W6 Messung von Kapazitaeten

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– Messung von Kapazitäten, Auf- und
Entladungsvorgänge von Kondensatoren –
Gruppe 6: Daniela Poppinga, Jan Christoph Bernack
Betreuerin: Natalia Podlaszewski
18. November 2008
1
Inhaltsverzeichnis
1 Versuchsteil: Messung von Kapazitäten
3
1.1 Bestimmung des Eingangswiderstandes eines Oszilloskops . . . .
3
1.2 Bestimmung der Kapazität eines Koaxialkabels . . . . . . . . . .
5
1.3 Bestimmung der relativen Permittivität von PVC . . . . . . . . .
7
1.4 Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung in einem RC-Glied
2
9
1
Versuchsteil: Messung von Kapazitäten
1.1
Bestimmung des Eingangswiderstandes eines Oszilloskops
Bei diesem Versuch wird der Eigenwiderstand eines analogen Oszilloskops bestimmt. Dazu dient folgender Versuchsaufbau:
Abbildung 1: Ersatzschaltbild zur Messung des Eingangswiderstandes eines Ozsilloskops (s. Skript, S. 91, Abb. 8)
Zunächst wird der Kondensator C durch die Spannungsquelle aufgeladen (bei
geschlossenem Schalter S). Wird der Schalter S geöffnet, entlädt sich der Kondensator über den Widerstand R0 im Oszilloskop. Trägt man die gemessene
Spannung über der Zeit auf, ergibt sich theoretisch folgende Kurve:
Abbildung 2: Entladekurve eines Kondensators (s. Skript, S. 86, Abb. 3)
Indem, wie in dem Bild zu sehen ist, die Spannungen U1 und U2 im Zeitintervall
∆t = t2 − t1 bestimmt werden, kann daraufhin der Eingangswiderstand R des
3
Ozsilloskops auf folgende Art und Weise bestimmt werden 1 :
C=
t2 − t1
t2 − t1
⇔ R=
U1
1
R · ln( U2 )
C · ln( U
U2 )
(1)
Da jedoch auf dem Oszilloskopbildschirm jeweils nur die momentane Spannung
sichtbar ist, ergibt sich auf dem Bildschirm ein waagerechter Strich, der sich nach
unten bewegt. Um nun Spannung und Zeitintervall messen zu können, wird mit
einer Stoppuhr die Zeit gestoppt, die die Linie benötigt, um eine gewisse Strecke,
in diesem Fall Spannung, zurückzulegen. In unserem Fall wurde jeweils die Zeit
gestoppt, die die Linie benötigt um von 5V auf 2V abzusinken (siehe Abb. 3).
Dieser Abstand ist so lang, dass man eine hinreichend lange Zeit messen kann,
die so einen möglichst kleinen Fehler beinhaltet.
5V
Zeit starten
Zeitdifferenz
2V
Zeit stoppen
Abbildung 3: Veranschauchlichung zum Messvorgang
Es ergaben sich daraufhin folgende Messwerte:
Zeitdifferenz ∆t / s
9,68
9,56
9,44
9,66
9,66
Spannung U1 / V
5
5
5
5
5
Spannung U2 / V
2
2
2
2
2
Tabelle 1: Messergebnisse zur Bestimmung des Eingangswiderstandes eines Oszilloskops
Des Weiteren ist es wichtig, dass die Kapazität C >> C0 + CK , da so die
Kapazität CK der Kabel und die Kapazität C0 des Oszilloskops vernachlässigbar
sind. Die Kapazität C des Kondensators betrug bei diesem Versuch 10,05µF
±0,10µF (gemessen mit Agilent 34405 A)).
Zur Berechnung des Widerstands wird zunächst der Mittelwert ∆t und die Standardabweichung σ∆t gebildet:
∆t =
1 s.
N
5
1X
1 X
Ri =
∆ti = 9, 60s
N i=1
5 i=1
Skript S. 86 Gleichung 18
4
(2)
σ∆t
v
u
u
=t
N
X
1
(∆ti − ∆t)2 = 0, 10s
N (N − 1) i=1
(3)
Daraus ergibt sich schließlich folgender Eingangswiderstand:
R=
9, 6s
∆t
=
≈ 1, 042M Ω
1
10,
05µF
· ln( 5V
)
C · ln( U
2V )
U2
(4)
Als Fehler ergibt sich durch Fehlerfortpflanzung mit ∆t = 9,60s, σ∆t = 0,10s,
C=10,05µF, σC = 0,10µF:
σR =
s
(−
C2
1
∆t
· σC )2 + (
· σ∆t )2 = 0, 015M Ω
U1
1
· ln( U2 )
C · ln( U
U2 )
(5)
Das verwendete analoge Oszilloskop hat also einen ungefähren Eingangswiderstand von 1,04M Ω ± 0,015M Ω.
1.2
Bestimmung der Kapazität eines Koaxialkabels
In diesem Versuch geht es darum, die Kapazität eines Koaxialkabels zu bestimmen, denn auch ein Koaxialkabel wirkt als Kondensator in einem Stromkreis.
Um die Kapazität messen zu können, wird folgende Schaltung aufgebaut:
Abbildung 4: Aufbau zur Bestimmung der Kapazität eines Koaxialkabels (s.
Skript S. 92, Abb.9)
Als Spannungsquelle dient dieses Mal ein Funktionsgenerator, der eine periodische Rechteckspannung erzeugt. Diese ersetzt den Schalter aus Abb. 1, da durch
die periodische Spannung der Kondensator, in diesem Fall die Kabel, periodisch
auf- bzw. entladen werden. Mit einem Oszilloskop lässt sich wiederum der Entladevorgang beobachten. Des Weiteren wird ein zusätzlicher Widerstand RD
in den Kreis eingebaut. Da das Oszilloskop einen Innenwiderstand R0 von ca.
1M Ω besitzt und dieser im Vergleich zum Innenwiderstand des Funktionsgenerators von R1 ≈ 50Ω (wurde im Seminar am 10.11.2008 bekannt gegeben und
5
somit vorrausgesetzt) sehr groß ist, entlädt sich der Kondensator somit über den
Widerstand R1 des Funktionsgenerators. In diesem Versuch wird RD = 950Ω
gewählt, sodass sich der Kondendator über einen Widerstand von RG = R1 +
RD = 1kΩ entlädt. Außerdem ist zu beachten, dass der Versuchsaufbau ansich
eine gewisse Kapazität aufweist, da für den Aufbau Koaxialkabel verwendet werden. Daher muss die Kapazität einmal ohne zusätzliche Kabel gemessen werden.
Danach beginnt der eigentliche Versuch, indem immer mehr bzw. immer längere
Koaxialkabel als C in den Stromkreis eingebunden werden.
Die Kabellängen wurden jeweils mit einem Maßband bestimmt.
Auf dem Oszilloskop ergibt sich wiederum eine Entladekurve wie in Abb. 2
bereits veranschaulicht, sodass wieder zwei Spannungen und eine Zeitdifferenz
bestimmt werden können. Da dieses mal ein Digital Oszilloskop verwendet wird,
können die Messwerte mit der Cursor“-Funktion des Oszilloskops genauer be”
stimmt werden.
Es ergaben sich folgende Messwerte bei folgenden Kabellängen:
Kabellänge / m
0,515
1,02
1,535
2,04
2,555
Spannung U1 / V
6,5
7
7
7
7
Spannung U2 / V
1
1,5
2
2,5
2,9
Zeitdifferenz ∆t / ns
400
400
400
400
400
Tabelle 2: Messergebnisse zur Bestimmung der Kapazität eines Koaxialkabels
Die Kapazität ergibt sich aus folgender Formel:
C=
t2 − t1
− (C0 + C1 + CK )
1
RG · ln( U
U2 )
(6)
t2 − t1 stellt dabei wieder die Zeitdifferenz dar und RG den Gesamtwiderstand,
der sich aus R1 und RD ergibt. Die Summe C0 + C1 + CK wiederum ist die
gemessene Kapazität der im Aufbau enthaltenen Kabel, des Funktionsgenerators und des Oszilloskops und müssen deshalb vom Ergebnis abgezogen werden,
damit lediglich die Kapazität der eigentlichen Kabel errechnet werden kann.
Ohne zusätzliches Koaxialkabel ergab sich in der verwendeten Schaltung eine
Kapazität von (C0 +C1 +CK ) = 0, 15nF , sodass sich letztendlich für die Formel
ergibt:
C=
t2 − t1
− 0, 15nF
U1
RG · ln( U
)
2
(7)
Bestimmt man nun danach die Kapazität der einzelnen Kabellängen, ergeben
sich folgende Werte für die Kapazitäten der einzelnen Längen und jeweils die
Kapazität pro Meter:
6
Kabellänge / m
0,515
1,02
1,535
2,04
2,555
Kapazität C / pF
63,70
109,67
169,29
238,50
303,93
Kapazität C pro Meter / pF
123,69
107,51
110,29
116,91
118,95
Tabelle 3: Kapazität der einzelnen Kabellängen und die sich jeweilig ergebene
Kapazität pro Meter
Aus den errechneten Kapazitäten pro Meter kann wiederum der Mittelwert C
und die dazugehörige Standardabweichung σC gebildet werden:
C=
N
5
1 X
1X
Ri =
Ci = 115, 47pF
N i=1
5 i=1
v
u
u
σC = t
(8)
N
X
1
(Ci − C)2 = 6, 55pF
N (N − 1) i=1
(9)
Es ergibt sich also letztlich eine Kapazität C pro Meter von 115,47pF ±
6,55pF.
1.3
Bestimmung der relativen Permittivität von PVC
In diesem Versuch soll die Permittivität ǫr von PVC ermittelt werden. Die Kapazität von Kondensatoren ist abhängig vom Material, das sich zwischen den
Platten befindet. Somit hat jedes Material eine bestimmte Permittivität. Vakuum z.B. hat ein ǫr = 1.
Um nun die Permittivität von PVC zu bestimmen, werden verschieden dicke
PVC Platten zwischen einen Plattenkondensator gelegt und die Kapazität vermessen. Der Aufbau ist der gleiche wie in Abb. 4, wobei der Plattenkondensator
C darstellt und auch die Messung erfolgt analog über das Oszilloskop.
Anschließend werden die Werte für C über d1 aufgetragen und über eine Ursprungsgerade gefittet, da gilt, dass bei einem Abstand von d = 0 die Kapazität
0 sein muss, weil die Platten so keinen Kondensator bilden und der Stromkreis
geschlossen wäre. Die Steigung der Geraden ist somit dann m = d · C und es
gilt außerdem folgender Zusammenhang:
C = ǫ0 ǫr
d·C
A
⇔ ǫr =
d
ǫ0 · A
(10)
Zur Bestimmung von ǫr müssen also des Weiteren noch die Größen A und ǫ0
bekannt sein. A ist die Querschnittsfläche der Plattenkondensatoren und kann
gemessen werden, ǫ0 ist die elektrische Feldkostante und definiert als2 :
2 s.
Skript S. 84, Gl. 5)
7
ǫ0 :=
As
1
= 8, 8541 · 10−12
µ0 c2
Vm
(11)
Für die Querschnittsfläche wurde folgende Größe gemessen:
A=b·l
l = 0, 20m, b = 0, 17m →
A = 0, 034m2
(12)
Es ergaben sich die folgenden Messwerte:
Dicke d / mm
3
4
5
6
Spannung U1 / V
7
7
7
7
Spannung U2 / V
2,8
1,4
1,2
1
Zeitdifferenz ∆t / ns
600
600
600
600
Tabelle 4: Messergebnisse zur Bestimmung der Permittivität von PVC
Die Kapazität wurde analog zum vorherigen Kapitel errechnet, sodass sich folgender Graph ergibt (mit einer Urpsrungsgerade gefittet):
C / F
5,50E-010
Lineare Anpassung von C / F
5,00E-010
4,50E-010
4,00E-010
C / F
3,50E-010
3,00E-010
2,50E-010
2,00E-010
1,50E-010
1,00E-010
5,00E-011
0,00E+000
0
50
100
150
200
250
300
350
1/d / m
Abbildung 5: Kapazität C eines Plattenkondensators auf den Kehrwert der
Dicke des PVCs zwischen den Kondensatorplatten aufgetragen und mit einer
Ursprungsgerade gefittet (Darstellung: Origin 8)
Dazu ergeben sich folgende Parameter:
8
A
1
Gl ei chung
2
Gewi chtung
3
Fehl er der
B
C
D
y = a + b*x
Kei ne Gewi chtung
2,11544E-20
Sum m e der
Quadrate
4
Kor. R-Quadrat
0,92288
5
Wert
6
Schni ttpunkt m
C / F
7
Standardfehl er
0
--
1,19477E-12
1,70916E-13
i t der Y-Achse
Stei gung
Abbildung 6: Parameter des Fits in Abb. 5 (Quelle: Origin 8)
Für die Steigung m = d · C ergibt sich somit ein Wert von 1, 1948 · 10−12 F m
mit einer Standardabweichung σdC = 1, 7092 · 10−13 .
Es ergibt sich also somit folgender Wert für die Permittivität ǫr von PVC:
ǫr =
1.4
d·C
1, 1948E − 12F m
≈ 3, 97
=
2
ǫ0 · A
8, 8541 · 10−12 VAs
m · 0, 034m
(13)
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung in
einem RC-Glied
In diesem Versuch soll die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung in
einem RC-Glied, also einer Reihenschaltung aus Kondensator und Widerstand,
gemessen werden. Dazu wird folgener Versuchsaufbau verwendet:
Abbildung 7: Aufbau zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen Strom
und Spannung innerhalb eines RC-Glieds (s. Skript S.94, Abb. 11)
Der Funktionsgenerator erzeugt dabei eine sinusförmige Wechselspannung mit
einer Amplitude von 5V und einer Frequenz von 10kHz (dieses wird vorher mit
9
Hilfe eines Oszilloskops eingestellt). Als Widerstand wurde ein 1000Ω Widerstand gewählt und als Kondensator ein 10nF Kondensator.
Beide Größen, Spannung und Stromstärke, werden hierbei über das Oszilloskop
gemessen. Die Spannung U kann durch V1 gemessen werden und die Stromstärke
I durch einen Umweg an V2 . Hierbei wird der Spannungsabfall UR gemessen,
der am Widerstand R entsteht. Dieser ist nach UR = R
I proportional zur eigentlichen Stromstärke. Der Vorteil dieser Methode ist, dass so beide Messgrößen
durch Sinussignale am Oszilloskop dargestellt werden und sich die Phasenverschiebung als ∆t ablesen lässt, indem man die Abstände der Nulldurchgänge
der Graphen mit der Cursor“-Funktion bestimmt.
”
Die Phasenverschiebung in µs wurde dabei für folgende Frequenzen wie folgt
bestimmt:
Frequenz / kHz
1
5
10
20
30
40
50
100
Phasenverschiebung ∆t
500
40
15,2
7
3
1,6
1,12
0,23
Tabelle 5: Phassenverschiebung von Stromstärke und Spannung bei verschiedenen Frequenzen
Aus dieser zeitlichen Differenz kann nun nach folgender Formel der Phasenwinkel
θgemessen bestimmt werden:
θgemessen = 360◦ · ω · ∆t, ω = 2π · f
(14)
Laut Aufgabenstellung soll der gemessene Winkel mit dem aus der Frequenz
berechneten Winkel θberechnet verglichen werden. Dieser lässt sich durch die
Größen R, C und f wie folgt berechnen:
θberechnet =
1
ωRC
Mit R = 1000Ω und C = 10 · 10−9 F ergeben sich folgende Winkel:
10
(15)
Frequenz / kHz
1
5
10
20
30
40
50
100
Phasenverschiebung ∆t / µs
500
40
15,2
7
3
1,6
1,12
0,23
θgemessen /
180
72
54,72
50,4
32,4
23,04
20,16
8,28
◦
θberechnet /
86,2
72,6
57,9
38,5
27,9
21,7
17,7
9,0
◦
Tabelle 6: Phassenverschiebung von Stromstärke und Spannung bei verschiedenen Frequenzen
Im folgenden wurden die gemessenen Winkel über die Frequenz aufgetragen.
Als Vergleich wurden zusätzlich die errechneten Winkel eingezeichnet. Es ergibt
sich folgendes Bild:
Phasenwinkel gemessen in Grad°
Phasenwinkel errechnet in Grad°
200
180
160
Phasenwinkel / °
140
120
100
80
60
40
20
0
0
20000
40000
60000
80000
100000
Frequenz / Hz
Abbildung 8: Gemessene und errechnete Phasenwinkel wurden über der Frequenz aufgetragen.
Man erkennt eine deutliche Abweichung vom errechneten Winkel bei 1000Hz,
sodass davon ausgegangen werden kann, dass die Zeitdifferenz ∆t1000Hz = 500µs
fehlerhaft ist.
11
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