10. Vorlesung

Quantenmechanik I
Sommersemester 2013
QM Web–Page
http://einrichtungen.physik.tu-muenchen.de/T30e/
teaching/ss13/qm1.d.html
Hinweise
☞ Am Ende der heutigen Vorlesung (am 27.05.) : Vorstellung
von Fachschaftsvertretern
Hinweise
☞ Am Ende der heutigen Vorlesung (am 27.05.) : Vorstellung
von Fachschaftsvertretern
☞ Wegen der Pfingstfeiertage und Fronleichnam in der darauf
folgenden Woche wird in diesen zwei Wochen nur ein
Übungsblatt behandelt
Hinweise
☞ Am Ende der heutigen Vorlesung (am 27.05.) : Vorstellung
von Fachschaftsvertretern
☞ Wegen der Pfingstfeiertage und Fronleichnam in der darauf
folgenden Woche wird in diesen zwei Wochen nur ein
Übungsblatt behandelt
☞ Blatt 5 wird also am 22.5. , 23.5. , 24.5. , sowie dem 27.5. und
28.5. besprochen. Die Übungen (auch die Zentralübung)
am 29.5. und 31.5. entfallen
Hinweise
☞ Am Ende der heutigen Vorlesung (am 27.05.) : Vorstellung
von Fachschaftsvertretern
☞ Wegen der Pfingstfeiertage und Fronleichnam in der darauf
folgenden Woche wird in diesen zwei Wochen nur ein
Übungsblatt behandelt
☞ Blatt 5 wird also am 22.5. , 23.5. , 24.5. , sowie dem 27.5. und
28.5. besprochen. Die Übungen (auch die Zentralübung)
am 29.5. und 31.5. entfallen
☞ Ab dem 3.6. wird der Übungsbetrieb mit Blatt 6 fortgesetzt
Vektorräume von Funktionen
☞ Vektorraum
L2
L2 (R3, C)
=
ψ :
R3 → C ;
Z
d3 r |ψ(~r)|2 < ∞
Vektorräume von Funktionen
☞ Vektorraum
L2
L2 (R3, C)
=
ψ :
R3 → C ;
Z
d3 r |ψ(~r)|2 < ∞
Es gilt
ψ, ϕ ∈
L2
y
c1 ψ + c2 ϕ ∈
L2
Vektorräume von Funktionen
☞ Vektorraum
L2
L2 (R3, C)
=
ψ :
R3 → C ;
Z
d3 r |ψ(~r)|2 < ∞
Es gilt
ψ, ϕ ∈
L2
y
c1 ψ + c2 ϕ ∈
L2
☞ Alternative: Schwartz–Raum S
S(
Rn )
=
R
C
N30
ψ ∈ C∞ ( 3 → ) ; ∀α, β ∈
α ∂β1 +β2 +β3 ψ r i
i ∂β1 x ∂β2 y ∂β3 z < C ∀ ~r ∈
R3
: ∃C>0 :
Operatoren
☞ Allgemeiner Operator A
A ψ(~r) = φ(~r) ∈
L2
Operatoren
☞ Allgemeiner Operator A
A ψ(~r) = φ(~r) ∈
☞ Beispiele:
(i) A ψ = |ψ|
L2
Operatoren
☞ Allgemeiner Operator A
A ψ(~r) = φ(~r) ∈
☞ Beispiele:
(i) A ψ = |ψ|
(ii) A ψ =
ψ
1 + |ψ|
L2
Operatoren
☞ Allgemeiner Operator A
A ψ(~r) = φ(~r) ∈
L2
☞ Beispiele:
(i) A ψ = |ψ|
(ii) A ψ =
ψ
1 + |ψ|
☞ Lineare Operatoren
A (c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 A ψ1 + c2 A ψ2
(ci ∈
C)
Operatoren
☞ Allgemeiner Operator A
A ψ(~r) = φ(~r) ∈
L2
☞ Beispiele:
(i) A ψ = |ψ|
(ii) A ψ =
ψ
1 + |ψ|
☞ Lineare Operatoren
A (c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 A ψ1 + c2 A ψ2
☞ Beispiele:
~2
(i) ∆ = ∇
(ci ∈
C)
Operatoren
☞ Allgemeiner Operator A
A ψ(~r) = φ(~r) ∈
L2
☞ Beispiele:
(i) A ψ = |ψ|
(ii) A ψ =
ψ
1 + |ψ|
☞ Lineare Operatoren
A (c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 A ψ1 + c2 A ψ2
☞ Beispiele:
~2
(i) ∆ = ∇
~ = ~r × p
~
~ = −i ~ (~r × ∇)
(ii) L
(ci ∈
C)
Operatoren
☞ Allgemeiner Operator A
A ψ(~r) = φ(~r) ∈
L2
☞ Beispiele:
(i) A ψ = |ψ|
(ii) A ψ =
ψ
1 + |ψ|
☞ Lineare Operatoren
A (c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 A ψ1 + c2 A ψ2
☞ Beispiele:
~2
(i) ∆ = ∇
~ = ~r × p
~
~ = −i ~ (~r × ∇)
(ii) L
(iii) Hamilton–Operator H
(ci ∈
C)
Lineare Operatoren
☞ Eigenschaften:
(c A) ψ =
c (A ψ)
für c ∈
C
Lineare Operatoren
☞ Eigenschaften:
(c A) ψ =
A+B ψ =
c (A ψ)
für c ∈
Aψ+ Bψ
C
Lineare Operatoren
☞ Eigenschaften:
(c A) ψ =
A+B ψ =
A·B ψ =
c (A ψ)
für c ∈
Aψ+ Bψ
A (B ψ)
C
Lineare Operatoren
☞ Eigenschaften:
(c A) ψ =
A+B ψ =
A·B ψ =
c (A ψ)
für c ∈
Aψ+ Bψ
A (B ψ)
☞ Spezielle Operatoren:
(i) Identität
1·ψ = 1·ψ = ψ
C
Lineare Operatoren
☞ Eigenschaften:
(c A) ψ =
A+B ψ =
A·B ψ =
c (A ψ)
für c ∈
Aψ+ Bψ
A (B ψ)
☞ Spezielle Operatoren:
(i) Identität
1·ψ = 1·ψ = ψ
(ii) Null–Operator
0·ψ = 0·ψ = 0
C
Skalarprodukt in L2
☞ Definition
Z
(ϕ, ψ) :=
d3 r ϕ∗ (~r) ψ(~r)
Skalarprodukt in L2
☞ Definition
Z
(ϕ, ψ) :=
d3 r ϕ∗ (~r) ψ(~r)
☞ Eigenschaften:
(i) Konjugationssymmetrie
(ϕ, ψ)∗ = (ψ, ϕ)
Skalarprodukt in L2
☞ Definition
Z
(ϕ, ψ) :=
d3 r ϕ∗ (~r) ψ(~r)
☞ Eigenschaften:
(i) Konjugationssymmetrie
(ϕ, ψ)∗ = (ψ, ϕ)
(ii) Linearität im zweiten Argument
(ϕ, c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 (ϕ, ψ1 ) + c2 (ϕ, ψ2 )
Skalarprodukt in L2
☞ Definition
Z
(ϕ, ψ) :=
d3 r ϕ∗ (~r) ψ(~r)
☞ Eigenschaften:
(i) Konjugationssymmetrie
(ϕ, ψ)∗ = (ψ, ϕ)
(ii) Linearität im zweiten Argument
(ϕ, c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 (ϕ, ψ1 ) + c2 (ϕ, ψ2 )
(iii) (i) + (ii) y
(c1 ϕ1 + c2 ϕ2 , ψ) = c∗1 (ϕ1 , ψ) + c∗2 (ϕ2 , ψ)
Skalarprodukt in L2
☞ Definition
Z
(ϕ, ψ) :=
d3 r ϕ∗ (~r) ψ(~r)
☞ Eigenschaften:
(i) Konjugationssymmetrie
(ϕ, ψ)∗ = (ψ, ϕ)
(ii) Linearität im zweiten Argument
(ϕ, c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 (ϕ, ψ1 ) + c2 (ϕ, ψ2 )
(iii) (i) + (ii) y
(c1 ϕ1 + c2 ϕ2 , ψ) = c∗1 (ϕ1 , ψ) + c∗2 (ϕ2 , ψ)
(iv) Positivität
Z
Z
(ψ, ψ) =
d3 r ψ∗ (~r) ψ(~r) =
d3 r |ψ(~r)|2 ≥ 0
wobei „=“ nur falls ψ(~r) ≡ 0.
Operatoren im Skalarprodukt
☞ Einsetzen der Definition
Z
ϕ, A ψ =
d3 r ϕ∗ (~r) A ψ(~r)
Operatoren im Skalarprodukt
☞ Einsetzen der Definition
Z
ϕ, A ψ =
d3 r ϕ∗ (~r) A ψ(~r)
☞ Orthogonalität
ϕ⊥ψ
:⇔
(ϕ, ψ) = 0
Operatoren im Skalarprodukt
☞ Einsetzen der Definition
Z
ϕ, A ψ =
d3 r ϕ∗ (~r) A ψ(~r)
☞ Orthogonalität
ϕ⊥ψ
:⇔
(ϕ, ψ) = 0
☞ Adjungierter Operator
ϕ, A† ψ = A ϕ, ψ
d.h.
Z
Z
∗
d3 r ϕ∗ (~r) A† ψ(~r) =
d3 r A ϕ(~r) ψ(~r) für beliebige ϕ, ψ
Hermitesche Operatoren
☞ Definition
A heißt hermitesch
:⇔
A† = A
Hermitesche Operatoren
☞ Definition
A heißt hermitesch
☞ Eigenschaften:
(i) Reihenfolge wichtig
(A B)† = B† A†
:⇔
A† = A
Hermitesche Operatoren
☞ Definition
A heißt hermitesch
:⇔
A† = A
☞ Eigenschaften:
(i) Reihenfolge wichtig
(A B)† = B† A†
(ii) Summe wieder hermitesch
†
A+B
= A† + B†
Hermitesche Operatoren
☞ Definition
A heißt hermitesch
:⇔
A† = A
☞ Eigenschaften:
(i) Reihenfolge wichtig
(A B)† = B† A†
(ii) Summe wieder hermitesch
†
A+B
= A† + B†
(iii) Multiplikation mit komplexen Zahlen c
†
cA
= c∗ A†
Hermitesche Operatoren
☞ Definition
A heißt hermitesch
:⇔
A† = A
☞ Eigenschaften:
(i) Reihenfolge wichtig
(A B)† = B† A†
(ii) Summe wieder hermitesch
†
A+B
= A† + B†
(iii) Multiplikation mit komplexen Zahlen c
†
cA
= c∗ A†
(iv) A hermitesch y An (n ∈ N) ebenfalls hermitesch.
Hermitesche Operatoren
☞ Definition
A heißt hermitesch
:⇔
A† = A
☞ Eigenschaften:
(i) Reihenfolge wichtig
(A B)† = B† A†
(ii) Summe wieder hermitesch
†
A+B
= A† + B†
(iii) Multiplikation mit komplexen Zahlen c
†
cA
= c∗ A†
(iv) A hermitesch y An (n ∈ N) ebenfalls hermitesch.
(v) Kommutator zweier hermitescher Operatoren ist
anti–hermitesch
†
A, B
= − A, B
Erwartungswerte von Operatoren
☞ Definition
Z
A =
d3 r Ψ∗ (~r, t) A Ψ(~r, t)
Erwartungswerte von Operatoren
☞ Definition
Z
A =
d3 r Ψ∗ (~r, t) A Ψ(~r, t)
Theorem:
Hermitesche Operatoren A besitzen reelle Erwartungswerte hAi.
Beispiele für hermitesche Operatoren
☞ Ortsoperator ~r
Φ, ~r Ψ
=
Z
d3 r Φ∗ (~r, t) ~r Ψ(~r, t)
=
Z
d3 r ~r Φ(~r, t)
∗
Ψ(~r, t) =
~r Φ, Ψ
Beispiele für hermitesche Operatoren
☞ Ortsoperator ~r
~
☞ Impulsoperator p
Φ, px Ψ
=
Z
3
d r Φ (~r, t)
∗
~ ∂
Ψ(~r, t)
i ∂x
Beispiele für hermitesche Operatoren
☞ Ortsoperator ~r
~
☞ Impulsoperator p
Φ, px Ψ
=
=
~ ∂
d r Φ (~r, t)
Ψ(~r, t)
i ∂x
∗
Z
~
∂
3
−
Φ(~r, t) Ψ(~r, t)
d r
i
∂x
Z
3
∗
partielle Integration
Beispiele für hermitesche Operatoren
☞ Ortsoperator ~r
~
☞ Impulsoperator p
Φ, px Ψ
=
=
=
~ ∂
d r Φ (~r, t)
Ψ(~r, t)
i ∂x
∗
Z
~
∂
3
−
Φ(~r, t) Ψ(~r, t)
d r
i
∂x
∗
Z
~ ∂
3
d r
Φ(~r, t) Ψ(~r, t) =
i ∂x
Z
3
∗
px Φ, Ψ
Beispiele für hermitesche Operatoren
☞ Ortsoperator ~r
~
☞ Impulsoperator p
☞ Hamilton–Operator
H =
~2
p
+ V(~r)
2m
Kommutator
☞ Definition
A, B := A B − B A
Kommutator
☞ Definition
A, B := A B − B A
☞ Beispiele:
(i)
xi ,
∂
∂xj
= − δij
Kommutator
☞ Definition
A, B := A B − B A
☞ Beispiele:
∂
= − δij
∂xj
(ii) [Li , Lj ] = i ~ εijk Lk
(i)
xi ,
Kommutator
☞ Definition
A, B := A B − B A
☞ Beispiele:
∂
= − δij
∂xj
(ii) [Li , Lj ] = i ~ εijk Lk
(i)
xi ,
☞ Eigenschaften:
(i) Antisymmetrie
A, B = − B, A
Kommutator
☞ Definition
A, B := A B − B A
☞ Beispiele:
∂
= − δij
∂xj
(ii) [Li , Lj ] = i ~ εijk Lk
(i)
xi ,
☞ Eigenschaften:
(i) Antisymmetrie
A, B = − B, A
(ii) Jacobi–Identität
A B, C = A B, C + A, C B
Postulate der Quantenmechanik (I)
Postulat I: Der Zustand eines Teilchens wird durch seine
Wellenfunktion Ψ(~r, t) beschrieben. |Ψ(~r, t)|2 d3 r gibt
die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort ~r
im Volumenelement d3 r zu finden. Es gilt die
Normierungsbedingung
Z
d3 r |Ψ(~r, t)|2 = 1 = (Ψ, Ψ)
Postulate der Quantenmechanik (I)
Postulat I: Der Zustand eines Teilchens wird durch seine
Wellenfunktion Ψ(~r, t) beschrieben. |Ψ(~r, t)|2 d3 r gibt
die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort ~r
im Volumenelement d3 r zu finden.
Postulat II: Den Messgrößen (Observablen) der klassischen
Mechanik entsprechen in der Quantenmechanik
hermitesche Operatoren. Der Erwartungswert
eines Operators A im durch Ψ(~r, t) beschriebenen
Zustand ist gegeben durch
Z
hAi =
d3 r Ψ∗ (~r, t) A Ψ(~r, t) = Ψ, A Ψ
Dieser Wert ergibt sich durch Mittelung der
Messergebnisse, die man erhält, wenn man das
System sehr oft in dem durch Ψ(~r, t) beschriebenen
Zustand präpariert und die zu A assoziierte Größe
misst.
Postulate der Quantenmechanik (I)
Postulat I: Der Zustand eines Teilchens wird durch seine
Wellenfunktion Ψ(~r, t) beschrieben. |Ψ(~r, t)|2 d3 r gibt
die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort ~r
im Volumenelement d3 r zu finden.
Postulat II: Den Messgrößen (Observablen) der klassischen
Mechanik entsprechen in der Quantenmechanik
hermitesche Operatoren.
Beispiele :
Klassische Größe
Ort ~r
Impuls ~p
~ = ~r × ~p
Drehimpuls L
~p 2
2m
Potentielle Energie V(~r, ~p)
~p 2
Hamilton–Funktion H =
+V
2m
Kinetische Energie T =
QM Operator
~r = ~r
~
~ = −i ~ ∇
p
~ = −i ~ ~r × ∇
~
L
~2
~2
p
= −
∆
2m
2m
~
V(~r, −i ~ ∇)
T =
H=
p2
~2
+V =−
∆+V
2m
2m
Postulate der Quantenmechanik (I)
Postulat I: Der Zustand eines Teilchens wird durch seine
Wellenfunktion Ψ(~r, t) beschrieben. |Ψ(~r, t)|2 d3 r gibt
die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort ~r
im Volumenelement d3 r zu finden.
Postulat II: Den Messgrößen (Observablen) der klassischen
Mechanik entsprechen in der Quantenmechanik
hermitesche Operatoren.
Postulat III. Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion wird
durch die Schrödinger–Gleichung
∂
i ~ Ψ(~r, t) = H Ψ(~r, t)
∂t
beschrieben.
Ehrenfest’sches Theorem
☞ Zeitableitung von Erwartungswerten
d ∂A
i A =
H, A +
dt
~
∂t
Ehrenfest’sches Theorem
☞ Zeitableitung von Erwartungswerten
d ∂A
i A =
H, A +
dt
~
∂t
☞ Kommutator von Hamilton–Operator und Ortskoordinate


3
X
p2j
i~
[H, xi ] = 
, xi  = −
pi
2m
m
j=1
Ehrenfest’sches Theorem
☞ Zeitableitung von Erwartungswerten
d ∂A
i A =
H, A +
dt
~
∂t
☞ Kommutator von Hamilton–Operator und Ortskoordinate


3
X
p2j
i~
[H, xi ] = 
, xi  = −
pi
2m
m
j=1
➥ Zeitableitung von ~r
i d ~r =
H, ~r
=
dt
~
~
p
m
~
☞ Analog: Zeitableitung von p
D E
d i ∂V
~
~ =−
~ =
= F
H, p
p
dt
~
∂~r
Unschärferelation
☞ Allgemeine Relation für hermitesche Operatoren
1 ∆A · (∆B) ≥
B, A 2
Unschärferelation
☞ Allgemeine Relation für hermitesche Operatoren
1 ∆A · (∆B) ≥
B, A 2
☞ Heisenberg’sche Unschärferelation
∆p · ∆x ≥
~
2
∆x
∆p
Unschärferelation
☞ Allgemeine Relation für hermitesche Operatoren
1 ∆A · (∆B) ≥
B, A 2
☞ Heisenberg’sche Unschärferelation
∆p · ∆x ≥
~
2
☞ Energie–Zeit–Unschärfe
∆E · ∆t ≥
~
2