Textskript 10

Kapitel 10
ELEKTROMAGNETISCHE
SCHWINGUNGEN
10.1
Freie Schwingung
Ein Kondensator parallelgeschaltet mit einer Spule bildet einen Schwingkreis.
Diesen betrachten wir vorerst unter Vernachlässigung der Ohmschen Verluste
und der Strahlungsverluste1 . Wir nehmen an, dass zu Beginn der Kondensator
C aufgeladen ist. Er entläd sich durch den Stromfluss über die Spule. Dabei
baut sich in der Induktivität L ein Magnetfeld auf. Dieses wird in der Folge
wieder abgebaut und führt zur Aufladung des Kondensators, jetzt aber mit umgekehrter Polung. Ohne Dämpfung wiederholt sich der Vorgang periodisch.
Ein mechanisches Analogon zum elektrischen Schwingkreis ist der harmonische
! "#$
Oszillator. Die potentielle Energie der
Masse M entspricht der Feldenergie im
Kondensator,
!
% &'
Wel =
1
CU 2 .
2
!
" # $
Die kinetischen Energie der Masse M entspricht der magnetischen Feldenergie
!
Wmag
% &'
1
= LI 2 .
2
Berücksichtigt man den endlichen Widerstand R der Leiter im Schwingkreis, hat
man auch ein Analogon zum Reibungsverlust des Federoszillators. Für diesen
hatten wir mit der rücktreibenden Kraft Fx = D x und der geschwindigkeitsabhängigen Reibungskraft ↵ẋ die Bewegungsgleichung
mẍ + ↵ẋ + D x = 0 .
(10.1)
1 Ohmsche Verluste entstehen durch den Widerstand der leitenden Elemente, Strahlungsverluste durch die sich zeitlich ändernden elektrischen und magnetischen Felder die zur Abstrahlung einer elektromagnetischen Welle führen.
93
94
KAPITEL 10. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN
Dem zeitlichen Verlauf des Stromes in einem Schwingkreis entspricht die Amplitude der Schwingung eines gedämpften harmonischen Oszillators.
Für die Spannungen im Schwingkreis gilt
$ %!
! "#
Q
= 0.
LI˙ + RI +
C
Die Ableitung nach der Zeit ergibt mit Q̇ = I
I
LI¨ + RI˙ +
= 0.
C
&
Mit dem Ansatz I = Ae t , wobei A und
die quadratische Gleichung
R
1
+
= 0,
L
LC
mit den Lösungen
r
R
R2
±
1,2 =
2L
4L2
2
!
'( )
komplex sein können, erhalten wir
+
(10.2)
1
=
LC
↵±
.
(10.3)
Somit ist die allgemeine Lösung
(↵
)t
+ A2 e
(↵+ )t
1
Für den Fall R2 < 4L/C ist imaginär.
So erhalten wir mit dem Ansatz = i!
und ↵ = R/(2L) als allgemeine Lösung
I=e
↵t
A1 e+i!t + A2 e
i!t
L=C=1
.
amplitude
I = A1 e
R=0.2
0
.
0
5
10
time
15
20
Mit A1,2 = a ± ib ist eine reelle Lösung
=
|A|e
↵t
cos (!t + ') ,
p
wobei die Konstanten |A| = 2 a2 + b2
und tan ' = b/a über Anfangsbedingungen gegeben sind. Für R2 > 4L/C
wird
rell und der Strom fällt monoton ab (Kriechfall). Für den Fall
R2 = 4L/C ist
= 0. Auch hier
hat der Strom keinen Nulldurchgang
(aperiodischer Grenzfall).
1
amplitude
I
L=C=1
R=0.2
R=2
R=20
0
0
1
2
time
Die Eigenfrequenz des freien Schwingkreises ist
r
1
R2
!=
.
LC
4L2
3
4
(10.4)
Im ungedämpften Fall (R = 0) ergibt sich die sogenannte Thomson Gleichung
!0 = p
1
.
LC
Die Eigenfrequenz erhöht sich, wenn L und C kleiner werden.
(10.5)
10.2. ERZWUNGENE SCHWINGUNG
10.2
95
Erzwungene Schwingung
Legt man von aussen eine periodische Spannung U = U0 cos !t an (! ist frei
wählbar, unabhängig von der Definition 10.4), ergibt sich eine erzwungene
gedämpfte Schwingung, mit dem typischen Verhalten eines Resonanzkreises.
Die Summe aus äußerer Spannung und Indukti$ %!
onspannung muss gleich sein dem Spannungsab! "#
fall an R und C:
Q
C
!
U + Uind
=
+RI +
U̇
=
I
LI¨ + RI˙ + .
C
&
Mit dem komplexen Ansatz U = U0 ei!t und
I = I0 ei(!t ') gilt
✓
◆
1
i!U =
L! 2 + i!R +
I.
C
!
1
!C
◆2
!
"#$
! "# $
Der komplexe Widerstand definiert sich als
✓
◆
U
1
Z=
= R + i !L
,
I
!C
und die Impedanz |Z|
s
✓
|Z| = R2 + !L
&
'( )
4
3
»Z» 2
R=2
R=1
R=0
1
.
0
0
1
2
wêw0
wobei Z = |Z| · ei' ist.
3
4
p
In den Bildern wurde die Einheit von R in der Einheiten von L/C gewählt. Bei
großen Werten von ! steigt die Impedanz mit !L an. Komplexe Widerstände
werden übersichtlich als Vektoren in der komplexen Ebene dargestellt.
Im
‰wL
R
Z
ImHZL
j
-
Re
‰
wC
1
3
Z
2
+
R = 0.03
R = 0.3
R = 0.6
4
j
1
0
0
-
0
1
2
3
p
2
R = 0.03
R = 0.3
R = 0.6
p
2
0.
0.5
wêw0
1.
wêw0
1.5
2.
Der zeitabhängige Strom wird damit
I=
U0
cos (!t
|Z|
')
wobei
tan ' =
!L
Im(Z)
=
Re(Z)
R
1
!C
(10.6)
96
KAPITEL 10. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN
Der Strom wird maximal, wenn die Thomson Bedingung !L 1/(!C) = 0 erfüllt
ist, also ! = !0 . In diesem Fall ist der Phasenwinkel ' = 0, und der Strom ist
in Phase mit der angelegten Wechselspannung. Die Resonanzkurve verbreitert
sich mit steigendem
p Widerstand R. Geht R ! 0, dann wird I unendlich bei der
Frequenz !0 = 1/ LC. Der Widerstand R verbraucht die Leistung
P = I2 R =
12
U02 cos2 !t
R.
|Z|2
XP\
Da der Mittelwert hcos2 !ti = 1/2 ist, beträgt die
mittlere Leistung
hP i =
R = 0.03
R = 0.3
R = 0.6
8
4
1
U02 R
.
2 R2 + [!L 1/(!C)]2
0
Erfolgt die externe Einkopplung wie in der Abbildung auf Seite 95 oben, spricht man von einem
Serienschwingkreis. Am Kondensator liegt die
Spannung
R
R
Idt
U0 ei!t dt
Q
UC =
=
=
C
C
ZC
U0 ei!t
I
=
=
,
i! Z C
i!C
0
1
wêw0
2
4
R = 0.03
R = 0.3
R = 0.6
3
UC
U0
2
1
0
0
1
wêw0
mit dem Amplitudenbetrag |UC | = U0 /(|Z|!C).
2
Das Maximum der Spannungsresonanz verschiebt sich bei steigender
Dämpfung
p
durch R nach Werten unter der Resonanzfrequenz !0 = 1/ LC. Wegen 1i =
i = e i ⇡/2 besteht zwischen der Spannung am Kondensator und dem Strom
im Schwingkreis eine Phasenverschiebung von ⇡/2 = 90o .
Im
Im
j
j
UC
j=0
U0
Re
900
-i j
I0 e
Im
I0
0
90
UC
U0
I0 Re
j=-
Im
p
2
j
U0
UC Re
j=
p
U0
2
UC
j
Re
I0
Resonanz wird auch in einem Parallelschwingkreis beobachtet.
Von aussen wird eine Wechselspannung an den
Kondensator angelegt. Die periodische Änderung
des Magnetfeldes in der Induktivität wird über
eine Sekundärspule beobachtet.
Anregung und Detektor könnten auch vertauscht
werden.
10.3. OFFENER SCHWINGKREIS
10.3
97
O↵ener Schwingkreis
Wie macht man die Induktivität bzw. die Kapazität kleiner? Zum Beispiel in
einem kontinuierlichen Übergang, in dem man zuerst die Spule durch einen
Drahtbügel ersetzt, und in Folge das Drahtende als die Kapazität interpretiert.
Damit entsteht der klassische Hertzsche Dipol.
!
!
!
!
"
"
"
"
Ein Hertzscher Dipol ist ein linearer oszillierender Dipol, dessen Enden abwechselnd positiv und negativ aufgeladen werden. Seine Eigenfrequenz wird
durch Länge des Dipol bestimmt. Speisen wir in die Mitte des Antennenstabes
(bei z = 0) eine Wechselspannung ein, so fließt im Antennendraht der Strom
I(z, t) = I0 (z) sin!t .
(10.7)
Die Bedingung, dass der Strom am Antennenende Null sein muss,
1
I(z = ± `) = 0 ,
2
(10.8)
bestimmt das Resonanzverhalten der Antenne. Resonanz tritt auf, wenn die
Dipollänge ein Vielfaches der halben Wellenlänge ist: ` = n /2. Dabei ist die
Wellenlänge über die Phasengeschwindigkeit c des elektromagnetischen Signales
mit der Frequenz verknüpft, ! = 2⇡⌫ = 2⇡c/ . Legt man den periodischen
Strom unter Resonanz bei z = 0 bei der niedrigsten Resonanz (n = 1) an den
Dipol an, ergibt sich für den räumlichen Verlauf von Strom und Spannung
I0 (z)
=
U0 (z)
=
⇡z
,
`
⇡z
U0 sin
.
`
I0 cos
! "# "$%&
)
Diese Stehwelle in der Dipolleitung
ist mit Glühlampen nachweisbar.
Hell erscheint eine Lampe, wenn
der Spannungsabfall an ihr (der
Strom) groß ist.
! "# "'
'
*! +
!'*! +
$"# "! "%"&
! "# "( $%&
Beispiel für Antennenresonanz: Wir nehmen die Länge ` = 6 cm, damit ist
`=
2
=
1 c
2 ⌫
!
⌫=
3 · 1010
= 2.5 GHz
2·6
Bei hoher Frequenz ist die Schwingung im Hertz’schen Dipol stark
gedämpft, allerdings nicht durch den Ohmschen Widerstand,
sondern durch Abstrahlung einer elektromagnetischen Welle.
98
KAPITEL 10. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN
Zum Verständnis der Abstrahlung untersuchen wir zuerst die Ausbreitung eines
elektrischen Pulses entlang einer Lecherleitung:
!
"# $ % & & ' & ( "
.
Eine Lecherleitung sind zwei lange, parallele Leiter mit einer Stromquelle an
einem Ende. Wir machen Momentaufnahmen der (idealisierten) Potentialverteilung entlang des Leiters als Funktion der Zeit,
.
.
!
!
A) Anlegen einer
Gleichspannung
!
B) Anlegen eines
Spannungsstoßes
! ) *+
C) Anlegen einer
Wechselspannung
Im Fall C) (zeitlich periodischer Vorgang) ergibt sich ein auch räumlich periodischer Vorgang, eine Welle,und zwar nur deshalb, weil die Ausbreitungsgeschwindigkeit endlich ist. Heinrich Hertz hatte 1898 beobachtet, dass sich
elektrische Störungen mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten (für parallele
Drähte im Vakuum gilt v ⇠
= c).
Aus einer Lecherleitung können wir durch Aufbiegen
eine Dipolantenne gestalten. Die Entstehung des
zeitlich und räumlich periodischen Feldes einer
Dipolantenne können wir uns so vorstellen:
Angenommen die Schwingungsfrequenz beträgt 100 MHz (2.5 Ghz), dann ändert
sich die Polarität alle 5 ns (200 ps). Um instantan ein stationäres elektrisches
Feld entsprechend der Polarität des Dipols auszubilden, müßte sich das Feld in
5 ns (200 ps) bis ins Unendliche ausbreiten und dann wieder verschwinden, wenn
der Dipol umpolt. Das Feld breitet sich aber maximal mit der Lichtgeschwindig~
keit c aus. Das E-Feld
kann nicht Schritt halten mit der zeitlichen Änderung des
Dipolmomentes an der Antenne. Die Folge davon ist, dass die Feldlinien nicht
mehr zum Dipol zurückkehren. Sie lösen sich ab und wandern als geschlossene
Wirbelfelder in den Raum. Analoges gilt für die magnetischen Felder, die
durch den Dipolstrom erzeugt werden.
!
!
"
!
"
!
"
"
!#$ #%
&#$ #%
!
!
!
&#$ #, () *
.
In einem Experiment gelingt der Nachweis der Felder über eine Glimmlampe oder Glühlampe mit unterschiedlich geformten Empfangsantennen:
&#$ #' () *
&#$ #' (+ *
10.4. RETARDIERUNG
99
~
Dipolantenne Das periodisch sich ändernde EFeld regt Elektronen zum Mitschwingen an
(Wechselstrom mit der Frequenz des elektrischen Feldes). Die Lampe leuchtet an den Orten maximaler elektrischer Feldstärke. Mit die~ als
ser Anordnung läßt sich die Richtung von E
paralell zur Dipolachse zeigen.
!
~
Drahtschleife Das periodisch sich ändernde B-Feld
induziert in der Schleife einen Wechselstrom
und die Lampe leuchtet an den Orten maximaler magnetischer Feldstärke. Auch mit die~
ser Anordnung läßt sich die Richtung von B
als senkrecht zur Dipolachse zeigen. Damit
~ und B
~ senkwird der Beweis geführt, dass E
recht zueinander stehen.
!
Das Hertz’sche Gitter ist eine Anordnung von parallelen Metalldrähten im
Abstand kleiner als die Wellenlänge. Das Gitter ist
- undurchlässig (wie Metallwand), wenn Drähte parallel zur Dipolachse,
- durchlässig, wenn Drähte senkrecht zur Dipolachse (kein Strom fließt).
- Stehen die Gitterdrähte unter einem Winkel ⇡/2 ↵ zur Dipolachse, wird
Strahlung mit Polarisation senkrecht zu den Gitterdrähten durch das
Hertzsche Gitter mit verminderter Intensität, I / cos2 ↵ durchgelassen.
10.4
Retardierung
Zur Verdeutlichung der zeitlichen Entwicklung
des elektromagnetischen Feldes untersuchen wir
zuerst das Vektorpotential einer stationären
Stromverteilung
~ r1 ) = µ 0
A(~
4⇡
Z ~
j(~r2 )
dV2
2 r12
#
!
"
$
(10.9)
% !
&
%
Jetzt betrachten wir eine zeitlich veränderliche Stromdichte und berücksichten
die Zeit, die das Feld braucht, um sich von 2 nach 1 auszubreiten: Diese Zeit,
die sogenannte Retardierung ist t = r12 /c. Für eine nicht-stationäre Stromverteilung müssen wir also schreiben:
Z ~
µ0
j(~r2 , t r12 /c)
~
A(~r1 , t) =
dV2 .
(10.10)
4⇡ 2
r12
Liegt der Aufpunkt (1) weit weg von der Dipolantenne, dann gilt für alle Punkte
auf der Antenne r12 ⇡ r = const. Fließt die Ladungsdichte ⇢ mit der Geschwindigkeit vz entlang der z-Achse ergibt sich das Vektorpotential
Z
µ0 êz
~
A(~r1 , t) =
vz ⇢(~r2 , t r/c) dV2 .
(10.11)
4⇡r r
100
KAPITEL 10. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN
10.5
Hertz’scher Dipol
~ der Hertz’schen Dipolantenne zur Zeit t0
Das elektrische Dipolmoment P
~ 0)
P(t
=
Q ~z (t0 )
=
Q z0 sin !t0 êz
=
p(t0 ) êz .
(10.12)
beschreibt die Oszillation der Elektronen gegenüber der festen positiven Ladung
der Ionenrümpfe, wobei Q die Gesamtladung der beweglichen Ladungsträger in
der Antenne ist. Mit der Beziehung für die retardierte Zeit
t0 = t r/c ,
(10.13)
ist
d
p (t0 ) = Qż = Qvz =
dt
Z
⇢vz dV2 .
(10.14)
Damit gilt für nach Gl.(10.11) für das Vektorfeld in der Umgebung des Dipols
⇣
⌘
~ 1 , t) = µ0 êz d p t r
A(r
4⇡ r dt
c
µ0 êz
0
=
ṗ (t ) .
(10.15)
4⇡ r
Das Vektorpotential ist proportional zur ersten zeitlichen Ableitung des Dipol~ / ṗ. Mit
momentes A
! (t
r/c) = !t
2⇡
r = !t
~k · ~r
(10.16)
wird
⇣
~ 1 , t) = µ0 êz Qz0 ! cos !t
A(r
4⇡ r
⌘
~k · ~r .
(10.17)
Interpretation dieser Gleichung: Ein sich zeitlich änderndes Dipolmoment erzeugt ein sich zeitlich änderndes Vektorpotential, das sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum ausbreitet. Auf Grund der 1/r Abhängigkeit ist die Form dieser
Gleichung gleich der einer Kugelwelle (wir hatten die Annahme gemacht, dass
r12 z0 ).
~ = {0, 0, Az } und
Liegt die Dipolachse entlang der z-Richtung ist dann ist A
~
~
~
wegen B = r ⇥ A ergibt sich
⇢
~ = + @Az , @Az , 0 .
B
(10.18)
@y
@x
~
Das B-Feld
liegt also in der x y-Ebene. Wir überlegen uns die x-Komponente
des B-Feldes und berücksichtigen, dass sowohl 1/r als auch ṗ(t0 ) (und zwar
wegen der retardierten Zeit) von y abhängen.

µ0
@ 1 1 @
Bx = +
ṗ(t0 ) ·
+ ·
ṗ(t0 ) .
(10.19)
4⇡
@y r
r @y
10.5. HERTZ’SCHER DIPOL
101
Mit der Antenne im Ursprung des Koordinatensystems ist r2 = x2 + y 2 + z 2 .
Wir verwenden die Substitution t0 = t r/c und erhalten ṗ = @p/@t0 , sowie
@t0 /@r = 1/c und @r/@y = y/r. Damit ist
@ ṗ
@ ṗ @t0 @r
= 0·
·
=
@y
@t @r @y
p̈
1 y
.
c r
(10.20)
Berücksichten wir auch noch den ersten Term in Gleichung 10.19
@ 1
=
@y r
y
,
r3
(10.21)
dann erhalten wir für Bx und analog für By
µ0 ⇣ y
y ⌘
Bx =
ṗ 3 + p̈ 2 ,
4⇡ ⇣ r
cr ⌘
µ0
x
x
By = +
ṗ 3 + p̈ 2 ,
4⇡
r
cr
(10.22)
also Terme, die sowohl von der ersten, als auch von der zweiten zeitlichen Ableitung des Dipolmomentes abhängen (die zweite Ableitung ergibt sich aus der
räumlichen Ableitung der retardierten Zeit).
Der erste Term in Gl.10.22 fällt schneller mit dem Abstand ab als der zweite,
also dominiert der zweite Term in der Fernzone des Dipols. Nach Umrechung auf
Polarkoordinaten ist der Betrag der magnetischen Feldstärke in der Fernzone
|B(r, #, t)| =
µ0
1 sin #
p̈(t0 )
.
4⇡
c r
(10.23)
Analog ergibt sich (|B| = |E|/c) der Betrag der elektrischen Feldstärke als
|E(r, #, t)| =
µ0
sin #
p̈(t0 )
.
4⇡
r
(10.24)
Die Strahlungleistung berechnet sich aus der Energiedichte beider Felder
wem =
1
✏0 E 2 + c2 B 2 = ✏0 E 2 .
2
(10.25)
als die Energiestromdichte
sem = c wem = c ✏0 E 2 .
(10.26)
Die Abstrahlung erfolgt bevorzugt senkrecht zur Dipolachse, also E 2 / sin2 #.
»E»
d
Sem
d
102
KAPITEL 10. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN
Aus der periodischen Zeitabhängigkeit in Gl.(10.12) ergibt sich für die Frequenzabhängigkeit von
ṗ / !
und
p̈ / ! 2 .
(10.27)
H
Die gesamte vom schwingenden Dipol abgestrahlte Leistung ist Pem = sem dS,
mit dem Flächenelement dS = r2 sin # d# d'. Im Mittel beträgt die abgestrahlte
Leistung
hPem i =
µ0
Q2 ! 4 z02 .
12⇡c
(10.28)
Sie steigt mit ! 4 an, Aus diesem Grund ist die Strahlungsdämpfung bei hohen Frequenzen besonders hoch.
Unter Verwendung von Gleichung (10.12) sehen wir, dass die Feldamplituden in (10.23) und (10.24) proportional sind zu z̈, also zur Beschleunigung
der Ladungsträger. Die abgestrahlte Leistung ist demnach proportional zum
Quadrat der Beschleunigung.
Dies gilt nicht nur für harmonische Bewegungen, sondern auch für beliebige
Beschleunigungsvorgänge, z.B. beim scharfen Abbremsen bzw. bei der Ablenkung schneller Elektronen in einem Metall (Röntgenbremsstrahlung die an
der Röntgenanode entsteht) oder bei der Zentripetalbeschleunigung schneller
Elektronen in einem Speicherring (Synchrotronstrahlung). Zur Bestimmung
der Richtungsverteilung der Abstrahlung einer beschleunigten Ladung bei hohen Geschwindigkeiten müssen relativistische E↵ekte ( = v/c) berücksichtigt
werden.
.