Terme und Formeln: Komplexe Zahlen

Terme und Formeln
Komplexe Zahlen
i⋅ϕ
e + 1= 0
Richard Feynman nannte diese Gleichung in seinem Notizbuch die „bemerkenswerteste Formel der
Welt“; andere nennen sie die schönste Formel der Mathematik. Die Eulersche Identität vereinigt die
beiden wichtigsten Konstanten e und π zusammen mit 0 und 1 in einer Formel. Leonhard Euler
(* 1707 in Basel; † 1783 in Sankt Petersburg) war einer der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten.
1. Die komplexen Zahlen
Die Gleichung x2 = – 4 ist in der Menge der reellen Zahlen nicht lösbar, weil keine reelle Zahl im
Quadrat negativ sein kann. Um trotzdem Lösungen zu erhalten, führt man die Menge der
komplexen Zahlen ein. Sie sind eine Erweiterung der reellen Zahlen und wird mit bezeichnet.
Mit den komplexen Zahlen kann man ebenso rechnen wie mit den reellen Zahlen. Ungleichungen
zwischen komplexen Zahlen sind jedoch nicht definiert.
Aufgabe 1: Stelle alle Zahlenmengen, die Du kennst, in einem Mengendiagramm dar.
Die imaginäre Einheit i
Unter der imaginären Einheit i versteht man eine Zahl, deren Quadrat –1 ist.
i2 = –1
Die Schreibweise i = −1 benützen wir nicht, da sie auf folgendes Problem führt:
−1 = i2 = i ⋅ i = −1 ⋅ −1 = ( −1) ⋅ ( −1) =
1 =1
Mit i wird nach den Rechengesetzen der reellen Zahlen gerechnet. i2 wird immer durch –1 ersetzt,
wo immer es auftritt. Ebenso ist (– i)2 = –1.
b⋅ i heisst imaginäre Zahl, wobei i die imaginäre Einheit ist und b eine reelle Zahl.
Gesetze bei der Termumformung
Addition
Multiplikation
a+b =b+a
a⋅b = b ⋅a
Assoziativgesetz
( a + b ) + c = a + b + c = a + (b + c )
( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ b ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )
Neutralelement
0
a+0 =a=0+a
1
Inverses Element
–a = –1·a
a + ( −a) = 0 = ( −a) + a
Kommutativgesetz
Distributivgesetz
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1¸ a a a ¸ 1
:a= ⋅
a ⋅ a1 = 1 =
1
a
1 ⋅a
a
a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
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Aufgabe 2: Betrachte folgende Beispiele. Überlege, welche Operationen ausgeführt wurden, d.h.
gib zu jedem Gleichheitszeichen an, nach welcher Regel dies erlaubt ist.
a) i + i = 1·i + 1·i = i·(1 + 1) = i·2 = 2·i
b) 2 ⋅ 4i = (2 ⋅ 4)i = 8i
c) i – i = 0
d) (3i)2 = (3i)· (3i) = (3·3)·(i·i) = 9·i2 = 9⋅ (–1) = – 9
e) i –
7
4
i = 1·i –
7
4
i = i·(1 –
7
4
) = i·(– 3 ) = – 3 i
4
4
f) m·i – n·i = i·m – i·n = i(m – n)
g) i3 = i2 ⋅ i = (–1) ⋅ i = – i
h) i4 = i2 ⋅ i2 = (–1) ⋅ (–1) = 1
i3
i) i– 1 =
1
i
=
i⋅i⋅i
i⋅i⋅i⋅i
=
j) i–2 =
1
=
1
−1
=–1
k)
i
i
2
i
i4
=
−i
1
=–i
=1
Aufgabe 3: Ergänze folgende Feststellungen:
a) Das Produkt einer reellen Zahl mit einer imaginären Zahl ergibt
eine ........................... Zahl.
b) Das Produkt zweier imaginärer Zahlen ergibt eine ......................... Zahl.
c) Ist bei einem Bruch genau der Zähler oder genau der Nenner imaginär, so ist der Wert
des Bruches ................................
d) Der Quotient zweier imaginärer Zahlen ergibt immer eine ....................... Zahl.
Aufgabe 4: Betrachte die Potenzen (von 1 bis 10) der imaginären Einheit i, d.h. i, i2, i3, ....
Was stellst Du fest? Gilt dasselbe auch für die negativen Potenzen?
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2. Rechnen mit komplexen Zahlen
Eine Verknüpfung der Form a + bi nennt man komplexe Zahl (Normalform).
Wobei a der Realteil und b der Imaginärteil der komplexen Zahl z = a + bi ist.
Wir schreiben: a = Re(a + b⋅i) und b = Im(a + b⋅i)
Wird der Realteil einer komplexen Zahl gleich Null (a = 0), so entsteht eine imaginäre Zahl. Wird
der Imaginärteil bei der komplexen Zahl gleich Null (b = 0), so entsteht eine reelle Zahl. Man
kann sagen, dass die reellen und die imaginären Zahlen Sonderfälle der komplexen Zahlen sind.
Beispiele
•
z = 2 + 3i
(komplexe Zahl)
•
z=2
(reelle Zahl)
•
z = 3i
(imaginäre Zahl)
Zwei komplexe Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen ihres imaginären Teiles unterscheiden,
heissen konjugiert komplexe Zahlen.
Das Zahlenpaar
z = a + bi ½
¾ heisst konjugiert komplex.
z = a − bi¿
Beispiel
2 + i und 2 – i sind zueinander konjugiert komplexe Zahlen.
Mit komplexen Zahlen wird wie mit reellen Zahlen gerechnet. Man beachte dabei stets, dass
i2 = –1 ist, und versuche, das Ergebnis wieder in die Form einer komplexen Zahl zu bringen.
Beispiele
1.
Den Realteil und den Imaginärteil einer komplexen
Zahl kann man nicht weiter zusammenfassen.
2.
Man addiert/subtrahiert zwei oder mehr komplexe
Zahlen, indem man ihre Realteile und Imaginärteile
getrennt addiert/subtrahiert.
3.
Komplexe Zahlen werden wie reelle Zahlen
multipliziert. Merke: Ersetze i2 immer durch –1.
4.
Komplexe Zahlen werden wie reelle Zahlen dividiert.
Ist der Nenner eine komplexe Zahl, so erweitert man
diese Zahl mit der konjugiert komplexen Zahl um
eine reelle Zahl im Nenner zu erhalten.
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3 + 4i
= 3 + 4i
(4 + i) + ( 3 – 2i)
= 4 + 3 + i – 2i
=7–i
(3 + 4i) ⋅ (2 + 3i)
= 6 + 9i + 8i + 12i2 = – 6 + 17i
4 + 12i
4 12i
= +
2
2
2
= 2 + 6i
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Aufgabe 5: Führe folgende Operationen aus, wobei I) z = 2 – 3i und II) z = a + bi:
b) Subtraktion: z − z =
a) Addition: z + z =
c) Multiplikation: z ⋅ z =
d)
Division:
z
=
z
Aufgabe 6: Ist die Aussage wahr oder falsch?
a) 2 ist eine reelle Zahl
c)
3 ist eine rationale Zahl
e) – 3 i ist eine imaginäre Zahl
b)
2 ist eine komplexe Zahl
d)
3 + 0.5i ist eine reelle Zahl
f)
π ist eine komplexe Zahl
Aufgabe 7: Berechne:
a) – i2
b)
(– i)2
c)
– i3
d)
(– i)3
e)
i8 – i10
Aufgabe 8: Grundoperationen
a) (8 + 2i) + (7 + 3i)
b)
(1 + 10i) – (5 – 13i)
c) (– 3 + i) – (– 2 – i)
d)
8 Ã 5i
e) 8i à 5i
f)
(– 7 – 12i)5i
g) (8 + 2i)(7 + 3i)
h)
(7 + i)2
i) 15i : 3
k)
(– 5 – 10i) : (– 5)
l) (– 40i) : (25i)
m) (– 12 + 15i) : (– 6i)
Aufgabe 9: Berechne mit z1 = 7 – 5i, z2 = 2 + i, z3 = – 5 + 2i, z4 = – 10 – 3i, z5 = 8
und z6 = 8i.
a) z5 – (z6 – z1)
b)
z12 + z22
c)
Re(z1 + 4z2)
d) z2(z4 – z6)
e)
Im(2z2 + 3z3)
f)
z1z3z4
Aufgabe 10: Finde alle Paare von konjugierten Zahlen in dieser Liste:
z1 = 4 + 2i,
z2 = 2 + 4i,
z3 = – 2 + 4i,
z4 = – 4 + 2i,
z5 = – 4 – 2i,
z6 = – 2 – 4i,
z7 = 2 – 4i,
z8 = 4 – 2i.
Aufgabe 11: Vereinfache:
5 + 3i
a)
b)
2 + 4i
56 + 33i
12 − 5i
c)
13 − 5i
1− i
Aufgabe 12: Zur Zahl z sollen –z, z und z–1 berechnet werden:
a)
z = 12 – 5i
b)
z=
5
i
3
c)
z=3+i
Aufgabe 13: Berechne für z1 = 5 + 2i, z2 = – 3 + 5i:
§z ·
a) Re ¨ 1 ¸
© z2 ¹
c) Im
z2
z1 − z 2
b)
Re(z1)
Re(z 2 )
d)
Im(z 2 )
Im(z1) + Re(z1)
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Aufgabe 14: Löse die Gleichungen in der Grundmenge :
a)
d)
g)
z2 = 4
2z2 + 32 = 0
81z2 + 25 = 0
z2 = – 4
z2 + 4z + 5 = 0
b)
e)
c)
f)
z2 – 4z + 13 = 0
z2 + 4z – 5 = 0
Aufgabe 15: Löse in den Grundmengen , ', , und .
a)
b)
c)
(z2 – 5)(z2 + 5) = 0
(2z2 + 32)(2z2 – 32) = 0
(z – 2)(z + 3)(3z – 2)(z2 – 2)(z2 + 1) = 0
Aufgabe 16: Es sei j eine Zahl, für die 0 Ã j ≡ 1 gilt. Schreibe den Term (0 + 0) Ã j auf zwei
verschiedene Arten und zeige so, dass ein Widerspruch entsteht.
Aufgabe 17: Löse das Gleichungssystem:
a) 3z1 + 2z2 = 7 + i
b) iÃz1 + z2 + (2 + i)z3 = –7
z1 + 2z2 = 6 – 5i
5z1 – 3z2 = – 1 + 8i
5z2 – z3 = 13 – 17i
Häufig werden Summen mithilfe des Summenzeichens
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 + 10 =
¦
(Sigma) dargestellt. Zum Beispiel:
10
¦n
n=1
1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+ .... =
∞
1
¦2
k =0
k
∏
Produkte können mit dem Produktzeichen
(Pi) geschrieben werden. Zum Beispiel:
∞
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ ... = ∏ n
n=1
19
24 ⋅ 25 ⋅ 26 ⋅ 27 ⋅ ... ⋅ 218 ⋅ 219 = ∏ 2x
x =4
Aufgabe 18: Berechne:
a) i11 + i12 + i13 + i14
b)
25
¦i
n
n=1
c) i21 Ã i22 Ã i23 Ã i24
d)
10
∏i
n
n=1
Aufgabe 19: Für welche Zahlen z ∈ gilt:
a)
z =z
d)
g)
− z = −z
e)
Im(z) + Im(–z) = 0
b)
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–z = z
c)
z–1 = z
Re(z) = Re( z )
f)
Im(z) = Im( z )
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3. Graphische Darstellung der komplexen Zahlen
Da jede komplexe Zahl z = x + yÃi als ein geordnetes Paar (x | y) aufgefasst werden kann, können
wir solche Zahlen in einer xy – Ebene darstellen. Man nennt eine solche Ebene
Gausssche1 Zahlenebene oder auch Ebene der komplexen Zahlen. Für die Koordinaten des
Punktes gilt x = Re(z) und y = Im(z). Auf diese Weise entspricht jeder komplexen Zahl ein Punkt der
Zahlenebene und umgekehrt jedem Punkt genau eine Zahl. Die reellen Zahlen sind dann Punkte
der x – Achse, die auch Achse der reellen Zahlen heisst, die imaginären Zahlen Punkte der y-Achse
(Achse der Imaginärzahlen).
Die Zahlenebene ist eine Erweiterung des Begriffes der Zahlengeraden, die zur Veranschaulichung
der reellen Zahlen diente.
Aufgrund der Lage der komplexen Zahlen in der Ebene ist es nicht möglich, die Zeichen < oder >
zu gebrauchen. Man kann auch nicht von positiven oder negativen komplexen Zahlen sprechen.
Oft ist es günstiger, komplexe Zahlen als Vektoren der Gaussschen Zahlenebene aufzufassen.
Jeder komplexen Zahl entspricht dann genau der Vektor, der im Nullpunkt beginnt und zum Punkt
z führt.
Summe
z1 + z2
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Differenz
z1 – z2 = z1 + (–z2)
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Den Abstand des Punktes z vom Nullpunkt können wir dann mithilfe des Betrages berechnen.
Betrag einer komplexen Zahl z = a + b⋅i:
|z| =
a2 + b2 .
Aufgabe 20: Berechne den Betrag der beiden komplexen Zahlen z1 = – 5 + 12i und z2 = – 5 –
12i. Welche Schlussfolgerungen kannst Du daraus ziehen?
Übungen
Aufgabe 21: Zeichne die zu den Zahlen gehörenden Punkte und verbinde aufeinander folgende
Punkte geradlinig.
z1 = 1 + 2i, z2 = – 2 + i, z3 = – 2 – 2i, z4 = 2 – i,
Aufgabe 22: Zeichne ein beliebiges Polygon in die Gausssche Zahlenebene und bestimme danach
die Eckpunkte.
Aufgabe 23: Stelle die in beschreibender Form gegebene Zahlenmenge graphisch dar:
a) {z ∈ | Re(z) = 1}
b) {z ∈ | (1 ≤ Re(z) ≤ 5) ∩ (1 ≤ Im(z) ≤ 3)}
c) {z ∈ | Re(z) ≤ 0}
d) {z ∈ | –2 ≤ Im(z) ≤ 0}
e) {z ∈ | Re(z) Ã Im(z) ≤ 0}
f) {z ∈ | |Im(z)| ≤ 2}
g) {z ∈ | Re(z) + Im(z) = 1}
h) {z ∈ | Re(z) ≥ Im(z)}
Aufgabe 24: Gib von den zugehörigen Zahlenmengen eine beschreibende Form an:
a) Parallele zur reellen Achse, die durch den Punkt P(5 + 6i) geht.
b) Parallele zur imaginären Achse, die durch den Punkt Q(–3 + 5i) geht.
c) die reelle Achse bzw. die imaginäre Achse.
d) Strecke mit den Endpunkten A(2i) und B(4i).
e) Inneres (ohne Rand) des Rechteckes P(– 8 – i) Q(– 3 – i) R(– 3 + 3i) S(– 8 + 3i).
f) 1. Quadrant (ohne Rand).
Aufgabe 25: Gegeben sind die Zahlen z1 = 2 + i, z2 = – 1 + 3i, z3 = 2i, z4 = 4, z5 = 3 – 6i und
z6 = – 4 – 2i. Konstruiere in einem Koordinatensystem unter Benutzung von Vektoren die
folgenden Zahlen und kontrolliere nachträglich die Konstruktionsergebnisse durch Rechnung.
a) a = z5 + z6
b) b = z1 – z2
c) c = 3z3 – 1.5z4 + 0.5z5
d) d = 2(z5 + z3) – 3(0.5z4 + z6)
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4. Polarform der komplexen Zahlen
Bisher haben wir komplexe Zahlen in der Normalform z = a + b⋅i dargestellt. Ebenso gut ist es
möglich (und wie wir im Weiteren sehen werden, sehr sinnvoll), z durch r und ϕ festzulegen.
Definition:
• r⋅(cosϕ + i⋅sinϕ) heisst Polardarstellung der komplexen Zahl z.
• r = z heisst Betrag der komplexen Zahl z.
• Der Winkel ϕ, um den z im Gegenuhrzeigersinn aus der x–Achse herausgedreht wird, heisst
Argument der komplexen Zahl z.
Mithilfe der Trigonometrie kann man die Normalform in die Polarform und umgekehrt
Umrechnungsformeln für z = a + b⋅i = r⋅(cosϕ + i⋅sinϕ) umzurechnen:
Normalform:
a = r⋅cosϕ
Polarform:
r = a2 + b2
tan ϕ =
b = r⋅sinϕ
b
a
Vorsicht: Bei der Ermittlung von ϕ musst Du auf den Quadranten achten.
Beispiel: z = –1 – i Ÿ tan ϕ =
−1
= 1.
−1
Da z im dritten Quadranten liegt, ist ϕ = 225° und nicht
45°, wie der Taschenrechner anzeigt.
Schreibweise: Häufig schreibt man für r⋅(cosϕ + i⋅sinϕ) die Abkürzung r⋅cisϕ.
Beispiel: 3⋅(cos235° + i⋅sin235°) = 3⋅cis235°.
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5. Übungen
Aufgabe 26: Verwandle in die Normalform:
a) 4cis90°
f) 2cis(–45°)
b)
3cis0°
π
g)
4cis( /2)
c)
2.5cis270°
d)
h)
3π
6cis( /4)
i)
2cis60°
e)
3 cis329° j)
4cis(– 120°)
4 3 cis300°
Aufgabe 27: Gib die Polarform an:
a) 2 + 2i
b)
– 2 + 2i
c)
– 2 – 2i
d)
2 – 2i
e) 3
f)
3i
g)
–3
h)
– 3i
Aufgabe 28: Gib die Polarform an:
a) 2 + 2 3 i
b)
–2+2 3i
c)
–6 2 –6 2i
d)
2 2 –2 2i
Aufgabe 29: Gib die Polarform an:
a) 4 + 2i
b)
– 4 + 2i
c)
– 1 + 3i
d)
1 – 3i
e) 2.3 + 5.1i
f)
– 1.7 + 7.1i
g)
– 12 – 23i
h)
2.7 – 2.9i
arg(z1/z3)
d)
arg(z12 ⋅ z2)
Aufgabe 30: z1 = 3 + 6i, z2 = – 1 + 2i, z3 = –12i
a) arg(z1 – z2)
b)
|z1 + 2iz2|
c)
Aufgabe 31: Stelle die in beschreibender Form gegebene Zahlenmenge graphisch dar:
a) {z ∈ | |z| = 1}
b) {z ∈ | |z| ≥
5}
c) {z ∈ | arg(z) = 45°}
d) {z ∈ | |z| = 3 und 180° ≤ arg(z) ≤ 270° }
e) {z ∈ | 2 ≤ |z| ≤ 4 und –60° ≤ arg(z) ≤ –30°}
f) {z ∈ | arg(z) = 30° und Re(z) ≤ 2}
g) {z ∈ | |z| ≤ 2 und Im(z) ≥ 1}
Aufgabe 32: Gib von der zugehörigen Zahlenmenge eine beschreibende Form an:
a) Kreislinie mit dem Zentrum M(0) und dem Radius 5.
b) Kreisbogen mit Zentrum M(0) und den Endpunkten A( 3 + i) und B(1 +
3 i).
c) Gerade, die durch die Punkte A(– 1 – i) und B(1 + i) geht.
d) Strecke mit den Endpunkten A(– 3 + 3i) und B(– 3 3 + 9i).
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Ein gewichtiger Vorteil der Polardarstellung komplexer Zahlen besteht darin, dass die Multiplikation
und die Division in dieser Darstellung sehr einfach ausgeführt werden können:
Für z1 = r1⋅cisϕ1 und z2 = r2⋅cisϕ2 gelten folgende Aussagen:
Produkt
Quotient
z1 r1
= cis ( ϕ1 − ϕ2 )
z 2 r2
z1⋅z2 = r1⋅r2⋅cis(ϕ1 + ϕ2)
Potenz
zn = rn⋅cis(n⋅ϕ)
Diese Aussagen können mithilfe der Additionstheoreme für cos(α ± β) sowie sin(α ± β) bewiesen
werden.
Aufgabe 33: Stelle die Zahlen als Punkte der Zahlenebene dar ( n ‰ ` ):
a) z = cis(n⋅90°)
b)
z = cis(n⋅60°)
c)
z = cis(30° + n⋅120°)
d) z = cis(160° + n⋅45°)
e)
z = cis
2¸n¸ Q
5
f)
 Q 2 ¸ n ¸ Q ­¬
z = cis žž ­
žŸ 9
9 ­®
Aufgabe 34: Gib das Ergebnis in Polarform an:
a) cis90° ⋅ cis100° ⋅ cis110° ⋅ cis 120°
b) (cis172° : cis284°) ⋅ cis227°
c) (cis25°)–8 ⋅ (cis35°)4
d) (cis12°)15 ⋅ (cis15°)12
e) (cos15° + i⋅sin15°) ⋅ (cos60° + i⋅sin60°)
f)
cos 210n
i ¸ sin210n
cos 150n
i ¸ sin150n
Aufgabe 35: Gib zur Zahl z die konjugierte Zahl z und die Gegenzahl –z an:
a) 4⋅cis60°
b)
1
/3⋅cis(–150°)
c)
8⋅cis100°
Aufgabe 36: Vereinfache den Term:
a) cisφ ⋅ cis(– φ)
b)
cisφ : cis(– φ)
c) cisφ + cis (– φ)
d)
cisφ – cis(– φ)
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