Mathematik für Biologen - Heinrich-Heine

Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Mathematik für Biologen
Prof. Dr. Rüdiger W. Braun
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
19. Dezember 2012
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
1
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Grundprinzipien
Binomialverteilung
Geometrische Verteilung
Poissonverteilung
2
Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert
Erwartungswert und Varianz
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Zufallsvariable
Zufallsexperiment wird durchgeführt, dessen Ergebnis ein
Wert ist
Das ist der Wert der Zufallsvariablen
Zufallsvariablen heißen meist X , Y
Mathematisch ausgedrückt: Eine Zufallsvariable ordnet jedem
Elementarereignis ω eine Zahl X (ω) zu
Beispiel 10-facher Wurf eines fairen Würfels: Die Anzahl der
Sechsen definiert eine Zufallsvariable X
Zufallsvariable lenken den Blick auf die interessanten Daten,
indem sie die Elementarereignisse ausblenden
Eine Zufallsvariable heißt diskret, wenn alle ihre Werte ganze
Zahlen sind
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Interpretation
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariable X
Ereignisraum Ω
Elementarereignis ω
Wert X (ω)
Experiment
Messvorrichtung
Menge aller möglichen Versuchsabläufe
beobachteter Versuchsablauf
beobachteter Messwert
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Schreibweisen
X eine Zufallsvariable auf Ω. Wir schreiben zur Abkürzung (hierbei
sind a und b irgendwelche Zahlen):
{X = a} = {alle Elementarereignisse ω, für die X (ω) = a}
{X ≤ a} = {alle Elementarereignisse ω, für die X (ω) ≤ a}
{a < X ≤ b} = {alle Elementarereignisse ω, für die a < X (ω) ≤ b}
usw.
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Beispiel zur Schreibweise
Dreifacher Wurf einer fairen Münze, also Ω = {A, Z }3
X bezeichne die Anzahl der Würfe mit “Adler”. Dann kann X
die Zahlen 0,1,2 und 3 annehmen
{X = 2} = {(A, A, Z ), (A, Z , A), (Z , A, A)}
3
P(X = 2) = = 0.375
8
Statt P(X = 2) schreibt man auch PX (2)
Dann ist PX eine Verteilung auf den ganzen Zahlen
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Binomialverteilung als PX
Beispiel Ω = “Serien von n ja/nein-Experimenten”
Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall sei p
X zählt die Zahl der Erfolge
P(X = k) = PX (k) = Bn,p (k)
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Geometrische Verteilung
Die geometrische Verteilung modelliert Wartezeiten in getakteten
Modellen
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Geometrische Verteilung, Beispiel
Wurf eines fairen Würfels:
Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall p =
1
6
Die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Wurf eine Sechs fällt,
ist
1
= 0.1667
6
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Sechs im zweiten Wurf
fällt, ist
5 1
· = 0.1389
6 6
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Beispiel, Fortsetzung
Wurf eines fairen Würfels:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Sechs im dritten Wurf
fällt, ist
2
1
5
· = 0.1157
6
6
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Sechs im k-ten Wurf
fällt, ist
k−1
5
1
·
6
6
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Geometrische Verteilung: Definition
Die geometrische Verteilung zum Parameter p wird gegeben durch
Gp (k) = (1 − p)k−1 · p
In einem ja/nein-Experiments, bei dem die
Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall gleich p ist, gebe die
Zufallsvariable X die Nummer des Zugs mit dem ersten Erfolg an.
Dann ist X verteilt gemäß Gp .
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
G1/6(k)
Stabdiagramm von G1/6
0.18 W'keit für erste 6 im k-ten Wurf
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.000 2 4 6 8 10 12 14
k
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Geometrische Verteilung: Beispiel
In einer bestimmten Bucht beträgt im Juli die Wahrscheinlichkeit
einer Walbeobachtung an einem zufällig ausgewählte Tag 15%
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sieht man 7 Tage lang keinen
einzigen Wal?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man seinen ersten
Wal am siebten Tag sieht?
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Walbeobachtung, Fortsetzung
Erste Frage:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sieht man 7 Tage lang
keinen einzigen Wal?
7 unabhängige ja/nein-Experimente: Binomialverteilung
Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall p = 0.15
gesucht: Wahrscheinlichkeit von 0 Erfolgen
7 0
B7 0.15 (0) =
p (1 − p)7 = 0.857 = 0.3206
0
Die Wahrscheinlichkeit, dass 7 Tage lang kein einziger Wal
beobachtet wird, beträgt 32%
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Walbeobachtung, Fortsetzung
Zweite Frage
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man seinen
ersten Wal am siebten Tag sieht?
Wartezeit in getaktetem Modell: Geometrische Verteilung
gesucht: Wahscheinlichkeit, dass erster Erfolgt im siebten
Versuch eintritt, wenn Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall
p = 0.15
G0.15 (7) = 0.856 · 0.15 = 0.0566
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Walbeobachtung am
siebten Tag statt findet, beträgt 5.7%
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Poissonverteilung
Die Poissonverteilung modelliert seltene Ereignisse
Selten bedeutet, dass sich die Einzelereignisse nicht beeinflussen
Es sei λ > 0. Die Poissonverteilung zum Parameter λ ist definiert
durch
λk −λ
·e
Pλ (k) =
k!
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Poissonverteilung, Bedeutung
Unter den folgenden Voraussetzungen ist eine Zufallsvariable X
poissonverteilt zum Parameter λ:
X zählt das Auftreten eines Ereignisses pro Zähleinheit
Im Mittel treten λ Ereignisse pro Zähleinheit auf
Die Ereignisse beeinflussen sich nicht gegenseitig
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Beispiel: α-Strahlung
Versuchsaufbau:
Wir beobachten die Einschläge von α-Teilchen in eine Zelle
Im Mittel gebe es einen Einschlag alle 10 Minuten, also
6 Einschläge pro Stunde.
Welcher Prozentsatz der Zellen übersteht eine Stunde ohne
Einschlag?
Es ist λ = 6, und wir suchen den Wert von Pλ für k = 0
Pλ (0) =
λ0 −λ
e = e −6 = 0.002479
0!
Nur ungefähr jede 400-te Zelle bleibt unbeschädigt
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
P 6 ( k)
Stabdiagramm von P6
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00 0
2
4
6
k
8 10 12 14
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert und Varianz
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert
Der Erwartungswert ist derjenige Wert, den man im Mittel
beobachten würde, wenn man das Experiment sehr oft wiederholt.
Bei einer Lotterie ist der Erwartungswert der Betrag, bei dem die
Lotterie fair wäre, bei dem also weder der Spieler noch der
Betreiber langfristig Geld verdienen würde.
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Spiel 77
Klasse
I
II
III
IV
V
VI
VII
Ziffern
7
6
5
4
3
2
1
Gewinn
177 777.00e
77 777.00e
7 777.00e
777.00e
77.00e
17.00e
5.00e
P(X = k)
0.000 000 1
0.000 001 0
0.000 010 0
0.000 100 0
0.001 000 0
0.010 000 0
0.100 000 0
E (X ) = 0.998e
k · P(X = k)
0.018e
0.078e
0.078e
0.078e
0.077e
0.170e
0.500e
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Variante des Spiels 77
Der Einsatz beträgt 2.50e. Bei welchem Hauptgewinn wäre
das Spiel fair?
Hauptgewinn sei J. Dann
E (X ) = 0.000 000 1 · J + 0.000 001 · 77 7777
+ 0.000 01 · 7 777 + 0.000 1 · 777
+ 0.001 · 77 + 0.01 · 17 + 0.1 · 5
= 0.000 000 1 · J + 0.980
Das soll gleich 2.50 sein. Also 0.000 000 1 · J = 1.52
J=
1.52
= 15 200 000
0.000 000 1
Spiel 77 ist fair bei einem Hauptgewinn von 15.2 Millionen e