WS 11/12
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Mathe I
Jan-Peter Hohloch
WS 11/12
Inhaltsverzeichnis
1 Logik
1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Die wichtigsten Junktoren . . . . . . . . . . .
1.2.1 Negation . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Konjunktion . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Exklusives Oder . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Implikation . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Sätze ber Implikationen . . . . . . . .
1.3.2 Sätze ber Äquivalenzen . . . . . . . .
1.3.3 Größe von Wahrheitstabellen . . . . .
1.3.4 Einfacherer Lösungsweg . . . . . . . .
1.4 Logische Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Tautologie und Kontradiktion . . . . . . . . .
1.6 Wichtige log. Äquivalenzen . . . . . . . . . .
1.6.1 Kommutativität . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Doppelte Negation . . . . . . . . . . .
1.6.3 De’Morgansche Regeln . . . . . . . . .
1.6.4 Implikation . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.5 Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.6 Assoziativität . . . . . . . . . . . . . .
1.6.7 Distributivität . . . . . . . . . . . . .
1.6.8 Tautologie und Kontradiktion . . . . .
1.7 Bemerkungen zu den logischen Äquivalenzen
1.8 Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Negation von Quantoren . . . . . . . .
1.8.4 Reihenfolge von Quantoren . . . . . .
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2 Mengen
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2.1 Mengen allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Wie spezifiziert man eine Menge? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.1.3 Problematik in Cantors Definition .
2.1.4 Leere Menge . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Kardinalität . . . . . . . . . . . . . .
Def. Teilmenge . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Wichtiger Unterschied . . . . . . . .
2.2.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Gleichheit von Mengen . . . . . . . .
Operationen auf Mengen . . . . . . . . . . .
2.3.1 Schnittmenge/Schnitt . . . . . . . .
2.3.2 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Differenz . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Symmetrische Differenz . . . . . . .
Venn-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . .
Satz über Mengenoperationen . . . . . . . .
2.5.1 Symmetrische Differenz . . . . . . .
2.5.2 De’Morgansche Regel . . . . . . . .
2.5.3 Teilmengenbeziehungen . . . . . . .
2.5.4 Distributivität . . . . . . . . . . . .
Def.: Beliebige Vereinigungen und Schnitte .
geordnete n-Tupel . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . .
Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Schreibweise . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Abbildungen
3.1 Def.: Abbildung . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Schreibweisen . . . . . . . . . .
3.2 Gleichheit von Abbildungen . . . . . .
3.3 Surjektiv, injektiv, bijektiv . . . . . .
3.3.1 Surjektivität . . . . . . . . . .
3.3.2 Injektivität . . . . . . . . . . .
3.3.3 Bijektivität . . . . . . . . . . .
3.3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . .
3.4 Endlichkeit von Mengen . . . . . . . .
3.4.1 Abzählbar unendliche Mengen
3.4.2 Satz über endliche Mengen . .
3.5 Hintereinanderausführung . . . . . . .
3.5.1 Definition . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Assoziativität . . . . . . . . . .
3.5.3 Beweis . . . . . . . . . . . . . .
3
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3.5.4 Beispiele . . . . . . . . . .
3.5.5 Besondere Abbildungen .
Umkehrabbildung bijektiver Abb.
3.6.1 Beispiele . . . . . . . . . .
3.6.2 Beweis . . . . . . . . . . .
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4 Relationen
4.1 Def. Relation . . . . . . . . . . .
4.1.1 Beispiele . . . . . . . . . .
4.1.2 Anmerkung . . . . . . . .
4.2 Ordnungsrelationen . . . . . . . .
4.2.1 Beispiele . . . . . . . . . .
4.3 Äquivalezrelation . . . . . . . . .
4.3.1 Beispiele . . . . . . . . . .
4.4 Def.: Äquivalenzklassen . . . . .
4.4.1 Beispiele . . . . . . . . . .
4.5 Gleichheit von Äquivalenzklassen
4.5.1 Beweis . . . . . . . . . . .
4.6 Zerlegung . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Definition . . . . . . . . .
4.6.2 Beispiele . . . . . . . . . .
4.6.3 Satz . . . . . . . . . . . .
4.7 Repräsentantensystem . . . . . .
4.7.1 Beispiel . . . . . . . . . .
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34
34
34
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35
5 Natürliche Zahlen und Induktion
5.1 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Verschärftes Induktionsprinzip . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Prinzip der rekursiven Definition . . . . . . . . . . . .
5.3.1 informelle Definition . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Rekursive Definition mit mehreren Startwerten
5.4 Rechenregeln für Produkte und Summen . . . . . . . .
5.4.1 Änderung der Summensequenzen . . . . . . . .
5.4.2 Doppelsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Koeffizienten vor Summen . . . . . . . . . . . .
5.5 Wohlordnungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Fibonacci Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Beweis durch vollst. Induktion . . . . . . . . .
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40
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41
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42
3.6
4
6 Elementare Zahlentheorie
6.1 Teiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Rest und Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
mod und div . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 dae und bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 b-adische Darstellung natürlicher Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Schnelles Potenzieren mit Hilfe des Binärsystems . . . . . .
6.5 Kongruenzrelation modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Unterscheidung Modulo und Kongruenz . . . . . . . . . . .
6.5.4 Satz: Kongruenzklassen modulo m . . . . . . . . . . . . . .
6.5.5 Satz: Kongruenzrelation in Summen und Produkten . . . .
6.5.6 Korollar: modulo in Summen und Produkten . . . . . . . .
6.6 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches .
6.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.3 Teilerfremdheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Euklidscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Euklidscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.3 Zusammenhang: Beweis - Algorithmus . . . . . . . . . . . .
6.7.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.5 Satz (Bachet de Méziriac) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.6 Erweiterter Euklidscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . .
6.7.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.8 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.3 Theorem (Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie)
6.8.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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61
61
7 Kombinatorik
7.1 Satz . . . . . . .
7.1.1 Korollar .
7.1.2 Beispiele .
7.2 Auswahlanzahlen
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7.3
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68
69
8 Die reellen Zahlen
8.1 Algebraische Eigenschaften von R . . . . . . .
8.1.1 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Grundregeln der Ordnungsrelation ≤ auf R . .
8.2.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Def.: Intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Def.: Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Satz: Eigenschaften des Absolutbetrages
8.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.1 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Def.: Irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . .
8.7.1 Allgemeines Prinzip . . . . . . . . . . .
8.7.2 Def.: Bisektionsverfahren . . . . . . . .
8.8 Vollständigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . .
8.9 Bemerkung zum Boolschen Prädikat . . . . . .
8.9.1 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.10 Binärdarstellung von x ∈]0, 1[ . . . . . . . . . .
8.10.1 Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . .
8.10.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . .
8.11 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.11.1 Binärdarstellung nicht eindeutig . . . .
8.11.2 Periodizität . . . . . . . . . . . . . . . .
8.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.12.1 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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80
80
81
81
81
81
81
7.4
7.5
7.6
Geordnete Auswahl ohne Zurücklegen .
7.3.1 Definition (n)k . . . . . . . . . .
7.3.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Def.: Permutationen . . . . . . .
Geordnete Auswahl mit Zurücklegen . .
7.4.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . .
Ungeordnete Auswahl ohne Zurücklegen
7.5.1 Def: Binomialkoeffizient . . . . .
7.5.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3 Binomialsatz . . . . . . . . . . .
7.5.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . .
Ungeordnete Auswahl mit Zurücklegen .
7.6.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . .
6
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8.13 Beschränkte Mengen
8.13.1 Definition . .
8.13.2 Beispiele . . .
8.13.3 Satz . . . . .
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82
82
83
83
9 Folgen und Reihen
9.1 Def.: Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Beschänktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Nullfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Rechenregeln für konvergente Folgen . . . . . . . . .
9.6.1 Beweis (exemplarisch) . . . . . . . . . . . . .
9.6.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Landau-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.1 Anschauliche Bedeutung . . . . . . . . . . . .
9.7.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Satz (Bolzano (1781-1848)-Weierstrass (1815-1897))
9.9.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9.2 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.10 Cauchy’sches (1785-1857) Konvergenzkriterium . . .
9.10.1 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.11 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.11.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.11.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.11.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.11.4 Leibniz-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . .
9.11.5 Majoranten-Kriterium . . . . . . . . . . . . .
9.11.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9.12 Absolute Konvergenz . . . . . .
9.12.1 Korollar . . . . . . . . .
9.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . .
9.13.1 (a) Wurzelkriterium . .
9.13.2 (b) Quotientenkriterium
9.13.3 Beweis . . . . . . . . . .
9.13.4 Bemerkung . . . . . . .
9.13.5 Beispiele . . . . . . . . .
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100
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10 Nachtrag: Mengen
103
10.1 Beispiel: Hilberts Hotel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8
Vorwort
Da sich an den Inhalten der Vorlesung sein dem letzten Skript von 06/07 einiges gendert hat, kommt hier die aktuelle Version aus der Vorlesung “Mathe I für Informatiker”
gehalten von Prof. Huson im Wintersemester 11/12.
Was den Inhalt betrifft habe ich mich im Großen und Ganzen an meine Aufschriebe
und für zwei verpasste Vorlesungen an mir zur Verfügung gestellte Mitschriebe gehalten.
An dieser Stelle vielen Dank an die Helfer :)
Geändert habe ich jedoch die Nummerierung der Kapitel, innerhalb des Skriptes stimmt
sie, in der Vorlesung wurde jedoch eine andere Zählung verwendet.
Den LATEX-Code stelle ich ebenfalls zur Verfügung, damit zukünftige Hörer der Vorlesung kleinere Anpassungen leicht vornehmen können.
Außerdem könnt ihr natürlich den Code euren Vorstellungen nach anpassen (beispielsweise interne Verlinkungen anlegen) oder einfach mal ein bisschen mit LATEX herumprobieren (in diesem Fall aber bitte auch auf das Original aufpassen ;)
Jan-Peter
9
1 Logik
1.1 Aussagenlogik
Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch.
wahr = w = 1 = true
falsch = f = 0 = false
Bsp.:
• 2 ist eine Primzahl (1)
• 4 ist eine Primzahl (2)
• es gibt unendlich viele Primzahlen (1)
• es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge (?)
• gibt es unendlich viele Primzahlen? (keine Aussage)
Durch Verknüpfungen mit ’und’, ’oder’, ’wenn, dann’, etc. lassen sich aus einfachen
Aussagen kompliziertere herstellen.
Bsp.:
Wenn ’heute ist ein Werktag’ oder ’heute ist ein verkaufsoffener Sonntag’, dann ’heute
haben die Geschäfte offen’ (BUrlG: Def. von Werktag: ’ Alle Kalendertage, die nicht
Sonn- oder gesetzliche Feiertage sind’) (1)
In Aussagenlogik interessiert zunächst nur der Wahrheitswert (1 oder 0) einer Aussage.
Der konkrete Inhalt bleibt unberücksichtigt. Sie ist ein einfaches Modell des alltäglichen
Sprachgebrauches. Wir verwenden zur Formulierung Aussagevariablen A,B,C,...,A1;A2
,... und Junktoren (und, oder, ...) Dadurch erhalten wir (aussagenlogische) Ausdrücke.
Auch Aussagevariablen heien Ausdrücke. Setzt man für die Aussagevariablen konkrete
Aussagen ein, so erhält man man wieder eine Aussage.
Bsp.:
Ausdruck: A oder B ⇒ C
Aussage: s.o.
Ob die Aussage wahr oder falsch ist, hängt von den konkreten Werten der Variablen und
von den Junktoren ab.
10
1.2 Die wichtigsten Junktoren
1.2.1 Negation
A ¬A
0 1
1 0
Verneinung von A, nicht A, ¬ A
1.2.2 Konjunktion
A und B , A ∧ B
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A∧B
0
0
0
1
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A∨B
0
1
1
1
1.2.3 Disjunktion
A oder B , A ∨ B
1.2.4 Exklusives Oder
A XOR B , A ⊕ B
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A⊕B
0
1
1
0
1.2.5 Implikation
A impliziert B , Wenn A, dann B , A ⇒ B
11
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A⇒B
1
1
0
1
1.2.6 Äquivalenz
A genau dann, wenn B , A ⇔ B
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A⇔B
1
0
0
1
1.3 Bemerkungen
1.3.1 Sätze ber Implikationen
Mathematische Sätze sind häufig von der Form
R⇒S
Es wird also behauptet, dass R ⇒ S eine wahre Aussage ist.
Zu zeigen: Wenn R wahr, dann auch S wahr.
Man nennt R die Voraussetzung und S die Behauptung des mathematischen Satzes.
Bsp.:
a2 + b2
> 2 + ab
2
Ein Beweis besteht aus einer Kette von Implikationen (im einfachsten Fall):
a − b > 2 ∧ a, b ∈ R ⇒
R ⇒ R1 , R1 ⇒ R2 , ..., Rn ⇒ S
Wobei alle Implikationen wahr sind.
a − b > 2 ⇒ (a − b)2 > 4 ⇒ a2 − 2ab + b2 > 4 ⇒ a2 + b2 > 4 + 2ab ⇒
1.3.2 Sätze ber Äquivalenzen
Manchmal sind math. Sätze von der Form
R⇔S
Zu zeigen:
• Wenn R wahr, dann S wahr (R ⇒ S)
• Wenn S wahr, dann R wahr (S ⇒ R)
1.3.3 Größe von Wahrheitstabellen
Bei mehreren Aussagevariablen wir die Wertetabelle schnell sehr groß
x Aussagevariablen → 2x Zeilen
12
a2 + b2
> 2 + ab
2
1.3.4 Einfacherer Lösungsweg
Betrachte:
(A1 ∧ A2 ) ⇒ (A3 ∨ ¬A4 )
Frage: Wann falsch?
Einfacher:
((A1 ∧ A2 ) = 1) ∧ ((A3 ∨ ¬A4 ) = 0) ⇒ Aussage falsch
A1 , A2 = 1; A3 = 0; A4 = 1
1.4 Logische Äquivalenz
Haben zwei Ausdrücke α und β für jede Kombination von Wahrheitswerten der (beteiligten) Aussagevariablen den gleichen Wahrheitswert, so heißen sie logisch äquivalent.
α≡β
(Beachte: ≡ ist kein Junktor) Wenn also α ≡ β, so hat der Ausdruck α ⇔ β immer den
Wahrheitswert 1 (und umgekehrt)
(α ⇔ β) ⇔ (α ≡ β)
1.5 Tautologie und Kontradiktion
Def.: Ein Ausdruck heißt Tautologie, wenn er für jede Kombination der Wahrheitswerte
der Aussagevariablen immer den Wert 1 ergibt.
Hat er den wert 0, heißt er Kontradiktion.
Wenn er keine Kontradiktion ist, ist er erfüllbar.
Ist ein Ausdruck erfüllbar? Gibt es eine schnellere Möglichkeit, als auszuprobieren?
⇒ Hauptproblem der Informatik (P=NP?)
A ∨ ¬A ist eine TautologieA ∧ ¬A ist eine Kontradiktion
1.6 Wichtige log. Äquivalenzen
1.6.1 Kommutativität
A∧B ≡B∧A
A∨B ≡B∨A
A⇔B≡B⇔A
ABER!: A ⇒ B 6≡ B ⇒ A
1.6.2 Doppelte Negation
¬(¬A) ≡ A
13
1.6.3 De’Morgansche Regeln
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
1.6.4 Implikation
A ⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A
A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B
1.6.5 Äquivalenz
A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
1.6.6 Assoziativität
A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧ B) ∧ C
1.6.7 Distributivität
A ∧ (B ∨ C) ≡ A ∧ B ∨ A ∧ C
A ∨ (B ∧ C) ≡ A ∨ B ∧ A ∨ C
1.6.8 Tautologie und Kontradiktion
1 = Tautologie
0 = Kontradiktion
A ∨ ¬A = 1
A ∧ ¬A = 0
Beweis lässt sich mit Wahrheitstabellen erbringen.
1.7 Bemerkungen zu den logischen Äquivalenzen
• Doppelte Negation ist gleichbedeutend mit der Aussage selbst.
• DeMorgansche-Regeln sind für das logische Argumentieren besonders wichtig.
• Implikation ist ebenfalls besonders wichtig, wird im Alltag aber oft falsch gemacht.
• Teilaudrücke können durch logisch äquivalente ersetzt werden.
• Die Äuqivalenzen gelten auch, wenn man die Aussagevariablen durch Ausdrücke
ersetzt.
14
1.8 Quantoren
Quantoren ermöglichen es uns gewisse Aussagen genauer zu formulieren. Das führt zu
einer Erweiterung der Aussagenlogik, nämlich der Quantorenlogik. Es geht um All- und
Existenzaussagen.
∀ für alle; ∃ es existiert mindestens ein
1.8.1 Definition
Allquantor
∀x ∈ E : P (x) bedeutet für alle x aus E gilt die Eigenschaft P.
∀ heißt Allquantor. ∀x ∈ E : P (x) ist eine Aussage, die genau dann wahr ist, wenn P(x)
für alle x ∈ E wahr ist.
Existenzquantor
∃x ∈ E : Q(x) bedeutet “Es existiert mindestens ein x ∈ E mit der Eigenschaft Q(x)”
∃ heißt Existenzquantor. ∃x ∈ E : Q(x) ist genau dann wahr, wenn Q(x) für mindestens
ein x ∈ E wahr ist.
∃!x ∈ E: es existiert genau ein.
1.8.2 Bemerkungen
Allquantor als Konjunktion
Ist E = {x1 , ..., xn } endlich, so gilt:
∀x ∈ E : P (x) ≡ P (x1 ) ∧ ... ∧ P (xn )
∀ ist eine verallgemeinerte Konjunktion.
Existenzquantor als Disjunktion
Ist E = {x1 , ..., xn } endlich, so gilt:
∃x ∈ E : P (x) ≡ P (x1 ) ∨ ... ∨ P (xn )
∃ ist eine verallgemeinerte Disjunktion.
1.8.3 Negation von Quantoren
• ¬(∀x ∈ E : P (x)) ≡ ∃x ∈ E : ¬P (x)
• ¬(∃x ∈ E : Q(x)) ≡ ∀x ∈ E : ¬Q(x)
15
1.8.4 Reihenfolge von Quantoren
∀ und ∃ dürfen nicht vertauscht werden.
Gleiche, nebeneinanderstehende Quantoren dürfen vertauscht und/oder zusammengefasst werden:
• ∀m ∈ N : ∀n ∈ N : P (x) ≡ ∀n ∈ N : ∀m ∈ N : P (x) ≡ ∀m, n ∈ N : P (x)
• ∃m ∈ N : ∃n ∈ N : P (x) ≡ ∃n ∈ N : ∃m ∈ N : P (x) ≡ ∃m, n ∈ N : P (x)
16
2 Mengen
2.1 Mengen allgemein
2.1.1 Cantor
Georg Cantor (1845-1918), Halle/Saale, Begrnder der Mengenlehre:
”Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohl definierten unterschiedlichen
Objektenunseres Anschauens oder unseres Denkens in einem Ganzen.”
Die so zusammengefassten Objekte heißen Elemente der Menge. Mengendarstellung: {...}
2.1.2 Wie spezifiziert man eine Menge?
Aufzählende Schreibweise
{1,2,3,5,9} oder {2,4,6,8,...}
Geht nur bei endlichen oder sogenannten abzhlbaren Mengen.
Reihenfolge und Mehrfachnennung sind unerheblich:
{1,2,3,5,9}={2,1,9,5,3}={2,1,1,9,1,5,3}
Beschreibung durch eine Eigenschaft
M = {x|x hat Eigenschaft}={x : x hat Eigenschaft}
2.1.3 Problematik in Cantors Definition
Cantors Def. ist problematisch und führt zu Widersprüchen:
Russelsche Antinomie:
Sein M die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.
Frage: Ist M ein Element von M?
Wenn ja, dann widerspricht das der Def. von M.
Wenn nein, dann widerspricht das der Def. von M.
Die Axiomatische Mengenlehre behebt das Problem, für unsere Zwecke reicht aber folgende Abhilfe:
Wir bilden nur Mengen, deren Elemente in wohldefinierten Grundmengen liegen, dann
gibt es keine Widersprüche:
Also M = {x|x ∈ G ∧ E(x)} mit E(x) Eigenschaft von x
Typische Grundmengen sind:
N, N0 , Z, Q, R, C
Grundmenge muss nicht explizit angegeben werden, aber existieren!
17
2.1.4 Leere Menge
∅, einzige Menge ohne Elemente
2.1.5 Kardinalität
|M |=Anzahl der Elemente von M
auch: “Mächtigkeit”, “Größe”
|N| = ∞ , |{N}| = 1
|{1, 2, 3, 4} = 4 , |{1, 1, 2, 3, 1, 4, 1}| = 4
2.2 Def. Teilmenge
Seien M, N Mengen.
M heißt Teilmenge von N, geschrieben M ⊆ N , falls gilt:
∀x : (x ∈ M ⇒ x ∈ N )
(“Implikation” beschreibt Teilmengenbeziehungen)
Ist M keine Teilmenge von N, so schreibt man M 6⊆ N
2.2.1 Beispiel
N ⊆ N0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C
2.2.2 Wichtiger Unterschied
∈6≡⊆
Bsp.:
M := {1, N}
Dann:
1 ∈ M, N ∈ M
2 6∈ M , N 6⊆ M
2.2.3 Bemerkung
Mengen können auch Elemente einer (anderen) Menge sein.
2.2.4 Gleichheit von Mengen
M =N ⇔M ⊆N ∧N ⊆M
d.h. ∀x : x ∈ M ⇔ x ∈ N
(“Äquivalenz” definiert Gleichheit)
18
Beispiel
M={2,3,5,7}
N={x|x ist Primzahl < 11}
2.3 Operationen auf Mengen
M,N,A,B,C Mengen
2.3.1 Schnittmenge/Schnitt
M ∩ N := {x|x ∈ M ∧ x ∈ N }
A ∩ B = B ∩ A (Kommutativität)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Assoziativität)
Allgemein auch:
M1 ∩ M2 ∩ ... ∩ Mn = {x ∈ M1 ∧ x ∈ M2 ∧ ... ∧ x ∈ Mn } =
n
T
Mi
i=1
2.3.2 Vereinigung
M ∪ N := {x|x ∈ M ∨ x ∈ N }
A ∪ B = B ∪ A (Kommutativität)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (Assoziativität)
Allgemein auch:
M1 ∪ M2 ∪ ... ∪ Mn = {x ∈ M1 ∨ x ∈ M2 ∨ ... ∨ x ∈ Mn } =
n
S
i=1
2.3.3 Differenz
M \N := {x|x ∈ M ∧ x 6∈ N
Ist N ⊆ M , so heißt M \N Komplement N in M , N c (M )
2.3.4 Symmetrische Differenz
M ∆N := M \N ) ∪ (N \M )
2.4 Venn-Diagramme
2.5 Satz über Mengenoperationen
Seien M,N,L Mengen.
2.5.1 Symmetrische Differenz
M ∆N = (M ∪ N )\(M ∩ N )
19
Mi
2.5.2 De’Morgansche Regel
Sind M, N ⊆ L, so ist (M ∩ N )c = M c ∪ N c und (M ∪ N )c = M c ∩ N c
2.5.3 Teilmengenbeziehungen
M ∩N =M ⇔M ⊆N
M ∪N =M ⇔N ⊆M
2.5.4 Distributivität
L ∩ (M ∪ N ) = (L ∩ M ) ∪ (L ∩ N )
L ∪ (M ∩ N ) = (L ∪ M ) ∩ (L ∪ N )
2.6 Def.: Beliebige Vereinigungen und Schnitte
Sei
S A eine Menge von Mengen.
A := {x|∃A ∈ A : x ∈ A}
A∈A
T
A := {x|∀A ∈ A : x ∈ A}
A∈A
T A1 , A2 , ..., so schreibt man:
SBesteht A aus
Ai
Ai b.z.w.
i∈N
i∈N
Wenn A1 ⊇ A2 ⊇ ... ⊇ Ak , so ist
k
T
= Ak
i=1
Bei unendlichen Schnitten können überraschende Phänomene auftreten:
An ⊆ R := {x ∈ R|0 < x < n1 , n ∈ N},
dann hat jede
T Menge An unendlich viele Elemente und es gilt A1 ⊇ A2 ⊇ ...,
An = ∅
aber es ist
n∈N
2.7 geordnete n-Tupel
Bei Mengen: Reihenfolge unerheblich, auch unendliche Mengen möglich
Bei Tupeln: Reihenfolge relevant, nur endlich viele Elemente
2.7.1 Definition
(x1 , x2 , ..., xn ) = (y1 , y2 , ..., yn ) ⇔ x1 = y1 , x2 = y2 , ..., xn = yn
Dabei müssen nicht alle xi (bzw yi ) verschieden sein.
Für n=2: “Paar”
Für n=3: “Tripel”
20
2.7.2 Beispiele
• Paare zur Beschreibung von Punkten in der Ebene, Tripel im 3D-Raum
• (2, 3, 4, 4) = (2, 3, 4, 4) 6= (2, 4, 3, 4)
2.8 Kartesisches Produkt
Sei n ∈ N, n ≥ 2 und M1 , M2 , ..., Mn nicht-leere Mengen.
Die Menge der geordneten n-Tupel
M1 × M2 × ... × Mn := {(x1 , x2 , ...xn )|x1 ∈ M1 ∧ x2 ∈ M2 ∧ ... ∧ xn ∈ Mn }
heißt das kartesische Produkt der Mengen M1 bis Mn .
Ist eine der Mengen leer, so ist M1 × M2 × ... × Mn = ∅
2.8.1 Schreibweise
M1 × M2 × ... × Mn =
Ist M1 = M2 = ... =
n
Q
Mi
i=1
Mn , so
M n = M1 × M2 × ... × Mn
2.8.2 Beispiele
• A × B 6= B × A im Allgemeinen
A2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
• Tabelle einer Datenbank ist Teilmenge eines kartesischen Produktes endlicher Mengen.
N
A
Alice 23
T=
David 30
Y oda 999
T ⊆N ×A
21
3 Abbildungen
Alltägliche Beispiele:
Foto:
Zuordnung: Jeder Punkt in der Originalszene → ein Punkt auf dem Foto
Computerprogramm:
Eingabedaten → Ausgabedaten
Funktionen:
z.B. f (x) = x2
3.1 Def.: Abbildung
Seien M,N nicht-leere Mengen (nicht unbedingt verschieden).
Eine Abbildung f von M auf N: f : M → N ist eine Zuordnung, die jedem x ∈ M
genau ein f (x) ∈ N zuordnet.
Schreibe x 7→ f (x).
x heißt Argument oder Urbild.
f (x) heißt Bild unter f.
M heißt Definitionsbereich von f
f (M ) := {f (x)|x ∈ M } heißt Bild von f oder Bildbereich von f
f (M ) ⊆ N
Die Menge Gf := {(x, f (x))|x ∈ M } ⊆ N heißt Graph von f.
Funktionen sind Spezialfälle von Abbildungen, deren Definitionsmenge in R (oder Rn )
oder in C (oder Cn ) liegt.
3.1.1 Beispiele
Identische Abbildung, Identität
M sei eine Menge.
idM : M → M, x 7→ x
Abbildung
f : R\{0} → R, x 7→
1
x
Geht nicht von R auf R!
22
Betragsfunktion
| · | : R(→ R (auch möglich, aber nicht nötig: R → R≥0 = R≥0 = R+ )
x
∀x ≥ 0
|x| =
−x ∀x < 0
Schaltfunktion, Bool’sche Funktion
{0, 1}n → {0, 1}
z.B. ∧: {0, 1}2 → {0, 1}
(A, B) 7→ A ∧ B
Indikatorfunktion
Sei M ⊆ A
1M
(
0 ∀x 6∈ M
: A → {1, 0}, x 7→
ist die Indikatorfunktion der Menge M.
1 ∀x ∈ M
Zwei Funktionen für dieselbe Abbildung
f : {0, 1} → {0, 1}, x 7→ x
g : {0, 1} → {0, 1}, x 7→ x2
g und f beschreiben dieselbe Abbildung 0 7→ 0, 1 7→ 1
3.1.2 Schreibweisen
f : M → N , Abb.
A ⊆ M : f (A) = {f (x)|x ∈ A} Bild (-menge) unter f
B ⊆ N : f −1 (B) = {x|x ∈ M, f (x) ∈ B} (volles) Urbild von B unter f
Beispiele
f : Z → N0 , x 7→ x2
f (Z) = {0, 1, 4, 9, 16, ...} = f (N0 )
→ Aus f (A1 ) = f (A2 ) folgt nicht im Allgemeinen A1 = A2 !
f ({−1, 1, 3, 7}) = {1, 9, 49}
f −1 ({1, 2, 3, 4}) = {1, −1, 2, −2}
f −1 ({2}) = ∅ = f −1 ({3}
→ Aus f −1 (B1 ) = f −1 (B2 ) folgt nicht im Allgemeinen B1 = B2
23
3.2 Gleichheit von Abbildungen
Abbildungen f : M1 → N1 und g : M1 → M2 heißen gleich, wenn:
(1) M1 = M2
(2) N1 = N2
(3) f (x) = g(x) ∀x ∈ M1 (= M2 )
Man schreibt f = g.
3.3 Surjektiv, injektiv, bijektiv
f : M → N , Abb.
3.3.1 Surjektivität
f heißt surjektiv, falls f (M ) = N .
Also ∀n ∈ N ∃m ∈ M : f (m) = n.
3.3.2 Injektivität
f heißt injektiv, falls
∀m1 , m2 ∈ M : m1 6= m2 ⇒ f (m1 ) 6= f (m2 )
(≡ ∀m1 , m2 ∈ M : f (m1 ) = f (m2 ) ⇒ m1 = m2 )
3.3.3 Bijektivität
f heißt bijektiv oder Bijektion, falls f surjektiv und injektiv ist.
3.3.4 Beispiele
(a) f (x) = x2
f : Z → N0 , x 7→ x2
f −1 ({3}) = ∅, f (−1) = f (1) = 1
⇒ f ist weder surjektiv noch injektiv.
b: g(x) = 3x + 2
g : R → R, x 7→ 3x + 2
surjektiv?: Betrachte y ∈ R
gesucht ist x mit y = 3x + 2
y−2
3 = x ⇒ g ist surjektiv.
injektiv?:
3x1 + 2 = 3x2 + 2
3x1 = 3x2
x1 = x2 ⇒ g ist injektiv.
⇒ g ist bijektiv.
24
c: Konjunktion ∧
∧ : {0, 1}2 → {0, 1}
surjektiv?: 0 ∧ 0 = 0, 1 ∧ 1 = 1 ⇒ ja
injektiv?: 0 ∧ 0 = 0 = 0 ∧ 1 ⇒ nein
d: h(x) = x + 2
h : N → N, x 7→ x + 2
surjektiv?: y + 1 = x ⇒ ja
injektiv?: h−1 (1) = ∅ ⇒ nein
e: i(x) = x − 1
i : N → N0 , x 7→ x − 1
surjektiv?: i−1 (0) = 1, i−1 (1) = 2, ... ⇒ ja
injektiv?: y + 1 = x ⇒ ja
⇒ i ist bijektiv.
f: Explizite Zuordnung
j : {1, 2, 3, 4, 5} → {a, b, c, d, e}, j(1) = a, j(2) = b, ..., j(5) = e
surjektiv und injektiv (leicht zu sehen)
⇒ j ist bijektiv.
3.4 Endlichkeit von Mengen
Bijektivität bentigt man zur Definition der Endlichkeit einer Menge:
Menge M heißt endlich :⇔ M = ∅ ∨ ∃n ∈ N∃g : {1, 2, ..., n} → M : g bijektiv
3.4.1 Abzählbar unendliche Mengen
∃h : N → M : h bijektiv
(Bsp. e oben)
Ist Z abzählbar?
Dazu definiere: (
k
f : N → Z, x 7→
−k
, falls x = 2k + 1
, falls x = 2k
wobei k = {0, 1, 2, ...}
25
3.4.2 Satz über endliche Mengen
Sei f : M → N Abb.
Sind M und N endlich und |M | = |N |, so sind folgende Aussagen äquivalent (→ ist eine
davon wahr, so sind alle wahr):
• (1) f ist injektiv
• (2) f ist surjektiv
• (3) f ist bijektiv
Beweisbar durch Ringschluss.
Beweis
Zu zeigen (1) ⇒ (2):
Sei m1 , m2 ∈ M
Ist m1 6= m2 , so f (m1 ) 6= f (m2 ) (dann injektiv)
Also |f (M )| = |M |
Da |M | = |N | gilt, folgt |f (M )| = |N |.
Da f (M ) ⊆ N ∧ N endlich, folgt f (M ) = N , d.h. f ist surjektiv.
Zu zeigen (2) ⇒ (3):
Sei N = {n1 , n2 , ..., nk }, k = |N |
Zu jedem Bildpunkt ni ∈ N existiert mindestens ein mi ∈ M mit f (mi ) = ni , da f
surjektiv.
Aus der Def. einer Abbildung folgt, dass m1 , m2 , ..., mn paarweise verschieden sind.
Da |M | = |N | und für i 6= j ist f (mi ) = ni 6= nj = f (mj )
Also ist f auch injektiv und daher bijektiv.
Zu zeigen (3) ⇒ (1):
Durch Def. von Bijektivität.
3.5 Hintereinanderausführung
3.5.1 Definition
f : M → N, g : N → P , Abb.
Die Zuordnung x 7→ g(f (x)) für jedes x ∈ M definiert eine Abb. von M nach P; die
Hintereinanderausführung g ◦ f (g “nach” f) der Abb. g und f.
Also: (g ◦ f )(x) := g(f (x))
26
3.5.2 Assoziativität
Ist zusätzlich h : P → Q eine weitere Abb., so gilt folgendes:
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
3.5.3 Beweis
Def.
f ◦ g ist Abb., per Konstruktion ist x 7→ f (g(x))
Assoziativität
Sei x ∈ M beliebig:
((h ◦ g) ◦ f )(x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g ◦ f )(x)) = (h ◦ (g ◦ f ))(x)
3.5.4 Beispiele
(a) h : R → R, x 7→ sin(x2 ),
dann h = g ◦ f , wobei:
f : R → R, x 7→ x2
g : R → R, x 7→ sin(x)
Beachte: (f ◦ g)(x) = (sin(x))2 , also f ◦ g 6= g ◦ f
(b)
A = Menge alle TN der Vorlesung, die an den Übungsgruppen teilnehmen
B = Übungsgruppen der VL
C = Menge der Tutoren
f : A → B, x 7→ Übungsgr., der x angehört
g : B → C, x 7→ Tutor der Übungsgruppe x
g ◦ f : A → C, x 7→ Tutor der Übungsgruppe, der x angehört.
27
3.5.5 Besondere Abbildungen
injektiver
Die Hintereinanderausführung surjektiver
bijektiver
injektiv
Abb. ist surjektiv
bijektiv
.
3.6 Umkehrabbildung bijektiver Abb.
f : M → N , Abb.,
Dann gilt:
(a) f ist bijektiv genau dann, wenn eine Abbildung g : N → M existiert mit g ◦f = idM
und f ◦ g = idN
(b) g ist eindeutig bestimmt und heißt Umkehrabbildung (inverse Abbildung) f −1 von f
(c) f −1 ist bijektiv und (f −1 )−1 = f
3.6.1 Beispiele
• f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}, f (1) = 3, f (2) = 1, f (3) = 2
f −1 (1) = 2, f −1 (2) = 3, f −1 (3) = 1
• f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}, f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
f −1 (1) = 1, f −1 (2) = 2, f −1 (3) = 3
• f : R → R, x 7→ x3
√
f −1 (x) = 3 x
Verwechslungsgefahr:
f : M → N, Abb.
f −1 (B) = {x ∈ M |f (x) ∈ B} nicht dasselbe!
3.6.2 Beweis
(a) ”⇒” Angenommen f ist bijektiv.
Zu zeigen: ∃g mit den geforderten Eigenschaften.
Sei y ∈ N beliebig.
Da f bijektiv: ∃!x ∈ M : f (x) = y
Wir setzen g(y) = x. Dann ist g : N → M .
Außerdem:
(f ◦ g)(y) = f (g(y)) = f (x) = y = idN (y)
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y) = x = idM (x)
28
”⇐” Angenommen es existiert eine Abb. g mit f (g(y)) = y und g(f (x)) = x
Zu zeigen: f ist bijektiv
f surjektiv? Sei y ∈ N beliebig. dann ist g(y) ∈ M , f (g(y)) = y, d.h. g(y) ist
Urbild von y unter f, also ist f surjetiv
f injektiv? Sei f (x1 ) = f (x2 ).
Dann x1 = g(f (x1 )) = g(f (x2 )) = x2 , also ist f injektiv.
(b) Zu zeigen: Eindeutigkeit von g:
Angenommen es gäbe 2 solcher Abb. g1 und g2 .
Sei y ∈ N
Dann existiert genau ein x ∈ M mit f (x) = y, da f bijektiv.
Es folgt:
g1 (y) = g1 (f (x)) = x
g2 (y) = g2 (f (x)) = x
⇒ g1 = g2
(c) u.U. in Übung
29
4 Relationen
Bisher: f : M → N , Abb.: Jedem x ∈ M wird genau ein y ∈ n zugeordnet.
Jetzt: Verzichtet man auf die unterstrichenen Forderungen, so beschreibt man eine Teilmenge von M × N .
(Allgemein: Teilmengen n-facher kartesischer Produkte M1 × M2 × ... × Mn )
4.1 Def. Relation
Seien M1 , ..., Mn nichtleere Mengen.
Eine n-stellige Relation R über die mengen M1 , ..., Mn ist eine Teilmenge von M1 ×...×Mn
R ⊆1 ×... × Mn
Gilt M1 = ... = Mn , so spricht man von einer n-stelligen Relation auf M.
4.1.1 Beispiele
”Relationelle Datenbank”
V orn N achn Alter W ohnort
P eter
Blau
23
T Ü
P eter
rot
24
T Ü
M aren
Rot
28
RT
R ⊆ V orn × N achn × Alter × W ohnort
Zweistellige Relationen (besonders wichtig)
Besondere Symbole: ∼ oder oder ≤
Gf Graph von Abb. f
(f : M → N, Gf = {(x, f (x))|x ∈ M } ist Relation ⊆ M × N
Da Gf eindeutig, kann Abb. f als spezielle Relation betrachtet werden.
Gleichheitsrelation auf M
R = {(x, x)|x ∈ M } (Graph von idM ) ⊆ M × M
übliche Kleiner-Relation auf Z
R< = {(x, y)|x, y ∈ Z, x < y} ⊆ Z × Z
Teilerrelation |
| (“teilt”) auf N:
x|y heißt x teilt y, d.h. ∃k ∈ N : y = k · x
30
≤-Relation auf Z
x≤y ⇔x<y∨x=y
4.1.2 Anmerkung
Es gibt zwei besonders wichtige Typen von Relation:
• Ordnungsrelationen
• Äquivalenzrelationen
Bsp.: <, ≤ Ordnungsrelationen
4.2 Ordnungsrelationen
Sei M eine nicht-leere Menge, eine 2-stellige Relation auf M mit folgenden Eigenschaften:
(1) ∀x ∈ M : x x (Reflexivität)
(2) ∀x, y ∈ M : x y ∧ y x ⇒ x = y (Antisymmetrie)
(3) ∀x, y, z ∈ M : x y ∧ y z ⇒ x z (Transitivität)
Dann heißt Ordnungsrelation oder partielle Ordnung.
Gilt zusätzlich
(4) ∀x, y ∈ M : x y ∨ y x
so heißt vollständige/lineare/totale Ordnung.
Häufig schreibt man ≤ statt , obwohl das nicht die übliche kleiner-gleich-Ordnungsrelation
auf N, N0 , ... bedeuten muss.
Ist u ≤ v und u 6= v, so schreibt man u < v.
4.2.1 Beispiele
• normale Ordnungsrelation ≤ auf N ist totale Ordnung
• Gleichheitsrelation ist partielle Ordnung auf jeder Menge, nicht total, falls |M | > 1
• Teilerrelation auf N ist partielle Ordnung, nicht total (z.B. weder 2|3 noch 3|2)
• Teilmengenrelation auf der Potenzmenge von M ist partielle Ordnung, nicht total,
falls |M | > 1
• M = {1, 2, 3}, R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)}
Transitivität verletzt: (1, 2) ∈ R, (2, 3) ∈ R, aber (1, 3) 6∈ R
31
• Sei ≤ (partielle) Ordnung auf M
Ordne M n durch
u = (u1 , u2 , ..., un ) v = (v1 , v2 , ..., vn )
⇔
u = v oder ui < vi für das kleinste i mit ui 6= vi
Bsp.:
(a, p, p, l, e) ∈ M 5 , (a, p, p, s, s) ∈ M 5
hier: u v, da l < s
Das ist partielle Ordnung auf M n (s. ÜB 4)
Ist ≤ total, so ist auch total.
Ist total, so heißt lexikographische Ordnung.
4.3 Äquivalezrelation
Sei M = ∅, ∼ eine zweistellige Relation auf M mit folgenden Eigenschaften:
(1) Reflexivität
(2) Symmetrie: x ∼ y ⇒ y ∼ x
(3) Transitivität
Dann heißt ∼ Äquvalenzrelation.
4.3.1 Beispiele
• Gleichheitsrelation: trivial
• M = Z, x ∼ y ⇔ x − y gerade
• Allgemein: Wähle r ∈ N fest, M = Z
Reflexivität x − x = 0 ∧ r|0 ⇔ x ∼ x
Symmetrie x ∼ y ⇔ r|x − y ⇔ r| − (x − y) ⇔ r| − x + y ⇔ r|y − x ⇔ y ∼ x
zu zeigen
Transitivität x ∼ y ∧ y ∼ z ⇒ x ∼ z:
r|x − y ∧ r|y − z
⇒
x − y = k · r, k ∈ Z
y − z = l · r, l ∈ Z
⇒
x−z = x−y+y−z
=
k·r+l·r
=
(k + l) · r
also transitiv, da r|x − z, also x ∼ z
32
4.4 Def.: Äquivalenzklassen
Sei ∼ Äquivalenzrel. auf M und x ∈ M .
Dann heißt [x] := {y ∈ M |y ∼ x} Äquivalenzklasse von x (bezüglich ∼) auf M.
4.4.1 Beispiele
Gleichheitsrelation auf M
∀x ∈ M : [x] = {x}
Relation x ∈ Z, x ∼ y ⇔ 2|x − y
[0] = {y ∈ Z|2|y} = [2] = [−2]
[1] = {y ∈ Z|2 6 |y} = [3] = [−3]
Relation f : M → N, Abb.; x, y ∈ M : x ∼ y ⇔ f (x) = f (y)
[x] = f −1 ({f (x)}) volles Urbild f −1 (f (x)) von f (x) bzgl. f
4.5 Gleichheit von Äquivalenzklassen
Sei ∼ eine Äquivalenzrelation aufM , x, y ∈ M
(a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(i) [x] = [y]
(ii) x ∈ y
(iii) x ∼ y
(b) Ist [x] 6= [y], so ist [x] ∩ [y] = ∅
4.5.1 Beweis
(a) durch Ringschluss
(i)⇒(ii): x ∈ [x] = [y] ⇒ x ∈ [y] (Reflexivität, Annahme)
(ii)⇒[iii): x ∈ [y] ⇒ x ∼ y (Def. Äquivalenzklasse)
(iii)⇒(i): Sei z ∈ [x], dann z ∼ x
Aus x ∼ y folgt wg. Transitivität z ∼ y, also [x] ⊆ [y], da z ∈ [y]
Wegen Symmetrie gilt y ∼ x, es folgt analog [y] ⊆ [x]
⇒ [x] = [y]
(b) Indirekter Beweis (A ⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A)
Sei [x] ∩ [y] 6= ∅, z ∈ [x] ∩ [y]
Aus (a) folgt [z] = [x] = [y]
33
4.6 Zerlegung
4.6.1 Definition
Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation ∼ auf M führen zu einer “Zerlegung” von M:
(a) Mengen A und B heißen disjunkt, falls A ∩ B = ∅
(b) Sei ∅ =
6 Z ⊆ P(M ) Teilmengensystem
Elemente von Z paarweise disjunkt:
∀A, A0 ∈ Z : A 6= A0 ⇒ A ∩ A0 = ∅
(c) Sei Z eine Menge paarweise
nicht-leerer
S disjunkter,
S
U Teilmengen von M.
˙
Dann schreibt man für
A auch
A oder
A (“disjunkte Vereinigung”)
A∈Z
A∈Z
A∈Z
U
Gilt dabei
A = M , so heißt Z Zerlegung von M (“Partition”).
A∈Z
4.6.2 Beispiele
M = {1, 2, 3, 4}
Z = {{1}, {2}, {3, 4}} Zerlegung von M
Z = {{1, 4}, {2, 3}} Zerlegung von M
Z = {z ∈ Z|2|z} ] {z ∈ Z|2 6 |z}
4.6.3 Satz
Sei M 6= ∅ eine Menge.
(a) Ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf M und Z∼ eine die Menge aller verscheidenen
Äquivalenzklassen (bezügl. ∼) auf M, so ist Z∼ eine Zerlegung von M.
(b) Sei Z eine Zerlegung von M.
Setze x ∼ y :⇔ x, y liegen in derselben Menge A ∈ Z.
Dann ist ∼ eine Äquvalenzrelation auf M. Die Äquivalenzklassen bezgl. ∼ sind
gerade die Mengen A ∈ Z
Beweis
(a) Sei ∼ Äquivalenzrelation auf M.
Für jedes S
x ∈ M gilt: x ∈ [x]
Folglich
A=M
A∈Z∼
Dies ist eine disjunkte Vereinigung nach der Definition einer Äquivalenzklasse.
Damit ist Z∼ eine Zerlegung von M.
34
(b) z.Z. ∼ (wie oben definiert) hat Eigenschaften einer Äquivalenzrelation (s.o.)
Reflexivität Sei x ∈ M .
Dann ist x ∈ A für genau eine Menge A ∈ Z, also x ∼ x
Symmetrie Sei x ∼ y, d.h. x, y ∈ A für A ∈ Z, dann auch y ∼ x.
Transitivität Ist x ∼ y und y ∼ z, so x, y ∈ A, y, z ∈ B für geeignete A, B ∈ Z.
Da y ∈ A ∩ B folgt A = B, da Zerlegung, d.h. x, z ∈ A(= B), also x ∼ z.
4.7 Repräsentantensystem
Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf M, Z∼ die Menge der Äquivalenzklassen bezgl. ∼.
Wählt man aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Element aus, so bilden die Elemente
ein Repräsentantensystem der Äquivalnzklassen bezgl. ∼.
4.7.1 Beispiel
x ∼ y :⇔ 2|x − y, Äquvalenzklassen [0], [1],
also {0, 1} ist Repräsentantensystem; ebenso {26, −1357}
35
5 Natürliche Zahlen und Induktion
Natürliche Zahlen sind durch Peano-Axiome beschrieben. Das entscheidende Axiom ist
das Prinzip der vollständigen Induktion.
5.1 Vollständige Induktion
5.1.1 Definition
Sei n0 ∈ N fest.
Für jedes n ≥ n0 sei A(n) eine Aussage (von n abhängig)
Es gelte:
(1) A(n0 ) ist wahr (“Induktionsanfang”)
(2) ∀n ≥ n0 :
Ist A(n) wahr
|
{z
}
Induktionsvoraussetzung
, so ist auch A(n + 1) wahr
|
{z
}
Induktionsbehauptung
(“Induktionsschritt”, “Induktionsschulss”)
Dann ist A(n) für alle n ≥ n0 wahr.
Dies liefert eine Beweismethode für Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen.
Man hat immer 2 Dinge zu beweisen:
• Induktionsanfang gilt (A(n0 ) wahr)
• Induktionsschritt: ∀n ≥ n0 : A(n) ⇒ A(n + 1)
5.1.2 Beispiel
Behauptung: Für jede natürliche Zahl n gilt 1 + 2 + ... + n =
n(n+1)
2
Beweis:
Induktionsanfang n0 = 1, 1 =
1(1+1)
2
=
2
2
= 1X
Induktionsschluss
Induktionsannahme
1 + 2 + ... + n =
n(n+1)
2
Induktionsbehauptung
n+1
P
Dann gilt auch
i=
i=1
gelte für ein beliebiges aber festes n
(n+1)((n+1)+1)
2
36
Induktionsbeweis
1 + 2 + ... + n + n + 1 =
=
=
=
n(n+1)
+n+1
2
n(n+1)+2(n+1)
2
(n+1)(n+2)
2
(n+1)((n+1)+1)
2
5.1.3 Bemerkung
Induktionsprinzip gilt auch für N0
5.2 Verschärftes Induktionsprinzip
A(n), n0 wie in 5.1 definiert.
Es gelte:
(1) A(n0 ) ist wahr.
(2) ∀n ≥ n0 : A(n0 ) ∧ A(n0 + 1) ∧ ... ∧ A(n) ⇒ A(n + 1)
Dann ist A(n) für alle n ≥ n0 wahr.
5.2.1 Beispiel
Behauptung: Jede natürlicher Zahl n > 1 ist Primzahl oder Produkt von Primzahlen
Beweis:
Induktionsanfang n0 = 2 ist Primzahl X
Induktionsschluss
Induktionsannahme
Aussage gilt für 2, 3, 4, ..., n
Induktionsbehauptung
Dann gilt die aussage auch für n + 1
Induktionsbeweis
Ist n + 1 Primzahl, so gilt die Aussage,
sonst n + 1 ist keine Primzahl, also n + 1 = k · l mit
1<k <n+1
1<l <n+1
Nach Ind.vor. gilt Aussage für k und l
⇒ n + 1 ist Produkt von Primzahlen.
37
5.3 Prinzip der rekursiven Definition
Man will eine Abb. g : A → M definieren, M 6= ∅ Menge, A = {n ∈ N|n ≥ n0 }, wobei
n0 ∈ N fest vorgegeben.
5.3.1 informelle Definition
• Definiere g(n0 ) (Festlegung des “Startwertes”)
• Beschreibe, wie man für jedes n ≥ n0 g(n+1) aus g(n) erhält. (“Rekursionsschritt”)
Dann ist g auf ganz A definiert.
5.3.2 Beispiele
Fakultätsfunktion
·! : N0 → N, n 7→ n!
Rek.def.:
0! := 1, (n + 1)! := n! · (n + 1), ∀n ≥ 0
Potenzen von ∈ R, Def. von xn
x0 := 1, xn+1 := xn · x
Summen
A = {n ∈ N0 |n ≥ n0 ∈ N0 } fest vorgegeben.
Gegeben: a : A → R, k 7→ ak , Abb. (“Folge”), also a(k) = ak
n
P
Für jedes n ∈ N0 , n ≥ n0 definiere
ak durch
k=n0
•
n0
P
ak = an0
k=n0
•
n+1
P
k=n0
ak =
n
P
ak + an+1 , ∀n ≥ n0
k=n0
Konvention für n < n0 :
n
P
ak := 0
k=n0
38
Produkte
n
Q
ak , ∀n ≥ n0 :
k=n0
•
n0
Q
ak = an0
k=n0
•
n+1
Q
n
Q
ak =
ak · (n + 1)∀n ≥ n0
k=n0
k=n0
Konvention für n ≥ n0 :
Spezialfall:
n
Q
k=
k=1
n
Q
n
Q
ak := 1
k=n0
k = n!
k=0
Wichtige Frage
Gibt es eine “geschlossene Form” für eine rekursiv definierte Abb.
Definiere rekursiv: g : N → N
g(1) := 2
g(n + 1) := 3g(n) + 4, ∀n ≥ 1
Wir zeigen: g(n) = 4 · 3n−1 − 2, geschlossene Form ∀n ≥ 1
Beweis durch Induktion:
Indanf.: g(1) = 4 · 31−1 − 2 = 4 − 2 = 2 = 2X
Indvor.: Beh. richtig für n, also g(n) = 4 · 3n−1 − 2
Indbeh.: g(n + 1) = 4 · 3n − 2
Indschritt: g(n + 1) = 3 · g(n) + 4 = 3 · (4 · 3n−1 − 2) + 4 = 4 · 3n − 6 + 4 = 4 · 3n − 2
5.3.3 Rekursive Definition mit mehreren Startwerten
Man kann Funktionen auch rekursiv definieren, wenn die Def. von g(n + 1) nicht nur von
g(n), sondern auch von g(n − 1) abhängt (allg.: k vorherige Werte, wobei k fest gewählt).
Dann muss man g(n0 ) und g(n0 − 1) als Startwerte definieren (allg.: k Startwerte).
39
Beispiel
h(1) := 1, h(2) := 3, h(n + 1) := 2 · h(n) − h(n − 1)∀n ≥ 2
Vermutung: h(n) = 2n − 1∀n ≥ 1
Beweis
Da wir unsere Vermutung im Induktionsschluss für n und n−1 verwenden wollen, müssen
wir den Ind.Anf. für n = 1 und n = 2 machen.
Indanf.:
n = 1 : h(1) = 1, 2 · 1 − 1 = 1X
n = 2 : h(2) = 3, 2 · 2 − 1 = 3X
Indschluss: Sei n ≥ 2
h(n + 1) =
2 · h(n) − h(n − 1)
= 2 · (2n − 1) − (2(n − 1) − 1)
=
2 · 2n − 2 − 2n + 2 − 1
=
2n + 1
=
2(n − 1) − 1
5.4 Rechenregeln für Produkte und Summen
5.4.1 Änderung der Summensequenzen
n
P
k=0
ak =
n+1
P
ak−1
k=1
Schreibweisen:
n
P
P
ak =
ak =
k=0
0≤k≤n
B = {a0 , a1 , ...an } :
P
k∈{0,...,n
n
P
ak =
k=0
ak =
P
k
P
ak =
Pn
k=0 ak
a
a∈B
Analog für Produkte
40
5.4.2 Doppelsummen
f : N0 × N0 → R
m
n P
n P
m
P
P
f (i, j))
(
f (i, j) =
i=0 j=0
i=0 j=0
m
P
=
=
m
P
f (0, j) +
j=0
m P
n
P
f (1, j) + ... +
j=0
m
P
f (n, j)
j=0
f (i, j)
j=0 i=0
n
P
Ist n = m, so schreibt man auch:
f (i, j)
i,j=0
5.4.3 Koeffizienten vor Summen
a0 ·
n
P
bk =
k=0
(a0 + a1 ) ·
n
P
a0 · bk
k=0
n
P
bk = a0 ·
k=0
m
P
Allgemein: (
i=0
n
P
bk + a1 ·
k=0
ai ) · (
n
P
k=0
bk ) =
n
P
k=0
m P
n
P
bk =
1 P
n
P
ai · bk
i=0 k=0
am · bk
i=0 k=0
5.5 Wohlordnungsprinzip
Ist ∅ =
6 M ⊆ N , so besitzt M ein kleinstes Element: min(M ).
Logisch äquivalent zum Prinzip der vollst. Induktion.
41
5.6 Fibonacci Zahlen
F (0) := 0, F (1) := 1, F (n) := F (n − 1) + F (n − 2)
0, 1, 1, 2, 3, 5,
√ 8, 13, 21,
√ 34, ...
(1+ 5)n −(1− 5)n
√
F (n) =
2n · 5
5.6.1 Beweis durch vollst. Induktion
Indanf.:
√
√
(1+ 5)0 −(1− 5)0
√
0
√ 2 · 5 √
(1+ 5)1 −(1− 5)1
√
21 · 5
=0
=1
Indschritt:
√
√
F (n) = √15 · (pn − q n ) mit p = 1+2 5 , g = 1−2 5
Es gilt 1 + p = p2√, 1 + q = q 2√
√
√
Beweis: p2 = 1+2 4 5+5 = 6+24 5 = 3+2 5 = 1 + 1+2 5 = 1 + pX
F (n) =
=
=
=
=
F (n − 1) + F (n − 2)
√1 (pn−1 − q n−1 ) + √1 (pn−2 − q n−2 )
5
5
√1 (pn−1 + pn−2 ) − √1 (q n−1 + q n−2 )
5
5
√1 · pn−2 · (p + 1) − √1 · q n−2 · (q + 1)
5
5
√1 · (pn − q n )
5
42
6 Elementare Zahlentheorie
6.1 Teiler
6.1.1 Definition
Seien a, b ∈ Z und b 6= 0. Dann heißt b Teiler von a, falls ein q ∈ Z existiert, sodass
a = b · q. Wir schreiben b|a.
Falls b kein Teiler von a ist: b 6 |a.
Merke: 0 ist niemals Teiler
Beispiel
−3|6, 6 = (−2) · (−3)
17|0, 0 = 17 · 0
6.1.2 Satz
(a) b|c und b|d, dann gilt b|(kc + ld), ∀k, l ∈ Z
(b) b|a und a 6= 0, dann gilt |b| ≤ |a|
(c) b|a und a|b, dann gilt a = b oder a = (−b)
Beweis
(a) Auf ÜB:
Ist ab = i, ac = j, i, j ∈ Z, da a|b ∧ a|c
Dann kb+lc
= ki + lj ∈ Z, da k, l, i, j ∈ Z
a
also a|kb + lc.
(b) Da b|a gilt |b|||a|.
Also |a| = |b| · q für ein q ∈ N, da a 6= 0 gilt
q
P
|a| = q · |b| =
|bi | = |b1 | + |b2 | + ... + |bq | ≥ |b|
i=1
43
(c) Es gilt a = r · b, b = q · a, q, r ∈ Z
a=r·q·a
⇔ a − rqa = 0
⇔ a(1 − rq) = 0
Da a 6= 0, da a|b:
⇒ 1 − rq = a0 ⇔ 1 − rq = 0 ⇔ rq = 1
Somit r|1, q|1
⇒ |r| ≤ 1, |q| ≤ 1, da 0 niemals Teiler gilt:
q = r = 1 oder q = r = −1
6.2 Rest und Quotient
Im Allgemeinen lassen sich ganze Zahlen nicht durch einander teilen. Daher benötigen
wir Division mit Rest.
6.2.1 Satz
Seien a, b ∈ Z, b 6= 0.
Dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen q, r ∈ Z mit
(i) a = q · b + r
(ii) 0 ≤ r ≤ |b|
r heißt “Rest”, q “Quotient”
Beweis
Wir benötigen zwei Beweise:
A Beweis der Existenz von q und r mit (i) und (ii)
B Eindeutigkeit von q,r
A 1.Fall b > 0
Sei q die größte Zahl aus Z mit q ≤ ab . Dann gilt q · b ≤ a
Setze: r = a − qb ≥ 0
Es ist also a = qb + r
Zu zeigen: r < b
Dazu nehmen wir an, dass r < b falsch ist. Dann leiten wir aus r ≥ b eine
Aussage ab, von der wir wissen, dass sie falsch ist. Dann wissen wir, dass r ≥ b
falsch sein muss, es folgt r < b (“Widerspruchsbeweis”, A ⇒ B ≡ A∧¬B = 0)
Dann r = b + s, s ≥ 0, d.h.
44
a − qb = b + s
⇔ a − s = b + qb
⇔ a − s = b(1 + q)
⇒ b(1 + q) = a − s ≤ a
⇔ q + 1 ≤ ab
⇒r<b
2.Fall b < 0
Es ist a = q · |b| + r, 0 ≤ r < |b| (folgt aus 1.Fall)
Also: a = −q · b + r und somit 0 ≤ r < |b|
B
Angenommen q,r sind nicht eindeutig.
a = q1 · b + r1 = q2 · b + r2
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit: r1 ≥ r2
q1 · b + r1 = q2 · b + r2
⇔ r1 − r2 = q2 · b − q1 · b
⇔ r1 − r2 = b(q1 − q2 ) ≥ 0 (da r1 ≥ r2)
Also b|(r1 − r2 )
Zu zeigen: r1 − r2 = 0, durch Widerspruchsbeweis:
r1 − r2 6= 0
6.1.2b)
⇒ |b| ≤ r1 − r2 ≤ r1 < |b|
⇒ r1 = r2
und da b 6= 0 : q1 = q2
6.3
mod und div
6.3.1 Definition
Seinen a, b ∈ Z, b 6= 0
Sei a = q · b + r mit 0 ≤ r < |b|, q, r ∈ Z, wie 6.2.1
Dann q = a div b
r = a mod b
q,r eindeutig nach 6.2, d.h.
div : Z × Z\{0} → Z, (a, b) 7→ a div b
mod : Z × Z\{0} → Z, (a, b) 7→ a mod b
Beachte: a mod b = 0 ⇔ b|a
45
6.3.2 dae und bac
Sei x ∈ R
dxe kleinste ganze Zahl q mit q ≥ r “ceiling”
bxc größte ganze Zahl q mit q ≤ r “floor”
Also: dxe = bxc = x, ∀x ∈ Z
Bemerkung
(
b ab c , wenn b > 0
a div b =
d ab e , wenn b < 0
a mod b = a − b(a div b)
In Java,C,... für a ≥ 0, in der regel nicht für a < 0 (⇒ Beim Programmiern auch
negativer Rest möglich, in der Mathematik nicht!)
Def. in(Java:
b ab c , für a · b > 0
a\b =
d ab e , für a · b < 0
6.4 b-adische Darstellung natürlicher Zahlen
6.4.1 Satz
Sei b ∈ N, b > 1
Jedes n ∈ N0 lässt sich darstellen in der Form:
k
P
n=
xi · bi , wobei
i=0
(i) bk ≤ n < bk+1 für n > 0, bzw. k = 0, falls n = 0
(ii) xi ∈ N0 , 0 ≤ xi ≤ b − 1, xk 6= 0 für n 6= 0
Diese Darstellung ist eindeutig, sie heißt b-adische Darstellung von n.
xi heißen Ziffern von n bzgl. b.
Schreibweise
n = (xk xk−1 ... x1 x0 )b oder, wenn b klar ist: n = xk xk−1 ... x1 x0
46
Beweis
Existenz und Eindeutigkeit durch Induktion nach n
Existenz
IA: n0 = 0, n0 =
0
P
x0 · k 0 = 0 · 1 = 0
i=0
IS:
IV: Aussage gelte für alle n0 ∈ N0 , n0 < n
IB: Aussage gilt dann auch für n
Setze x0 = n mod b
Dann b|(n − x0 ), also n − x0 = n0 · b, 0 ≤ n0 < n, da b > 1
Wende IV an:
k
P
n0 =
x0i · bi , k, x0i mit (i) und (ii)
i=0
Setze xi+1 = x0i für i = 0, ..., k
Dann:
n = b · n0 + x0
k
P
=b·
x0i bi + x0
i=0
=
k
P
=
i=0
k+1
P
=
i=1
k
P
xi+1 bi+1 + x0
xi bi + x0
xi bi X
i=0
Gilt (i)? Z.z.: bk+1 ≤ n < bk+2
Ist n0 > 0, so gilt nach IV bk ≤ n0 < bk+1
⇔ b · bk ≤ b · n0
⇔ bk+1 ≤ b · n0 + x0
⇔ bk+1 ≤ n
Es gilt auch n0 ≤ bk+1 − 1, also auch bn0 ≤ bk+2 − b
x0 <b
n = bn0 + x0 ≤ bk+2 − b + x0 < bk+2 X
Gilt (ii)?
Ja, für x1 , ...xk+1 nach IV, da xi+1 = x0i .
Auch ist 0 ≤ x0 < b, da x0 = n mod b.
47
Eindeutigkeit:
r
l
P
P
xi bi =
n=
yi bi , ai , yi , l, r mit (i),(ii)
i=0
j=0
Dann x0 = y0 = n mod b
0 n−y0
Betrachte n−x
b , b , wende IV an
Beispiel
Binärsystem (161)10
1.Möglichkeit (wie im Beweis)
n = n 0 · b + x0
0
n0 = n−x
b :
161 mod 2 = 1 = x0
161−1
mod 2 = 80 mod 2 = 0 = x1
2
80−0
mod
2 = 40 mod 2 = 0 = x2
2
40−0
mod
2 = 20 mod 2 = 0 = x3
2
20−0
mod 2 = 10 mod 2 = 0 = x4
2
10−0
mod 2 = 5 mod 2 = 1 = x5
2
5−1
mod 2 = 2 mod 2 = 0 = x6
2
2−0
mod 2 = 1 mod 2 = 1 = x7
2
⇒ (161)10 = (10100001)2
2.Möglichkeit
Höchste Potenz von 2, die ≤ 161?
27 = 128
162 − 128 = 33
Höchste 2er-Potenz ≤ 33?
25 = 32
33 − 32 = 1 = 20
⇒ (161)10 = (10100001)2
48
Hexadezimalsystem (161)10
0, ...9, A, ..., F
161 mod 16 = 1
161−1
mod 16 = 10 mod 16 = 10 =
bA
16
⇒ (161)10 = (A1)16
oder
(161)10 = (
1010}
|{z
=(10)10 =(A)16
0001
|{z}
)2
=(1)10 =(1)16
⇒ (161)10 = (A1)16
6.4.2 Schnelles Potenzieren mit Hilfe des Binärsystems
Sei a ∈ R, m ∈ N
Um am zu berechnen:
a
· ... · a} Sehr langsam für große m
| · a {z
m−1 Multiplikation
Schneller: m = 2l (Spezialfall)
am : a2 , (a2 )2 = a4 , ..., ((a2 )l−1 )2 = (a2 )l = am
l Multiplikationen, statt 2l−1
Allgemeiner Fall:
k
P
m=
xi · 2i , xi ∈ {0, 1}, xk = 1 (o.B.d.A. m > 0)
i=0
k
P
xi ·2i
am = ai=0
k
k−1
= a2 · axk−1 ·2
· ... · ax1 ·2 · ax0
k−1
k−2
2
x
·2
= (a
· a k−1
· ... · ax1 )2 · ax0
= ...
= (...(a2 · axk−1 )2 ... · ax1 )2 · ax0
“square and multiply”
Algorithmus “square and multiply”
b := a
f or j = k − 1 (step − 1)down to 0 do
b := b2
if xj = 1 then b := b ∗ a
end
P rint b
49
6.5 Kongruenzrelation modulo m
6.5.1 Definition
Sei m ∈ N. Für a, b ∈ Z gilt:
a ≡ b (mod m) (“a kongruent b modulo m”)
⇔ m|a − b
d.h. a − b = k · m, bzw. a = b + km, b = a + (−k) · m, k ∈ Z
z.B. 17 ≡ −4 (mod 7), da 7|17 − (−4) = 21
6.5.2 Satz
(a) Kongruenzrelation modulo m ist Äquivalenzrelation
(b) a ≡ 0 (mod m) ⇔ m|a
(c) a ≡ b (mod m), c ∈ Z ⇒ c · a ≡ c · b (mod m)
(d) a ≡ b (mod m) ⇔ a mod m = b mod m
(e) a mod m ≡ a (mod m)
Beweis
(a) Reflexivität X
Symmetrie X
Transitivität:
a ≡ b (mod m) ∧ b ≡ c (mod m)
⇒ m|a − b ∧ m|b − c
⇒ m|(a − b) + (b − c) = a − c
⇒ a ≡ c (mod m)X
(b) trivial X
(c) a ≡ b (mod m) ⇔ m|a − b
⇒ c · m|c(a − b) ∧ c 6= 0
⇔ cm|ca − cb ∧ c 6= 0
⇔ ca ≡ cb (mod cm)
⇒ ca ≡ cb (mod m)X
(d) “⇒”
Es gilt: a ≡ b (mod m) ⇔ m|a − b ⇔ a = b + km ∧ k ∈ Z
Auch gilt: b = q1 · m + r, 0 ≤ r < m
Folglich: a = q1 · m + r + km = m(q1 + k) + r
also: a mod m = r = b mod mX
50
(d) “⇐”
a = q1 · m + r
b = q2 · m + r
⇒ a − b = (q1 − q2 )m, d.h. m|a − b
⇒ a ≡ b (mod m)X
(e) Es gilt:
(a mod m) mod m = a mod m
Behauptung folgt aus (d) “⇐”
6.5.3 Unterscheidung Modulo und Kongruenz
Bei festem m ist
a 7→ a mod m, Abb. Z → N
≡ (mod m) dagegen ist Relation auf Z2
17 mod 7 = 3
17 ≡ 3 (mod 7), aber 17 ≡ 10 (mod 7), 17 ≡ (−4) (mod 7)
2 · 3 ≡ 2 · 2 (mod 2) aber 3 6≡ 2 (mod 2)
(6.5.2 (c) nur Implikation, nicht Äquivalenz!)
6.5.4 Satz: Kongruenzklassen modulo m
Die Äquivalenzklassen der Kongruenzrelation modulo m (genannt: “Kongruenzklassen modulo m”
sind genau die Mengen
{r + k · m|k ∈ Z}, r = 0, ..., r = m − 1}
Die Menge Zm := {0, 1, ..., m − 1} ist ein Repräsentantensystem der Kongruenzklassen
mod m.
Beweis
Folgt aus 6.5.2 (d) , da Aufteilung je nach Rest
Bsp: Kongruenzklassen mod 2
[0], [1], Z2 = {0, 1}
6.5.5 Satz: Kongruenzrelation in Summen und Produkten
Seien a1 ≡ a2 (mod m) ∧ b1 ≡ b2 (mod m), dann:
(a) a1 + b1 ≡ a2 + b2 (mod m)
(b) a1 − b1 ≡ a2 − b2 (mod m)
(c) a1 · b1 ≡ a2 · b2 (mod m)
51
Beweis
Aus Voraussetzung: m|a1 − a2 ∧ m|b1 − b2
(a) Voraussetzung
⇒ a1 − a2 = k · m ∧ b1 − b2 = l · m, k, l ∈ Z
⇒ a1 − a2 + b1 − b2 = km + lm
⇒ a1 + b1 − (a2 + b2 ) = (k + l)m
⇒ m|(a1 + b1 ) − (a2 + b2 )
⇒ a1 + b1 ≡ a2 + b2 (mod m)
(b) analog
(c)
m|a1 − a2 ⇒ m|(a1 − a2 )b1 = a1 b1 − a2 b2
m|b1 − b2 ⇒ m|(b1 − b2 )a2 = a2 b1 − a2 b2
Also (6.1.2. (a)):
m|(a1 b1 − a2 b1 ) + (a2 b1 − a2 b2 )
⇒ m|a1 b1 − a2 b2
⇒ a1 b1 ≡ a2 b2 (mod m)
6.5.6 Korollar: modulo in Summen und Produkten
(=wichtige Folgerung aus einem Satz)
(a ± b) mod m = ((a mod m) ± (b mod m)) mod m
(a · b) mod m = ((a mod m) · (b mod m)) mod m
“In mod-Beziehungen (von Summen und Produkten) lassen sich Zahlen durch andere
Zahlen aus derselben Kongruenzklasse ersetzen”
Beweis
Aus 6.5.2 (e) folgt:
a mod m ≡ a (mod m)
b mod m ≡ b (mod m)
Aus 6.5.5 folgt:
(a mod m) + (b mod m) ≡ a + b (mod m)
Aus 6.5.2(e) folgt:
(a mod m) + (b mod m) ≡ ((a mod m) + (b mod m)) mod m (mod m)
Aus Transitivität von ≡ folgt Behauptung.
52
6.6 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames
Vielfaches
6.6.1 Definition
Seien a1 , ..., ar ganze Zahlen.
(a) Ist mindestens ein a1 6= 0, so ist der größte gemeinsame Teiler ggT (a1 , ..., ar ) die
größte natürlich Zahl, die alle a1 , ..., ar teilt.
(b) Sind alle ai 6= 0, so ist das kleinste gemeinsame Vielfache kgV (a1 , ..., ar ) die kleinste
natürliche Zahl, die von allen a1 , ...ar geteilt wird.
6.6.2 Bemerkungen
(a) ggT (a1 , ..., ar ) existiert und ist eindeutig bestimmt:
1 teilt alle a1 , ..., ar und jeder gemiensame Teiler ist ≤ |ai | ∀i
(b) kgV (a1 , ..., ar ) existiert und ist eindeutig bestimmt:
|a1 | · ... · |ar | wird von allen ai geteilt, also existiert eine natürliche Zahl, die von
allen a1 , ..., ar geteilt wird.
(c) ggT (a1 , ..., ar ) = ggT (|a1 |, ..., |ar |)
kgV (a1 , ..., ar ) = kgV (|a1 |, ..., |ar |)
6.6.3 Teilerfremdheit
Ist ggT (a1 , ..., ar ) = 1, so heißen a1 , ..., ar teilerfremd.
6.7 Euklidscher Algorithmus
Der ggT von zwei Zahlen wird mit dem Euklidschen Algorithmus berechnet.
Das Grunndprinzip im folgenden Lemma:
6.7.1 Lemma
Seinen q, a, b ∈ Z, b 6= 0
Dann ist:
ggT (a, b) = ggT (q · b + a, b)
53
Beweis
∀t ∈ N gilt:
t|a ∧ t|b ⇒ t|q · b + a ∧ t|b
gegeben : a, b ∈ Z, nicht beide 0
bestimme ggT(a,b)
oBdA: b 6= 0, b 6 |a (sonst ggT (a, b) = b)
Setze: a0 = a, a1 = b
Idee: mehrfache Division mit Rest, Aufg. wird kleiner, bis Rest=0
a0 = q1 · a1 + a2 mit 0 ≤ a2 ≤ a1
a1 = q2 · a2 + a3 mit 0 ≤ a3 ≤ a2
a2 = q3 · a3 + a4 mit 0 ≤ a2 ≤ a3
...
an−1 = qn · an + 0 (erstmalig Rest=0)
Es gilt:
ggT (a, b)
= ggT (b, a)
= ggT (a1 , a0 )
= ggT (a1 , q1 a1 + a2 )
= ggT (a1 , a2 ) (nach Lemma)
= ggT (a2 , a1 )
= ggT (a2 , q2 a2 + a3 )
= ggT (a2 , a3 )
...
= ggT (an−1 , an )
= ggT (an , an−1 )
= ggT (an , qn an )
= an
= Beweis für Euklidschen Algogithmus
54
6.7.2 Euklidscher Algorithmus
0 Eingabe: a, b ∈ Z, nicht beide 0
1 if b = 0 than y := |a| endif
2 if b|a than y := || endif
3 if b 6= 0 ∧ b 6 |a than
4
x := a, y := b
5
while x mod y 6= 0 do
6
r := x mod y
7
x := y
8
y := r
9
endwhile
10 endif
11 Ausgabe: y (=ggT(a,b))
6.7.3 Zusammenhang: Beweis - Algorithmus
Im Beweis:
ggT (ai , ai+1 )
= ggT (ai+1 , ai )
= ggT (ai+1 , ai+2 )
wobei ai+2 Rest von Division von ai durch ai+1
Im Algorithmus:
In der While-Schleife:
Zunächst: x := ai , y := ai+1
Dann: r := x mod y = ai mod ai+1 = ai+2
Schleifenende:
x := ai+1
y := ai+2
6.7.4 Beispiel
0 a=48, b=-30
1 b 6= 0 → 2
2 b 6 |a → 3
55
3 b 6= 0 ∧ b 6 |a → 4
4
5
x := 48, Y := −30
48 mod − 30 = 18 6= 0 → 6
6
r := 18
7
x := −30
5
−30 mod 18 = 6 6= 0 → 6
6
r := 6
7
x := 18
8
y := 6
5
18 mod 6 = 0 = 0 → 11
11 Ausgabe: 6 (=ggT(48,-30))
Der folgende Satz liefert eine richtige Darstellung des ggT zweier ganzer Zahlen.
6.7.5 Satz (Bachet de Méziriac)
Seien a, b ∈ Z nicht beide =0.
Dann existieren s, t ∈ Z mit
ggT (a, b) = s · a + t · b
Beweis(konstruktiver Beweis)
(
1
Ist b=0, so ggT (a, b) = a = s · a + t · b mit t = 0 ∧ s =
−1
, falls
, falls
(
1
Ist b 6= 0 ∧ b|a, so ggT (a, b) = |b| = s · a + t · b mit s = 0 ∧ t =
−1
Sei jetzt b 6= 0 ∧ b 6 |a
Setze a0 = a, a1 = b
Euklid. Alg.:
a0 = q1 a1 + a2 , a1 = q1 a1 + a2 , ..., an−1 = qn an + 0
an = ggT (a0 , a1 ) (n ≥ 2, da a1 6 |a2 )
(insbesondere aj−2 = qj−1 aj−1 + aj )
Beh.: ∀j = 0, ..., n∃sj , tj ∈ Z : aj = sj a0 + tj a1
(Satz folgt für j=n)
56
a>0
a<0
, falls b > 0
, falls b < 0
Beweis durch Induktion:
IA j = 0, s0 = 1, t0 = 0 : a0 = 1 · a0 + 0 · a1 = a0 X
j = 1, s1 = 0, t1 = 1 : a1 = 0 · a0 + 1 · a1 = a1 X
IS
IV Sei j ≥ 2: aj−2 = sj−2 a0 + tj−2 a1
aj−1 = sj−1 a0 + tj−1 a1
IB aj = aj−2 − qj−1 aj−1
= sj−2 a0 + tj−2 a1 − qj−1 (sj − 1a0 + tj−1 a1 )
= (sj−2 − qj−1 sj−1 ) =: sj a0 + (tj−2 − qj−1 tj−2 ) a1
|
{z
}
|
{z
}
=:tj
Beweis liefert sofort einen Alg. zur Bestimmung von s,t.
6.7.6 Erweiterter Euklidscher Algorithmus
0 Eingabe: a, b ∈ Z, nicht beide 0
1 if b = 0 than y := |a| endif
2 if b|a than y := || endif
3 if b 6= 0 ∧ b 6 |a than
4
x := a, y := b, s−2 := 1, s−1 := 0, t−2 := 0, t−1 := 1
5
while x mod y 6= 0 do
6
q := x div y, r := x mod y
7
s := s−2 − q · s−1 , t := t−2 − qt−1
8
s−2 := s−1 , s−1 := s
9
t−2 := t−1 , t−1 := t
10
11
x := y, y := r
endwhile
12 endif
13 Ausgabe: Y (=ggT(a,b)),s,t (mit y=sa+tb)
57
Beispiel
y
s−2 s−1 s t−2 t−1 t q
r
x
48 −30 1
0
0
1
−30 18
0
1 1 1
1 1 −1 18
−12
6
1
2 2 1
3 3 −2 6
6.7.7 Korollar
Seien a, b, c ∈ Z, m ∈ N.
(a) Seien a,b nicht beide 0, so gilt :
a und b sind teilerfermd ⇔ ∃s, t ∈ Z : sa + tb = 1
(b) Sind a,b nicht beide 0, so gilt:
c|a ∧ c|b ⇒ c|ggT (a, b)
(c) Ist ggT(a,b)=1, so gilt:
a|b · c ⇒ a|c
(d) Ist ggT(c,m)=1 und gilt ca ≡ cb (mod m), so ist a ≡ b (mod m)
Beweis
(a) “⇒”: 6.7.5
“⇔”: Seien s, t ∈ :sa + tb = 1
Betrachte: d=ggT(a,b)
6.1.2(a)⇒ d|sa + tb = 1, also d=1
(b) nach 6.7.5 gilt ggT(a,b)=sa+tb
c|a ∧ c|b ⇒ c|sa + tb ⇒ c|ggT (a, b)
6.1.2
(c) 6.7.5: ∃s, t ∈ Z mit 1 = sa + tb
also c = sac + tbc
Da a|a ∧ a|bc, folgt mit 6.1.2(a):
a|asc + tbc
(d) ca ≡ cb (mod m) ⇒ m|ca − cb ⇔ m|c(a − b)
Wegen ggT (c, m) = 1 folgt nach (c):
m|a − b ⇔ a ≡ b (mod m)
58
6.7.8 Bemerkungen
Die Aussagen in 6.7.5 und 6.7.7(a) gelten auch für ggT beliebig vieler Zahlen:
Seien a1 , ..., ak ∈ Z, k ≥ 2, nicht alle ai = 0, dann
(a) ∃s1 , ..., sk : ggT (a1 , ..., ak ) = s1 a1 + ... + sk ak
(b) ggT (a1 , ..., ak ) = ggT (ggT (a1 , ..., ak−1 ), ak )
(ggT (a1 ) = |a1 |)
(c) c|a1 ∧ ... ∧ c|ak ⇒ c|ggT (a1 , ..., ak )
(d) kgV (a1 , ..., ak ) = kgV (kgV (a1 , ..., ak−1 ), ak ) ai 6= 0
(kgV (a1 ) = |a1 |)
6.8 Primzahlen
6.8.1 Definition
Eine natürliche Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn 1 und p die einzigen natürlichen zahlen
sinde, die p teilen. (d.h. ∀1 ≤ k < p : ggT (p, k) = 1
6.8.2 Satz
Ist p Primzahl, a1 , ..., ak ∈ Z mit p|a1 · ... · ak ,
dann existiert i mit p|ai
Beweis
Induktion nach k
IA k = 1 X, da dann p = a1
IS
IV Satz gelte für k-1
IB Satz gilt dann auch für k
IBew Betrachte p = a1 · ... · ak
Ist p = ak , so folgt die Behauptung, sonst p 6 |ak
so ggT (p, ak ) = 1, da p Primzahl.
Nach 6.7.7(c) gilt p|a1 · ... · ak−1
Nach IV: ∃j ∈ {1, ..., k − 1} : p|aj
59
6.8.3 Theorem (Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie)
Zu jeder Zahl a ≥ 2 gibt es endlich viele verschiedene Primzahlen p1 , ..., pn und natürliche
Zahlen e1 , ..., en mit
a = pe11 · ... · penn
Die pi heißen Primfaktoren (Primteiler) von a.
Die Darstellung von a als Produkt von Primzahlen ist eindeutig (bis auf die Reihenfolge).
Beweis
Existenz: 5.2.1: Jede natürliche Zahl ist Primzahl oder Produkt von Primzahlen.
Eindeutigkeit:
Angenommen wir hätten:
fm
mit pi , qi , ei , fi ∈ N
a = pe11 · ... · penn = q1f1 · ... · qm
pi paarweise verschieden, qi paarweise verscheiden.
Nach 6.8.2 gilt:
Jedes pi teilt eines der qj , d.h. pi = qi , da qj Primzahl.
Ebenso umgekehrt(qj = pi , da pi Primzahl).
Also {p1 , ..., pn } = {q1 , ..., qn }, n = m
OBdA (da Elemente einer Menge vertauscht werden knnen; Kommutativität von ·)
sei pi = qi ∀i = 1, ..., n
Noch zu zeigen: ei = fi ∀i = 1, ..., n
Beweis durch Widerspruch:
Angenommen es gibt ein k mit ek 6= fk und oBdA ek < fk
Teile beide Seiten durch pekk
fk+1
fk−1
ek+1
ek−1
· ... · pfnn
· pfkk −ek · pk+1
· ... · penn = pf11 · ... · pk−1
pe11 · ... · pk−1
· pk+1
Da pk die rechte Seite teilt (da fk > ek ), teilt pk auch die linke Seite und damit ein pj
mit j 6= k (nach 6.8.2). Also gilt pj = pk , ein Widerspruch zur Definition der pi
Also ei = fi ∀i = 1, ..., n
60
6.8.4 Korollar
Seien a, b ∈ N, a, b ≥ 2
Seien P
P (b) die Mengen
von Primfaktoren von a und b, d.h.
Q(a) und
Q m(p)
a=
pn(p) und b =
p
p∈P (a)
p∈P (b)
mit n(p), m(p) ∈ N geeignet gewählt.
Dann ist
ggT (a, b) =
Y
pmin(n(p),m(p))
p∈P (a)∩P (b)
und
Y
kgV (a, b) =
p∈P (a)\P (b)
Y
pn(p) ·
p∈P (b)\P (a)
pm(p) ·
Y
pmax(n(p),m(p))
p∈P (a)∩P (b)
wobei min: Minimum, max: Maximum
Insbesondere ist: a · b = ggT (a, b) · kgV (a, b)
Beispiel
a = 1248 = 25 · 3 · 13
b = 3780 = 22 · 33 · 5 · 7
ggT (a, b) = 22 · 3 = 12
kgV (a, b) = 25 · 33 · 5 · 7 · 13 = 393120
6.8.5 Bemerkung
(a) Sind a1 , ..., ak paarweise teierfremd, so ist kgV (a1 , ..., ak ) = a1 · ... · ak
(folgt aus 6.7.8(d))
(b) Sind ai |c ∀i = 1, ..., k, so kgV (a1 , ..., ak )|c
61
7 Kombinatorik
(nur ein kleiner Teil)
Es geht hier um Abzählbestimmungen und versch. Typen von Zusammenfassungen endlich vieler Objekte. Bildet Basis der diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie.
7.1 Satz
Seinen A,B Mengen
(a) |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
(b) Sind A,B nicht leer, so |A × B| = |A| · |B|
Frage
?!
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
(A) und (b) lassen sich verallgemeinern.
7.1.1 Korollar
A1 , ..., An nicht leer, so |A1 × ... × An | =
Insbesondere für A 6= ∅ : |An | = |A|n
n
Q
Ai
i=1
7.1.2 Beispiele
(a) Wieviele Wörter der Länge n gibt es über dem Alphabet {0, 1}
Wörter der Länge n= n-Tupel
|{0, 1}n | = |{0, 1}|2 = 2n
(b) Wieviele DNS-Sequenzen der Länge 1000 gibt es?
|{A, G, C, T }1000 | = |{A, G, C, T }|1000 = 41000
62
7.2 Auswahlanzahlen
Anzahl von Auswahlen für k Gegenstände aus n Gegenständen. Wir unterscheiden:
• Anordnung relevant?
“Geordnete Auswahl” (z.B. Spiel 77)
• Anordnung nicht relevant?
“Ungeordnete Auswahl” (z.B. Lotto)
• Wiederholung möglich?
“mit zurücklegen” (z.B. Spiel 77)
• Wiederholung nicht möglich?
“ohne Zurücklegen” (z.B. Lotto)
7.3 Geordnete Auswahl ohne Zurücklegen
Fragestellung:
Gegeben: Menge B (“Urne”) mit n unterscheidbaren Gegenständen (g1 , ..., gn )
Wir wählen nacheinander k Elemente aus und legen sie der Reihenfolge nach aus.
(gi1 , ..., gik ), wobei ij 6= il ∀i, j, l (⇒ ohne Zurücklegen)
Frage: Wieviele Auswahlen von k-Tupeln sind möglich?
Andere Interpretation:
Verteilung von k verschiedenen Gegenständen aus B auf Plätze 1,...,k (kein Platz frei)
Kann
beschrieben werden
als injektive Abbildung
1
2 ... k
, {1, ..., k} → B
gi1 gi2 ... gik
7.3.1 Definition (n)k
Setze für n, k ∈ N : (n)k := n · (n − 1) · ... · (n − k + 1)
Beachte: (n)1 = n, (n)k = 0 ∀k > n
Auch: (n)k := n · (n − 1) · ... · (n − k + 1) · (n−k)·(n−k−1)·...·1
(n−k)·(n−k−1)·...·1 =
Insbesondere: (n)n =
n!
(n−n)!
n!
(n−k)!
= n!
7.3.2 Satz
Es gibt genau n(n)k viele Auswahlen vom k Objekten aus einer Menge B von n (unterschiedlichen) Objekten, wenn keine Wiederholungen möglich sind und die Anordnung
berücksichtigt wird.
63
Beweis
Sei n ∈ N beliebig aber fest gewählt.
Induktion nach k
IA k = 1 : n Möglichkeiten, (n)k = n X
IS IV: (n)k ist Anzahl der Möglichkeiten für beliebiges aber festes k ≥ 1
IBeh: (n)k+1 ist richtig.
IBew: Ist k + 1 > n, so Anz. = 0
(n)k+1 = 0 X
Sei also k + 1 ≤ n
Sind die Plätze 1,...,k schon belegt(IV), bleoben für Platz (k+1) noch (n-k)
Möglichkeiten.
Also (n)k viele Verteilungen von k versch. Elementen aus B auf die Plätze
1,...,k; also:
(n)k · (n − k)
= (n − 1) · (n − 2) · ... · (n − k + 1) · (n − k)
= (n)k+1
Beispiel
Wieviele Möglichkeiten gibt es für Rank 1,2 und 3 am Ende einer Bundesligasaison mit
18 Vereinen?
n = 18, k = 3 : (18)3 = 18 · 17 · 16 = 4896
7.3.3 Korollar
Seinen A, B 6= ∅, |A| = k, |B| = n
Dann gibt es genau (n)k injektive Abbildungen A → B
Beweis
Folgt aus
|7.3.1
{z }
F ormulierung
und |7.3.3
{z }
Anzahl
64
7.3.4 Def.: Permutationen
Eine bijektive Abb. einer Menge A auf sich selbst heißt Permutation von A.
Ist A endlich, so gibt es |A|! Permutationen auf A.
Sei A = {1, 2, ..., n}, Menge der Permutationen auf A heißt dann Sn
|Sn | = n! (n = 1 : 1, n =2 : 2, n = 3 : 6, n = 4 : 24,
...)
1
2
...
n
Schreibweise für π ∈ Sn
π(1) π(2) ... π(n)
oder (π(1), π(2), ..., π(n))
7.4 Geordnete Auswahl mit Zurücklegen
Fragestellung:
Menge b mit n verschiedenen Gegenständen. Wähle nacheinander k Gegenstände davon
aus, wobei nach jeder Auswahl der Gegenstand zurückgelegt wird und die Reihenfolge
der ausgewählten Gegenstände notiert wird.
1 2 ... n
Jede solche Auswahl kann man beschreiben durch
b1 b2 ... bn
b ∈ B nicht notwendig verschieden
Die Anzahl solcher Auswahlen entspricht genau der Anzahl aller Abb. {1, ..., k} → B
Andere Interpretation:
Gegenstände 1,...,k (paarweise verschieden), Farben n:
Färbe die gegenstände ein (Farben dürfen mehrfach verwendet werden)
7.4.1 Satz
Es gibt genau nk geordnete Auswahlen mit zurücklegen von k Elementen aus B mit n
Elementen.
Beweis
Menge der Auswahlen ist
B × B × ... × B, k-mal
Nach 7.1.1: n · n · ... · n = nk
Korollar
Es gibt ganau nk Abb. A → B, wenn |A| = k, |B| = n
65
7.5 Ungeordnete Auswahl ohne Zurücklegen
Fragestellung:
Urne mit n Kugeln (alle verschieden) wähle k aus und lege alle in einen Korb.
Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es?
Die Anzahl entspricht der Anzahl der k-elementigen Teilemengen einer n-elementigen
Menge.
7.5.1 Def: Binomialkoeffizient
n, k ∈ N
(0
0
n
k :=
n!
, falls k > n
, falls 0 ≤ k ≤ n
k!(n−k)!
heißt Binomialkoeffizient (“n über k” / “ n choose k”)
k
Also: nk = (n)
k!
n
Spezialfall: n0 = 1 = nn , n1 = n = n−1
Bemerkung
n
(a) nk = n−k
n
(b) nk + n−k
=
n+1
k
Pascalsches Dreieck
folgt aus Bemerkung
1
1
1
1
1
1
3
4
5
1
2
1
3
6
10
1
6
15
20
Ebenen: n=0,1,2...
Diagonalen: k=0,1,2,...
1
4
10
1
5
15
1
6
1
gibt die Werte von nk an (nach Def. und Bem.)
z.B. 42 = 32 + 31 = 6
7.5.2 Satz
Anzahl der ungeordneten
Auswahlen ohne Zurücklegen von k Elementen aus einer Menge
von n Elementen ist nk
Dies ist genau die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.
66
Beweis
Satz richtig für k > n und k = 0.
Sei also 1 ≤ k ≤ n.
Anzahl geordneter Auswahlen ohne Zurücklegen: (n)k (7.3.3)
Je k! dieser geordneten Auswahlen
führen zur selben ungeordneten Auswahl.
n
k
Also gesuchter Wert: (n)
=
k!
k
Korollar
Sei M = {0, 1}n . Anzahl der 0,1-Folgen der Länge n mit genau k Einsen ist
7.5.3 Binomialsatz
Seien a, b ∈ R, n ∈ N0
n
P
n n−k
· bk
(a + b)n =
k a
k=0
Beweis
Induktion nach n mit 7.5.1 Bem. (b)
Alternativ: anschaulich:
(a + b) · (a + b) · ... · (a + b)
|
{z
}
n−mal
Wie oft tritt (an−k · bk ) auf?
Aus k Klammern wird b ausgewhlt, aus den übrigen a:
7.5.4 Korollar
Sei M eine endliche Menge, |M | = n
Es gilt |P(M )| = 2n
Beweis
Entweder durch Induktion oder:
n
7.5.3 P n
2n = (1 + 1)n =
k
k=0
Behauptung folgt nun aus 7.5.2
67
n
k
Möglichkeiten
n
k
7.6 Ungeordnete Auswahl mit Zurücklegen
Fragestellung:
Auswahl k aus n mit Wiederholung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
Interpretiert als Färbungsproblem:
n Farben, k gleiche Kugeln
Wieviele Möglichkeiten gibt es diese k Kugeln mit jeweils einer der n Farben zu färben?
7.6.1 Satz
Sei |B| = n, k ∈ N0
(1) Anzahl aller möglchkeiten k Elemente aus B zu ziehen (ohne Reihenfolge mit
Zurücklegen)
(2) Die Anzahl der geordneten n-Tupel (x1 , ..., xn ), xi ∈ N0 mit x1 + ... + xn = k
(3) Die Anzahl der 0,1-Folgen der Länge n+k-1, die genau k Einsen haben.
Die gemeinsame Zahl ist n+k−1
(k > n möglich)
k
Beweis
I (1)=(2)
B = {b1 , ..., b2 } Jeder Auswahl von k elementen aus B ordnen wir das n-tupel
(x1 , ..., xn ) ∈ Nn0 zu, wobei xi = Anzahl, wie oft bi ausgewählt wurde
n
P
⇒
xi = k
i=1
II (2)=(3)
(x1 , ..., xn ) → ( 1, ..., 1 , 0, 1, ..., 1 , 0, ..., 0, 1, ..., 1 )
| {z }
| {z }
| {z }
x1 Stellen
x2 Stellen
xn Stellen
Es gibt hier genau k Einsen und n-1 Nullen (welche die Einträge der xi trennen)
Bsp: (0, 0, 3, 1, 0, 1, 0) → (0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0)
III Anzahl (3) = n+k−1
nach 7.5.2
k
68
7.6.2 Beispiel
Wieviele Möglichkeiten gibt es 8 gleiche Kugeln mit jeweils einer von 3 Farben zu färben
rot grün blau
8
0
0
7
1
0
n+k−1
= 10
= 10
= 45
k
8
2
7
0
1
...
...
...
0
0
8
69
8 Die reellen Zahlen
Zunächst algebraische Eigenschaften von Add. und Multiplikation
8.1 Algebraische Eigenschaften von R
Addition
(1) ∀a, b ∈ R : a + b ∈ R (Algebraische Abgeschlossenheit bzgl. Add.)
(2) ∀a, b, c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativität)
(3) ∀a ∈ R∃0 ∈ R : 0 + a = a + 0 = a (0 ist neutrales Element bzgl Add.)
(4) ∀a ∈ R∃! − a ∈ R : a + (−a) = (−a) + a = 0 (es existiert ein inverses Element bzgl.
Add)
(5) ∀a, b ∈ R : a + b = b + a (Kommutativität)
Multiplikation
(6) ∀a, b ∈ R : a · b ∈ R (Algebraische Abgeschlossenheit bzgl. Mult.)
(7) ∀a, b, c ∈ R : (a · b) · c = a · (b · c) (Assoziativität)
(8) ∀a ∈ R∃1 ∈ R : 1 · a = a · 1 = a (1 ist neutrales Element bzgl Mult.)
(9) ∀a ∈ R∃!a−1 ∈ R : a · a−1 ) = a−1 · a = 1 (es existiert ein inverses Element bzgl.
Add)
(10) ∀a, b ∈ R : a · b = b · a (Kommutativität)
Zusammenhang zwischen Add. und Mult.
(11) ∀a, b, c ∈ R : (a + b) · c = ac + bc ∧ a · (b + c) = ab + ac (Distributivität)
Beachte: “· bindet stärker als +”
70
8.1.1 Bemerkungen
(a) (1) Statt a + (−b) schreibt man a − b (Subtraktion)
(2) Statt a · b−1 schreibt man
(3) −(−a) = a und
(a−1 )−1
a
b
oder a : b oder a ÷ b (Division)
=a
(4) −0 = 0 und 1−1 = 1
(b) Eigenschaften 1-5 auch von Z erfüllt und auch von Q (mit der üblichen Addition)
Es gibt auch andere Mengen, mit anderer Addition, die 1-5 erfüllen:
Z2 = {0, 1} mit Verknüpfung ⊕ definiert a ⊕ b = (a + b) mod 2 (≡ XOR)
(c) Eigenschaften (6)-(10)auch von Q erfüllt, aber nicht von Z (da (9) nicht erfüllt)
(6)-(10) besagen insbesondere, dass R\{0} eine “kommutative Gruppe” bezüglich
der Multiplikation ist.
(d) Es gibt weitere Mengen mit anderen Def. von + und ·, die die Eigenschaften (1)(11) haben
Name: Körper (engl. field)
z.B. Z2 = {0, 1}, ⊕, · ist ein Körper
a b 1⊕b a·b
0 0
0
0
0 1
1
0
1 0
1
0
1 1
0
1
Zu zeigen: Es gilt (1)-(11) für (Z2 , ⊕, ·)
(1) Add. ist abgeschlossen
(2) assoziativität von ⊕ Beweis durch Tabelle
(3) neutrales Element: 0 ⊕ 0 = 0, 1 ⊕ 0 = 1, 0 ⊕ 1 = 1
⇒ 0 neutrales Element
(4) Inverses Element: 0 ⊕ 0 = 0 also −0 = 0, 1 ⊕ 1 = 0, also −1 = 1
(5) Kommutativität: 0 ⊕ 1 = 1 ⊕ 0 = 1
(6) Multiplikation abgeschlossen
(7) Assoziativität von ·, Bew. durch Tabelle
(8) neutrales Element: 0 · 1 = 0, 1 · 1 = 1, 1 ist neutrales Element
(9) inverses Element: 1 · 1 = 1, also 1−1 = 1
(10) Kommutativität: 0 · 1 = 1 · 0 = 0
(11) Distributivität: (a ⊕ b) · c = (a · c) ⊕ (a · b)
Also R und Q sind Körper mit üblicher Add. und Mult.
Z2 ist Körper mit ⊕ und ·.
71
(e) (e1 ) ∀a ∈ R : a · 0 = 0
Es gilt:
(3)
(11)
a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0
Außerdem:
(4)
(2)
s.o.
0 = a · 0 + (−(a · 0)) = (a · 0 + a · 0) + (−(a · 0)) = a · 0 + (a · 0 + (−a · 0))
(4)
(3)
= a·0+0 = a·0
(e2 ) ∀a, b ∈ R : a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0
Angenommen b 6= 0, dann zu zeigen a = 0:
V or.
e
0 = a · b =1 (a · b) ·
(7)
b−1
|{z}
(9)
(8)
= a · (b · b−1 ) = a · 1 = a
ex., da lt. Vor. b6=0
(e3 ) −(ab) = (−a) · b = a · (−b)
Beweis:
1. Gleichung:
(11)
(4)
(e1 )
(a · b) + (−a · b) = (a + (−a)) · b = 0 · b = 0
2. Gleichung:
analog nach (5)
(e4 ) (−a) · (−b) = a · b
(e3 )
(e3 )
(−a) · (−b) = −(a · (−b) = −(−(a · b))
(f) In
In
In
In
8.1.1(a)(3)
=
a·b
N gelten (1),(2),(5)-(8),(10),(11)
N0 zusätzlich (3)
Z zusätzlich (4)
Q zusätzlich (9)
8.2 Grundregeln der Ordnungsrelation ≤ auf R
(1) R ist durch ≤ total geordnet
(2) ∀x, y, a ∈ R : x ≤ y ⇒ a + x ≤ a + y (Transformationsinvarianz)
(3) ∀x, y, a ∈ R, a ≥ 0 : x ≤ y ⇒ a · x ≤ a · y (Dehnungsinvarianz)
(4) ∀x, y ∈ R, 0 < x < y∃n ∈ N : n · x > y (Archimedisches Axiom)
Beachte: Grundregeln gelten auch für N, Z und Q
Aus diesen Grundregeln folgt:
(2’) Ist x < y, so gilt a + x < a + y
(3’) Ist x < y, a > 0, so gilt ax < ay
72
Beweis
Sei x < y.
Nach (2) gilt: x ≤ y ⇒ a + x < a + y ∨ a + x = a + y
Im ersten Fall folgt die Behauptung.
Im zweiten Fall:
a+x=a+y
⇔ x = y, also zweiter Fall tritt nicht auf, da Voraussetzung x < y
(3’) ähnlich
8.2.1 Satz
Seien x, y, a ∈ R
(a) x ≤ y ⇔ y − x ≥ 0 ⇔ −y ≤ −x
(b) x ≤ y, a ≤ 0 ⇒ ax ≥ ay
(c) x, y ≥ 0 ⇒ x + y ≥ 0 ∧ x · y ≥ 0
x ≥ 0, y ≤ o ⇒ x · y ≤ 0
x, y ≤ 0 ⇒ x + y ≤ 0 ∧ x · y ≥ 0
Insbesondere: ∀x ∈ R : x2 ≥ 0
Alle Aussagen in (c) bleiben richtig, wenn
≤ durch < und
≥ durch > ersetzt werden.
(d) 0 < x < y ⇒ 0 <
(e) ∀x > 0∃n ∈ N :
1
n
1
y
<
1
x
(Beachte:
< x (Beachte:
1
y
1
n
= y −1 , x1 = x−1 )
= n−1 )
(f) ∀x, y ≥ 0, n ∈ N : xn < y n ⇒ x < y
Beweis (exemplarisch)
Zu (a): durch Ringschluss
8.2(2)
1 ⇒ 2: x ≤ y ⇒ 0 = x + (−x) ≤ y + (−x) = y − x
2 ⇒ 3: y − x ≥ 0 ⇒ −x = −y + (y − x) ≥ (−y) = −y
Beh 1
Beh. 2
3 ⇒ 1: −y ≤ −x ⇒ −x − (−y) ≥ 0 ⇒ −(−x) ≤ −(−y) ⇒ x ≤ y
73
8.3 Def.: Intervall
a, b ∈ R, a ≤ b
abgeschlossenes Intervall
[a, b] := {x ∈ R|x ≥ a ∧ x ≤ b}
mit Endpunkten a und b
offenes Intervall
]a, b[:= {x ∈ R|x > a ∧ x < b}
ohne Endpunkte a und b
halboffenes Intervall
]a, b] := {x ∈ R|x > a ∧ x ≤ b}
oder
[a, b[:= {x ∈ R|x ≥ a ∧ x < b}
unendliche Intervalle
] − ∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a}
] − ∞, a[:= {x ∈ R|x < a}
[a, ∞[:= {x ∈ R|x ≥ a}
]a, ∞[:= {x ∈ R|x > a}
] − ∞, ∞[:= R
8.3.1 Beispiele
(a) Bestimme die Menge aller x ∈ R mit
2x + 4 ≤ −3x + 5
8.2(2)
⇔ 2x ≤ −3x + 1
8.2(2)
⇔ 5x ≤ 1
8.2(3)
⇔ x ≤ 51
⇒ L =] − ∞, 51 ]
(b) Bestimme alle x ∈ R mit
1
2
x−2 ≤ x+3
1. Fall x + 3 < 0 ⇔ x < −3
Dann: x − 2 < −5 < 0
x + 3 ≤ 2(x − 2) ⇔ 7 ≤ x
⇒ Widerspruch zum Fall (x < −3)⇒ keine Lösung
74
2.Fall x + 3 > 0 ⇔ x > −3 ∧ x − 2 < 0 ⇔ x < 2 ⇒ −3 < x < 2
1
2
x−2 ≤ x+3
x+3
⇔ x−2 ≤ 2
⇔ x + 3 ≥ 2(x − 2)
⇔7≥x
⇒ L =] − 3, 2[
3.Fall x + 3 > 0 ∧ x − 2 > 0 ⇒ x > 2
1
2
x−2 ≤ x+3
⇔ x + 3 ≤ 2(x − 2)
⇔7≤x
⇒ L = [7, ∞[
⇒ L =] − 3, 2[∪[7, ∞[
(c) Bestimme x ∈ R mit
−3x + 2 < 1 ∧ x1 + 2 ≥ 3
1. Gl. −3x + 2 < 1
⇔ −3x < −1
⇔ x > 31
2. Gl. x1 + 2 ≥ 3 für x >
⇔ x1 ≥ 1
⇔1≥x
1
3
⇒ L =] 13 , 1]
8.4 Satz
Sei 0 < q < 1
Dann ∀x ∈ R+ ∃n ∈ N : 0 < q n < x
8.4.1 Beweis
Schreibe 1 = q + s, s > 0
Es ist s · x > 0
1
Nach 8.2.1 (e) : ∃n ∈ N : n+1
<x·s
1
Also (n+1)·s < x.
Es gilt:
1 = 1n+1
= (q + s)n+1
7.5.3 n+1
= q
+ (n + 1) · q n s + ... + sn+1
> (n + 1)q n s (alle anderen Summanden weggelassen)
1
also: q n < (n+1)s
<x
75
8.5 Def.: Absolutbetrag
(
a ∈ R, |a| = max{a, −a} =
a
−a
, falls a ≥ 0
, falls a < 0
|a| misst Abstand von a zu 0
Allgemeiner: |a − b| = d(a, b), Abstand von a und b
8.5.1 Satz: Eigenschaften des Absolutbetrages
(a) −|a| ≤ a ≤ |a|, |a| = | − a|, |a|2 = a2
(b) |a| = 0 ⇔ a = 0
(c) |a · b| = |a| · |b|
(d) |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung)
(e) ||a| − |b|| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b|
Beweis
(a)-(c) klar.
(a)
(d) |a + b|2 = (a + b)2
= a2 + 2ab + b2
≤ a2 + b2 + 2 · |a| · |b|
= |a|2 + |b|2 + 2 · |a| · |b|
= (|a| + |b|)2
⇒ |a + b|2 ≤ (|a| + |b|)2
8.2.1(f )
⇒
|a + b| ≤ |a| + |b|
(d)
(e) |a − b| ≤ |a| + | − b| = |a| + |b| X(2. Ungleichung)
Noch zu zeigen: 1. Ungleichung
(d)
(I) |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b|
⇒ |a| − |b| ≤ |a − b|
(d)
(II) |b| = |b − a + a| ≤ |b − a| + |a|
⇒ |b| − |a| ≤ |b − a|
⇒ −(|a| − |b|) ≤ |a − b|
||a| − |b|| = max{−(|a| − |b|), |a| − |b|
⇒ ||a| − |b|| ≤ |a − b| nach Def. von Betrag
76
Beispiel
Bestimme alle x ∈ R mit
1
|x−2| ≥ 5
1. Fall x − 2 > 0 ⇔ x > 2
1
Dann: x−2
≥5
1 ≥ 5(x − 2)
11 ≥ 5x
11
5 ≥x
⇒ x ∈]2, 11
5 ]
2.Fall x − 2 < 0 ⇔ x < 2
1
Dann: −(x−2)
≥5
1 ≥ −5(x − 2)
− 9 ≥ −5x
9
5 ≤x
⇒ x ∈ [ 95 , 2[
9 11
⇒ L = [ 95 , 2[∪]2, 11
5 ] = [ 5 , 5 ]\{2}
8.6 Satz
Es ist Q ⊂ R (also Q ⊆ R ∧ Q 6= R).
√
Ist p eine Primzahl, so p 6∈ Q
8.6.1 Beweis
√
√
Angenommen p ∈ Q, dann lässt sich p als grkürzter Bruch schreiben:
√
p= m
n , m, n ∈ N, ggT (m, n) = 1
2
Dann:5p = m
n2
⇒ pn2 = m2
⇒ p|m2
6.8.2
⇒ p|m
⇒ p2 |m2
m 2 = p · n2
⇒ p|n2 (da m ∈ N)
6.8.2
⇒ p|n
also p ist Teiler von m und n, somit wäre nicht 1 1 der ggT
√
⇒ p 6∈ Q
√
⇒ p lässt sich nicht als abbrechende oder ab einer gewissen Stelle periodische Dezimalzahl schreiben.
77
8.7 Def.: Irrationale Zahlen
Zahlen, die√nicht rational sind heißen irrational.
Man kann 2 (wie jede irrationale zahl) durch ein Approximationsverfahren darstellen
(bei endlich vielen Schritten bis auf einen beliebigen vorgegebenen Fehler)
Idee:
√
√
Setze a := 0 und b := 2. Intervallgrenzen um 2 also a ≤ 2 ≤ b
while(b − a ≥ 2−100 ) do
c := a+b
2
if (c2 < 2) then
a := c
else b := c
endif
endwhile
Ausgabe : a
Statt 2−100 kann
√ jede beliebige Fehlergerenze > 0 eingesetzt werden, damit berechnet
das Verfahren 2 beliebig genau.
while(true) do → unendliche Schleife
√
Dann “bestimmt” dieses Verfahren eine eindeutige Zahl für 2
8.7.1 Allgemeines Prinzip
Sei B(x, y) eine Funktion abhängig von x und y den Wert 1 oder 0 annimmt (wahr oder
falsch) “Boolsches Prädikat” (Bedingung).
8.7.2 Def.: Bisektionsverfahren
Seinen a0 , b0 ∈ R, a0 < b0 und B(·, ·) Boolsches Prädikat.
Dann heißt der unendliche Algorithmus Bisektionsverfahren oder Intervallhalbierungsverfahren
a := a0 , b := b0
while(true) do
c := a+b
2
if (B(a, b) = 1) then
a := c
else b := c
endif
endwhile
Seien an und bn die Werte von a und b im n-ten Durchlauf.
78
Klar: a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ bn ≤ bn−1 ≤ ... ≤ b1 ≤ b0 ∀n ∈ N
Bisektionsverfahren nähert sich immer genau einer zahl an. Dass man nicht auf eine
Lücke stößt, besagt das Vollständigkeitsaxiom.
8.8 Vollständigkeitsaxiom
Durch jedes Bisektionsverfahren wird eindeutig eine reelle zahl x dargestellt oder bestimmt. Dabei gilt:
∀n ∈ N0 ∃x ∈ R : an ≤ x ≤ bn ∧ 0 < bn − an =
b0 − a0
2n
R ist ein archimedisch total geordneter Körper (8.1 und 8.2) in dem das Vollständigkeitsaxiom gilt.
Hierdurch ist R eindeutig bestimmt (z.B. Q ist nicht vollständig)
8.9 Bemerkung zum Boolschen Prädikat
Das (unendliche)
Bisektionsverfahren mit
(
2
√
1 , falls a+b
<2
2
liefert 2
B(a, b) =
0 , sonst
8.9.1 Beweis
Sei x die so definierte Zahl. Es gilt an ≤ x ≤ bn ∀n
2
2
Nach Def. von B
√ gilt: an ≤ 2 ≤ bn
Zu zeigen: x = 2 √
√
angenommen: x 6= 2, d.h. |x − 2| > 0
Nach 8.4 (mit q = 21 ) existiert n ∈ N mit:
√
1 n
< |x − 2|
2
n
−a0
2
Mit 21 = 21n = 2n+1
= b20n+1
= bn+1 − an+1
√
folgt bn+1 − an+1 < |x − 2|, d.h. es muss
x
√6∈ [an+1 , bn+1 ] oder
2 6∈ [an+1 , bn+1 ] gelten
Widerspruch
zur Def.
√
⇒x= 2
79
8.10 Binärdarstellung von x ∈]0, 1[
Mit dem Bisektionsverfahren lässt sich die Binärdarstellung einer reellen Zahl x ∈ R
berechnen.
Zunächst sei x ∈]0, 1[
Dann: x = 0, x1 , x2 , x3 , ..., mit xi ∈ {0, 1}
Behauptung:
1
1
1
+ x2 · 2 + x3 · 3 + ...
2
2
2
(x1 , x2 , ...) ist “die” Binärentwicklung von x.
Diese Darstellung ist nicht immer eindeutig.
x = x1 ·
Beginne bisektionsverfahren mit a = 0, b = 1 und teste in jedem Schritt, ob
also
(
1 , falls a+b
2 <x
B(a, b) =
a+b
0 , falls 2 ≥ x
Wir erhalten:
a0 ≤ a1 ≤ ... ≤ an ≤ x ≤ bn ≤ bn−1 ≤ ... ≤ b0 und bn − an ≤ 21n
Es ist:
an = x1 · 12 + x2 · 212 + ... + xn · 21n mit xi ∈ {0, 1}
Dabei: xi = 1 ⇔ ai > ai−1 also Wert von B(ai−1 , bi−1 ) im i-ten Durchlauf.
Es ist:
x − an ≤ bn − an = 21n
Also an nähert sich beliebig nahe an x an (für n steigend)
also xi liefern Binärdarstellung z.B. n = 5, so erhält man die ersten 5 Ziffern.
a+b
2
< x,
8.10.1 Algorithmus
a := 0, b := 2
f or i = 1 to n step 1 do
c := a+b
2
if (c < x) then
a := c, xi := 1
else b := c xi = 0
endif
endf or
Ausgabe: 0, x1 , x2 , ...xn
8.10.2 Bemerkung
Für x ∈ R beliebig erhält man die x ≥ 1
Binärdarstellung s.o.
ym , ym−1 , ..., y0 , x1 , x2 , ..., xn , wobei ym , ym−1 , ..., y0 = (ym ym−1 ... y0 )2 die Binärdarstellung von bxc (floor: größte Zahl z ∈ Z mit z ≤ x)ist
80
und 0, x1 x2 ... die Binärdarstellung von x − bxc.
Für x < 0 schreibe Binärdarstllung von |x| mit - versehen.
Beispiel
√
Binärdarstellung von 2.
1,...
√
mit Algorithmus 8.10.1 ist 2 − 1 errechenbar:
√
2 = 1 + 0, 01101010000...
1
1
= 1 + 41 + 18 + 32
+ 128
+ ...
8.11 Bemerkungen
8.11.1 Binärdarstellung nicht eindeutig
Die Binärdarstellung ist nicht immer eindeutig:
z.B. 12 lässt sich darstellen als:
0,1000... oder als 0,0111...
Allgemein: x = 2kn k ∈ Z hat keine eindeutige Binärdarstellung.
8.11.2 Periodizität
Binärdarstellung von x wird periodisch (ab einer gewissen Stelle), falls a · x ∈ Q. Sonst
nicht!
8.12 Satz
(a) ∀r ∈ R∀n ∈ N∃q ∈ Q : |r − q| ≤
1
2n
(b) Zwischen zwei reellen Zahlen r1 < r2 liegt immer eine rationale Zahl q : r1 < q < r2
(sogar unendlich viele)
(c) Zwischen zwei reellen Zahlen r1 < r2 liegt immer eine irrationale Zahl s : r1 < s <
r2 (sogar unendlich viele)
8.12.1 Beweis
(a) Sei r ∈ R. Schreibe r = z + x, mit z ∈ Z und x ∈ [0, 1[
Bilde von x die Binärdarstellung bis n wie in 8.10
an = x1 21 + x2 212 + ... + xn 21n und definiere dann:
q := z + an
Dann gibt q ∈ Q und |q − r| = |z + an − (z + x)| = |an − x| ≤ |an − bn | =
81
1
2n
X
(b) Nach 8.4: ∃n ∈ N : 21n < r2 − r1 (mit q = 21 )
1
Nach (a) : ∃q ∈ Q : |r1 − q| ≤ 2n+1
Ist q > r1 , so ist q die gesuchte Zahl
Ist q ≤ r1 , so ist q + 21n die gesuchte Zahl.
8.13 Beschränkte Mengen
Für endliche Mengen {a1 , ..., an } von reellen Zahlen existiert ihr Minimum und Maximum:
z.B. A = {−3, 5, 6, 2, 3}
min(A) = −3, max(A) = 6
Für unendliche Mengen ist das nicht unbedingt so:
z.B. Intervall [0, 1[ hat kein Maximum wegen 8.12.
8.13.1 Definition
Sei ∅ =
6 M ⊆R
Supremum
M heißt nach oben beschränkt, falls ∃d ∈ R mit m < d ∀m ∈ M .
d heißt obere Schranke von M. d heißt obere Grenze oder Supremum von M, sup(M ),
wenn d ist obere Schranke und d0 ≥ d für alle Schranken d’ von M. Supremum ist die
kleinste obere Schranke von M.
Infimum
M nach unten beschränkt, falls ∃e ∈ R : e ≤ m ∀m ∈ M .
e heißt untere Schranke von M. e heißt untere Grenze oder Infimum, inf (M ), falls e
untere Schranke und e ≥ e0 für alle unteren Schranken von M.
Beschränktheit
M beschränkt, falls nach oben und unten beschränkt.
Bemerkungen
• Ist sup(M ) ∈ M , so max(M ) := sup(M )
• Ist inf (M ) ∈ M , so min(M ) := inf (M )
n
n
i=1
i=1
• Ist M = {a1 , ..., an } endlich, so sup(M ) = max ai , inf (M ) = min ai
82
8.13.2 Beispiele
(a) M =]0, 1[ beschränkt
Jede Zahl ≥ 1 ist obere Schranke
Jede Zahl ≤ 0 ist untere Schranke
inf (M ) 6∈ M , also min nicht definiert
sup(M ) 6∈ M , also max nicht definiert
(b) M = [0, 1] beschränkt,
0 = inf (M ) ∈ M , also min(M) existiert
0 = sup(M ) ∈ M , also max(M) existiert
(c) M = { n1 |n ∈ N} beschränkt
sup(M ) = max(M ) = 11 = 1
inf (M ) = 0 6∈ M min(M) existiert nicht.
(d) m = { m+n
m |m, n ∈ N}
m+n
n
m = 1 + m , M ist nicht nach oben beschränkt
Jedes Element von M ist ≥ 1 und 1 = inf (M ) 6∈ M also min(M) existiert nicht.
8.13.3 Satz
(
oben
Für jede nach
unten
(
Supremum
beschränkte Menge existiert
Infimum
Beweis
Sei M eine nach unten beschränkte Menge. e eine untere Schranke und y ein Element
von M.
Bisektionsverfahren zur Bestimmung des Infimums.:
a := e, b := y
while(true) do
c := a+b
2
if (M ∩] − ∞, c[= ∅) then
a := c
else b := c
endif
endwhile
Sei x die durch das Bisektionsverfahren bestimmte Zahl. Seinen an , bn Intervallgrenzen im n-ten Schritt.
0
an ≤ x ≤ bn , 0 < bn − an = b02−a
(b0 = y, a0 = e) Nach Konstruktion gilt:
n
M ∩] − ∞, an [= ∅ ∀n ∈ N
M ∩ [an , bn ] 6= ∅ ∀n ∈ N
83
Behauptung:
x ist untere Schranke von M
Angenommen, dass nicht, dann ∃e ∈ M : z < x.
Dann z = x − (x − z) ≤ x − (bn − an ) ≤ bn − bn + an = an
Widerspruch zur Konstruktion: z links von der linken Grenze
⇒ x ist untere Schranke
Behauptung: x ist die größte untere Schranke
Angenommen es existiert untere Schranke e > x
Wähle n mit bn − an < e − x
Dann e − x > bn − x, d.h. e > bn
Aber M ∩ [an , bn ] 6= ∅, also kann e keine untere Schranke sein.
Supremum analog.
Beispiel
M = {x ∈ R|x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√
Dann ist Bisektionsverfahren
aus 8.13.3 das, was wir zur Berechnung von 2 formuliert
√
haben, inf (M ) = 2
(Ersetze M ∩] − ∞, c[= ∅ durch c2 < 2)
84
9 Folgen und Reihen
Bisektionsverfahren liefern Zahlenfolgen
a0 , a1 , a2 , ... und b0 , b1 , b2 , ...
die sich dem gleichen Wert “annähern”. Das werden wir allgemein untersuchen.
9.1 Def.: Folge
k ∈ Z (oft k = 0 oder k = 1)
Ak := {n ∈ Z|n ≥ k} “Indesxmenge”
Eine Abb. a : Ak → R, n 7→ an heißt bei k beginnende Folge reeller Zahlen.
Schreibweise: (an )n≥k , (an )
an heißt “Folgenglied”, n heißt “Index”
9.1.1 Beispiele
immer k = 1
(a) an = 5 ∀n ≥ k (5, 5, 5, ...)
(b) an = n (1, 2, 3, ...)
(c) an =
1
n
(d) an =
(n+1)2
2n
(e) an =
3n2 +1
n2 +n+2
( 11 , 12 , 31 , ...)
( 24 , 94 , 16
8 , ...)
(f) an = (−1)n
(g) an = 21 an−1 +
(a1 =
(h) an =
1
2
+1=
n
P
i=1
1
an−1 , a0
3
3
2 , a2 = 4
= 1 (rekursiv definierte Folge)
√
+ 23 = 17
,
...)
(“Grenzwert”
2)
12
1
i
Rekursiv: a1 = 1, an = an−1 +
(i) an =
n
P
(−1)n ·
i=1
1
i
1
n
(a1 = −1, a2 = − 12 , a3 = − 56 , ...)
(“Grenzwert”: − ln 2 ≈ −0.6931)
85
9.2 Beschänktheit
Eine Folge (an )n≥k heißt beschränkt, falls ∃d ∈ R mit |an | ≤ d ∀n ≥ k, also −d ≤ an ≤ d
(Äquivalent: Menge der Folgeglieder ist beschränkt)
9.3 Konvergenz
Eine Folge (an )n≥k heißt konvergent gegen eine Zahl c ∈ R (“konvergiert gegen c”) falls
gilt:
∀ > 0∃n() ∈ N∀n ≥ n() : |c − an | < Wir schreiben c = lim an (“Grenzwert”, “Limes”)
n→∞
9.3.1 Bemerkung
Grenzwert hängt nicht von endlichem Anfangsstück der Folge ab.
Wenn eine Folge an nicht konvergiert, so heißtan divergent, sie divergiert.
9.3.2 Beispiele
(a) an = n : nicht beschränkt, divergent
(b) an = n1 : beschränkt
1
Sei > 0. Wähle n() mit n()
< (geht wegen 8.2.1 (e))
1
1
Dann gilt ∀n ≥ n() : |0 − n | = n1 ≤ n()
<
Also Konvergenz gegen 0 gezeigt.
3n2 +1
: (an ) konvergiert gegen 3
n2 +n+2
2 +3n+6
3n2 +3n+6−3n−5
= 3nn2 +n+2
− n23n+5
= 3 − n23n+5
an =
n2 +n+2
+n+2
+n+2
4n
4
Es gilt: n23n+5
≤
=
∀n
≥
5
2
n
+n+2
n
1
Sei > 0. Wähle n() ≥ 5 und mit n()
< 4 (nach 8.2.1 (e))
Sei n ≥ n(). Dann |3 − an | = |3 − 3 + n23n+5
| = n23n+5
≤ n4
+n+2
+n+2
(c) an =
(d) an = (−1)n
(an ) ist beschränkt, aber divergent.
Angenommen (an ) konvergiert gegen c. Wähle = 21
2 = |an+1 − an | ≤ |an+1 − c| + |an − c| ≤ 12 + 12 = 1
86
≤
4
n()
≤
9.3.3 Satz
(a) Jede konvergente Folge ist beschränkt.
(b) Sind a = (an )k≥n und b = (bn )k≥l beschränkte Folgen, so sind auch
– die Summe a + b := (an + bn )k≥max{k,l}
– das Produkt a · b := (an · bn )k≥max{k,l}
– der Absolutbetrag |a| := (|an |)n≥k
beschränkt.
Beweis
(b) Folgt aus Rechenregeln für Absolutbetrag:
z.B. für Summe ∃d1 ≥ 0 : |an | ≤ d1
∃d2 ≥ 0 : |bn | ≤ d2
z.zg.: ∃d ≥ 0 : |an + bn | ≤ d∀n ≥ max{k, l}
|an + bn | ≤ |an | + |bn | ≤ d1 + d2 ; also wähle d = d1 + d2
(a) Sei c = lim a
n→∞
Wähle = 1
Dann ∃n(1) ∈ N : |c − an < 1 ∀n ≥ n(1)
Dann ist |an | ≤ |an − c| + |c| < 1 + |c| ∀n ≥ n(1)
Ist M = max{|a1 |, ..., |an()−1 }, so gilt |an | ≤ 1 + |c| + M ∀n ≥ k
9.4 Monotonie
9.4.1 Definition
Sei a = (an )n≥k
(a) a heißt monoton wachsend (steigend), wenn an ≤ an+1 ∀n ≥ k
Streng monoton wachsend (steigend), falls an < an+1 ∀n ≥ k
(b) a heißt monoton fallend, wenn an ≥ an+1 ∀n ≥ k
Streng monoton fallend, falls an > an+1 ∀n ≥ k
9.4.2 Beispiele
(a) an =
(b) an =
1
n
√
: (an ) streng monoton fallend
n : (an ) streng monoton wachsend
(c) an = (−1)n : (an ) weder wachsend noch fallend
87
9.4.3 Satz
Ist (an )n≥k monoton steigend und nach oben beschränkt, so konvergiert (an ) und
lim an = sup{an |n ≥ k}
n→∞
Ist (an )n≥k monoton fallend und nach unten beschränkt, so konvergiert (an ) und
lim an = inf {an |n ≥ k}
n→∞
Beweis
Sei (an ) monoton wachsend. Nach 8.13.3 existiert Supremum c = sup{an |n ≥ k}, d.h.
(an ) ist nach oben beschränkt.
Sei > 0. Dann existiert n() ∈ N mit c − < an ≤ c, nach Def. des Supremums.
c≥an
Wegen (an ) monoton wchsend gilt: |c − an | = c − an
M onotonie
≤
Beispiel
an = q n , 0 ≤ q < 1, (an ) monoton fallend
Es isit an ≥ 0 und inf {an |n ≥ 0} = 0
Aus Satz folgt: lim qn = 0
n→∞
9.5 Nullfolge
9.5.1 Definition
Eine konvergente Folge mit dem Grenzwert 0 heißt Nullfolge
9.5.2 Bemerkung
lim an = a ⇔ (an − a) ist Nullfolge ⇔ |an − a| ist Nullfolge.
n→∞
88
c − an() < ∀n ≥ n()
9.6 Rechenregeln für konvergente Folgen
Seien (an )n≥k , (bn )n≥k konvergente Folgen mit lim an = a, lim bn = b
n→∞
n→∞
(a) lim |an | = |a|
n→∞
(b) lim (an + bn ) = a + b
n→∞
(c) lim (an · bn ) = a · b, insbesondere lim (c · bn ) = c · lim bn = cb ∀c ∈ R
n→∞
n→∞
n→∞
(d) Ist bn 6= 0 ∀n ≥ k und b 6= 0
So ist lim ( abnn ) = ab
n→∞
(e) Ist (bn ) eine Nullfolge, so konvergiert ( b1n ) nicht.
(bn 6= 0 ∀n ≥ k)
(f) Existiert m ≥ k mit an ≤ bn ∀n ≥ m, so ist a ≤ b
(g) Existiert m ≥ k mit 0 ≤ an ≤ bn ∀n ≥ m und ist (bn ) eine Nullfolge, so ist (an )
eine Nullfolge
(h) ist (an ) Nullfolge und (cn ) beschränkt, so ist (an · cn ) eine Nullfolge.
9.6.1 Beweis (exemplarisch)
(c) Z.zg.: ∀ > 0∃n() ∈ N∀n ≥ n() : |ab − an bn | < Also: |ab − an bn | = |ab − an bn + an b − an b| ≤ |b| · |a − an | + |an | · |b − bn |
Da 9.3.3 (a) ist (an ) beschränkt, d.h. ∃c ≥ 0 : |an | ≤ c
|ab − an bn | ≤ |b| · |a − an | + c · |b − bn |
Sei > 0.
Wähle n1 mit |a − an | < 2·|b|
∀n ≥ n1
Wähle n2 mit |b − bn | < 2·c ∀n ≥ n2
Wähle n() = max{n1 , n2 }, dann gilt:
|ab − an bn ≤ |b| · 2·|b|
+ c 2c
= 2 + 2 = (h) Z.zg. : lim an = 0 ∧ (cn ) beschränkt ⇒ lim an · cn = 0
n→∞
n→∞
Da (cn ) beschränkt, gilt |cn | ≤ |c| ∀n ≥ k
Also: 0 ≤ |an · cn | = |an | · |cn | ≤ |an · |c|
(c)
(a)
lim (|an | · |c|) = |c| · lim |an | = |c| · |a| = 0
n→∞
n→∞
Nach (g) ist (|an cn |) Nullfolge.
Nach 9.5.2 ist (an cn ) Nullfolge.
89
9.6.2 Bemerkung
Betrachte Bisektionsverfahren, das Zahl x ∈ R bestimmt.
a0 ≤ a1 ≤ ..., b0 ≥ b1 ≥ ...
0
an ≤ x ≤ bn , 0 ≤ bn − an = b02−a
n
b0 − a0
b ≥a
0 ≤ |x − an | ≤ |bn − an | n 0= 0
n
2 >0 ∀n∈N
| 2{z }
N ullf olge
Nach (g) ist |x − an | Nullfolge.
Nach 9.5.2 gilt (an ) konvergiert gegen x
Also lim an = x
analog
=
n→∞
lim bn
n→∞
9.6.3 Beispiel
(a) Ist m ∈ N, so ist n1m n≥1 Nullfolge, da n1 Nullfolge und (c)
1
1
da n1m = n1 · nm−1
, nm−1
beschränkt ∀m ∈ N
(b) Seien am , am−1 , ...a0 , bl , bl−1 , ..., b0 ∈ R, am 6= 0, bl 6= 0
Betrachte die Polynome
P (x) = am xm + am−1 xm−1 + ... + a0
Q(x) = bl xl + al−1 xl−1 + ... + b0
Funktionen R → R
m bzw. l heißen Grad von P(x) bzw. Q(x)
Sei Q(n) 6= 0 ∀n ≥ k
(ein geeignetes k existiert immer, da man zeigen kann, dass Q(n) = 0 nur für endlich viele n ∈ N gelten
kann.)
P (n)
Ist m > l, so ist Q(n)
divergent.
n≥k P (n)
= abml
Ist m = l, so ist lim Q(n)
n→∞
n≥k
P (n)
Ist m < l, so ist Q(n)
eine Nullfolge.
n≥k
Beweis: Fall m=l zeige man so, wie im Beispiel 9.3.2 (c) im Spezialfall gezeigt oder analog
zu m < l : 1 · abml
Fall m < l:
1
nm (am +am−1 · n
+...+ao · n1m )
P (n)
=
1
Q(n)
nl (b +b
· +...+b · 1 )
l
=
1
nl−m
·
(b),(c)
1
nm
l−1 n
0
nl
1
am +am−1 · n
+...+ao · n1m
1
bl +bl−1 · n +...+b0 · 1l
=⇒
Nullfolge
n
0·
am
bl
Fall m > l: (e):
=0
Q(n)
P (n)
Nullfolge ⇒
P (n)
Q(n)
divergent.
90
(c) 0 ≤ q < 1, an = n · q n
(q n ) ist Nullfolge nach 9.4.3 Bsp.
Beh.: (an ) ist Nullfolge
q = 0 klar, da 0n = 0
Sei also q > 0.
1
q = 1 + t > 1, t geeignet gewählt
Binomialsatz
(1 + t)n
=
1 + nt + n(n−1)
t2 + ... + tn
2
≥ n(n−1)
t2 ∀n ≥ 2
2
1
2
n
Also: q = (1+t)
n ≤ n(n−1)
2
Deshalb nq n ≤ n−1
ist Nullfolge nach 9.6 (c)
n
Da n · q zwischen 0 und einer Nullfolge “eingeklemmt” ist, gilt nach 9.6(g), dass
nq n eine Nullfolge ist.
(auch möglich wie in m < l)
(b) ist ein Beispiel für einen asymptotischen Vergleich zweier Folgen
9.7 Landau-Symbole
(a) Eine Folge (an )n≥k heißt strikt positiv, falls an > 0 ∀n ≥ k
Sei im Folgenden a = (an )n≥k eine strikt positive Folge.
beschränkt}
(b) O(a) = O(an ) := {b = (bn )| abnn
n≥k
= {b = (bn )|∃d ≥ 0 : |bn | = d · an ∀n ≥ k}
(c) o(a) = o(an ) := {b = (bn )|
bn
an
n≥k
Nullfolge}
9.7.1 Anschauliche Bedeutung
(bn ) ∈ O(a) “groß O” heißt “(bn ) wächst nicht wesentlich schneller als (an )”
(bn ) ∈ o(a) “klein o” heißt “(bn ) wächst langsamer als (an )”
O,o heißen Landau-Symbole
9.7.2 Beispiele
2
(n2 ) ∈ o(n3 ) (nach 9.6.3 (b): nn3 Nullfolge)
(n2 + n + 1) ∈ O(n2 ) (nach 9.3.3 (a): konvergente Folgen sind beschränkt)
Häufig schreibt man für (n2 ) ∈ o(n3 ) auch (n2 ) = o(n3 )
und entsprechend für (n2 + n + 1) ∈ O(n2 ) auch (n2 + n + 1) = O(n2 )
91
9.7.3 Bemerkungen
Analyse der Zeitkomplexität von Algorithmen.
Sei tn = max. Anzahl der benötigten Rechenschritte bei Input der Größe n.
Gibt es eine Zahl l ∈ N mit (tn ) ∈ O(nl ), so spricht man von einer polynomiellen Rechenzeit.
Der Algorithmus wird als effizient bezeichnet.
Gibt es dagegen eine Zahl r > 1 mit (rn ) ∈ o(tn ), so braucht der Algorithmus mind.
exponentielle Laufzeit.
Er ist nicht effizient.
Beispiel
Sortieren einer Liste von Zahlen:
Input: n Zahlen unsortiert
Output: n Zahlen aufsteigend sortiert
Frage: Wieviele Rechenschritte braucht der Alg. als Funktion von n?
Antwort: Nicht haargenau, sondern nur größenordnungsmäßig als O-Angabe:
naives Sortieren: O(n2 )
n2 − n ∈ O(n2 )
9.7.4 Satz
Sei P (x) = am xm + am−1 xm−1 + ... + a0 , am 6= 0, m ≥ 0
(a) (P (n))n≥k ∈ o(nl ) ∀l > m und
(P (n))n≥k ∈ O(nl ) ∀l ≥ m
(b) Ist r > 1, so (P (n))n≥k ∈ o(rn )
Beweis
(a) Folgt aus 9.6.3 (b) (Beispiel
P (n)
Q(n) )
(b) Es genügt nm ∈ o(rn ) zu zeigen (m beliebig), denn summen und Vielfache von
Nullfolgen sind Nullfolgen nach 9.6 (b,c)
Sei m ∈ N beliebig
aber fest:
q
Setze: q :=
Es ist
nm
rn
m
1
r
= n·
<1
q
m
1
rn
m
q n m
= n m 1r
= (n · q n )m
Nach 9.6.3 (c) ist (n · q n ) Nullfolge (0 < q < 1), also auch (n · q n )m nach 9.6 (c)
(Produkt von Nullfolgen)
Hieraus folgt die Behauptung
92
9.8 Teilfolgen
9.8.1 Definition
Sei (an )n≥k eine Folge und {nj |j ∈ N} ⊆ {n ∈ Z|n ≥ k} mit k ≤ n1 < n2 < n3 < ...
(streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen). Dann heißt die Folge (anj )j≥1 eine
Teilfolge von (an )
9.8.2 Beispiele
(an ) = (−1)n 1 + n1
1
• (a2n ) = 1 + 2n−1
ist Teilfolge von (an ) :
• Ebenso
(a2n−1 ) = − 1 +
1
2n−1
3 5 7 9
2 , 4 , 6 , 8 , ...
: −2, − 34 , − 65 , ...
• Aber auch:
(an )n≥5 : − 56 , + 67 , ...
Beachte:
Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen den gleichen Grenzwert.
9.9 Satz (Bolzano (1781-1848)-Weierstrass (1815-1897))
Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.
9.9.1 Beispiel
(an ) = ((−1)n )
(a2n ) = ((−1)2n ) = 1 konvergiert gegen 1
(a2n−1 ) = (−1) konvergiert gegen -1
93
9.9.2 Beweis
Betrachte Folge (an ) mit |an | ≤ d ∀n ≥ k
Bisektionsverfahren:
a := −d, b := d
while (true) do
c := a+b
2
if |{n|a1 < c}| = ∞
then b := c
else a := c
endif
endwhile
Verfahren liefert x ∈ R mit al ≤ x ≤ bl ∀l
In jedem Intervall liegen ∞ viele Folgenglieder. Man wählt aus jedem Intervall ein anl
mit nl < nl+1 , das liefert die gewünschte Teilfolge, die gegen x konvergiert.
9.10 Cauchy’sches (1785-1857) Konvergenzkriterium
Bisher müssen wir den Grenzwert kennen, um Konvergenz beweisen zu können.
Sei (an )n≥k eine Folge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) (an ) konvergent
(2) ∀ > 0∃n() ≥ k ∀n, m ≥ n() : |am − an | < Eine Folge mit dieser Eigenschaft heißt Cauchy-Folge.
(Alternative des Vollständigkeitsaxiom: jede Cauchy-Folge konvergiert)
Bemerkung:
|an − an+1 | < reicht nicht!
9.10.1 Beweis
(1) ⇒ (2)
Sei lim an = c und betrachte > 0
n→∞
∃n1 : |an − c| < 2 ∀n ≥ n1
∀n, m ≥ n1 : |an − am | = |an − c + c − am | ≤ |an − c| + |c − am | < (2) ⇒ (1)
1. Behauptung: (an ) ist beschränkt.
Wähle = 1, dann: ∃n(1) : |an − am | < 1 ∀n, m ≥ n(1)
also
|an | = |an − an(1) + an(1) | ≤ |an − an(1) | + |an(1) | ∀n ≥ n(1)
< 1 + |an(1) |
also (an ) beschränkt.
94
Nach (1) und 9.9 hat (an ) eine konvergente Teilfolge (anl )l>1
Sei c = lim anl
l→∞
Behauptung c ist Grenzwert von (an )
Sei > 0
∃ñ : |an − am | < 2 ∀n, m ≥ ñ (da Cauchy-Folge)
∃˜l : |c − anl | < 2 ∀l ≥ ˜l (da konvergente Teilfolge)
Wähle ˜l so groß, dass nl̃ > ñ gilt:
Dann |an − c| = |an − anl̃ + anl̃ − c| ≤ |an − anl̃ | + |anl̃ − c| <
2
+
2
+ ∀n ≥ ñ
9.11 Reihen
9.11.1 Definition
(a) Sei (ai )i≥k eine Folge, Sn =
n
P
ai ∀n ≥ k
i=k
Sn heißt Partialsumme. Dann heißt (Sn )n≥k eine unendliche Reihe.
∞
P
Schreibweise
ai ≡ (sn )n≥k
i=k
(b) Ist die Folge (Sn )n≥k konvergent mit Grenzwert c, so schreibt man
∞
P
ai = c, die
i=k
Reihe konvergiert.
(
Folge als Partialsumme
Beachte:
ai hat zwei Bedeutungen
Grenzwert der Reihe
i=k
∞
P
9.11.2 Satz
(a) (Cauchy-Kriterium für Reihen)
∞
m
P
P
reihe
ai < ai ist konvergent ⇔ ∀ > 0∃n()∀n, m, m > n ≥ n() : i=n+1
i=k
(b) Ist die Reihe
∞
P
ai konvergent, so ist (ai )i≥k eine Nullfolge
i=k
(notwendiges Kriterium!)
(c) Ist die Folge (Sn ) der Partialsummen beschränkt und gilt ai ≥ 0 ∀i ≥ k, so ist
∞
P
ai konvergent.
i=k
95
Beweis
m
m
n
P
P
P
ai = ai (a) folgt aus 9.10: |Sm − Sn | = ai −
i=k
i=r
i=n+1
(b) folgt aus (a) mit m = n + 1
(c) folgt aus 9.4.3, da beschränkt und monoton steigend.
9.11.3 Beispiele
Geometrische Reihe Sei q ∈ R.
n
P
Wir betrachten:
qi
Ist q 6= 1, so:
n
P
i=0
qi =
i=0
q n+1 −1
q−1
Beweis:
Sn = 1 + q + q 2 + ... + q n
qSn = q + q 2 + q 3 + ... + q n+1
Sn − qSn = 1 − q n+1
Sn (1 − q) = 1 − q n+1
n+1
Sn = q q−1−1
Sei nun |q| < 1|.
∞
P
Dann ist
qi =
i=0
Beweis:
n
P
lim
q i = lim
n→∞ i=0
1
1−q
Grenzwert
q n+1 −1 9.4.3 Bsp. −1
=
q−1
n→∞ q−1
=
1
1−q
Ist |q| ≥ 1, dann ist die Reihe divergent, denn dann ist (q i )i≥0 keine Nullfolge
und 9.11.2 (b)
96
Harmonische Reihe
∞
P
i=1
1
i
Behauptung: Harmonische Reihe ist divergent
Beweis:
n
P
1
Sn =
i
i=1
n = 20 = 1 : S1 = 1
n = 21 = 2 : S2 = 1 +
n = 22 = 4 : S4 = 1 +
1
2
1
2
+
1 1
+
|3 {z 4}
≥ 12
n = 23 = 8 : S8 = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1 1 1 1
+ + +
|5 6 {z 7 8}
m
2
≥ 12
Per Induktion sieht man: S2m ≥ 1 +
Also: Sn ist unbeschränkt und somit divergent nach 9.3.3 (a)
allgemeine harmonische Reihe z.B. i2
∞
P
i=1
1
i2
Beh.: konvergiert
Nach 9.11.2 (c) genügt es Beschränktheit zu zeigen:
∀n ∈ N :
Sn = S2n −1 = 1+ 212 + 312 + 412 + ... + 712 + 812 + ... +
≤ 1 + 2 · 212 + 4 · 412 + 8 ·
∞
P
1 i (a) 1
≤
= 1− 1 = 2
2
i=0
1
82
1
+ ... + 2n−1 (2n−1
=1+
)2
2
also Sn beschränkt ⇒ konvergent, Grenzwert ≤ 2
2
Man kann zeigen: Grenzwert = π6
Mit ählichen Argumenten gilt:
∞
P
1
is konvergiert ∀s > 1
i=1
(Nicht s=1, da dann Harmonische Reihe)
97
1
152
1
1
2 + 4
1
+...+ (2n−1
+ ... +
)2
+
1
8
+ ... +
1
2n−1
1
(2n −1)2
alternierende harmonische Reihe
∞
P
(−1)i 1i
i=1
Beh.: ist konvergent
Beweis:
1
1 1
1
1
S2n = −1 +
+ − +
+... + −
+
2
3 4
2n − 1 2n
| {z } |
{z
}
|
{z
}
<0
<0
<0
⇒ S2n > S2n+2 ∀n, also (S2n ) monoton fallend
1 1
1
1 1
1
+
+... +
S2n−1 = −1 +
−
−
−
2 3
4 5
2n − 2 2n − 1
| {z } | {z }
|
{z
}
>0
>0
>0
⇒ S2n−1 < S2n+1 also monoton steigend
Außerdem:
Ist k ungerade, l gerade, so gilt Sk < Sl :
Beweis: Wähle n so, dass 2n − 1 ≥ k und 2n ≥ l
+ 21n
s.o.
Dann Sk ≤ S2n−1 < S2n ≤ Sl
Der Abstand S2n − S2n−1 = 21n geht gegen 0
∞
P
Folglich: sup{S2n−1 } = inf {S2n } =
(−1)i ·
i=1
1
i
Man kann zeigen: Grenzwert=− ln 2 ≈ 0.6931
9.11.4 Leibniz-Kriterium
Ist (ai )i≥k eine monoton fallende Folge, so konvergiert
∞
P
(−1)i ai
i=1
9.11.5 Majoranten-Kriterium
Seien (ai )i≥k , (bi )i≥k Folgen, wobei bi ≥ 0 und |ai | ≤ bi ∀i ≥ k
Dann gilt:
∞
∞
∞
P
P
P
ai und
|ai |
bi konvergent, so auch
Ist
i=k
i=k
i=k
∞ ∞
∞
P P
P
Dabei gilt: ai ≤
|ai | ≤
bi
i=k
i=k
i=k
98
Beweis
∀n ≥ k : Sn :=
n
P
n
V or. P
|ai | ≤
i=k
i=k
∞
X
bi ≥0
bi ≤
9.4.3
bi
=: b
i=k
| {z }
Grenzwert
(Sn ) ist monoton wachsend und nach oben beschränkt. Also nach 9.4.3 gilt:
∞
P
(Sn ) konvergiert und
|ai | = sup{Sn |n ≥ k} ≤ b
i=k
∞
m
m
∆−U ngl. P
P
P
|ai | ∀m > n ≥ k folgt die Konvergenz von
ai mit dem
≤
Da ai i=n+1
i=n+1
Cauchy-Kriterium (9.11.2 (a)) aus der Konvergenz von
m
m
P
P
|ai | = |ai |
wegen
∞
P
i=k
|ai |
i=k
i=n+1
i=n+1
9.11.6 Beispiel
∞
P
1
√
i
ist divergent:
√
es gilt: i ≤ i, also √1i ≥ 1i ∀i ∈ N
∞
∞
P
P
1
√
Wäre
divergent,
so
nach
9.11.5
auch
i
i=1
i=1
i=1
1
i
konvergent
Widerspruch da harmonische Reihe divergent (9.11.3)
9.12 Absolute Konvergenz
Die Reihe
∞
P
ai heißt absolut konvergent, falls
∞
P
|ai | konvergiert.
i=k
i=k
9.12.1 Korollar
Ist
∞
P
ai absolut konvergent, so auch konvergent.
i=k
Die Umkehrung gilt nicht.
Beweis
Erste Behauptung folgt aus 9.11.5 mit bi = |ai |
Umkehrung gilt nicht immer:
∞
P
(−1)i 1i konvergiert (9.11.3 alternierende harmonische Reihe)
i=k
∞ P
i=k
∞
P
(−1)i 1 =
i
i=k
1
i
divergiert (9.11.3 Harmonische Reihe)
99
9.13 Satz
9.13.1 (a) Wurzelkriterium
Existiert ein q < 1 und Index i0 mit:
p
i
|ai | ≤ q ∀i ≥ i0
so konvergiert die Reihe
absolut.
p
Gilt dagegen, dass i |ai | ≥ 1 für unendlich viele i, so divergiert die Reihe.
9.13.2 (b) Quotientenkriterium
Existiert q < 1 und Index i0 mit | ai+1
ai | ≤ q ∀i ≥ i0 , so konvergiert Reihe absolut.
9.13.3 Beweis
(a) Gegeben
∞
P
ai
i=k
Angenommen ∃q < 1, i0 ∈ N ∀i ≥ i0
p
i
|ai | ≤ q, d.h |ai | ≤ q i
∞
P
Nach 9.23 (a) gilt
q i konvergent
⇒
∞
P
i=i0
|ai | konvergiert, nach 9.25 (Majorantenk.) ⇒
i=i0
∞
P
|ai | konvergiert
i=k
p
Angenommen ∃i1 , i2 , ... mit ij |ai | ≥ 1, also |aij | ≥ 1.
Dann ist (ai )i≥k keine nullfolge. Also Reihe nicht konvergent wegen 9.22(b)
(b) Sei i ≥ i0
ai ai−1
ai +1
| aaii | = |
·
... · 0 | ≤ q i−i0 ,
0
ai−1 ai−2
a i0
|
{z
}
i−i0 Faktoren
also |ai | ≤ |ai0 | · q =: c
∞
P
Es ist
c · q i konvergent (Geom. Reihe mit |q| < 1)
⇒
∞
P
i=i0
|ai | konvergent nach majorantenk.
i=i0
100
9.13.4 Bemerkung
∃q < 1 wichtig:
p
i
|ai | < 1 oder | ai+1
ai | < 1 reicht nicht, da z.B. harmonische Reihe.
H.R. konvergiert nicht, aber es gilt:
a = 1i
qi
1
i 1
√
i = i < 1 ∀i > 1 und
i
i
| ai+1
ai | = | i+1 | < 1
9.13.5 Beispiele
Welche Reihen sind konvergent?
(a)
∞
P
2−i
i=0
(b)
∞
P
1 i
10
i=0
(c)
∞
P
2i
i=0
(d)
∞
P
i=1
(e)
∞
P
i=1
(f)
∞
P
i=1
1
i(i+1)
xi
i!
xi
i
Zu (a) q =
1
2
Geometrische Reihe, also konvergent
Zu (b) G.R. mit q =
1
10 ,
also konvergent
Zu (c) G.R. mit q = 2, also divergent
Zu (d) 9.23(d):
∞
P
i=1
Es gilt 0 ≤
1
i2
konvergiert
1
i(i+1)
≤
i
i2
∀i ≥ 1
Wir wenden das Majorantenkriterium an und es folgt
∞
P
i=1
Quotientenkriterium greift nicht.
101
ai konvergiert.
Zu (e) Quotientenkriterium, Beh:
∞
P
i=1
xi
i!
konvergiert absolut
Beweis:
|x|
xi+1
| (i+1)!
· | xi!i | = i+1
Wähle i0 so, dass i0 + 1 ≥ 2 · |x|
|x|
1
Dann i+1
≤ i0|x|
+1 < 2 das Kriterium gilt.
Zu (f) Quotientenkriterium:
|xi+1 |
i+1
·
i
xi
= |x| ·
i
i+1
also Q.K. anwendbar mit q = |x| < 1
102
= |x|
1
1+ 1i
=
|x|
1+ 1i
< |x| ∀i ≥ 1
10 Nachtrag: Mengen
Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie N. Wird
durch Angabe einer Bijektion N → M .
N: abzählbar unendlich, aber auch N0 abzählbar unendlich
Primzahlen: abzählbar unendlich: 2, 3, 5, 7, 11, ...
Gerade Zahlen: abzählbar unendlich 2, 4, 6, 8, ...
Z: abzählbar unendlich 0, 1, −1, 2, −2, ...
Q: abzählbar unendlich nach Cantor
“Erstes Diagonalisierungsverfahren”
p
1 2 3 ...
q
1 11 21 13 ...
2 12 22 23 ...
3 13 23 33 ...
... ... ... ... ...
Positive rationale Zahlen
Verfolge Kette, überspringe ungekürzte Brüche
1, 2, 12 , 31 , 3, 4, 23 , 23 , ...
Für negative wie bei Z
R nicht abzählbar unendlich; leicht zu sehen
Cantors zweites Diagonalverfahren
Nehmen wir an, wir könnten alle Zahlen [0, 1[ auflisten. Werden zeigen, dass mindestens eine Zahl vergessen wurde.
Konstruiere folgende Zahl:
b mit Stellen immer von der jeweiligen Zahl zugeordneten (natürliche Zahl - Stelle)
verschieden. Somit von allen aufgelisteten Zahlen verschieden.
Beh.: b fehlt in der Aufzählung
Beweis: Angenommen b kommt in der Liste an Position j vor.
Dann gilt b = aj , d.h.
b1 = aj1 , b2 = aj2 , ..., bj = ajj
Widerspruch zur Def. von b
Beweis ist nicht ganz vollständig richtig; z.B. 0.1 = 0.01
Ausnahmen werden besonders betrachtet
103
10.1 Beispiel: Hilberts Hotel
Zimmer 1, 2, 3, 4, ... 1. Bus: 10 Gäste
Zimmer 1-10
2.Bus: abzählbar unendlich viele Gäste
Zimmer 11,12,...
3.Bus: abzählbar unendlich viele Gäste
alle alten Gäste Zimmer i 7→ 2i, neue Gäste in ungerade Zimmer
4.: abzählbar unendlich viele Busse mit jeweils abzählbar unendlich vielen Gästen
alle alten Gäste Zimmer i 7→ 2i
Bus 1: Zimmer 31 , 32 , 33 , ...
Bus 2: Zimmer 51 , 52 , 53 , ...
Bus 3: Zim1
2
3
mer 7 , 7 , 7 , ...
104
