1 - Urspringschule

Übungsaufgaben für die 12er- Klausur
Hinweis: Alle Aufgaben sind „von Hand“ zu bearbeiten, der GTR ist zur Kontrolle erlaubt.
1. Leite ab: f(x) = x4 * e3x
2. Gegeben sei f(x) = 4 * sin(¼ x) – ½ x³.
Bestimme die Stammfunktion F(x) so, dass F(0) = 1 ist!
3. Löse die Gleichung e2x + ex – 12 = 0
4. Gib die Wendetangente für den Graphen von f(x) = x³ + 2x² – 11x –12 an!
5. Der Graph von f(x) = ex wird um 3 Einheiten nach rechts verschoben, danach an der xAchse gespiegelt und dann 2 Einheiten nach oben verschoben. Gib für jedes der entstehenden
Schaubilder einen Funktionsterm an und führe die Ergebnisse der Abbildungen sauber
grafisch aus!
6. Löse das LGS und interpretiere die Lösung geometrisch!
3x1 + 3x2 + 4x3 = 43
3x1 – 3x2 + x3 = 13
x1 – 3x2 + 3x3 = 9
7. Gegeben sind die Ebene E: 3x1 + 4x2 + 6x3 – 12 = 0 und der Punkt P(1/1/1).
a) Weise nach, dass P nicht in E enthalten ist!
b) Zeichne E mithilfe ihrer Spurpunkte!
c) P soll senkrecht an E gespiegelt werden. Gib die Koordinaten des Bildpunktes P’ an!
8. Gegeben sind eine Ebene E und ein Punkt P, der nicht auf E liegt.
Beschreibe, wie man einen Punkt Q so berechnen kann, dass er doppelt so weit von E entfernt
liegt wie P! (Hinweis: es gibt mehrere Lösungen, eine davon reicht!)
9. Die „Königin der deutschen Dampflokomotiven“ ist die Baureihe 01. Zwischen 1926 und
1938 wurden 231 Exemplare gebaut. In der ersten Version hatten die Räder der ersten und
zweiten Achse einen Durchmesser von 800 mm, die zulässige Höchstgeschwindigkeit war
120 km/h. Bei späteren neu gebauten Loks wurde der Durchmesser dieser Räder auf 1000
mm erhöht, wodurch die zulässige Höchstgeschwindigkeit auf 130 km/h stieg. Die mächtigen
drei angetriebenen Räder auf jeder Seite haben einen Durchmesser von je 2000 mm.
a) Wie oft drehen sich die angetriebenen Räder, wenn die Lok einen Kilometer fährt?
b) Der Punkt des hintersten angetriebenen Rades, der sich in der 3-Uhr-Position befindet, wird
mit einem blauen Farbklecks markiert.
Gib eine Winkelfunktion an, die die Höhe des Kleckses über dem Gleis berechnen lässt, wenn
sich das Rad während der Fahrt dreht!
c) Die Lok fährt mit gleichmäßiger Geschwindigkeit eine Radumdrehung weit. Dazu benötigt
sie 10 Sekunden. Wie lange ist der Klecks mindestens 1500 mm über dem Gleis?
d) Berechne die durchschnittliche Höhe des Farbkleckses im Bereich zwischen der 3-Uhrund der 9-Uhr-Position!
Lösungen:
1. f ‘(x) = 4x³ * e3x + x4 * 3 e3x = (4x³ + 3x4) e3x
2. F(x) = –16 * cos(¼x) – 1/8 x4 + c

1 = –16 * cos(¼*0) – 1/8 *04 + c
1 = –16 * 1 – 0 + c
/ cos(0) = 1
/ + 16
 F(x) = –16 * cos(¼x) – 1/8 x4 + 17
3. ex = z  z² + z – 12 = 0
4.
f '(x) = 3x² + 4x – 11
f '(– 2/3) = – 12,333
5. f1(x) = ex-3
f2(x) = – ex-3
z1 = – 4
z2 = 3
ln(–4) ist nicht lösbar
x = ln(3)
f “(x) = 6x + 4
 WP bei (– 2/3 / – 4,07)
Tangente: y = – 12,333 x – 12,2
f3(x) = – ex-3 + 2, Grafiken siehe GTR
6. Das LGS liefert die eindeutige Lösung x1 = 6, x2 = 3, x3 = 4. Wenn man die drei
Gleichungen als Ebenen im Raum betrachtet, dann haben wir die Koordinaten des
gemeinsamen Schnittpunktes dieser drei nicht parallelen Ebenen ausgerechnet.
7a) 3 + 4 + 6 – 12 = 0 ist eine falsche Aussage.
7b) S1(4 / 0 / 0)
S2(0 / 3 / 0) S3(0 / 0 / 2)
 1  3 
   
c) Hilfsgerade h senkrecht zu E durch P: x  1  t  4  , t R.
 1  6 
   
Schnitt S zwischen E und h: 
3(1+3t) + 4(1+4t) + 6(1+6t) – 12 = 0
3 + 9t + 4 + 16t + 6 + 36t – 12 = 0
1 + 61t = 0
t  -0,02
 S(0,94 / 0,92 / 0,88)
 0, 06 


PS   0, 08  , diesen 2x an P angetragen liefert
 0,12 


P‘(0,88 / 0,84 / 0,76)
8. S sei der Schnittpunkt zwischen der Ebene E und der Senkrechten zu E durch P. Dann kann
der Vektor PS zweimalig an S oder dreimalig an P angetragen werden. Er kann auch einmal
entgegengesetzt an P angetragen werden.
9a)
9b)
9c)
Umfang des großem Rades: U = 2 * π * 1m = 6,28m.
1000m / 6,28m  159,2 Umdrehungen
f(x) = a * sin(bx) + c. Da das Rad, wenn wir in Metern rechnen, lediglich ein um 1m
nach oben verschobener Einheitskreis ist, gilt f(x) = sin(x) + 1.
Intersect mit y = 1,5 gibt x1 = π/6 und x2 = 5π/6.
Wenn man die kleinste Periode 2π in der Zeitspanne von 10 Sekunden fährt,
dann entspricht das den Zeiten 5/6 Sekunden bis 25/6 Sekunden.
Insgesamt also eine Zeitspanne von 20/6 Sekunden = 3,33 Sekunden.

  sin( x)  1 dx
9d)
0


 2
 1, 64
