalten wir einen Loop wie in
Fall 2. Widerspruch.
Bemerkung 2.5. Beim zweiten Schritt im letzten Beweis lässt sich ebenso mit der
Parität der Anzahl der umlaufenen Singularitäten argumentieren.
Bemerkung 2.6. Man kann zeigen, dass die zusammengeklebte Fläche mit der Metrik
G(16, 94 π) konform zur Bolza-Fläche mit der ursprünglichen hyperelliptischen Metrik
ist. Dazu verwendet man, dass es nur eine Hyperelliptische Fläche mit entsprechender
Automorphismengruppe gibt.
Aufgabe 2.7.
1. Konstruiere eine flache Metrik auf der Bolzafläche mit möglichst
wenig Singularitäten.
2. Wenn man die Cat(0)-Bedingung weglässt, dann gibt es auf der Bolza-Fläche
eine singuläre Metrik mit beliebig großem systolischen Verhältnis. Dabei kann
zusätzlich gefordert werden, dass die Fläche die gleiche Automorphismengruppe
wie die Bolza-Fläche hat.
3 Die optimale systolische Ungleichung im Genus 2
11
3 Die optimale systolische Ungleichung im Genus 2
Im ersten Abschnitt haben wir eine erste Abschätzung für das systolische Verhältnis
einer geschlossenen, hyperelliptische Flächen von Genus g mit einer Cat(0)-Metrik kennengelernt. Der Beweis fußte im wesentlichen auf einer ziemlich groben Abschätzung
des Volumens der Fläche Σg über das Volumen metrischer Bälle um die 2g + 2 Weierstraßpunkte. Daher muss, um eine optimale Ungleichung im Fall g = 2 zu erhalten
das Volumen der Fläche genauer abgeschätzt werden. Dies gelingt mittels Voronoizellen, deren Fläche über die Anzahl ihrer Kanten abgeschätzt werden kann, wobei die
Eulercharakteristik genügend Kontrolle über letztere ermöglicht.
Definition 3.1. Sei (Σ, G) eine Fläche und pi ∈ Σ mit i ∈ I paarweise verschieden.
Wir nennen die Menge
Vi = {q ∈ Σ| d(q, pi ) ≤ d(q, pj ) für i 6= j}
(10)
die Voronoizelle von pi .
Bemerkung 3.2. Falls (Σ, G) eine kompakte Fläche ist, so ist offensichtlich, dass
die Vi eine Überdeckung von Σ bilden, bei welcher der Schnitt zweier Voronoizellen
die Vereinigung von (nicht notwendigerweise geodätischen) Kurvensegmenten ist. Im
Allgemeinen kann die Topologie einer Voronoizelle jedoch kompliziert sein, d.h. nichttriviale Homotopiegruppen besitzen, wie man leicht am Beispiel eines Torus mit zwei
fixierten Punkten sehen kann.
Beispiel 3.3. Im R2 lassen sich die Voronoizellen zu einer vorgegebenen Menge von
Punkten konstruieren, indem man den Schnitt über alle Halbebenen erzeugt von den
senkrecht auf der Hälfte der verbindenden Strecke stehenden affinen Unterraum benachbarter Punkte und dem betrachteten Punkt bildet. (vgl. Abb. 3)
Bevor wir nun zum Beweis der optimalen Ungleichung für Flächen mit Genus 2
kommen, stellen wir noch ein paar wichtige Theoreme zusammen, die wir für den
Beweis benötigen. Die ersten beiden sind aus vorherigen Vorträgen wohlbekannt.
Satz 3.4. Jede Riemannsche Fläche von Geschlecht 2 ist hyperelliptisch.
Lemma 3.5. Sei (Σ, G) eine hyperelliptischen Fläche. Es bezeichne G̃ = 21 (G + J ∗ G).
Dann gilt SR(G̃) ≥ SR(G). Ausserdem ist J ∗ G konform zu G.
Schließlich werden wir noch einen Spezialfall des Satzes von Toponogov brauchen,
der die Länge von Seiten geodätischer Dreiecke in einer gekrümmten Fläche und dem
R2 vergleicht:
Satz 3.6 (Toponogov). Sei (Σ, G) eine Fläche mit Cat(0)-Metrik und pqr ⊂ INJ(p)
ein Dreieck in M , wobei INJ(p) eine sternförmige Umgebung von p ist, sodass die Exponentialabbildung injektiv ist. Weiter sei p0 q 0 r0 ein Dreieck in R2 , sodass length(pq) =
length(p0 q 0 ), length(pr) = length(p0 r0 ) und der Winkel an p bzw. p0 identisch ist. Dann
gilt:
dR2 (q 0 , r0 ) ≤ dΣ (q, r)
(11)
12
3 Die optimale systolische Ungleichung im Genus 2
Für die allgemeinere Formulierung und Beweise siehe [1] und Referenzen.
Wir kommen nun zum Beweis der optimalen Ungleichung.
Satz 3.7. Sei (Σ2 , G) eine Fläche von Geschlecht 2 versehen mit einer Cat(0)-Metrik
G. Dann gilt
SR(Σ2 , G) ≤
1
π
cot
3
8
(12)
Die optimale Schranke wird von der singulär, flachen Metrik mit 16 konischen Singularitäten aus der konformen Klasse der Bolza-Flächen realisiert.
Beweis. Zunächst sei G eine beliebige (möglicherweise singuläre) Metrik auf Σ2 . Nach
Satz 3.4 gibt es eine hyperelliptische Involution zu (Σ2 , G), sodass J ∗ G konform ist
zu G. Nach Lemma 1.10 ist die gemittelte Metrik 12 (G + J ∗ G) ebenfalls Cat(0) und
offensichtlich J-invariant, da J ∗ J ∗ = (J ◦ J)∗ = id. Wegen Lemma 3.5 können wir
daher O.B.d.A annehmen, dass G schon J invariant war.
Unser Ziel ist es nun das Volumen der Fläche über das Volumen der sechs Voronoizellen
zu bestimmen. Dies hat jedoch den Haken, dass – wie wir schon angemerkt haben – die
Topologie einer solchen Voronoizelle im Allgmeinen sehr kompliziert ist (insbesondere
muss die riemannsche Exponentialabbildung nicht injektiv auf dieser sein). Ein Ausweg
aus diesem Dilemma bildet der Übergang zur universellen Überlagerung. Im Folgenden
bezeichnen wir also der Einfachheit halber pi ∈ Σ̃ als Weierstrasspunkt, falls pi ein
Urbild eines Weierstrasspunktes von Σ ist. Ausserdem sei angemerkt, dass man
leicht sieht, dass die Voronoizellen Vi ⊂ Σ̃, welche zu den Weierstrasspunkten pi
gehören, in Fundamentalbereichen der Überlagerung liegen und daher
vol2 (Vi , π ∗ G) = vol2 (π(Vi ), G)
gilt. Weiterhin ist klar, dass {π(Vi )}i=1,...,6 eine sich nur in 1-dimensionalen Objekten
überschneidende Überdeckung von Σ bildet, falls die pi von verschiedenen Weierstrasspunkten herkommen.
Fixiert man nun einen Weierstrasspunkt p und betrachtet die Urbilder Qi aller Lifts
p
Abbildung 3: Polyeder P im Tangentialraum Tp Σ
von anderen Weierstraß-Punkten qi in Tp Σ̃ (Dies ist möglich, da Σ vollständig ist
3 Die optimale systolische Ungleichung im Genus 2
13
und somit auch Σ̃), so lässt sich folgendermaßen ein Polygon P ⊂ Tp Σ konstruieren,
dessen Bild unter der Exponentialabbildung vollständig in der Voronoizelle um p enthalten ist:
Sei OQi die Gerade zwischen dem Ursprung und Qi und LQi ⊂ Tp Σ der affine Unterraum, der senkrecht auf OQi steht und durch den Mittelpunkt dieser Strecke geht. Sei
HQi der durch LQi erzeugte Halbraum, welcher den Ursprung enthält. Wir setzen nun
\
P =
HQi . (vgl. Abb. 3).
(13)
i∈I
Das Toponogov Theorem 3.6 angewendet auf das Dreieck OQi x, wobei x ∈ LQi
beliebig besagt, dass
dΣ̃ (p, expp (x)) = d(O, x) = d(Qi , x) ≤ dΣ̃ (qi , expp (x))
(14)
ist. Dies bedeutet, dass expp (P ) ⊆ Vp . Da die Exponentialabbildung injektiv ist, folgt
aus Toponogov und dem Prinzip von Cavallieri, dass die Fläche von P eine untere
Schranke für die Fläche der Voronoizelle Vp ist.
Zerlegt man nun das Polyeder P in k Dreiecke mit dem Winkel θi am Ursprung O, so
ist die Fläche der einzelnen Dreiecke aufgrund einfacher geometrischer Überlegungen
nach unten beschränkt durch
sys π 2
θi
1
tan ,
(15)
4
2
da der Abstand zwischen O und einem anderen Lift eines Weierstraßpunktes immer
größer als sys π1 /2 sein muss. Letzteres ergibt sich daraus, dass die Exponentialabbildung radial Längen erhält, Jγ ◦ γ −1 eine nicht zusammenziehbare Schleife zwischen p
und q ist und J isometrisch wirkt.
Bislang haben wir also folgendes abgeschätzt:
SR(Σ2 , G) =
sys π12
16
16
≤
=
,
Pk
θi
vol(Σ2 , G)
6
·
k
tan θ2
6 · i=1 tan 2
wobei wir letzteres aus der Jensenschen Ungleichung erhalten, da für
2πρ = kθ mit ρ ≥ 1 gilt, dass
Pk
n
X
θi
θi
θ
tan ≥ k tan i=1 = k tan .
2
2k
2
i=1
(16)
Pk
i=1 θi
=
Weiterhin sehen wir hieraus, dass wir uns die Funktion
f (k) = k tan
πρ
k
genauer anschauen müssen. Man rechnet nach, dass dies eine monoton fallende Funktion für k > 2/ρ ist. Um eine obere Schranke für das systolische Verhältnis angeben zu
können müssen wir also die Anzahl der Kanten k der Seiten des Polyeders P nach oben
14
Literatur
beschränken. Hierzu bemerke man, dass der Schnittpunkt x des affinen Unterräume
L(0,qi ) mit dem Urbild der Geodäte zwischen p und qi zu der Kante der Voronoizelle
Vp zwischen p und qi gehört. Folglich ist die Anzahl der Kanten unseres Polygons P
maximal, die der Voronoizelle Vp .
Betrachten wir nun den Graphen, den die Projektion der Voronoizellen auf der S 2
bildet. Dieser hat 6 Flächen, da es 6 Bilder von Voronoizellen gibt. Nutzen wir nun die
Formel für die Eulercharakteristik v − e + f = 2 und den Fakt 3v ≤ 2e, so erhält man
e ≤ 3f − 6 = 12.
(17)
Die maximale Anzahl der Ecken erhält man über die kubische Zerlegung der Sphäre.
Also hat im Grenzfall die Voronoizelle 6−1 · 2 · 2 · 12 = 8 Kanten, wobei die erste 2 aus
der zweifachen Überlagerung und die zweite daher kommt, dass immer zwei Kanten
aneinandergeklebt werden müssen, damit eine Fläche entsteht und somit ergibt sich
SR(Σ2 , G) ≤
16
1
.
≤
3 · tan π8
6 · 8 tan θ2
(18)
Hierbei folgt letztere Ungleichung aus dem Umstand, dass tan(x) monoton wachsend
zwischen 0 und π ist und dass 8θ ≥ 2πρ ≥ 2π gilt. Ausserdem ist diese Abschätzung
in der Klasse der Cat(0)-Flächen scharf, da das optimale Verhältnis von der im vorangegangenen Abschnitt beschriebenen Bolza-Fläche angenommen wird.
Als eine Art Verallgmeinerung kann man folgendes Resultat lesen:
Korollar 3.8. Jede J invariante Cat(0)-Metrik G auf einer geschlossenen, hyperelliptischen Fläche Σg des Geschlechts g, erfüllt
SR(Σg , G) ≤
π
2
cot
3g
8
(19)
Beweis. Setze f = 2g + 2 in Formel (17). Man erhält folglich e ≤ 6g und somit die
Behauptung.
Literatur
[1] M. Berger. A Panoramic View of Riemannian Geometry. Springer.
[2] M. Bridson and A. Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. SpringerVerlag, Berlin, grundlehren der mathematischen wissenschaften edition, 1999. 319.
[3] E. Dönges and M. Dahmen. Hypereliptische flächen i, 2011. vorhergehender
Seminarvortrag.
[4] T. Kuusalo and M. Näätänen. Geometric uniformization in genus 2. Ann. Acad.
Sci. Fenn., 20(2):401–418, 1995.
[5] A. Haefliger M. Bridson. Metric Spaces of Non-Positive Curvature. Springer.
Literatur
15
[6] S. Sabourau M. G. Katz. An optimal systolic inequality for cat(0) metrics in
genus two. Pacific J. Math., 227(1):95–107, 2006.
[7] P. Schmutz. Riemann surfaces with shortest geodesic of maximal length. Geom.
Funct. Anal., 3(6):564–631, 1993.
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l’inst. Fourier.
[9] M. Trojanov. Prescribung curvature on compact surfaces with conical singularities. Trans. Americ. Math, Soc., 324.
[10] Gwyneth Whieldon. SAMPLE LATEX FILE. Vorlagen adaptiert.
[11] Wikipedia. Datei:duality okto-hekta.png, June 2011.