1 Aufgaben: Spezielle Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen A1

Ein homogener symmetrischer Würfel wird 4-mal geworfen. Dabei interessieren wir uns
dafür, wie oft eine Zahl größer als die Augenzahl 4 eintritt?
Geben Sie eine Funktion an, die die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ereignisse nach
4-maligem Wurf eines homogenen Würfels? Zeigen und begründen Sie, dass Ihre Funktion
eine Wahrscheinlichkeitsfunktion für diskrete Zufallsvariablen ist.
Skizzieren Sie diese Wahrscheinlichkeitsfunktion und ihre Verteilungsfunktion.
Berechnen sie den Mittelwert dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung. Lösg: c) 4 / 3
Berechnen Sie die Varianz für diese Wahrscheinlichkeitsverteilung. Lösg: d) 8 / 9
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Augenzahl größer als 4 bei diesem
Versuch 3-mal auftritt? Lösg: e) 8 / 81
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Augenzahl größer als 4 mehr als 2-mal
eintritt? Lösg: f) 9 / 81
Wenn 20% der Bolzen in einer Lieferung defekt sind, bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeit, dass von 4 Bolzen
keiner beschädigt ist.
einer beschädigt ist.
mindestens zwei beschädigt sind.
Lösg:
a) 0,4096
b) 0,4096
c) 0,1808
Ein Elektronikkonzern stellt mit einem Ausschussanteil von 1% Speicherchips her. Es
werden 400 Speicherchips bei diesem Konzern bestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür,
dass in dieser Bestellung 8 Speicherchips defekt sind. Lösg: a) 0,029
dass in dieser Bestellung keine Speicherchips defekt sind. Lösg: b) 0,018
dass in dieser Bestellung höchstens 2 Speicherchips defekt sind. Lösg: c) 0,238
dass in dieser Bestellung mindestens 2 Speicherchips defekt sind. Lösg: d) 0,908
Ein Reifenhersteller informiert einem Händler, dass unter den 5000 gelieferten Reifen leider
1000 defekt sind. Der Händler hat schon 10 davon verkauft.
Wie viele defekte Reifen gibt es durchschnittlich unter den verkauften Reifen? Lösg: a) 2
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den verkauften Reifen 3 defekt sind?
Lösg: b) 0,2013
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den verkauften Reifen mehr als einer defekt
ist? Lösg: c) 0,6241
Ein Computer-Hersteller bestellt bei einem Großhändler Speicherchips. In der Lieferung
befinden sich 200 Chips, von denen 20% aus Japan, 30% aus Korea und 50% aus Taiwan sind.
Für den Bau eines bestimmten Computers verwendet der Hersteller 10 Chips aus dieser
Lieferung.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Computer 1 Chip aus Japan stammt?
Lösg: a) 0,2683
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Computer mehr als 2 Chips aus Japan
stammen? Lösg: b) 0,3205
Wie viele Chips aus Japan gibt es durchschnittlich in einem dieser Computer? Lösg: c) 2
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Computer zwischen 1 bis 3 Chips aus
Japan stammen? Lösg: c) 0,7832
1
In einer Packung sind 5 Chips. Zwei davon sind defekt. Jemand wählt zufällig nacheinander
ohne zurücklegen zwei Chips aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für
das Ereignis E 0 : kein Chip defekt.
das Ereignis E 1 : genau ein Chip defekt.
das Ereignis E 2 : zwei Chip defekt.
! "
Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe von speziellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Lösung: s. Übungsaufgaben zum Thema „Wahrscheinlichkeitsrechnung“.
# $%& & Gegeben seien die ganzen von 1 bis 49. Hiervon sind 6 zu wählen. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit dafür
6 richtige
4 richtige zu wählen.
Lösg: a) 7. 10 – 8
b) 0,969. 10 – 3
' Eine Produktionsanlage in einem Elektronikkonzern stellt Mikrochips mit einem Ausschuss
von 20% her.
()
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 2 hergestellten Chips 2 defekt sind.
! "
Lösen Sie diese Teilaufgabe sowohl mit Hilfe von einem Ereignisbaum als mit
Hilfe der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilung. Lösg: 0,04
()) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 hergestellten Chips 20 defekt
sind. Lösg: 0,0993
()
Aus der laufenden Serienproduktion werden zufällig 2 Chips entnommen, wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass in dieser Stichprobe 2 defekte Chips dabei sind.
! "
Diese Teilaufgabe kann wie die Teilaufgabe a) gelöst werden. Begründen Sie
es! Lösg: 0,04
()) Aus der laufenden Serienproduktion werden zufällig 100 Chips entnommen, wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in dieser Stichprobe 20 defekte Chips dabei sind.
Lösg: 0,0993
Aus der laufender Produktion werden zufällig 10 Chips entnommen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür,
() dass in dieser Stichprobe höchstens 2 Speicherchips defekt sind. Lösg: 0,677
()) dass in dieser Stichprobe mindestens 3 Speicherchips defekt sind. Lösg: 0,323
Wie viele Chips müssen aus der laufenden Produktion entnommen werden, damit mit einer
Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens 1 defekter Chip dabei ist? Lösg: 21
* In einem Produktionsprozess ist bekannt, dass im Mittel ein Artikel pro 100 hergestellte
Artikel defekt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe vom Umfang 5
aus der Serienproduktion der 5-te entnommne Artikel der erste defekte Artikel ist? Lösg: 0,0096
+
In einem Flughafen landen im Mittel 6 Flugzeuge pro Stunde. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass in 2 Stunden 10 Flugzeuge landen. Lösg: 0,105
2
() Eine Airline besitzt für bestimmte Strecken ein
Business-Jet mit 4 Plätzen. Aus Erfahrung weis die
Airline, dass bei Flügen für diese Strecke im
Durchschnitt nur 70% der Passagiere den von ihnen
gebuchten
Flug
antreten.
Durch
welche
Wahrscheinlichkeitsverteilung kann die Besetzung der
Plätze beschrieben werden?
%,
4 verschiedene Passagiere (A, B, C und D) werden jeweils die 4 verschieden Flugzeug-Plätze
mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% besetzen.
0,7
0,3
A
0,7
0,3
A
B
0,7
0,3
A
B
C
A
B
C
D
0,3
B
0,7
0,7
0,7
A
A
B
0,3
A
0,7
0,3
B
C
B
0,3 0,7
0,3 0,7
0,3 0,7
0,3
A
B
C
A
B
A
A
A
C
D
C
D
0,3
A
C
A
B
0,7
A
0,7
B
C
D
D
C
0,3 0,7
0,3 0,7
B
C
B
B
C
D
D
0,3 0,7
0,3
C
D
Zufallsvariable: X = k : Anzahl der besetzen Plätze durch Passagiere. Es liegt also eine
Binomialverteilung mit n = 4 und p = 0,7 vor.
P(X= k
)
=
4!
(4 − k ) ! ⋅ k!
(0,7 ) k ⋅ (1
− 0,7 )
4 − k
f(k)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
1
k
P(X=k)=f(k)
2
2
3
3
0
0,0081
4
4
k
1
0,0756
2
0,2646
3
0,4116
4
0,2401
3
())
Die Fluggesellschaft aus der vorigen Aufgabe verkauft aber 5 Tickets, obwohl
eigentlich nur 4 Plätze vorhanden sind.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 4 Passagiere (d.h. weniger als 5
Passagiere) den Flug antreten?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 4 Passagiere den Flug antreten? (In
dieser Situation kann die Airline nicht alle Passagiere mit diesem Flugzeug mitnehmen)
%,
A
A
B
A
B
A
B
C
A
B
A
C
A A A A
B B B B
C C
D
D
A
B
C
D
X
A
B
C
B
B B
C C
D
B B
C
A A A A
C C
D
D
D
C C
D
D
A A A A A A A A A A A A A A A
B B B B B B B
B B B B B B B B
C C C C
C C C
C C C C
C C C C
D D
D D
D D
D
D
D D
D D
D D
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
D
X
Zufallsvariable: X = k : Anzahl der besetzen Plätze durch Passagiere.
Binomialverteilung mit n = 5 und p = 0,7.
f(k)
P( X = k
)=
5!
( 5 − k ) ! ⋅ k!
( 0 ,7 ) k ⋅ (1 − 0 ,7 )5
− k
0.35
P(X
4)
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
00
kC = 4
P( X ≤ 4
) =
k =0
5
k
( 0 ,7 ) k ⋅ (1 − 0 ,7 ) 5
1
1
2
2
33
4
4
5
5
k
− k
= f ( 0 ) + f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 4 ) = 0 , 83193
%,
P(X>4) = 1– P(X
4 ) = 1 – 0,83193 = 0,16807
4
())) Würde die Fluggesellschaft aus der vorigen Aufgabe 6 Tickets verkaufen, wie groß ist
dann die Wahrscheinlichkeit für das Risiko, dass mindestens 5 Passagiere (d.h. mehr als 4
Passagiere) den Flug antreten? (In dieser Situation kann die Airline nicht alle erschienen
Passagiere mit diesem Flugzeug mitnehmen.)
Lösung: Kumulierte Binomialverteilung mit n = 6 und p = 0,7
P(X > 4) = 0,420175
P(X=k)=f(k)
P(X>4)
0.3
P(X
4)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
X=k
0
0
1
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
Aus Erfahrung weis die Airline AL, dass für Flüge auf einer bestimmten Kurzstrecke im
Durchschnitt nur 70% aller Passagiere den von ihnen gebuchten Flug antreten. Die
Fluggesellschaft möchte für diese Strecke 100 Tickets verkaufen aber ein Flugzeug eines
Herstellers einsetzen, das eine geringere Kapazität als 100 Sitzplätze besitzt. Folgende 3
Maschinen stehen zur Auswahl.
CJ-I: 70 Sitzplätze
CJ-II: 78 Sitzplätze
CJ-III: 86 Sitzplätze
Wenn die Gesellschaft die Maschine vom Typ CJ-I mit 70 Sitzplätzen einsetzen würde, wie
groß ist dann die Wahrscheinlichkeit (das Risiko) Passagiere nicht mitnehmen zu können?
Lösung: Kumulierte Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,7
P(X > 70) = 0,462
Die Gesellschaft möchte eine Maschine einsetzen, so dass das Risiko Passagiere nicht
mitnehmen zu können unter 1% bleibt. Wie viele Sitzplätze muss diese Maschine
mindestens haben? Kann sie eine der obigen Flugzeuge dafür einsetzen?
Lösung: Kumulierte Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,7
P(X > kC) 0,01
kC ≥ 80 (mindestens 80 Sitzplätze) Also Maschine CJ-III
5
!
"
-
,
Zufallsvariable X: Die Anzahl einer Augenzahl größer als 4 bei n = 4 Würfen einer homogen
Würfel. x k = 0 ; 1 ; … ; 4
k
4 − k
4
2
4
f (k ) =
⋅
⋅
k
6
6
4
f ( k ) ist für alle k positiv und es gilt für diese Funktion:
f
(k )
= 1
k=0
.
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
P( X = k ) = f ( k )
mit n = 4 und p = 2 / 6
Verteilungsfunktion der Binomialverteilung
mit n = 4 und p = 2 / 6
F(X=k)
0.4
0.3
80
1
81
72
81
48
0.2
81
0.1
16
X = k
00
11
22
3
3
X = k
81
4
4
0
Binomial-Verteilung:
p = 0,2 ;
P( X > 1 ) = 1 – P( X ≤ 1 )
1
2
3
4
n = 4
Binomial- oder Poisson-Verteilung:
P( X ≤ 2 )
p = 0,01 ; n = 400
Es liegt eine hypergeometrische Verteilung vor. Da aber die Grundgesamtheit im Umfang vom
5000 im Vergleich zu der entnommenen Stichprobe vom Umfang 10 relativ groß ist, kann die
Wahrscheinlichkeit auch näherungsweise bequemer mit Hilfe der Binomial-Verteilung berechnet
werden.
1000
4000
⋅
10
k
10 − k
f (k ) =
⋅ 0,2 k ⋅ 0,8 10 − k
f (k ) =
k
5000
10
Hypergeometrische Verteilung: N = 200 ; M = 40 ; n = 10
f ( 1 ) = 0,2683
Hypergeometrische Verteilung: N = 5 ; M = 2 ; n = 2
#
Hypergeometrische Verteilung:
N = 49
;
n = 6
' Binomial-Verteilung: p = 0,2
Die Entnahme (Ziehung ohne Zurücklegen) entspricht einer hypergeometrischen Verteilung.
Diese kann aber durch die Binomial-Verteilung ersetzt werden, da die Anzahl der produzierten
Teile in der Serienproduktion sehr groß ist, so dass ein Ziehen ohne Zurücklegen die
Wahrscheinlichkeit bei jedem Zug nur unwesentlich verändert.
*
+
Geometrische Verteilung:
Poisson-Prozess:
p = 0,01 ;
= 12
k = 5
; k = 10
6