Blatt Nr: 1
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Platzziffer: ...............
Blatt Nr: 1
Wintersemester:2005/06
Fachbereich:
Betriebswirtschaft
Prüfungsfach: Wirtschaftsmathematik/Mathematik I
Hilfsmittel:
Formelsammlung der FH und Taschenrechner
Zahl der Blätter:2
Semester: 1
Prüfer: Popp
1. Alois wird von den zwei Damen, Ulla und Petra, begehrt, aber Alois hat sich noch nicht aus­
drücklich für eine entschieden. Schließlich wird Ulla ungeduldig und stellt Alois zur Rede: "Alois,
liebst du Petra, oder ist es so, dass du Petra oder mich liebst?" Alois überlegt und sagt "Nein".
Was hat Alois damit zum Ausdruck gebracht? (4 Minuten)
2.
Man bestimme für die Mengen A={a,e,i}, B={n,m} die Produktmengen AxBxA! Wie viele
Elemente hat die Potenzmenge von AxBxA? (3 Minuten)
3.
Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens: 3-6+9-...-24
4.
Gegeben sei die Abbildung: f: ℜ→ℜ, f(x)= x2 - 2x-3
Ermitteln sie die Nullstellen von f! Ist f bijektiv? (4 Minuten)
5.
Die Fachhochschulmensa besitzt einen Bestand von 1.000 Eßbesteck. Erfahrungsgemäß
verschwinden jährlich 1 % des Bestandes. Nach wie viel Jahren sinkt der Bestand auf ¾, wenn
die Mensa kein neues Besteck anschafft?
(6 Minuten)
6.
Für das Gut Videocamera weis man von der Nachfragefunktion p(x), dass sie bei 1200 € den
maximalen Preis hat und eine Steigung von -0,2 aufweist..
Der einzige Produzent des Gutes produziere mit Fixkosten von 500.000€. Seine variablen Kos­
ten betragen 0,2x2 (8 Minuten)
Der produzierte Output kann vollständig nach der Nachfragefunktion abgesetzt werden.
a.) Man ermittle die Menge der Videocameras an der Gewinnschwelle und beim Gewinn­
maximum.
b.) Berechnen Sie die Kostenelastizität und die Umsatzelastizität bei x=500 und die Preis­
elastizität der Nachfrage bei p=900. Was sagen sie aus?
7.
Im Flugreisebereich kommt Yield-Management zum Einsatz, das einen Flugpreis u.a. in Abhängigkeit
vom Zeitpunkt der Buchung berechnet. Dadurch schöpft man die Konsumentenrente ab. Angenommen
Lufthansa hätte eine Nachfragefunktion von x(p)= 160-2p für die Flüge Hamburg nach Berlin und eine
Angebotsfunktion von x(p)=-50+p.
a.) Wie hoch ist die Konsumentenrente?
b.) Wie viel beträgt die Preiselastizät der Nachfrage im Gleichgewicht?
(7 Minuten)
8.
9.
(3 Minuten)
Gegeben sei die Funktion f(x)=xke3x mit k eine beliebige ganze Zahl.
Legen sie den Definitionsbereich fest und ermitteln Sie die Extremwerte der Funktion
(bitte kein Nachweis). Berechnen sie die 2. Ableitung der Funktion! (7 Minuten)
Gegeben sei die Funktion f(x.y). (6 Minuten)
f x , y =a x−2 y −4 ; a≠0
a.) Zeichen Sie die Höhenlinie von f zum Niveau z=0!
b.)Zeichen Sie die Schnittkurve von f(x,y) mit der Koordinatenebene z-x-Ebene für a=1/4
c.) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung!
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Platzziffer: ...............
Blatt Nr: 2
Wintersemester: 2005/2006
Prüfungsfach:
(48 Minuten)
Zahl der Blätter: 5
Wirtschaftsmathematik/Mathematik I
Platzziffer: ...............
Blatt Nr: 3
Wintersemester: 2005/2006
Zahl der Blätter: 5
Wirtschaftsmathematik/Mathematik I
Prüfungsfach:
Lösung
Aufgabe 1
1. p: Alois liebt Petra, q: Alois liebt Ulla
Aussage lautet: p∨ (p∨q) (1)
p
q
p∨q
p∨ (p∨q)
w
w
w
w
w
f
w
w
f
w
w
w
f
f
f
f (2)
Das nein heißt, dass p falsch war, Also liebt er Ulla nicht. (1)
Aufgabe 2
2. AxBxA={(a,n,a),(a,n,e),(a,n,i),(a,m,a),(a,m,e),(a,m,i), (e,n,a),(e,n,e),(e,n,i),(e,m,a),(e,m,e),(e,m,i),
(i,n,a),(i,n,e),(i,n,i),(i,m,a),(i,m,e),(i,m,i)} (2)
Potenzmenge hat 218=**** Elemente.(1)
Aufgabe 3:
∑ −1
8
i1
3i (3)
i=1
Aufgabe 4
x2-2x-3 = 0
x1/2 = 1/2 * (+2 +/- √(4-12)
x1 = 3
x2 = -1 (2)
f bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv
f injektiv ?
x1 ≠ x2 ➩ f(x1) ≠ f(x2)
x1 = -1 ≠ x2 = 3 ➩ f(-1) = (-1)2+2-3 ≠ f(3) = 9-6-3
0 ≠ 0 Widerspruch Nicht injektiv (1,5)
f ist nicht bijektiv !(0,5)
Aufgabe 5
Geometrische Folge; a0=1000, a1=1000-1%1000=990 (1)
Q= 990/1000=0,99; an=750 (1)
750=1000*0,99^(n-1)
0,75=0,99^(n-1) (1)
ln(0,75)= (n-1)ln(0,99) (2)
ln(0,75)/ln(0,99)+1=n
n=28,65+1=30 Jahre (1)
Aufgabe 6
6. U(x)=1200x-0,2x^2
a.) G(x)= U(x)-K(x)=- .0,4x^2+1200x-500.000 (1)
Gewinnschwelle: G(x)=0, x1=500, x2=2500. (1,5)
G´(x)=-0,8x+1200=0, x=1200/0,8=1500; G´´=0-0,8<0 also Maximum (1,5)
b.)Kostenelastizität: eK(500)=500*K´(500)/K(500)=500*0,4*500/(500000+0,2*500^2)=0,198 (1)
Platzziffer: ...............
Blatt Nr: 4
Wintersemester: 2005/2006
Prüfungsfach:
Zahl der Blätter: 5
Wirtschaftsmathematik/Mathematik I
Umsatzelastizität: eU(500)=500*(1200-0,4*500)/(1200*500-0,2*500^2)=0,91 (1)
Preiselastizität der Nachfrage: x(p)=1200*5-5p; dx/dp=-5; x(900)=1500
Ex(900)=900*(-5)/1500=-3 (1)
Wenn man bei X=500 die Menge um 1 % verändert, so verändern sich die Kosten um 0,198 %,
der Umsatz um 0,91 %.
Wenn man beim Preis von 900 den Preis um 1 % verändert, verändert sich die nachgefragte
menge um 3 % (1)
Aufgabe 7
160-2p=-50+p; 3p=210, p=70; x=20 (1)
Konsumentenrente:
p(x)=80-0,5x
F(x)= 80x-0,25x^2+C (1)
Ko=F(20)-F(0)-70*20=80*20-0,25*400-1400=1600-100-1400=100 (3)
Konsumentenrente beträgt 100
Epsx (p) =x´*p/x(p)=-2*70/20=-7
Wenn man im Gleichgewicht den Preis um 1 % erhöht sinkt die Nachfrage um 7 %
(2)
8. . Def. k>=0 D=R, k<0 D=R\{0} (1)
f´=kxk-1 e3x + xk e3x *3= e3xxk-1 (k+3x) =0(2)
x1=0 (ausser k=1 und k=0), k+3x=0, x2=-k/3 (1)
f´´= 3 e3x ( xk-1(k+3x) + e3x((k-1) xk-2 (k+3x)+ xk-1 *3)=
= e3x xk-1(3k-9x +k2x-kx-3kx2-3x2+3)(3)
9.a) a(x-2)(y-4)=0; für x=2 oder y=4; Daher ist Höhenlinie einerseits Parallele zur y-Achse durch
x=2 und Parallele zur x-Achse durch den Punkt y=4 (2 incl. Skizze)
b.) z-x-Ebene:y=0; -4a(x-2)=z=-4ax+8a; bei a=-1/4 ergibt dies z=x-2;
Gerade startet bei z=-2 und hat die positive Steigung +1. (2)
c.)fx=a(y-4); fy=a(x-2);
fxx=0; fyy=0; fxy=a=fyx (2)
