Petri-Netz

Petri-Netz-Synthese
Synthese von Petri-Netz-Modellen
(Regionentheorie 1)
Rico Bergmann
03.12.2007
03.12.2007
Rico Bergmann
1
Einführung
Interface-Synthese für embedded
systems, z.B. in
Fahrzeugtechnik
Haushaltselektronik
Unterhaltungselektronik
03.12.2007
Rico Bergmann
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Einführung
Modellierung
In einer „einfachen Sprache“ modellieren
Eigenschaften prüfen
Bei PNen: kleinere Netze finden
Algorithmen
Sind Deadlocks vorhanden?
...
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Das Problem (informell)
Finde zu einem gegebenem System (in
Form eines Transitionssystems) ein
Petri-Netz mit demselben Verhalten.
03.12.2007
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Begriffe
Sei P = (S, T, F, M0) ein Petri-Netz
Wir betrachten nur elementare
beschriftete System-Netze
Schleifenfrei: ∀t ∈ T : •t ∩ t • = ∅
(• x = • y ∧ x• = y•) ⇒ x = y
Einfach:
Ohne isolierte Transitionen
M0 ⊆ S
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Begriffe
Elementare Transitionssysteme (eTS)
T = ( K , L, G, k0 ), G ⊆ ( K × L × K ), k0 ∈ K
Endlicher gerichteter Graph
Kanten-beschriftet (L)
Initialisiert (k0)
Zusätzlich: nur erreichbare Knoten
Keine „Self-Loops“
Keine Mehrfachkanten
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Begriffe
Zur Erinnerung:
Finde zu einem gegebenem System (in Form eines Transitionssystems)
ein Petri-Netz mit demselben Verhalten.
Graphisomorphismus
T und T‘ seien eTS
Bijektive Abb. f:KK‘ heißt Isomorphismus
f (k0 ) = k0
′
( h, l , k ) ∈ G ⇔ ( f (h), l , f (k )) ∈ G′
Notation: T ≅ T‘
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Abstecher: Graphisomorphie
Liegt das Graphismorphie-Problem in P
oder NP?
Vermutlich ist es nur schwer lösbar
Aber: wir haben es einfach
Spezialfall: wir suchen einen speziellen
Isomorphismus
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Das Problem (formal)
Sei T=(K, L, G, k0) ein eTS
Dann ist ein ePN P=(S, T, F, M0) gesucht
Mit ER(P) ≅ T
ER(P) ... Erreichbarkeitsgraph von P
Das synthetisierte PN soll klein sein
Falls es P gibt, bez. wir T als abstrakten
Zustandsgraphen
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Regionen
Sei T eTS
R, Teilmenge der Knoten von T, heißt Region
gdw.
Für Kanten (h,l,k), (h‘,l,k‘) mit gleichem Label l gilt:
h∈R und k∉R, dann h‘∈R und k‘∉R (exiting event)
h∉R und k∈R, dann h‘∉R und k‘∈R (entering event)
∅ und K heißen triviale Regionen
Reg(T) .. Menge aller Regionen von T
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Regionen Beispiel
a
1
2
d
c
b
3
4
b
d
c
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5
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Petri-Netz-Synthese
Idee: Regionen Plätze
Ein m-generiertes ePN ist
sy(T,m):= (m,L,F,c0), m.. Menge von Regionen
Wobei für R∈m, l∈L gilt
(R,l)∈F gdw. R∈°l
(l,R)∈F gdw. R∈l°
R∈c0 gdw. k0∈R
°l ..Menge der Regionen mit l als exiting event (l° analog)
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PN-Synthese Beispiel
D={3,5}
d
C={1,4}
B
C ...
a
D
c
I
H
G
F
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b
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A
J
E
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PN-Synthese Isomorphismus
Falls T abstrakter Zustandsgraph, dann
Existiert genau ein Isomorphismus f
Von T nach ER[sy(T, reg(T))]
Mit f(k)={R∈reg(T) | k∈R}
Beweisidee:
Zeige für jeden bel. Isomorphismus g gilt: g=f
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Initialzustände per Definition
Induktiv über erreichbare Zustände:
(h,l,k)∈G, f(h)=g(h) ⇒ f(k) = g(k)
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PN-Synthese Beispiel T4
1a 2 b 3 c
4
d
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Reduced Petri Nets
Problem:
ePN können sehr groß werden (exponentiell)
Lösung:
Verkleinerte ePN:
Jedes Event tritt auf
p1, p2 Plätze des ePN es existiert eine
Markierung M mit p1∈M, p2∉M oder p1∉M, p2∈M
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Reduced Petri Nets
Idee zur Verkleinerung:
Weglassen überflüssiger Plätze
m⊆reg(T) ist zulässig, gdw. sy(T, reg(T)) und
sy(T, m) „isomorph“
R∈reg(T) ist redundant, falls m\{R} zulässig
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Redundante Regionen
Charakterisierung redundanter Regionen:
R sei Region, dann bezeichne R‘ := K \ R
R und R‘ sind Regionen
R ist redundant
R, Ri Regionen, R = R1 ∩ R2, R‘ = R3 ∩ R4
R ist redundant
R, Ri Regionen, R = R1 ∪ R2, R‘ = R3 ∪ R4
R ist redundant
R, Ri Regionen, R = R1 ∩ R2,für alle (h,l,k)∈R×L×R‘
gilt k∉R1 und k∉R2
R ist redundant
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Zusammenfassung
PN-Synthese
Geg. eTS T
Konstruiere ein ePN P zu T
Isomorphismus zwischen P und T
Entferne redundante Regionen
Ausgabe: „kleines“ ePN
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Ausblick
PN-Synthese
Geg. eTS T
Konstruiere ein ePN P zu T
Isomorphismus zwischen P und T
Entferne redundante Regionen
Ausgabe: „kleines“ ePN
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