¨Ubung: Stochastik für LAK

Übung: Stochastik für LAK
Stefan Götz / Günther Hörmann
SS 2009
Blatt 8
71.
a) In 200 cm3 einer Flüssigkeit befinden sich 300 Viren. Damit werden
200 Versuchstiere geimpft, indem jedem Tier 1 cm3 der Flüssigkeit
eingespritzt wird. Ein Virus führt mit Sicherheit zur Erkrankung. Wie
viele Tiere werden etwa nicht erkranken (unter der Annahme, dass die
Viren zufällig in der Flüssigkeit verteilt sind)?
b) Diese Annahme ist aber insofern unrealistisch, als man die Anzahl n
der Viren in der Regel nicht kennt. Es soll nun diese Anzahl n folgendermaßen geschätzt werden: Es wurde z. B. festgestellt, dass 15 der
Tiere gesund blieben. Wie viele Viren enthält die Flüssigkeit?
72. Vollständige Serie beim Würfel(n).
Wie oft muss man im Schnitt mit einem Laplace-Würfel würfeln, bis man
alle sechs möglichen Würfelzahlen erhalten hat? Wie stark schwanken die
tatsächlichen Anzahlen im Mittel?
Hinweis: Die Zufallsvariable X1 beschreibe die Anzahl der Würfe, bis die
erste Zahl z1 des Würfels erscheint. Die Zufallsvariable X2 beschreibe dann
die Anzahl der Würfe, bis eine Zahl z2 ungleich z1 erscheint. So geht das
weiter mit X3 , X4 bis X6 . Wie hängt der gesuchte Erwartungswert mit jenen der Zufallsvariablen Xi (i = 1, . . . , 6) zusammen?
Welche Voraussetzung muss für die Zufallsvariablen Xi zur Berechnung der
mittleren Schwankung der benötigten Anzahlen getroffen werden? — Begründen Sie (sie)!
73. Verdoppelungsstrategie mit Höchsteinsatz.
Eine Spielerin setzt immer auf das erste Drittel {1, 2, . . . , 12} beim Roulette, sie beginnt mit einer Spieleinheit. Im Falle eines Gewinns kassiert
sie den Reingewinn und hört auf, sonst verdoppelt sie beim nächsten Spiel
ihren Einsatz. Das setzt sie fort bis sie zum ersten Mal gewinnt. Die Zufallsvariable X beschreibe den erzielten Reingewinn. Berechnen Sie ihren
Erwartungswert unter der Annahme, dass die Spielbank den Höchsteinsatz
auf 2048 Einheiten beschränkt hat! Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem
aus der Vorlesung ein ähnliches Problem betreffend!
74. In einer Urne befinden sich zehn gleichartige, nur durch ihre Farbe unterschiedene Kugeln: drei grüne und sieben rote. Es werden vier Kugeln mit
einem Griff gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von den
gezogenen Kugeln
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a) alle rot,
b) eine rot und drei grün sind!
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind
c) mindestens,
d) höchstens,
e) mehr als,
f) weniger als zwei Kugeln grün?
75. Einer Sendung von 400 Antriebswellen werden 40 entnommen und ihr
Durchmesser geprüft. Man weiß, dass 2% der Wellen Ausschuss sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den untersuchten Wellen
a) keine defekte Welle ist,
b) genau zwei defekte Wellen sind!
Rechnen Sie sowohl mit der Binomialverteilung als auch mit der hypergeoN
anhand der
metrischen Verteilung! Überprüfen Sie die Faustregel n ≤ 10
Ergebnisse!
76.
a) Zeigen Sie, dass die Funktion
f : y = a · sin x
x ∈ [0; π]
für ein bestimmtes a eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist! Ermitteln Sie a! (Die Funktion f ist außerhalb des angegebenen Intervalls
identisch Null.)
b) Diskutieren Sie die Funktion f und zeichnen Sie den Graphen!
c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der
zugehörigen Zufallsvariablen X!
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der X in das Intervall [ π4 ; π3 ]
fällt!
77. Beweisen Sie: Für eine stetige Zufallsvariable X mit einer symmetrischen
Dichte f [d. h. ∃s ∈ R : f (s − x) = f (s + x) für alle x ∈ R] gilt:
a) E(X) = s, falls E(X) existiert und
Rs
R∞
b) D2 (X) = 2 · (x − s)2 f (x) dx = 2 · (x − s)2 f (x) dx, falls auch D2 (X)
s
−∞
existiert.
Hinweis: Vergleichen Sie den entsprechenden Satz für diskrete Zufallsvariable in Aufgabe 49!
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78. Beweisen Sie: Eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichte f und dem
Erwartungswert µ habe die Varianz D2 (X). Dann gilt:
D2 (X) = E(X 2 ) − µ2 .
Hinweis: Vergleichen Sie den Beweis für diskrete Zufallsvariable aus der
Vorlesung!
79. Beweisen Sie:
f (x) =
1 + cx für 0 ≤ x ≤ 3,
0
sonst
kann für kein c ∈ R die Dichte einer stetigen Zufallsvariablen sein.
80. X sei eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte
cx(1 − x) für 0 ≤ x ≤ 1,
f (x) =
0
sonst.
a) Man bestimme die Konstante c.
b) Wie lautet die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X?
c) Man berechne P 21 ≤ X ≤ 23 , E(X) und D2 (X).
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