4. ¨Ubungswoche

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4. Übungswoche - Lösungen
Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzeichen (Fortsetzung)
[ 5 ] a) PX (3) = 0.2.

0





0.2



 0.5
b) FX (t) =

0.7





0.9



1.0
c) i) 0.5; 0.7; 0.5; 0.7
t<1
1≤t<2
2≤t<3
3≤t<4
4≤t<5
5≤t
ii) 0.8; 0.3
d) E(X) = 2.7; E(X 2 ) = 8.9
1.268858 ≈ 1.269
[ 6 ] a) a = e ≈ 2.718282
b) FX (t) =
Dichtefunktion




0
t≤1
ln(t)



√
1.61 =
c) 0.693; 0.084; 0.588
t≥e
Verteilungsfunktion
1.0
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
Standardabweichung:
1≤t≤e
1
F(t)
y = f(x)
Varianz: 8.9 − 2.72 = 1.61
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
0.0
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
x
0.693
t
2
Verteilungsfunktion
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
F(t)
y = f(x)
Dichtefunktion
1.0
0.5
0.084
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
0.0
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
x
t
Verteilungsfunktion
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
F(t)
y = f(x)
Dichtefunktion
1.0
0.5
0.588
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
0.0
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
x
t
[ 7 ] a) 7
b) i) 0.43 ii) 0.57 c) i) 0.11; 0.34; 0.75; 0.81; 0.96 ii) 0.96; 0.78; 0.33; 0.19; 0.10
iii) 0.47; 0.62; 0.31 d) 2.2; 2.8; 3.4; 3.8 e) 14.1; 12.0; 10.7; 9.8 f) α = 0.05 : k1 = 1.7; k2 =
16.0. α = 0.10 : k1 = 2.2; k2 = 14.1. α = 0.20 : k1 = 2.8; k2 = 12.0.
3
[ 8 ] Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist im diskreten Fall der Schwerpunkt der ( × )
Wahrscheinlichkeitsfunktion und im stetigen Fall der Schwerpunkt der Dichtefunktion.
b) Kann eine diskrete Zufallsvariable mindestens zwei Werte mit positiver Wahrschein- ( × )
lichkeit annehmen, so ist ihre Varianz positiv.
c) Ist X eine stetige Zufallsvariable mit Werten im Intervall (0, 1), so gilt dann auch ( × )
E(X) ∈ (0, 1).
d) Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen ist die Quadratwurzel aus der Varianz ( × )
und damit ein Maß für die Breite einer Verteilung.
e) Für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X gilt E(X) ≥ 0.
(
)
f) Die Varianz einer Zufallsvariablen X ist die erwartete quadratische Abweichung der ( × )
Zufallsvariablen X vom Erwartungswert E(X).
g) Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X kann als Mittelwert von sehr vielen (
Realisationen der Zufallsvariablen X interpretiert werden und damit ist E(X) selbst
eine Zufallsvariable.
)
h) Bezeichnet man mit µ den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X, so gilt immer ( × )
E(X − µ) = 0.
i) Der Erwartungswert kann als Schwerpunkt der Verteilungsfunktion interpretiert wer- (
den.
j) Die Varianz macht Aussagen über die Breite einer Verteilung.
)
(×)
k) Jede beliebige reelle Zahl kann als Erwartungswert oder als Varianz einer Zufallsvaria- (
blen auftreten.
)
[ 9 ] Schiefe, Kurtosis, Value at Risk
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Schiefe der Verteilung einer Zufallsvariablen X ist E[(X − µ)4 ].
(
b) Die Schiefe einer Zufallsvariablen ist α3 =
(×)
E[(X − µ)3 ]
.
σ3
c) Falls α3 > 0, ist die Verteilung rechts schief und links steil.
)
(×)
d) Die Schiefe einer Zufallsvariablen X ist definiert als α3 = E(X − µ)3 , wobei µ = EX (
ist.
)
e) Die Schiefe einer normalverteilten Zufallsvariablen ist 0, da die Dichtefunktion symme- ( × )
trisch um µ = EX ist.
f) Die Kurtosis einer normalverteilten Zufallsvariablen ist 1.
(
)
g) Verteilungen von Aktienrenditen sind in der Regel flacher als eine Normalverteilung, (
d.h. die Kurtosis ist kleiner als 3.
)
h) Falls der 95%-Value at Risk einer Tagesrendite −1.87% ist, ist die Fläche unterhalb ( × )
der Dichtefunktion links von −1.87 gleich 5%, d.h. im Durchschnitt ist mein Verlust
nur in 5% der Fälle größer als 1.87%.
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Kapitel 5: Diskrete Verteilungen
[ 1 ] 59; 60; 62; 63
[ 2 ] a) 1/10
b) i) 0.011, ii) 0.349, iii) 0.194, iv) 0.387
c) i) 0.001, ii) 0.001215 ≈ 0.001, iii) 0.01, iv) 0.001, v) 0.001
d) 1, 0.9, 0.949
[3]
a) Da das Ziehen ohne Zurücklegen erfolgt, ist die hypergeometrische Verteilung geeignet, um die
Frage zu beantworten.
b) Ne = 1, Nm = 19, n = 14
1
19
1
19
·
·
0 14
0 5
1 · (19 · 18 · 17 · 16 · 15)/(1 · 2 · 3 · 4 · 5)
c) P (X = 0) =
=
=
=
(20 · 19 · 18 · 17 · 16 · 15)/(1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6)
20
20
14
6
6 = 0.3
20
d) dhyper(0,1,19,14)
[ 4 ] Bernoulli-Verteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Bernoulli-Verteilung ist eine diskrete Verteilung mit nur zwei möglichen Werten.
b) Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung.
c) Für die Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter π gilt E(X) = Var(X) = π.
d) Für die Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter 0
E(X) > Var(X) = π(1 − π).
<
π
<
(×)
(×)
(
)
1 gilt immer: ( × )
e) Für die Verteilungsfunktion F (t) einer Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen X mit Pa- ( × )
rameter π gilt: F (t) = P (X = 0) = 1 − π für 0 ≤ t < 1.
5
[ 5 ] Binomialverteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Ist X ∼ b(10, π)-verteilt, so kann X nur die Werte 0, 1, 2, . . . , 10 annehmen.
(×)
b) Eine binomialverteilte Zufallsvariable kann als Anzahl der Erfolge in n unabhängigen ( × )
Bernoulli-Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit π aufgefasst werden.
c) Für die Anzahl X der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen gilt immer 0 < (
X < n.
)
d) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung mit den Parametern n und ( × )
π = 0.5 ist symmetrisch.
e) Für große n und nicht zu kleine bzw. nicht zu große π ähnelt die Wahrscheinlichkeits- ( × )
funktion der Binomialverteilung der Dichtefunktion einer Normalverteilung.
f) Die Dichtefunktion der in d) angesprochenen Normalverteilung hat die Parameter µ = (
σ 2 = nπ.
)
g) Der Erwartungswert der Binomialverteilung ist nπ, die Varianz ist n(1 − π).
(
)
h) Die Anzahl der Erfolge in n abhängigen oder unabhängigen Versuchen ist stets b(n, π) (
verteilt.
)