Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Diskrete Variablen und deren Verteilungen
Stetige Variablen und deren Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Jost Reinecke
Universität Bielefeld
3. Mai 2005
Jost Reinecke
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
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Diskrete Variablen und deren Verteilungen
Stetige Variablen und deren Verteilungen
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Diskrete Variablen und deren Verteilungen
Stetige Variablen und deren Verteilungen
Jost Reinecke
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Stetige Variablen und deren Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsrechnung
I
Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines
Zufallsexperimentes.
I
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet
Zufallsexperimente und die daraus resultierenden Ereignisse.
Wie wahrscheinlich ist es, daß bestimmte Ereignisse A eintreten (z.
B. Würfeln einer bestimmten Augenzahl)?
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses p(A) läßt sich über die
relative Häufigkeit H(A) schätzen:
H(A) = p(A) =
nA
n
nA = Anzahl der günstigen Ereignisse A
n = Anzahl der möglichen Ereignisse
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(1)
Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Stetige Variablen und deren Verteilungen
Bernoulli-Theorem: Die Wahrscheinlichkeit π(A) für ein Ereignis
A wird durch die relative Häufigkeit p(A) = na /n geschätzt. Die
Schätzung fällt umso genauer aus, je größer n ist.
¯
³¯ n
´
¯ A
¯
p ¯
− π(A)¯ ≥ e → 0
n
(2)
Gleichung 2 gilt für n → ∞. Wenn ein Ereignis mit der
Wahrscheinlichkeit π(A) auftritt und n voneinander unabhängige,
gleichartige Zufallsexperimente durchgeführt werden, dann geht die
Wahrscheinlichkeit für eine Differenz e zwischen relativer
Häufigkeit nnA und Wahrscheinlichkeit π(A) gegen Null.
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Augenzahl zu
würfeln, beträgt 0.16̄.
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Simulation des Werfens eines Würfels
Anzahl der Würfe
A
π(A)
10
50
100
1000
10000
100000
1000000
1
0.16̄
0.2000
0.1400
0.1800
0.1780
0.1674
0.1668
0.1666
2
0.16̄
0.2000
0.1600
0.1500
0.1670
0.1676
0.1651
0.1666
3
0.16̄
0.2000
0.2200
0.1900
0.1530
0.1637
0.1673
0.1660
4
0.16̄
0.0000
0.1800
0.1600
0.1590
0.1680
0.1672
0.1669
5
0.16̄
0.1000
0.1000
0.1300
0.1540
0.1656
0.1683
0.1673
6
0.16̄
0.3000
0.2000
0.1900
0.1890
0.1677
0.1652
0.1666
I
I
Anzahl der Würfe ≡ Größe einer Stichprobe
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ≡ Anteilswert in der
Grundgesamtheit
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Diskrete Variablen und deren Verteilungen
Stetige Variablen und deren Verteilungen
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
relative Häufigkeit
relative Häufigkeit
Simulation des Werfens eines Würfels
10 Würfe
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
100Würfe
1
2
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
4
5
6
5
6
Augenzahl
1000 Würfe
5
6
relative Häufigkeit
relative Häufigkeit
Augenzahl
3
Augenzahl
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1000000 Würfe
1
2
3
4
Augenzahl
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Anteilswerte der Zahl 6 bei 100 Würfen und 10 Wiederholungen
Versuch Nr.
Anteil in %
1
20
2
19
3
20
4
20
5
20
6
15
7
17
8
13
9
13
10
18
Bernoulli-Experiment:
I
Wahrscheinlichkeit für das Werfen der Zahl 6: 0.16̄
I
Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer anderen Zahl: 0.83̄
I
Nur der Anteil in Versuch Nr. 7 kommt dem Erwartungswert
von 0.16̄ nahe.
I
Alle anderen Werte weichen mehr oder weniger von dem
erwarteten Anteilswert ab.
Die Abweichung zwischen empirischen und erwarteten Anteilswert
läßt sich über eine Wahrscheinlichkeitsfuktion genau angeben.
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Diskrete Variablen und deren Verteilungen
I
Die Versuchsreihe wird von auf 10 auf 1000 erweitert: Es wird
wiederum die Häufigkeit notiert, mit der bei jeweils 100
Würfen die Zahl 6 fällt.
I
Theoretisch kann die Zahl 6 bei jedem dieser 1000
Experimente zwischen 0 und 100mal fallen.
I
Das Experiment entspricht dem Ziehen von 1000 Stichproben
des Umfangs 100.
I
Anteilswerte, die weit vom Erwartungswert (0.16̄) liegen,
kommen selten oder gar nicht vor.
I
Anteilswerte, die nah am Erwartungswert (0.16̄) liegen,
kommen häufig vor.
I
51% der Anteilswerte liegen unter der Häufigkeit von 17%,
49% der Anteilswerte liegen über der Häufigkeit von 17%.
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Anteilswerte der Zahl 6 bei 100 Würfen und 1.000 Wiederholungen
Anteil
6%
7%
8%
9%
10%
11%
12%
13%
14%
15%
16%
17%
18%
19%
20%
21%
22%
23%
24%
25%
26%
27%
29%
Häufigkeit
absolut
in %
4
0.4
4
0.4
2
0.2
18
1.8
24
2.4
33
3.3
67
6.7
72
7.2
98
9.8
90
9.0
98
9.8
106
10.6
99
9.9
74
7.4
72
7.2
45
4.5
43
4.3
19
1.9
14
1.4
12
1.2
4
0.4
1
0.1
1
0.1
kum. Häufigkeit
absolut
in %
4
0.4
8
0.8
10
1.0
28
2.8
52
5.2
85
8.5
152
15.2
224
22.4
322
32.2
412
41.2
510
51.0
616
61.6
715
71.5
789
78.9
861
86.1
906
90.6
949
94.9
968
96.8
982
98.2
994
99.4
998
99.8
999
99.9
1000
100.0
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Stetige Variablen und deren Verteilungen
Anteilswerte der Zahl 6 bei 100 Würfen und 1.000 Wiederholungen
12
11
10
Häufigkeit in %
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Anteilswert in %
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Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:
µ ¶
n
fB (x|n; p) =
· p x · (1 − p)n−x ,
x
für
x = 0, 1, 2, . . . , n. (3)
I
n ist die Anzahl der Wiederholungen in einem Experiment.
I
p ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Experiment auftritt.
I
x ist die Ausprägung der Zufallsvariablen.
I
fB (x|n; p) ist die Wahrscheinlichkeit x unter der Bedingung,
daß n und p zutrifft.
I
p ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Experiment auftritt.
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Exkurs: Anzahl der Kombinationen, die für x Objekte aus
insgesamt n Objekten möglich sind:
µ ¶
n
n!
=
x
x! · (n − x)!
Die Anzahl der Möglichkeiten 6 Zahlen aus insgesamt 49 Zahlen zu
ziehen, beträgt:
µ ¶
49
49!
=
= 13983816
6
6! · (49 − 6)!
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Beispiel: Wie wahrscheinlich ist es, daß bei einer Durchführung des
Experiments (100mal würfeln) die 6 mit einem Anteil von 20%
(x = 20) auftritt:
µ ¶
100
fB (20|100; 0,16̄) =
· 0.16̄20 · (1 − 0.16̄)100−20
20
=
100!
· 2.735 · 10−16 · 4.629 · 10−7
20! · (100 − 20)!
= 5.359833704038 · 1020 · 1.266 · 10−22
= 0.0679
I
Der theoretisch zu erwartende Wert beträgt demnach 6.79%.
I
Bei 1000 Experimenten trat die Augenzahl 6 mit einer
Wahrscheinlichkeit von 7.2% 20mal auf.
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Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen lassen sich
durch Parameter beschreiben:
1. Erwartungswert: Der Erwartungswert einer diskreten
Variablen X ist der Wert, der bei unendlich vielen
Wiederholungen des Experiments zu erwarten ist. Bei einer
Binomialverteilung lautet dieser:
E (X ) = n · p
(4)
2. Varianz: Die Varianz einer diskreten Variablen X informiert
darüber, wie stark die einzelnen Werte um den
Erwartungswert. Bei einer Binomialverteilung lautet diese:
Var (X ) = n · p · q;
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q =1−p
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(5)
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Beispiel: Wie hoch ist der Erwartungswert und die Varianz, bei 100
Würfen eine Augenzahl von 6 zu erhalten?
E (X ) = n · p
= 100 · 0.16̄
= 16.6̄
Var (X ) = n · p · q
= 100 · 0.16̄ · 0.83̄
= 13.8̄
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Stetige Variablen und deren Verteilungen
I
I
I
I
Von einer stetigen Variablen wird dann gesprochen, wenn die
Werte einer Variablen sich nicht nur nach diskreten
Merkmalen unterscheiden (beim Würfel sind dies Werte von 1
bis 6), sondern auch Werte dazwischen erreichen können.
Eine stetige Variable hat einen kontinuierlichen
Merkmalsraum.
Für eine stetige Variable gilt die
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Normalverteilung.
Beispiel für eine stetige Variable ist das in einer Stichprobe
erhobene Alter.
Bei dem folgenden Beispiel werden 1000 Stichprobe mit einer
Größe von N=1000 Personen gezogen. Der Altersmittelwert der
Grundgesamtheit beträgt 37,268 Jahre. In der folgenden Abbildung
ist die Verteilung der Stichprobenmittelwerte (Altersdurchschnitte)
dargestellt.
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Altersdurchschnitte bei 1.000 Stichproben der Größe 1.000
8
7
Häufigkeit in %
6
5
4
3
2
1
0
34.5
35
35.5
36
36.5
37
37.5
38
38.5
39
39.5
Stichprobenmittelwert
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40
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Die Formel der Normalverteilungsfunktion lautet:
fN (x|x̄; s 2 ) =
s·
1
√
1 x−x̄ 2
)
s
2π
e− 2 (
Zwei Parameter kennzeichnen die Funktion:
1. Das arithmetische Mittel der Verteilung: x̄
2. Die Varianz der Verteilung: s 2
Eigenschaften der Normalverteilung:
I
Symmetrische Verteilung mit einem Gipfel: 50% der Fläche
liegen jeweils links und rechts von x̄.
I
Sie nähert sich asymptotisch der x-Achse und dem
Funktionswert 0 wenn x gegen +∞ oder −∞ strebt.
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(6)
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Normalverteilungen mit verschiedenen Parametern x̄ und s 2
0.8
0.7
−x=0; s²=0,25
ƒ(x)
0.6
0.5
0.4
0.3
−x=0; s²=1
−x=2; s²=1
0.2
−x=0; s²=4
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
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5
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I
Die Fläche unterhalb der Normalverteilung gibt an, wie viele
x-Werte sich in einem bestimmten Bereich der Verteilung
befinden.
I
Um von der Basis einer Stichprobe Aussagen über die
Grundgesamtheit treffen zu können, müssen Flächen unterhalb
der Normalverteilung berechnet werden können.
I
Die Flächenbestimmung kann über die
Standardnormalverteilung vorgenommen werden:
x2
1
f (x) = √ e − 2
2π
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(7)
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Stetige Variablen und deren Verteilungen
I
Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung, deren
Mittelwert Null (x = 0) und deren Varianz Eins (s 2 = 1) ist.
I
Die Werte der Standardnormalverteilung werden als z-Werte
bezeichnet.
I
Die Flächen der Standardnormalverteilung werden in den
meisten Lehrbüchern der Statistik in Tabellenform abgedruckt
(z. B. im Lehrbuch von Gehring/Weins als z-Verteilung im
Anhang A).
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Flächen unter der Standardormalverteilung
a) z = 2,5; Φ(z) = 0,9938
b) z = -0,95; Φ(z) = 0,1711
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
c) z = 1,49; Φ(z) = 0,0681
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
d) z(a)=-1,03; z(b)=2; Φ(∆z)=0,8257
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Jost Reinecke
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
4
Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Stetige Variablen und deren Verteilungen
Flächenberechnung:
I
Fläche links vom z-Wert: Bei z = 2.5 ergibt sich eine Fläche
Φ(z) = 0.9938
I
Fläche rechts vom z-Wert: Bei z = 1.49 ergibt sich eine
Fläche 1 − Φ(z) = 0.0681
I
Flächenberechnung zwischen zwei Werten za und zb : Bei
za = −1.03 und zb =2.0 ergibt sich eine Fläche von:
Φzb − Φza = 0.9772 − 0.1515 = 0.8257
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Stetige Variablen und deren Verteilungen
Für die Intervalle um den Mittelwert (-1;1), (-2;2) und (-3;3)
ergeben sich folgende Flächen:
1. Zwischen −1 und +1 liegen 68,27% der Fläche bzw. der
z-Werte.
2. Zwischen −2 und +2 liegen 95,45% der Fläche bzw. der
z-Werte.
3. Zwischen −3 und +3 liegen 99,73% der Fläche bzw. der
z-Werte.
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Normalverteilung → Standardnormalverteilung:
Jede beliebige Normalverteilung kann durch eine z-Transformation
in eine Standardnormalverteilung überführt werden:
xi − x̄
(8)
s
Aus der Standardnormalverteilung läßt sich auch umgekehrt jede
beliebige Verteilung mit dem Mittelwert x̄ und der
Standardabweichung s konstruieren:
z=
xi = x̄ + z · s
(9)
Um festzustellen, wieviel Prozent der Fläche zwischen zwei
x-Werten liegt, standardisiert man die beiden x-Werte, um die
Flächen aus der Tabelle abzulesen:
Φ(∆x) = Φxb − Φxa
= Φx2 −x̄ /s − Φx1 −x̄ /s
= Φ zb − Φ za
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(10)
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Stetige Variablen und deren Verteilungen
Beispiel:
Gegeben ist eine Normalverteilung mit folgenden Parametern:
1. x̄ = 3
2. s = 4
Berechnet werden soll die Fläche zwischen den Werten x1 = 2 und
x2 = 5:
Φ(∆x) =
=
=
=
=
Φ 5 − Φ2
Φ5−3 /4 − Φ2−3 /4
Φ0.5 − Φ0.25
0.6915 − 0.4013
0.2902
29.02% der Werte liegen zwischen den beiden Werten x1 = 2 und
x2 = 5.
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Stetige Variablen und deren Verteilungen
Verteilung der Stichprobenmittelwerte:
I
I
I
I
Die Verteilung der Stichprobenmittelwerte läßt sich auch
durch ihren Mittelwert und ihre Varianz beschreiben (→
siehe Abbildung Altersdurchschnitte bei 1.000 Stichproben der
Größe 1.000)
Der Mittelwert der Stichprobenmittelwerte entspricht dem
wahren Mittelwert der in der Grundgesamtheit. Der wahre
Mittelwert wird mit dem griechischen Buchstaben µ
bezeichnet.
Die Varianz der Stichprobenmittelwerte ist von der Streuung
des Merkmals in der Grundgesamtheit abhängig. Diese
Streuung wird mit σ 2 bezeichnet.
Die Varianz der Stichprobenmittelwerte ist auch von der
Stichprobengröße abhängig: Je größer der Umfang der
gezogenen Stichproben, desto kleiner ist die Abweichung von
wahren Mittelwert der Grundgesamtheit.
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Die Varianz der Stichprobenmittelwerte entspricht dem Verhältnis
zwischen Streuung des Merkmals und Umfang der Stichprobe:
σx̄2 =
σ2
n
(11)
Die Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte wird auch
als Standardfehler des Mittelwerts bezeichnet:
r
q
σ2
σ
2
=√
σx̄ = σx̄ =
(12)
n
n
Werden die Parameter µ und σx̄ in die allgemeine Formel der
Normalverteilungsfunktion eingesetzt, dann erhält man die
Gleichung der Stichprobenmittelwerteverteilung:
fN (x̄|µ; σx̄2 ) =
1
− 1 ( x̄−µ )2
√ e 2 σx̄
σx̄ · 2π
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(13)
Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Beispiel:
Gegeben ist die Altersverteilung in der Grundgesamtheit mit
folgenden Parametern:
1. µ = 37.268
2. σ 2 = 504.4516
3. σx̄ =
504.4516
1000
= 0.71025
Werden die Parameter in die Gleichung der
Stichprobenmittelwerteverteilung eingetragen, dann erhält man
die Wahrscheinlichkeitsdichte:
fN (37,2|37.268; 0.710252 ) =
1 37.2−37.268 2
1
√ e − 2 ( 0.71025 )
0.71025 · 2π
= 0.5617 · e −0.00458
= 0.5591
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Der Wert der Wahrscheinlichkeitsdichte wird mit der gewählten
Intervallbreite von 0.1 multipliziert:
0.5591 · 0.1 = 0.05591 ≈ 6%
Etwa 6% der 1000 simulierten Stichproben haben einen
Altersdurchschnitt von 37.2 Jahren.
Bernoulli-Theorem: Mit zunehmender Zahl an Stichproben wird
sich der empirische Wert dem theoretischen Wert annähern. Die
empirische Verteilung nähert sich damit immer mehr der
Normalverteilung.
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Die Flächenberechnung der Stichprobenmittelwerteverteilung
erfolgt über die Tabelle der z-Verteilung. Die x̄-Werte werden in
z-Werte transformiert:
z=
x̄ − µ
σx̄
(14)
Die Umkehrung der Gleichung lautet:
x̄ = µ + z · σx̄
(15)
x̄ ist bei einer Stichprobenmittelwerteverteilung ein beliebiger Wert
der Verteilung und nicht wie bei der Normalverteilung das
arithmetische Mittel.
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Für die Flächenberechnung der Stichprobenmittelwerte gilt:
1. Zwischen µ − 1 · σx̄ und µ + 1 · σx̄ liegen 68,27% der
Stichprobenmittelwerte.
2. Zwischen µ − 2 · σx̄ und µ + 2 · σx̄ liegen 95,45% der
Stichprobenmittelwerte.
3. Zwischen µ − 3 · σx̄ und µ + 3 · σx̄ liegen 99,73% der
Stichprobenmittelwerte.
Zentraler Grenzwertsatz: Mittelwerte aus beliebigen Verteilungen
folgen mit zunehmendem Stichprobenumfang einer
Normalverteilung.
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