Komplexe Zahlen

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(derzeit lediglich Materialsammlung, noch nicht vollständig!) Empfehlung: Da dieser Abschnitt eingehende Kenntnisse trigonometrischer Funktionen voraussetzt, verweise ich für
Grundlagen auf die Seite Mathematik/Schule/trigonometrische Funktionen (Einheitskreis, Periodizität, Winkel, Verschiebung,
Frequenz usw. ) Ferner auf dieses ausführliche Skript von H. Schulze, Kapitel 2, Komplexe Zahlen, und Anhang zum Dreieck. Enthält auch
Aufgaben!
Einige Fakten zum Körper der komplexen Zahlen:
j
2
= −1
Multiplikation einer komplexen Zahl mit einem reellen Skalar t wie bei Vektoren: t(x + jy) = tx + jty .
Addition zweier komplexer Zahlen wie bei Vektoren: (x + jy) + (a + jb) = x + a + j(y + b) . Die komplexen
Zahlen bilden einen Vektorraum der Dimension 2.
Multiplikation zweier komplexer Zahlen nach dem Distributivgesetz mit Beachtung von j2
= −1
:
(x + jy)(a + jb) = xa − yb + j(xb + ya)
Der Betrag einer komplexen Zahl berechnet sich wie bei Vektoren nach dem Satz des Pythagoras (siehe Zahlenebene
unten).
−
−
−
−
−
−
2
|x + jy| = √x
. Zu einer komplexen Zahl z
= x + jy
z ⋅ z
∗
ist z ∗
2
= |z|
2
= x
= x − jy
+ y
2
+ y
2
die konjugiert komplexe Zahl. Es gilt:
∗
, 2Re(z) = z + z , 2Im(z) = z − z
∗
Division zweier komplexer Zahlen durch Erweiterung mit dem konjugiert Komplexen des Nenners. Falls a2
x + jy
2
≠ 0
(x + jy)(a − jb)
=
a + jb
+ b
2
a
+ b
2
Es gelten die von den reellen Zahlen bekannten Rechengesetze (Kommutativ­, Assoziativ­ und Distributivgesetz) auch
im Komplexen.
Komplexe Zahlenebene nach Gauß und daneben Einheitskreis /Polarkoordinaten im R2 Die Polardarstellung einer komplexen Zahl über Betrag und Argument(Winkel) Das Argument von z, geschrieben arg(z) bezeichnet den Winkel, den die komplexe Zahl z in der komplexen Zahlenebene
mit der positiven reellen Achse einschließt, gezählt gegen den Uhrzeigersinn, und bei uns von 0 bis 2π (im Bogenmaß) oder 0
bis 360° (im Gradmaß). Das sogenannte Hauptwertintervall. Es gibt auch andere Zählweisen, etwa [−π; π). Polar. und Exponentialdarstellung von z mit Zuordung zur Normaldarstellung.
z = |z| exp(j arg(z)) := |z|(cos(arg(z)) + j sin(arg(z))) = x + jy
z = |z| exp(j arg(z)) := |z|(cos(arg(z)) + j sin(arg(z))) = x + jy
x = Re(z) = |z|(cos(arg(z))
y = Im(z) = |z|(sin(arg(z))
Der Ausdruck exp(j arg(z)) hat nach dem Satz des Pythagoras den Betrag 1, und er gibt die Richtung der komplexen Zahl z
(auch:Zeiger) an. Da er jeder reellen Zahl t = arg(z) eine komplexe Zahl zuordnet, kann man ihn als Funktion R → C
auffassen. Manche Autoren bevorzugen auch die Exponentialschreibweise:
exp(jt) = e
jt
Beispiel:
z = 1 + j1,
π
–
∘
|z| = √2 , arg z = 45 =
,
4
–
–
z = √2 (cos(π/4) + j sin(π/4)) = √2 exp(jπ/4)
Man kann damit, wie schon L. Euler erkannte, rechnen wie mit einer reellen Exponentialfunktion, auch wenn exp(jt)
eigentlich nur eine Abkürzung für den Kosinus und Sinus ist, also beide Funktionen in einer zusammenfasst. Anmerkung Die
Funktion t → exp(jt) hat vom Verhalten her gesehen nichts mit der reellen Exponentialfunktion x → exp(x) zu tun. Man
kann beide aber zu einer komplexen Exponentialfunktion zusammenfassen. Siehe unten. Man zeigt für beliebige reelle Zahlen s, t, p mit Hilfe von Additionstheoremen die beiden folgenden Rechengesetze:
exp(jt) ⋅ exp(js) = exp(j(s + t)),
(exp(jt))
p
= exp(jtp)
Weil der Sinus und der Kosinus 2π­periodische Funktionen sind, gilt offenbar für jede ganze Zahl k:
exp(j(t + 2kπ)) = cos(t + 2kπ) + j sin(t + 2kπ) = cos(t) + j sin(t) = exp(jt)
Also ist auch diese spezielle Exponentialfunktion 2π­periodisch. Hat man die folgenden Rechengesetze einmal mit
Additionstheoremen bewiesen, so kann man umgekehrt auch wieder jedes Additionstheorem aus der Darstellung durch
einfache komplexe Multiplikation und Vergleich der Real und Imaginärteile ableiten.
cos(t + s) + j sin(t + s) = exp(j(s + t)) = exp(jt) ⋅ exp(js) = (cos(t) + j sin(t)) ⋅ (cos(s) + j sin(s))
= cos(t) cos(s) − sin(t) sin(s) + j(cos(t) sin(s) + cos(s) sin(t))
Durch Vergleich der Real­ und Imaginärteile links und rechts erhalten wir damit gleich zwei Additionstheoreme gleichzeitig.
cos(t + s) = cos(t) cos(s) − sin(t) sin(s)
sin(t + s) = cos(t) sin(s) + cos(s) sin(t)
Entsprechend geht das auch für die vielfachen Winkel:
(cos(t) + j sin(t))
n
= exp(jnt) = cos(nt) + j sin(nt), n = 1, 2, 3, . . .
die sogenannte Formel von Moivre. Multipliziert man die Potenz links für verschiedene n aus (Binomialkoeffizienten beachten)
sortiert wieder nach Real und Imaginärteil und vergleicht mit der rechten Seite, dann bekommt man Additionstheoreme für 2
sin(2t), sin(3t), cos(2t), cos(3t). . . und durch weitere Rechnung auch Darstellungen für die Potenzen (sin(t)) usw.
Einfache Zusammenhänge, die man anhand der Polar/Exponentialdarstellung sofort ablesen kann. Wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert, dann addieren sich die Argumente (Winkel) und es multiplizieren sich die
Beträge. Wenn man zwei komplexe Zahlen dividiert, dann subtrahieren sich die Argumente (Winkel) und es dividieren sich die Beträge. Wie berechnet man das Argument der konjugiert komplexen Zahl? t = arg(z). Zeichnung in der Ebene oder Rechnung.
Beachte dabei die Symmetrieeigenschaften der trig. Funktionen: cos(t) = cos(−t), − sin(t) = sin(−t) . Wir erhalten so
für
z = x + jy = |z|(cos(t) + j sin(t)),
z
∗
= |z|(cos(t) − j sin(t)) = |z|(cos(−t) + j sin(−t)) = |z|(cos(2π − t) + j sin(2π − t)) = |z| exp(j(2π − t))
also arg(z ∗ )
= 2π − arg(z)
Entspricht einer Spiegelung an der reellen Achse.
Praktische Berechnung des Arguments aus der
Normaldarstellung z = x + jy. Hier ergibt sich mit dem Taschenrechner das Problem, dass dieser
für arctan(y/x) nur Werte zwischen −π/2 und π/2 (bzw −90°
bis 90° ) liefert. Siehe die Diskussion und den Graphen auf der Seite
Schule/trig. Funktionen. Um zu korrekten Resultaten zu kommen,
muss man sich immer veranschaulichen, in welchem Quadranten die
Zahl im Einheitskreis liegt und ggf. passende Winkel addieren. Siehe
Bild oben. 1. Quadrant: x
≥ 0, y ≥ 0,
0 ≤ arg(z) ≤ π/2, \
arg(z) = arctan(y/x).
Beispiel: z = 1 + j, arg(z) = π/4 = arctan(1). 2. Quadrant: x ≤ 0, y ≥ 0, π/2 ≤ arg(z) ≤ π, arg(z) = π + arctan(y/x) = π − arctan(|y/x|).
Beispiel: z
= −1 + j,
arg(z) = π − π/4 = 3π/4 = π + arctan(−1) = π − arctan(1).
Da der Taschenrechner arctan(−1)
π + arctan(y/x) das Argument. 3. Quadrant:
= −π/4
liefert, ist x ≤ 0, y ≤ 0, π ≤ arg(z) ≤ 3π/2, y/x ≥ 0, arg(z) = π + arctan(y/x).
Beispiel: z =
4. Quadrant:
−1 − j, arg(z) = π + arctan(−1/ − 1) = 5π/4
x ≥ 0, y ≤ 0, 3π/2 ≤ arg(z) ≤ 2π, arg(z) = 2π + arctan(y/x).
Beispiel: z
= 1 − j, arg(z) = 2π + arctan(1/ − 1) = 7π/4
Potenzen und Wurzeln berechnen mit der Polarform
–
Kein vernünftiger Mensch wird Spaß daran finden, zum Beispiel (2 − j√3)20 per Hand algebraisch auszuwerten. Mit der
Polarform oder Exponentiaform geht das hingegen sehr schnell. Man kann eine Lösung in trigonometrischer Form angeben
und dann mit dem Taschenrechner zumindest näherungsweise auch als Zahl (Normaldarstellung) berechnen. Ebenso kann
man mit der Polarform schnell alle Wurzeln einer komplexen Zahl darstellen und berechnen. n
sei im folgenden eine natürliche und k eine ganze Zahl, wenn nicht anders angegeben. –
Es soll (1 + j√3)20 berechnet werden. Wir stellen die Basis in Polarform dar:
–
∘
arg(1 + j√3 ) = 60 = π/3,
–
|(1 + j√3 )| = 2,
–
(1 + j√3 ) = 2 exp(jπ/3) = 2(cos(π/3) + j sin(π/3))
Potenzieren mit Beachtung der Exponentialregeln:
– 20
– 20
–
20
20
(1 + j√3 )
= |1 + j√3 |
exp(j20 arg(1 + √3 )) = 2
(cos(20 ⋅ π/3) + j sin(20 ⋅ π/3)) = 2
(−
–
√3
1
+ j
2
)
2
–
denn arg(1 + j√3) = 60∘ = π/3. Wir müssen, um den Kosinus und Sinus von 20 ⋅ π/3) auszuwerten, dabei lediglich den zu 20 ⋅ π/3 passenden Winkel im
Hauptwertintervall [0; 2π] finden, der dieselben Sinus­ und Kosinuswerte besitzt, weil diese Funktionen bekanntlich 2π­
periodisch sind. (sin(t) = sin(t + 2kπ) usw., man muss also Vielfache von 2kπ vom Winkel abziehen, bis man im
Hauptwertintervall landet. 20/3π = 6π + 2π/3 , also
–
√3
1
cos(20 ⋅ π/3) = cos(2π/3)) = − cos(π/3)) = −
,
2
sin(20 ⋅ π/3) = sin(2π/3)) = sin(π/3) =
2
Lösungen von Gleichungen berechnen über Polardarstellung
Beispiel vierte Wurzeln Gesucht sind alle vierten Wurzeln einer Zahl also
alle 4 Lösungen w1 , w2 , w3 , w4 der Gleichung
w
4
Allgemeines Vorgehen Gesucht sind alle n­ten Wurzeln w1 , . . . wn einer komplexen
Zahl z , also w1,...,n = z 1/n Das Hauptwertintervall sei [0; 2π) Zunächst ermittelt man die Polardarstellung von z
–
= (1 + j√3 )
z = |z| exp(j arg(z))
Polardarstellung:
–
–
∘
arg(1 + j√3 ) = 60 = π/3, |1 + j√3 | = 2
Dann sind die n­ten Wurzeln von z gegeben durch
–
1 + j√3 = 2 exp(jπ/3),
w k+1 = 2
= 2
1/4
1/4
1/n
w k+1 = |z|
arg(z) + k ⋅ 2π
exp(
π/3 + k ⋅ 2π
exp(j
), k = 0, 1, 2, 3
Die n Wurzeln bilden in der komplexen Zahlenebene die
Eckpunkte eines regelmäßigen n­Ecks. Der Umkreisradius
4
π/3 + k ⋅ 2π
(cos(j
π/3 + k ⋅ 2π
) + j sin(j
1/n
beträgt |z|
) ), 4
), k = 0, . . . . , n − 1
n
.
4
k = 0, 1, 2, 3
Die Argumente der vier Wurzeln sind k=0: t1 = π/12, k=1: t2 = π/12 + π/2, k=2: t3 = π/12 + π, k=3: t4 = π/12 + 3π/2 Alle liegen im Intervall [0; 2π). Jede der vier Zahlen w1 , . . . w4 erfüllt die
Gleichung
w
4
–
= 1 + j√3
Trägt man diese vier Zahlen in der komplexen
Zahlenebene ein, so erhält man gerade die
Eckpunkte eines Quadrates. Kartesische Darstellung (Normaldarstellung) der Quadratwurzel einer komplexen Zahl
−−−−−−
−−−−−−
|z|+Re(z)
|z|−Re(z)
⎧
⎪√
+ j√
√z = ⎨
⎩
⎪
2
−−−−−−
√
|z|+Re(z)
2
2
fallsIm(z) ≥ 0,
−−−−−−
− j√
|z|−Re(z)
2
falls Im(z) < 0,
Die darin rechts auftretende Wurzel ist nur noch die reelle Quadratwurzel. Durch Quadrieren sieht man, dass diese
Darstellung stimmt. Beispiel siehe unten. Durch rekursive Anwendung kann man daraus auch die 4. , 8. Wurzel usw
berechnen.
Quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten, Nullstellen
Die Lösung kann analog zum reellen Fall mit einem kleinen algebraischen Algorithmus bewerkstelligt werden, den man
quadratische Ergänzung nennt. Er beruht lediglich auf einer binomischen Formel, die im Komplexen wie im Rellen gilt. Führt
man die quadratische Ergänzung mit komplexen Koeffizienten a, b, c durch, so muss man neben den komplexen
Rechenoperationen lediglich bei der Wurzel aus der Diskriminante am Schluss beachten, dass diese aus einer komplexen
Zahl zu ziehen ist. Entweder durch Rückgriff auf die Polardarstellung oder über die kartesische Darstellung
(Normaldarstellung) der komplexen Quadratwurzel. Diese wird unten angegeben. Quadratische Ergänzung mit
Nullstellenberechnung am Beispiel:
( ) = 2
2
+ 8
+ 6
= 2(
2
+ 4 ) + 6
Quadratische Ergänzung allgemein: Zunächst Ausklammern von a, dann Erzeugung eines
f(z) = 2z
2
+ 8z + 6j = 2(z
= 2(z
= 2(z
2
2
binomischen Terms durch quadratische Ergänzung.
+ 4z) + 6j
+ 4z + 4 − 4) + 6j
f(z) = az
2
+ bz + c = a(z
b
+
z) + c
a
2
+ 4z + 4) − 8 + 6j = 2(z + 2)
= 2(z + 2)
2
2(z + 2)
(z + 2)
= a (z
− 8 + 6j
2
b
+
2
b
z + (
a
)
= a (z
= 8 − 6j
2
b
+
2
z + (
) ) − a ⋅ (
)
+ c
2a
2
= a (z +
)
b
2
+ c −
2a
Offenbar ist Im(4 − 3j) = −3 < 0 , also
müssen wir die untere Zeile der Normaldarstellung
der Quadratwurzel nehmen. Beachte ferner |4 − 3j| = 5, Re(4 − 3j) = 4
also
2
b
2a
= 4 − 3j
−
−
−
−
−
= −2 ± √4 − 3j
) ) + c
2a
b
a
2
b
− (
2a
− 8 + 6j = 0
2
2
2
b
z1,2
2
4a
Nullstellenberechnung: Um die Nullstellen zu berechnen lösen wir auf:
b
0 = f(z) = a (z +
2
)
b
2
+ c −
2a
4a
−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
2
b
|4 − 3j| + Re(4 − 3j)
|4 − 3j| − Re(4 − 3j)
−
−
−
−
−
2
2
⇒ 4a (z +
) = b − 4ac = D
− j√
√4 − 3j = √
2a
2
2
−
−
−
−
−
5 + 4
= √
−
−
−
−
−
5 − 4
− j√
2
2
Bei der komplexen Wurzel (wir kennzeichnen diese nicht extra)
müssen wir uns nicht um eine Fallunterscheidung kümmern.
1
=
–
√2
(3 − 1j)
−
−
−
−
−
−
−
2
−b ± √b − 4ac
Somit sind die Lösungen der quadratischen
Gleichung
1
z1,2 = −2 ±
–
√2
z1,2 =
1
(3 − 1j) = −2 +
–
√2
Für D = 0 gibt es eine doppelte Nullstelle, z1 = z2 . Um die
komplexe Wurzel zu berechnen, kann man entweder die
Polardarstellung von D und daraus die Wurzel aus berechnen,
oder folgende kartesische Darstellung einer komplexen
Quadratwurzel nutzen:
1
3 − j
2a
–
√2
Natürlich muss man nicht jedesmal diese
quadratische Ergänzung durchrechnen, wenn
man die nebenstehende Lösungsformel kennt. Bis
auf die hier komplexe Wurzel und ggf. komplexe
Rechnungen ist alles wie im rellen Fall.
−−−−−−
−−−−−−
|z|+Re(z)
|z|−Re(z)
⎧
⎪√
+ j√
√z = ⎨
⎩
⎪
2
2
−−−−−−
−−−−−−
√
|z|+Re(z)
2
− j√
|z|−Re(z)
2
fallsIm(z) ≥ 0,
falls Im(z) < 0,
Die darin auftretende Wurzel ist nur noch die reelle
Quadratwurzel. Durch Quadrieren sieht man, dass diese
Darstellung stimmt. Beispiel nebenstehend. Auch komplexe biquadratische Gleichungen der Form
az
4
+ bz
2
+ c = 0
kann man nun wie im reellen mit dem üblichen Substitutionstrick u
= z
2
auf eine quadratische zurückführen und lösen.
Fundamentalsatz der Algebra
Man kann zwar nur bis zum Grad 4 Lösungsformeln für Nullstellen von ganzrationalen Funktionen angeben. Für die generelle
Lösbarkeit von ganzrationalen Gleichungen/Nullstellenproblemen gilt jedoch im Komplexen ein universaler Satz.
Fundamentalsatz der Algebra Die Gleichung
f(z) = an z
n
+ an−1 z
n−1
+. . . . . a1 z + a0 = 0
mit a0 , . . . . , an ∈ C hat genau n Lösungen z1 , . . . . zn in C , die aber nicht unbedingt verschieden sein müssen. Damit kann man f vollständig faktorisieren:
f(z) = (z − z1 ) ⋅ (z − z2 )⋅. . . . . . (z − zn )
Wenn die Koeffzienten a0 , . . . . , an zusätzlich alle reell sind, dann ist zu jeder komplexen, nichtreellen Nullstelle z auch die
konjugiert komplexe Zahl eine Nullstelle.
Komplexe Exponentialfunktion, Logarithmus.
Die reelle Exponentialfunktion ist bekanntlich streng monoton wachsend, die Umkehrfunktion, der Logarithmus, existiert also
auf der Bildmenge R+ . Dies ist im komplexen etwas diffiziler. Zunächst definiert man die komplexe Exponentialfunktion auf
natürliche Weise, indem man die reelle mit der speziellen von oben (exp(jt) einfach kombiniert. So erhält man eine Funktion,
die einer komplexen Zahl wieder eine komplexe Zahl zuordnet. Wir verwenden dasselbe Symbol exp() bzw e... .
exp() : C → C,
z = x + jy → exp(z) = exp(x) ⋅ exp(jy) = exp(x)( cos(y) + j sin(y) ),
Rechts treten in der definition nur noch reelle Funktionen auf! In der anderen Schreibweise
e
z
= e
x
⋅ e
jy
x
= e ( cos(y) + j sin(y) )
Der Betrag des Bildes exp(z) ist also exp(x) = |exp(z)| , die Richtung des Bildes ist exp(jy), sein Argument y. Aufgrund
der Periodizität der trigonometrischen Funktionen entsteht damit aber keine umkehrbare Funktion denn
exp(x) ⋅ exp(jy) = exp(x) ⋅ exp(j(y + k2π))
er werden also alle z = x + j(y + k2π) demselben Wert zugeordnet. Zum Beispiel ist das Bild aller Punkte z = x + iy auf der imaginären Achse (also x
Einheitskreis. (Skizze). = 0
) mit 0
≤ y < 2π
gerade der
Für 2π ≤ y < 4π wird dieser wieder durchlaufen usw. Dies kann natürlich keine umkehrbare Funktion sein, zu jedem Bild
gehören abzählbar viele Urbilder. Deswegen definiert man eine mengenwertige Umkehrung als Logarithmus als formale
Umkehrung.
u = exp(x + j(y + k2π)),
Das sind für jedes u
∈ C
ln(u) = ln(|u|) + j(arg(u) + 2kπ) = x + j(y + 2kπ), k ∈ Z
abzählbar viele Punkte. Stets erhält man aber wie vom reellen gewohnt die Umkehrung
u = exp(ln(u)) = e
egal welche ganze Zahl k man wählt. Den Wert für k
= 0
ln u
, also
ln(u) = ln(|u|) + j(arg(u)),
0 ≤ arg(u) < 2π
nennt man den Hauptwert des komplexen Logarithmus, die anderen Werte Nebenwerte. Beispiele:
π
π
u = 2j, |u| = 2, arg(u) =
ln(u) = ln(2) + j(
+ 2kπ), k ∈ Z.
2
2
π
–
u = 1 + j|u| = √2 , arg(u) =
4
1
π
ln(2) + j(
+ 2kπ), k ∈ Z.
2
4
Hauptwerte jeweils für k=0.
Komplexe Exponentenrechnung definiert man über den Hauptwert des komplexen ln!
z, w
seien komplexe Zahlen. Die komplexe Potenz z w definiert man so:
z
w
= exp(w ln(z))
wobei hier unbedingt der Hauptwert des Logarithmus von z zu nehmen und die Exponentenrechnung genau wie
definiert auszuführen ist. Sonst ergeben sich Widersprüche! Wir illustrieren das an einem kleinen Beispiel. z = exp(1 + j2π),
w = 1 + j2π
Eine "naive" Exponentenrechnung wie im Reellen ohne Berücksichtigung des Hauptwerts würde folgendes ergeben:
z
w
= (e
1+j2π
)
(1+j2π)
= e
(1+j2π)(1+j2π)
= e
1−4π
2
+j4π
= e
1−4π
2
Mit der korrekten Rechnung über den Hauptwert sieht das anders aus. Ser Hauptwert des ln von z ist nämlich wegen
z = exp(1 + j2π) = exp(1 + j ⋅ 0) = exp(1)
genau
ln(z) = 1 + j ⋅ 0, arg(z) = 0,
und damit ergibt sich dann
z
w
= e
1⋅w
= e
w
= e
1+j2π
= e
1
Dieses Ergebnis unterscheidet sich von der "naiven" Rechnung und ist vom Ergebnis her auch das Vernünftige. Weiteres Beispiel:
1 − j
,
7
arg(z) =
z =
–
√2
, w = 1 + j,
z
w
7
–
π, |z| = √1 = 1,
ln(z) = ln(1) + j
4
z
w
= (1 − j)
1+j
=?
π
Hauptwert! 4
7
= exp(ln(z) ⋅ w) = exp((ln(1) + j
7
π)(1 + j)) = exp(−
4
7
= exp(−
exp(−
1 − j
π)
4
=
–
√2
–
√2
7
π) ⋅ exp(j
4
7
4
π)
(1 − j)
Komplexes Wurzelziehen kann man auf komplexe Exponentenrechung zurückführen
Indem man wie gewohnt den Nenner konjugiert komplex erweitert.
z
1/w
∗
= z
∗
w /(w w)
,
∗
(w w) ist reell Beispiel:
(1 − j)
1/1+j
= (1 − j)
1/2−j/2
π)
4
und weiter wie beim komplexen Exponententenrechnen zuvor.
Komplexe trigonometrische Funktionen definiert als Überlagerung der komplexen
Exponentialfunktion
Der Grund für diese Definitionen wird einsichtig, wenn man die Reihenentwicklungen anschaut. Diese gelten im Komplexen
wie im Reellen gleichermaßen.
1
sin(z) =
2j
Text 1 1
(exp(jz) − exp(−jz)),
cos(z) =
sin(z)
(exp(jz) + exp(−jz)),
2j
Text 2 tan(z) =
cos(z)