1 i) ∑ ii) ∑ iii) ∑ iv) ∑

LMU MÜNCHEN
Mathematik für Studierende der Biologie – Wintersemester 2016/17
GRUNDLAGENTUTORIUM 6
Sebastian Groß
Grundlagentutorium:
Blatt abrufbar auf:
E-Mail:
Sprechzeiten:
Raum:
Tel.:
Mittwochs 16:00 – 18:00 | Großer Hörsaal Biozentrum
http://www.neuro.bio.lmu.de/teaching  Mathematik für Biologen
[email protected]
Montags 12:30 – 13:30 | Donnerstags 12:30 – 13:30
D01.021
(089) 2180 – 74825
Anmerkung
Die Probeklausur findet am Mittwoch, 30.11.16 von 16:00-18:00 Uhr anstatt des Grundlagentutoriums im
großen Hörsaal Biozentrum statt.
Die erste Klausur findet am Samstag, 10.12.16 von 10:30-12:00 Uhr im Raum N00.001 (im BMC) statt.
Die zweite Klausur findet am Dienstag, 07.02.17 von 11:00-12:30 Uhr im Raum N00.001 (im BMC) statt.
Aufgabe 1 (Folgen)
1
Sei 𝑛 ∈ ℕ und 𝑎𝑛 = + 2.
𝑛
a)
b)
c)
d)
e)
Zeigen Sie, dass 𝑎𝑛 streng monoton fallend ist.
Zeigen Sie, dass 𝑎𝑛 nach oben durch 4 beschränkt ist.
Ist 𝑎𝑛 nach unten durch −300 beschränkt?
Ist 𝑎𝑛 beschränkt?
Ist 𝑎𝑛 konvergent oder divergent? Im Falle der Konvergenz, wie lautet dann der Grenzwert?
Aufgabe 2 (Summen und Reihen)
a) Zeigen Sie:
𝑛
∑(2𝑘 − 1) = 𝑛2
𝑘=1
b) Berechnen Sie:
i)
𝑘
∑1000
(Sie brauchen 21001 nicht vereinfachen.)
𝑘=2 2
ii)
∑∞
𝑘=0
(−1)𝑘 5
iii)
∑∞
𝑘=2
4∙2𝑘+1
3𝑘
iv)
∑∞
𝑘=3
3(2𝑘−2) 5−𝑘+1
2𝑘−2
3𝑘+1
1
c) Eine Gruppe von Biologen sammelt für ein Ökologiepraktikum Regenwürmer. Die erste Biologin
findet einen Regenwurm, die zweite findet drei Regenwürmer, die dritte findet fünf
Regenwürmer und jeder Biologe findet zwei Regenwürmer mehr. Danach teilen die Biologen die
Regenwürmer so untereinander auf, dass jeder exakt 8 Regenwürmer erhält.
Wie viele Biologen haben Regenwürmer gesammelt?
Im Nachfolgenden bezeichnet 𝑖 stets die imaginäre Einheit mit √−1 = 𝑖
Aufgabe 3 (Komplexe Zahlen I)
a) Welche Lösung hat die Gleichung 𝑥 − 𝑖 5 = 0
b) Schreibe die Zahl 𝑧 = 2 − 2𝑖 in Polar- und trigonometrischer Darstellung.
c) Zeichne die Zahlen 𝑧1 = 1 + 2𝑖, 𝑧2 = −2 + 𝑖 und 𝑧3 = −3𝑖 + 1 in die Gauß’sche Zahlenebene.
Aufgabe 4 (Komplexe Zahlen II)
Welche Figur bilden die Punktmengen (𝑧 ∈ ℂ), für die gilt
a) |𝑧| ≤ 4
1
1
𝑧
2
b) 𝑅𝑒 ( ) =
Aufgabe 5 (Komplexe Zahlen III)
a) Sei 𝑧 = 1 + 2𝑖 und 𝑤 = 3 − 𝑖. Berechnen Sie 𝑧 + 𝑤, 𝑧 − 𝑤, 𝑧 ∙ 𝑤,
𝑧
𝑤
und 𝑧.
b) Berechnen Sie
𝜋
(
2𝑒 𝑖 3
201
𝜋)
2𝑒 −𝑖 3
Aufgabe 6 (Komplexe Zahlen IV)
Bestimmen Sie die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen für 𝑧 ∈ ℂ.
a) 𝑧 2 + 3 = 0
b) 𝑧 5 = −1
Aufgabe 7 (Komplexe Zahlen V [Wiederholungsklausur WiSe 15/16])
a) Bestimmen Sie alle 𝑥 ∈ ℝ, welche die Gleichung (𝑥 − 2𝑖)(𝑥 + 2𝑖) = 29 erfüllen.
b) Berechnen Sie den Imaginärteil der folgenden komplexen Zahl.
𝑧=
−5 − 5𝑖
3 + 2𝑖
c) Sei 𝑞 = −5 − 5𝑖. Berechnen Sie den exakten Zahlenwert von 𝑞 4 mit Hilfe der Formel von Moivre.
2