Aufgabe 1 (Berechnung von Dreiecksflächen)

Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 1 (Berechnung von Dreiecksflächen - Tutorium)
h
g
Berechnen Sie die Flächen der Dreiecke mit folgenden Maßen:
a)
b)
g = 0,5 cm
g = 3 cm
h = 4 cm
h = 7 cm
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) F = ½ g ∙ h = ½ ∙ 0,5 ∙ 4 = 1 cm²
b) F = ½ ∙ 3 ∙ 7 = 10,5 cm²
-1-
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 2 (Dreiecksflächen im Koordinatensystem - Tutorium)
g
C
y2
B
y1
A
h
x1
x2
Wie groß ist die Fläche ABC für gegebene xi und yi (i=1,2)?
a)
b)
x1 = 3
x1 = a
x2 = 8
x2 = b
y1 = 5
y1 = c
y2 = 9
y2 = d
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a)
F = ½ ∙ (8 – 3) ∙ (9 – 5) = 10
b)
F = ½ ∙ (b – a) ∙ (d – c)
-2-
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 3 (Berechnen einer Geraden durch zwei angegebene Punkte - Tutorium)
Welche funktionale Form haben die Geraden, die durch folgende Punkte führen? Zeichnen
Sie die Geraden in ein Diagramm.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
A(2; 5)
B(4; 10)
A(2; 3)
B(-1; 5)
A(3; 2)
B(7; 1)
A(-2; 5,5)
B(4; 4)
Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden aus a) und b).
Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden aus c) und d).
Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden aus a) und c).
Berechnen Sie die Fläche, die von der y-Achse und den Geraden a) und c) eingeschlossen
wird.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
Gleichungssystem: y1 = a + b x1; y2 = a + b x2
a)
5 = a + 2b ⇒ a=5-2b
10 = a + 4b ⇒ 10=5-2b+4b ⇒ 10=5+2b ⇒ 2b=5 ⇒ b=2,5 ⇒ a=0 ⇒ y = 2,5 x
b)
3= a + 2b ⇒ a = 3 – 2b
5= a – b ⇒ 5 = 3-3b ⇒ 3b = -2 ⇒ b=-2/3 ⇒ a = 3 + 4/3 = 13/3 ⇒ y = 13/3 – 2/3 x
c)
2= a + 3b ⇒ a = 2-3b
1= a + 7b ⇒ 1= 2+4b ⇒ 4b=-1 ⇒ b=-1/4 ⇒ a = 2+3/4 = 11/4 ⇒ y = 11/4 – 1/4x
d)
5,5= a – 2b ⇒ a = 5,5+2b
4= a + 4b ⇒ 4=5,5+6b ⇒ 6b=-1,5 ⇒ b=-1/4 ⇒ a = 5,5-2/4 = 5 ⇒ y = 5 – 1/4x
e)
2,5 x = 13/3 - 2/3 x ⇒ x = 26/19, y = 65/19
f)
11/4 – 1/4x = 5 – 1/4x ⇒ -9/4 = 0 ⇒ kein Schnittpunkt
g)
2,5 x = 11/4 -1/4 x ⇒ x = 1, y = 2,5
h)
g: ya (xa =0) = 0; yc (xc =0) = 11/4
⇒ g = 11/4
h: h = 1 (x-Wert für den Schnittpunkt von a) und c))
⇒ F = ½ * 11/4 * 1 = 11/8 = 1,375
-3-
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 4 (Potenzen und Wurzeln - Übung)
Fassen Sie zusammen bzw. kürzen Sie:
a)
x
n−2
x
2 n +5
x
m −3
 1 
 −2 
x 
b)
−3
c)
 x 4 y −2 z 3 


3
 ab 
2
0,5 x −0,5 y 0,5
d)
Schreiben Sie mit gebrochenem Exponenten:
e)
3
f)
x
x4
g)
3
1
x
4 5
h)
x2
Schreiben Sie unter eine gemeinsame Wurzel:
x⋅3 y
j)
4
k)
xy 2
l)
x6 y
x y
Schreiben Sie unter Verwendung von Wurzeln:
4
x 0,5
m)
2
x5
n)
o)
x− 3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) x
e) x
j)
3
m)
1
3n+ m
b) x
f) x
2
yx 3
k)
x8 z 6
c) 4 6 2
y ab
 y
d) 0,5 
 x
3
g) x − 3
h) x
x3 y 2
l)
−6
4
12
1
xy 2
=
x2 y
x
-4-
y
x
1
10
0,5
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 5 (Logarithmen - Tutorium)
Schreiben Sie als Logarithmus
a)
23 = 8
b)
a0,5 = c
c)
ex = 1
Berechnen Sie x aus:
d)
e)
2 log x = log 125 – log 5
1
log x = (log 32 + log 3 – log 1)
3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) log2 8 = 3
b) loga c = 0,5
c) ln 1 = x
d) 2 log x = log (125/5) ⇒ log x² = log 25 ⇒ x = 5 (x = -5 ist keine zulässige Lösung)
e) log x = 1/3 (log (9*3)) = log 271/3 ⇒ x = 3
-5-
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 6 (Quadratische Gleichungen - Tutorium)
Lösen Sie die Gleichungen:
a)
2x2 – 2x = 4
b)
x2 – 6x + 9 = 0
d)
x7 – 2x6 – 8x5 = 0
e)
x6 – 7x5 = 0
c)
4x2 – 2x + 4 = 0
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
Normalform: x2 + px + q = 0 ⇒ x1 / 2 = −
a) x 2 − x − 2 = 0 ⇒ x1 / 2 =
p
±
2
p2
−q
4
1 3
1 3
9
1
1
1
⇒ x1 = + = 2 , x 2 = − = −1
±
+2 = ±
2 2
2 2
4
2
4
2
b) x 2 − 6 x + 9 = 0 ⇒ x1 / 2 =
6
36
±
−9 = 3± 9−9 ⇒ x = 3
2
4
c) x 2 − 12 x + 1 = 0 ⇒ x1 / 2 =
1
1
1
±
−1 ⇒
− 1 < 0 ⇒ keine reelwertige Lösung !
16
16
4
d) x 5 ( x 2 − 2 x − 8) = 0 ⇒ x1 = 0 , x 2 / 3 =
2
4
±
+ 8 = 1 ± 9 ⇒ x1 = 4 , x 2 = −2
2
4
e) x 5 ( x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0 , x 2 = 7
-6-
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 7 (Differentiationsregeln - Übung)
Bestimmen Sie die erste Ableitung:
a)
d)
g)
f ( x) = x12
f ( x) = 2 x 2 + 4 x
2
f ( x) = 2
x
b)
e)
f ( x) = 4 x
h)
f ( x) = 4 x 7
f ( x) = x 3 + e x
c)
f)
f ( x) = ln x + x 4 + 3
f ( x) = 2 x 2 ⋅ ln x
j)
f ( x) = x 2 e − x
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
x−
a) f ′( x) = 12 x11
b) f ′( x) =
d) f ′( x) = 4 x + 4
e) f ′( x) = 3 x 2 + e x
4
g) f ′( x) = −4 x = − 3
x
−3
1
4
3
4
h) f ′( x) = 4 x ln x + 2 x
-7-
c) f ′( x) = 7 4 x
f) f ′( x) =
j)
1
x
3
4
+ 4x3
f ′( x) = 2 xe − x − x 2 e − x
= xe − x (2 − x)
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 8 (höhere Ableitungen - Tutorium)
Bestimmen sie die 1. und 2. Ableitung folgender Funktionen:
a)
f ( x) = 2e x − x 2
b)
f ( x) = a x
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a)
f ′( x) = 2e x − 2 x
f ′′( x) = 2e x − 2
b)
f ′( x) = a x (ln a ) ⋅ 2 x
2
f " ( x) = a x (ln a ) ⋅ 2 + a x (ln a ) 2 ⋅ 4 x 2
2
2
alternativ: logarithmisch ableiten: f ' ( x) = (ln f ( x))' f ( x)
ln f ( x) = x 2 ln a
f ′( x) = 2 x(ln a)a x
2
f ′′( x) = 2(ln a)a x + 2 x(ln a)2 x(ln a)a x
2
2
-8-
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 9 (Kurvendiskussion - Tutorium)
2
a) Untersuchen Sie die Funktion f ( x) = x 3 − 4 x 2 + 6 x − 1 auf Extremwerte und
3
Wendestellen, und bestimmen Sie die Bereiche, in denen die Funktion konkav bzw.
konvex ist.
b) Untersuchen Sie die Funktion f ( x) = 10 x − 0,5 x 2 auf Nullstellen, Extremwerte und
Wendestellen. Wo ist die Funktion konkav bzw. konvex? Zeichnen Sie die Funktion
f (x) in ein Diagramm und zeigen Sie graphisch, wie man den Extremwert auch
zeichnerisch mit Hilfe der Funktionen g ( x) = 10 x und h( x) = 0,5 x 2 herleiten kann.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
!
a)
Extremwerte:
⇒ x2 − 4x + 3 = 0
f ′( x) = 2 x 2 − 8 x + 6 = 0 ;
f ′′( x) = 4 x − 8
f ′′(3) = 12 − 8 = 4 > 0 ⇒ Minimum bei x1 = 3
f ′′(1) = 4 − 8 = −4 < 0 ⇒ Maximum bei x2 = 1
⇒ x1 = 3; x2 = 1
!
⇒ x3 = 2
f ′′( x) = 4 x − 8 = 0
⇒ Wendepunkt bei x3 = 2
f ′′′( x) = 4 ≠ 0
konkaver Bereich: Bedingung für Konkavität: f ′′( x) < 0
⇒ 4x < 8
⇒x<2
f ′′( x) = 4 x − 8 < 0
Funktion ist konkav für x < 2.
konvexer Bereich: Bed. für Konvexität: f ′′( x) > 0
⇒ 4x > 8
⇒x>2
f ′′( x) = 4 x − 8 > 0
Funktion ist konvex für x > 2.
Wendepunkte:
b) Nullstellen:
f ( x) = 10 x − 0,5 x 2 = 0
⇒ x1 = 0
⇒ 10 − 0,5 x = 0
⇒ x2 = 20
f ′( x) = 10 − x = 0
⇒ x3 = 10
Extremwerte:
f ′′( x) = −1 < 0
⇒ Maximum bei x3 = 10
Wendepunkte: Fehlanzeige da f ′′( x) ≠ 0
∀x
Bedingung für Konkavität f ′′( x) < 0 , Funktion ist im gesamten Bereich konkav
Zeichnerisch: Abstand zwischen den beiden Funktionen muss am grössten sein.
⇒ gleiche Steigung (Maximum von 0,5x² bezogen auf 10x)
y
-9x
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 10 (Partielle Differentiation - Tutorium)
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktionen:
a) z = f ( x, y ) = x 2 − 2 x + 3 y 2 + x 2 y 2
b) z = f ( x, y ) = x 2 ln y + y 2 ln x + xy + 7
x
c) z = f ( x, y ) = 2 + x 4 e y
y
d) z = f ( x, y ) = x α y β
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a)
∂z
= 2 x − 2 + 2 xy ² ;
∂x
∂z
= 6 y + 2x2 y
∂y
b)
∂z
y2
= 2(ln y ) x +
+ y;
∂x
x
∂z x 2
=
+ 2(ln x) y + x
∂y y
c)
∂z 1
=
+ 4e y x 3 ;
∂x y 2
∂z
2x
= − 3 + x 4e y
∂y
y
d)
∂z
z
= αxα −1 y β = α ;
∂x
x
∂z
z
= βxα y β −1 = β
∂y
y
- 10 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 11 (totales Differential - Tutorium)
Berechnen Sie das totale Differential:
a) z = f ( x1 , x2 ) = ln( x12 + x22 )
b) z = f ( x1 , x2 ) = x1α x2β
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) dz =
2 x1
2x
2
dx1 + 2 2 2 dx2 = 2
( x1dx1 + x2 dx2 )
2
x1 + x2
x1 + x22
x + x2
2
1
b) dz = αx1α −1 x2β dx1 + βx1α x2β −1dx2 = x1α x2β (
α
x1
dx1 +
- 11 -
β
x2
dx2 )
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 12 (Produktionsmöglichkeitenkurve I - Übung)
In einer Volkswirtschaft werden zwei Güter (Y1, 2) mit dem Faktor Arbeit (L) produziert. Die
jeweiligen Produktionsfunktionen sind linear.
a) Erklären Sie, warum die Produktionsmöglichkeitenkurve einen Optimalitätsgrad aufweist.
b) Entwickeln sie aus den Angaben mit Hilfe eines 4-Quadrantenschemas graphisch die
Transformationskurve / Produktionsmöglichkeitenkurve.
c) Erklären Sie anhand der Graphik das Prinzip der Opportunitätskosten. Gehen Sie dabei
auch auf den Verlauf der Produktionsfunktionen ein.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Sie stellt die maximalen Produktionsmengen eines Gutes für gegebene
Produktionsfaktoren und gegebene Produktion des anderen Gutes dar.
b)
Y2
Y2=f(L)
L
Y1
Y1=f(L)
L
c) konstante Opportunitätskosten: Produktion von einer zusätzlichen Einheit Y1 „kostet“
immer die gleiche Anzahl an Einheiten von Y2. Ein steilerer Verlauf der
Produktionsfunktion für Gut Y1 (höhere Grenzproduktivität) bewirkt geringere
Opportunitätskosten bei diesem Gut (gemessen in Verzicht auf Einheiten von Gut Y2).
- 12 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 13 (Produktionsmöglichkeitenkurve IV - Übung)
Gegeben ist eine Volkswirtschaft, die über eine Ressourcenausstattung von L = 6400 Stunden
Arbeit pro Jahr verfügt und damit entweder Erdbeeren E durch pflücken produziert oder
Zitronen Z durch Schütteln der entsprechenden Bäume herstellt. Die Produktionstechnologie
dieser Volkswirtschaft ist durch die Transformationskurve
L = 4⋅ E 2 + Z 2
repräsentiert.
a) Wie viele Erdbeeren kann diese Volkswirtschaft maximal herstellen?
b) Wie viele Zitronen kann diese Volkswirtschaft maximal herstellen?
c) Klassifizieren Sie die 5 folgenden Kombinationen von E und Z unter Verwendung der
Begriffe effiziente Produktion, ineffiziente Produktion, unmögliche Produktion. Geben
Sie in jedem Fall eine ökonomische Begründung für Ihre Klassifikation.
E,Z
a
30 , 50
b
35 , 45
c
0 , 90
d
20 , 20
e
20×√3 , 40
d) Machen Sie für eine der ineffizienten Kombinationen von E und Z Vorschläge, wie hier
der Übergang zu einer effizienten Produktion herbeigeführt werden könnte.
e) Geben Sie für eine der als effizient klassifizierten Kombinationen a bis e die Grenzrate der
Transformation an.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Z = 0 ⇒ 6400 = 4 ⋅ E 2 ⇒ E = 1600 = 40
b) E = 0 ⇒ 6400 = Z 2 ⇒ Z = 6400 = 80
c)
a
b
E,Z
30 , 50
35 , 45
L-Bedarf
6100
6925
ineffizient
unmöglich
⇒
c
0 , 90
8100
unmöglich
d
20 , 20
2000
ineffizient
e
20×√3 , 40
6400
effizient
d) Erhöhung der Produktion von E oder von Z oder einer Kombination aus E und Z
e) Grenzrate der Transformation nur sinnvoll für effiziente Kombination e:
dE 1
E = 12 6400 − Z 2 ⇒
= 4 (6400 − Z 2 ) −1 / 2 ⋅ (−2Z ) = − 12 (6400 − Z 2 ) −1 / 2 ⋅ Z
dZ
dE
Z = 40 ⇒
= − 12 (6400 − 1600) −1 / 2 ⋅ 40 = −0,289
dZ
- 13 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 14 (Marktgleichgewicht - Übung)
Ein vollkommener Markt befindet sich im Gleichgewicht. Durch die stark gestiegenen
Rohölpreise verteuert sich die Produktion der Unternehmen. Stellen Sie diesen Sachverhalt
graphisch in einem geeigneten Diagramm dar. Wie verändern sich gleichgewichtiger Preis
und Menge? Welche Aspekte der Veränderung sind exogen, welche endogen?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
p
A‘
A
p2
p*
p1
x*
x
x1
Verschiebung von A nach A‘ ist exogen
⇒ Preis bleibt bei p1 ⇒ Nachfrageüberschuß
⇒ Nachfrageüberschuß führt zu Preiserhöhung bis neues Gleichgewicht p*, x* erreicht
(endogen!)
- 14 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 15 (Produktionsfunktion - Übung)
Gegeben ist die Produktionsfunktion:
y = x10, 2 x 20,8
a)
b)
c)
d)
Berechnen Sie die Grenzproduktivitäten der beiden Produktionsfaktoren.
Zeichnen Sie die Produktionsfunktion, für x2 = 32.
Wie verändert sich die Grenzproduktivität mit steigendem x1?
Berechnen Sie die Isoquante für ein beliebiges Output-Niveau y .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a)
∂y
∂y
= 0,2 x1−0,8 x20,8 ,
= 0,8 x10, 2 x2−0, 2
∂x2
∂x1
b) y = x10, 2 ⋅ 32 0,8 = 16 x10, 2
y
18
16
1
c) Sie nimmt ab, da
2
x1
3
∂2 y
= −0,2 * 0,8 x1−1,8 x20,8 < 0
2
∂x1
d) y = x10, 2 x 20,8 ⇒ y 5 = x1 x 24 ⇒ x1 =
(
y5
(oder x 2 = y 5 x1
4
x2
- 15 -
)
1/ 4
)
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 16 (Isoquanten - Übung)
Zeichnen Sie Isoquanten für eine limitationale und eine substitutionale Produktionsfunktion
(Achsenbeschriftung beachten!).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
x2
limitational
substitutional
x1
mit x1 und x2 als Inputfaktoren der Produktion
- 16 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 17 (Grenzproduktivität und Isoquante - Tutorium)
Angenommen, die Grenzproduktivität des Kapitals ist immer positiv, aber die
Grenzproduktivität der Arbeit wird null wenn mehr Arbeiter als Kapitalgüter beschäftigt
werden. Wie sehen die Isoquanten aus?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
- 17 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 18 (Skalenerträge - Tutorium)
Gegeben sei die Produktionsfunktion:
y = x1α x 2β
a) Bei welchen Werten von α und β treten konstante, fallende und steigende Skalenerträge
auf?
b) Für welche Konstellationen von α und β findet man für die Produktionsfaktoren sinkende
Grenzerträge und dennoch für die Produktionsfunktion steigende Skalenerträge?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a)
b)
f(λx1,λx2) = λαx1αλβx2β = λα+βx1αx2β = λα+β y
r = α+β = 1 ⇒ konstante Skalenerträge
⇒
r = α+β < 1 ⇒ sinkende Skalenerträge
r = α+β > 1 ⇒ steigende Skalenerträge
α < 1, β < 1 ∧ α + β > 1
- 18 -
mit α, β > 0
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 19 (Grenzproduktivität und TRS - Übung)
Gegeben ist folgende Produktionsfunktion:
y = x11, 2 x 20,9 .
a) Welchen Homogenitätsgrad und welche Art von Skalenerträgen weist diese
Produktionsfunktion auf?
b) Wie entwickeln sich die Grenzproduktivitäten der Produktionsfaktoren, wie die
Durchschnittsproduktivitäten?
c) Geben Sie die TRS an!
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) (λx 1 )1, 2 (λx 2 ) 0,9 = λ2,1 x 11, 2 x 02,9 = λ2,1 y ⇒ y(x1,x2) ist homogen vom Grad 2,1.
⇒ steigende Skalenerträge
b) Grenzproduktivität:
x20,9
∂2 y
∂y
=
>0
0
,
24
= 1,2 x10, 2 x20,9 > 0 ,
∂x1
∂x12
x10,8
x1, 2
x11, 2
∂y
∂2 y
= 0,9 10,1 > 0 ,
−
0
,
09
<0
=
∂x2
x2
∂x22
x12,1
Durchschnittsproduktivität:
x 0,9
∂ ( y x1 )
y
= 0,2 20,8 > 0
= x10, 2 x20,9 > 0 ,
∂x1
x1
x1
y x11, 2
=
> 0,
x2 x20,1
c) allg. TD: dy = ∂y
TRS =
∂x1
∂ ( y x2 )
x1, 2
= −0,1 11,1 < 0
∂x2
x2
dx1 + ∂y
!
∂x2
dx2 = 0 ⇒
dx2
αxα −1 x β
αx
= − 1α β −21 = − 2
βx1
dx1
βx1 x2
dx2
1,2 x10, 2 x20,9
1,2 x2
=−
=−
1, 2 −0 ,1
dx1
0,9 x1
0,9 x1 x2
- 19 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 20 (Produktionsfunktion I - Tutorium)
Gegeben ist die additiv separable Produktionsfunktion y = x1 + x 2 für einen
Produktionsprozeß mit zwei Produktionsfaktoren x1 und x2.
Berechnen Sie für diese Produktionsfunktion ...
a) die Grenzproduktivitäten für die beiden Produktionsfaktoren.
b) die Rate der technischen Substitution.
c) den Homogenitätsgrad.
d) Berechnen Sie den Homogenitätsgrad der substitutionalen Produktionsfunktion
y = (0.5 x1ν + 0.5 xν2 ) ρ / ν .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a)
∂y 1 −1 / 2
∂y 1 −1 / 2
= 2 ⋅ x1 ,
= ⋅ x2
∂x1
∂x 2 2
b)
∂y / ∂x1
dx 2
x
=−
=− 2
∂y / ∂x 2
dx1
x1
c)
λx1 + λx 2 = λ ( x1 + x 2 ) = λ1 / 2 ⋅ y ⇒ Homogenitätsgrad = 1/2
d) (0.5(λx1 )ν + 0.5(λx 2 )ν ) ρ / ν = (0.5λν x1ν + 0.5λν xν2 ) ρ / ν = λ ρ (0.5 x1ν + 0.5 xν2 ) ρ / ν = λ ρ y
⇒ Homogenitätsgrad = ρ
- 20 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 21 (Produktionsfunktion II - Tutorium)
Gehen Sie von einem Produktionsvorgang aus, in dem ein Gut Y mit den Produktionsfaktoren
Arbeit L und Kapital K produziert wird. Dieser Produktionsvorgang läßt sich durch die
Produktionsfunktion Y = L + K + Lδ K 1−δ darstellen.
a) Geben Sie die Grenzproduktivitäten der Produktionsfaktoren in Abhängigkeit der
Kapitalintensität K/L an.
b) Ist diese Produktionsfunktion substitutional, vollständig substitutional oder limitational?
[mit Begründung!]
c) Geben Sie den Homogenitätsgrad an und interpretieren Sie diesen.
d) Worin liegt der Unterschied zwischen der Aussage der Grenzproduktivitäten und der
Aussage des Homogenitätsgrades?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a)
∂Y
= 1 + δLδ −1 K 1−δ = 1 + δ ( K / L)1−δ
∂L
∂Y
= 1 + (1 − δ ) Lδ K −δ = 1 + (1 − δ )( K / L) −δ
∂K
b) vollständig substitutional, da ein positiver Output mit dem Einsatz von allein einem der
beiden Produktionsfaktoren erstellt werden kann, also bei L > 0 und K = 0 oder L = 0 und
K > 0.
c) die Produktionsfunktion ist linearhomogen, d.h. vom Grade 1, da
λL + λK + (λL) δ (λK )1−δ = λ ( L + K ) + λδ λ1−δ Lδ K 1−δ = λ ( L + K + Lδ K 1−δ ) = λY
dies bedeutet, daß eine Verdoppelung des Einsatzes beider Produktionsfaktoren zu einer
Verdoppelung der produzierten Menge führt
d) Grenzproduktivitäten: wie verändert sich die produzierte Menge, wenn ein
Produktionsfaktor variiert und der andere konstant gehalten wird.
Homogenitätsgrad: wie verändert sich die produzierte Menge wenn beide
Produktionsfaktoren um den gleichen Faktor variiert werden.
- 21 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 22 (Technische Rate der Substitution - Tutorium)
Zeigen Sie, dass für jede Cobb-Douglas Produktionsfunktion die TRS entlang eines
Fahrstrahls durch den Ursprung konstant ist.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
Fahrstrahl durch den Ursprung: x2 ist ein vielfaches von x1 ⇒ x2 = bx1
⇒ TRS(x1, x2) = TRS(x1, bx1)
y = x1α x2β ⇒
αx
αbx1
αb
dx2
=− 2 =−
=−
= const.
βx1
βx1
β
dx1
- 22 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 23 (Gewinnmaximierung I - Übung)
Ein Unternehmer produziert mit der Technologie
y = x1αx2β.
Die Preise der Inputfaktoren sind vom Markt mit w1 und w2 fest vorgegeben und kurzfristig
kann nur der Faktor x1 variiert werden.
a)
b)
c)
Wieviele Einheiten an x1 sollte er einsetzen, um den maximalen Gewinn zu erzielen?
Erläutern Sie das Ergebnis anhand einer geeigneten Graphik.
In welchem Verhältnis sollten die Produktionsfaktoren eingesetzt werden, falls das
Unternehmen eine langfristige Gewinnmaximierung anstrebt?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a)
y = x1α x 2β
w1 , w2 > 0
Ziel: Gewinnmax. ⇒ max π = py − w1 x1 − w2 x 2 = p ( x1α x 2β ) − w1 x1 − w2 x 2
x1
dy
dπ
= MP1
αx1α −1 x 2β =
= pαx1α −1 x 2β − w1 = 0 mit
dx1
dx1
w
⇒ MP1 = 1 Grenzprodukt = realer Faktorpreis
p
w
αx1α −1 x 2β = 1
p
⇒
x1α −1
w1
=
pαx 2β
 w
⇒ x1* =  1 β
 pα x 2
1
 α −1  pαx 2β
 = 

 w1
b)
- 23 -
1
 1−α


Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
c) max π = p ( x1α x 2β ) − w1 x1 − w2 x 2
x1 , x2
∂π
= pαx1α −1 x2β − w1 = 0
∂x1
∂π
= pβx1α x2β −1 − w2 = 0
∂x2
α x 2 w1
= | TRS |
⇒
=
β x1 w2
Der Betrag der Rate der technischen Substitution ist gleich dem umgekehrten
Faktorpreisverhältnis (unabhängig von p)
x 2 β w1
=
x1 α w2
- 24 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 24 (Gewinnmaximierung II - Tutorium)
Ein Entrepreneur hat zur Geschäftseröffnung von seiner Hausbank einen Kredit von 1000
Geldeinheiten bewilligt bekommen. Dieses Budget soll optimal ausgenutzt werden. Er
produziert entlang einer Leontief-Produktionsfunktion y = f ( x1 , x 2 ) = min{3 x1 ,5 x 2 } . Die
Faktorpreise betragen w1 = 1 und w2 = 5 .
a) Berechnen Sie den optimalen Faktoreinsatz.
b) Stellen Sie Ihre Lösung aus Teilaufgabe a) graphisch dar, achten Sie dabei auf eine exakte
Achsenbeschriftung!
c) Wie lautet der Gewinn des Entrepreneurs bei einem Marktpreis von p = 10 ?
d) Erklären Sie kurz, warum im Fall der obigen Leontieff-Produktionsfunktion für eine
effiziente Produktion 3 x1 = 5 x 2 erfüllt sein muß.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
0
50
100
x2
150
200
250
1
a) Kostengleichung: C ( x) = x1 + 5 x 2 = 1000 ⇒ x 2 = 200 − x1
5
5
Produktionsfunktion: 3 x1 = 5 x 2 ⇒ x1 = x 2
3
Optimaler Faktoreinsatz:
5
1
4
1 5
x 2 = 200 − ⋅ x 2 = 200 − x 2 ⇒
x 2 = 200 ⇒ x 2* = 150 ⇒ x1* = ⋅ 150 = 250
3
3
3
5 3
b) Schaubild:
0
100
200
300
400
500
x1
c) y = 3 ⋅ 250 = 750 ⇒ G = 10 ⋅ 750 − 250 − 5 ⋅ 150 = 6500
d) Die Bedingung muß erfüllt sein, da dann bei der gegebenen Produktionsfunktion
(Leontief) beide Elemente innerhalb des Minimum-Operators identisch sind. Eine
alleinige Erhöhung eines der beiden Produktionsfaktoren würde eine
Ressourcenverschwendung bedeuten.
- 25 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 25 (Kostenminimierung I - Übung)
Ein Unternehmer produziert mit der Technologie
y = x1α x2β .
Die Preise der Inputfaktoren sind mit w1 und w2 fix vorgegeben.
a)
b)
Wie lautet die Minimalkostenkombination für y = y ? Skizzieren Sie auch die graphische
Lösung zu diesem Problem.
Geben Sie die Kostenfunktion c(y) an.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a)
Kostengleichung: C = w1x1 + w2x2
Zielfkt.: min C = w1 x1 + w2 x2
x1 , x2
NB
y = x1α x 2β
Lagrange:
L = w1 x1 + w2 x 2 + λ( y − x1α x 2β )
(1)
!
∂L
= w1 − λαx1α −1 x2β = 0
∂x1
(2)
!
∂L
= w2 − λβx1α x2β −1 = 0
∂x2
(3)
!
∂L
= y − x1α x 2β = 0
∂λ
aus (4) x1* =
w1 α x2
(4)
=
w2 β x1
umgekehrtes Faktorpreisverhältnis = TRS
x2 β w1
(wie bei Gewinnmax.)
=
x1 α w2
⇒
α w2
x2
β w1
α
α
in (3)
 α w2  β  α w2  α + β
 x 2
y = 
x 2  x 2 = 
 β w1 
 β w1 
⇒
  βw 
x 2 =  y ⋅  1 
  α w2 

α




1
α+ β
=y
1
α+ β
α
 βw  α + β
⋅  1 
 α w2 
- 26 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
aus (4) x2* =
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
β w1
x1
α w2
β
in (3)
 β w1 
 β w1 

y = x 
x1  = x1α + β 
 α w2 
 α w2 
⇒
1
  αw  β  α + β
α+ β
2



x1 = y ⋅ 
=y
  βw1  


β
α
1
1
1
b)
c( y ) = w1 y
α +β
β
 αw 
⋅  2 
 βw1 
α
 α w2  α + β
 β w1  α + β



+ w2 y α + β 
 β w1 
 α w2 
1
- 27 -
β
α+ β
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 26 (Kostenminimierung II - Tutorium)
Ein Unternehmen produziert mit der Technologie Y = L0 .4 K 0 .4 . Die Inputpreise sind mit
w = 4 (Lohn) und r = 2 (Zins) gegeben.
a)
b)
c)
d)
Stellen Sie die Kostengleichung des Unternehmens auf.
Stellen Sie das Kostenminimierungsproblem des Unternehmens dar. (Zielfunktion und
Nebenbedingung)
Mit welchem Faktoreinsatzverhältnis produziert das Unternehmen kostenminimal?
Wie lautet die Kostenfunktion dieses Unternehmens?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) C = w ⋅ L + r ⋅ K = 4 L + 2 K
b) min C = w ⋅ L + r ⋅ K
L, K
NB
Y = L0, 4 K 0, 4
c) Λ = 4 L + 2 K + λ ⋅ (Y − L0.4 K 0.4 )
∂Λ

= 4 − λ ⋅ 0,4 ⋅ L− 0, 6 K 0, 4 = 0 
4 K
∂L
 ⇒ = ⇒ K = 2 L (in ∂Λ ∂λ )
∂Λ
2 L
= 2 − λ ⋅ 0,4 ⋅ L0, 4 K − 0, 6 = 0
∂K

∂Λ
= Y − L0, 4 K 0, 4 = 0
∂λ
d) K = 2 L ⇒ Y = L K
0, 4
0, 4
=L
0, 4
(2 L )
0, 4
⇒ L = (2
− 0, 4
⋅Y )
1
0 ,8
1
1
1
0, 4
L = K ⇒ Y = L0, 4 K 0, 4 = ( K ) 0, 4 (K ) ⇒ K = (2 0, 4 ⋅ Y ) 0,8
2
2
in Kostengleichung:
C (Y ) = 4 ⋅ (2
−0, 4
⋅Y )
1
0 ,8
+ 2 ⋅ (2
0, 4
⋅Y )
1
0 ,8
=Y
1
0 ,8
⋅ (2
- 28 -
1, 5
+2 )=Y
1, 5
1
0 ,8
⋅ 2 2,5 = Y 1, 25 ⋅ 2 2,5
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 27 (Kostenminimierung III - Tutorium)
Ein Unternehmen produziert Y = 100 Outputeinheiten auf der Isoquante K = Y 2 / L unter
Einsatz von K = 250 Kapitaleinheiten und L = 40 Arbeitseinheiten. Die Faktorpreise
betragen wK = 2 und wL = 8 .
a) Begründen Sie, warum diese Situation keine kostenminimale Lösung darstellt.
Argumentieren Sie anhand der Grenzrate der technischen Substitution und der
Faktorpreise. Geben Sie eine ökonomische Interpretation!
b) Wie müßte das Unternehmen seinen Faktoreinsatz modifizieren, um kostenminimal zu
produzieren? Ermitteln Sie die Lösung ohne Anwendung des Lagrangeansatzes!
c) Wie groß ist die dabei erzielte Kostenersparnis?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Für eine kostenminimale Lösung muß das Verhältnis der Grenzproduktivitäten gleich dem
Verhältnis der Faktorpreise sein, hier gilt jedoch
2
2
 Y 2  Y 
MPL
w
dK
8
 100 
=−
= − − 2  =   = 
 = 6.25 ≠ L = = 4
MPK
dL
wK 2
 40 
 L   L
Interpretation: das technisch mögliche Austauschverhältnis (die Grenzrate der technischen
Substitution) zwischen Arbeit und Kapital ist größer als das ökonomisch mögliche
Austauschverhältnis (das Faktorpreisverhältnis)
2
wL
dK  Y 
100
100 2
*
*
b) −
=  =
=4⇒ L =
= 50 , K =
= 200
dL  L 
wK
2
50
c) ΔC = 8 ⋅ (40 − 50) + 2 ⋅ (250 − 200) = −80 + 100 = 20
- 29 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 28 (Kostenminimierung IV - Tutorium)
Gegeben ist eine vollständig substitutionale Produktionsfunktion
Faktorpreise betragen w1 = 2 und w2 = 3 .
y = 5 x1 + 4 x 2 . Die
a) Bestimmen Sie die kostenminimale Faktorkombination ( x1 , x 2 ) zur Produktion von
y = 100 Einheiten graphisch. [Hinweis: gefordert ist eine maßstabsgetreue Zeichnung,
keine Skizze!]
b) Interpretieren Sie die Lösung aus a) vor dem Hintergrund der Grenzproduktivitäten und
Faktorpreise für die beiden Produktionsfaktoren.
c) Wie hoch sind die minimalen Kosten zur Produktion von y = 100 Einheiten?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
K 3
− x2
2 2
y 4
y = 5 x1 + 4 x 2 ⇒ x1 = − x 2 ⇒ ( x1* , x 2* ) = (20,0)
5 5
a) K = 2 x1 + 3 x 2 ⇒ x1 =
x2
3
0
2
5
2
0
1
5
1
0
5
x1
0
0
5
1
0 1
5 2
0 2
5
b) Der Produktionsfaktor x1 weist eine höhere Grenzproduktivität als x 2 auf (5>4) und ist
mit einem geringeren Faktorpreis verbunden (2<3). Im Fall einer vollständig
substitutionalen Produktionsfunktion ist es daher lohnend, nur den Produktionsfaktor x1
einzusetzen.
c) K min = w1 x1* + w2 x 2* = 2 ⋅ 20 + 3 ⋅ 0 = 40
- 30 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 29 (Kostenminimierung V - Übung)
Ein Unternehmen produziert ein Gut Y unter Einsatz eines einzigen Inputfaktors Arbeit L. Der
Lohnsatz ist mit w fest gegeben. Die Produktionsfunktion, die die Menge an eingesetzter
Arbeit mit der Menge an produziertem Output in Beziehung setzt lautet:
Y = AL1 / α .
a) Interpretieren Sie die Größe A in der Produktionsfunktion. Ist A größer/kleiner/gleich Null?
b) Berechnen Sie die Durchschnitts- und die Grenzproduktivität für diese Produktionsfunktion. Begründen sie, für welche Werte für α sich ein ertragsgesetzlicher Verlauf der
Produktionsfunktion ergibt?
c) Stellen Sie die Kostengleichung auf und interpretieren Sie diese.
d) Berechnen Sie die Kostenfunktion und interpretieren Sie diese.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) A ist ein Produktivitätsparameter (je größer A, umso größer der Output bei gegebenem
Arbeitseinsatz), der üblicherweise positive Werte annimmt.
b) AP = Y / L = AL1 / α −1 , MP = dY / dL = ( A / α ) L1 / α −1
ertragsgesetzlicher Verlauf für α > 1 , da dann Grenzproduktivität abnehmend
c) Kostengleichung: C = w ⋅ L (gibt die Kosten an, die bei einem Einsatz von L Einheiten
Arbeit und einem Lohnsatz vom w tatsächlich anfallen)
d) Kostenfunktion: L = (Y / A) α ⇒ C (Y ) = w ⋅ (Y / A) α (gibt die minimalen Kosten einer
Produktion von Y Outputeinheiten an)
- 31 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 30 (Kostenarten - Tutorium)
Gegeben ist folgende Kostenfunktion: c( y ) = y 2 + y + 1
Wie hoch sind die ...
a) variablen Kosten cv(y)?
b) Fixkosten cf(y)?
c) durchschnittlichen variablen Kosten AVC(y)?
d) durchschnittlichen Fixkosten AFC(y)?
e) durchschnittlichen Kosten AC(y)?
f) Grenzkosten MC(y)?
g) Zeichnen Sie die AVC(y), AC(y) und die MC(y) in ein Diagramm unter Angabe der
Schnittpunkte und Minima.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a)
b)
c)
d)
e)
cv(y) = y² + y
cf (y) = 1
AVC(y) = cv(y)/y = y + 1
AFC(y) = cf (y)/y = 1/y
AC(y) = c(y)/y = y + 1 + 1/y
∂c(y)
f) MC(y) =
= 2 y +1
∂y
g)
Schnittpunkte: MC(y1) = AC(y1)
⇒ 2y + 1 = y + 1 + 1/y ⇒ y = 1/y ⇒ y2 = 1
⇒ y1 = 1
MC(y2) = AVC(y2)
⇒ 2y + 1 = y + 1 ⇒ y2 = 0
AC(y3) = AVC(y3)
⇒ y + 1 + 1/y = y + 1⇒ 1/y ≠ 0
MC ′ = 2 ≠ 0
AVC ′ = 1 ≠ 0
1 !
AC ′ = 1 − 2 = 0 ⇒ y 2 = 1 ⇒ y = 1
y
2
AC ′′ = 3 > 0
y
⇒ AC(1) = 3 ⇒ Minimum bei (1; 3)
Minima:
- 32 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 31 (Faktornachfrage I - Tutorium)
Ein Unternehmen produziert ein Gut y mit der Produktionsfunktion y = x . Das
Unternehmen erzielt auf dem Markt einen Preis von p = 2 für dieses Gut und muß für den
Produktionsfaktor x eine Entlohung in Höhe von w = 0.2 pro Einheit entrichten.
a) Berechnen Sie die gewinnmaximale Faktoreinsatzmenge und den dabei erzielten Gewinn.
b) Erläutern Sie das Ergebnis der Gewinnmaximierung anhand einer geeigneten Grafik.
Erklären Sie dabei den Einfluß von Änderungen des Faktorpreises und des
Wertgrenzprodukts auf die Faktornachfrage.
c) Erklären Sie anhand der Zeichnung aus b) welche ökonomischen Kräfte dafür sorgen, daß
das Unternehmen nicht eine größere als die unter a) berechnete Menge des
Produktionsfaktors nachfragt?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Π ( x) = p ⋅ x − w ⋅ x = 2 x − 0.2 ⋅ x
dΠ ( x)
= x −1 / 2 − 0.2 = 0 ⇒ x −1 = 0.04 ⇒ x * = 25
dx
Π (25) = 2 25 − 0.2 ⋅ 25 = 10 − 5 = 5
b)
p
-
/1 2
/
2
x
w
x*
x
steigender Faktorpreis führt zu sinkender Faktornachfrage (w-Kurve nach oben)
steigendes Wertgrenzprodukt führt zu steigender Faktornachfrage (z.B. p steigt, womit
sich die Wertgrenzproduktskurve p ⋅ 12 x −1 / 2 nach oben verschiebt)
c) Aufgrund des sinkenden Wertgrenzprodukts liegt das Wertgrenzprodukt bei einer
größeren Menge als unter a) berechnet unterhalb des Faktorpreises, d.h. der zusätzliche
Faktoreinsatz ist mit höheren Zusatzkosten verbunden als er an Erlöszuwachs erbringt.
- 33 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 32 (Faktornachfrage II - Tutorium)
Ein Unternehmen arbeitet mit einer Produktionsfunktion y = x1 + x 2 . Die Faktorpreise w1
und w2 , sowie der Güterpreis p sind exogen gegeben.
a) Geben Sie die Faktornachfragefunktionen für die Produktionsfaktoren x1 und x 2 an.
Gehen Sie davon aus, daß das Unternehmen seinen Gewinn maximieren möchte.
b) Interpretieren Sie die Änderungen der Faktornachfragemengen, die sich als Konsequenz
von Änderungen der Güter- und Faktorpreise ergeben ökonomisch.
c) Welche Faktornachfragemenge ergeben sich und wie groß ist die produzierte Menge,
wenn die Preise mit p = 120, w1 = 2, w2 = 3 gegeben sind.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Π = p ( x1 + x 2 ) − w1 x1 − w2 x 2
 p 
2w
∂Π 1 −1 / 2

= 2 px1 − w1 = 0 ⇒ x1−1 / 2 = 1 ⇒ x1 = 
∂x1
p
 2 w1 
2
 p 
2 w2
∂Π 1 −1 / 2

= 2 px 2 − w2 = 0 ⇒ x 2−1 / 2 =
⇒ x 2 = 
∂x 2
p
 2 w2 
2
b) xi ↑, wenn p ↑ : steigender Güterpreis ist Anreiz mehr zu produzieren
xi ↓, wenn wi ↑ : steigender Faktorpreis erhöht die Kosten und senkt den Anreiz zur
Produktion
2
 120 
2
c) x1 = 
 = 30 = 900
 2⋅2
2
 120 
2
x2 = 
 = 20 = 400
 2⋅3
y = 900 + 400 = 30 + 20 = 50
- 34 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 33 (Faktornachfrage III - Übung)
Ein Produktionsprozeß ist mit einer Grenzproduktivitätsfunktion ∂y / ∂x1 = αx1α −1 x 2β für den
Produktionsfaktor x1 verbunden. Kurzfristig ist der Produktionsfaktor x 2 auf dem Niveau
x 2 = 16 fixiert. Die Güter- und Faktorpreise sind mit p = 1 , w1 = 5 und w2 = 3 gegeben.
Ferner gilt β = 0,5 .
Welche Menge an x1 wird eingesetzt, wenn der Gewinn maximiert werden soll und
a) α = 0,5
b) α = 1
c) α = 1,25
ist. Illustrieren Sie Ihre Argumentation für die 3 Fälle a), b) und c) jeweils anhand einer
geeigneten Zeichnung und denken Sie an die Bedeutung sinkender Grenzproduktivität.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Fall α = 0,5
pMP1 = w1 ⇔ 1 ⋅ 0,5 x1−0,5 ⋅ 4 = 5 ⇒ x1−0,5 = 5 / 2 ⇒ x1* = (2 / 5) 2 = 4 / 25
Fall sinkender Grenzerträge mit eindeutigem Gewinnmaximum
b) Fall α = 1
pMP1 = w1 ⇔ 1 ⋅ x10 ⋅ 4 = 5 ⇒ 4 = 5 Widerspruch!
Fall konstanter Grenzerträge ohne eindeutiges Gewinnmaximum
c) Fall α = 1.25
pMP1 = w1 ⇔ 1 ⋅ 1,25 x10, 25 ⋅ 4 = 5 ⇒ 5 x10, 25 = 5 ⇒ x1* = 1
Fall steigender Grenzerträge mit Schnittpunkt der Kurven, der jedoch kein
Gewinnmaximum darstellt
a = 0.5
a =1
a = 1.25
pMP 1
5.5
5.5
6
w1
5.0
w1
5.0
w1
5
4.5
4
4.5
4.0
pMP 1
4.0
3.5
3
3.5
3.0
2
0.0
0.5
1.0
x1
1.5
3.0
2.5
pMP 1
2.0
0.0
0.5
1.0
x1
- 35 -
1.5
2.0
0.0
0.5
1.0
x1
1.5
2.0
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 34 (Güterangebot - Übung)
Ein Unternehmer sieht sich folgender Kostenfunktion gegenüber:
1
c(y) = y 3 − y 2 + 5 y + 3
3
a) Leiten Sie daraus die kurzfristige inverse Angebotsfunktion ab.
b) Skizzieren Sie den Verlauf der MC(y), der AVC(y) und der AC(y). Markieren Sie in dem
Diagramm das langfristige Angebot des Unternehmens.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Voraussetzungen für das kurzfristige Angebot:
max π = py − c( y )
y
!
dπ
= p − MC ( y ) = 0
dy
⇒
p = MC ( y )
d 2π
= − MC ′( y ) < 0
dy 2
⇒
MC ′( y ) > 0
also:
b)
1. p = MC, 2. MC` > 0 3. MC > AVC
1. MC(y) = y 2 − 2 y + 5
p = y2 − 2y + 5
2. MC ′(y) = 2 y − 2
2y − 2 > 0
⇒
y >1
1
3. AVC(y) = y 2 − y + 5
3
3
2
1
1
⇒
y − 2 > y −1 ⇒ y > 1 ⇒ y >
y2 − 2y + 5 > y2 − y + 5
2
3
3
3
2
3
 y − 2 y + 5 für y > 2
⇒ p( y) = 
(kurzfristige inverse Angebotsfunktion)
0
sonst
1
3
AC(y) = y 2 − y + 5 +
3
y
- 36 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 35 (Angebot einer Industrie - Tutorium)
Auf dem Markt für Flugzeuge (y) konkurrieren zwei Anbieter. Die inverse Angebotsfunktion
des Unternehmens A lautet pA(yA) = 3yA + 100 und die des B pB(yB) = 2yB + 160.
Wie ist das aggregierte Angebot auf diesem Markt formal darzustellen, wie graphisch?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
A: yA = (pA-100)/3
B: yB = (pB-160)/2
1. p < 100 : kein Angebot
2. bis p=160 nur Unternehmen A ⇒ 160=3yA+100 ⇒ yA=20
3. Addition der Angebotskurven
p − 100 p − 160 2 p − 200 + 3 p − 480 5 p − 680
=
=
+
y=
6
6
2
3



0
für p ≤ 100
0
für y ≤ 0

 p − 100

, p(y) =  3 y + 100 für 0 < y ≤ 20
⇒ y(p) = 
für 100 < p ≤ 160
3
 6 y + 680

für y > 20

 5 p − 680
für p > 160
5
 6
6
p
SB
SA
SA + SB
160
100
y
- 37 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 36 (Budgetrestriktion - Tutorium)
Ein Haushalt mit einem Einkommen von 120 Geldeinheiten (GE) konsumiert 30 Einheiten
von Gut 1 und 15 Einheiten von Gut 2. Der Preis von Gut 1 beträgt 3 GE, der Preis von Gut 2
beträgt 2 GE. Die konjunkturelle Entwicklung bewirkt einen Anstieg des Einkommens um 20
GE, eine Preiserhöhung für Gut 1 um 1 GE und eine Preissenkung für Gut 2 um 20%.
a) Kann der Haushalt seine Konsumgewohnheiten beibehalten?
b) Verdeutlichen Sie diesen Sachverhalt graphisch.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) alte Situation:
y = p1x1 + p2x2
⇒ 120 = 3∙30 + 2∙15 = 120
neue Situation:
y = 140, p1 = 4, p2 = 1,6
⇒ 140 < 4∙30 + 1,6∙15 = 144
Der HH kann sich das bisherige Güterbündel nicht mehr leisten.
b)
x1
40
35
30
15
60
- 38 -
87,5
x2
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 37 (Indifferenzkurven - Tutorium)
a) Erklären Sie das in der mikroökonomischen Haushaltstheorie verwendete Konzept der
Indifferenzkurven.
b) Ein Konsument kann Güterbündel x = ( x1 , x2 ) konsumieren. Welche alternativen
Güterbündel x A = (5, 7), x B = (1, 7), x C = (3, 2) können bei Gültigkeit der
Nichtsättigungsannahme nicht auf derselben Indifferenzkurve liegen?
c) Berechnen Sie die Rate(n) der Substitution zwischen dem(den) Güterbündel(n) auf
der(den) Indifferenzkurve(n) der Teilaufgabe b).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Indifferenzkurve:
Verbindungslinie aller Güterbündel, die der Haushalt gleich bewertet, d.h. die ihm den
gleichen Nutzen stiften
b) x1A > x1B ∧ x1A = x1B ⇒ A und B liegen auf unterschiedlichen Indifferenzkurven
x1A > x1C ∧ x 2A > x 2C ⇒ A und C liegen auf unterschiedlichen Indifferenzkurven
c)
∆x 2 x 2B − x 2C 7 − 2
5
= B
=
= − = −2.5
C
∆x1 x1 − x1
1− 3
2
- 39 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 38 (Nutzenmaximierung I - Übung)
Ein Haushalt hat eine Nutzenfunktion u ( x1 , x 2 ) = x1 ⋅ x 2 und verfügt über ein Einkommen
y = 100 . Auf den Märkten für die beiden Güter x1 und x 2 ergibt sich der Preisvektor
( p1 , p 2 ) = (2, 2) .
a) Wie lautet der optimale Verbrauchsplan dieses Haushalts?
b) Welches maximale Nutzenniveau kann er realisieren?
c) Wie ändert sich dieses maximale Nutzenniveau wenn p1 auf 3 steigt?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Zielfunktion: Nutzenmaximierung
max u = x1 ⋅ x 2
x1 , x2
NB
y = p1 x1 + p 2 x 2
Budgetbeschränkung
100 = 2 x1 + 2 x 2
L = x10,5 x 20,5 + λ(100 − 2 x1 − 2 x 2 )
!
∂L

= 0,5 x1−0,5 x 20,5 − 2 λ = 0 
x1−0,5 x 20,5
x
∂x1

⇒
= 1 ⇒ 2 = 1 ⇒ x1 = x 2

!
0
,
5
0
,
5
−
∂L
x1
x1 x 2
= 0,5 x10,5 x 2−0,5 − 2 λ = 0

∂x 2
!
∂L
= 100 − 2 x1 − 2 x 2 = 0 ⇒ 100 − 4 x1 = 0 ⇒ x1 = 25 = x 2
∂λ
b) u * (25;25) = 25
c) Es muss sinken, da nun weniger x1 konsumiert werden kann.
max u = x1 ⋅ x 2
x1 , x2
NB
y = p1 x1 + p 2 x 2
Budgetbeschränkung
100 = 3x1 + 2 x 2
L = x10,5 x 20,5 + λ(100 − 3x1 − 2 x 2 )
!
∂L

= 0,5 x1−0,5 x 20,5 − 3λ = 0 
x1−0,5 x 20,5 3
x
3
2
∂x1

⇒ 0,5 −0,5 = ⇒ 2 = ⇒ x1 = x 2
! 
∂L
x1 2
2
3
x1 x 2
= 0,5 x10,5 x 2−0,5 − 2 λ = 0
∂x 2

!
∂L
= 100 − 3x1 − 2 x 2 = 0
∂λ
2
50
⇒ 100 − 3 * x 2 − 2 x 2 = 0 ⇒ x 2 = 25 ; x1 =
≈ 16,66
3
3
⇒ u * (16,66; 25) ≈ 20,41
- 40 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 39 (Nutzenmaximierung II - Tutorium)
Es besteht die gleiche Situation wie in der vorherigen Aufgabe. Die Präferenzen des
Haushalts werden nun jedoch durch die Nutzenfunktion u~(x1 ,x2 ) = 2 ⋅ (ln x1 + ln x2 )
repräsentiert. Wie verändert sich der optimale Verbrauchsplan dieses Haushalts?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
Es werden die gleichen Gütermengen konsumiert wie in der vorigen Aufgabe, da es sich
hierbei um eine monotone Transformation der obigen Nutzenfunktion handelt. Der Nutzen
wird lediglich ordinal gemessen (und nicht kardinal wie die Produktionsfunktion).
4 ⋅ ln(u ) = 4 ⋅ ln( x10,5 x 20,5 ) = 4 ⋅ (0,5 ⋅ ln( x1 ) + 0,5 ⋅ ln( x 2 )) = 2 ⋅ ln( x1 ) + 2 ⋅ ln( x 2 ) = u~
über Lagrange:
L = 4(0,5 ln x1 + 0,5 ln x 2 ) + λ(100 − 2 x1 − 2 x 2 )
!
∂L
2

= − 2λ = 0 
1
1
∂x1 x1

⇒λ=
=
⇒ x1 = x 2 ⇒ ...
! 
∂L
2
x
x
1
2
=
− 2 λ = 0

∂x 2 x 2
- 41 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 40 (Indifferenzkurve und Preisverhältnis - Tutorium)
Ein Haushalt hat eine Nutzenfunktion u ( x1 , x 2 ) = x1 x 2 und verfügt über ein Einkommen von
200 Geldeinheiten. Die Güterpreise sind mit p1 = 4 und p 2 = 2 gegeben. Der Haushalt
konsumiert 40 Einheiten von Gut 1 und 20 Einheiten von Gut 2.
a)
b)
c)
d)
Kann sich der Haushalt das Güterbündel (40, 20) leisten?
Geben Sie eine ökonomische Begründung für die Tatsache, daß dieser Haushalt mit dem
Güterbündel (40, 20) sein Nutzenmaximum nicht erreicht?
Begründen Sie ökonomisch, in welche Richtung (im Sinne von weniger oder mehr) der
Haushalt seine Konsummengen für die beiden Gütern ändern müßte, um sich dem
Nutzenmaximum anzunähern?
Zeigen Sie, daß die Bewegung um eine Einheit in dieser Richtung tatsächlich zu einer
Erhöhung des Nutzenniveaus führt.
Hinweis: ein Einsatz des Lagrange-Verfahrens ist nicht notwendig.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a)
b)
ja, da y = 4 ⋅ 40 + 2 ⋅ 20 = 160 + 40 = 200
dx1 ∂u / ∂x 2 x1 40
p
2
=
=
= 2 ≠ 2 = = 0. 5
=
dx 2 ∂u / ∂x1 x 2 20
p1 4
Die gewünschte Tauschrelation GRS stimmt nicht mit der Markttauschrelation p2/p1, die
die Steigung der Budgetgeraden determiniert, überein. Daher kann kein Nutzenmaximum
vorliegen.
GRS = −
c)
Der Haushalt möchte (nach GRS) zwei Einheiten von Gut 1 gegen eine Einheit von Gut 2
eintauschen ( − dx1 = 2 ⋅ dx 2 ). Die gegebenen Marktpreise erlauben dagegen einen Tausch
von einer Einheit von Gut 1 gegen zwei Einheiten von Gut 2, da p1 = 2 ⋅ p 2 . Somit ist es
vorteilhaft für den Haushalt, weniger von Gut 1 und dafür mehr von Gut 2 zu
konsumieren.
d)
x1 = 40 − 1 = 39 ⇒ 2 x 2 = 200 − 4 ⋅ 39 ⇒ x 2 = 44 / 2 = 22
u (39,22) = 39 ⋅ 22 = 858 > u (40,20) = 40 ⋅ 20 = 800
- 42 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 41 (Güterarten - Tutorium)
In der Ausgangssituation konsumiert ein Haushalt 10 Einheiten Kartoffeln (pK = 2) und gibt
den Rest seines verfügbaren Einkommens in Höhe von m = 30 für Fleisch (pF = 5) aus.
a) In einem neuen Job erhält er nun ein Einkommen von m = 50 und Sie beobachten einen
Konsum von xK = 8 und xF = 6,8. Welche Aussage können Sie über die Eigenschaften der
beiden Güter für den Haushalt treffen?
b) Nun verändert sich nicht das Einkommen im Vergleich zur Ausgangssituation, sondern
der Preis der Kartoffeln. Dieser sinkt auf pK = 1. Wie könnte sich die
Konsumentscheidung des Haushaltes verändern, falls es sich bei Kartoffeln um ein
Giffen-Gut handelt?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
Budgetgleichung: 30 = 2 ⋅10 + 5 ⋅ x F ⇒ xF = 2
a)
∆xk − 2
=
= −0,1 < 0 ⇒ Kartoffeln sind ein inferiores Gut
∆m 20
∆xF 4,8
=
= 0,24 > 0 ⇒ Fleisch ist ein normales Gut
∆m 20
b) Der Konsum von Kartoffeln müsste zurückgehen und der Konsum von Fleisch steigen.
xF
6
2
10
15
30
- 43 -
xK
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 42 (Einkommens- und Substitutionseffekt - Übung)
a) Eine Preisänderung bei einem Gut wirkt über zwei Effekte auf die veränderte
Konsumentscheidung, den Einkommens- und den Substitutionseffekt. Erklären Sie die
beiden Effekte.
b) Ein Haushalt konsumiert in Periode 1 das Güterbündel E1. Nach einer Preissenkung bei
Gut 1 wird das neue Güterbündel E2 konsumiert. Ergänzen Sie die Abbildung, so dass
man den veränderten Konsum von Gut 1 in einen Einkommens- und einen
Substitutionseffekt unterscheiden kann. Folgen Sie in Ihrer Darstellung der
Argumentation von Slutsky.
x2
E2
E1
0
x1
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Als Einkommenseffekt wird in der Mikroökonomie die Nachfrageänderung nach einem
Gut bezeichnet, die infolge einer Änderung des (realen) Einkommens eintritt.
Als Substitutionseffekt wird in der Mikroökonomie die Nachfrageänderung nach einem
Gut bezeichnet, die sich infolge einer Änderung der relativen Preise (d.h. des
Preisverhältnisses) ergibt.
b)
x2
Slutsky:
Kaufkraft konstant, d.h.
Hilfsbudgetgerade durch E1
E2
E1
~
E
0
Substituionseffekt
x1
Einkommenseffekt
- 44 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 43 (Engel-Kurven - Übung)
Ein Haushalt bewertet die Gütermengen x1 und x 2 anhand der Nutzenfunktion
u ( x1 , x 2 ) = x1α x 2β . Er verfügt über ein Einkommen in Höhe y und ist mit Preisen
p1 = 1 und p 2 = 2 konfrontiert.
a) Leiten Sie die Engel-Kurven (Einkommens-Konsum-Kurven) für die Güter x1 und x 2 ab.
[Hinweis: Lagrangefunktion aufstellen, Bedingungen 1. Ordnung ableiten und beachten,
dass y hier variabel ist.]
b) Interpretieren Sie den Verlauf der Engel-Kurven bei Variation der Parameter α und β
(ceteris paribus).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) L = x1α x 2β + λ( y − x1 − 2 x 2 )
∂L

= αx1α −1 x 2β − λ = 0 
α x2 1
β
∂x1

⇒
= ⇒ x2 =
x1

∂L
α β −1
β
x
2
2
α
1

= βx1 x 2 − 2 λ = 0

∂x 2
β
β
∂L

= y − x1 − 2 x 2 = 0
⇒ y = x1 + x1 = 1 +  x1
α
∂λ
 α
β
α
y (Engel-Kurven)
⇒ x1 =
y , x2 =
α+ β
2(α + β )
b) Engel-Kurve von x1 wird steiler, wenn α steigt (Gewicht von x1 in der Nutzenfunktion)
und flacher, wenn β steigt (Gewicht des anderen Gutes, x 2 , in der Nutzenfunktion).
Interpretation von x 2 analog.
- 45 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 44 (Elastizitäten - Übung)
Die Nachfragefunktion eines Haushalts lautet x1 =
mp2
. Berechnen Sie die
p1
a) Preiselastizität der Nachfrage
b) Kreuzpreiselastizität
c) Einkommenselastizität
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
⇒
x1 = m 0,5 p1
a) ε x1 , p1 = −
−0 , 5
p2
0,5
∂x1 p1
−1, 5
0 , 5 p1
= −(−0,5)m 0,5 p1 p2
= 0,5
∂p1 x1
x1
b) ε x1 , p2 =
∂x1 p2
−0 , 5 p 2
−0 , 5
= 0,5m 0,5 p1 p2
= 0,5
∂p2 x1
x1
c) ε x1 ,m =
∂x1 m
−0 , 5
0,5 m
= 0,5m −0,5 p1 p2
= 0,5
x1
∂m x1
- 46 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 45 (Haushaltsnachfrage - Tutorium)
Aus den Präferenzen eines Haushalts ergibt sich die Grenzrate der Substitution
dx
∂u / ∂x1 3 x 2
.
=
− 2 =
dx1 ∂u / ∂x 2 4 x1
Der Haushalt verfügt über ein Einkommen von y und findet die Preise p1 und p2 vor.
a) Leiten Sie die Güternachfragefunktion dieses Haushaltes nach dem Gut 1 ab.
b) Berechnen Sie die Preiselastizität und Einkommenselastizität der Nachfrage nach Gut 1.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a)
3x2
p
4 p1
x1
= 1 ⇒ x2 =
4 x1 p 2
3 p2
 4 p1  7
in Budgetrestriktion: y = p1 x1 + p 2 x 2 = p1 x1 + p 2 
x1  = 3 p1 x1
 3 p2 
3 y
Nachfragefunktion: x1 =
7 p1
∂x1 p1 3 y p1
=
=1
∂p1 x1 7 p12 3 y
7 p1
∂x y
3
y
Einkommenselastizität der Nachfrage: ε x1 y = 1
=1
=
∂y x1 7 p1 3 y
7 p1
b) Preiselastizität der Nachfrage: ε x1 p1 = −
- 47 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 46 (Arbeitsangebot I - Übung)
Ein Konsument (A) würde gerne möglichst viel konsumieren ohne viel Zeit mit Arbeit
vergeuden zu müssen (u = u(C, R) mit C als Konsum und R als Freizeit). Diesem Wunsch
stehen jedoch seine Budgetrestriktion, wie auch die Zeitrestriktion entgegen.
a) Wie lautet die Budgetrestriktion bei einem Stundenlohn von w = 10 und einem
Einkommen aus Vermögen von M = 20?
b) Wie lautet die Zeitrestriktion unter der Annahme eines minimalen Schlafbedürfnisses von
täglich acht Stunden?
c) Angenommen u (C , R) = C ⋅ R , und der Preis des Konsums ist 1. Wie lautet das optimale
Arbeitsangebot von A?
d) Wie verändert sich diese Entscheidung falls sein Einkommen aus Vermögen um 10 GE
steigt?
e) Der Arbeitgeber ist mit der Arbeit von A sehr zufrieden und wünscht sich daher eine
Ausweitung der Arbeitszeit auf das alte Niveau (Ergebnis aus c). Welchen Lohnsatz
müsste er bezahlen, damit A einwilligt?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) wL + M = pC
⇒
10 ⋅ L + 20 = pC
b) L = L + R , 16 = L + R
c) max u(C,R) = C ⋅ R
C, R
NB 10 ⋅ (16 − R) + 20 = C
max u~(R) = ( 10 ⋅ ( 16 − R) + 20 ) ⋅ R = ( 160 − 10 ⋅ R + 20 ) ⋅ R = 180 ⋅ R − 10 ⋅ R 2
R
!
du~(R)
= 180 − 20 ⋅ R = 0
⇒R=9
⇒ L = 16 − R = 7
dR
d) max u~(R) = ( 10 ⋅ ( 16 − R) + 30 ) ⋅ R = ( 160 − 10 ⋅ R + 30 ) ⋅ R = 190 ⋅ R − 10 ⋅ R 2
R
!
du~(R)
= 190 − 20 ⋅ R = 0 ⇒ R = 9 ,5 ⇒ L = 16 − R = 6 ,5
dR
e)
max uˆ(R,w) = (w ⋅ ( 16 − R) + 30 ) ⋅ R = ( 16w − w ⋅ R + 30 ) ⋅ R = 16w ⋅ R − w ⋅ R 2 + 30 ⋅ R
R
!
∂uˆ(R,w)
= 16 w − 2 w ⋅ R + 30 = 0
∂R
(Einsetzen von R = 9 (aus c))
⇒ 16 w − 18w = −30 ⇒ w(16 − 18) = −30 ⇒ w =
- 48 -
− 30
= 15
−2
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 47 (Arbeitsangebot II - Tutorium)
Gegeben ist ein nutzenmaximierender Haushalt, der über seinen Konsum C und sein
Arbeitsangebot L (in Stunden pro Tag) entscheiden muß. Die Nutzenfunktion ist durch
u (C , R) = C ⋅ R gegeben, wobei R für Anzahl der Freizeitstunden pro Tag steht. Insgesamt
stehen 16 Stunden pro Tag entweder für die Arbeit oder für Freizeitaktivitäten zur Verfügung.
Weiterhin beträgt der Lohnsatz 5 Geldeinheiten pro geleistete Arbeitsstunde und der Haushalt
verfügt über ein Vermögen von 20 Geldeinheiten. Der Preis des Konsums beträgt 1
Geldeinheit.
a) Berechnen Sie die nutzenmaximalen Werte von C und L für diesen Haushalt.
b) Gehen Sie nun von einem Workaholic-Haushalt aus, für den ∂u (C , R) / ∂R < 0 bzw.
∂u (C , L) / ∂L > 0 gilt. Wie lauten C und L in diesem Fall?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Ansatz: max u (C , R) = C ⋅ R , NB: R + L = 16 , C = 5 L + 20
{C , R}
Lagrange: Λ = C ⋅ 16 − L + λ(5 L + 20 − C )
∂Λ / ∂C = 12 C −1 / 2 ⋅ (16 − L)1 / 2 − λ = 0
(i)
∂Λ / ∂L = − 12 (16 − L) −1 / 2 ⋅ C 1 / 2 + 5λ = 0 (ii)
∂Λ / ∂λ = 5 L + 20 − C = 0
(i) = (ii)
in (iii)
in (iii)
(iii)
: 12 C −1 / 2 ⋅ (16 − L)1 / 2 = 101 (16 − L) −1 / 2 ⋅ C 1 / 2 ⇔ 5 ⋅ (16 − L) = C
: 5 ⋅ (16 − L) = C = 5 L + 20 ⇔ 80 − 5 L = 5 L + 20 ⇔ 10 L = 60 ⇔ L = 6
: C = 5 L + 20 = 5 ⋅ 6 + 20 = 50
direktes Einsetzen in die Nutzenfunktion:
u (5 L + 20,16 − L) = (5 L + 20) ⋅ (16 − L) = 80 L − 5 L2 + 320 − 20 L = 320 + 60 L − 5 L2
d 320 + 60 L − 5 L2 1
60 − 10 L
= ⋅
= 0 ⇒ L = 6 , C = 5 ⋅ 6 + 20 = 50
dL
2 320 + 60 L − 5 L2
b) weniger R und daher mehr L steigert den Nutzen
⇒ Mehreinsatz von L bis Zeitrestriktion R + L = 16 bindet ⇒ L = 16
⇒ C durch Budgetrestriktion C = 5 L + 20 bestimmt ⇒ C = 100
- 49 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 48 (Intertemporale Konsumentscheidung - Übung)
Die intertemporale Nutzenfunktion eines repräsentativen Haushaltes mit Konsum C 0 heute
und Konsum C1 morgen lautet:
 0,408 
 ln C1
u = u (C0 , C1 ) = 0,4 ln C0 + 
 1+ ρ 
Der Haushalt hat heute ein Einkommen von 200 und morgen ebenfalls ein Einkommen von
200. Die Zeitpräferenzrate ist 0,02 und der Marktzinssatz beträgt 0,05.
a) Stellen Sie die intertemporale Budgetbeschränkung des Haushaltes auf!
b) Geben Sie die optimale Konsumplanung (C 0* , C1* ) des Haushaltes an (alle Zwischen- und
Endergebnisse auf 2 Nachkommastellen runden)!
c) Interpretieren Sie die Ergebnisse aus b) ökonomisch!
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) C 0 (1 + r ) + C1 = m0 (1 + r ) + m1
1,05 ⋅ C 0 + C1 = 410
1
C 0 = 390,48 −
C1
1,05
1


b) L = 0,4 ln C 0 + 0,4 ln C1 + λ C 0 − 390,48 +
C1 
1,05 

∂L
0,4
=
+λ=0
∂C 0 C 0
C
1
∂L 0,4
1
⇒
= 0 ⇒ C 0 ≈ 0,95 ⋅ C1
=
λ=0
+
1,05 C1
∂C1 C1 1,05
∂L
1
1
= C 0 − 390,48 +
C1 = 0
⇒ 0,95 ⋅ C1 +
C1 = 390,48
∂λ
1,05
1,05
C1 = 205,26
C 0 = 195
c) Der Haushalt spart einen Teil eines Einkommens heute und hat daher morgen mehr zur
Verfügung. Er konsumiert lieber morgen als heute, da der Zinssatz größer ist als die
Zeitpräferenzrate.
- 50 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 49 (Elastizitäten I - Übung)
Gegeben sind eine lineare Angebotsfunktion
Nachfragefunktion p N ( x N ) = 60 − x N .
a)
b)
c)
d)
p A ( x A ) = 5x A
und
eine
lineare
Wie groß ist die Preiselastizität des Angebots im Marktgleichgewicht?
Wie groß ist die Preiselastizität der Nachfrage im Marktgleichgewicht?
Interpretieren Sie die Preiselastizität der Nachfrage ökonomisch.
Wie wirkt sich technologischer Fortschritt bei der Produktion dieses Gutes auf die
Preiselastizität der Nachfrage im neuen Marktgleichgewicht aus (im Sinne von steigen,
konstant bleiben oder abnehmen)?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
Marktgleichgewicht: p A ( x) = p N ( x) ⇔ 5 x = 60 − x ⇒ x * = 10 ⇒ p * = 50
dx A p *
50
a) ε =
⋅ * = 0.2 ⋅
=1
dp A x
10
*
A
b) ε *N = −
dx N p *
50
⋅ * = 1⋅
=5
dp N x
10
c) 1%-ige Preiserhöhung (-senkung) bewirkt eine 5%-ige Nachfragemengensenkung
(-erhöhung)
d) TF verschiebt und/oder dreht die Angebotsfunktion
⇒ neues Marktgleichgewicht mit x = ~
x > x * und p = ~
p < p*
⇒ Preiselastizität der Nachfrage im neuen Marktgleichgewicht sinkt eindeutig:
~
~
dx
dx
dx N
p
p*
p p*
~
ε N = − N ⋅ ~ < ε *N = − N ⋅ * , da
konstant und ~ < *
dp N x
dp N x
dp N
x x
- 51 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 50 (Elastizitäten II - Übung)
Gegeben ist eine lineare Nachfragefunktion x( p) = a − bp , a, b > 0 , wobei p den Preis und x
die nachgefragte Menge eines Gutes symbolisieren.
a) Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage in Abhängigkeit von x.
b) Wie verändert sich die Preiselastizität der Nachfrage, wenn die auf dem Markt umgesetzte
Menge von 0 ausgehend ansteigt?
c) Zeichnen und interpretieren Sie eine über ihren gesamten Wertebereich vollkommen
elastische und eine über ihren gesamten Wertebereich vollkommen unelastische
Nachfragefunktion jeweils in ein eigenes Preis-Mengen-Diagramm.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) ε ( x) = −
dx p
a/b − x/b a − x
=b
=
dp x
x
x
b) Die Preiselastizität der Nachfrage sinkt von einem Wert von ε (0) = a / 0 = ∞ bei der
Menge x = 0 bis auf einen Wert von ε (a ) = (a − a ) / a = 0 bei der Sättigungsmenge a.
c) vollkommen elastisch:
Zeichnung als horizontale Gerade im Preis-Mengen-Diagramm
⇒ unendliche Mengenreaktion auf eine (infinitesimale) Preisänderung
vollkommen unelastisch:
Zeichnung als vertikale Gerade im Preis-Mengen-Diagramm
⇒ keine Mengenreaktion auf eine (infinitesimale) Preisänderung
- 52 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 51 (Marktgleichgewicht und Monopol I - Übung)
Das aggregierte Angebot auf einem Markt mit vollständiger Konkurrenz ist durch die
Gleichung p ( x A ) = 100 + x A gegeben. Die Nachfrage kann durch p ( x N ) = 1000 − 0,5 ⋅ x N
beschrieben werden.
a) Welcher Preis und welche Menge werden sich auf diesem Markt im Gleichgewicht
einstellen?
b) Angenommen das Angebot wird von einem einzelnen Unternehmen produziert. Welchen
Preis wird dieses verlangen um seinen Gewinn zu maximieren?
c) Berechnen Sie den Lerner-Index.
d) Berechnen Sie die Konsumenten- und die Produzentenrente jeweils für die Teilaufgaben
a) und b). Welche der beiden Lösungen ist gesamtwirtschaftlich vorteilhaft?
Veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis auch graphisch.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Angebot = Nachfrage
100 + x A = 1000 − 0,5 ⋅ x N
1,5 x = 900
⇒ x = 600
b)
x = x A = xN
⇒ p = 700
∂c
= 100 + x (Angebotsfunktion = MC ( x))
∂x
max π = p ( x) x − c( x) = 1000 x − 0,5 x 2 − c( x)
x
∂π
∂c !
= 1000 − x − = 0 ⇒ 1000
−x = 100

+x ⇒ x = 450; p = 775

∂x
∂x
MR
MC
∂c
∂x = 775 − 550 = 0,29
c) L =
p( x)
775
alternativ:
1
1
L=
=
= 0,29
ε xN , p 3,444
p( x) −
∂x N p
775
= 2⋅
= 3,444
∂p x
450
x N ( p ) = 2000 − 2 p
ε xN , p = −
NR :
∂x N
= −2
∂p
KR = 12 ⋅ 300 ⋅ 600 = 90000 
d) zu a)
 ⇒ KR + PR = 270000
PR = 12 ⋅ 600 ⋅ 600 = 180000
- 53 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
zu b)
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog

KR = 12 ⋅ 225 ⋅ 450 = 50625
 ⇒ KR + PR = 253125
1
PR = 2 ⋅ 450 ⋅ 450 + 450 ⋅ 225 = 202500
Beachte: Bei linearen Nachfragekurven (D)
verläuft die Grenzertragskurve (MR) immer
doppelt so steil wie die Nachfrage.
MR
MC
P
1000
MC
⇒ Steigung von D = -b
2
∂ ( p ( x ) ⋅ x ) ∂ ( ax − bx )
MR =
= a − 2bx
=
∂x
∂x
⇒ Steigung von MR = -2b
p(x) = a-bx
775
700
550
D = p(xN)
100
MR
450
x
600
- 54 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 52 (Marktgleichgewicht und Monopol II - Tutorium)
Beantworten Sie nun die vorangegangene Aufgabe unter der Annahme, dass die Nachfrage
durch p( x N ) = 1000 − 2 ⋅ x N gegeben ist.
a) Welcher Preis und welche Menge werden sich auf diesem Markt im Gleichgewicht
einstellen?
b) Angenommen das Angebot wird von einem einzelnen Unternehmen produziert. Welchen
Preis wird dieses verlangen um seinen Gewinn zu maximieren?
c) Berechnen Sie den Lerner-Index.
d) Berechnen Sie die Konsumenten- und die Produzentenrente jeweils für die Teilaufgaben
a) und b). Welche der beiden Lösungen ist gesamtwirtschaftlich vorteilhaft?
Veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis auch graphisch.
e) Wie unterscheidet sich die neue Situation insbesondere bezüglich des Grades der
Monopolmacht?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Angebot = Nachfrage
100 + x A = 1000 − 2 ⋅ x N
3 x = 900
⇒ x = 300
b)
x = x A = xN
⇒ p = 400
dc
(aus Angebotsfunktion)
= 100 + x
dx
max π = p(x)x − c(x) = 1000 ⋅ x − 2 x 2 − c( x)
x
dπ
dc
=1000 − 4 x − = 0 ⇒1000 − 4 x =100 + x ⇒ x =180
dx
dx
!
⇒ p = 640
dc
dx = 640 − 280 = 0,5625
c) L =
p( x)
640
dx p
640
= 1,777
ε x N , p = − N = 0,5 ⋅
180
dp x
p( x) −
d)
zu a)
KR = 12 ⋅ 300 ⋅ 600 = 90000
 ⇒ KR + PR = 135000
PR = 12 ⋅ 300 ⋅ 300 = 45000 
zu b)

KR = 12 ⋅ 360 ⋅ 180 = 32400
 ⇒ KR + PR = 113400
PR = 12 ⋅ 180 ⋅ 180 + 180 ⋅ 360 = 81000
- 55 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
MR
MC
P
1000
MC
640
400
280
100
p(xN)
MR
180
x
300
e) Verglichen werden die Werte des Lerner-Index. Im ersten Fall ist die Monopolstellung
weniger ausgeprägt als im zweiten. Der Grund hierfür liegt in der Preiselastizität der
Nachfrage. Diese ist in Aufgabe 1 absolut größer als in Aufgabe 2. Bei relativ unelastischer
Nachfrage (Aufgabe 2) reduziert sich die nachgefragte Menge nicht so stark als Reaktion auf
einen höheren Preis und somit kann der Monopolist den Preis relativ höher setzen um seinen
Gewinn zu maximieren.
- 56 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 53 (Monopol bei isoelastischer Nachfrage - Tutorium)
Ein Monopolist ist mit einer isoelastischen Nachfragefunktion p = x −1 / ε , ε > 0 konfrontiert
und produziert mit konstanten Grenzkosten MC = 1 .
a) Berechnen Sie Preis und Menge in Abhängigkeit von ε.
b) In welchem Wertebereich von ε liegt das Gewinnmaximum?
c) Interpretieren Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe b).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Π ( x) = px − 1 ⋅ x = x 1−1 / ε − x
dΠ ( x)
= (1 − 1 / ε ) x −1 / ε − 1 = 0 ⇒ x −1 / ε = 1 /(1 − 1 / ε ) ⇒ x = (1 − 1 / ε ) ε ⇒ p = 1 /(1 − 1 / ε )
dx
b)
d 2 Π ( x)
= −(1 / ε )(1 − 1 / ε ) x −1−1 / ε < 0 ⇔ (1 / ε )(1 − 1 / ε ) x −1−1 / ε > 0
2
dx
⇔ (1 − 1 / ε ) x −1−1 / ε > 0 (da ε > 0 )
(da x > 0 )
⇔ 1 − 1/ ε > 0
⇔ ε >1
− ε −1
dx p
⋅ p / p − ε = ε ).
c) ε ist die Preiselastizität der Nachfrage ( x = p − ε ⇒ − dp
x = εp
Diese muß für ein Gewinnmaximum im elastischen Wertebereich liegen.
- 57 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 54 (Preisdiskriminierung - Übung)
Ein Monopolist betreibe Preisdiskriminierung 3. Grades auf zwei gut segmentierten Märkten
mit den folgenden inversen Nachfragefunktionen: p1 ( x1 ) = 18 − 2 ⋅ x1 und p2 ( x2 ) = 10 − 12 ⋅ x2 .
Die Kostenfunktion laute c( x) = 50 + 2 ⋅ x
a) Berechnen Sie Preise und Elastizitäten (ε x ,p ) auf den beiden Teilmärkten sowie den
Gewinn des Monopolisten.
b) Welche Beziehung besteht zwischen den Preisen auf den einzelnen Teilmärkten und den
dortigen Elastizitäten?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Bedingung für Gewinnmaximum als bekannt vorausgesetzt:
MR = MC
(Grenzerlös=Grenzkosten)
!
∂ ( p1 ( x1 ) ⋅ x1 ) ∂ (18 x1 − 2 ⋅ x12 )
MR( x1 ) =
=
= 18 − 4 x1 = 2
∂x1
∂x1
⇒ x1 = 4
MR( x2 ) =
= MC ( x1 + x2 )
p1 = 10
!
∂ ( p2 ( x2 ) ⋅ x2 ) ∂ (10 x2 − 12 ⋅ x22 )
=
= 10 − x2 = 2 = MC ( x1 + x2 )
∂x2
∂x2
⇒ x2 = 8
p2 = 6
⇒ π = p1 x1 + p2 x2 − c( x1 + x2 ) = 40 + 48 − 74 = 14
∂x1 p1 1 10
= 2 ⋅ = 1,25
4
∂p1 x1
6
∂x p
= − 2 2 = 2 ⋅ = 1,5
8
∂p2 x2
ε x1 , p1 = −
ε x2 , p2
b) Inverse Beziehung zwischen Preisen und Elastizitäten: Je höher die Elastizität auf einem
Teilmarkt, desto geringer der Preis .
- 58 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 55 (Spieltheorie - Tutorium)
a) Die Spieler A und B stehen sich in einem strategischen Spiel gegenüber. Erklären Sie
hierin die Begriffe Strategie und Auszahlung
b) Untersuchen Sie das folgende alternative Spiel nach Gleichgewichten und charakterisieren
Sie diese.
B
Links
Rechts
Oben
3 , 4
0 , 1
A
Unten
4 , 3
1 , 2
c) Untersuchen Sie, ob für folgendes Spiel Gleichgewichte existieren und charakterisieren
Sie diese.
B
Links
Rechts
Oben
3 , 4
0 , 0
A
Unten
0 , 0
4 , 3
d) Welche Gleichgewichte finden Sie für das nachfolgende Spiel?
B
Links
Rechts
Oben
-4 , -3
-1 , -9
A
Unten
-9 , -1
-2 , -2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Strategie = Handlungsalternative
Auszahlung = Belohnung oder Bestrafung in Abhängigkeit der eigenen Strategiewahl und
der Strategiewahl der Gegenspieler
b) 1 Gleichgewicht in dominanten Strategien: {links,unten}
c) 2 Nash-Gleichgewichte: {links,oben} und {rechts,unten}
d) 1 Gleichgewicht in dominanten Strategien: {oben,links} [pareto-ineffizient]
- 59 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 56 (Duopol mit linearen Kostenfunktionen - Übung)
Gegeben ist eine Industrie, die aus zwei Unternehmen 1 und 2 besteht, deren Technologie
durch die linearen Kostenfunktionen Ci ( xi ) = 10 xi (i = 1,2) beschrieben wird. Die
Marktnachfrage sei p = 300 − 10( x1 + x2 ) .
a) Ermitteln Sie für das Cournot-Duopol das Marktgleichgewicht (Preis und Menge), die
individuellen Angebotsmengen und Gewinne der beiden Unternehmen, Produzenten- und
Konsumentenrente sowie die Wohlfahrt.
b) Vergleichen Sie die in Teilaufgabe a) ermittelten Größen mit den entsprechenden Werten,
die sich bei vollständiger Konkurrenz und im Monopol-Fall ergeben würden.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) Cournot-Duopol:
= 29/3
x1
x2
= 29/3
x
= 58/3
H
= 1/2
p
= 320/3
Π1
= 8410/9
Π2
= 8410/9
Π
= 16820/9
KR
= 16820/9
PR
= 16820/9
W
= 33640/9
(Menge U1)
(Menge U2)
(Marktmenge)
(Herfindahl-Index)
(Marktpreis)
(Gewinn U1)
(Gewinn U2)
(Gesamtgewinn)
(Konsumentenrente)
(Produzentenrente)
(Wohlfahrt)
b) Vollständige Konkurrenz:
x
= 29
p
= 10
Π
= 0
KR
= 4205
PR
= 0
W
= 4205
(Marktmenge)
(Marktpreis)
(Gesamtgewinn)
(Konsumentenrente)
(Produzentenrente)
(Wohlfahrt)
Monopol:
x
p
Π
KR
PR
W
=
=
=
=
=
=
29/2
155
4205/2
4205/4
4205/2
12615/4
(Marktmenge)
(Marktpreis)
(Gesamtgewinn)
(Konsumentenrente)
(Produzentenrente)
(Wohlfahrt)
- 60 -
Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner
Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog
Aufgabe 57 (Duopol - Tutorium)
Auf dem Markt für das homogene Gut y produzieren zwei symmetrische Unternehmen A und
B. Wenn beide ihren Gewinn maximieren ist die angebotene Menge des Unternehmens A nur
noch abhängig von der Produktion des B:
20 − 2 y B
yA =
4
a) Wie lautet die Reaktionsfunktion von Unternehmen B?
b) Welche Mengen setzen die Unternehmen im Gleichgewicht jeweils auf dem Markt ab?
c) Zeichnen Sie die beiden Reaktionsfunktionen in ein y A / y B -Diagramm und interpretieren
Sie den Schnittpunkt der beiden Kurven ökonomisch.
d) Wie wirkt sich eine Kostensteigerung von Unternehmen B auf das Gleichgewicht aus?
Identifizieren Sie mögliche neue Gleichgewichte und markieren Sie diese in der unter c)
erstellten Zeichnung.
[Hinweis: Achten Sie darauf, daß aus Ihrer Zeichnung die Koordinaten aller Achsenabstände
und Schnittpunkte eindeutig hervorgehen.]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:
a) y B =
20 − 2 y A
(da symmetrisch)
4
b) y A =
20 − 2 y A
⇒ 4 y A = 20 − 2 y A ⇒ 6 y A = 20 ⇒ y A = 20 ≈ 3,33 ⇒ y B = 20 ≈ 3,33
6
6
4
c) Erklärung: stabiles Gleichgewicht (Nash), kein Unternehmen hat einen Anreiz die eigenen
Mengen zu verändern.
yA
1
0
R
F
B
5
1
0
/
3
R
A
F
yB
0
0
1
0 5
/
3
1
0
d) Marktanteil von A steigt; fett eingezeichneter Bereich auf RFA.
- 61 -