A 4-5 Einheitskreis

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• Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg
• Mathematik 4 Arbeitsblatt A 4-5
4 Einheitskreis
• LehrerInnenteam/ Mag. Wolfgang Schmid
TRIGONOMETRISCHE GRUNDBEZIEHUNGEN
Ein paar wichtige Grundbeziehungen zwischen den Winkelfunktionen sollten
Sie unbedingt auswendig wissen:
Als Erstes zeichnen wir uns noch einmal einen beliebigen Winkel, den
Einheitskreis und die SinusSinus und Cosinuslängen.
Radius 1
sin α
α
cos α
Wir erkennen, dass die Längen sin α, cos α und Radius r ein rechtwinkeliges
Dreieck bilden, für die folglich immer der pythagoräische Lehrsatz gelten
muss. Wir erhalten also:
Satz: sin 2 α + cos 2 α = 1
Anmerkung:: Die Schreibweise sin 2 α ist nur eine vereinfachte Schreibweise
2
und bedeutet in Wirklichkeit (sin α ) .
Ein zweiter wichtiger Zusammenhang lässt sich in Bezug auf den Tangens
feststellen. Wir zeichnen zunächst wieder einen
einen Winkel, bei dem wir alle drei
Winkelfunktionen einzeichnen:
1
Wir erhalten nun wieder zwei ähnliche Dreiecke: Das Dreieck ABC ist ähnlich
dem Dreieck ADE, folglich müssen wieder entsprechende Seiten im selben
Verhältnis stehen. Vom Dreieck ADE wähle ich die Seite tan α und Radius 1.
Die dazu entsprechenden Seiten des Dreiecks ABC sind sin α und cos α .
Wir erhalten also:
tan α sin α
=
1
cos α
Damit erhalten wir folgende Grundbeziehung zwischen den drei Winkelfunktionen:
Satz: tan α =
sin α
cos α
Eine weiter Beziehung zwischen Sinus und Cosinus ist noch nennenswert:
Komplementärwinkelsatz:
cos α = sin (90° − α )
sin α = cos(90° − α )
0 ≤ α ≤ 90°
Dadurch können wir Sinus in Cosinuslängen und umgekehrt darstellen:
Beispiel: Stelle sin 30° durch den Cosinus dar:
Lösung:
Es gilt: sin α = cos(90° − α )
Wir setzen unseren Wert für α ein und erhalten:
2
sin 30° = cos(90° − 30°) = cos 60°
Anmerkung: Überlegen Sie sich den Komplementärwinkelsatz geometrisch!
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Die Quadrantenregel
Bisher haben wir uns stets mit Winkelgrößen zwischen 0° und 90° abgegeben.
Was ist aber nun, wenn wir größere Winkelgrößen betrachten wollen.
Dazu befassen wir uns zunächst einmal mit dem Sinus. Wir verlegen unseren
Einheitskreis in den Koordinatenursprung:
y-Achse
x-Achse
Der Einheitskreis wird durch das Koordinatensystem in vier Teilkreise zerlegt, welche man als Quadranten bezeichnet und folgendermaßen
nummeriert sind.
y-Achse
2.Quadrant
1.Quadrant
x-Achse
3.Quadrant
4.Quadrant
Im 1. Quadranten liegt die Winkelgröße also zwischen 0° und 90°, im 2. Quadranten zwischen 90° und 180°, im 3. Quadranten zwischen
180° und 270° und im 4. Quadranten zwischen 270° und 360°.
Wenn wir nun einen Winkel einzeichnen würden, so ist der Sinus dieses Winkels
stets eine vertikale Größe. Nach oben gerichtet ist aber die y-Achse positiv,
nach unten negativ. Folglich definieren wir auch die Sinuslänge eines Winkels
so: Ist Sie nach oben gerichtet, so ist der Winkel positiv (also > 0), nach unten
negativ (also < 0).
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Liegt die Winkelgröße im 1. Quadranten (also zwischen 0° und 90°) so erhalten
wir Folgendes:
y+
sin α
α
x-Achse
y−
Da im 1. Quadranten der Sinus eines Winkels stets nach oben gerichtet ist, ist
sin α also stets positiv (also > 0).
Betrachten wir nun einen Winkel im zweiten Quadranten:
y+
sin α
α
x-Achse
y−
Da im 2. Quadranten der Sinus eines Winkels stets nach oben gerichtet ist, ist
sin α also stets positiv (also > 0).
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Nun betrachten wir einen Winkel für den 3. Quadranten (also α zwischen 180°
und 270°.
y+
α
x-Achse
sin α
y−
Jetzt sehen wir, dass für einen Winkel im dritten Quadranten sin α stets nach
unten gerichtet, also negativ ( < =) ist.
Nun nehmen wir einen Winkel α für den 4. Quadranten (also zwischen 270°
und 360°):
y+
α
sin α
x-Achse
y−
Auch hier ist sin α nach unten gerichtet, also negativ.
Nun überlegen wir uns das Ganze für den Cosinus durch. Der Cosinus ist eine
waagrechte Länge, bezieht sich also auf die x-Achse. Nach rechts gerichtet
ist die x-Achse positiv, nach links negativ:
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y-Achse
x+
x−
Folglich gilt auch für die Cosinuslänge eines Winkels: Ist sie rechts des
Koordinatenursprungs, so ist sie positiv, links des Koordinatenursprungs ist sie
negativ.
Betrachten wir dies nun für einen Winkel im 1. Quadranten:
y-Achse
α
x
−
cos α
x+
Bei einem Winkel zwischen 0° und 90° ist also cos α stets in Richtung der
positiven x-Achse gerichtet, also positiv (>0).
Schauen wir uns nun das Ganze für den 2. Quadranten an:
y-Achse
α
x−
x+
cos α
Da hier die Cosinuslänge in Richtung der negativen x-Achse gerichtet ist, ist
also der Cosinus eines Winkels im 2.Quadranten stets negativ (kleiner 0).
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Überlegen Sie sich bitte nun selbst, warum der Cosinus eines Winkels im 3.
Quadranten stets negativ, im 4. Quadranten stets positiv ist.
Nun müssen wir uns noch mit dem Tangens beschäftigen. Diesen kann man
leider nicht geometrisch interpretieren wie Sinus und Cosinus. Stattdessen
sin α
ergibt sich sein Vorzeichen immer aus dem Zusammenhang tan α =
.
cos α
Wenn wir dies nun für einen Winkel α im 1. Quadranten betrachten, so ist dort
sowohl sin α als auch cos α positiv. Wenn wir nun in unsere Definition des
Tangens einsetzen, so erhalten wir:
sin α +
= =+
tan α =
cos α +
Der Tangens eines Winkels ist im 1. Quadranten also stets positiv.
Für den 2. Quadranten gilt: sin α ist positiv und cos α negativ. Wir setzen
wieder ein:
sin α +
tan α =
= =−
cos α −
Der Tangens eines Winkels ist im 2. Quadranten also stets negativ.
Für den 3. Quadranten gilt: sin α ist negativ und cos α negativ. Wir setzen
wieder ein:
sin α −
tan α =
= =+
cos α −
Der Tangens eines Winkels ist im 3. Quadranten also stets positiv.
Für den 4. Quadranten gilt: sin α ist negativ und cos α positiv. Wir setzen
wieder ein:
sin α −
tan α =
= =−
cos α +
Der Tangens eines Winkels ist im 4. Quadranten also stets negativ.
Diese Zuordnung, welches Vorzeichen die verschiedenen Winkelfunktionen in
den einzelnen Quadranten haben, nennt man die Quadrantenregel.
Zusammengefasst lautet diese also:
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Quadrantenregel:
1. Quadrant
sin α
+
cos α
+
tan α
+
2. Quadrant
+
-
3. Quadrant
+
4. Quadrant
+
-
Was bedeutet dies aber nun für das praktische Rechnen.
Wenn wir zu einem bestimmten Winkel die dazugehörige Sinus- Cosinus- oder
Tangenslänge wollen, so haben wir keinerlei Probleme, da unsere
Taschenrechner dies heutzutage problemlos berechnen.
Beispiel: Berechne sin 230° =
Lösung:
Wir geben alles wie üblich in den Taschenrechner ein, drücken also 230
sin, und erhalten:
sin 230° = − 0,766
Beachten Sie bitte, dass ein Winkel von 230° im 3. Quadranten liegt, wo
also der Sinus negativ werden muss, was der Taschenrechner uns auch
liefert.
Dies wäre ja nun alles ganz einfach gewesen. Wozu brauchen wir dann
überhaupt die Quadrantenregel, wenn unser Taschenrechner ja schon alles
„weiß“?
Die Antwort darauf gibt die umgekehrte Fragestellung. Wir kennen zum
Beispiel eine Sinuslänge und wollen den dazugehörenden Winkel wissen.
Gehen wir dies an einem Beispiel durch.
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Beispiel: Berechne den Winkel α, so dass gilt sin α = 0,3 .
Lösung:
Das Übel ist, dass es nicht nur eine, sondern zwei Lösungen gibt. Laut
Fragestellung suchen wir einen Winkel, dessen Sinuslänge positiv ist und die
Länge 0,3 hat. Dies kann aber ein Winkel im 1. und im 2. Quadranten sein, wie
folgende Skizze deutlich macht:
y−
Es ist also zwar jedem Winkel eindeutig eine Sinuslänge zugeordnet,
aber umgekehrt ist dies leider nicht so eindeutig. Der Sinuslänge sind
zwei Winkel zugeordnet. Man spricht in diesem Falle, dass die
Winkelfunktionen nicht bijektiv sind. Doch davon später noch mehr.
Der Taschenrechner kann uns jetzt natürlich nicht zwei Lösungen liefern,
sondern nur eine. Wenn wir also zunächst unsere Gleichung lösen
wollen, so erhalten wir:
sin α = 0,3
α = arcsin 0,3
Ausgetippt mit dem Taschenrechner erhalten wir die 1. Lösung:
α1 = 17,45°
Die zweite Lösung müssen wir uns aber selbst mittels der
Quadrantenregel
selbst
zusammendenken:
Dass
diese
im
2. Quadranten liegt, geht aus der Tatsache hervor, dass der Sinus nur im
1.- und 2. Quadranten positiv ist. Wenn wir uns nun noch obige
Zeichnung ansehen, so wird klar, dass die beiden Lösungen α1 und α 2
zusammen 180° ergeben müssen. Ich stelle dies noch einmal kurz dar:
y+
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α2
α1
α1
x-Achse
y−
Folglich ergibt sich also α 2 , indem wir α1 von 180° abziehen. Wir
erhalten also:
α 2 =180° − α1 = 162,55°
Sehen wir uns dasselbe Problem noch für eine negative Sinuslänge an:
Beispiel: Berechne den Winkel α, so dass gilt sin α = −0,5 .
Lösung:
Da nun der Sinus negativ ist, können die beiden Lösungen nur im 3. und
4. Quadranten liegen. Wir berechnen uns zunächst einfach den Winkel
im ersten Quadranten, lassen also das Vorzeichen weg:
sin α = 0,5
α = arcsin 0,5
α = 30°
Was bedeutet nun dies schon wieder, dass wir einen negativen Winkel
erhalten?
Um nun den Lösungswinkel im vierten Quadranten zu erhalten
überlegen wir uns Folgendes:
Wie an der Skizze ersichtlich erhalten wir den Lösungswinkel folgendermaßen:
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α1 =360° − 30° = 330°
Nun müssen wir uns noch die zweite Lösung im 3. Quadranten überlegen:
Wir erkennen, dass der Lösungswinkel im 3. Quadranten stets 180° + α
sein muss:
Wir erhalten also:
α 2 =180° + 30° = 210°
Sehen wir uns dazu nun ein Beispiel für den Cosinus an:
Beispiel: Berechne den Winkel α, so dass gilt cos α = 0,5 .
Lösung:
Als Erstes gilt, dass der Cosinus im 1. Und im 4. Quadranten positiv ist.
Dort müssen also die beiden Lösungen sein.
Die erste Lösung berechnen wir ganz normal:
cos α = 0,5
α = arccos 0,5
α = α 1 = 60°
Wie bereits gezeigt gilt für den Lösungswinkel im 4. Quadranten
α 2 = 360° − α :
Wir erhalten folglich:
α 2 =360° − 60° = 300°
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Sehen wir uns noch ein Beispiel für einen negativen Cosinus an:
Beispiel: Berechne den Winkel α, so dass gilt cos α = −0,2 .
Lösung:
Da der Cosinus im 2. Und 3. Quadranten negativ ist, müssen dort die
Lösungen liegen. Wir berechnen uns zunächst wieder die
Zwischenlösung für den 1. Quadranten.
cos α = 0,2
α = arccos 0,2 = 78,46°
Für die Lösung im 2. Quadranten überlegen wir uns:
Es muss also gelten: α 1 = 180° − α .
Wir erhalten als erste Lösung: α 1 = 180° − 78,46° = 101,54°
Für den 3. Quadranten haben wir uns bereits überlegt, dass α 2 = 180° + α
gilt. Wir erhalten: α 2 = 180° + α = 258,46°
Als Letztes bleibt uns noch der Tangens:
Beispiel: Berechne den Winkel α, so dass gilt tan α = 1,2 .
Lösung:
Da der Tangens im 1. Und 3. Quadranten positiv ist (Siehe
Quadrantenregel!!), müssen dort unsere beiden Lösungen liegen. Die
erste Lösung berechnen wir wieder mittels des Taschenrechners:
tan α = 1,2
α1 = arctan 1,2 = 50,19°
Die zweite Lösung liegt im dritten Quadranten, dort gilt: α 2 = 180° + α 1
α 2 =180° + α1 = 230,19°
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So, und als allerletzten Fall sehen wir uns noch einen negativen
Tangenswert an:
Beispiel: Berechne den Winkel α, so dass gilt tan α = −0,9 .
Lösung:
Da der Tangens im 2. und 4. Quadranten negativ ist, müssen dort die
Lösungen sein. Zunächst berechnen wir wieder die Zwischenlösung im
1.Quadranten:
tan α = 0,9
α = arctan 0,9 = 41,99°
Für den 2. Quadranten gilt nun: α 1 = 180° − α = 180° − 41,99° = 138,01°
Für den 4. Quadranten gilt: α 2 = 360° − α = 360° − 41,99° = 318,01°
Zusammenfassend kann man also folgenden Weg vorschlagen:
Schritt 1: Überlege in welchem Quadranten die beiden Lösungen liegen
müssen.
Schritt 2: Berechne die Zwischenlösung (oder Lösung) im 1. Quadranten.
Lass also gegebenenfalls ein negatives Vorzeichen weg.
Schritt 3: Berechne die entsprechenden Lösungen in den Quadranten.
Dabei gilt, wenn α die Lösung im 1. Quadranten sei:
2.Quadrant: α 1 = 180° − α
3.Quadrant: α 1 = 180° + α
4.Quadrant: α 1 = 360° − α
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