4. ¨Ubungswoche

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4. Übungswoche
Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen (Fortsetzung)
[ 3 ] Es sei a > 1 eine Konstante. Betrachten Sie die Funktion

 1
1≤x≤a
x
f (x) =
 0
sonst
a) Für welches a ist f (x) eine Dichtefunktion?
b) Bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X < 2); P (X > 2.5) und P (1.5 < X ≤ 2.7).
d) Die folgenden Abbildungen zeigen die Dichte- und die Verteilungsfunktion. Überprüfen Sie
Ihre in c) berechneten Wahrscheinlichkeiten auf graphische Weise mit Hilfe der Verteilungsfunktion und skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeiten als Flächen unterhalb der Dichtefunktion.
Verteilungsfunktion
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
F(t)
y = f(x)
Dichtefunktion
1.0
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
0.0
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
x
t
2
[ 4 ] Betrachten Sie die Dichtefunktion der Exponentialverteilung mit dem Parameter λ > 0:

 λe−λx
f (x) =

0
Verwenden Sie im folgenden wiederholt, dass
Z∞
x≥0
sonst
xn e−ax dx =
n!
an+1
.
0
a) Zeigen Sie, dass dies tatsächlich eine Dichtefunktion ist.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert EX, das zweite Moment EX 2 und die Varianz.
c) Bestimmen Sie die Schiefe und die Kurtosis. Verwenden Sie hierzu die binomischen Formeln:
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
(a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4
Wenden Sie diese Formeln und den obigen Hinweis auf (X − µ)3 bzw. (X − µ)4 an.
[ 5 ] Die folgende Abbildung zeigt die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen X.
Verteilungsfunktion
1.0
0.9
0.8
0.7
F(t)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
t
4
5
6
3
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion PX (x).
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten
i) P (2 ≤ X ≤ 4); P (1 < X < 4) und P (1 ≤ X < 3)
ii) P (X > 2) und P (X ≥ 2).
c) Bestimmen Sie E(X), E(X 2 ), Var(X) und die Standardabweichung von X.
[ 6 ] Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen gilt immer: 0 ≤ (
P (x) ≤ 1 für alle x.
)
b) Für
P die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen gilt immer (
xP (x) = 1.
)
c) Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen wird durch eine Wahrscheinlichkeits- (
funktion beschrieben.
)
d) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P (x) einer diskreten Zufallsvariablen gibt für jeden (
möglichen Wert der Zufallsvariablen X die Wahrscheinlichkeit P (X ≤ x) an.
)
e) Für die Verteilungsfunktion
FX (t) einer diskreten Zufallsvariablen X gilt für alle t ∈ R: (
X
FX (t) =
P (X = x)
)
f) Für
X die Wahrscheinlichkeitsfunktion PX (x) einer diskreten Zufallsvariablen X gilt (
PX (x) = 1.
)
g) P (X = x) > 0 für alle reellen Zahlen x.
(
)
h) Die Verteilungsfunktion F (t) einer Zufallsvariablen kann mit wachsendem t nicht klei- (
ner werden.
)
i) Für alle Zufallsvariablen gilt P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b)
(
)
j) Es gibt nur vier diskrete Verteilungen.
(
)
k) Die Begriffe Dichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsfunktion werden synonym verwen- (
det, da man mit beiden Wahrscheinlichkeiten berechnen kann.
)
x
x≤t
x
4
[ 7 ] Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist im diskreten Fall der Schwerpunkt der (
Wahrscheinlichkeitsfunktion und im stetigen Fall der Schwerpunkt der Dichtefunktion.
)
b) Kann eine diskrete Zufallsvariable mindestens zwei Werte mit positiver Wahrschein- (
lichkeit annehmen, so ist ihre Varianz positiv.
)
c) Ist X eine stetige Zufallsvariable mit Werten im Intervall (0, 1), so gilt dann auch (
E(X) ∈ (0, 1).
)
d) Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen ist die Quadratwurzel aus der Varianz (
und damit ein Maß für die Breite einer Verteilung.
)
e) Für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X gilt E(X) ≥ 0.
(
)
f) Die Varianz einer Zufallsvariablen X ist die erwartete quadratische Abweichung der (
Zufallsvariablen X vom Erwartungswert E(X).
)
g) Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X kann als Mittelwert von sehr vielen (
Realisationen der Zufallsvariablen X interpretiert werden und damit ist E(X) selbst
eine Zufallsvariable.
)
h) Bezeichnet man mit µ den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X, so gilt immer (
E(X − µ) = 0.
)
i) Der Erwartungswert kann als Schwerpunkt der Verteilungsfunktion interpretiert wer- (
den.
)
j) Die Varianz macht Aussagen über die Breite einer Verteilung.
(
)
k) Den Erwartungswert einer Zufallsvariablen erhält man, indem man die Dichtefunktion (
über ihren gesamten Definitionsbereich integriert.
)
l) Jede beliebige reelle Zahl kann als Erwartungswert oder als Varianz einer Zufallsvaria- (
blen auftreten.
)
5
[ 8 ] Schiefe, Kurtosis, Value at Risk
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Schiefe der Verteilung einer Zufallsvariablen X ist E[(X − µ)4 ].
(
)
(
)
(
)
d) Die Schiefe einer Zufallsvariablen X ist definiert als α3 = E(X − µ) , wobei µ = EX (
ist.
)
e) Die Schiefe einer normalverteilten Zufallsvariablen ist 0, da die Dichtefunktion symme- (
trisch um µ = EX ist.
)
f) Die Kurtosis einer normalverteilten Zufallsvariablen ist 1.
(
)
g) Verteilungen von Aktienrenditen sind in der Regel flacher als eine Normalverteilung, (
d.h. die Kurtosis ist kleiner als 3.
)
h) Falls der 95%-Value at Risk einer Tagesrendite −1.87% ist, ist die Fläche unterhalb (
der Dichtefunktion links von −1.87 gleich 5%, d.h. im Durchschnitt ist mein Verlust
nur in 5% der Fälle größer als 1.87%.
)
i) Mit Value at Risk ist immer der 95%-Value at Risk gemeint.
)
E[(X − µ)3 ]
.
σ3
c) Falls α3 > 0, ist die Verteilung rechts schief und links steil.
b) Die Schiefe einer Zufallsvariablen ist α3 =
3
(
Alte Klausuraufgaben
[ 9] SS09K1 Die folgenden Aussagen befassen sich mit Kennzahlen (Momenten) von Zufallsvariablen.
a) Den Erwartungswert einer Zufallsvariablen erhält man, indem man die Dichtefunktion
über ihren gesamten Definitionsbereich integriert.
b) Der Erwartungswert kann als Schwerpunkt der Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion
aufgefasst werden.
c) Jede beliebige reelle Zahl kann als Erwartungswert oder als Varianz einer Zufallsvariablen
auftreten.
d) Die Schiefe einer Zufallsvariablen X ist definiert als α3 = E(X − µ)3 , wobei µ = EX ist.
e) Die Schiefe einer normalverteilten Zufallsvariablen ist 0, da die Dichtefunktion symmetrisch um µ = EX ist.
Kreuzen Sie jetzt genau eine der folgenden fünf Möglichkeiten an:
WAHR sind die folgenden Aussagen:
a,e
(
b,c
)
(
b,d
)
(
b,e
)
(
d,e
)
(
)
6
[ 10 ] Punkte: 4 II07S1
Die folgende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X, die die
Werte 1, 2, 3, 4, 5 annehmen kann.
Wahrscheinlichkeitsfunktion von X
0.30
Wahrscheinlichkeiten
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
1
2
3
4
5
x
Stellen Sie die Verteilungsfunktion F (t) auf und geben Sie den Erwartungswert E(X) an.
F (t) =
E(X) =
7
Kapitel 5: Diskrete Verteilungen
[ 1 ] In der Klausur zur Vorlesung Fortgeschrittene Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
im Februar 2009 waren von 24 Studierenden zwei Linkshänder. Laut einem Eintrag bei Wikipedia
beträgt der Anteil π der Linkshänder in der Bevölkerung 10 bis 15%. Beantworten Sie alle folgenden
Fragen jeweils für π = 0.10 und π = 0.15.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter 24 zufällig ausgewählten Personen genau 2 Linkshänder anzutreffen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter 24 zufällig ausgewählten Personen höchstens 2
Linkshänder anzutreffen?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter 24 zufällig ausgewählten Personen mindestens 2
Linkshänder anzutreffen?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter 24 zufällig ausgewählten Personen mehr als 2
Linkshänder anzutreffen?
[ 2 ] Ein Unternehmen weiß aus langjähriger Erfahrung, dass bei der Herstellung eines bestimmten Produktes 10% mindestens einen Fehler aufweisen. Das Unternehmen führt umfangreiche
Qualitätsverbesserungsmaßnahmen durch. Anschließend wird eine Stichprobe der Größe n = 100
untersucht. Es werden 6 fehlerhafte Produkte gefunden. Das Unternehmen stellt sich die Frage, ob
die Qualität nachhaltig verbessert wurde. Ein Statistiker gibt zu bedenken, dass solch ein Stichprobenergebnis auch bei unveränderter Qualität möglich ist und liefert die folgenden Berechnungen
mit R:
> round(dbinom(0:10,100,0.1),digits=3)
[1] 0.000 0.000 0.002 0.006 0.016 0.034 0.060 0.089 0.115 0.130 0.132
a) Welche Verteilung besitzt die Anzahl der fehlerhaften Produkte in einer Stichprobe der Größe
100, wenn sich die Qualität nicht verändert hat?
b) Wie groß ist der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung bei unveränderter
Qualität?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 6, höchstens 6, weniger als 10, mehr als 10 fehlerhafte Produkte zu erhalten, wenn die Qualtät unverändert ist?
8
[ 3 ] Bernoulli-Verteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Bernoulli-Verteilung ist eine diskrete Verteilung mit nur zwei möglichen Werten.
(
)
b) Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung.
(
)
c) Für die Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter π gilt E(X) = Var(X) = π.
(
)
1 gilt immer: (
)
e) Für die Verteilungsfunktion F (t) einer Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen X mit Pa- (
rameter π gilt: F (t) = P (X = 0) = 1 − π für 0 ≤ t < 1.
)
d) Für die Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter 0
E(X) > Var(X) = π(1 − π).
<
π
<
[ 4 ] Binomialverteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Ist X ∼ b(10, π)-verteilt, so kann X nur die Werte 0, 1, 2, . . . , 10 annehmen.
(
)
b) Eine binomialverteilte Zufallsvariable kann als Anzahl der Erfolge in n unabhängigen (
Bernoulli-Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit π aufgefasst werden.
)
c) Für die Anzahl X der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen gilt immer 0 < (
X < n.
)
d) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung mit den Parametern n und (
π = 0.5 ist symmetrisch.
)
e) Für große n und nicht zu kleine bzw. nicht zu große π ähnelt die Wahrscheinlichkeits- (
funktion der Binomialverteilung der Dichtefunktion einer Normalverteilung.
)
f) Die Dichtefunktion der in d) angesprochenen Normalverteilung hat die Parameter µ = (
σ 2 = nπ.
)
g) Der Erwartungswert der Binomialverteilung ist nπ, die Varianz ist n(1 − π).
(
)
h) Die Anzahl der Erfolge in n abhängigen oder unabhängigen Versuchen ist stets b(n, π) (
verteilt.
)