GEOMETRIE GRUNDKURS SACHSEN G2

GEOMETRIE GRUNDKURS SACHSEN
F. LEMMERMEYER
G2-1 2000
Auf einer Böschung sollen die Geländepunkte A und B, sowie B und C durch geradlinige Wege verbunden werden. Die Lage dieser Punkte ist in einem kartesischen
Koordinatensystem gegeben durch A(−4|2|1), B(−3|7|2) und C(−5|9|3).
Die x1 x2 -Ebene sei die Horizontalebene. Eine Einheit entspreche 10 m.
a) Berechnen Sie die Gesamtlänge der Wege, sowie den Winkel α zwischen den
Wegen.
b) Die Lage der Böschung kann durch eine Ebene E beschrieben werden. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene.
c) Weisen Sie nach, dass der Punkt B 0 (0|10|2) auf der gleichen Höhenlinie h
der Böschung liegt wie B, und geben Sie eine Gleichung von h an.
Zeigen Sie, dass der Weg zwischen B und C orthogonal zur Höhenlinie h
verläuft.
Ermitteln Sie die Höhendifferenz zwischen den Punkten B und C, und
berechnen Sie den Neigungswinkel β der Böschung.
Ergebnisse: α = 125, 3◦ ; E : x1 −x2 +4x3 = −2; Höhendifferenz 10 m; β = 19, 5◦ .
G2-2 2000
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte A(2|1|
0−3),
B(0|3|1), C(4| − 2|0), D(6| − 4| − 4) und P (11|8|2), sowie die Gerade ~x = 3 +
1
26 t 5 .
−7
a) Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene E und bilden das Viereck
ABCD. Untersuchen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr sind:
• Das Viereck ABCD ist ein Trapez;
• Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm;
• Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.
Geben Sie eine Gleichung der Ebene E an.
Die Punkte A und P bestimmen die Gerade h. Weisen Sie nach, dass die
Gerade h orthogonal zu E ist.
b) Es gibt Punkte Q, R und S, sodass der Körper ABCDPQRS ein gerades
Prisma ist. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte Q, R und S.
Das Prisma ABCDPQRS wird von der Gerade g durchstoßen. Weisen
Sie nach, dass die Körperkante SP von der Geraden g geschnitten wird,
und berechnen Sie die Koordinate des Schnittpunkts.
Ergebnisse: kein Rechteck, aber Parallelogramm und Trapez.
E : 9x1 + 7x2 + x3 = 22; Q(9|10|2); R(13|5|1); S(15|3| − 3).
1
2
F. LEMMERMEYER
G2-1 2001
Auf einem ebenen Berghang sollen in den Positionen A(10|15|5), B(−20|30|20)
und C(−5|0|5) zur Horizontalebene senkrechte Masten mit einer Länge von jeweils
10 m errichtet werden. Die Lage der Punkte ist in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben, in dem eine Einheit einem Meter entrspricht und die x1 x2 -Ebene
die Lage der Horizontalebene beschreibt.
a) Zeigen Sie, dass der Mast in B von denen in A und C die gleiche Entfernung
hat. Stellen Sie eine Gleichung der Ebene auf, die die Lage des Berghanges
beschreibt.
b) Ermitteln Sie jeweils die Koordinaten der Punkte A0 , B 0 und C 0 , die die
Lage der Spitzen der Masten in A, B und C beschreiben.
An der Spitze des Mastes in B soll ein Befestigungsseil
angebracht wer 1 −1
den, dessen Richtung durch den Vektor ~v =
beschrieben wird.
−4
Stellen Sie eine Gleichung der Geraden auf, die die Lage des Befestigungsseiles am Mast in B beschreibt und berechnen Sie die Koordinaten
des Verankerungspunktes des Seils in der Hangebene.
c) Die Befestigungsseile an den Masten in A und C sollen senkrecht zum Hang
verlaufen. In den Bauunterlagen
Richtung jedoch unter −1 gibt es zu deren
−1 0
1
schiedliche Angaben: ~vA =
und ~vC =
. Prüfen Sie, ob diese
−2
−3
Vektoren die geforderte Richtung angeben.
√
Ergebnisse: Entfernung 15 · 6 m; E : x1 − x2 + 3x3 = 10; A0 (10|15|15),
B 0 (−20|30|30) und C 0 (−5|0|15); Verankerungspunkt F (−17|27|18); ~vC ist senkrecht
zum Hang.
G2-2 2002
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0|0), B(8|4), C(6|8)
und D(−2|4) gegeben.
a) Weisen Sie nach, dass die Punkte A, B, C und D Eckpunkte eines Rechtecks
sind.
b) Die Punkte A, B, C und D liegen auf einem Kreis k mit Mittelpunkt M .
Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses
Kreises.
Im Punkt C ist an den Kreis k die Tangente t zu legen; geben Sie eine
Gleichung dieser Tangente an.
c) Die Gerade durch die Punkte B und D sowie die Tangente t (aus Aufgabe
b) schneiden einander im Punkt E. Berechnen Sie die Koordinaten von E.
Die Punkte E, C und M (aus Aufgabe b) seien die Eckpunkte eines
Dreiecks. Berechnen sie dessen Innenwinkel und dessen Flächeninhalt.
◦
◦
Ergebnisse: M (3|4); r = 5; y = − 34 x + 12, 5; E( 34
3 |4); α = 53, 1 ; β = 36, 9 ;
γ = 90◦ ; Flächeninhalt 50
3 .
GEOMETRIE GRUNDKURS SACHSEN
3
G2-1 2002
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren ~a =
4
−2
4
0
, ~b = 8
4
sowie der Punkt A(1|2|3) gegeben.
a) Weisen Sie nach, dass die Vektoren ~a und ~b orthogonal sind. Ermitteln Sie
−→
−→
die Koordinaten der Punkte B und D, für die gilt: OB = OA + ~a, bzw.
−→
−→
OD = OA + ~b.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C, sodass ein Rechteck ABCD entsteht.
−→
b) Berechnen Sie den Winkel, unter dem die Rechteckseite AB zur x1 x2 -Ebene
verläuft.
Prüfen Sie, ob die Strecke AB die x1 x2 -Ebene durchstößt.
c) Durch Rotation des Rechtecks ABCD um diejenige Symmetrieachse des
Rechtecks, welche senkrecht zu AB verläuft, entsteht ein gerader Kreiszylinder. Berechnen Sie das Volumen dieses Zylinders, sowie die Koordinaten
der Mittelpunkte der Grund- und Deckflächen.
Bei der Rotation des Rechtecks gibt es eines, welches parallel zur x2 x3 Ebene liegt. Berechnen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der
dieses Rechteck liegt.
◦
Ergebnisse: B(5|0|7);
√ D(1|10|7); C(5|8|11); α = 41, 8 ; AB durchstößt die x1 x2 Ebene nicht; h = 4 5 ≈ 8, 9; M1 (3|1|5); M2 (3|9|9); r = 3; E : x1 = 3.
K-G2-2 2003
Gegeben seien die Punkte A(−7|12|18), B(31|−8|8), C(−7|6|0) und D(−1|0|12).
a) Zeigen Sie, dass die Strecke AB Basis des gleichschenkligen Dreiecks ABC
ist. Berechnen Sie den AB gegenüberliegenden Winkel.
~
b) Ermitteln Sie den Mittelpunkt der Strecke BC.
Eine Gerade g verlaufe vom Punkt D durch den Punkt M . Berechnen
Sie die Koordinaten desjenigen Punktes S, in welchem sich die Gerade g
und die Gerade durch A und C schneiden.
c) Weisen Sie nach, dass der Punkt D auf der Strecke AB liegt. In welchem
Verhältnis teilt D die Strecke AB?
−→
−→
√
Ergebnisse: |AC| = |BC| = 6 10; γ = 80, 4◦ ; M (−2| − 1|4); S(−7| − 6| − 36);
Teilverhältnis AD : DB = 3 : 2.
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F. LEMMERMEYER
G2 2005
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Eckpunkte einer Pyramide
H1 (6|0|0), H2 (0|6|0), H3 (0|0|6) und H4 (6|6|6) sowie der Punkt C(3|3|3) gegeben.
a) Zeigen Sie, dass die Punkte H1 , H2 , H3 , H4 Eckpunkte eines Tetraeders
sind, also die Kanten Hi Hj alle die Gleiche Länge haben.
−→
b) Die Punkte C, H1 und H2 bestimmen eine Ebene E. Zeigen Sie, dass H3 H4
ein Normalenvektor von E ist, und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E.
Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunkts der Strecke H3 H4
durch die Ebene E und charakterisieren Sie dessen Lage auf dieser Strecke.
Wie liegen H3 und H4 relativ zur Ebene E?
c) Im Modell eines Methanmoleküls befinden sich die Wasserstoffatome in den
Eckpunkten Hi (i = 1, 2, 3, 4) und das Kohlenstoffatom im Mittelpunkt C.
Berechnen Sie den Winkel α = ∠H1 CH2 .
d) Die Eckpunkte Hi des Modells und der Punkt C werden senkrecht auf die
x1 x2 -Ebene projiziert. Berechne die Koordinaten Hi0 und C 0 der Bildpunkte.
Zeigen Sie, dass H10 H20 H30 H40 ein Quadrat mit Mittelpunkt C 0 ist.
Ergebnisse: der Durchstoßpunkt D(3|3|6) ist Mittelpunkt von H3 H4 . H3 und H4
liegen symmetrisch zu E; cos α = − 31 , α ≈ 109, 5◦ .
K-G2 2006
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte P1 (4|−1|2), P2 (−2|6|1)
und P3 (8| − 2| − 1) gegeben.
a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E durch die Punkte
P1 , P2 und P3 .
b) Die Ebene E wird von den Koordinatenachsen in den Punkten A, B und
C durchstoßen. Untersuchen Sie, ob das Dreieck ABC gleichseitig ist und
berechnen Sie seinen Flächeninhalt.
c) Der Punkt D(9|9|11) sei Eckpunkt eines Prismas ABCDEF, dessen Grundfläche das Dreieck ABC ist.
Zeigen Sie, dass dieses Prisma kein gerades Prisma ist, und berechnen
Sie dessen Volumen.
Ergebnisse: E : x1 + x2 + x3 = 5; A(5|0|0); B(0|5|0); C(0|0|5); gleichseitig mit
√
√ −→
Kantenlänge 5 2; Flächeninhalt 25
3; AD ist kein Vielfaches des Normalenvektors
2
√
der Ebene; h = 8 3.