Teil A 4 version 21.04.12
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6. Elastizität und Materialeigenschaften Wir haben gesehen, dass wir Bindungen mit Federn beschreiben können. Jetzt wollen wir sehen, wie wir einen Block eines Materials beschreiben müssen wenn eine äussere Kraft auf ihn wirkt. Denken Sie an das Skalengesetz für Knochen aus der dritten Woche. 1 Diese Verformung hängt von den Eigenschaften des Materials ab und verschiedene Parameter beeinflussen das Verhalten. Für die einzelnen Verformungen werden wir Elastizitätsmodule definieren. Wir werden uns aber schlussendlich dafür interessieren, inwiefern diese Verformungen zusammenhängen. 2 Wechselwirkung zwischen zwei Atomen im Festkörper – harmonische Näherung gute Näherung für kleine Verschiebungen 3 Um wieviel muss die Kraft ändern für eine gleiche Ausdehnung wenn zwei gleiche Federn parallel sind? A B C die halbe die gleiche die doppelte 4 Um wieviel muss die Kraft ändern für eine gleiche Ausdehnung wenn zwei gleiche Federn hintereinander sind? A B C die halbe die gleiche die doppelte 5 Was passiert wenn wir eine Kraft ausüben? Wie wir gesehen haben, können wir Bindungen als Ferdern beschreiben. a0 + a Für jede Feder haben wir eine Kraft f = k a. Die Anordnung und Menge der Federn entscheidet aber darüber, welche Kraft auf einen Block welche Ausdehnung ergibt. 6 Wenn wir verschiedene Federn nebeneinander ausziehen, brauchen wir eine der Anzahl entsprechend höhere Kraft. Wir haben A/a02 Federn nebeneinander, also bei einer totale Kraft von F erhalten wir eine Auslenkung jeder Feder von a = F a02 /(k A). 7 Wenn wir Federn hintereinander haben, kann die gleiche Kraft eine entsprechend grössere Auslenkung haben. Mit L/a0 Federn hintereinander ergibt sich L = F L a0 / (k A) oder F/A = E L/L Dies ist das Hook’sche Gesetz und E heisst das Young Modul oder das Elastizitätsmodul 8 Welche Einheit hat eine mechanische Spannung? A B C D E Pa V N J/m2 N/m2 9 Welche Einheit hat eine Deformation? A B C D E m inch keine N/m N/m2 10 Was lässt sich aus einer SpannungsDehnungskurve lernen? Spannung t x y Fliessgrenze: Grenze des elastischen Verhaltens Lineares Regime Zugfestigkeit : maximale Spannung der das Material widersteht ~Hook’sches Gesetz Dehnbarkeit =E Young Modul Dehnung 11 Typische Werte für E 12 Weitere Eigenschaften, bei zyklischem Be- und Entlasten Energieaufnahme bzw. Rückfederungsvermögen Belastung Spannung Entlastung Dehnung 13 Was sagt das Integral unter der Spannungs-Dehnungskurve? A B C D die Deformationsenergie die Plastizitätsgrenze die Linearitätsgrenze den Elastizitätsmodul 14 Es sollte also eine lineare Beziehung zwischen der Spannung und der Dehnung geben. Dies ist nicht immer der Fall 15 Spannungskurve der Aorta eines Kaninchens (nichtlineares Verhalten) 16 Einzelne Fibrin Fäden sind ebenfalls nichtlinear 17 Das Poisson-Verhältnis gibt an welche Querkontraktion auftritt bei einer Zugspannung. = x / y Dies lässt sich durch Querverstrebungen illustrieren. 18 Wenn in alle drei Richtungen gedrückt wird, betrachten wir das Kompressionsmodul – als Antwort auf einen Druck K = E / 3(1 – 2) 19 Wie messen Sie ein Elastizitätsmodul? A B C D Steigung einer Dehnungskurve über die Kompressibilität die Maximale Dehnung über die Bindungsenergie der Atome 20 Hat ein Gas ein Kompressionsmodul? A B C D ja nein das hängt von der Temperatur ab das hängt von der Geschwindigkeit ab 21 Verschiedene Arten eine Kraft auf ein Material auszuüben führen zu unterschiedlichen Verformungen 22 Welches der beiden Papiere ist länger? A B C das obere das untere gar keins 23 Lange Moleküle sind sehr verwickelt durch thermische Anregung… Wir wollen uns also nochmals die Biegung anschauen (wie bei Knochen) 24 Quantitativ müssen wir uns die Krümmung des Moleküls anschauen Die entsprechende Biegeenergie ist dann mit 25 Welcher Stab (mit gleich viel Masse) lässt sich leichter biegen? A B C Der kompakte Zylinder beide gleich Das dünnwandige Rohr 26 Wenn diese Biegeenergie von der thermischen Bewegung der Umgebung kommen kann (erinnern Sie sich: <Ekin> = 3/2 kBT) dann ist ein Molekül nur bis zu einer gewissen Länge fest. Diese Länge heisst Persistenzlänge. 27 Tubulin ist sehr steif wegen seiner Dicke 28 Actin ist fast 100mal flexibler 29 Ein Random-Walk kann zeigen, welche Struktur ein Polymer annimmt 30 Wie weit kommt ein “random walker” im Mittel nach N Schritten der Länge L? A B C D L N*L N1/2*L N2*L 31 Wenn wir an dem Molekül ziehen, dann verändern wir diese Verteilung, was bedeutet, dass wir gegen die thermische Bewegung Arbeit leisten müssen. Die aufzuwendende Energie ist: kBT ln(p) = kBT r2/2Rg2 Je stärker gezogen wird, desto mehr kommt die Elastizität des Moleküls zum Tragen, was eine steigende SpannungsDehnungs Kurve gibt. 32 Die anfängliche Federkonstante ist c = kBT/Rg2 , wie wir bei der Behandlung der Entropie sehen werden. D.h. ein Gummi, der aus langkettigen Molekülen besteht wird mit zunehmender Temperatur steifer. 33 Elastizität von einzelnen Biomolekülen Die Elastizität lässt sich sogar von einzelnen Molekülen untersuchen – auch hier kommen häufig keine linearen Beziehungen zum Vorschein. Diese Nicht-linearitäten lassen sich verstehen und haben einen biologischen Sinn. Der Vorteil von Einzelmolekülexperimenten ist, dass keine Unsicherheit aus verschiedenen Molekülen entsteht. 34 Manipulation findet über ein “makroskopisches” Teilchen statt DNA oder anderes Molekül f Fixiertes kolloidales Teilchen (opt. Pinzette, Wand,…) Optische Pinzette Mikropipette Magnetisches Teilchen 35 Wie binde ich ein Einzelmolekül an ein Teilchen? -DNA 48´500 bp L0 = 16 m (Plasmid) sticky ends Erhitzen auf 75° C abkühlen functionalisierte Oligomere hybridisieren nick L1 L2 ligation L1 biotin L2 Streptavidin (an der Oberfläche gebunden) 36 Streching of DNA 37 Frame 1-15 16 17-37 38 39-61 62-75 76 77-95 96-98 99 100-109 110-115 116-130 131-134 135 136-142 143-170 171 Action Beads (out of focus) move toward left in buffer flow A bead is caught in the laser trap The pipette sucks a bead out of the trap A different bead is caught in the trap Pipette is moved back and forth to "fish" for DNA The presence of DNA is indicated by force pulling trapped bead upstream The flow is stopped Overstretching the DNA beyond B-form shows a nearly constant force (~65pN) although the DNA length is changing When the length exceeds 170% B-form, the force increases >80 pN The laser trap is turned off The DNA tether contracts, first by reverting to B-form and then by entropic elasticity. The tethered bead moves by Brownian motion Flow is started and the trapped bead feels a drag force leftward Overstretching the DNA in a flow produces a smaller net force on the trapped bead due to hydrodynamic drag The molecule reaches 170% B-form length, the force rises Laser trap is shut off DNA contracts to B-form Overstretching DNA in flow DNA breaks 38 Damit erhält man eine Kraft-Ausdehnungs Kurve 39 Das passiert auch in Zellen… Rekombinations enzym RecA: RecA um DNA dsDNA wird um 60% ausgezogen bei Bindung RecA-DNA Komplex naked plasmid DNA 40 A. Stasiak et al., J. Mol. Biol. 151, 557 (1981) Sehen wir uns nochmals DNA in Lösung an… l r <r> = 0 Mittlerer quadratischer End-zu-End Vektor: Persistenzlänge 50nm <r2> = 2 n l2 = 2 s l = 6 Rg2 Kontourlänge 5cm, Gyrations-Radius Random walk n Schritte der Länge l Kann das die Verpackung der DNA in der Zelle erklären? 41 Typische Grösse eines DNA Genoms Organismus Basenpaare (Mb) Länge (m) Viruses Polyoma -Phage 0.005 0.05 1,7 17 T2-Phage 0.17 56 Vaccinia 0.2 65 Bakterien Mycoplasma 0.760 260 E. coli 4 1360 yeast 13.5 4600 Drosophila 165 56000 Eukaryoten Mensch 2900 990000 42 Nicht mehr gültig für höhere Organismen! Der Mensch hat nur ~30000 Gene 43 Chromatin: (DNA im Kern verpacken) Histone H2, H3, H4 10nm H1 Nukleosom NB: Der Biegeradius von DNA im Nukleosom R ~ 5nm ist etwa 10mal kleiner als der thermische Biegeradius, d.h. die Persistenz44 länge -> starke Bindung Zurück zu den Spannungs-Dehnungs Kurven – Wieso sind viele Materialien nichtlinear? 45 Nehmen wir als Beispiel ein Platzen der Arterie 10/100K/y 46 Wie bläst sich ein langer Ballon auf? A B C von hinten gleichmässig von vorne 47 Nehmen wir als Modell einen Ballon. Wie hängt der Druck mit der Spannung der Haut zusammen? 48 Die Krümmung der Ballonoberfläche braucht eine Kraft (wie das Biegen eines Balkens). Diese wird durch den Druck ausgeglichen 49 Was passiert wenn wir zwei Ballone miteinander verbinden die unterschiedlich gross sind? 50 Was passiert wenn wir die Verbindung zwischen den Blasen öffnen? A B C Nichts die kleine verschwindet die Blasen werden gleich gross 51 Diese Frage hat viel damit zu tun was in kollabierenden Lungen passiert – am Ende der Lungen befinden sich Alveoli, die wie kleine Blasen wirken 52 Aufgrund des LaplaceDrucks würde man erwarten, dass die Alveoli immer instabil sind – dies wird vom Körper korrigiert mittels Tensiden die in der Lunge ausgeschieden werden und so die Oberflächenspannung anpassen. 53 Bei zu früh geborenen Babys kann es vorkommen, dass diese Regulation noch nicht funktioniert – die Gefahr von Lungenkollaps wird sehr real… 2 1 2 2 p2 p1 r1 r2 54 Noch eine Anwendung: Elektrophorese - Ze Die Coulomb Kraft führt zur + Bewegung und wird durch Reibung ausgeglichen Die elektrophoretische Mobilität ist 55 Typical setup • „Slab“ Gel hat versciedene Bahnen • Gelmaterial - Polyacrylamide - Agarose - Microchip Gute Auftrennung! 56 Aber: Die Mobilität eines geladenen Stabs in einem viskosen Medium sollte unabhängig von der Länge sein - v + --------------- v ~ ZeE/f = LE/f = E/8 f ~ 8L ln(d/L) ~1 Um Auftrennung zu erhalten müssen wir die aufgewickelte 57 Struktur der Moleküle mit in Betracht ziehen Reptation einer fluoreszenten DNA in konzentrierter Lösung 58 In einem Gel ist die DNA nur entlang ihrer Länge beweglich. In diesem Schlauch führt sie eine Diffusion aus. Reptation 1D-Diffusion im Schlauch : Reptationszeit = Zeit um aus dem Schlauch zu kommen rep ~ L2/2D1 = 8L3/2kBT Die entsprechende Bewegung in 3 Dimensionen hängt von der Verschlaufung des Moleküls ab. Die Mobilität ist durch die Diffusivität gegeben (Einstein): D3 ~ Rg2 / rep ~ L-2 Gyrationsradius Rg ~ L 1/2 59 Was würde passieren wenn das Molekül frei im Gel beweglich wäre? A B C es gäbe keine Auftrennung das Gleiche wie im Gel die langen Stücke kämen weiter 60 Hat eine Flüssigkeit ein Schermodul? A B C D ja nein das hängt von der Temperatur ab das hängt von der Geschwindigkeit ab 61 Was passiert wenn Viskosität und Elastizität zusammenkommen? t Mechanische Anregung t JtG(t Elastischer Körper t Viskose Flüssigkeit Jt t Kombination 62 Viskoelastizität Die meisten Polymere und Biomaterielien sind NichtNewtonsch 63 Ein letzter Punkt… Metalle und ähnliches werden nicht stark verformt bevor sie brechen. Biomaterialien und Polymere schon! Das müssten wir in der Definition von Spannung und Dehnung mitnehmen: 64
