Blatt 9 - LMU Moodle

Schätzen und Testen I
Sonja Greven, Christian Heumann, Sarah Brockhaus, David Rügamer
Übungsblatt 9
WiSe 2015/16
Aufgabe 19 (Bayes-Inferenz: Poissonverteilung)
Gegeben sei eine Poisson-verteilte Zufallsvariable X|λ ∼ Po(λ), wobei λ > 0 unbekannt ist.
Es werden n unabhängige Realisationen x = (x1 , . . . , xn )> aus der Verteilung von X gezogen.
Aus diesen Zufallsziehungen soll auf den Parameter λ geschlossen werden.
Im Folgenden werden wir dazu einen bayesianischen Ansatz verfolgen. Dazu wird als PrioriVerteilung für λ eine Ga(α, β)-Verteilung angenommen, wobei α, β > 0.
(a) Bestimmen Sie die Posteriori-Verteilung von λ|x. Zu welcher Verteilungsfamilie gehört
diese?
(b) Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz der Posteriori-Verteilung an. Welche
b für λ?
Kenngrößen der Posteriori-Verteilung eignen sich als Punktschätzer λ
(c) Als Statistiker interessieren wir uns immer auch für die (Un-)Genauigkeit der Schätzung.
Wie lautet das bayesianische Pendant zu Konfidenzintervallen? Welche Möglichkeiten
gibt es, diese zu bestimmen?
(d) Sei nun Y ebenfalls eine Po(λ)-verteilte Zufallsvariable, die von X1 , . . . , Xn (gegeben λ)
unabhängig ist. Wie lautet die prädiktive Posteriori-Dichte
Z ∞
f (y|x1 , . . . , xn ) =
f (y|λ)f (λ|x1 , . . . , xn )dλ
0
für die Realisation von Y ?
(e) Welche Punktschätzer bieten sich als Prädiktion von y an?
(f) In den seltensten Fällen wird eine Prädiktion mittels Punktschätzung die neue
Beobachtung y genau treffen. Beschreiben Sie, wie ein Prädiktionsintervall konstruiert
werden kann, das die zukünftige Beobachtung mit Wahrscheinlichkeit 1 − α enthält.
Seien im folgenden die Daten
Anzahl
Häufigkeit
0
10
1
5
2
4
3
2
4
4
gegeben und nehmen Sie an, dass es sich um unabhängige Realisationen einer Poissonverteilten Zufallsvariable X|λ ∼ Po(λ) handelt. Als Priori-Verteilung für λ soll eine
Ga(0.2, 0.1)-Verteilung angenommen werden.
(g) Schätzen Sie den zugrundeliegenden Parameter λ und geben Sie ein 95% Kredibilitätsintervall an.
(h) Geben Sie einen Prognosewert für eine weitere Realisation an und berechnen Sie
zusätzlich ein 95% - Prognoseintervall.
Datum: Freitag, 18.12.2015
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Aufgabe 20 (Jeffreys’ Priori)
Eine Hauptschwierigkeit beim praktischen Einsatz der Bayes-Inferenz stellt die Wahl einer
geeigneten Priori-Verteilung dar, vor allem wenn keine Priori-Information vorliegt. Eine
Möglichkeit diesem Problem zu begegnen besteht darin, Jeffreys’ Priori zu benutzen.
(a) Zeigen Sie: Jeffreys’ Priori ist für Θ ⊂ R invariant gegenüber bijektiven Transformationen.
(Das heißt, wenn man die Referenzpriori für φ = h(θ) aus Jeffreys’ Priori für θ berechnet,
kommt man zu dem selben Ergebnis, wie wenn man Jeffreys’ Priori direkt für den
transformierten Parameter φ berechnet.)
(b) Sie sind sich nicht sicher, ob Ihre Analyse aus Aufgabe 18 nicht durch eine “zu
informative” Priori-Verteilung falsche Schlüsse nach sich zieht. Berechnen Sie auf Basis
der n unabhängig und identisch Poisson-verteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn die
Jeffreys’ Priori für λ sowie für λ2 .
Datum: Freitag, 18.12.2015
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