Wissenschaftliches Arbeiten Teil 4: Definitionen und Logik

Wissenschaftliches Arbeiten
Teil 4: Definitionen und Logik
Wissenschaftliches Arbeiten – SS2010 - Teil 4/Logik
03.05.2010 1
Literatur
[4-1]
Detel, Wolfgang: Grundkurs Philosophie. Band I: Logik,
Reclam, 2007
[4-2]
Huene-Hoyningen, Paul: Formale Logik. Eine philosophische
Einführung. Reclam, 1988
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2
Zitierte Literatur
[4-A]
Leibniz, Gottfried Wilhelm: Die Theodizee. Bd I, Suhrkamp,
2. Auflage, 1999
[4-B]
Hübner, Kurt: Kritik der wissenschaftlichen Vernunft. AlberBroschur, 3. Auflage, 1986
[4-C]
Wittgenstein, Ludwig: Tractatus logico-philosophicus.
Suhrkamp, Werksausgabe Band 1, 6. Auflage, 1989
[4-D]
Kant, Immanuel: Schriften zur Naturphilosophie. Suhrkamp,
Werksausgabe Band 9, 1977
[4-E]
Popper, Karl R.: Die offene Gesellschaft und ihre Feinde. 2.
Band, Bern, 1970
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Einführung
• Logik handelt von Begriffen, Urteilen und Schlüssen.
• Die Bedingungen für die Korrektheit der Verknüpfungen
dieser drei ist Thema der Logik.
• Logik ist kein Mittel zur Erkenntnis.
• Logik prüft nicht den Wahrheitsgehalt von Aussagen.
• Logik definiert nicht, was "wahr" bedeutet.
Ihr ist es egal, was "wahr" und "falsch" bedeuten.
• Logik beschreibt die korrekten Übergänge von Aussagen.
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Geschichte
• Die klassische Logik geht auf Aristoteles zurück.
• Bis auf ein paar Kleinigkeiten blieb sie so bis ins 19.
Jahrhundert, genauer bis Gottlob Frege.
• Die "neue" Logik entstand durch Personen wie
–
–
–
–
Gottlob F. Frege (1848-1925)
Bertrand Russell (1872-1970)
Rudolf Carnap (1891-1970)
Kurt Gödel (1906-1978)
• Die "neue" Logik ist stark formalisiert und mathematisiert.
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Klassische Logik
• Die Klassische Logik besteht aus der
– Lehre vom Begriff
– Lehre vom Urteil (heute: Aussage)
– Lehre von den Schlüssen
• Die Moderne Logik
– ordnet das alte Schema etwas um
– verallgemeinert es
– formalisiert alles, d.h. Abstraktion von Semantik und
Pragmatik: Kalküle
Im folgenden wird entlang der Struktur der klassischen Logik
- bis auf die Formalisierung - vorgegangen und am Ende
die modernen Erweiterungen erwähnt.
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Grundsätze der klassischen Logik
• Satz der Identität: (Metasprachlicher Satz)
Jedes gleich lautende Zeichen wird im gesamten Kontext
in derselben Bedeutung verwendet.
• Satz des Widerspruchs:
Eine Bejahung und eine Verneinung sind nicht gleichzeitig
zulässig.
• Satz vom ausgeschlossenen Dritten: Tertium non datur
Bezug auf die 2-wertige Logik: Derselbe Ausdruck ist
entweder wahr oder falsch, etwas Drittes ist nicht möglich.
• Satz vom zureichenden Grund:
Alles hat eine Ursache oder geschieht aus einem
bestimmten Grund.
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Bemerkungen
• Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird u.a. von den
Intuitionisten in der Mathematik und von der Erlanger
Schule deshalb abgelehnt, weil er nicht für alle Fälle
plausibel gemacht werden kann.
• Anhänger dieser Position akzeptieren u.a. keine indirekten
Beweise.
• In der Informatik, genauer in der KI, wird dieses Problem
mit der "Closed world-Assumption" problematisiert: Nur
innerhalb einer endlichen Welt gilt das Tertium non datur
korrekt.
Aber: das sind Minderheitenpositionen
(die trotzdem korrekt sein können).
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Satz vom zureichenden Grund I
• Ons ≈ das Sein - das, was wirklich existiert
• Ontologie = Lehre vom Sein bzw. den wirklich existenten
Dingen als Teilgebiet der Erkenntnistheorie
• ontologisch ≈ Gebunden an etwas Wirkliches
• Für die Klassiker war die Logik ontologisch und nicht
einfach nur eine Rede ohne Wirklichkeitsbezug.
• Daher war der Satz vom zureichenden Grund ein Prinzip
der Logik - heute wird dies abgelehnt und diese Ablehnung
noch in einer Formalisierung radikalisiert.
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Satz vom zureichenden Grund II
• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
"das andere Prinzip ist das des bestimmenden Grundes, wonach
nichts geschieht, ohne daß es eine Ursache oder wenigstens einen
bestimmten Grund gibt" [4-A, §44, S.273]
• Auch für Immanuel Kant (1724-1804) war die Kausalität ein
Grundprinzip: "Alle Veränderungen geschehen nach dem Gesetz
der Verknüpfung der Ursache und Wirkung" [KrV B 232]
Die Gegner:
• Für David Hume (1711-1776) war Kausalität nur eine Gewohnheit.
• Für Heisenberg, Bohr und von Weizsäcker (Kopenhagener Schule)
gibt es keine Kausalität, jedenfalls in der Quantentheorie.
Siehe dazu das 2. Kapitel von [4-B].
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Aussagenlogik - 1. Teil I
• Deskriptive Aussage = Aussage als Teil eines erfolgreichen
assertiven Sprechakts.
• Ein Sprechakt ist ein Handeln durch Sprechen. In der
Sprechakttheorie wird dies ausgearbeitet (Austin, Searle).
• Assertiv bedeutet, dass etwas einer Sache zugeordnet wird.
• Jeder deskriptiven Aussage kann immer nur eine von zwei
Möglichkeiten zugeordnet werden: "wahr" oder "falsch". Es
spielt keine Rolle, ob diese Zuordnung korrekt ist.
• Abstraktionsschritt:
– Die Aussagen werden als nicht weiter zerlegbar angesehen.
– Ob es sich tatsächlich um etwas handelt, von dem sinnvoll gesagt
werden kann, ob es wahr oder falsch ist, spielt keine Rolle.
– Daher können formal statt Aussagen auch Bedingungen oder
Prädikate benutzt werden.
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Aussagenlogik - 1. Teil II
• Aussagenvariable = Platzhalter für Elementaraussage,
Prädikat(or) oder Bedingung
• Aussagenform = Ausdrücke mit Aussagenvariablen
verknüpft mit Junktoren und Konstanten.
Beispiel:
Karl ist ein Schlawiner.
[Aussage]
K ist S
[Aussagenform]
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Logische Operatoren / Junktoren
Zeichen
Erläuterung
Umgangssprachlich
"∧"
Logisches Und (Konjunktion)
und
"∨"
Logisches Oder (Disjunktion)
oder
"¬"
Logische Negation
nicht
"|"
Negiertes Und (Sheffer-Strich)
"∇"
Negiertes Oder
"⊕"
Exklusives Oder
entweder - oder
"⇒"
Implikation (Subjunktion)
wenn - dann
" ⇔"
Äquivalenz (Bijunktion)
genau dann - wenn
Statt " ⇔ " kann auch " = " geschrieben werden.
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Lehre vom Begriff
• Individualbegriffe (singuläre Termini)
Diese Begriffe meinen etwas Einzelnes:
– Namen, z. B. "Karl der Große"
– Hinweisende Kennzeichnung, z. B. "dieses Auto da"
– Umschreibungen von Dingen, z.B. "der Stein, über den ich
stolperte"
• Universalbegriffe (generelle Termini)
Diese Begriffe beschreiben gemeinsame Eigenschaften vieler
Individuen, z.B. Säugetiere, Kreidestück, Auto, rot, klein
• Universalbegriffe lassen sich hierarchisch ordnen:
Unterbegriffe desselben Knotens (Oberbegriffs) unterscheiden
sich durch mindestens eine Eigenschaft, während der
Oberbegriff das Gemeinsame aller Unterbegriffe darstellt.
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Festlegen von Begriffen
• Begriffe werden festgelegt (Definition):
Das-festzulegende = Das-was-festlegt
Definiendum = Definiens
Z.B. "Junggeselle = Unverheirateter junger Mann"
Definition = Festlegung der Bedeutung eines Begriffs
• Begriffe werden erläutert (Explikation):
Das-zu-erläuternde
Explicandum
≈
Das-was-erläutert
≈ Explikat (Explicans)
Z.B. Schmerz
≈ unangenehme Empfindung
Explikation = Umschreibende Erläuterung der Bedeutung
eines Begriffs
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Definieren als Sprechakt (Moderne Version)
Definitionen und Explikationen sind deklarative Sprechakte
mit folgenden Konsequenzen:
•
•
•
•
Sie
Sie
Sie
Sie
sind weder falsch noch wahr oder richtig.
sind keine Aussagen.
sind nützlich oder nicht nützlich.
verpflichten anschließend
– den Sprechenden das Festgelegte entsprechend des Aktes zu
übereinstimmend benutzen
– den Hörenden das Geäußerte entsprechend dem Akt zu
interpretieren
• Sie entscheiden über das Verständnis.
Dies betrifft die heutige moderne Auffassung, die Realdefinitionen ablehnt.
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Weitere Definitionen
• Konzept ≈ Zusammenfassung des Wesentlichen, des Kerns
(lat. concipere: zusammenfassen)
• Abstraktion ≈ Weglassen des aus der Sicht des Zwecks
Unwichtigen (lat. abstrahere: weglassen)
• Semantik = Bedeutung
• Bedeutung
≈ Das, was in einer Äußerung ausgedrückt wird
• Synonym = Verschiedene Worte mit derselben Bedeutung
Z.B. Semantik / Bedeutung
oder Schlips / Krawatte
• Homonym = Äquivokation = Dasselbe Wort mit
verschiedenen Bedeutungen
Z.B. "Schloss": Fahrradschloss und Königsschloss, oder Tau
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Nominaldefinition
• Nominaldefinition = Rückführung auf einen oder mehrere
Begriffe, so dass das Definiendum durch das Definiens
ohne Bedeutungsveränderung bei allen Benutzungen
ersetzt werden kann
Nominaldefinitionen sind bloße sprachliche Festsetzungen
ohne jeden ontologischen Bezug.
Beispiele
– RE = Rosa Elefant
– Studentin = Frau, die an einer Universität oder
Fachhochschule immatrikuliert ist
• Derartige Definitionen sind häufig eine Verdeutlichung der
Semantik.
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Verbaldefinition
• Verbaldefinition = Erläuterung des Begriffs anhand seiner
ethymologischen Herkunft
Beispiel:
Abstrahieren kommt vom Lateinischen abstrahere und das
heißt Weglassen.
Schlechte Definition, weil viel unklar bzw. implizit gelassen wird
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Realdefinition
• Realdefinition = Eine Sache beschreibend festlegen
Realdefinitionen müssen so gewählt werden, dass das
Definiendum tatsächlich die in der Definition angegebenen
Eigenschaften besitzt, d.h. es besteht ein ontologischer
Bezug.
• Es wird ein deklarativer und ein assertiver Akt vollzogen.
Daher sind diese Definitionen richtig oder falsch.
Eine Realdefinition behauptet, dass es tatsächlich Dinge
entsprechend der Definition gibt.
Eine wichtige Bedingung für eine Realdefinition ist, dass das
Definiens das "Wesen" des Definiendum wiedergibt.
Aber was ist das Wesen einer Sache?
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Was ist das Wesen einer Sache? I
• Bei Aristoteles ist das Wesen das Wassein einer Sache.
• Zum Wesen einer Sache sagt u.a. Immanuel Kant:
"Wesen ist das erste innere Prinzip alles dessen, was zur
Möglichkeit eines Dinges gehört"
[4-D, A III]
Für Kant ist die Weise des Gegebenseins der Sache für das
Bewusstsein wichtig, für Aristoteles die Sache selbst.
Aus der Sicht der Logik ist die Art der Definition vollkommen
unerheblich, jedenfalls wenn die moderne nicht-ontologische
Auffassung eingenommen wird.
Aus der Sicht der Wissenschaft, die inhaltlich arbeitet, besteht
hier echter Klärungsbedarf.
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Was ist das Wesen einer Sache? II
• Begriffsrealismus bedeutet, dass es einen Gegenstand bzw.
einen Sachverhalt gibt, der die angegebenen Eigenschaften
des Definiens besitzt.
Beispiele:
– Karl der Große = Person lebend zum Beginn des Mittelalters
– Schneewittchen = Frau, die die sieben Zwerge kannte
• Fragen
– Sind die beiden obigen Definitionen korrekt?
– Sind die definierten Wörter sinnvoll?
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Was ist das Wesen einer Sache? III
• Besser ist wohl von Sprachspielen (Wittgenstein) zu sprechen,
ohne damit gleichzeitig einen ontologischen Bezug zu meinen
(der aber behauptet werden kann).
• Sprachspiel X ≈ Kontext aller in der Sprachgemeinschaft
anerkannter Verwendungen von X.
• Wesen von Y = Summe der notwendigen und hinreichenden
Eigenschaften von Y innerhalb des betreffenden Sprachspiels
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Beispiel
Sauerstoff = Chemisches Element mit der Ordnungszahl 8,
Metall, Atomgewicht ist 15.9994
• Als Nominaldefinition ist dies vielleicht in Ordnung, obwohl
Sauerstoff kein Metall ist, d.h. hier wird etwas definiert, was
es in dieser Form in der Chemie nicht gibt.
Diese Nominaldefinition ist deshalb wohl auch nicht nützlich,
wohl aber formal korrekt.
• Als Realdefinition ist dies falsch, weil Sauerstoff kein Metall
ist.
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Weitere Definitionsarten
• Operationale Definition ≈ Definition mittels einer Formel oder
eines Messverfahrens
Beispiel: Kinetische Energie = (m/2)*v2
Nachteil dieser Definitionsart ist das Problem, dass bei
eigentlich „äquivalenten Begriffen“, die auf unterschiedlichen
Messverfahren beruhen, die Äquivalenz nicht erkennbar ist.
• Dann gibt es noch weitere Arten....
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Explikation I
• Sinn der Explikation:
Einen unklaren Begriff durch etwas Klareres klären, ohne
es dadurch vollständig und endgültig festzulegen
• Beispiele
– Schmerz ≈ Inneres unangenehmes Empfinden
– Wissen ≈ Kenntnis, um anders oder besser handeln zu
können
– Seele ≈ Das, was ein Lebewesen belebt
– Gott ≈ Die Quelle von allem, was existiert
• An diesen Beispielen kann erkannt werden:
– Explikationen sollen erste Näherungen sein.
– Explikationen können einzelne Aspekte ohne andere
auszuschließen besonders thematisieren.
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Explikation II
• Bei der Explikation geht es nicht unbedingt um
bedeutungsneutrale Ersetzbarkeit: Das Explikat kann
durchaus "mehr" Semantik als das Explicandum haben,
aber auch "weniger" Semantik.
• Dieses "Mehr" kann zu Fruchtbarkeit im Sinne von
weiteren Gedanken oder Thesen führen.
• Das Explikat sollte aber entsprechend dem Gebrauch
genügend ähnlich dem Explicandum sein - ähnlich wie in
einer Realdefinition.
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Explikation III
• Eine Sonderform der Explikation ist die Erläuterung eines
Begriffs durch Beispiele:
–
–
–
–
–
Beispiele typischer Verwendung
Gegenbeispiele dazu
Beispiele in anderen Kontexten, z.B. zynisch, witzig, albernd
Beispiele für Grenzfälle sinnvoller Anwendungen
Beispiele für Analogien oder Metaphern
• Diese Form drückt den Sprachspielcharakter von Begriffen
sehr gut aus.
• Dies ist aber in den "exakten" Wissenschaften verpönt.
• Aber: Dies ist wohl die einzige mehr oder weniger
umfassende Annäherung an einen Begriff ohne eine
Verarmung.
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Einige Explikationen
• Sache = Gegenstand = Objekt ≈ etwas, von dem sinnvoll
geredet werden kann
• Sachverhalt = Situation ≈ Mehrere in Beziehung stehende
betrachtete Sachen
• Zeichen = Wort ≈ das, was bei der sprachlichen
Kommunikation wahrnehmbar ist
(Zeichen wird hier als rein syntaktisch verstanden)
Mit dieser Explikation von Sache kann auch über Unmögliches,
Zukünftiges oder Fiktives sinnvoll geredet werden.
Würde Sache durch einen Bezug definiert werden, gäbe es
hierbei Probleme.
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Regeln für das Definieren
• Im Falle von Realdefinitionen und nützlichen Nomimaldefinitionen gilt das Gebot der Ähnlichkeit:
Definiendum und Definiens sollten innerhalb des
betreffenden Sprachgebrauchs hinreichend ähnlich sein.
• Grundsätzlich gilt das Zirkelverbot:
Kein Definiendum darf sich als Teil seines Definiens
voraussetzen.
Bei rekursiven Definitionen muss es immer einen Weg
ohne Rekursion geben.
Analog gilt dies im abgeschwächten Maße auch für Explikationen.
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Der Anfang I
• Aufgrund des Zirkelverbots muss es Begriffe geben, die
nicht zirkelfrei definiert werden können.
• Diese Begriffe mögen Grundbegriffe heißen.
• Diese können nur
– durch Explikationen, insbesondere durch "außersprachliche"
Handlungen, z. B. durch Zeige-Handlungen
– durch implizite Definitionen
festgelegt, besser: eingegrenzt werden.
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Der Anfang II - Trilemma
Es zeigt sich, dass die Grundbegriffe durch folgende
drei Möglichkeiten festgelegt werden könnten:
• Dogmatische Festlegung
• Zirkel
• Infiniten Regress
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Prädikat / Prädikator
• Begriff ≈ Sprachspiel mit folgenden Aspekten
– Zeichen (Syntax)
– Semantik, Bedeutung (was ausgedrückt wird)
– Pragmatik (was bewirkt wird, was den Kontext bildet,
Intention: was gewollt wird)
– Intension (Begriffsinhalt)
– Extension (Begriffsumfang)
• Prädikat = Prädikator = Etwas, was einen Begriff meint, und
von dem sinnvoll ein Zutreffen bzw. Nicht-Zutreffen in einer
Situation gesagt werden kann
Beispiel:
ist gerade Zahl
Entschuldigung!
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[Prädikator]
[kein Prädikator]
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Weitere Auffassungen über "Bedeutung"
Es gibt noch andere Auffassungen über "Bedeutung":
• Die Bedeutung ist eine psychische Vorstellung über die
gemeinte Sache bzw. gemeinten Sachverhalt.
• Bedeutung ist das, auf das referenziert, als Bezug genommen
wird.
• Bedeutung ist das, was durch das Zeichen ausgedrückt wird.
• Ein Begriff ist ein Abstraktor, der als Bedeutung das
Gemeinsame aller seiner sinnvollen Anwendungen besitzt.
Die Position von Wittgenstein:
Die Bedeutung eines Zeichens ist dessen Gebrauch.
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Extension und Intension I
• Extension = Begriffsumfang = Klasse aller Objekte bzw.
Sachverhalte der Verwendung, denen das Prädikat in
richtiger Weise zugesprochen werden kann
• Zusprechen eines Prädikats P an x = Das Urteil fällen, dass
–
–
–
–
das Objekt x die Eigenschaft P hat.
dem Objekt x die Eigenschaft P zukommt.
das Objekt x unter den Begriff P fällt.
das Objekt x vom Begriff P umfasst wird.
• Beispiele:
– Extension(Kuh) = Klasse aller Kühe, z. B. Emma, Klara etc.
Aber nicht Rudolf, denn Rudolf ist ein Rentier
– Extension(Mensch) = Klasse aller Menschen, z. B. Sokrates
Aber nicht Hannibal, denn Hannibal ist ein Kater
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Extension und Intension II
• Intension = Menge aller Eigenschaften der Objekte der
Extension
Beispiele
– Mensch: { Vernünftig, Säugetier }
– Fisch: { Lebewesen, kein Säuger, lebt im Wasser }
• Die Intension kann durch einen logischen Ausdruck formuliert
werden, der als Bedingung für die Klasse der extensionalen
Objekte fungiert.
• Dieser Ausdruck ist ein guter Kandidat für das Definiens.
• Besteht eine Begriffshierarchie, so kann ein Begriff und damit
seine Intension mit dem nächsten Oberbegriff und den von
diesen unterscheidenden Merkmalen definiert werden.
Nicht mit Intention verwechseln: Dies bedeutet das Gewollte/Beabsichtigte.
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Konnotationen
Intension und Extension bilden zusammen die Semantik,
sofern Konnotationen ignoriert werden.
Konnotation
≈ weitere meist wertende Ergänzung der Semantik
Ausdruck von Pragmatik (Umfeld)
Beispiel:
Schlips:
Krawatte:
privat, im Freundeskreis, Proletarier
fein, offizielle Anlässe, Akademiker
Obwohl es Synonyme sind, sind es doch keine....
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Noch weitere Beispiele
Besteht ein Unterschied zwischen folgenden Synonymen?
(1) Samstag
(2) Morgenstern
Sonnabend
Abendstern
Offenbar besteht eine extensionale Gleichheit, die bei (1) eine
rein sprachliche Konvention ist, aber bei (2) das empirische
Wissen voraussetzt, dass es sich in beiden Fällen um die Venus
handelt.
(Nebenbei: Es handelt es sich nicht um einen Stern...)
(3) Paarzeher
Wiederkäuer
sind intensional unterschiedlich, aber extensional gleich. Damit
sind es keine Synonyme. Gilt das auch für unsere Venus?
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Präzision I
Wenn Sprache nicht stimmt, dann ist das, was gesagt wird
nicht das, was gemeint ist. Ist das, was gesagt wird, nicht das,
was gemeint ist, so kommen keine guten Werke zustande.
Konfuzius (551-479 v. Chr.)
Die Idee, dass die Genauigkeit der Wissenschaft oder der
wissenschaftlichen Sprache von der Genauigkeit dieser Begriffe
abhängt, ist sicher sehr plausibel, aber ich halte sie nichts
desto weniger für ein bloßes Vorurteil.
Popper [4-E, S.27]
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Präzision II
• Vagheit = Unklarheit von einem Objekt feststellen zu
können, ob es zur Extension gehört oder nicht
• Mehrdeutigkeit = Umfang der Anwendungen eines
Begriffes in nicht intendierten Situationen
d.h. die Extension ist zu groß
• Präzision = Geringe Vagheit und geringe Mehrdeutigkeit
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Beispiel I
Junggeselle = männlich ∧ unverheiratet ∧ jung
Junggeselle(x) = männlich(x) ∧ unverheiratet(x) ∧ jung(x)
Ist das vage?
Ist ein 4 jähriger Junge ein Junggeselle?
Ist ein 90 jähriger Herr ein Junggeselle?
jung(x) = Alter(x) >= 18
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41
Beispiel II
Ist das mehrdeutig?
Ist der Papst ein Junggeselle?
Ist ein Witwer ein Junggeselle?
Junggeselle(x) = männlich(x) ∧ heiratsfähig(x) ∧ ¬ war-verheiratet(x)
heiratsfähig(x) = (Alter(x) >= 18) ∧
¬ Heiratsverbot(x)
Dies ist gleichzeitig ein Beispiel einer logischen Rekonstruktion.
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42
Logische Rekonstruktion
• Rekonstruktion ≈ Interpretierende Nachbildung einer Sache
• Logische Rekonstruktion ≈ Rekonstruktion mit den Mitteln
der Logik bzw. unter Verwendung von Prädikaten
• Jede Rekonstruktion ist immer eine Interpretation, die nie
die volle Fülle der interpretierten Sache einfangen kann.
• Sprachliche Dinge sind nie reale Dinge, oder: Dinge in einem
anderen Modus.
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43
Nutzen und Beachtung von Definitionen
• Wenn ein Begriff von einem Autor nicht definiert wird, so
muss angenommen werden, dass der Autor diesen Begriff
innerhalb dessen Kontext umgangssprachlich oder
gewöhnlich meint.
• Diese Interpretation ist positiv, also zugunsten der Autors
durchzuführen.
• Anders formuliert:
Bemühen Sie sich zuallererst den Anderen zu verstehen.
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Lehre vom Urteil
• Urteil = Satz, der einen Sachverhalt ausdrückt
Aussage = Urteil
• Im Urteil werden Begriffe zu einem Satz, einer Aussage
verknüpft:
– Subjekt = Über diesen Begriff wird im Urteil etwas ausgesagt.
– Prädikat = Mit diesem Begriff wird etwas ausgesagt.
– "Subjekt S ist Prädikat P" oder "S ε P" oder P(S)
– "ist" ist eine verbindende Kopula
• Die Aussageform "S ε P" ist hierbei die einfachste; die Formen
ergeben sich durch Anwendung von verschiedenen Merkmalen
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Lehre von den Schlüssen (Syllogistik)
"Ein Syllogismus ist eine Überlegung, bei der, wenn bestimmte
Voraussetzungen gesetzt sind, etwas von diesen verschiedenes
mit Notwendigkeit aus ihrer Beschaffenheit folgt."
Aristoteles, Analytica Priorara I, 4.25b
• Urteil ist eine Verknüpfung von Begriffen.
• Ein Schluss ist eine Verknüpfung von Urteilen.
• Ein Schluss besteht aus:
– 1. Prämisse (Obersatz, Proposition)
– 2. Prämisse (Untersatz, Proposition)
– Schlusssatz (Konklusion)
• Die Sätze haben immer ein Prädikat P, einen den
Prämissen gemeinsamen Mittelbegriff M und ein Subjekt S.
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Ein Beispiel
(1) Alle Menschen sind sterblich.
(2) Sokrates ist ein Mensch.
Also ist Sokrates sterblich.
Subjekt S:
Prädikat P:
Mittelbegriff M:
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Sokrates
sterblich
Mensch
47
Meta-Ebenen I
• Sätze wie "Alle Menschen sind sterblich" gehören zur
Objektsprache.
• Sätze über Sätze der Objektsprache gehören zur Meta-Sprache,
z.B. Der Satz "Alle Menschen sind sterblich" ist falsch.
• Einen Ausdruck anwenden heißt diesen Ausdruck direkt meinen.
• Einen Ausdruck erwähnen heißt über diesen Ausdruck etwas
meinen - dargestellt durch Klammerung mit "“.
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Meta-Ebenen II
• Objektsprachliche Aussageform = Aussageform mit
Satzvariablen und Junktoren
Beispiel: A ∧ B
• Metasprachliche Aussageform = Aussageform mit
objektsprachlichen Aussageformen, Satzvariablen und
Junktoren
Beispiel: "A ∧ B" ⇔ "B ∧ A" oder: A ∧ B = B ∧ A
• Äquivalenz (⇔) ist die logische Gleichheit zwischen zwei Sätzen
bzw. Satzformen auf der Meta-Ebene.
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Beispiele
"Was ich jetzt sage, ist falsch" oder "Jetzt lüge ich"
führt zu einem inneren Widerspruch
Hier sind zwei sprachliche Ebenen gemischt.
"Der folgende Satz ist wahr: 'Ich lüge'"
führt zu keinem Widerspruch, denn der 2. Satz bezieht
sich nicht auf den vorderen Teil (und umgekehrt).
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Implikation
• Die Implikation (⇒) ist eine Wenn-Dann-Verknüpfung, die
zwei Aussagen samt Junktoren verbindet (Meta-Sprache)
z. B. "Wenn es regnet, dann wird die Straße nass."
Deutlicher: Wenn "Es regnet", dann "Straße wird nass".
• Die Implikation (->) ist eine Wenn-Dann-Verknüpfung
zwischen Aussagenvariablen samt Junktoren.
Satz
Erläuterung
A -> B ⇔ ¬B -> ¬A
Kontrapositionssatz
(A -> B) ∧ A ⇔ B
Modus ponens
(A -> B) ∧ ¬B ⇔ ¬A
Modus tollens
(A -> B) ∧ (B -> C) ⇔ (A -> C)
Modus barbara
⇔ bedeutet Äquivalenz, ⇒ bedeutet Implikation
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Was ist die moderne Logik?
• Die moderne Logik formalisiert die klassische. Dabei wird alles
etwas umsortiert.
• Es werden Axiomensysteme sowie Regeln zur Transformation
der Formen benutzt, so dass auf die Technik der
Wahrheitstabellen bzw. Merksätze verzichtet werden kann.
• Es gibt verschiedene Logiken, z. B.
–
–
–
–
–
–
–
–
Aussagenlogik (wie oben, einfache Sätze)
Prädikatenlogik (Aussagenlogik + All- und Existenzaussagen)
Modallogiken ("Notwendig", "Möglich")
Fuzzy-Logik (Schlussfolgern mit einem "unscharfen" Zustand)
Deontische Logiken ("Erlaubt", "Verboten")
Epistemische Logiken ("Wissen", "Glauben")
Zeitlogik über zeitlichen Zusammenhänge ("vorher", ""nachher")
etc.
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Induktiver Schluss
Es wird von Einzelaussagen (Fällen) auf eine allgemeine
Aussage geschlossen.
• Dieser Schluss ist logisch falsch und daher hypothetisch.
• Sonderformen der Induktion:
– Analogie-Schlüsse
– Statistische Schlüsse
– Schlussfolgern mit Bilder oder Metaphern
• Streng genommen sind das alles keine Schlüsse.
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53
Deduktiver Schluss
Es wird von Allgemeinaussagen auf eine individuelle
Aussage geschlossen.
• Dieser Schluss ist logisch korrekt, aber mehr auch nicht.
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Analytisch - Synthetisch I
• Ein Urteil ist analytisch, wenn der Begriff des Prädikats im
Begriff des Subjekts enthalten ist. [I. Kant]
Beispiel:
Dieser Junggeselle ist unverheiratet.
• Ein Urteil ist synthetisch, wenn der Begriff des Prädikats
außerhalb des Begriffs des Subjekts ist. [I. Kant]
Beispiel:
Alle Menschen sind vernünftig.
Einige Philosophen, wie z.B. Quine, halten diese Unterscheidung
für falsch.
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Analytisch - Synthetisch II
• Analytische Aussagen lassen sich anhand der Definition (in
welcher der dargestellten Formen auch immer) auf
Wahrheit prüfen.
• Die Negation analytischer Aussagen ist immer falsch.
• Eine Aussage, die weder analytisch noch kontradiktorisch
ist, wird synthetisch genannt.
• Alle empirisch sinnvollen Aussagen sind synthetisch.
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a priori - a posteriori
• a posteriori = empirisch ≈ auf Erfahrung sich stützend
• a priori ≈ vor der Erfahrung liegend, Erfahrung möglich
machend
• a priorische Erkenntnis ist nach I. Kant
– "schlechterdings von aller Erfahrung unabhängig",
– "vor sich selbst klar und gewiß",
– durch "Notwendigkeit und strenge Allgemeinheit"
gekennzeichnet
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Nun etwas Entspannung...
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