(A) (a) Gegeben sei das Modell X ∼ Hyp(N = 50, s,n

Prof. Dr. Norbert Gaffke
Dipl.-Math. Tobias Mielke
Dipl.-Wirtsch.-Math. Maryna Prus
Wintersemester 2010/11
Übungen zur Vorlesung “Mathematische Statistik”
Blatt 4
Aufgabe 10 (A)
(a) Gegeben sei das Modell X ∼ Hyp(N = 50, s , n = 10) , s ∈ {0, 1, . . . , 50} der Parameter. Berechnen Sie den gleichmäßig optimalen α-Signifikanztest für das Testproblem H0 : s ≤ 3 gg. H1 : s > 3 für die beiden Niveaus α = 0.1 und α = 0.05.
(b) Gegeben sei das Modell X1 , . . . , Xn ∼ R(0, ϑ) u.i.v. , ϑ ∈ (0 , ∞) der Parameter.
Finden Sie (möglichst explizit) den gleichmäßig optimalen α-Signifikanztest für das
Testproblem H0 : ϑ ≤ ϑ0 gg. H1 : ϑ > ϑ0 , (α ∈ (0 , 1) und ϑ0 ∈ (0 , ∞) gegeben).
(c) Die Lebensdauern [in 1000 h] von 12 elektronischen Bauteilen wurden gemessen:
1.540 6.202 2.136 0.744 3.196 1.119 0.442 3.228 0.232 2.613 0.893 2.624
Wir legen das Exponentialverteilungsmodell (12 u.i.v. exponential-verteilte ZV’en)
zu Grunde. Ergeben die Daten Signifikanz zum 5%-Niveau für H1 : ϑ < 3 , wobei
ϑ den Erwartungswert der Exponentialverteilung bezeichnet ?
Aufgabe 11 (C)
(a) Sei X ∼ N(0, 1) , definiert auf einem W-Raum (Ω, A, P).
Zeigen Sie:
st
(∗)
|X + a| ≤ |X + b| , wenn a, b ∈ R und |a| ≤ |b|.
Sei außerdem Y eine positive reelle Zufallsvariable, definiert auf demselben WRaum (Ω, A, P), und X, Y seien stochastisch unabhängig. Zeigen Sie:
st
|X + a|/Y ≤ |X + b|/Y , wenn a, b ∈ R und |a| ≤ |b|.
(∗)
(∗)
st
Für zwei reelle Zufallsvariablen Z1 und Z2 steht “ Z1 ≤ Z2 ” für die entsprechende
Relation der Verteilungen von Z1 und Z2 .
(b) Seien n ∈ N und X eine Beta-( n2 , n2 )-verteilte Zufallsvariable mit Werten in (0 , 1).
√
X − 12
Zeigen Sie: Die Zufallsvariable Y := n p
ist tn -verteilt.
X(1 − X)
(c) Für n ∈ N bezeichne fn die Lebesgue-Dichte der tn -Verteilung und f die LebesgueDichte der Standard-Normalverteilung. Zeigen Sie:
lim fn (x) = f (x) ∀ x ∈ R.
n→∞
Aufgabe 12 (B)
Wir betrachten das vereinfachte Normalverteilungsmodell: X1 , . . . , Xn ∼ N(β, σ02 ) u.i.v. ,
β ∈ R der Parameter, σ0 > 0 gegeben, und das “zwei-seitige” Testproblem
H0 : β ∈ [β01 , β02 ] gg. H1 : β 6∈ [β01 , β02 ] , wobei β01 , β02 ∈ R, β01 < β02 gegeben sind.
Betrachte den Test
½
√ |x − β 0 |
> ∗
1
∗
n
c , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,
ϕ (x) :=
, falls
≤
0
σ0
P
wobei x = n1 ni=1 xi , β 0 := 12 (β01 + β02 ) und c∗ > 0 definiert ist durch:
Φ(∆0 + c∗ ) − Φ(∆0 − c∗ ) = 1 − α ,
wobei ∆0 :=
√ β02 − β01
n
.
2σ0
Zeigen Sie, dass ϕ∗ ein unverfälschter α-Signifikanztest für das Testproblem ist, d.h.:
Eβ (ϕ∗ ) ≤ α ∀ β ∈ [β01 , β02 ] , und Eβ (ϕ∗ ) ≥ α ∀ β ∈ R \ [β01 , β02 ] .