Mathematik und Statistik für Biologen

A
Fachbereich Mathematik
J. Creutzig
A. Neuenkirch
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
WS 2005/06
26./27.01.2006
Mathematik und Statistik für Biologen
12. Übung
Gruppenübungen
Aufgabe G31
a) Durch welche der folgenden Graphen könnte die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen dargestellt sein? Handelt es sich in diesen Fällen um diskrete oder stetige
Zufallsvariablen? Begründen Sie Ihre Antworten!
s
1.2
1.0
0.8
F (t) 0.6
0.4
0.2
0.0
A:
s
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s
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0
2
1.2
1.0
0.8
F (t) 0.6
0.4
0.2
0.0
B:
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4
6
8
s
s
s
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0
10
2
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4
1.2
1.0
0.8
F (t) 0.6
0.4
0.2
0.0
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......................................
0
2
4
6
8
10
t
t
C:
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6
8
10
1.2
1.0
0.8
F (t) 0.6
0.4
0.2
0.0
D:
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...............................
0
2
4
6
8
10
t
t
b) Für eine diskrete Zufallsvariable X sei die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion f
gegeben:
x
-1
0
1
2
3
4
P (X = x) 0.05 0.05 0.20 0.25 0.20 0.25
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (0 ≤ X < 3) und P (X > 2) sowie den
Erwartungswert und die Varianz von X.
Aufgabe G32
Nach der Einnahme eines bestimmten Medikaments treten bei einer zufällig ausgewählten
Person mit Wahrscheinlichkeit p = 0.02 Nebenwirkungen auf. Das Medikament werde 200
Patienten verabreicht. Man kann annehmen, dass die Nebenwirkungen bei den einzelnen
Personen unabhängig voneinander auftreten. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl
der Personen, bei denen Nebenwirkungen beobachtet werden.
a) Wie ist die Zufallsvariable X verteilt?
b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X ≤ 2).
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X > 1).
Aufgabe G33
Die Zufallsvariable X beschreibe das Gewicht eines Straußeneis (in kg). Es wird angenommen, dass X normalverteilt ist und die Kenngrößen E(X) = 1.5 sowie E(X 2 ) = 2.34
besitzt.
a) Bestimmen Sie die Varianz von X.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
(i) P (X ≤ 1.65)
(ii) P (X ≥ 2.1)
(iii) P (1.2 ≤ X ≤ 1.8)
c) Skizzieren Sie die Dichte von X auf dem Intervall [0, 3].
Hausübungen
Abgabe am 02./03. Februar 2006
Aufgabe H34 (1 Punkt)
a) Ein Rouletterad ist in 37 gleichgroße Segmente unterteilt, die mit den Ziffern 0, 1, . . . , 36
beschriftet sind. Ein Spieler setzt 10 EUR auf das Ereignis “gerade Zahl”. Ergibt sich
eine der Zahlen 2, 4, 6, . . . , 36, so erhält der Spieler zu seinem Einsatz weitere 10 EUR,
ansonsten ist sein Einsatz verloren. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion
der Zufallsvariablen X, die den Reingewinn des Spielers beschreibt, und berechnen Sie
Erwartungswert und Varianz von X.
b) Die Zufallsvariable X sei stetig verteilt mit folgender Dichte f :
1 − 21 x für 0 ≤ x ≤ 2,
f (x) =
0
sonst
.
Geben Sie die Verteilungsfunktion und den Erwartungswert von X an. Berechnen Sie
die Wahrscheinlichkeit P (1 ≤ X ≤ 3).
Aufgabe H35 (1 Punkt)
a) Bei Strahlungsmessungen von radioaktivem Material trifft pro Zeiteinheit eine zufällig
schwankende Anzahl von Teilchen auf den Geigerzähler. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der vom Geigerzähler registrierten Teilchen pro Zeiteinheit. Es
wird angenommen, dass X poissonverteilt ist, d.h. X besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion
λi −λ
P (X = i) = e , λ > 0, i = 0, 1, 2, . . . .
i!
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (1 ≤ X ≤ 3) und P (X > 3) für λ = 2.
b) Die Zufallsvariable X beschreibe die Dauer (in Jahren) der Funktionstüchtigkeit eines
Röntgengerätes. Es werde angenommen, dass X durch eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter 0.1 beschrieben werden kann, d.h. X besitzt die Dichte f
mit
0
für x ≤ 0,
f (x) =
−0.1x
0.1e
für x > 0.
(i) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Röntgengerät höchstens 5
Jahre funktioniert.
(ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Röntgengerät höchstens
mindestens 7 Jahre funktioniert.
R a·x
Hinweis: e dx = a1 eax , a ∈ R.
Aufgabe H36 (1 Punkt)
Die folgenden Tabellen stellen Wahrscheinlichkeitsfunktionen von verschiedenen (diskreten) zweidimensionalen Zufallsvariablen dar.
P (X = i, Y = j)
i=1
i=2
j=0 j=1 j=2
0.4
0.1
0.3
0.0
0.1
0.1
P (X = i, Y = j)
i=1
i=2
j=0 j=1 j=2
0.32
0.16
0.32
0.08
0.04
0.08
Untersuchen Sie jeweils, ob die beiden Komponenten unabhängig sind, und berechnen Sie
den Korrelationskoeffizienten.
Hinweise zur Klausur am 11. Februar, 13.00 – 15.00 Uhr
• Der Raum, in dem die Klausur geschrieben wird, ist für alle Studierenden S1 01/50.
• Bringen Sie bitte Ihren Studierendenausweis und einen Lichtbildausweis mit.
Weiterhin benötigen Sie eigenes Papier.
• Als Hilfsmittel sind alle schriftlichen Unterlagen und ein einfacher Taschenrechner
(d.h. nichtprogrammierbar und ohne Grafik-Display) erlaubt.
• Nicht zugelassen sind Mobiltelefone und Laptops.