Probeklausur SFT (Dauer: 2 h) „Statistik“ 2 JWS SS 03

Klausur „Statistik“ SFT
SS 03
Prof.Dr.B.Grabowski
Probeklausur SFT (Dauer: 2 h) „Statistik“
2 JWS SS 03
Prof.Dr.B.Grabowski
1. Es ist zu untersuchen, ob die Zugfestigkeit(kg/mm2) von Stahlblechen einer bestimmten Stahlsorte
vom Kohlenstoffgehalt dieser Stahlsorte abhängt. Dazu wurden 30 Bleche hinsichtlich ihrer
Zugfestigkeit und ihres Kohlenstoffgehaltes untersucht. Um die Analyse zu vereinfachen, wurde der
Kohlenstoffgehalt X in 3 Gruppen : 1 - hoch; 2- mittel, 3 – gering und die Zugfestigkeit Y in 3
Gruppen eingeteilt:
1: ≤ 30 , 2: >30 und ≤ 52 , 3: > 52
Blech
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
1
2
2
3
1
3
2
1
3
1
Y
1
1
3
2
2
3
2
2
3
2
Blech
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
X
2
1
1
1
3
2
1
3
3
1
Y
3
2
1
1
2
1
1
2
3
2
Blech
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
X
2
3
2
2
1
2
2
3
1
1
Y
1
1
2
2
1
1
1
3
2
2
a) Geben Sie an:
- Die relative Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße X!
- Die relative Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße Y!
- Die bedingte relative Häufigkeitsverteilung von X unter der Bedingung: die Zugfestigkeit
liegt in Gruppe 1!
b) Prüfen Sie mit einer geeigneten Methode der deskriptiven Statistik, ob Zugfestigkeit und
Kohlenstoffgehalt voneinander unabhängig sind, oder nicht.
2. 10 Personen wurden nach Ihrem Alter (Jahre) und der Bedeutung, die für sie ein Produkt hat,
befragt (1 geringe Bedeutung, ...., 5 hohe Bedeutung)
Person 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Bedeut. 1
2
3
2
3
5
1
2
5
4
Alter
22
30
25
32
22
40
19
30
55
45
Untersuchen Sie mit einem geeigneten Maß, wie Alter und Bedeutung voneinander abhängen!
Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse!
3. In einer Stanzerei wird eine bestimmte Art von Stanzteilen auf drei Maschinen hergestellt.
Die Maschine 1 produziert 20% der Gesamtproduktion, die Maschine 2 produziert 50%
und die Maschine 3 demzufolge 30% der Gesamtproduktion. Es ist bekannt, dass die
Maschine 1 1% Ausschuss, die Maschine 2 4% Ausschuss und die Maschine 3 5%
Ausschuss produziert. Die insgesamt produzierten Teile werden in einem Lager gesammelt
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) ein im Lager zufällig ausgewähltes Teil ein Ausschussteil ist.
b) ein im Lager zufällig ausgewähltes Ausschussteil nicht von der Maschine 1 produziert
wurde.
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4. Eine Schaltung besteht in der in der Skizze dargestellten Weise aus 3 Bauelementen.
Das Gerät fällt aus, wenn beide Reihen ausfallen. Eine Reihe fällt aus, wenn mindestens eines der
in Reihe geschalteten Elemente ausfällt.
Die zufällige Zeit Ti bis zum Ausfall eines Bauelements Bi ist wie folgt gegeben (alle Angaben in
Stunden):
Bauelement B1 : T1∼ N(100, 4), Bauelement B2 : T2∼ E(0,01)
Bauelement B3 : T3 besitzt folgende Dichtefunktion
99 ≤ x ≤ 100
0,5 für
0,3 für 100 < x ≤ 101

f ( x) = 
0,2 für 101 < x ≤ 102
 0 sonst
Die Elemente B1, B2, B3 fallen unabhängig voneinander aus, d.h., T1, T2, T3 sind stochastisch
unabhängig. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Lebensdauer des Gerätes 100 Stunden nicht
überschreitet !
5. Bei der Produktion von Widerständen schwankt der Normwert X wie folgt normalverteilt um 100
Ω: X ~ N(100, (0,1)2). Alle Widerstände deren Normwert nicht im Intervall [99,85; 100,15] Ω liegt,
gelten als Ausschuß!
a) Berechnen Sie die Ausschußrate der Produktion!
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich in einer Menge von 10 Widerständen
mehr als zwei Ausschußwiderstände befinden?
c) Wie viele Ausschusswiderstände muss man in einer Serie von 100000 Stück erwarten?
d) Berechnen Sie den Toleranzbereich um 100Ω herum, d.h. das ε ,so daß genau 1% aller
Widerstände außerhalb des Toleranzbereiches [100 - ε,100 + ε] liegen!
e) Angenommen man wählt 2 Widerstände zufällig aus, und schaltet sie in Reihe. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit überschreitet der Gesamtwiderstand der Reihe dann 200,15 Ω?
6. Ein Messgerät misst eine bestimmte physikalische Größe L nur mit einem zufälligen Meßfehler
e ~ N(0; (1,2)2) behaftet. Es sei bekannt, daß der Meßfehler die Größe L additiv überlagert, d.h. statt L
wird Y = L + e gemessen. Um L möglichst genau zu ermitteln, werden n Messungen y1,...,yn
1 n
∑ yi dieser Messungen geschätzt.
n i =1
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei n=30 Messungen y von der
durchgeführt und L durch das arithmetische Mittel y =
a)
b)
unbekannten Größe L um nicht mehr als 0,4 Maßeinheiten abweicht!
Wie viele Messungen muss man mindestens durchführen (d.h., wie groß muss n mindestens
sein), um L durch y mit mindestens 99 % iger Sicherheit mit einer Abweichung von
höchstens ± 0,2 genau zu schätzen ?
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Hinweis: Beachten Sie obigen Reproduktionssatz für Normalverteilungen und überlegen Sie sich unter
Benutzung dieses Satzes zunächst, wie das arithmetische Mittel y verteilt ist!
Tauschaufgaben:
Für die Aufgabe 1, 2 oder 3 kann Aufgabe 7 getauscht werden:
7. In einer statistischen Untersuchung soll festgestellt werden, ob neu entwickelte Batterien eine
größere Lebensdauer haben als die alte Sorte. Folgende Tabelle zeigt die Lebensdauer der neuen und
alten Batterien in Monaten:
Parzelle 1
14
Neue
Batterien
10
Alte
Batterien
2
16
3
57
4
15
5
19
6
38
7
43
8
29
9
16
10
17
11
20
10
15
30
32
30
16
17
Untersuchen Sie mit einer geeigneten Methode der deskriptiven Statistik, ob die neuen Batterien eine
bessere Lebensdauer besitzen.
Fertigen Sie gegebenenfalls Zeichnungen an und begründen Sie Ihre Aussagen!
Für die Aufgabe 4, 5 oder 6 kann die Aufgabe 8 getauscht werden:
8. Die Dichtefunktion f(x) der zufälligen Lebensdauer X (in h) eines Bauelements hat folgende
Gestalt:
Berechnen Sie A und geben Sie f(x) als Funktionsgleichung an!
a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X !
b) Berechnen Sie die erwartete (mittlere) Lebensdauer!
c) Berechnen Sie die Lebensdauer, die die Hälfte der Bauelemente über- und die andere Hälfte
unterschreitet!
d) Berechnen Sie unter allen Bauelementen, die die Lebensdauer von 105 h überschritten haben,
den Anteil, der 110 h nicht mehr überschreitet!
Punkteverteilung:
Aufgabe 1
Punkte 3
2
3
3
3
4
4
5
4
3
6
4
7
3
8
4