Die Ungarische Methode für das Assignment Problem von HW Kuhn

Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Die Ungarische Methode für das Assignment
Problem von H. W. Kuhn (1955)
Seminar Kombinatorische Optimierung SS08: Christof Schulz
11.07.2008
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
1
Harold William Kuhn
2
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Einfaches Assignmentproblem
Das allgemeine Assignmentproblem
Duale Programm
Nachbesserung
Zusammenfassung
3
Ungarische Methode
Start
Schritt 1
Schritt 3
Schritt 2
4
Aufwand
Aufwandsanalyse
5
aktuelle Entwicklung
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Harold William Kuhn
Geboren:
29.07.1925 in Santa Monica, Californien, USA
Bildung:
California Institute of Technology(1947)
Magister Artium(1948)
Doktor der Mathematik
Princeton University(1950)
Laufbahn:
Dozent(1951-1952),
Assistensprofessor(1952-1959),
Junior-Professor(1959-1963),
Professor(1963-1995)
Aktuell:
Emeritus Professor(seit 1995)
Ungarische
1955, Vorarbeit von Dénes König
Methode:
und Jeno Egerváry
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Einfaches Assignmentproblem
Das Assignmentproblem
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Einfaches Assignmentproblem
Das einfache Assignmentproblem
n Personen
n Jobs
n x n Qualikationsmatrix Q
(
qij =
1
Person i ist für Job j qualiziert
0
sonst
Q=

1
1
1
0
0

0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
gesucht:
Maximale Anzahl unabhängiger einsen


Aufwand
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Einfaches Assignmentproblem
komplettes Assignment
Personen werden Jobs zugeordnet
Denition (komplett)
Es kann keine weitere Person mehr einem Job zugeordnet werden.
∗

1
1
0

0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0

∗
1


kann nur noch durch Transfer verbessert werden.
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Einfaches Assignmentproblem
Transfer
i ir
ändert die Zuordnung von r verschiedenen Personen 1 ..
j jr
ordnet i1 freien
und
Jobs 1 ..
i1
i2
.
.
j0
j1
.
.
j
Job 0 zu und Person
ir
.
.
.
.
.
jr −1
jr
ik
Job
jk − 1
für k=2..r.
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Einfaches Assignmentproblem
Wesentlich
Denition (wesentliche Person)
Person kann in einen Transfer involviert werden
Denition (wesentlicher Job)
Job ist einer unwesentlichen Person zugeordnet
Für eine gegebene Zuordnung (i,j) ist entweder i oder j
wesentlich, aber nicht i und j.
#(Personen haben Job)=
#(wesentliche Personen) + #(wesentliche Jobs)
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Das allgemeine Assignmentproblem
Das allgemeine Assignmentproblem
n Personen, n Jobs
rij )
n x n Matrix R=(
mit
rij ∈ N
Den n Personen wird eine Permutation der n Jobs zugeordnet.
Person 1 2 . . . n
Job j1 j2 . . . jn
Maximiere:
Pn
i =1 rij
i
über allen Permutationen
J = (ji )
von 1 - n.
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
Das allgemeine Assignmentproblem
allg. Assignmentproblem als LP
(
Variablen:
xij =
Maximiere
s.t.
Pn
i =1
1
Person i erledigt Job j
0
sonst
Pn
j =1 xij ∗ rij
Pn
i =1 xij = 1
Pn
j =1 xij = 1
xij ≥ 0
xij ∈ Z
, für j=1..n
, für i=1..n
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Duale Programm
Dualisieren
Minimiere
Pn
i =1 ui +
Pn
i =1 vi
s.t.
ui + vj ≥ rij
ui ≥ 0
vi ≥ 0
ui , vi ∈ Z
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Duale Programm
Für jedes Assignment Z=((1,
ji ); (2, j2 ); ...; (n, jn ))
gilt:
u1 + ... + un + v1 + ... + vn ≥ r1j1 + ... + rnj
n
opt Lösung Dual = opt Lösung Primal (Dualitätssatz)
Konstruiere ein einfaches Assignmentproblem:
Person i ist für Job j qualiziert, wenn
ui + vj = rij
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Duale Programm
Theorem
Wenn allen n Personen ein Job, für den sie qualiziert sind, im
konstruierten einfachen Assignmentproblem zugeordnet werden
kann, dann löst dieses Assignment(Z) das allgemeine Problem
optimal.
Beweis.
ui + vj = rij ∀(i , j ) ∈ Z
⇒
P
i ui + vi
=
P
(i ,j )∈Z
rij
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Nachbesserung
Nachbesserung
Kann nicht allen n Personen ein Job zugeordnet werden, muÿ
nachgebessert werden.
Folgende Bedingungen gelten:
rij > 0
ui + vj ≥ rij ⇒ ui > 0
oder
vi > 0
Es können nur m < n Personen zugeordnet werden und das
Assignment ist komplett nach jedem Transfer
r wesentliche Personen
s wesentliche Jobs
m=r+s
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Nachbesserung
Nachbesserungsregeln
oBdA alle
ui > 0
Theorem
0
0
0
0
u1 = u1 , ..., ur = ur , ur +1 = ur +1 − 1, ..., un = un − 1
0
0
0
0
v1 = v1 + 1, ..., vs = vs + 1, vs +1 = vs +1 , ..., vn = vn
Die neue Zuordnung ist eine zulässige Lösung für das duale LP.
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Nachbesserung
Beweis.
z.z.
0
0
ui + vj ≥ rij
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Nachbesserung
Beweis.
z.z.
0
0
ui + vj ≥ rij
kann nur verletzt werden, wenn
0
vj = vj
ui + vj = rij
und
0
ui = ui − 1,
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Nachbesserung
Beweis.
z.z.
0
0
ui + vj ≥ rij
kann nur verletzt werden, wenn
0
vj = vj
⇒
ui + vj = rij
und
0
ui = ui − 1,
i und j sind unwesentlich
Aber: da
ui + vj = rij ⇒
Person i für Job j qualiziert (
qij = 1)
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Nachbesserung
Beweis.
z.z.
0
0
ui + vj ≥ rij
kann nur verletzt werden, wenn
0
vj = vj
⇒
ui + vj = rij
0
ui = ui − 1,
i und j sind unwesentlich
Aber: da
ui + vj = rij ⇒
Person i für Job j qualiziert (
3 Fälle:
1
und
i ist j zugeordnet:
nach Denition entweder i oder j wesentlich.
qij = 1)
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Nachbesserung
Beweis.
z.z.
0
0
ui + vj ≥ rij
kann nur verletzt werden, wenn
0
vj = vj
⇒
ui + vj = rij
und
0
ui = ui − 1,
i und j sind unwesentlich
Aber: da
ui + vj = rij ⇒
Person i für Job j qualiziert (
qij = 1)
3 Fälle:
1
i ist j zugeordnet:
nach Denition entweder i oder j wesentlich.
2
i ist einem anderen Job zugeordnet:
i ist wesentlich(i kann j durch einen Transfer zugeordnet
werden).
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Nachbesserung
Beweis.
z.z.
0
0
ui + vj ≥ rij
kann nur verletzt werden, wenn
0
vj = vj
⇒
ui + vj = rij
und
0
ui = ui − 1,
i und j sind unwesentlich
Aber: da
ui + vj = rij ⇒
Person i für Job j qualiziert (
qij = 1)
3 Fälle:
1
i ist j zugeordnet:
nach Denition entweder i oder j wesentlich.
2
i ist einem anderen Job zugeordnet:
i ist wesentlich(i kann j durch einen Transfer zugeordnet
werden).
3
i ist keinem Job zugeordnet:
j ist wesentlich (j kann durch keinen Transfer i zugeordnet
werden, da Z komplett nach jedem Transfer ist)
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Nachbesserung
Die
0
ui
und
0
vj
sind also eine zulässige Lösung
Neuer Zielfunktionswert(NW) < Alter Zielfunktionswert (AW), da :
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Nachbesserung
Die
0
ui
und
0
vj
sind also eine zulässige Lösung
Neuer Zielfunktionswert(NW) < Alter Zielfunktionswert (AW), da :
NW=
AW − (n − r ) ∗ 1 + s ∗ 1
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Nachbesserung
Die
0
ui
und
0
vj
sind also eine zulässige Lösung
Neuer Zielfunktionswert(NW) < Alter Zielfunktionswert (AW), da :
NW=
AW − (n − r ) ∗ 1 + s ∗ 1
= AW -n + r +s
= AW -n + m < AW, da -n+m <0
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Nachbesserung
Die
0
ui
und
0
vj
sind also eine zulässige Lösung
Neuer Zielfunktionswert(NW) < Alter Zielfunktionswert (AW), da :
NW=
AW − (n − r ) ∗ 1 + s ∗ 1
= AW -n + r +s
= AW -n + m < AW, da -n+m <0
Neuer Zielfunktionswert < Alter Wert
optimaler Zielfunktionswert >0
endliches Verfahren
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Primal:
rij )
P
j1 , .., jn die ni=1 rij
gegeben: n x n Matrix R= (
gesucht : Permutation
i
maximiert
Dual:
gegeben: n x n Matrix R= (
gesucht :
u1 , .., un v1 , .., vn
ui + vj ≥ rij
rij )
so dass
Pn
i =1 ui + vi
minimal und
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
Der Algorithmus
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Ungarische Methode
Gestartet wird mit einer zulässigen Lösung für das duale
Problem
Erzeuge Matrix A=(
aij )=ui + vj − rij
Suche n unabhängige Nullen in A
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Start
Start-Lösung
ui = maxj rij
vj = 0
Beispiel:
u1 = 9
u3 = 9
(Zeilenmaxima)
für j=1..n
R =
8
7
9
9
5
2
7
8
6
1
4
9
2
3
2
6
u2 = 8
u4 = 6
v1 = 0
v3 = 0
v2 = 0
v4 = 0
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Start
Beispiel
A =
1
2
0
0
3
6
1
0
3
8
5
0
4
3
4
0
Vor Start noch das Minimum in jeder Spalte ermitteln und von der
ganzen Spalte abziehen
A =
0
0
0
0
2
4
1
0
2
6
5
0
3
1
4
0
Harold William Kuhn
Start
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Schritt 1
Vorher: Markiere unabhängige Nullen und die jeweilige Spalte in A
↓
↓
∗
0
0
0
0
2
4
1
2
6
5
0
3
1
4
0
∗
0
Schritt 1
Suche nicht markierte Null (keine vorhanden
∗
keine 0
in der Zeile
→
→
Schritt 3)
Schritt 2
0∗ in der Zeile und Spalte k: Zeile wird markiert, Spalte k
Markierung löschen
Bis alle Nullen in markierter Zeile/Spalte
→
Schritt 3
Im Bsp:
unmarkierte Null in Zeile 1
→
Zeile 1 markieren, Spalte 3
Markierung löschen
Danach alle Nullen markiert
→
Schritt 3
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Schritt 3
↓
→
∗
0
0
0
0
2
4
1
2
6
5
0
3
1
4
0
∗
0
Schritt 3
aij Zeile i, Spalte j unmarkiert
aij = aij + h ∀aij in markierter Zeile
aij = aij − h ∀aij in unmarkierter Spalte
h=min
→
Schritt 1
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Schritt 3
↓
→
∗
0
0
0
0
2
4
1
2
6
5
0
3
1
4
0
∗
0
Schritt 3
aij Zeile i, Spalte j unmarkiert
aij = aij + h ∀aij in markierter Zeile
aij = aij − h ∀aij in unmarkierter Spalte
h=min
→
Schritt 1
Im Bsp: h=1
↓
→
0
0
∗
0
1
3
0
1
5
4
0
2
0
3
0
1
∗
0
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Schritt 3
Schritt 1:
↓
→
0
0
∗
0
1
3
0
1
5
4
0
2
0
3
0
1
∗
0
Unmarkierte Null in Zeile 2, Zeile 2 markieren, Spalte 4 Markierung
löschen
→
→
∗
0
0
1
3
0
1
5
4
0
2
0
3
0
unmarkierte 0 in Zeile 3, keine 0
0
1
∗
0
∗ in Zeile 3
→
Schritt 2
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Schritt 2
→
→
∗
0
0
0
1
3
0
1
1
5
4
0
2
0
3
0
∗
0
Schritt 2
i j
Starte mit unmarkierter 0 bei ( 1 , 1 )
∗
1
Suche 0
2
in Spalte j1 (gefunden bei (i2 ,j1 ))
Suche 0 in Zeile i2 (gefunden bei (i2 ,j2 ))
∗ mehr in der Spalte
Weiter bei 1 bis keine 0
∗ und jede 0∗ in eine 0
Ändere jede 0 in Sequenz in eine 0
∗ markieren
Alle Markierungen löschen, alle Spalten mit 0
Wenn alle Spalten markiert
sonst Schritt 1
→
Lösung gefunden
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Schritt 2
↓
unmarkierte 0 in Zeile 1
→
↓
↓
0
1
∗
0
∗
0
0
1
3
1
5
4
2
0
3
0
∗
0
0
Zeile 1 markieren, Spalte 1 Markierung
löschen
→
↓
↓
0
1
∗
0
∗
0
0
1
3
1
5
4
2
0
3
unmarkierte 0 in Zeile 4, keine 0
0
∗
0
0
∗ in Zeile 4
→
Schritt 2
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Schritt 2
Schritt 2:
keine 0
∗ in Spalte 2, nur eine 0 in der Sequenz:
↓
↓
↓
↓
∗
0
0
1
1
3
∗
0
1
5
4
2
∗
0
3
0
0
0
∗
0
Lösung gefunden: (1,1) ; (2,4) ; (3,2) ; (4,3)
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
Aufwandsanalyse
Aufwand
Maximale Anzahl Operationen im Worst-Case
Operationen sind
Zeile/Spalte scannen
Zeile/Spalte markieren bzw. Markierung löschen
Zu einer Zeile/Spalte addieren/subtrahieren
Null auswählen bzw. Auswahl löschen
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Aufwandsanalyse
∗
Start mit m 0
∗ vorhanden sind
Aufwand bis m+1 0
Schritt 1
1
Jede Zeile scannen: n Operationen
2
genau eine markierte Zeile erzeugen: 2 Operationen
(Jede unmarkierte Spalte enthält mind. eine 0)
Aufwand: n+2
Schritt 3
1
Minimum suchen: n Operationen
2
Zu markierten Zeilen addieren: m Operationen
3
Von unmarkierten Spalten subtrahieren: n Operationen
Aufwand: 2n + m
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
Aufwandsanalyse
beide Schritte werden höchstens m-Mal wiederholt
(bis alle Zeilen markiert sind)
Aufwand:
m ∗ (3n + m))
Danach Schritt 2
3
m ∗ 1 Operation (Spalte scannen)
Suche 0: m ∗ 1 Operation (Zeile scannen)
∗
∗
0/0 in 0 /0 ändern: 2 ∗ m + 1 Operationen
4
alle Markierungen löschen: m Operationen
5
alle 0
6
jeweilige Spalte markieren: m+1 Operationen
1
2
∗
Suche 0 :
∗ suchen: m+1 Operationen
Aufwand: 7m + 3
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Aufwandsanalyse
∗ (m=1)
Im Worst-Case Start mit einer 0
Obige Schritte müssen n- Mal ausgeführt werden:
Gesamtaufwand
Pn
O(
m=1 7m + 3 + m ∗ (3n + m))
=
Pn
m=1 m ∗ (3n + m))
O(
=
Pn
O(
O(3
n∗
m=1 m ∗ 3n + m
Pn
=
m =1 m +
=
Pn
2)
m=1 m
2)
n3 )
O(
Vergleiche und Addition als Operationen: Aufwand von O(
n4 )
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
aktuelle Entwicklung
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Vor Kuhn
n ∗ n2 )
Erster Algorithmus 1946 von Eastereld in O(2
1950 drei Heuristiken von Thorndike
seit 1952 als Assignmentproblem bekannt (Votaw und Orden)
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
nach Kuhn
1960 erster Computercode von Sylver
Beste Implementation der ungarischen Methode O(
n3 )
Lawler
1976
n3 )
erster O(
Algorithmus von Dinic und Kronrod 1969
Auktionsalgorithmen O(
n1/2 m ∗ log (nC )
) von Orlin und
Ahuja
Cost Scaling Technik O(
n1/2 m ∗ log (nC )
C: maximale Kosten, m: Anzahl Kanten
) von Gabow 1989
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Transportproblem
n Startknoten und m Zielknoten
Startknoten liefern Einheiten an Zielknoten
Jede Kante hat Kosten und Kapazität
Finde minimale Kosten um alle Zielknoten zu beliefern
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Transportproblem
Umwandlung von Assignmentproblem in Transportproblem
bipartiter Digraph G=(V=X
∪Y,E)
X: n Knoten für Personen
Y: n Knoten für Jobs
rij
Kosten der Kante (i,j): c(i,j)=-
Kapazität jeder Kante: u(i,j)=1
alle Knoten v
w
∈
∈
X senden 1 Einheit Fluÿ (d(v)=1), alle Knoten
Y empfangen 1 Einheit Fluÿ (d(w)=-1)
∈ V gelten:
(v ,w )∈E f (v , w ) = 0
Für einen Fluÿ f muÿ für jeden Knoten v
d (v ) +
P
(u ,v )∈E
f (u , v ) −
P
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Cost Scaling Algorithmen
Residualkantenmenge
Ef = {(v , w ) : (v , w ) ∈ E
{(v,w) : (w,v)
∈
mit
f (v , w ) < u (v , w )} ∪
E} (c(v,w)=-c(w,v))
Preisfunktion p: V
→ R:
cp (u , v ) = c (v , w ) + p (v ) − p (w )
Ein Fluÿ heiÿt
( - optimal wenn
∀(u , v ) ∈ Ef
cp (u , v ) ≥ 0
cp (u , v ) ≥ −
(u,v)
(v,u)
∈
∈
E
E
Wenn alle Kantenkosten ganzzahlig sind, ist ein
mit
< 1/N ein optimaler Fluÿ.
- optimaler Fluÿ
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Cost Scaling Algorithmen
Vor Start: p(v)=0
Solange
= /a
≥ 1/n
∀
v,
= max |c (ij )|
tue:
p(v)= -min(v ,w )∈E c(v,w) - p(w)
∀
v
cp (v , w ) ≥ 0)
∈X
(
f(v)=0
∀
v
Erzeuge zulässigen,
-
optimalen Fluÿ
(durch push- und relabel Operationen)
Wenn
<
1/n ist der Fluÿ optimal und die Lösung gefunden
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Push/Relabel
Push(v,w): Sendet Fluÿ von v nach w
Relabel(v): Modiziert die Preisfunktion p(v)
Laufzeit hängt von der Auswahl der Knoten v und w ab
Beste Laufzeit O(
n1/2 m ∗ log (nC )
)
Harold William Kuhn
Das Assignmentproblem
Ungarische Methode
Aufwand
aktuelle Entwicklung
Quellen
The Hungarian Method for the assignment problem (Kuhn
[1955])
Algorithms for the Assignment and Transportation Problems
(Munkres [1957])
ADM 2 Skript
http://www.blackwell-synergy.com/
Assignment Problems, by Rainer Burkard, Mauro Dell'Amico,
Silvano Martello
An ecient cost scaling algorithm for the assignment problem
Andrew v. Goldberg und Robert Kennedy 1995