Natürliche Zahlen
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Mathematik-Kompendium Klasse 5 - 6 Inhaltsverzeichnis Natürliche Zahlen 3 Der Zahlenstrahl Das Dezimalsystem Römische Zahlzeichen Dualzahlen Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen 3 4 5 6 7 Rechenvorteile beim Addieren Runden von Zahlen Grundrechenarten ganzer Zahlen 8 9 10 negative Zahlen Addition und Subtraktion ganzer Zahlen Geometrische Grundbegriffe 10 10 11 Geraden Lagebeziehungen von Geraden Das Koordinatensystem Winkel Winkelarten Symmetrie Spiegelung und das Koordinatensystem Schrägbilder und Netze Multiplikation und Division natürlicher Zahlen 11 11 12 15 16 17 18 19 21 Multiplizieren Dividieren Quadrieren Potenzieren Faktorisieren Multiplikation und Division ganzer Zahlen Größen und ihre Einheiten (Geometrische Umrechnungen) 21 23 24 25 25 27 28 Längen Figuren Einfache ebene Figuren Umfang und Flächeninhalt (Formeln) Flächeninhalt (Erläuterung) Flächeninhalte besonderer ebener Figuren Netz und Oberflächeninhaltes eines Quaders Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn 28 29 29 29 30 32 33 Seite 1/33 Kompendium zur Mathematik Klasse 5+6 Auf den nachfolgenden Seiten werden wichtige Themen der Schulmathematik für die Klassen 5 und 6 vorgestellt und beschrieben. Am Umfang der einzelnen Texte läßt sich bisweilen auch die Komplexität der dahinterstehenden mathematischen Prozesse und Handlungsanweisungen ablesen. Aus diesem Grund wurden geeignete Computerexperimente konzipiert, die es erlauben, mathematische Zusammenhänge auf der Handlungsebene experimentell und visuell zu erforschen. Die Experimente sind als Lernpakete mit dem Titel „Lernen Experimental Mathematik“ auf unserer Internetseite www.tafelbilder.de und im Fachhandel erhältlich. Freilich weisen auch diese Computerexperimente einen gewissen Grad an Abstraktion und Komplexität auf, so dass wirkliches Verstehen immer auch ein hohes Maß an Aufmerksamkeit seitens des Lernenden und einen vielseitigen Wechsel der Perspektiven erfordert. Lernen setzt sich aus vielen einzelnen Anischten auf das zu erkundende Thema zusammen: Bilder, Texte und Experimente. Nachfolgend erfährt der Lernende insbesondere die theoretische, textmäßig beschreibende Ansicht auf die mathematischen Grundlagen der Algebra und Geometrie. Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 2/33 Natürliche Zahlen Der Zahlenstrahl Mit dem Zahlenstrahl kann die Lage und Anordnung von Zahlen sichtbar gemacht werden. Ein Pfeil, mit einer Pfeilspitze zur rechten Seite hin, ist in gleichmäßige Teile unterteilt. Soll der Zahlenstrahl zum Beispiel die natürlichen Zahlen veranschaulichen, so steht am ersten Skalierungsstrich die Zahl 1; ein Skalierungsstrich weiter rechts steht der Nachfolger von 1, nämlich 2, usw., Der Zahlenstrahl kann aber auch erst bei 100 beginnen: dann lauten die Zahlen an den Markierungsstrichen 100,101,102,103 ... Manchmal ist der Zahlenstrahl noch feiner unterteilt. Zum Beispiel kann ein Teilstrich der Längeneinheit eins in zwei gleich große Teile zerlegt sein. Dann würden zusätzliche einige Brüche mitangezeigt und dadurch ablesbar werden: 1; 1,5; 2 : 2,5, ... Beispiele Zahlenstrahl mit Pfeil nach rechts. Alle zwei Kästchen wird ein Skalenstrich gesetzt. 2 Kästchen entsprechen 1 LE Der Zahlenstrahl wird gestaucht: auf gleicher Länge haben nun mehr natürliche 1 Kästchen entspricht 1 LE Zahlen Platz. Hier beginnt der Zahlenstrahl bei 20 1 Kästchen entsprechen 10 LE Hier beginnt der Zahlenstrahl bei 20: 3 Kästchen bilden den Abstand 15 Längeneinheiten 1 Kästchen entspricht 5 LE Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î 5. Klasse Î Addition und Subtraktion Î Der Zahlenstrahl Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 3/33 Das Dezimalsystem Die „Erfindung“ des Dezimalsystems kann gar nicht hoch genug bewertet werden, kommt es doch mit wenigen Ziffern aus, die verschieden nebeneinander geschrieben, immer wieder anderes bedeuten können: der Wert einer solchen Zahl hängt also von den Stellen der einzelnen Ziffern ab, weshalb das Dezimalsystem zu den Stellenwertsystemen gerechnet wird. Frühere Zahlensysteme hatten eine unübersichtlichere Darstellung von Symbolen zur Verfügung, wie zum Beispiel die Römer mit ihren römischen Zahlzeichen, die sich nur umständlich und mit komplizierten Schemata miteinander verrechnen lassen. Das Dezimalsystem kennt die Ziffern 0 bis 9, Mit zwei Ziffern lassen sich die Zahlen 10 bis 99 und mit drei Ziffern von 100 bis 999 darstellen. Die zwei Dezimalzahlen 123 und 321 besitzen zwar dieselben Ziffern, diese aber verschiedene Stellen innerhalb der Zahl. Daran ist abzulesen, dass das Dezimalzahlsystem ein Stellenwertsystem ist, in dem die Ziffer 1 an der ersten Stelle für die Einer, an der zweiten Stelle die Hunderter und an der dritten Stelle die Tausender angibt. Die Römischen Zahlen sind kein Stellenwertsystem sondern ein Additionssystem, weil es im Prinzip egal ist, wo die einzelnen Zahlzeichen innerhalb einer Zahl stehen (siehe Abschnitt „römische Zahlzeichen“). Beim Dezimalsystem muß aber der Wert der Ziffer einer Stelle erst mit seiner Stufenzahl multipliziert werden. Beispiel: Bei der Ziffernfolge 234 ist die Ziffer 2 mit der Stufenzahl 100 zu multiplizieren, und das Ergebnis 200 zu 30 und 4 dazuzuaddieren. Solche Ziffernfolgen im Dezimalsystem können auch tabellarisch dargestellt werden, um die Bedeutung der Ziffern und ihrer Position innerhalb der Zahl besser zu verstehen: Ziffernfolge der Dezimalzahl Stufenzahlen Multiplikationen Zwischenergebnisse 2 3 4 100 2*100 200 10 3*10 30 1 4*1 4 Oder kurz: 2 200 3 30 Daraus setzt sich die Dezimalzahl zusammen : 200 4 4 + 30 + 4 = 234 Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Die natürlichen Zahlen Î Römische Zahlzeichen I Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Die natürlichen Zahlen Î Das Zehnersystem Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 4/33 Römische Zahlzeichen Die Römer verwendeten folgende Zahlzeichen: I für 1, V für 5, X für 10, L für 50, C für 100, D für 500, M für 1000. Die kleinsten Werte stehen ganz rechts in der römischen Zahl. Gleiche Symbole werden addiert II = 2;XX = = 20; CC = 200; Anstatt VV schreibt man kurz X (=10), ebenso statt DD kurz M. höchstens drei gleiche Zeichen sollen hintereinander stehen. Besonderheit: IX = 10-1 = 9 aber XI = 10 + 1 = 11. Steht also das Symbol mit dem kleineren Wert vor dem Symbol mit einem größeren Wert, wird die kleinere von der größeren Zahl subtrahiert. Allerdings gibt es die Schreibweise VX = 5 nicht. Normalerweise geht man folgendermaßen vor: Man fügt einfach die Zahlzeichen ihrem Wert entsprechend so zusammen, daß ihre Summe die gesuchte Zahl ergibt, stets beginnend mit dem Zeichen mit dem höchsten Wert, z.B. hat LXVIII den Wert 50+10+5+1+1+1=68. Ausnahme: Hier wird subtrahiert! IV = 5-1=4 IX = 10-1=9 CD=50-10=40 CM=1000-100=900 XL=50-10=40 XC=100-10=90 Umrechnungsschema Römische Zahlzeichen MMM MM M CM DCCC DCC DC D CD CCC CC C XC LXXX LXX LX L XL XXX XX X IX VIII VII VI V IV III II I Dezimalzahlen 3000 2000 1000 0 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Um eine römische Zahl zusammenzustellen, wird in jeder Spalte höchstens ein Element ausgewählt. Beispiel: die fettmarkierten Zeichen links ergeben die römische Zahl MCCXXXIV. In der rechten Tabelle werden dieselben Elemente hervorgehoben und die einzelnen Dezimalzahlen addiert 1000+200+30+4 = 1234. Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Die natürlichen Zahlen Î Römische Zahlenzeichen I Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Die natürlichen Zahlen Î Römische Zahlenzeichen II Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 5/33 Dualzahlen So wie das Dezimalsystem über die Zahlen 1,10,100,1000 –also aus Vielfachen zur Stufenzahl 10- aufgebaut ist, so besteht das Dualzahlsystem aus den Zahlen 1,2,4,8,16,32 –also aus Vielfachen von 2- Interessant dabei ist, dass sich nun jede Dezimalzahl durch geschicktes Addieren dieser Zahl erzeugen läßt. Beispiel: Rechne die Dezimalzahl 1234 in das Dualzahlsystem um. Lösungsverfahren: I. Man notiert sich in einer einer kleinen Tabelle alle Vielfachen von 2: 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 2048 (=2*1024) kann man in diesem Beispiel weglassen, weil die umzurechnende Dezimalzahl 1234 kleiner als 2048 ist. II. Nun ergänzt man die Tabelle mit einfachen Subtraktionen. Zwischenergebnisse werden aber nur mit solchen Tabellenwerten verrechnet, die positive Ergebnisse liefern. Deshalb wird beispielsweise „512“ und „256“ ausgelassen. 1024 512 12341024= 210 256 128 210128= 82 64 82 64= 18 32 16 1816= 2 8 4 2 22= 0 1 III. Die Dualzahl kann nun einfach aus dieser Tabelle abgelesen werden, indem man eine dritte Zeile anhängt, und mit „1“ ausfüllt, dort wo Subtraktionen durchgeführt worden sind. Alle anderen Tabellenwerte erhalten den Eintrag „0“ 1024 512 12341024= 210 1 0 256 0 128 210128= 82 1 64 82 64= 18 1 32 0 16 1816= 2 1 8 4 0 0 2 22= 0 1 1 0 Die Dezimalzahl 1234 heißt also im Dualzahlsystem 10011010010. Zur Probe kann nun die Tabelle vereinfacht werden. Alle Vielfachen von 2 mit den Einträgen „1“ werden addiert: 1024+128+64+16+4+2 = 1234 1024 1 0 0 128 1 64 1 0 16 1 0 4 0 2 1 0 Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Die natürlichen Zahlen Î Die Dualzahlen Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 6/33 Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen Die Addition zweier natürlicher Zahlen liefert immer eine natürliche Zahl. Bei der Subtraktion muß das nicht so sein: 5-3=2 aber 3-5= -2, wobei –2 nicht mehr in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten ist. Negative Zahlen sind keine natürlichen Zahlen, sondern gehören zur Menge der ganzen Zahlen (siehe Abschnit „ganze Zahlen“). Kommutativgesetz der Addition Bei der Addition können beide Summanden vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert: 2+3 =5 und 3+2=5. Dies wird als Kommutativgesetz der Addition bezeichnet (aus dem Lateinischen: commutare = vertauschen) Wie zu erkennen ist, bleibt die Gesamtlänge der Summe aus rotem und grünen Teilstück gleich. Assoziativgesetz der Addition 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (1+2) + (3+4) = 3 + 7 = 10 (1+2+3) + 4 = 6 + 4 = 10 (1+4) + (2+3) = 5 + 5 = 10 Werden mehrere Summanden addiert, können beliebig Zwischenergebnisse erzeugt werden, um sie mit den anderen Summanden zu verrechnen. Das Gesamtergebnis bleibt unverändert. Dies wird als Assoziativgesetz der Addition bezeichnet. (aus dem Lateinischen: as-soziatum=das Verknüpfte) Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Addition und Subtraktion Î Additionsspiel Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Addition und Subtraktion Î Summenspiel Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Addition und Subtraktion Î Größter gemeinsamer Teiler Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 7/33 Rechenvorteile beim Addieren Die Summe 1+2+3+4+5+6+7+8+9 kann rasch addiert werden, wenn paarweise gleiche Summen gebildet werden, die dann zusammengezählt werden. Es wird dabei zuerst auf das Kommutativgesetz zurückgegriffen und dann auf das Assoziativgesetz der Addition: Summe Kommutativgestz Assoziativgesetz Ergebnis 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 1+10+2+9+3+8+4+7+5+6 (1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50 Grafisch: Anstatt der Reihe nach 1+2+3+ ... +8+9+10 zu berechnen, bildet man fünf 10er-Grüppchen. Dann braucht nur 5*11 =55 berechnet zu werden. Wird in diesem Fall die Addition von 10 Zahlen geschickt umgeformt in eine Multiplikation ergibt sich ein Rechenvorteil. Zudem läßt sich oftmals die Addition einer längeren Summe vereinfachen, indem zuerst Teilsummen als 10er- oder 100er-Bündel gebildet werden. Beispiel: 12+36+18+34 = 12+18 + 36+34 = (12+18)+ (36+34) = 30 + 70 = 100 Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Addition und Subtraktion Î Rechenvorteile Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 8/33 Runden von Zahlen Rundungsschema: Runden auf 10er Runden auf 100er Runden auf 1000er Die Zahlen 5 bis 9 werden aufgerundet Die Zahlen 1 bis 4 werden abgerundet Die Zahlen 50 bis 99 werden aufgerundet Die Zahlen 1 bis 49 werden abgerundet Die Zahlen 500 bis 999 werden aufgerundet Die Zahlen 1 bis 499 werden aufgerundet Weitere Beispiele Runden auf 10er Aufrunden Abrunden 5 bis 9 Î 10 0 bis 4 Î 0 15 bis 19 Î 20 10 bis 14 Î 10 25 bis 29 Î 30 20 bis 24 Î 20 150 bis 199 Î 200 100 bis 149 Î 100 250 bis 299 Î 300 200 bis 249 Î 200 1509 bis 1999 Î 2000 1000 bis 1499 Î 1000 250 bis 2999 Î 3000 2000 bis 2499 Î 2000 Runden auf 100er Aufrunden Abrunden 50 bis 99 Î 100 0 bis 49 Î 0 Runden auf 1000er Aufrunden Abrunden 500 bis 999 Î 1000 0 bis 49 Î 0 Dabei bedeutet: a bis b Î c Die Zahlen von a bis b werden (auf-) oder abgerundet auf c. Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Die natürlichen Zahlen Î Rundungsregel Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 9/33 Grundrechenarten ganzer Zahlen negative Zahlen Welche Zahl muß man zu 4 hinzuzählen, damit Null herauskommt? Antwort: -4. Rechnung: -4 + 4 = 0 oder anders geschrieben 4 + (-4) = 0. An diesem Beispiel wird deutlich, dass die Zeichen + und – nicht nur Rechenzeichen (also Anweisungen zum Addieren oder Subtrahieren) sind, sondern Bestandteil einer Zahl sein können: In der Rechnung 4 + (-4) ist + ein Rechenzeichen (Addition) und – (gesprochen „Minus“) das negative Vorzeichen der Zahl 4. Ist a eine natürliche Zahl, so ist –a ihre (negative) Gegenzahl. Auf dem Zahlenstrahl sind Zahl und ihre Gegenzahl gleich weit von der Zahl Null entfernt. Werden Zahl und ihre Gegenzahl addiert, ergibt sich die Zahl Null. In diesem Beispiel ist –2 die Gegenzahl zu 2. Beide Kreise sind gleich weit von der Nullmarke des Zahlenstrahls entfernt. Addition und Subtraktion ganzer Zahlen Wollte man eine gewöhnliche Addition mitsamt den Vorzeichen notieren, könnte zum Beispiel die Rechnung 2 +3 = 5 in der aufwändigeren Schreibweise (+2) + (+3) = +5 notiert werden. Werden alle Kombinationen aus Vorzeichen und Rechenzeichen durchgespielt, so ergeben sich 8 Rechnungen. Zu beachten ist dabei folgende Termumformung. Das erste Zeichen entspricht dem Rechenzeichen und das zweite Zeichen (innerhalb der Klammer) dem Vorzeichen einer Zahl. +(+3) = +3 (+2) + (+3) = +5 (+2) - (+3) = -1 +(-3) = -3 -(+3)= -3 -(-3) = +3 (+2) + (-3) = -1 (+2) - (-3) = +5 (-2) + (+3) = +1 (-2) - (+3) = -5 (-2) + (-3) = -5 (-2) - (-3) = +1 2 –3 = -1 2+3=5 -2 +3 = 1 -2 –3 = -5 -2 –3 = -5 -2 +3 = 1 Vereinfacht dargestellt: 2+3 = 5 2 –3 = -1 Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Addition und Subtraktion Î Pfeilschema derAddition Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Die ganzen Zahlen Î Grundrechenarten Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 10/33 Geometrische Grundbegriffe Geraden (mathematische) Geraden sind der Definition nach unendlich dünne und unendlich lange Linien ohne Krümmung. Die Linie setzt sich aus unendlich vielen unendlich dicht nebeneinander liegenden Punkten zusammen. Die Definition mathematischer Geraden unterscheidet sich frappierend von tatsächlich mit dem Bleistift gezeichneten Geraden: solche Geraden auf dem Papier sind genaugenommen dreidimensionale, räumliche Spuren aus Graphit, Tinte oder ähnlichem und können unter dem Mikroskop sogar wie langgezogene Gebirgsrücken aussehen! mathematische Gerade unendlich lang, unendlich dünn, aus unendlich vielen unendlich kleinen Punkten aufgebaut Geraden werden mit kleinen Buchstaben, meist g oder h bezeichnet. Wo sich zwei Geraden schneiden, legen sie einen Schnittpunkt fest. Schnittpunkte werden mit Großbuchstaben, zum Beispiel A,B,C ..., P,Q, R, ... bezeichnet. Lagebeziehungen von Geraden ein Punkt gemeinsam g und h schneiden einander senkrecht g und h schneiden einander keinen Punkt gemeinsam alle Punkte gemeinsam g und h sind zueinander parallel Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Geometrische Grundbegriffe Î Lagebeziehung von Geraden Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 11/33 Das Koordinatensystem Koordinatensysteme dienen der zahlenmäßigen Orientierung im (dreidimensionalen) Raum oder auf einer ebenen (zweidimensionalen) Fläche. Das kartesische Koordinatensystem in der Ebene (Beispiel: Blatt Papier als Zeichenebene) ist aufgebaut aus zwei senkrecht aufeinander stehenden Achsen: x-Achse in der Horizontalen mit Pfeil nach rechts, y-Achse in der Vertikalen mit Pfeil nach oben. Der Schnittpunkt beider Achsen ist der sogenannte Koordinatenursprung. Von dort aus ist mit einfachen Bewegungen jeder Punkt im Koordinatensystem eindeutig erreichbar und zahlenmäßig beschreibbar. Bezeichnungen der Koordinatenachsen Abszisse x-Achse horizontale Achse läuft von links nach rechts Ordinate y-Achse vertikale Achse läuft von unten nach oben Darstellung eines Punktes P(a/b) im Koordinatensystem Hat ein Punkt P die x-Koordinate 4 und die y-Koordinate 6, so ergibt sich seine Lage im Koordinatensystem, indem vom Ursprung aus 4 Schritte nach rechts in Richtung der x-Achse und 6 Schritte nach oben in Richtung der y-Achse gegangen wird. Schreibweise P(4/6) Die erste Zahl in der Klammer bestimmt die xKoordinate und die zweite Zahl die y-Koordinate. Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 12/33 Quadranten 2. Quadrant: links oben x<0 und y>0 3. Quadrant: links unten x<0 und y<0 1. Quadrant: rechts oben x>0 und y>0 4. Quadrant: rechts unten x>0 und y<0 Die beiden Koordinatenachsen unterteilen die Zeichenebene in vier Felder, die man gegen den Uhrzeigersinn durchdummeriert. Die vier Felder des Koordinatensystems werden auch Quadranten genannt (lat. quatro = vier) Beispiele P(-2/3) Î 2. Quadrant P (-2/-3) Î 3. Quadrant P(2/3) Î 1. Quadrant P(2/-3) Î 4. Quadrant Koordinatenlinien sind jene Kurven in einem Koordinatensystem, entlang derer sich nur eine Koordinate ändert, alle anderen aber einen fixen (=festen) Wert haben. Beispiel: Bei den Punkten P(2/5), Q(4/5) und R(6/5) ändert sich nur die x-Koordinate: alle drei Punkte liegen auf einer Koordinatenlinie (als Parallele zur x-Achse). Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 13/33 Koordinaten-Raster ist das Muster aus Koordinatenlinien in der Zeichenebene in Bezug auf ein Koordinatensystem. Für geradlinige Koordinaten ist es ein Raster aus zwei Scharen von Geraden, die jeweils zu einer der beiden Achsen parallel sind Mit Koordinaten-Raster Ohne Koordinaten-Raster Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Geometrische Grundbegriffe Î Das Koordinatensystem Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 14/33 Winkel Zwei Halbgeraden (Schenkel) mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S (Scheitelpunkt) formen durch ihre Lage zueinander eine zusätzliche Größe: den Winkel. Genaugenommen sind es zwei Winkel, die sich additiv zu einem Vollwinkel ergänzen. Wird beispielsweise die Halbgerade q, die zu Beginn einer Drehung auf p liegt, gegen den Uhrzeigersinn -so wie im Bild- um den Scheitel S gedreht, so entsteht der Winkel 90°. Der zweite Winkel, der aus einer Drehung von q nach p gegen den Uhrzeigersinn resultiert, beträgt 270°. Beide Winkel zusammen 90°+270° ergeben zusammen einen Vollwinkel von 360° (eine Umdrehung) Der Vollwinkel hat definitionsgemäß 360°. (sprich 360 Grad) Einen Winkel der Größe 1° erhält man demnach, indem ein Kreis in 360 gleich große Kreissegmente (Kreisausschnitte) unterteilt und ein Segment davon betrachtet wird. Anmerkung: Neben dem Altgrad, bei dem ein Vollwinkel 360 deckungsgleiche Kreisausschnitte besitzt, gibt es auch noch das Neugrad und das Bogenmaß. Diese Maßsysteme werden hier nicht behandelt. Wird ein Kreisausschnitt der Größe 1° in 60 gleich große Teile unterteilt, so gelangt man zur Definition der Minute und der Umrechnung 1° = 60’ (sprich 60 Minuten). Merke: Vollkreis 360° 1° = 60’ 1 Grad = 60 Minuten Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn 1’ = 60’’ 1 Minute = 60 Sekunden Also: 3600’’ = 1° 3600 Sekunden = 1 Grad Seite 15/33 Winkelarten Nullwinkel α = 0° Gestreckter Winkel α = 180° Spitzer Winkel 0° < α < 90° Überstumpfer Winkel 180°< α < 360° Rechter Winkel α = 90° Vollwinkel α = 360° Stumpfer Winkel 90° < α < 180° Anmerkung: a<b<c bedeutet, dass der Wert von b zwischen a und c liegt. Diese Bezeichnungen spielen insbesondere bei der Beurteilung der Winkel von Figuren eine Rolle. Nachfolgend werden einige Figuren beispielhaft vorgestellt: Das erste Bild stellt ein Quadrat (Rechteck mit vier gleich langen Seiten) dar. Seine benachbarten Seiten stehen jeweils senkrecht aufeinander und schließen einen Winkel von 90° miteinander ein. Solche rechten Winkel werden in der Grafik mit einem Punkt versehen, um deutlich zu machen, dass es sich bei eventuellen Zeichenungenauigkeiten auf jeden Fall um einen 90°-Winkel handelt. Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Geometrische Grundbegriffe Î Winkelbegriffe Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Geometrische Grundbegriffe Î Zeichnen von Winkeln Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Geometrische Grundbegriffe Î Schätzen von Winkeln Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 16/33 Symmetrie Achsensymmetrie Punktsymmetrie Drehsymmetrie Symmetrieachse Symmetriezentrum Drehzentrum Beispiel: beide Farbkästchen sind gleich weit von der Symmetrieachse entfernt. Ihre (gestrichelte) Verbindungslinie steht senkrecht auf der Achse. Beispiel: beide Farbkästchen sind gleich weit vom Symmetriezentrum entfernt. Ihre (gestrichelte) Verbindungslinie durchläuft das Symmetriezentrum Beispiel: Alle drei Farbkästchen werden um 120° um das Symmetriezentrum gedreht. Die Figur wird dabei auf sich selbst abgebildet Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Geometrische Grundbegriffe Î Spiegelung Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 17/33 Spiegelung und das Koordinatensystem Spiegelung einer Figur an der y-Achse Das Dreieck PQR wird an der y-Achse gespiegelt. Es entsteht das Dreieck P’Q’R’. vorher P(3/5), Q(-4/2), R(-2/-3) nachher P’(-3/5), Q’(4/2), R’(2/-3) y-Koordinaten bleiben unverändert. x-Koordinaten wechseln Vorzeichen. Spiegelung einer Figur an der x-Achse Das Dreieck PQR wird an der x-Achse gespiegelt. Es entsteht das Dreieck P’’Q’’R’’. vorher P(3/5), Q(-4/2), R(-2/-3) nachher P’’(3/-5), Q’’(-4/-2), R’’(-2/3) x-Koordinaten bleiben unverändert. xy-Koordinaten wechseln Vorzeichen. Beachte, dass gespiegelte Punkte ihre Bezeichnung beibehalten, aber dafür einen oder mehrere Striche erhalten: Aus P wird beim Spiegeln zum Beispiel P’ oder P’’. Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Geometrische Grundbegriffe Î Spiegelung und Symmetrie Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 18/33 Schrägbilder und Netze Schrägbild eines Würfels Ein Würfel bsitzt sechs quadratische Flächen (Würfel = Hexaeder = Sechs-Flächner) mit acht Ecken und zwölf Kanten, die alle gleich lang sind. Bei dem hier dargestellten zweidimensionalen Abbild eines Würfels deuten die vier roten Linien die Raumtiefe an. Da alle Kantenlinien sichtbar sind, handelt es sich um eine Art Drahtgittermodell mit durchsichtigen Seitenflächen. Wenn die inneren Striche weggelassen werden, so wirkt der gezeichnete Würfel solide mit undurchsichtigen Seitenflächen. Obwohl beim Würfel alle Seiten gleich lang sind, werden die 4 roten Linien, die die Raumtiefe andeuten, kürzer gezeichnet als in Wirklichkeit. Hier wurde beim Zeichnen die sogenannte Kavaliersperspektive angewendet: Senkrecht in den Raum hineinragende Strecken werden im Winkel von 45° zur Horizontalen gezeichnet und ihre Länge halbiert Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 19/33 Netz eines Würfels Wird der Würfel entlang bestimmter Kanten aufgeschnitten und die Seiten in eine Ebene hineingeklappt, so entsteht ein Würfelnetz. Versieht man es mit zusätzlichen Klebelaschen, kann es wieder zu einem Würfel gefaltet und zusammengeklebt werden. Weil der Würfel an verschiedenen Kanten aufgeschnitten und auseinander geklappt werden kann, sind sogar elf verschiedene Würfelnetze konstruierbar, wie diese Netze zeigen. Das besondere an diesen elf Netzen ist, dass sie zu (wieder) einem Würfel zusammengefaltet werden können. Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î6. Klasse Î Flächeninhalt und Volumen Î Netze und Schrägbilder von Quadern Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 20/33 Multiplikation und Division natürlicher Zahlen Multiplizieren Multiplizieren ist dem Verfahren nach eigentlich das wiederholte Ausführen einer Addition: beispielsweise steckt hinter der Multiplikation 3 * 4 die Addition 4 + 4 + 4. So wie jede Addition natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl liefert, verhält es sich auch bei der Multiplikation: auch ihre Ergebnisse sind wieder natürliche Zahlen. Die miteinander zu multiplizierenden Zahlen, nennt man auch Multiplikatoren oder Faktoren. Kommutativgesetz der Multiplikation Allgemein Beispiel a*b = b*a 3*4 = 4 * 3 = 12 Grafisch Beim Multiplizieren können die Faktoren untereinander vertauscht werden, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert. Allerdings ist die Betrachtungsweise und die Vorgehensweise beim Addieren jeweils eine andere, je nachdem, ob 3*4 oder 4*3 berechnet werden soll: 3*4 = 4+4+4 = 12 4*3 = 3+3+3+3=12 Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 21/33 Assoziativgesetz der Multiplikation Ist eine Multiplikation mit mehreren Faktoren durchzuführen, so können beliebig zu multiplizierende Grüppchen aus zwei oder mehreren Faktoren gebildet werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert: dies wird als Assoziativgesetz der Multiplikation bezeichnet. Allgemein Beispiel a*b*c = (a*b) * c = a * (b*c) 2*3*4 = (2*3) * 4 = 2 * (3*4) Werden Addition und Multiplikation kombiniert, so gelangt man zum sogenannten Distributivgesetz Allgemein Beispiel a*(b + c) = a*b + a*c 2 * (3 + 4) = 2*3 + 2*4 = 14 Grafische Darstellung des Distributivgesetzes Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 22/33 Dividieren Bezeichnungen a : b, andere Schreibweise a / b a:b=c Zähler : Nenner Dividend : Divisor c ist das Ergebnis der Division Liefert die Division a:b als Ergebnis eine natürliche Zahl, dann wird b auch als Teiler von a bezeichnet. Beispiel 15:3=5 Hier ist die Zahl 3 Teiler von 15. Die Multiplikation 2*4=8 läßt sich in eine Division umformen 8 : 4 = 2. Praktisch wird dabei die Frage gestellt, wie oft die Zahl 4 mit sich selbst addiert werden kann, um die Zahl 8 zu erhalten: die Antwort und das Rechenergebnis der Division ist in diesem Falle „2 mal“. Grafisch Teiler ist hier die Zahl 4 Teiler ist hier die Zahl 2 Wie schon an den Rechenausdrücken 8:4 und 4:8 zu erkennen ist, liefert das Vertauschen von Dividend und Divisor unterschiedliche Ergebnisse. Merke: Bei der Division gilt das Kommutativgesetz also nicht. Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Multiplikation und Division Î Schriftliches Multiplizieren Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Multiplikation und Division Î Punkt-vor-Strich-Regel Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Multiplikation und Division Î Division mit Rest Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Multiplikation und Division Î Kopfrechen-Trainer Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 23/33 Quadrieren Wird eine Zahl mit sich selbst malgenommen, so sagt man auch „eine Zahl quadrieren“ oder „Bilden des Quadrates einer Zahl“. Die Quadratzahlen bis 20*20 sollten auswendig gelernt werden. 1*1=1 6*6=36 11*11=121 16*16=256 2*2=4 7*7=49 12*12=144 17*17=289 3*3=9 8*8=64 13*13=169 18*18=324 4*4=16 9*9=81 14*14=196 19*19=361 5*5=25 10*10=100 15*15=225 20*20=400 In der Kurzschreibweise (Exponentenschreibweise) Anstelle von 3*3 kann zum Beispiel auch 3² (sprich 3 hoch 2) geschrieben werden, ohne das Ergebnis zu verändern. 1²=1 6²=36 11²=121 16²=256 2²=4 7²=49 12²=144 17²=289 3²=9 8²=64 13²=169 18²=324 4²=16 9²=81 14²=196 19²=361 5²=25 10²=100 15²=225 20²=400 Dabei darf freilich 4² und 4*2 nicht miteinander verwechselt werden. 4² ist ausgeschrieben 4*4 = 16 und 4*2 läßt sich zurückführen (s.o.) auf die Addition 2+2+2+2=8 Die Quadratzahlen besitzen eine interessante Eigenschaft: Werden ungerade Zahlen –beginnend bei 1- aufaddiert, so ist das Ergebnis immer eine Quadratzahl 1+3 = 2² = 4 1+3+5 =3² = 9 1+3+5+7 =4² = 16 1+3+5+7+9 =5² = 25 Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Multiplikation und Division Î Quadratzahlen Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 24/33 Potenzieren Es gibt auch eine Kurzschreibweise für mehrmaliges Multiplizieren derselben Zahl. Die Hochzahl legt dabei fest, wie oft die Zahl mit sich selbst malgenommen werden soll Vergleiche: Potenzieren 2³ = 2*2*2 = 8 32 = 3*3 = 9 4 2 = 2*2*2*2=16 42 = 4*4 = 16 25 = 2*2*2*2*2 = 32 52 = 5*5 = 25 2*3 = 3 +3 = 6 2*4 = 4+ 4= 8 2*5 = 5+5 = 10 Multiplizieren 3*2 = 2+2+2=6 4*2 = 2+2+2+2=8 5*2=2+2+2+2+2=10 Faktorisieren Primzahlen Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... Es sind jene natürlichen Zahlen, die sich nur durch 1 und sich selbst teilen lassen. Die erste Primzahl ist die Zahl 2. Listen von Primzahlen lassen sich systematisch durch das Sieb des Eratosthenes erzeugen. Obwohl Primzahlen einfach zu definieren sind, gibt es (noch?) keine Formel, mit der sich zum Beispiel die 17.te Primzahl einfach ausrechnen ließe. Sieb des Eratosthenes Das Sieb des Eratosthenes ist ein Ausleseverfahren, mit dem systematisch Primzahlen gefunden werden können. Es ist benannt nach dem griechischen Mathematiker Eratosthenes. Vorgehensweise: Man streiche aus einer mit der Zahl zwei beginnenden Liste aus natürlichen Zahlen bis zu einem gewünschten Maximalwert alle Vielfachen durch. Ebenso wird mit der nächsthöheren, nicht durchgestrichenen Zahl verfahren. Die Zahlen, die übrig bleiben sind alle Primzahlen. Primfaktorzerlegung Die Primfaktorzerlegung einer natürliche Zahl führt immer zu einem Produkt von Primzahlen: Zum Beispiel kann 12 als 2*2*3 geschrieben werden oder 16 als 2*2*2*2. Dabei heißen die einzelnen Faktoren, aus denen das Produkt besteht, Primfaktoren. Die Primfaktordarstellung einer Zahl ist bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren eindeutig. Gegenbeispiel: 32 = 2*16 ist keine Primfaktorzerlegung, weil der Faktor 16 sich in weitere Primfaktoren zerlegen läßt. Die korrekte Primfaktorzerlegung von 32 ist 2*2*2*2*2 Man testet einfach, durch welche Primzahlen sich eine Zahl ohne Rest teilen läßt. Läßt sich die Zahl durch eine Primzahl ohne Rest teilen, so kann man mit dem Divisionsergebnis weiterrechnen, und das so lange, bis man als Divisionsergebnis eine Primzahl hat. Beispiel: Primfaktorzerlegung von 48. Zuerst testet man 48 auf Teilbarkeit durch 2. 48 ist durch 2 teilbar, und 48=2*24. Auch 24 ist durch 2 teilbar; es gilt: 24=2*12; also 48=2*2*12, und weiter 48=2*2*6=2*2*2*3. Da 3 eine Primzahl ist, kann man nun aufhören. Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 25/33 Beispiel: Primfaktorzerlegung von 18. Es gilt: 18=2*9. 9 ist nicht durch 2 teilbar; also testet man mit der nächsten Primzahl weiter: 9 ist durch 3 teilbar, und 9=3*3, also 18=2*3*3. Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Multiplikation und Division Î Faktorisieren Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Multiplikation und Division Î Primzahlsieb des Eratosthenes Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 26/33 Multiplikation und Division ganzer Zahlen Sieht man von den Vorzeichen (positiv oder negativ) einer ganzen Zahl ab, verhalten sich Multiplikation und Division wie bei den natürlichen Zahlen. Vorzeichenüberlegungen Tabelle (Beispiel zur Multiplikation) Multiplikation a*b a>0 a<0 b>0 8 * 2 = 16 (-8) * 2 = -16 b<0 8 * (-2) = -16 (-8) * (-2) = 16 b>0 8:2=4 (-8) : 2 = -4 b<0 8 : (-2) = -4 (-8) : (-2) = 4 Tabelle (Beispiel zur Division) Division a:b a>0 a<0 In beiden Tabellen liefert die Verknüpfung aus a und b eine positive Zahl, wenn a und b gleichzeitig positiv oder negativ sind. Besitzen a und b verschiedene Vorzeichen, so ist das Ergebnis eine negative Zahl. Möchte man das Vorzeichen eines Produkts mehrerer ganzer Zahlen bestimmen, so braucht nur die Anzahl der negativen Vorzeichen ermittelt werden. Ist die Anzahl eine gerade Zahl, so ist das Produkt eine positive Zahl – andernfalls eine negative Zahl Beispiel (-2)*3*4*(-5)*(-6) liefert als Ergebnis eine negative Zahl, weil drei Zahlen ein negatives Vorzeichen besitzen (die Zahl drei ist eine ungerade Zahl!). (-2)*3*4*(-5)*6 liefert als Ergebnis eine positive Zahl, weil zwei Zahlen ein negatives Vorzeichen besitzen (die Zahl zwei ist eine gerade Zahl!). Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Die ganzen Zahlen Î Multiplikation Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Die ganzen Zahlen Î Grundrechenarten Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 27/33 Größen und ihre Einheiten (Geometrische Umrechnungen) Längen Unterteilt man eine 1-Meter lange Strecke in 100 gleich große Teilstrecken, so ist jede Teilstrecke 1 Zentimeter lang: das ist der hundertste Teil eines Meters. Die Zahl 100 steckt auch in der Vorsilbe Zenti- für Hundertstel und ist gleichzeitig der Umrechnungsfaktor von der Längeneinheit Meter in Zentimeter. x Meter =100 * x Zentimeter Beispiel: 3 Meter = 100 * 3 Zentimeter = 300 Zentimeter Tabelle zur Umrechnung der gebräuchlichsten Längenmaße: Mikrometer Millimeter Zentimeter Dezimeter Meter 1000 000 000 1 000 000 10 000 100 000 1 000 000 1000 100 10 100 000 100 10 1 10 000 10 1 0,1 1000 1 0,1 0,01 Kilometer 1000 1 0,1 0,01 0,001 1 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 Aus der Tabelle läßt sich zum Beispiel ablesen, dass 1000 Meter 100 000 Zentimeter entsprechen. Bezeichnung der Vorsilben Mikro Milli 1 Millionstel 1 Tausendstel Zenti 1 Hunderstel Dezi 1 Zehntel Kilo Tausend Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Größen und ihre EinheitenÎ Umrechnen von Einheiten Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î5. Klasse Î Größen und ihre EinheitenÎ Längeneinheiten und der Zahlenstrahl Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 28/33 Figuren Einfache ebene Figuren Parallelogramm Raute Gegenüberliegende Seiten sind parallel Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten Rechteck Quadrat Parallelogramm mit zueinander senkrechten Seiten Rechteck mit vier gleich langen Seiten Umfang und Flächeninhalt (Formeln) Umfang Flächeninhalt U = 2*a + 2*b A = a*b U=2*a + 2*a A = a*a U = 4*a A = a² Rechteck Quadrat Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 29/33 Die Abkürzung U steht für Umfang und liefert als Ergebnis eine Länge! Die Abkürzung A steht für Flächeninhalt. Achte auf den Unterschied zwischen der Bedeutung für die Großbuchstaben A, U und der Kleinbuchstaben a,b. Veranschaulichung des Umfangs Beim Umfang wird die Begrenzungslinie der Figur gedanklich aufgeklappt und gestreckt. An der so gestreckten Linie kann bequem abgelesen werden, welchen Umfang die Figur hat(te). In diesem Beispiel eines Rechtecks mit den Seitenlängen a=3cm und b=4cm ist der Umfang also U = 2*3cm + 2*4cm = 6cm + 8 cm= 14 cm Flächeninhalt (Erläuterung) Das mathematische Symbol für den Flächeninhalt ist meistens der Großbuchstabe A (A als Abkürzung für das lateinische Wort Area = Fläche). ein quadratisches Flächenstück der Seitenlänge 1cm besitzt den Flächeninhalt 1cm². Berechnung: 1cm * 1cm = 1*1 cm² = 1cm². Bei der Flächenberechnung geht es also um das Multiplizieren zweier Zahlenwerte mit ihren Längeneinheiten. Die Formel für die Flächenberechnung einer rechteckigen Figur lautet A = a*b, wobei a und b die Seitenlängen des Rechtecks darstellen. Flächeninhalt eines Quadrates Im Spezialfall eines Quadrates lautet die Flächenberechnung einfach A = a*a = a² Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 30/33 Das rechte Quadrat wurde etwas vergrößert dargestellt Flächeninhalt eines Rechtecks Hat eine Schokoladentafel 4 Reihen mit je 8 quadratischen Rippchen, so besteht es aus 4*8=32 Rippchen. Der Form nach ist es ein Reckteck. Wenn jedes Rippchen den Flächeninhalt 1cm² besitzt, so hat die gesamte Schokoloadentafel den Flächeninhalt 4*8 cm² = 32 cm². Veranschaulichung Die Flächenberechnung zu der angegebenen Figur lautet: A = 4 cm * 8 cm = 32 cm² Flächenumrechnungen Legt man 100 kleine Quadrate mit jeweils dem Flächeninhalt 1cm² nebeneinander in einer Reihe aus, so ist die Reihe 100-mal so lang wie ein quadratisches Flächenstück, also 100cm = 1m. Werden außerdem 100 solcher Reihen übereinander gelegt, dann entsteht eine große quadratische Fläche, die aus 100*100 =10 000 Flächenstücken je 1cm² aufgebaut ist: Also hat ein Quadrat der Seitenlänge 1m den Flächeninhalt 100*100 cm² =10 000 cm² = 1m² Umrechnung von Quadratmeter nach Quadratzentimeter: 1 m² =10 000 cm² x m² = 10 000 * x cm² Beispiel: 12 m² =10 000 * 12 cm² = 120 000 cm² Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î 5. Klasse Î Größen und ihre Einheiten Î Umfang und Flächeninhalt Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 31/33 Flächeninhalte besonderer ebener Figuren Flächeninhalt eines Parallelogramms In drei Schritten kann ein Parallelogramm auf ein inhaltsgleiches Rechteck zurückgeführt werden: Im Schritt I wird das Parallelogramm in zwei deckungsgleiche Dreiecke und ein Rechteck zerlegt. Im Schritt II werden beide Dreiecke (hier blau) zu einem Rechteck ergänzt. Im Schritt III ist zu erkennen, dass die Höhe h und die Breite b des Rechtecks dem Parallelogramm aus Schritt I entsprechen. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms läßt sich deshalb ebenfalls durch die Rechtecksformel berechnen. Rechteck Breite b und Höhe h Parallelogramm Breite b und Höhe h A = b*h A = b*h Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î 6. Klasse Î Flächeninhalt und Volumen Î Rechteck, Parallelogramm und Dreieck Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î 6. Klasse Î Flächeninhalt und Volumen Î Beliebige Dreiecke Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 32/33 Netz und Oberflächeninhaltes eines Quaders I. Perspektivische Ansicht des Quaders II. Netz des Quaders III. Zerlegung zur Berechnung des Oberflächeninhaltes IV. Oberflächeninhalt (= O) des Quaders O = 2 * l*h + 2* b*h + 2 * l*b Wird der Quader (Bild I) aufgeschnitten und werden seine Seiten ausgeklappt und diese Figur flach hingelegt, entsteht eines von 11 möglichen Netzen eines Quaders (II). Zwei Seiten besitzen paarweise den gleichen Flächeninhalt: vorne/hinten (gelbe Flächen), links/rechts (blaue Flächen), oben/unten (grüne Flächen). Sind Länge l, Breite b und Höhe h bekannt, so finden sich diese Maße auch an den einzelnen Seiten wieder. Die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders ergibt sich aus Bild IV. Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î 5. Klasse Î Flächeninhalt und Volumen Î Volumen von Quadern Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6 Î 6. Klasse Î Flächeninhalt und Volumen Î Netze und Schrägbilder von Quadern Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer © Copyright 2005, Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn Seite 33/33
