Sinus, Cosinus und Tangens

Sinus, Cosinus und Tangens
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1. In einem gleichschenkligen Dreieck ABCsind die Seiten c = 4 und a = b = 6
gegeben.
Berechne die Winkel im Dreieck ABC und den Flächeninhalt des Dreiecks
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. In einem Parallelogramm ABCD sind die Seiten a = c = 6
und b = d = 4 sowie der Flächeninhalt F = 20 bekannt.
Berechne die Innenwinkel im Parallelogramm.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. In einem gleichschenkligen Trapez sinddie Seiten a = 10,
c = 6 und b = d = 3 bekannt.
a) Berechne die Innenwinkel im Trapez.
b) Berechne den Flächeninhalt des Trapezes.
c) Berechne die Länge der Diagonalen im Trapez
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. In einem Parallelogramm ABCD sind die Seiten a = c = 6 und
b = d = 5 sowie der Flächeninhalt F = 18 bekannt.
Berechne die Länge der beidenDiagonalen und den Schnittwinkel zwischen ihnen.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Im Rechteck ABCD sind die Seiten a = 8 und b = 3 bekannt.
Berechne den Schnittwinkel der Diagonalen.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 und b = 5 sowie c = 4.
Die beiden eingezeichneten Raumdiagonalen schneiden sich unter
dem Winkel ϕ.
Berechne die Größe des Winkels ϕ.
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Lösungen:
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1.
cosα =
c
2
b
=
c
1
=
2d
3
⇒
1
α = cos−1  ≈ 70,53°
3
⇒
β ≈ 70,53°
γ = 180° − 2⋅α ≈ 38,94°
h
1
1
= sinα ⇒ h = b⋅sinα ⇒ F = c⋅h =
c⋅b⋅sinα ≈ 11,31
b
2
2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.
10
F
20
10
h =
=
=
a
6
3
h
h
5
sinα =
=
= 3 =
d
b
4
6
⇒
5
α = sin−1  ≈ 56,44°
6
⇒ γ ≈ 56,44° β = δ ≈ 123,56°
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.
cosα =
⇒
a−c
2
d
=
2
3
⇒
2
α = cos−1  ≈ 49,19°
3
⇒
β ≈ 49,19°
γ = δ ≈ 131,81°
h
= sinα ⇒
d
h = d⋅sinα ≈ 2,24
⇒ F =
a+c
⋅h ≈ 17,89##
2

2
a+c

h +
≈ 8,31
 2 


2
e =
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.
h =
F
18
=
= 3
a
6
sinα =
3
h
=
5
d
3
⇒ α = sin−1  ≈ 36,87°
5
⇒
β ≈ 143,13°
x
= cosα ⇒
d
β1 = kDBA
x = d⋅cosα = 5⋅
β2 = kCBD
tanβ1 =
h
3
=
y
2
tanα1 =
h
3
=
10
a+x
⇒
4
= 4
5
⇒
α1 = kBAC
y = a−x = 6−4 = 2
γ1 = kDCA
3
β1 = tan−1  ≈ 56,31°
2
⇒
⇒
γ2 = kACB
β2 = β − β1 ≈ 86,82°
 3 
α1 = tan−1  ≈ 16,70°
 10 
γ2 = γ − γ1 = α − α1 ≈ 20,17°
ϕ = 180° − β2 − γ2 ≈ 73°
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------5.
b
2
a
2
3
ϕ
= tan−1  ≈ 41,11° ⇒ ϕ ≈ 82,22°
2
8
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6.
ϕ
tan =
2
=
b
3
=
a
8
⇒
Länge einer Raumdiagonalen: d =
a2 + b2 + c2
d =
82 + 52 + 42 =
105


ϕ
−1 5 
⇒
= cos
≈ ⇒ ϕ ≈ 60,79°
 105 
2


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ϕ
cos =
2
b
2
d
2
b
=
d
ϕ
cos =
2
5
105
Prisma und Pyramide
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1. Berechne von den beiden abgebildeten geraden Prismen jeweils das Volumen und den
Oberflächeninhalt.
a) Die Grundfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der
Basis b = 4,0 cm und den Schenkeln von je 3,0 cm und
die Höhe beträgt 5,0 cm.
b) Die Grundfläche ist eine Raute mit den Diagonalen der Länge 4,0 cm und 5,0 cm und die
Höhe hat den Wert h = 6,0 cm.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Ein gerades Prisma mit dem Oberflächeninhalt von 682 cm2 hat das Volumen 1020 cm3.
Die Grundfläche ist eine Raute mit dem Flächeninhalt 120 cm2.
Berechne die Seitenlänge der Raute!
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Berechne von der abgebildeten geraden Pyramide das Volumen und den
Oberflächeninhalt.
Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge
a = 4,0 cm und die Höhe der Pyramide beträgt h = 5,0 cm.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Das Rechteck ABCD hat die Kantenlängen AB = 8,0 cm
und BC = 6,0 cm.
M ist der Mittelpunkt der Strecke [CD] und N ist der Mittelpunkt von [AD].
Berechne auf 0,1° genau unter welchem Winkel sich die folgenden Strecken schneiden:
a) die Diagonalen [AC] und [BD]
b) [AM] und [BD] c) [AM] und [BN].
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Zeichne die beiden Geraden g und h mit den Funktionsgleichungen y = 0,5x + 1 und
y = 1,5x − 1 in ein Koordinatensystem und berechne dann auf 0,°genau den Schnittwinkel
der beiden Geraden.
Hinweis: Ermittle zuerst den Schnittwinkel der beiden Geraden mit der x-Achse!
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Lösungen
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1. a) V = 22,36 cm3 und O = 58,94 cm2
b) V = 60 cm3 und O = 96,84 cm2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. a = 13 cm
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. V = 11,55 cm3 und O = 37,72 cm2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. a) ε ≈73,74°
b) ε ≈ 86,82°
c) ω ≈ 76,87°
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. ϕ ≈ 29,74°
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Wahrscheinlichkeit
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Aufgabe 1: Basketball
Beim Basketball trifft Peter mit einer W'keit von 40 %, Anne mit 70 %. Jeder wirft ein Mal.
a) Ist es wahrscheinlicher, dass sie zusammen 0 oder 2 Treffer erzielen ?
b) Wie groß ist die W'keit , dass beide zusammen einen Treffer erzielen?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 2: Rohe Eier
Tobias hat in einen Korb mit 6 gekochten Eiern 4 rohe dazugelegt. Seine Schwester nimmt für
das Frühstück 3 Eier heraus.
Wie groß ist die W'keit, dass mindestens ein rohes Ei dabei ist?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 3: Note würfeln
Stell dir vor, dein Lehrer wirft zwei Würfel und gibt dir als Note die kleinere der Augenzahlen. Wie groß ist die W'keit, dass du eine Eins bekommst ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 4: Fehler im Buch
Bevor ein Buch gedruckt wird, werden die probeweise gedruckten Seiten auf Fehler durchgesehen. Der erste Kontrolleur findet erfahrungsgemäß 70 % der Fehler und korrigiert sie. Bei
den nächsten beiden Kontrollen werden (von den übriggebliebenen Fehlern) 50 % bzw. 40 %
entdeckt.
a) Mit welcher W'keit ist ein Fehler, der ursprünglich in einem Drucktext vorhanden war,
auch nach diesen drei Kontrollen noch nicht entdeckt ?
b) Macht es Sinn, so lange zu kontrollieren, bis 99 % aller ursprünglichen Fehler entdeckt
worden sind ? Nimm dazuan, dass bei jeder weiteren Kontrolle 40 % der übriggebliebenen
Fehler entdeckt werden.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 5: 6 Richtige im Lotto
Berechne, die W'keit, für "Sechs Richtige" für das Zahlenlotto "6 aus 39".
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 6: Blutgruppe A
In Deutschland haben 40 % der Einwohner Blutgruppe A. 5 Personen kommen zur Blutspende. Wie groß ist die W'keit, dass genau zwei Personen Blutgruppe A haben ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 7: Vokabeltest
Frank hat nur 30 % der Vokabeln gelernt. Sein Lehrer fragt ihn 4 Vokabeln ab.
Wie groß ist die W'keit, dass er mehr als eine Vokabel kennt ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 8: Schokoladen-Feinschmecker
Herr K. behauptet, bei Schokolade blind erkennen zu können, um welche Marke und Sorte es
sich handle. In einem Test werden vier Schokoladenproben blind verkostet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Herr G. jedesmal die Marke und Sorte richtig er
kennt, wenn er jede Sorte mit einer W'keit von 80% erkennt?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 9: Multiple-Choice-Test
In einem Multiple-Choice-Test werden 5 Fragen gestellt. Bei jeder Frage werden 3 Antwortalternativen vorgegeben, und nur eine ist richtig.
a) Wie groß ist die W'keit, dass man durch bloßes Raten alle Fragen richtig beantwortet?
b) Wie groß ist die W'keit, drei Fragen richtig zu beantworten
c) Wie groß sind die entsprechenden W'keiten, wenn man eine Frage mehr stellt ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 10: Würfeln
Ein Würfel wird sechsmal nacheinander geworfen. Mit welcher W'keit erhält man
a) keine Sechs,
b) genau eine Sechs,
c) höchstens eine Sechs,
d) mindestens eine Sechs?
e) genau zwei Sechsen
f) nur beim ersten und letzten Wurf eine Sechs
g) lauter verschiedene Augenzahlen
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Lösungen
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1. a) P(T = 0) = 0,6⋅0,3 = 0,18 = 18% und P(T = 2) = 0,4⋅0,7 = 0,28 = 28%
Es ist wahrscheinlicher, dass beide zwei Treffer erzielen.
b) P(T = 1) = 0,4⋅0,3 + 0,6⋅0,7 = 0,54 = 54%
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6 5 4
5
2. P(R) = 1 − P(R) = 1 −
⋅ ⋅ =
≈ 83,3%
10 9 8
6
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 5 5 1 1 1
11
3. P(E) = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
≈ 30,6%
6 6 6 6 6 6
36
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. a) P(U) = 0,3⋅0,5⋅0,6 = 0,09 = 9%
b) P(U) = 0,09⋅0,6n < 0,01
n
1
2
3
4
5
P(U)
0,054
0,0324
0,01944
0,011664
0,006998
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6 5 4 3 2 1
1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
39 38 37 36 35 34
3262623
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. P(X = 2) = 10⋅0,42⋅0,62 = 34,56%
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------7. P(X > 1) = 1 − P(X≤1) = 1 − (0,74 + 4⋅0,3⋅0,73) = 34,83%
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. a) P(E) = 0,84 = 0,4096 = 40,96%
5. P(G) =
b) P(F) = 0,54 = 0,0625 = 6,25%
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 5
1
9. a) P(X = 5) =   =
≈ 0,41%
243
3
 1 3  2 2
40
b) P(X = 3) = 10⋅  ⋅  =
≈ 16,5%
3
3
243
   
 1 6
 1 3  2 3
1
160
c) P(X = 6) =   =
≈ 0,14% und P(X = 3) = 20⋅  ⋅  =
≈21,9%
729
729
3
3 3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 6
10. a) P(X6 = 0) =   ≈ 33,5%
6
5
1 5
b) P(X6 = 1) = 6⋅ ⋅  ≈ 40,2%
6 6
5
 5 6
1 5
c) P(X6 ≤ 1) =   + 6⋅ ⋅  ≈ 73,7%
6 6
6
 5 6
d) P(X6 ≥ 1) = 1 − P(X6 = 0) = 1 −   ≈ 66,5%
6
 1 2  5 4
e) P(X6 = 2) = 15⋅  ⋅  ≈ 20,1%
6 6
f) P(F) =
4
1 5 1
⋅  ⋅ ≈ 1,3%
6 6 6
6 5 4 3 2 1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 1,5%
6 6 6 6 6 6
___________________________________________________________________________
d) P(G) =