Folien 02.11.2016

2. Vorlesung
Anwendung von Graphen zur Modellierung
Isomorphie von Graphen
Untergraphen, insbesondere Bäume
Ulrike Baumann
Algebra für IST
Modellierung von Netzwerken
Prozessoren p1 , p2 , . . . , pn ,
die untereinander kommunizieren und Teilprobleme bearbeiten
können
Beispiel: n = 16
ABER:
Abstände zwischen den Prozessoren sind zu groß,
Einfügen aller Kanten ist zu teuer.
Ulrike Baumann
Algebra für IST
Bipartite Graphen, Hypercube Qn
Ein Graph G = (V , E ) heißt bipartiter Graph G (A, B), wenn
es zwei nichtleere Teilmengen A, B von V mit V = A ∪ B und
A ∩ B = ∅ so gibt, dass für jedes e ∈ E gilt:
e ∩ A 6= ∅ und e ∩ B 6= ∅
Beispiel: n-dimensionaler Würfel Qn (n ≥ 2)
Knoten:
(a1 , a2 , . . . , an ), ai ∈ {0, 1} für i = 1, 2, . . . , n
Kanten:
Zwei Knoten werden genau dann durch eine Kante verbunden,
wenn sie sich in genau einer Koordinate unterscheiden.
Der n-dimensionale Würfel Qn ist ein bipartiter Graph.
Ulrike Baumann
Algebra für IST
Isomorphie von Graphen
Ein Graph G1 heißt zu einem Graphen G2 isomorph, wenn das
Graphendiagramm von G2 so beschriftet werden kann, dass
ein Graphendiagramm von G1 ensteht.
Bezeichnung: G1 ∼
= G2
Isomorphieproblem (für Graphen):
Man entscheide, ob für gegebene Graphen G1 , G2 gilt:
G1 ∼
= G2
Die Isomorphie von Graphen ist eine Äquivalenzrelation:
G1 ∼
= G1 (∼
= ist reflexiv)
∼
G1 = G2 ⇒ G2 ∼
= G1 (∼
= ist symmetrisch)
∼
G1 ∼
G
und
G
G
⇒
G1 ∼
= ist transitiv)
= 2
= G3 (∼
2 = 3
Man spricht von zueinander isomorphen Graphen.
Werden unbeschriftete Graphendiagramme angegeben, dann
sagt man, dass die Graphen bis auf Isomorphie gegeben sind.
Ulrike Baumann
Algebra für IST
Untergraphen
Sei G = (V , E ) ein Graph. Ein Graph G ′ := (V ′ , E ′ ) mit
V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E heißt Untergraph von G .
Ist ein Weg P mit den Endpunkten u, v Untergraph eines
Graphen G , dann sagt man, dass u und v in G durch den
Weg P verbunden sind.
Ein Graph G heißt zusammenhängend, wenn es zu je zwei
Knoten u, v von G einen Weg in G gibt, der u und v
verbindet.
Ist ein Kreis C Untergraph eines Graphen G , dann sagt man,
dass G den Kreis C enthält.
Ein zusammenhängender Graph, der keinen Kreis enthält,
heißt Baum.
Ulrike Baumann
Algebra für IST
Bäume
Ein zusammenhängender kreisloser Graph ist ein Baum.
Ein kreisloser Graph ist ein Wald.
Jeder Graph, der nicht zusammenhängend ist, zerfällt in
Komponenten (das sind maximale zusammenhängende
Untergraphen).
Eigenschaften von Bäumen:
(1) Jeder Baum mit Knotenanzahl n > 1 hat mindestens zwei
Knoten vom Grad 1 (Blätter).
(2) Jeder Baum mit Knotenanzahl n hat Kantenanzahl n − 1.
(3) Jeder kreislose Graph mit Knotenanzahl n und Kantenanzahl
n − 1 ist ein Baum.
(4) Sind u, v zwei verschiedene Knoten in einem Baum T , dann
gibt es in T genau einen Weg mit den Endpunkten u und v .
Sei G = (V , E ) ein Graph. Ist ein Untergraph T ′ = (V , E ′ )
von G ein Baum, dann nennt man ihn ein Gerüst von G .
Ulrike Baumann
Algebra für IST