4 Mathematische Grundlagen

53
4
Mathematische Grundlagen
Wenn Z eine endliche Menge ist, dann ist das als “Lineare Dualitätstheorie” Vorgestellte
tatsächlich alles, was man zu diesem Thema braucht (bis auf das Einführen von Normen)
Im Falle, daß Z eine unendliche Menge ist, gibt es keine Reflexivität mehr und die Räume Z∗ ,
Z∗∗ , ... werden immer größer. Ohne Topologie (d.h., mit diskreter Topologie) sind die Räume
viel zu groß um sinnvoll mit ihnen arbeiten zu können. Es gibt kaum Cauchy-Folgen, man kann
keinen brauchbaren Summenbegriff von allgemeinen überabzählbar vielen Objekten bilden.
ÜA: Die Summe einer Menge positiver reeller Zahlen sei endlich. Beweise, daß es höchstens
abzählbar viele Zahlen sein können.
Es ist deshalb sinnvoll, daß wenigstens die ersten der dualen Räume überschaubar bleiben und
man es solange wie möglich mit Mengen zu tun hat, die wenigstens abzählbare dichte Mengen
enthalten.
Es folgt eine Liste von Wünschen, was beim Übergang zu unendlichen Mengen erhalten bleiben
sollte:
• Unendliche Mengen bedeutet Grenzwerte. Die sollte in den betrachteten Mengen liegen.
Alle Mengen sollten deshalb vollständig sein bzw. geeignet vervollständigt werden.
• Alle Funktionale sollten nicht nur auf jedem Element definiert sein, sondern auch global
beschränkt sein.
• Alle Funktionale aus Z∗ , Z∗∗∗ sollten als Funktionen von Punkten betrachtet werden
können.
• Alle Funktionale aus Z∗∗ sollten als Funktionen von Mengen betrachtet werden können.
• Alle Funktionale aus Z∗∗ sollten als konvexe Kombinationen von Punktmaßen interpretiert
werden können.
• Verschiedene kanonische Eigenschaften sollten identisch sein. So sollte z.B. die Positivität
in Z∗∗ als Funktionale und die Positivität in Z∗∗ als Funktionen von Mengen identisch
sein.
Diese Wünsche kann man erfüllen, wenn in Z eine geeignete Topologie eingeführt wird. Dazu
gibt es auch physikalische Gründe:
Der Sinn einer Beobachtung, ist es ein physikalisches System zu verstehen. Das erreicht man,
wenn das Ergebnis der Beobachtung (eine reelle Zahl) sich nicht sehr von der selben Beobachtung bereits bekannter Systeme unterscheidet, die wir intuitiv als ähnlich bezeichnen würden.
Z∗ ist als Menge der Funktionale die Menge der stetigen Funktionen auf Z. Als Abbildungen in
die reellen Zahlen, kann man Linearkombinationen von stetigen Funktionen bilden, die ebenfalls
stetig sind (ÜA).
Außerdem hat die Betrachtung extensiver und intensiver Größen gezeigt, daß ihr Zusammenhang linear ist. Das ist ein weiteres Indiz, Linearität zu berücksichtigen.
Damit wird Z∗ zu einem linearen Raum. Darüber hinaus induzieren die Strukturen in den
reellen Zahlen analogen Strukturen in Z∗ .
Um in der Menge Z∗ Grenzwerte von Folgen sinnvoll definieren zu können, sollte in Z∗ eine
Metrik (im linearen Raum also eine Norm) definiert werden. In dieser Norm sollte Z∗ vollständig
sein.
Der Sinn der Vollständigkeit in linearen (oder metrischen) Räumen ist der selbe wie der Sinn
des Übergangs von den rationalen Zahlen zu reellen. Man möchte sicher sein, daß bestimmte
54
4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Objekte existieren, z.B. ein Zwischenwert beim Zwischenwertsatz. Man läßt deshalb außer den
reellen Zahlen auch noch alle Grenzwerte von konvergenten Folgen rationaler Zahlen zu.
Zur Sicherung der Vollständigkeit in einem linearen Raum gibt es zwei Möglichkeiten.
1) Man führt eine beliebige Norm ein und vervollständigt den Raum in dieser Norm, d.h.,
definiert alle Grenzwerte konvergenter Folgen als Elemente des Raumes.
2) Man definiert eine spezielle Norm, in der der Raum bereits vollständig ist.
Die erste Variante hat den Nachteil, daß man das Problem nur scheinbar gelöst hat. Man weiß
zwar, daß alle Grenzwerte konvergenter Folgen im Raum liegen, weiß aber nicht, was diese
Grenzwerte für Eigenschaften haben (außer der Beschränktheit in der Norm). Das Beispiel vom
Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen zeigt, daß sich die Menge stark vergrößern
kann (sogar Kardinalität ändert sich, auch die Darstellungsweise). Der Grenzprozeß macht aus
einer überschaubaren Menge eine Riesenmenge, die nie gebraucht wird.
Deshalb ist es sinnvoll, in Z∗ die sup-Norm zu definieren. Mit diese Norm ist der Raum
vollständig, d.h., alle Grenzwerte konvergenter Folgen steiger Funktionen sind wieder stetige
Funktionen.
Es stellt sich heraus, daß die natürlichen Eigenschaften des Raumes stetiger Funktionen (metrische, algebraische, Ordungseigenschaft) in perfekter Weise zusammenpassen, was den Raum
stetiger Funktionen zum idealen Startobjekt für die weiteren Untersuchungen macht.
Z − topologischer Raum
(kompakt, Hausdorff, w
1. Abzählbarkeitsaxiom)
w

Menge der Beobachtungen
Z∗ = C(Z)
w
w

linearer Raum
Metrik (Norm) =⇒
normierter Raum
=⇒
Banach-Raum
Halb-Gruppe
=⇒
Algebra
=⇒ Banach-Algebra
Ordnung
Verband
=⇒
=⇒
Riesz-Raum
=⇒ Banach-Verband
Wir stellen einige mathematische Grundlagen zusammen.
4.1 Topologie
4.1
55
Topologie
4.1.1
Einführung und Definitionen
S
• offene Mengen: O: Z, ∅ ∈ O, α Uα ∈ O, U1 ∩ U2 ∈ O
• O1 ⊂ O2 , 2 ist stärker (feiner) als 1 (gröber).
• abgeschlossene Mengen: F = {F ∈ 2Z : Z \ F ∈ O}
• Umgebung Uz eines Punktes z: U ∈ O : z ∈ U
• Häufungspunkt: z ∈ A: Für alle Umgebungen Uz ∃ ein z 0 6= z: z 0 ∈ A
S
• Inneres von A: intA = A⊃U ∈O U
T
• Abschluß von A: A = A⊂F ∈F F
• Grenze von A: ∂A = A \ intA
S
• Basis G ⊂ O: O = U ∈G U
• Hausdorff: z1 6= z2 =⇒ ∃Uz1 , Uz2 mit Uz1 ∩ Uz2 = ∅
• Dichtheit von A in Z: A = Z
• separabel wenn eine dichte abzählbare Menge existiert.
• Normal: ∀F1 , F2 ∈ F, F1 ∩ F2 = ∅, ∃U1 , U2 ∈ O, Fi ⊂ Ui , U1 ∩ U2 = ∅
• Metrisierbar:
• Vollständig metrisierbar Jede Cauchy-Folge konvergiert in der Metrik (d.h., es gibt
wenigstens eine solche Metrik)
• Kompaktheit: Offene Überdeckung enthält endliche.
• Folgenkompaktheit: Jede unendliche Menge enthält einen Häufungspunkt.
• Folgen-Kompakt: Jede Folge hat Häufungspunkt
• Borelsche σ-Algebra: B ist die kleinste σ-Algebra, die O enthält. (Das ist eine neue
Struktur in einem topol. Raum.)
def
• Stetige Funktionen: g : X −
→ Y ⇐⇒ g −1 (U) ∈ OX, ∀U ∈ OY
• Die konstante Funktion 1 (1(z) ≡ 1) ist in jedem topologischen Raum stetig.
• Die charakteristische Funktion 1A der Menge A ist genau dann stetig, wenn A eine Zusammenhangskomponente (d.h. offen und abgeschlossen) von Z ist, weil sowohl
−1
1−1
A (1) = A als auch 1A (0) = Z \ A abgeschlossen sein müssen.
• Satz von Heine: Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist gleichmäßig stetig
(eigentlich Satz von Weierstraß).
• topologische Produkträume: Bei endliche vielen Räumen ist die Definition einfach.
Bei unendlich vielen ist es kompliziert, Ziel ist, daß Projektionen auf einzelne Faktoren
stetige Abbildungen sind. Genauer zur Definition: DS I, S. 43ff
• Stetigkeit von Abbildungen in Produkträumen: Es seien gi : X −
→ Yi stetig, dann ist
auch h = (g1 , ..., gn ) : X −
→ Y1 × ... × Yn stetig.
Beispiel n = 2: f : Z −
→ X × Y. f (z) = g(z), h(z) mit g : Z −
→ X, h : Z −
→ Y. Es reicht
die Stetigkeit auf eine Basis zu zeigen. Es sei U × V ∈ OX×Y. Dann ist f −1 (U × V ) =
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4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
g −1 (U) ∩ h−1 (V ). (Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist offen. Bei ∞-vielen
klappt das nicht!)
Das reduziert viele Aufgaben (Stetigkeit von Summen, Produkten, Supremum) auf die
Frage, nach der Stetigkeit von Funktionen f : R2 −
→ R, z.B. f (z1 , z2 ) = z1 + z2 (Gerade
im R2 ), f (z1 , z2 ) = sup(z1 , z2 ) (abgeknichte Gerade im R2 ),
• topologische Unterräume: Es sei X ⊂ Y, dann ist OX = {U = V ∩ X, V ∈ OY }
• Einschr
änkung einer stetigen Funktion auf einen Unterraum:
g = f X heißt g −1(A) = f −1 (A) ∩ X
• Lemma: U ∈ O ⇐⇒ ∀z ∈ U ∃Uz : Uz ∈ U
• Beispiel: Metrischer Raum: Eine Basis der Topologie bilden die offenen Kugeln:
B(z, ε) = z 0 | ρ(z, z 0 ) < ε, ε > 0, z ∈ Z
4.1.2
Zerlegung der Eins
Es gibt zwei wichtige Sätze über die Existenz spezieller stetiger Funktionen im normalen topologischen Raum Z.
• Lemma (Urison): A, B ∈ F, A ∩ B = ∅. Es existiert eine stetige Funktion f ∈ C(Z):
f (A) = 0, f (B) = 1, f (z) ∈ [0, 1].
• Lemma: F ∈ F, f0 stetig auf F , dann existiert ein f ∈ C(Z) mit dem selben sup.
• Lemma (Zerlegung der 1): (siehe Kaltenbäck S. 12)
(ϕi )ni=1 ∈ C(Z) mit
Es sei (Ui )ni=1 eine offene Überdeckung von Z (kompakt).Es existieren
S
Pn
ϕi (z) ∈ [0, 1], ϕi (z) = 0, z ∈ Z \ Ui , ϕi (z) = 1, z ∈ Ui \
j6=i Ui und
i=1 ϕi = 1.
Die “Zerlegung der 1” ist ein Analogon zur Basis im endlichdimensionalen linearen Raum.
In C(Z) gibt es keine kanonische Basis. Der Satz hilft, für eine gegebene Überdeckung eine
kanonische Basis zu finden. Diese Basis kann – bei geeigneter Wahl der Überdeckung – jede
Funktion aus C(Z) mit gewünschter Genauigkeit darstellen. Die aus der Numerik bekannten
“Hütchenfunktionen”
S für triangulierte Gebiete entsprechen dem Fall, daß die abgeschlossene
Menge Fi = Ui \
j6=i Ui aus einem Punkt besteht (dem Punkt, indem die Hütchenfunktion
den Wert 1 hat).
4.1.3
Weitere topologische Definitionen
• vollst. metrische Räume
def
• polnischer Raum = separabel + vollst. metrisierbar
• 1. Abzählbarkeitsaxiom: Jeder Punkt hat eine höchstens abzählbare Umgebungsbasis.
• 2. Abzählbarkeitsaxiom: Der Raum hat eine höchstens abzählbare Basis der Topologie.
• Ein topologischer Raum ist parakompakt, falls jede offene Überdeckung eine lokal endliche offene Verfeinerung besitzt.
4.1 Topologie
4.1.4
57
Einige topologische Zusammenhänge
Achtung! Nur aus verschiedenen Quellen abgeschrieben, nicht nachgeprüft.
• kompakt =⇒ normal
• kompakt =⇒ (Z metrisierbar ⇐⇒ C(Z) separabel)
• metrisch =⇒
–
–
–
–
–
–
normal
Hausdorff
parakompakt
separabel ⇐⇒ 2.AA
erfüllt das 1. Abzählbarkeitsaxiom
f : X−
→ Y stetig (X, Y metrisch) ⇐⇒ xn −
→ x =⇒ f (xn ) −
→ f (x)
• kompakt, Hausdorff und 1.AA =⇒ metrisierbar
• 2.AA =⇒ 1.AA
• kompakt und metrisch =⇒ vollständig und separabel
• kompakt und metrisch =⇒ polnisch
• kompakt und Hausdorff =⇒ metrisierbar ⇐⇒ hat abzählbare Basis
• Lokale Kompaktheit ist Voraussetzung für 1-Punkt Kompaktifizierung
?? Z kompakt und Hausdorff =⇒ er hat abzählbare Basis =⇒ er ist metrisierbar =⇒ C(Z)
ist separabel. (Siehe S. 436 im engl. DS I: konvex set weak topology, Exercises)
• Z ist normal, C(Z) ist separabel =⇒ Z kompakt und metrisierbar (Satz 17)
• Z ist kompakt und Hausdorff =⇒ Z ist normal
• Z ist kompakt und T1 =⇒ Z ist T2
• X ist separabler Banachraum =⇒ ∃ Z derart, daß X = C(Z)
•
4.1.5
Zu topologischen Vektorräumen
Ein topologischer Vektorraum ist genau dann metrisierbar, wenn er das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
4.1.6
Zum Auswahlaxiom
Das Auswahlaxiom wird beim Beweis vieler wichtiger Aussagen benutzt, ohne die eine Entwicklung der entsprechenden Theorie sehr erschwert würde. Allerdings ist das Auswahlaxiom
nicht konstruktiv. Es beweist (bzw. postuliert) nur die Existenz eines Objektes. Wird das Objekt explizit gebraucht, hilft das nicht weiter. In solchen Fällen stellt sich oft heraus, daß das
entsprechende Objekt explizit nicht gefunden werden kann, bzw. falls man es findet, gibt es
einen Beweis der entsprechenden Aussage auch ohne Auswahlaxiom. Typische Beispiele sind
der Satz von Hahn-Banach im nicht separablen Raum und der Satz von Radon-Nikodym, falls
die gesuchte Dichte z.B. nicht stückweise stetig ist.
Äquivalenzen des Auswahlaxioms.
58
4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
• Auswahlaxiom: Zu jeder Menge von nichtleeren Mengen existiert eine Auswahlfunktion,
d.h. eine Funktion, die jeder dieser nichtleeren Mengen ein Element derselben zuordnet.
– Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion.
– Sei A eine Menge von paarweise disjunkten nicht leeren Mengen Xi . Dann gibt es
eine Menge C, die mit jedem Xi genau ein gemeinsames Element hat.
• Zornsches Lemma: Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d. h. jede
total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales
Element.
• Wohlordnungssatz: Jede Menge kann wohlgeordnet werden.
• Wenn A eine unendliche Menge ist, dann haben A und A × A die gleiche Kardinalität.
• Das kartesische Produkt einer nichtleeren Familie von nichtleeren Mengen ist nicht leer.
• Jede surjektive Funktion hat ein Rechts-Inverses.
• Jeder Vektorraum hat eine Basis.
• Zwei Mengen haben entweder gleiche Kardinalität oder eine der beiden Mengen hat eine
kleinere Kardinalität als die andere.
Das Auswahlaxiom wird beim Beweis von wichtiger Aussagen benutzt:
• Satz von Hahn und Banach im nicht-separablen Fall
• Satz von Radon und Nikodym falls Dichte nicht stetig ist.
• Für eine allgemeine abzählbare Menge von zweielementigen Mengen existiert eine Auswahlfunktion.
• Für die Menge aller nicht leeren Teilmengen der reellen Zahlen existiert eine Auswahlfunktion.
4.2 Verschiedenen mathematische Strukturen in Mengen
4.2
4.2.1
59
Verschiedenen mathematische Strukturen in Mengen
Algebraische Strukturen
• Eine Halbgruppe ist eine Menge mit Multiplikation.
• Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit 1-Element. Wir benutzen für ein Monoid stets den
Begriff “Halbgruppe”. Beispiele:
–
–
–
–
–
–
Jede Gruppe ist eine Halbgruppe
R+ mit der Addition (kommutative Gruppe), Eins ist die Null
N mit der Addition (kommutative Gruppe), Eins ist die Null
Die Komposition/Verkettung (z.B. in C(Z −
→ Z))) (ÜA)
Punktweise Multiplikation in C(Z)
Matrizen in Rn , also L(Rn ), Eins ist I. (nichtkomm.)
Kommutative Unterhalbgruppen:
∗ An , n ∈ N
∗ etA , t ∈ R+
• Eine Gruppe ist eine Halbgruppe, deren Elemente invertierbar sind. Beispiele:
–
–
–
–
R mit der Addition (kommutative Gruppe), Eins ist die Null
R>0 mit der Multiplikation (kommutative Gruppe), Eins ist die Eins
Z mit der Addition (kommutative Gruppe), Eins ist die Null
Automorphismengruppe (z.B. in C(Z −
→ Z))
• Ein Ring ist eine Menge mit zwei Operationen + (abelsche Gruppe) und ∗ (Halbgruppe).
• Ein Körper ist ein Ring, der bezüglich seiner Multiplikation ohne das 0-Element eine
Gruppe ist. Die Elemente eines Körpers heißen Zahlen.
• Eine Algebra ist linearer Raum mit einer zusätzlichen Halbgruppenstruktur, die mit der
Addition des linearen Raumes über das Distributivgesetz gekoppelt ist (2 Stück, wenn die
Halbgruppe nicht kommutativ ist). Außerdem betrachten wir nur assoziative Algebren,
also solche deren Multiplikation dem Assoziativgesetz genügt (im Gegensatz z.B. zu LieAlgebren).
4.2.2
Morphismen
• Homomorphismus Strukturerhaltende Abbildung zwischen 2 gleichen Strukturen. (Gruppe, Ring, Körper). Im lin. Raum heißt der Homomorphismus auch lineare Abbildung. Im
topol. Raum stetig Abbildung.
• Isomorphismus bijektiver Homomorphismus. Im toplogischen Raum heißt er Homöomorphismus.
• Endomorphismus ist ein Homomorphismus in sich selbst
• Automorphismus bijektiver Endomorphismus
60
4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
4.2.3
Geordnete Mengen
Eine Menge heißt geordnet, wenn zwischen einigen ihrer Elemente eine Ordnungsrelation ≤
definiert ist. Diese Ordnungsrelation läßt sich mit verschiedener Schärfe definieren.
Eine Ordnungsrelation ϕ ist eine Teilmenge der Produktmenge X × X mit folgenden Eigenschaften:
1. Für alle x ∈ X gilt (x, x) ∈ ϕ.
2. (x, y) ∈ ϕ, (y, z) ∈ ϕ =⇒ (x, z) ∈ ϕ
3. (x, y) ∈ ϕ, (y, x) ∈ ϕ =⇒ x = y
4. ∀ x, y ∈ X gilt (x, y) ∈ ϕ oder (y, x) ∈ ϕ.
5. ∀ X : ∅ =
6 X ⊆ X ∃ x ∈ X : x ≤ x0 , ∀ x0 ∈ X
Der Zusammenhang zur üblichen Ordnungsrelation besteht in
(x, y) ∈ ϕ ⇐⇒ x ≤ y
Eine Menge X mit einer Ordnungsrelation ≤ ist eine geordnete Menge und wird mit (X, ≤)
bezeichnet.
Die Definitionen von oben sind dann:
• x ≤ x (Reflexivität)
• x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (Antisymmetrie)
• x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (Transitivität)
• x ≤ y ∨ y ≤ x (Totalität)
Ohne Totalität heißt eine Ordnung Halbordnung.
Je nachdem, welche Bedingungen erfüllt sind, heißt X
• teilgeordnet, wenn 1) und 2)
• geordnet, wenn 1), 2) und 3)
• total geordnet, wenn 1), 2), 3) und 4)
• linear geordnet, wenn 1), 2), 3) und 4) (äquivalent zu total geordnet, intuitiver, aber
weniger gebräuchlich)
• wohl geordnet, wenn 1), 2), 3), 4) und 5)
Teilgeordnet scheint nicht sinnvoll scheint zu sein (ich kenne kein praktisch interessantes Beispiel). Bei [8, S.33] gibt es 1) und 2) nicht. 1), 2) und 3) heißt dort teilgeordnet, 1), 2), 3) und
4) heißt geordnet, vollständig geordnet oder linear geordnet.
Elemente, für die 4) gilt, heißen vergleichbar. Sind alle Elemente einer Menge vergleichbar,
ist die Menge total geordnet.
Außerdem folgen aus dem Auswahlaxiom gewisse Zusammenhänge (siehe [4, S.14-20]), die aus
praktischer Sicht aber – vielleicht bis auf die Fixpunktsätze – wohl uninteressant sind.
Im Gegensatz zu einer Äquivalenzrelation ist eine Ordnungsrelation gerade nicht symmetrisch.
Das führt dazu, daß eine Ordnungsrelation die Menge X zusammenhält, wogegen eine Äquivalenzrelation die Menge X zerfallen läßt.
4.2 Verschiedenen mathematische Strukturen in Mengen
61
Eine Majorante bezüglich der Teilmenge X ∈ P(X) ist ein Element x ∈ X, für das gilt x0 ≤ x,
∀ x0 ∈ X.
Das Supremum einer Teilmenge X ∈ P(X) ist eine Majorante x+ ∈ X, für die gilt x+ ≤ x für
alle Majoranten x von X. x+ = sup X.
x+ = sup X ⇐⇒ (∀ x ∈ X : x ≤ x+ ) und (∀ x ∈ X : x ≤ x0 =⇒ x+ ≤ x0 )
In einem geordneten Raum (im Gegensatz zum teilgeordneten) ist das Supremum einer Teilmenge eindeutig, falls es existiert. IEs sei x1 = sup X und x2 = sup X. Dann gilt nach Definition
für alle x ∈ X: x ≤ x1 und x ≤ x2 . Betrachtet man x1 als Supremum und x2 als x0 in der
Definition, muß also x1 ≤ x2 gelten. Im umgekehrten Fall x2 ≤ x1 . Da der Raum geordnet ist,
folgt x1 = x2 . J
Analog werden Minorante und Infimum definiert, wobei das Infimum im geordneten Raum
eindeutig bestimmt ist (falls es existiert).
Die fehlende Eindeutigkeit des Infimum und Supremum machen den teilgeordenten Raum uninteressant.
4.2.4
Verbände
In einer linear geordnete Menge umfaßt die Ordnungsrelation alle Elemente der Menge. Eine
(Teil-)Ordnungsrelation kann man für eine beliebige Teilmenge einer Menge definieren. Oft
ist es aber sinnvoll, wenn die Menge eine gewisse Mindestgröße hat und z.B. ausreichend viele
Suprema und Infima enthält. Zu diesem Zweck kann man in Mengen algebraische Operationenen
definieren bezüglich derer die Menge abgeschlossen ist und die mit der Ordnungsrelation im
Zusammenhang steht. Eine solche Struktur ist eine Verbandsstruktur.
Ein Verband V (es sei x, y, z ∈ V) ist eine Menge mit zwei Operationen ∨ und ∧, die kommutativ
x ∧ y = y ∧ x, x ∨ y = y ∨ x
und assoziativ
x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z, x ∧ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z
sind und außerdem noch sogenannte Absorptionsgesetze
• x ∨ (x ∧ y) = x
• x ∧ (x ∨ y) = x
erfüllen.
Der Zusammenhang mit einer Halbordnung ist folgender:
x ≤ y ⇐⇒ x ∧ y = x ⇐⇒ x ∨ y = y
Das ist so zu verstehen:
Falls eine Verbandsstruktur definiert ist, definieren wir x ≤ y falls x ∧ y = x gilt (der Ausdruck
x ∨ y = y folgt aus den Absorptionsgesetzen).
Falls eine Ordnungsstruktur definiert ist, definieren wir x ∨ y = sup{x, y}, x ∧ y = inf{x, y}.
Es läßt sich leicht nachprüfen, daß die geforderten Gesetze erfüllt sind. ÜA
Eine geordnete Menge ist somit ein Verband, wenn eine zweielementige Menge (und damit folgt
induktiv die Eigenschaft für beliebige endliche Mengen) ein Supremum und ein Infimum hat.
In diesem Sinn ist die Ordnungsrelation in einem Verband abgeschlossen.
62
4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Wir interessieren uns im weiteren vor allem für Räume von Funktionen in die reellen Zahlen,
bei denen die Ordnungsstruktur die von den reellen Zahlen induzierte punktweise Ordnung ist.
sup und inf sind dann die punktweisen Extrema.
Zusätzlich kann man Distributivgesetze fordern
x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)
x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)
dann heißt der Verband distributiver Verband. Wir werden im weiteren stets distributive
Verbände betrachten.
Eigenschaften:
• Es gilt (Idempotenz) x ∧ x = x, x ∨ x = x.
• Falls es ein kleinstes Element in der Menge gibt (genannt 0), dann ist es bezüglich ∨
neutral. Es gilt x ∨ 0 = x und x ∧ 0 = 0.
• Falls es ein größtes Element in der Menge gibt (genannt 1), dann ist es bezüglich ∧
neutral. Es gilt x ∧ 1 = x und x ∨ 1 = 1.
• Ein Element x heißt Komplement zu x, falls x ∨ x = 1 und x ∧ x = 0. Das Komplement
muß nicht einzig sein. Ein Verband heißt beschränkt, falls es ein zu jedem Element ein
Komplement gibt.
• In einem beschränkte, distributiven Verband ist das Komplement einzig.
Manchmal ist des sinnvoll, neutrale Elemente künstlich einzuführen, obwohl sie eigenlich nicht
zur Menge gehören und mit den anderen Strukturen in der Menge nicht verträglich sind. Wir
nennen solche Elemente −∞ (das kleinste Element) und +∞ (das größte Element).
Es kann sein, daß in einem Verband eine weitere Operation ⊕ definiert ist, die mit den Verbandsoperationen in folgendem Zusammenhang steht
(x ∨ y) ⊕ (x ∧ y) = x ⊕ y = (x ∨ 0) ⊕ (y ∧ 1)
(13)
Dieser Zusammenhnag heißt Satz von Sylvester oder Inklusions-Exklusions-Prinzip oder Siebverfahren. In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele aufgeführt. Sie zeigen außerdem alle
interessanten Objekte in speziellen Verbänden.
Verband
Menge
N>0
C
(x ∨ y) ⊕ (x ∧ y)
(A ∪ B) t (A ∩ B)
[x, y]
·
(x, y)
sup(x, y) + inf(x, y)
=
=
=
=
x⊕y
AtB
x · y
x+y
=
(x ∨ 0)
⊕
(y ∧ 1)
=
(A ∪ ∅)
t
(B ∩ Z)
=
[x, 1]
·
(y, 0)
= sup(x, −∞) + inf(y, +∞)
Das Symbol t bedeutet die “disjunkte Vereinigung”. Sie entspricht der üblichen Vereinigung,
falls die Mengen disjukt sind und erzeugt Kopien der Elemente, die in beiden Mengen vertreten
sind. So ist {x, y} t {x, z} = {x1 , x2 , y, z}. Die disjunkte Vereinigung wird verwendet, wenn
spezielle Operationen, wie z.B. die Kardinalität oder das Maß additiv sein sollen. Es ist |A∪B| ≤
|A| + |B| aber |A t B| = |A| + |B|. Als Gesamtmenge ist dann anstelle von Z die Menge N · Z.
Formel (13) läßt sich auf endlich viele Objekte verallgemeinern und hat im Falle dreier Objekte
die Form
(x ∨ y ∨ z) ⊕ (x ∧ y) ⊕ (y ∧ z) ⊕ (z ∧ x) = x ⊕ y ⊕ z ⊕ (x ∧ y ∧ z)
4.3 Verschiedenen Strukturen in linearen Räumen
4.3
4.3.1
63
Verschiedenen Strukturen in linearen Räumen
Riesz-Räume
Ein linearer Raum mit Ordnungsstruktur, der auch ein Verband ist (d.h. sup und inf zweier
Elemente müssen im Raum liegen) heißt Riesz-Raum, wenn folgende Verträglichkeitsbedingungen gelten:
• Für alle f, g, h ∈ X gilt: f ≤ g ⇒ f + h ≤ g + h
• Für alle f, g ∈ X und a ∈ R+ gilt: f ≤ g ⇒ a · f ≤ a · g
In einem Riesz-Raum kann man positiven Teil, negativen Teil und den Betrag eines Elementes
definieren:
• x+ = x ∨ 0
• x− = (−x) ∨ 0 = −(x ∧ 0)
• |x| = x+ + x− = x ∨ (−x)
Für f, g, h ∈ X und a ∈ R gelten folgende Rechenregeln:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(f + h) ∨ (g + h) = (f ∨ g) + h
(f + h) ∧ (g + h) = (f ∧ g) + h
(af ) ∨ (ag) = a(f ∨ g)
(af ) ∧ (ag) = a(f ∧ g)
(−f ) ∨ (−g) = −(f ∧ g)
(−f ) ∧ (−g) = −(f ∨ g)
f ∨ g = 21 (f + g + |f − g|)
f ∧ g = 21 (f + g − |f − g|)
(f ∨ g) + (f ∧ g) = f + g
(f ∨ g) − (f ∧ g) = |f − g|
(f ∨ g) ∧ h = (f ∧ h) ∨ (g ∧ h)
(f ∧ g) ∨ h = (f ∨ h) ∧ (g ∨ h)
Die Menge X+ = {x ∈ X|x ≥ 0} heißt positiver Kegel. Man kann – umgekehrt – eine Ordnung
mithilfe eines Kegels definieren: Ein Kegel C ⊂ X ist eine Teilmenge eines lin. Raumes, die neben
x auch alle λx mit λ ≥ 0 enthält. Es ist f ≥ g falls f − g ∈ C.
4.3.2
Normierte lineare Räume
Ein linearer Raum mit einer Norm heißt normierter Raum. Eine Norm ist eine Abbildung
k · k : X−
→ R+ mit den Eigenschaften
• kxk = 0 ⇐⇒ x = 0 (Definitheit)
• kλxk = |λ| kxk (absolute Homogenität)
• kx + yk ≤ kxk + kyk (Subadditivität, Dreiecksungleichung)
Durch %(x, y) = kx − yk wird durch eine Norm eine Metrik definiert.
Ein Banach-Raum ist ein vollständiger normierter Raum.
Ein Banach-Verband ist ein Riesz-Raum mit der Verträglichkeitsbedingung
|x| ≤ |y| =⇒ kxk ≤ kyk
64
4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
4.3.3
Algebren
Ein linearer Raum mit der zusätzlichen multiplikativer Struktur einer Halbgruppe ist eine
Algebra.
Eine Banach-Algebra ist eine Algebra, deren Norm submultiplikativ ist, d.h., für die gilt
kf · gk ≤ kf k kgk
4.3.4
AM- und AL-Räume
Riesz-Räume sind abstrakte lineare Räume, deren Elemente nicht Funktionen auf einer Menge
sein müssen. Üblicherweise wird bei der Definition der Norm explizit verwendet, daß die Elemente Funktionen sind. Riesz-Räumen lassen sich auf abstrakte Weise normieren, indem man
die Ordnung dazu verwendet.
Ein positives Element 1 ∈ V+ heißt Einheit (oder Einheit bezüglich der Ordnung oder Ordnungseinheit um sie von einer algebraischen Einheit zu unterscheiden), wenn für alle f ∈ V ein
λ ∈ R+ mit −λ1 ≤ f ≤ λ1 existiert. Sind die Elemente von V Funktionen und ist V+ der Kegel
der positiven Funktionen, dann kann jede Funktion, die keine Nullstelle hat, eine Einheit sein.
Mit Hilfe der Einheit kann man Extrema und Norm (genannt Riesz-Norm) definieren. Es seien
gmax = inf{λ : λ1 ≥ g}
gmin = sup{λ : λ1 ≤ g}
die obere und untere Grenze von g und
kgk = inf{λ : λ1 ≥ |g|}
die Norm. (Es läßt sich leicht zeigen, daß das tatsächlich eine Norm ist.)
Es gelten folgende Eigenschaften:
• k 1k = 1
• Wenn V = C(Z), dann ist kak = supz (|a|/1).
• Aus der Norm-Konvergenz folgt die Ordnungs-Konvergenz
• ka − bk ≤ ε ⇐⇒ b − ε1 ≤ a ≤ b + ε1
Das verbindet die Norm mit der Ordnung.
Die Norm läßt sich mit dem Supremum vertauschen:
ka ∨ bk = max{kak, kbk}, a, b ∈ V+
Das ist auch die Definition eines AM-Raumes (ein normierter Riesz-Raum mit dieser Eigenschaft heißt AM-Raum).
Ein normierter Riesz-Raum, dessen Norm sich mit der Addition vertauschen läßt
ka + bk = kak + kbk, a, b ∈ V+
heißt AL-Raum. Es wird sich herausstellen, daß der duale Raum zu einem AM-Raum ein
AL-Raum ist.
Wir betrachten im weiteren stets den Raum C(Z) mit der Einheit 1 = 1(z) = 1. Da 1 auf
jedem topologischen Raum Z eine stetige Funktion ist, ist C(Z) ein AM-Raum mit Einheit und
die Riesz-Norm ist mit der üblichen sup-Norm identisch.
Da Z kompakt ist, gibt es für alle g ∈ C Punkte zmin , zmax ∈ Z mit g(zmin) = gmin und g(zmax ) =
gmax .
65
4.4 Lineare Dualitätstheorie
4.4
4.4.1
Lineare Dualitätstheorie
Duale Räume
• Definition: Es sei
n
∗
X =
x∗ : X −
→ R|x∗ (ax + by) = ax∗ (x) + bx∗ (y),
sup |x∗ (x)| < ∞, ∀x ∈ X : x∗ (x) = y ∗(x) =⇒ x∗ = y ∗
kxk=1
o
• Die x∗ heißen beschränkte, lineare Funktionale auf X. Sie sind als Abbildungen zwischen
topologischen Räumen stetig.
• Wir schreiben im weiteren x∗ (x) = hx∗ , xi = hx, x∗ i und nennen das duale Paarung oder
duales Produkt.
• X∗ wird durch die Norm: kx∗ kX∗ = supkxk=1 |hx∗ , xi| ein normierter Raum.
• Es gilt die Hölderungleichung: |hx∗ , xi| ≤ kx∗ k · kxk
• X∗ ist ein Banachraum.
Beweis der Vollständigkeit: Es sei (x∗n ) eine Cauchyfolge, d.h., für alle ε existieren n, m ≥
N(ε) mit kx∗n − x∗m k < ε. Aus
|hx, x∗n i − hx, x∗m i| = |hx, x∗n − x∗m i| ≤ kx∗n − x∗m k · kxk ≤ εkxk
folgt, daß die Folge (hx, x∗n i) eine Cauchyfolge reeller Zahlen ist. Da R vollständig ist,
existiert ein Grenzwert h(x) = lim hx, x∗n i. h(x) ist ein lineares beschränktes Funktional.
n→∞
Es existiert also ein x∗ mit h(x) = hx, x∗ i. Läßt man in der obigen Ungleichung m −
→∞
gehen, folgt
|hx, x∗n i − hx, x∗ i| = |hx, x∗n − x∗ i| ≤ εkxk
Betrachtet man nur x mit kxk = 1, erhält man
kx∗n − x∗ k = sup |hx∗n − x∗ , xi| ≤ ε
kxk=1
4.4.2
Die duale Ordnung
Ist X ein Verband mit Ordnungsrelation, wird auch in X∗ eine Ordnungsrelation durch
x∗ ≤ y ∗ ⇐⇒ hx, x∗ i ≤ hx, y ∗ i, ∀x ∈ X
induziert. Die Norm der Elemnte in X∗+ kann durch
kx∗ k = sup hx, x∗ i
x∈C[0,1]
Eine Teilmenge B eines Verbandes heißt Intervall, wenn mit zwei Elementen x und y mit x ≤ y
auch alle Elemente z mit x ≤ z ≤ y zu B gehören. Das spezielle Intervall das für gegebene reelle
66
4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Zahlen a < b durch die beiden Elemente a1 und b1 induziert wird, wird mit C[a,b] bezeichnet.
Weiter sei Cg = C[gmin ,gmax] .
Satz: Es ist x∗ ≤ y ∗ ⇐⇒ hx, x∗ i ≤ hx, y ∗i, ∀x ∈ C[0,1] .
Beweis: Die =⇒ Richtung ist offensichtlich. Zum Beweis der Umkehrung nehmen wir an, daß
x∗ ≤ y ∗, es aber ein x ∈ C+ existiert, sodaß hx, x∗ i > hx, y ∗i. Dann ist aber auch hx/xmin , x∗ i >
hx/xmin , y ∗i aber x/xmin ∈ C[0,1] .
Satz: Ist X ein AM-Raum, dann ist X∗ ein AL-Raum.
Beweis: Wir zeigen, daß für alle ε > 0 und alle x∗ , y ∗ ∈ X∗+ gilt: kx∗ + y ∗ k ≥ kx∗ k + ky ∗ k − 2ε.
Aus der Definition der Norm in X∗ über das Supremum folgt, daß es für alle ε > 0 solche
x, y ∈ X mit kxk = kyk = 1 gibt, daß hx, x∗ i ≥ kx∗ k − ε und hy, y ∗i ≥ ky ∗ k − ε. Es sei z = x ∨ y.
Dann ist kzk = kx ∨ yk = max{kxk, kyk} = 1
kx∗ + y ∗k ≥ hz, x∗ + y ∗ i = hz, x∗ i + hz, y ∗ i ≥ hx, x∗ i + hy, y ∗i ≥ kx∗ k + ky ∗k − 2ε
4.4.3
Beispiel: Endlich dimensionaler Raum
Einheitskugeln im R2
Beispiele dualer Räume (Rn mit der Lp -Norm)
Gewichtete Räume
4.4.4
Der Satz von Hahn-Banach
Der Satz von Hahn-Banach besagt sinngemäß, daß man beschränkte Funktionale, die auf Teilmengen definiert sind, auf den ganzen Raum fortsetzen kann, ohne daß sich die Norm des
Funktionals dadurch vergrößert. Wir gehen auf den Satz im Abschnitt zur “Konvexen Analysis” näher ein. Hier interessieren uns nur ein paar Folgerungen aus dem Satz (siehe DS I,
S.75ff). Im weiteren sei Y ein Unterraum aus X, y ∈ Y und x ∈ X.
• Es sei Y ⊂ X. Für alle y ∗ ∈ Y∗ existiert ein x∗ ∈ X∗ , sodaß kx∗ k = ky ∗ k und hy, x∗i =
hy, y ∗i für y ∈ Y.
• Es sei inf y∈Y ky − xk = d > 0. Dann existiert ein x∗ ∈ X∗ , sodaß hx, x∗ i = 1, hy, x∗i = 0,
kx∗ k = 1/d
• Y 6= X, x 6∈ Y, dann existiert ein x∗ ∈ X∗ , sodaß hx, x∗ i = 1, hy, x∗ i = 0
• x 6= 0, dann existiert ein x∗ ∈ X∗ , sodaß kx∗ k = 1, hx, x∗ i = kxk.
• kxk = supkx∗ k<1 |hx, x∗ i|
• hx, x∗ i = hy, x∗i, x∗ ∈ X∗ =⇒ x = y.
• x 6= 0, dann existiert ein x∗min ∈ X∗ , sodaß kx∗ k = 1, hx, x∗ i = xmin und ein x∗max ∈ X∗ ,
sodaß kx∗ k = 1, hx, x∗ i = xmax .
∗
Es ist klar, daß in X = C(Z) mit kompaktem Z gilt: x∗max = δzmax
. Falls Z nicht kompakt ist,
ist C(Z) nicht seperabel. Dann sichert der Satz von Hahn-Banach zwar auch die Existenz
eines solchen Funktionals, aber man kann es im allgemeinen nicht explizit angeben. Das
ist eine Folge davon, daß der Satz von Hahn-Banach im nicht seperablen Raum nur mit
dem Auswahlaxiom bewiesen werden kann.
67
4.5 Topologien in dualen Räumen
4.4.5
Der biduale Raum. Die kanonische Einbettung
• Definition: X∗∗ = (X∗ )∗
• Jedes x ∈ X induziert ein Dx ∈ X∗∗ : hx, x∗ i = hx∗ , Dxi. Aus kxk = supkx∗ k<1 |hx, x∗ i|
folgt
kxk = sup |hx, x∗ i| = sup |hx∗ , Dxi| = kDxk∗∗
kx∗ k=1
kx∗ k=1
Hieraus folgt, daß die kanonische Einbettung D : X −
→ DX ein isometrischer Isomorphismus ist.
• Ein linearer Raum, für den die kanonische Einbettung ein isometrischer Isomorphismus
zwischen X und X∗∗ ist, heißt reflexiv. Dann kann X∗∗ = X identifiziert werden.
4.5
Topologien in dualen Räumen
In linearen Räumen ist es sinnvoll, die Topologie dadurch zu definieren, daß man angibt, wann
eine Folge konvergiert. Neben der starken Konvergenz (oder Norm-Konvergenz) gibt es noch
weitere Konvergenzen.
4.5.1
Die schwache Topologie
w
→ x falls hx∗ , xα i −
→ hx∗ , xi, ∀x∗ ∈ X∗ .
• Definition mit Folgen (DS I, S.80): xα −
Beispiel: Punktweise Stetigkeit in C.
• Definition mit offenen Mengen: Eine Basis bilden die Mengen
ϕ−1 (U) ⊂ X, ϕ ∈ X∗ , U ∈ O(R)
(DS I, S.513, Operatortopologie):
• Bezeichnung: σ(Z, Z∗ )
• Vollständigkeit
• Kompaktheit
• schwache Kompaktheit
• Folgenkompaktheit (jede beschränkte Folge hat einen Häufungspunkt)
Äquivalenz von Kompaktheit und Folgenkompaktheit bez. schwacher Topologie (Satz von
Eberlein-Smulian)
• Eindeutigkeit von Grenzwerten
• kxkX = supkx∗ kX∗ =1 hx∗ , xi
• Die abgeschlossene Einheitskugel in X ist schwach kompakt gdw. X ist reflexiv.
• X mit schwacher Topologie ist Hausdorff und lokalkonvex.
• In lokalkonvexen topologischen Vektorräumen sind abgeschlossene und konvexe Teilmengen schwach abgeschlossen.
• Jede schwach konvergente Folge in einem normierten Vektorraum besitzt eine stark konvergente Folge von Konvexkombinationen der Folgenglieder (Satz von Mazur).
•
68
4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
4.5.2
Die vage Topologie
• Andere Bezeichnungen: *-schwache Konvergenz, simple convergency, pointwise convergency
• Definition mit offenen Mengen:
• Bezeichnung: ebenfalls σ(Z, Z∗ ) (dieselben offenen Mengen).
• Die abgeschlossene Einheitskugel in X∗ ist vage kompakt.
• Wenn X separabel ist, dann ist die vage Topologie in X∗ separabel aber nicht metrisierbar
(es sei denn, X ist endlich dimensional).
•
4.5.3
Bemerkungen
• Jeder Topologie entspricht auch ein Lösungsbegriff
• Wir wissen in C nicht nur, daß Grenzwerte in der Norm beschränkt sind, wie es normalerweise bei Vervollständigungen der Fall ist. Wir wissen auch, daß es stetige Funktionen
sind.
•
4.6
Approximation
4.6.1
Urison, Zerlegung der 1
4.6.2
Biorthogonale Basis. Approximation
4.6.3
Approximationssatz von Stone-Weierstraß
4.6.4
Algebraische und Verbandsideale
4.6.5
Spektralsatz von Freudenthal
Riesz-Räume bieten Voraussetzungen für eine abstrakte Maß- und Integrationstheorie. Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der Spektralsatz von Freudenthal. Dieser Satz garantiert für Riesz-Räume auf abstrakte Weise die Approximationseigenschaft von Funktionen
durch Treppenfunktionen. Der Satz von Radon-Nikodym ist ein Spezialfälle des Spektralsatzes
von Freudenthal.
4.7
Wissenswerte Kleinigkeiten
• Folgende Banachräume sind nicht separabel:
– Der Raum der beschränkten Folgen C(N) mit nicht kompaktem N.
– Der Raum der fast-periodischen Funktionen (Hilbertraum).
•
69
4.8 Maß- und Integrationstheorie
4.8
Maß- und Integrationstheorie
Wir rekapitulieren hier ein paar Definitionen und Sätze aus der Maßtheorie, beschränken uns
aber weitgehend auf Wahrscheinlichkeitsmaße. Das weitere ist DS I und Bauer entnommen.
Es sei Z eine Menge und 2Z die Menge der Teilmengen von Z.
4.8.1
Mengenalgebren
• Algebra Σ ⊂ 2Z: ∅, Z ∈ Σ, A ∈ Σ =⇒ Z\ ∈ Σ, Ai ∈ Σ =⇒
S
• σ-Algebra Σ ⊂ 2Z: analog, aber Ai ∈ Σ =⇒ ∞
i=1 Ai ∈ Σ.
Sn
i=1
Ai ∈ Σ
• (Z, Σ) heißt Meßraum
• A ∈ Σ heißt meßbare Menge.
• Eine Funktion f : (Z, Σ) −
→ (Z0 , Σ0 ) deren inverse meßbare Mengen auf meßbare Urbilder
abbildet heißt meßbare Funktion.
4.8.2
Wahrscheinlichkeits(maße)
• Eine σ-Algebra einer Grundmenge Z ist eine Teilmenge der Potenzmenge 2Z, die Z
enthält und abgeschlossen ist bezüglich der Komplementbildung und abzählbarer Vereinigungen.
• Ein Meßraum (Z, Σ) ist eine Grundmenge Z zusammen mit einer σ-Algebra Σ.
• Ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Meßraum (Z, Σ) ist eine Funktion µ : Σ −→
[0, 1] ⊂ R mit den Eigenschaften (Kolmogorowsche Axiome)
– µ(Z) = 1 (Normierung)
F
P∞
– µ( ∞
n=1 An ) =
n=1 µ(An ) (σ-Additivität)
• Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Z, Σ, µ) ist die Kombination von Grundmenge (Ergebnismenge), σ-Algebra (Ereignisalgebra) und Wahrscheinlichkeitsmaß.
• Ein Inhalt ist eine endlich additive Mengenfunktion.
• Ein Maß ist eine σ-additive Mengenfunktion.
Ist Z darüber hinaus ein topologischer Raum, ist es sinnvoll, die Struktur des topologischen
Raumes (System offener Mengen) mit der des Meßraumes (σ-Algebra) verträglich zu machen.
Außerdem kann man zusätzliche Bedingungen an die betrachteten Maße stellen.
• Eine Borelalgebra B(Z) in einem topologischen Raum Z ist die minimale σ-Algebra,
die alle abgeschlossenen Mengen enthält.
• Ein Maß µ heißt von innen regulär, wenn µ(B) = supK⊂B∈B µ(K) (hier sind K kompakte
Mengen)
• Ein Maß µ heißt von außen regulär, wenn µ(B) = inf U ⊃B∈B µ(U) (hier sind U offene
Mengen)
• Ein Maß µ heißt regulär, wenn es von innen und von außen regulär ist.
• Ein Maß µ heißt regulär, wenn (Definition in DS I) für alle A ∈ Σ und alle ε > 0 solche
F, G ∈ Σ existieren, daß G ⊃ intG ⊃ A ⊃ F ⊃ F und daß für alle Σ 3 C ⊂ G \ F gilt
|µ(C)| ≤ ε.
• Ein Maß heißt Radon-Maß, wenn es regulär und endlich ist.
70
4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
4.8.3
Das Lebesgueintegral
Gewisse Funktionen g sind bezüglich eines Maßes µ integrierbar (z.B. stetige Funktionen bezüglich
Radonmaßen). Der Ausdruck
Z
g(z)µ(dz)
Z
heißt Lebesgueintegral.
Das Lebesgueintegral unterscheidet sich im allgemeinen vom RiemannR
Stiltjes-Integral Z g(z)dµ(z). Hier ist µ(z) eine Funktion beschränkter Variation. Im Lebesgueintegral ist µ(B) eine additive Funktion auf einer Mengenalgebra.
4.8.4
Räume von Maßen
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Intergationstheorie (z.B. der Theorie der LebesgueRäume) wird ein Maß µ festgelegt. Das Tripel (Z, Σ, µ) heißt dann Wahrscheinlichkeits oder
Maßraum.
Häufig geht es gerade darum, ein spezielles Maß zu finden (z.B. als Lösung eine Problems).
Dann sollte man das Maß in einem Raum von Maßen suchen. Genau wie man verschiedene
Räume von Funktionen mit der sup-Norm definieren kann, die dann AM-Räume werden, kann
man Räume von Maßen betrachten, die mit der Variationsnorm und einer Ordnungsrelation
ein Raum von Maßen werden.
Ist eine Menge von Maßen (oder Inhalten) auf einem Meßraum (Z, Σ) gegeben, kann man lineare
Operationen einführen, die die Menge zu einem linearen Raum machen. Die Menge kan man
ordnen, mit folgender Ordnungsrelation:
µ ≥ ν ⇐⇒ µ(B) ≥ ν(B), B ∈ Σ
Diese Ordnungsrelation paßt zu folgenden Verbandsoperationen:
(µ ∧ ν)(A) = inf{µ(A ∩ B) + ν(A \ B) : B ∈ Σ}
(µ ∨ ν)(A) = sup{µ(A ∩ B) + ν(A \ B) : B ∈ Σ}
Weiter kann man den positivebn und negativen Teil eines Maßes definieren
ν + (A) = + sup{ν(B)|B ⊆ A, B ∈ A}
ν − (A) = − inf{ν(B)|B ⊆ A, B ∈ A}
und die Variationsnorm
kµk = µ+ (Z) + µ− (Z)
Das macht einen Raum von Maßen zu einem AL-Raum. Ein AL-Raum kann der duale eines
AM-Raumes sein, also eines Raumes mit sup-Norm (Räume beschränkter Funktionen).
In Abhängigkeit davon, was man für einen Raum beschränkter Funktionen betrachtet, erhält
man als dualen Raum einen speziellen Raum von Maßen (oder Inhalten). Diesen – im allgemeinen nichttrivialen Isomorphismus – zwischen Räumen von Maßen und den zu Räumen
beschränkter Funktionen dualen Räumen beschreibt
4.9 Räume von Maßen und beschränkten Funktionen
4.8.5
71
Der Rieszsche Darstellungssatz
Er lautet im allgemeinen so: Es sei X(Z) ein Banachraum vom beschränkten Funktionen auf
Z mit sup-Norm (ein AM-Raum) und X∗ sein dualer. Es sei R(Z, Σ) ein Banachraum von
beschränkten Maßen auf einer Mengenalgebra Σ mit der Variationsnorm (ein AL-Raum). Dann
gilt:
R
1) Jedes Maß µ aus R definiert durch hx, x∗µ i = Z x(z)µ(dz) ein lineares Funktional x∗µ auf X
und es gilt kx∗µ k = kµk (Norm im dualen Raum = Variationsnorm).
2) Jedes Funktional x∗ ∈ X∗ definiert ein Maß µx∗ ∈ R mit kx∗ k = kµx∗ k.
3) Ordnungrelationen stimmen überein:
hx, x∗ i ≥ 0, ∀ x ≥ 0
⇐⇒
µ(B) ≥ 0, ∀ B ∈ Σ
Der Rieszsche Darstellungssatz zeigt einen isometrischen Isomorphismus, der auch die Ordnungrelationen erhält.
Daß ein Maß über das Lebesgueintegral ein lineares Funktional definiert ist offensichtlich. Auch
die Identität der Ordnung ist einfach zu zeigen. Der eigentlich schwere Teil des Beweises ist der
zweite Punkt. Hierzu ist für ein gegebenes Funktional ein Maß zu konstruieren.
Im Fall, daß X = C(Z) mit kompaktem Z ist X∗ der Raum der Radonmaße R. Die Mengenalgebra auf Z ist die Borelalgebra B induziert durch die abgeschlossenen Mengen in Z.
Zu einem p ∈ C∗ kann man zwei Radonmaße µ∗ und µ∗ auf folgende Weise konstruieren:
µ∗ (K) = inf{hg, pi : g ≥ 1K }
µ∗ (A) = sup µ∗ (K)
K⊂A
µ∗ (A) =
inf µ∗ (U)
A⊂U
Im weiteren zeigt man, daß µ∗ (B) = µ∗ (B) für B ∈ B und das
Z
Z
hg, pi =
g(z)µ∗ (dz) =
g(z)µ∗ (dz), g ∈ C(Z)
Z
Z
Im weiteren zeigt man, daß µ∗ (B) = µ∗ (B) für B ∈ B und daß
Z
Z
hg, pi =
g(z)µ∗ (dz) =
g(z)µ∗ (dz), g ∈ C(Z)
Z
4.9
Z
Räume von Maßen und beschränkten Funktionen
Siehe DS I, S. 177: Die Räume ba, rba, ca, rca(Z, Σ, X), mit beliebigem Banachraum X.
4.9.1
ba(Z, Σ)
• Σ – Mengenalgebra
• Menge der beschränkten Inhalte (additive Mengenfunktionen).
• Bildet Banachverband (DS I, S.180)
4.9.2
ca(Z, Σ)
• Menge der beschränkten Maße (σ-additive Mengenfunktionen).
• Abgeschlossener Unterraum aus ba(Z, Σ).
• Bildet Banachverband (DS I, S.180)
72
4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
4.9.3
rba(Z, Σ)
• Z toplog. Raum, Σ – Borelalgebra gebildet aus F(Z)
• Menge der beschränkten regulären Inhalte.
• Abgeschlossener Unterraum aus ba(Z, Σ).
4.9.4
cba(Z, Σ)
• cba(Z, Σ) = rba(Z, Σ) ∩ ca(Z, Σ)
• Menge der beschränkten regulären Maße
• Abgeschlossener Unterraum in rba(Z, Σ) und in ca(Z, Σ) und deshalb – als Durchschintt
– ebenfalls abgeschlossen.
4.9.5
Räume beschränkter Funktionen
• B(Z) – Menge der beschränkten Funktionen. vollständig (DS I, S.280)
• B0 (Z, Σ) – Menge der beschränkten, meßbaren Funktionen f : Σ −
→ B(R)
• B(Z, Σ)
– Menge der gleichmäßigen Grenzwerte von endlichen Linearkombinationen von charakteristischen Funktionen von Mengen aus Σ
– B(Z, Σ) = B0 (Z, Σ)
– B(Z) = B(Z, 2Z) (DS I, S.281, aber nicht bewiesen.)
4.9.6
Übersicht. Dualität
ba(Z, Σ) = B ∗ (Z, Σ)
[
rba(Z, Σ(F)) = C ∗ (Z, O), falls Z normal, T4
[
cba(Z, Σ(F)) = C ∗ (Z, O), falls Z kompakt
4.9.7
Bemerkungen
• Der Unterschied zwischen Mengenalgebren und Topologien besteht darin, daß die Vereinigung einer beliebigen Menge offener Mengen offen ist. In einer σ-Algebra werden immer
nur abzählbare Vereinigungen und Durchschnitte betrachtet.
Im topologischen Raum wird die σ-Algebra aus den abgeschlossenen Mengen (also auch
aus den Punkten) gebildet. Akzeptiert man beliebige Vereinigungen, dann wäre jede Menge in der σ-Algebra enthalten.
• Geht man von einer σ-Algebra zur Definition der offenen Mengen aus, dann ist jeder
Punkt offen und damit auch jede Menge offen. D.h., man kann die meßbaren Funktionen
nicht als stetige Funktionen betrachten.
4.10 Konvexe Analysis
4.10
73
Konvexe Analysis
Die konvexe Analysis (auch Konvexitätstheorie genannt) untersucht geometrische Eigenschaften
von Mengen, Funktionen und Funktionalen in linearen Räumen.
4.10.1
Konvexe Mengen
Wir sprechen im Weiteren stets von normierten linearen Räumen. Lineare Räume sind lokal
konvex. Nicht normierte Räume können unangenehme Eigenschaften haben.
• Gewichte
sind n-Tupel von nichtnegativen reellen Zahlen, deren Summe 1 ist. αi ≥ 0,
Pn
α
=
1.
i=1 i
• Eine konvexe Kombination von Vektoren ist eine Linearkombination deren Koeffizienten Gewichte sind. Auch genannt Mittelwert.
• Die Verbindungstrecke zweier Vektoren x1 , x2 ist die Menge aller konvexen Kombinationen dieser beiden Vektoren. x1 x2
• Eine Teilmenge X heißt konvex, wenn sie mit zwei Vektoren auch ihre Verbindungstrecke
enthält.
• Satz: Eine konvexe Menge enthält alle konvexen Kombinationen aller ihrer Elemente.
• Die leere Menge zählt per Definition als konvex. Damit gilt uneingeschränkt der folgende
• Satz: Der Durchschnitt einer beliebigen Menge konvexer Mengen ist konvex.
• Die konvexe Hülle conv(A) einer Menge A ∈ X ist die kleinste konvexe Menge, die A
enthält.
• Satz: Die konvexe Hülle conv(A) enthält alle konvexen Kombinationen aus A.
• Triviale Gewichte sind Gewichte bei denen ein Element 1 ist.
• Die extremalen Elemente einer konvexe Menge A, ext(A) sind die Elemente der Menge A, die sich nur durch konvexe Kombinationen von Elementen aus A mit trivialen
Gewichten darstellen lassen.
?? Satz: Die konvexe Hülle einer Menge ist die konvexe Hülle ihrer extremalen Elemente.
• Den Begriff “konkave Menge” gibt es nicht.
• Beispiele
– Die extemalen Elemente eines konvexen Polyeders im Rn sind seine Eckpunkte.
– Die extemalen Elemente einer abgeschlossenen Kugel im Rn sind ihre Oberfläche.
Die Menge der extemalen Elemente einer offenen Kugel ist leer.
– Die konvexe Hülle einer Geraden und eines Punktes außerhalb der Geraden ist der
Streifen der durch die Gerade und die Gerade, die durch den Punkt geht und zur
ersten Geraden parallel ist, gebildet wird. Die zweite Gerade gehört – bis auf den
gegebenen Punkt – nicht zur konvexen Hülle.
– Die Einheitskugel {x : kxk = 1} ist konvex (falls X normiert ist).
– Jedes Intervall C[a,b] in C ist konvex.
– Siehe weitere Beispiele in http://de.wikipedia.org/wiki/Extremalpunkt
74
4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
4.10.2
Konvexe Funktionen
Mit dem Begriff der konvexen Menge lassen sich konvexe Funktionen definieren. Von zentraler Bedeutung in der Konvexitätstheorie sind Suprema (und Infima). Deshalb ist es sinnvoll,
Funktionen zu betrachten, die eine konvexe Menge in die erweiterten reellen Zahlen R =
R ∪ {+∞} ∪ {−∞} abbilden (nicht verwechseln mit der 1- oder 2-Punkt-Kompaktifizierung!).
Der Träger supp(F ) einer Funktion F : X −
→ R ist die Menge A ⊂ X, auf der F weder gleich
+∞ noch gleich −∞ ist.
• Eine Funktion F : X −
→ R heißt konvexe Funktion, wenn die Menge
OF = {(x, y) ∈ X × R | y ≥ F (x)} konvex ist.
Äquivalent: α1 F (x1 ) + α2 F (x2 ) ≥ F (α1 x1 + α2 x2 ).
• Satz (Jensensche Ungleichung): Für konvexe Funktionen gilt:
Die konvexe Kombination von Funktionswerten ist größer als der Funktionswert von der
konvexen Kombination.
Der Mittelwert der Funktionswerte ist größer als der Funktionwert des Mittelwertes.
Xn
i=1
αi F (xi ) ≥ F
Xn
i=1
αi xi
• Eine Funktion F heißt konkav, wenn −F konvex ist.
• Satz: Eine konvexe Funktion F ist stetig auf suppF .
• Die Funktion χA (x) = 0 für x ∈ A und +∞ sonst heißt charakteristische Funktion
der Konvexitätstheorie.
• Beispiele für konvexe Funktionen:
– Die konstante Funktion F (x) ≡ c
– Die Norm F (x) = kxk ist konvex, wenn X ein normierter Raum ist.
Die Dreiecksungleichung ist äquivalent zur Def. der Konvexität.
– Ist p ∈ X∗ , dann ist F (x) = hx, pi sowohl konvex als auch konkav.
– Satz: Die Summe zweier konvexer Funktionen ist konvex.
– Satz: Das Produkt einer konvexen Funktion mit einer positiven reellen Zahl ist
konvex.
– Satz: Das Supremum (im Riesz-Raum) zweier konvexer Funktionen ist konvex.
Das läßt sich am einfachsten mit der Gleichung OF ∩ OG = OF ∨G beweisen.
– Satz: χA ist konvex ⇐⇒ A ist konvex.
Diese Eigenschaft wird häufig verwendet um die Betrachtung zwischen konvexen
Mengen und konvexen Funktionen zu wechseln.
4.10.3
Der Satz von Hahn-Banach
Der Satz von Hahn-Banach stellt einen Zusammenhang zwischen linearen und konvexen Mengen
her. Da man zwischen der analytischen und geometrischen Betrachtungsweise wechseln kann,
gibt es den Satz in einer analytischen und einer geometrischen Formulierung.
Für die analytische Formulierung spielen Halbnormen die Rolle der konvexen Funktionen.