Reelle Skalarfelder

Reelle Skalarfelder
☞ Lagrangedichte
L =
1
1
(∂µ φ)(∂µ φ) − m2 φ2
2
2
Reelle Skalarfelder
☞ Lagrangedichte
L =
1
1
(∂µ φ)(∂µ φ) − m2 φ2
2
2
☞ Kanonisches Impulsfeld
π =
∂L
= φ̇
∂φ̇
Reelle Skalarfelder
☞ Lagrangedichte
L =
1
1
(∂µ φ)(∂µ φ) − m2 φ2
2
2
☞ Kanonisches Impulsfeld
π =
∂L
= φ̇
∂φ̇
☞ Hamiltondichte
H = π φ̇ − L =
o
1n 2 ~ 2
π + (∇φ) + m2 φ2
2
Kanonische Quantisierung reeller Skalarfelder
☞ Übergang zu Feldoperatoren
φ(x), π(x) → φ(x), π(x)
Kanonische Quantisierung reeller Skalarfelder
☞ Übergang zu Feldoperatoren
φ(x), π(x) → φ(x), π(x)
☞ Kommutator–Relationen
φ(t, ~x), π(t, ~y) = i δ(3) (~x − ~y)
gleichzeitige
Kommutatoren
Kanonische Quantisierung reeller Skalarfelder
☞ Übergang zu Feldoperatoren
φ(x), π(x) → φ(x), π(x)
☞ Kommutator–Relationen
φ(t, ~x), π(t, ~y) = i δ(3) (~x − ~y)
π(t, ~x), π(t′ , ~y) = 0
φ(t, ~x), φ(t′ , ~y) = 0
Bewegungsgleichungen & Fourier–Zerlegung
☞ Bewegungsgleichungen
+ m2 φ(x) = 0
Bewegungsgleichungen & Fourier–Zerlegung
☞ Bewegungsgleichungen
+ m2 φ(x) = 0
☞ Fourier–Zerlegung des klassischen Feldes
φ(x) =
=
Z
o
n
d4 k
δ(k2 − m2 ) θ(k0 ) · a(k) e−i k·x + a∗ (k) ei k·x
4
(2π)
Z
o
d3 k 1 n
−i k·x
∗
i k·x
a(k)
e
+
a
(k)
e
(2π)3 2ωk
Bewegungsgleichungen & Fourier–Zerlegung
☞ Bewegungsgleichungen
+ m2 φ(x) = 0
☞ Fourier–Zerlegung des klassischen Feldes
φ(x) =
=
Z
o
n
d4 k
δ(k2 − m2 ) θ(k0 ) · a(k) e−i k·x + a∗ (k) ei k·x
4
(2π)
Z
o
d3 k 1 n
−i k·x
∗
i k·x
a(k)
e
+
a
(k)
e
(2π)3 2ωk
☞ Invariantes Phasenraumelement
3
4
f := d k 1 = d k δ(k2 − m2 ) θ(k0 )
dk
(2π)3 2ωk
(2π)4
Moden–Zerlegung der Feldoperatoren
☞ Feldoperatoren
φ(x) =
=
Z
n
o
d4 k
2
2
−i k·x
†
i k·x
δ(k
−
m
)
θ(k
)
·
a(k)
e
+
a
(k)
e
0
(2π)4
Z
o
d3 k 1 n
−i k·x
†
i k·x
a(k)
e
+
a
(k)
e
(2π)3 2ωk
Moden–Zerlegung der Feldoperatoren
☞ Feldoperatoren
φ(x) =
=
Z
n
o
d4 k
2
2
−i k·x
†
i k·x
δ(k
−
m
)
θ(k
)
·
a(k)
e
+
a
(k)
e
0
(2π)4
Z
o
d3 k 1 n
−i k·x
†
i k·x
a(k)
e
+
a
(k)
e
(2π)3 2ωk
☞ Konjugiertes Impulsfeld
Z
o
i
d3 k n
−i k·x
†
i k·x
π(x) = −
a(k)
e
−
a
(k)
e
2 (2π)3
Moden–Zerlegung der Feldoperatoren
☞ Feldoperatoren
φ(x) =
=
Z
n
o
d4 k
2
2
−i k·x
†
i k·x
δ(k
−
m
)
θ(k
)
·
a(k)
e
+
a
(k)
e
0
(2π)4
Z
o
d3 k 1 n
−i k·x
†
i k·x
a(k)
e
+
a
(k)
e
(2π)3 2ωk
☞ Konjugiertes Impulsfeld
Z
o
i
d3 k n
−i k·x
†
i k·x
π(x) = −
a(k)
e
−
a
(k)
e
2 (2π)3
➥ Kommutator–Relationen der ‘Koeffizienten’
a(k), a† (k′ ) = (2π)3 2ωk δ(3) ~k − ~k′
Moden–Zerlegung der Feldoperatoren
☞ Feldoperatoren
φ(x) =
=
Z
n
o
d4 k
2
2
−i k·x
†
i k·x
δ(k
−
m
)
θ(k
)
·
a(k)
e
+
a
(k)
e
0
(2π)4
Z
o
d3 k 1 n
−i k·x
†
i k·x
a(k)
e
+
a
(k)
e
(2π)3 2ωk
☞ Konjugiertes Impulsfeld
Z
o
i
d3 k n
−i k·x
†
i k·x
π(x) = −
a(k)
e
−
a
(k)
e
2 (2π)3
➥ Kommutator–Relationen der ‘Koeffizienten’
a(k), a† (k′ ) = (2π)3 2ωk δ(3) ~k − ~k′
a(k)
➥ Interpretation:
a† (k)
=
b
VernichtungsErzeugungs-
-Operatoren
Energie & Impuls
☞ Hamiltonoperator.
Z
f ωk a† (k) a(k)
dk
H =
Energie & Impuls
☞ Hamiltonoperator.
Z
f ωk a† (k) a(k)
dk
H =
☞ Impulsoperator
Z
Z
f ki a† (k) a(k)
dk
Pi =
d3 x T 0i =
Energie & Impuls
☞ Hamiltonoperator.
Z
f ωk a† (k) a(k)
dk
H =
☞ Impulsoperator
Z
Z
f ki a† (k) a(k)
dk
Pi =
d3 x T 0i =
☞ Viererimpuls
Pµ =
Z
f kµ a† (k)a(k)
dk
Teilchenzahldichte
☞ Operator derTeilchenzahldichte
N(k) = a† (k) a(k)
Teilchenzahldichte
☞ Operator derTeilchenzahldichte
N(k) = a† (k) a(k)
µ † P , a (k) = kµ a† (k)
Komplexe Skalarfelder (I)
☞ Ausgangspunkt: Zwei reelle Skalarfelder φ1 und φ2
Komplexe Skalarfelder (I)
☞ Ausgangspunkt: Zwei reelle Skalarfelder φ1 und φ2
➥ Komplexe Linearkombinationen
φ =
φ∗
=
1
√ (φ1 + i φ2 )
2
1
√ (φ1 − i φ2 )
2
Komplexe Skalarfelder (I)
☞ Ausgangspunkt: Zwei reelle Skalarfelder φ1 und φ2
➥ Komplexe Linearkombinationen
φ =
φ∗
=
1
√ (φ1 + i φ2 )
2
1
√ (φ1 − i φ2 )
2
➥ Lagrangedichte
L = (∂µ φ† ) (∂µ φ) − m2 φ† φ
Komplexe Skalarfelder (I)
☞ Ausgangspunkt: Zwei reelle Skalarfelder φ1 und φ2
➥ Komplexe Linearkombinationen
φ =
φ∗
=
1
√ (φ1 + i φ2 )
2
1
√ (φ1 − i φ2 )
2
➥ Lagrangedichte
L = (∂µ φ† ) (∂µ φ) − m2 φ† φ
☞ Feldoperatoren
Z
n
o
f ai (k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
φi =
dk
i
Komplexe Skalarfelder (II)
☞ Vertauschungsrelationen
h
i
ai (k), a†j (k′ ) = (2π)3 2ωk δ(3) ~k − ~k ′ δij
Komplexe Skalarfelder (II)
☞ Vertauschungsrelationen
h
i
ai (k), a†j (k′ ) = (2π)3 2ωk δ(3) ~k − ~k ′ δij
☞ Neue Operatoren
1 a(k) = √ a1 (k) + i a2 (k)
2
1 b(k) = √ a1 (k) − i a2 (k)
2
i
1 h
a† (k) = √ a†1 (k) − i a†2 (k)
2
i
h
1
b† (k) = √ a†1 (k) + i a†2 (k)
2
Komplexe Skalarfelder (II)
☞ Vertauschungsrelationen
h
i
ai (k), a†j (k′ ) = (2π)3 2ωk δ(3) ~k − ~k ′ δij
☞ Neue Operatoren
1 a(k) = √ a1 (k) + i a2 (k)
2
1 b(k) = √ a1 (k) − i a2 (k)
2
i
1 h
a† (k) = √ a†1 (k) − i a†2 (k)
2
i
h
1
b† (k) = √ a†1 (k) + i a†2 (k)
2
➥ Vertauschungsrelationen
a(k), a† (k′ ) =
h
i
b(k), b† (k′ ) =
(2π)3 2ωk δ(3) ~k − ~k ′
(2π)3 2ωk δ(3) ~k − ~k ′
Komplexe Skalarfelder (III)
☞ Neue Operatoren
φ(x) =
φ† (x) =
Z
Z
n
o
f a(k) e−i k·x + b† (k) ei k·x
dk
n
o
f b(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
dk
Komplexe Skalarfelder (III)
☞ Neue Operatoren
φ(x) =
φ† (x) =
Z
Z
n
o
f a(k) e−i k·x + b† (k) ei k·x
dk
n
o
f b(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
dk
➥ Konjugierte Impulsfelder
∂L π =
= φ̇† und
∂φ̇ φ→φ etc.
∂L π =
= φ̇
∂φ̇∗ φ→φ etc.
†
Komplexe Skalarfelder (III)
☞ Neue Operatoren
φ(x) =
φ† (x) =
Z
Z
n
o
f a(k) e−i k·x + b† (k) ei k·x
dk
n
o
f b(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
dk
➥ Konjugierte Impulsfelder
∂L π =
= φ̇† und
∂φ̇ φ→φ etc.
➥ Vertauschungsrelationen
φ(t, ~x), π(t, ~y)
φ† (t, ~x), π† (t, ~y)
=
=
∂L π =
= φ̇
∂φ̇∗ φ→φ etc.
i δ(3) ~x − ~y
i δ(3) ~x − ~y
†
Erhaltene U(1) Ladung (I)
☞ U(1) Symmetrie
φ → ei α φ
und
φ∗ → e−i α φ∗
Erhaltene U(1) Ladung (I)
☞ U(1) Symmetrie
φ → ei α φ
und
φ∗ → e−i α φ∗
➥ Noether–Strom
n
o
jµ (x) = i φ† (x) ∂µ φ(x) − ∂µ φ† (x) φ(x)
Erhaltene U(1) Ladung (I)
☞ U(1) Symmetrie
φ → ei α φ
und
φ∗ → e−i α φ∗
➥ Noether–Strom
n
o
jµ (x) = i φ† (x) ∂µ φ(x) − ∂µ φ† (x) φ(x)
☞ Übergang zu Operatoren
jµ
=
Z
f
dk
Z
f ′ k′
dk
µ
n
′
b(k) a(k′ ) − b(k′ ) a(k) e−i (k+k )·x
′
+ a† (k′ ) b† (k) − a† (k) b† (k′ ) ei (k+k )·x
′
+ a† (k) a(k′ ) − b(k′ ) b† (k) ei (k−k )·x
o
′
+ a† (k′ ) a(k) − b(k) b† (k′ ) ei (k −k)·x
Erhaltene U(1) Ladung (II)
☞ Operator der erhaltenen Ladung
Q =
=
=
Z
d3 x j0 (x)
Z
i d3 x φ† φ̇ − φ̇† φ
Z
n
o
f a† (k) a(k) − b† (k) b(k)
dk
Erhaltene U(1) Ladung (II)
☞ Operator der erhaltenen Ladung
Q =
=
=
Z
d3 x j0 (x)
Z
i d3 x φ† φ̇ − φ̇† φ
Z
n
o
f a† (k) a(k) − b† (k) b(k)
dk
☞ Interpretation:
• a† bzw. a sind Erzeuger bzw. Vernichter für Teilchen
• b† bzw. b sind Erzeuger bzw. Vernichter für Antiteilchen
Erhaltene U(1) Ladung (II)
☞ Operator der erhaltenen Ladung
Q =
=
=
Z
d3 x j0 (x)
Z
i d3 x φ† φ̇ − φ̇† φ
Z
n
o
f a† (k) a(k) − b† (k) b(k)
dk
☞ Interpretation:
• a† bzw. a sind Erzeuger bzw. Vernichter für Teilchen
• b† bzw. b sind Erzeuger bzw. Vernichter für Antiteilchen
☞ Fazit
Teilchen
Antiteilchen
tragen
positiv
negativ
zur Gesamtladung bei
Hamiltonoperator
☞ Hamiltondichte
H = π φ̇ + π∗ φ̇† − L
Hamiltonoperator
☞ Hamiltondichte
H = π φ̇ + π∗ φ̇† − L
➥ Hamiltonoperator
H
=
=
Z
Z
d3 x H φ→φ etc.
f k0
dk
C =
Z
n
o
a† (k) a(k) + b† (k) b(k) + C
io
h
d3 k 1 n †
†
a(k),
a
(k)
+
b(k),
b
(k)
(2π)3 2
Hamiltonoperator
☞ Hamiltondichte
H = π φ̇ + π∗ φ̇† − L
➥ Hamiltonoperator
H
=
=
Z
Z
d3 x H φ→φ etc.
f k0
dk
n
o
a† (k) a(k) + b† (k) b(k) + C
☞ Fazit
Teilchen
Antiteilchen
tragen
positiv
positiv
zur Gesamtenergie bei
Normalordnung
☞ Vorschrift der Normalordnung
: a† (k) a(k′ ) :
′
†
: a(k ) a (k) :
=
a† (k) a(k′ )
=
a† (k) a(k′ )
Normalordnung
☞ Vorschrift der Normalordnung
: a† (k) a(k′ ) :
′
†
: a(k ) a (k) :
=
a† (k) a(k′ )
=
a† (k) a(k′ )
➥ Hamiltonoperator
H
=
Z
f k0
dk
n
o
a† (k) a(k) + b† (k) b(k)
Bewegungsgleichungen der Feldoperatoren
☞ Für allgemeine Heisenberg–Operatoren
A(x) = exp(i P · x) A(0) exp(−i P · x)
Pµ =
Z
d3 x π(x) ∂µ φ(x) − L ηµ0
Bewegungsgleichungen der Feldoperatoren
☞ Für allgemeine Heisenberg–Operatoren
A(x) = exp(i P · x) A(0) exp(−i P · x)
☞ Zeitabhängigkeit der Feldoperatoren
φ(x) = φ(t, ~x) = exp i H t φ(0, ~x) exp −i H t
Bewegungsgleichungen der Feldoperatoren
☞ Für allgemeine Heisenberg–Operatoren
A(x) = exp(i P · x) A(0) exp(−i P · x)
☞ Zeitabhängigkeit der Feldoperatoren
φ(x) = φ(t, ~x) = exp i H t φ(0, ~x) exp −i H t
☞ Heisenberg–Gleichungen
∂φ
(x) =
∂t
∂π
i (x) =
∂t
i
φ(x), H = i π(x)
~ 2 + m2 φ(x)
[π(x), H] = − i −∇
Bewegungsgleichungen der Feldoperatoren
☞ Für allgemeine Heisenberg–Operatoren
A(x) = exp(i P · x) A(0) exp(−i P · x)
☞ Zeitabhängigkeit der Feldoperatoren
φ(x) = φ(t, ~x) = exp i H t φ(0, ~x) exp −i H t
☞ Heisenberg–Gleichungen
∂φ
(x) =
∂t
∂π
i (x) =
∂t
i
φ(x), H = i π(x)
~ 2 + m2 φ(x)
[π(x), H] = − i −∇
➥ Klein–Gordon–Gleichung für Feldoperatoren
∂2 φ
~ 2 − m2 φ
∇
=
∂t2
Verhalten der Operatoren a und a†
☞ Durch Nachrechnen
= −ωk a(k)
H, a(k)
H, a† (k) = ωk a† (k)
Verhalten der Operatoren a und a†
☞ Durch Nachrechnen
= −ωk a(k)
H, a(k)
H, a† (k) = ωk a† (k)
y
H a(k) = a(k) (H − ωk )
Verhalten der Operatoren a und a†
☞ Durch Nachrechnen
= −ωk a(k)
H, a(k)
H, a† (k) = ωk a† (k)
y
☞ Iteration: H n a(k) = a(k) (H − ωk )n
H a(k) = a(k) (H − ωk )
Verhalten der Operatoren a und a†
☞ Durch Nachrechnen
= −ωk a(k)
H, a(k)
H, a† (k) = ωk a† (k)
y
H a(k) = a(k) (H − ωk )
☞ Iteration: H n a(k) = a(k) (H − ωk )n
☞ Aufsummieren als Exponentialreihe
exp i H t a(k) exp −i H t =
exp i H t a† (k) exp −i H t =
a(k) e−i ωk t
a† (k) e+i ωk t
Beziehung zur Schrödinger’schen
Quantenmechanik
☞ Feldoperator für komplexes Skalarfeld
Z
†
f ei k·x |~ki
dk
φ (x) |−i =
Beziehung zur Schrödinger’schen
Quantenmechanik
☞ Feldoperator für komplexes Skalarfeld
Z
†
f ei k·x |~ki
dk
φ (x) |−i =
☞ h−| φ(x) |~ki ist die Schrödinger’sche Wellenfunktion zum
Wellenvektor ~k, denn
h−| φ(x) |~ki =
=
h−|
Z
n
o
f ′ a(k′ ) e−i k′ ·x + b† (k′ ) ei k′ ·x a† (k) |−i
dk
e−i k·x = ϕ~k (x)
Korrelationsfunktionen
☞ Reelles Skalarfeld
Korrelationsfunktionen
☞ Reelles Skalarfeld
☞ Korrelationsfunktion
D(x − y) =
h−| φ(x) φ(y) |−i
Korrelationsfunktionen
☞ Reelles Skalarfeld
☞ Korrelationsfunktion
D(x − y) =
=
h−| φ(x) φ(y) |−i
Z
n
f dk
g′
a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
h−| dk
o
′
′
a(k′ ) e−i k ·y + a† (k′ ) ei k ·y |−i
Korrelationsfunktionen
☞ Reelles Skalarfeld
☞ Korrelationsfunktion
D(x − y) =
=
=
h−| φ(x) φ(y) |−i
Z
n
f dk
g′
a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
h−| dk
o
′
′
a(k′ ) e−i k ·y + a† (k′ ) ei k ·y |−i
Z
f dk
g′ h−| a(k) a† (k′ ) |−i ei (k′ ·y−k·x)
dk
|
{z
}
=(2π)3 2ωk δ(3) ~k−~k ′
Korrelationsfunktionen
☞ Reelles Skalarfeld
☞ Korrelationsfunktion
D(x − y) =
=
=
=
h−| φ(x) φ(y) |−i
Z
n
f dk
g′
a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
h−| dk
o
′
′
a(k′ ) e−i k ·y + a† (k′ ) ei k ·y |−i
Z
f dk
g′ h−| a(k) a† (k′ ) |−i ei (k′ ·y−k·x)
dk
|
{z
}
Z
=(2π)3 2ωk δ(3) ~k−~k ′
f e−i k·(x−y)
dk
Korrelationsfunktionen
☞ Reelles Skalarfeld
☞ Korrelationsfunktion
D(x − y) =
=
=
=
h−| φ(x) φ(y) |−i
Z
n
f dk
g′
a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
h−| dk
o
′
′
a(k′ ) e−i k ·y + a† (k′ ) ei k ·y |−i
Z
f dk
g′ h−| a(k) a† (k′ ) |−i ei (k′ ·y−k·x)
dk
|
{z
}
Z
=(2π)3 2ωk δ(3) ~k−~k ′
f e−i k·(x−y)
dk
☞ Kausalitätsdiskussion später
Erzeugung und Vernichtung von (Anti–)Teilchen
φ† (x) |−i =
φ(x) |−i =
Z
Z
f ei k·x a† (k) |−i
dk
f ei k·x b† (k) |−i
dk
Erzeugung und Vernichtung von (Anti–)Teilchen
φ† (x) |−i =
φ(x) |−i =
y
φ†
φ
Z
Z
f ei k·x a† (k) |−i
dk
f ei k·x b† (k) |−i
dk
erzeugt
Teilchen
Antiteilchen
am Ort ~x zur Zeit t
Erzeugung und Vernichtung von (Anti–)Teilchen
φ† (x) |−i =
φ(x) |−i =
y
φ†
φ
Z
Z
f ei k·x a† (k) |−i
dk
f ei k·x b† (k) |−i
dk
erzeugt
Θ(t′ − t) φ(t′ , ~x ′ ) φ† (t, ~x)
Θ(t − t′ ) φ† (t, ~x) φ(t′ , ~x ′ )
Teilchen
Antiteilchen
erzeugt
am Ort ~x zur Zeit t
Teilchen
Antiteilchen
und vernichtet
zur Zeit
t′ > t
t > t′
zur Zeit
Teilchen
Antiteilchen
t
t′
Zeitgeordnetes Produkt
☞ Zeitgeordnetes Produkt
T φ(x′ ) φ† (x) =
=
Θ(t′ − t) φ(x′ ) φ† (x) + Θ(t − t′ ) φ† (x) φ(x′ )
φ(x′ ) φ† (x)
falls t′ > t
†
′
φ (x) φ(x )
falls t > t′
Zeitgeordnetes Produkt
☞ Zeitgeordnetes Produkt
T φ(x′ ) φ† (x) =
=
Θ(t′ − t) φ(x′ ) φ† (x) + Θ(t − t′ ) φ† (x) φ(x′ )
φ(x′ ) φ† (x)
falls t′ > t
†
′
φ (x) φ(x )
falls t > t′
☞ „−“–Zeichen für Fermionen
Eigenschaften des zeitgeordnetes Produkt
☞ Wirkung von x′ + m2 auf T φ φ†
∂
T φ(x′ ) φ† (x) =
′
∂t
T
∂φ(x′ ) †
φ (x) + δ(t′ − t) φ(x′ ), φ† (x)
′
∂t
|
{z
}
=0
Eigenschaften des zeitgeordnetes Produkt
☞ Wirkung von x′ + m2 auf T φ φ†
∂
T φ(x′ ) φ† (x) =
′
∂t
2
∂
T φ(x′ ) φ† (x)
∂t′ 2
T
∂φ(x′ ) †
φ (x) + δ(t′ − t) φ(x′ ), φ† (x)
′
∂t
|
{z
}
=0
=
T
∂ φ(x ) †
∂φ(x′ ) †
′
φ
(x)
+
δ(t
−
t)
,
φ
(x)
∂t′
∂t′ 2
|
{z
}
2
′
=−i δ(4) (x′ −x)
Eigenschaften des zeitgeordnetes Produkt
☞ Wirkung von x′ + m2 auf T φ φ†
∂
T φ(x′ ) φ† (x) =
′
∂t
2
∂
T φ(x′ ) φ† (x)
∂t′ 2
T
∂φ(x′ ) †
φ (x) + δ(t′ − t) φ(x′ ), φ† (x)
′
∂t
|
{z
}
=0
=
T
∂ φ(x ) †
∂φ(x′ ) †
′
φ
(x)
+
δ(t
−
t)
,
φ
(x)
∂t′
∂t′ 2
|
{z
}
2
☞ Klein–Gordon–Gleichung
2
∂2 φ(x′ )
~ x′ − m2 φ(x′ )
= ∇
2
′
∂t
′
=−i δ(4) (x′ −x)
Eigenschaften des zeitgeordnetes Produkt
☞ Wirkung von x′ + m2 auf T φ φ†
∂
T φ(x′ ) φ† (x) =
′
∂t
2
∂
T φ(x′ ) φ† (x)
∂t′ 2
T
∂φ(x′ ) †
φ (x) + δ(t′ − t) φ(x′ ), φ† (x)
′
∂t
|
{z
}
=0
=
T
∂ φ(x ) †
∂φ(x′ ) †
′
φ
(x)
+
δ(t
−
t)
,
φ
(x)
∂t′
∂t′ 2
|
{z
}
2
′
☞ Klein–Gordon–Gleichung
2
∂2 φ(x′ )
~ x′ − m2 φ(x′ )
= ∇
2
′
∂t
➥ Operator–Identität
x′ + m2 T φ(x′ ) φ† (x) = − i δ(4) (x′ − x)
=−i δ(4) (x′ −x)
Greensche Funktion und zeitgeordnetes Produkt
☞ Differentialgleichung
O ϕ(x) = j(x)
Greensche Funktion und zeitgeordnetes Produkt
☞ Differentialgleichung
O ϕ(x) = j(x)
☞ Greensche Funktion G
O G(x) = δ(d) (x)
Greensche Funktion und zeitgeordnetes Produkt
☞ Differentialgleichung
O ϕ(x) = j(x)
☞ Greensche Funktion G
O G(x) = δ(d) (x)
➥ Spezielle Lösung
ϕspeziell (x) =
G ∗ j (x) =
Z
dd y G(x − y) j(y)
Greensche Funktion und zeitgeordnetes Produkt
☞ Differentialgleichung
O ϕ(x) = j(x)
☞ Greensche Funktion G
O G(x) = δ(d) (x)
➥ Spezielle Lösung
ϕspeziell (x) =
G ∗ j (x) =
Z
dd y G(x − y) j(y)
➥ Vakuumerwartungswert des zeitgeordneten Produkts
i ∆F (x′ − x) := h−| T φ(x′ ) φ† (x) |−i
ist Greensche Funktion
Θ–Funktion
☞ Fourier–Darstellung der Θ–Funktion
i
Θ(τ) = lim
εց0 2π
Z∞
dζ
e−i ζ τ
ζ +iε
−∞
Im ζ
•
−iε
Re ζ
Retardierter relativistischer Propagator (I)
☞ Inhomogene Klein–Gordon–Gleichung
+ m2 ϕ(x) = j(x)
Retardierter relativistischer Propagator (I)
☞ Inhomogene Klein–Gordon–Gleichung
+ m2 ϕ(x) = j(x)
☞ Greensche Funktion G0
+ m2 G0 (x′ , x) = δ(4) (x′ − x)
Retardierter relativistischer Propagator (I)
☞ Inhomogene Klein–Gordon–Gleichung
+ m2 ϕ(x) = j(x)
☞ Greensche Funktion G0
+ m2 G0 (x′ , x) = δ(4) (x′ − x)
☞ Wegen Translationsinvarianz gilt G0 (x′ , x) = G0 (x′ − x)
Retardierter relativistischer Propagator (I)
☞ Inhomogene Klein–Gordon–Gleichung
+ m2 ϕ(x) = j(x)
☞ Greensche Funktion G0
+ m2 G0 (x′ , x) = δ(4) (x′ − x)
☞ Wegen Translationsinvarianz gilt G0 (x′ , x) = G0 (x′ − x)
☞ Bestimmungsgleichung der Fouriertransformierten von G0
b 0 (k) =
G
−1
−1
=
2
~
k2 − m2
ω − k 2 − m2
Retardierter relativistischer Propagator (II)
☞ Standard–Trick aus Quantenmechanik
„Ersetze ω durch ω + i ε, transformiere zurück und lasse ε
gegen 0 gehen.“
Retardierter relativistischer Propagator (II)
☞ Standard–Trick aus Quantenmechanik
„Ersetze ω durch ω + i ε, transformiere zurück und lasse ε
gegen 0 gehen.“
Im ω
|
•
−ωk − i ε
Re ω
|
•
ωk − i ε
Retardierter relativistischer Propagator (II)
☞ Standard–Trick aus Quantenmechanik
„Ersetze ω durch ω + i ε, transformiere zurück und lasse ε
gegen 0 gehen.“
➥ Retardierter relativistischer Propagator im k–Raum
e ret (k)
G
=
=
−1
− ~k 2 − m2
i ε)2
(ω +
1
1
1
−
−
2ωk ω − ωk + i ε ω + ωk + i ε
ωk =
p
~k 2 + m2
Retardierter relativistischer Propagator (II)
☞ Standard–Trick aus Quantenmechanik
„Ersetze ω durch ω + i ε, transformiere zurück und lasse ε
gegen 0 gehen.“
➥ Retardierter relativistischer Propagator im k–Raum
e ret (k)
G
=
=
−1
− ~k 2 − m2
i ε)2
(ω +
1
1
1
−
−
2ωk ω − ωk + i ε ω + ωk + i ε
➥ Retardierter relativistischer Propagator
′
d4 k −i k·(x′ −x) e
e
Gret (k)
εց0
(2π)4
Z
o
d3 k 1 n −i ωk (t′ −t)+i ~k (~x ′ −~x)
i ωk (t′ −t)+i ~k (~x ′ −~x)
− i Θ(t′ − t) ·
e
−
e
(2π)3 2ωk
Gret (x − x) = lim
=
Z
Retardierter relativistischer Propagator (III)
☞ Alternative Darstellung
Gret (x′ − x) =
=
′
−i Θ(t − t)
Z
o
d3 k n (+) ′ (+) ∗
(−) ∗
(−) ′
(x
)
φ
(x)
(x
)
φ
(x)
−
φ
φ
~k
~k
~k
~k
(2π)3
☞ Lösungen der homogenen Klein–Gordon–Gleichung zu
positiven bzw. negativen Frequenzen
φ~(+) (x) =
k
φ~(−) (x) =
k
1
~
e−i ωk t+i k·~x
2ωk
1
~
√
ei ωk t+i k·~x
2ωk
√
Retardierter relativistischer Propagator (III)
☞ Alternative Darstellung
Gret (x′ − x) =
=
′
−i Θ(t − t)
Z
o
d3 k n (+) ′ (+) ∗
(−) ∗
(−) ′
(x
)
φ
(x)
(x
)
φ
(x)
−
φ
φ
~k
~k
~k
~k
(2π)3
☞ Lösungen der homogenen Klein–Gordon–Gleichung zu
positiven bzw. negativen Frequenzen
φ~(+) (x) =
k
φ~(−) (x) =
k
1
~
e−i ωk t+i k·~x
2ωk
1
~
√
ei ωk t+i k·~x
2ωk
√
☞ Vergleich mit nicht–relativistischer Quantenmechanik
X
G(+) (x′ , x) = − i Θ(t′ − t)
ψn (x′ ) ψ∗n (x)
n
Feynman–Propagator (I)
☞ Feynman–Propagator ∆F im k–Raum
e F (k) =
∆
−1
k2 − m2 + i ε
Feynman–Propagator (I)
☞ Feynman–Propagator ∆F im k–Raum
e F (k) =
∆
−1
k2 − m2 + i ε
☞ Nenner
ε′ =
k2 − m2 + i ε =
ε
2ωk
ω − (ωk − i ε′ ) · ω − (−ωk + i ε′ ) + O(ε2 )
Im ω
−ωk + i ε′
•
|
Re ω
|
•
ωk − i ε′
Feynman–Propagator (II)
☞ Feynman–Propagator ∆F im k–Raum
1
1
1
e
∆F = −
+
+ O(ε′ 2 )
2(ωk − i ε′ ) −ω − ωk + i ε′ ω − ωk + i ε′
Feynman–Propagator (II)
☞ Feynman–Propagator ∆F im k–Raum
1
1
1
e
∆F = −
+
+ O(ε′ 2 )
2(ωk − i ε′ ) −ω − ωk + i ε′ ω − ωk + i ε′
☞ Feynman–Propagator im Ortsraum durch
Fourier–Transformation
′
∆F (x − x) =
lim
εց0
Z
′
e−i k·(x −x)
d4 k
(2π)4 k2 − m2 + i ε
Feynman–Propagator (II)
☞ Feynman–Propagator ∆F im k–Raum
1
1
1
e
∆F = −
+
+ O(ε′ 2 )
2(ωk − i ε′ ) −ω − ωk + i ε′ ω − ωk + i ε′
☞ Feynman–Propagator im Ortsraum
∆F (x′ − x) =
=
Z
′
d4 k
e−i k·(x −x)
4
2
εց0
(2π) k − m2 + i ε
Z 3
d k 1 −i ωk (t′ −t)+i ~k·(~x ′ −~x)
i Θ(t′ − t)
e
(2π)3 2ωk
Z
d3 k 1 i ωk (t′ −t)+i ~k·(~x ′ −~x)
e
+ i Θ(t − t′ )
(2π)3 2ωk
lim
Feynman–Propagator (II)
☞ Feynman–Propagator ∆F im k–Raum
1
1
1
e
∆F = −
+
+ O(ε′ 2 )
2(ωk − i ε′ ) −ω − ωk + i ε′ ω − ωk + i ε′
☞ Feynman–Propagator im Ortsraum
∆F (x′ − x) =
=
Z
′
d4 k
e−i k·(x −x)
4
2
εց0
(2π) k − m2 + i ε
Z 3
d k (+) ′ (+) ∗
i Θ(t′ − t)
φ (x ) φ~ (x)
k
(2π)3 ~k
Z
3
∗
d
k
φ~(−) (x′ ) φ~(−) (x)
+ i Θ(t − t′ )
3
k
k
(2π)
lim
Feynman–Propagator (II)
☞ Feynman–Propagator ∆F im k–Raum
1
1
1
e
∆F = −
+
+ O(ε′ 2 )
2(ωk − i ε′ ) −ω − ωk + i ε′ ω − ωk + i ε′
☞ Feynman–Propagator im Ortsraum
∆F (x′ − x) =
=
Z
′
d4 k
e−i k·(x −x)
4
2
εց0
(2π) k − m2 + i ε
Z 3
d k (+) ′ (+) ∗
i Θ(t′ − t)
φ (x ) φ~ (x)
k
(2π)3 ~k
Z
3
∗
d
k
φ~(−) (x′ ) φ~(−) (x)
+ i Θ(t − t′ )
3
k
k
(2π)
lim
y Lösungen der Klein–Gordon–Gleichung mit
positiver
vorwärts
Frequenz propagieren
negativer
rückwärts
Feynman–Propagator und Kausalität
Lösungen der Klein–Gordon–Gleichung mit
positiver
vorwärts
Frequenz propagieren
negativer
rückwärts
in der Zeit
Feynman–Propagator und Kausalität
Lösungen der Klein–Gordon–Gleichung mit
positiver
vorwärts
Frequenz propagieren
negativer
rückwärts
in der Zeit
☞ Kausalität

Abwesenheit




bzw.

Anwesenheit


einer Lösung mit



negativer Fequenz


Anwesenheit 







bzw.


Abwesenheit
↔






eines









Antiteilchens






Fazit: Komplexes Skalarfeld
☞ Feldoperatoren
φ(x) =
φ† (x) =
Z
Z
n
o
f a(k) e−i k·x + b† (k) ei k·x
dk
n
o
f b(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
dk
Fazit: Komplexes Skalarfeld
☞ Feldoperatoren
φ(x) =
φ† (x) =
Z
Z
n
o
f a(k) e−i k·x + b† (k) ei k·x
dk
n
o
f b(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
dk
☞ Interpretation:
• a† bzw. a sind Erzeuger bzw. Vernichter für Teilchen
• b† bzw. b sind Erzeuger bzw. Vernichter für Antiteilchen
Fazit: Komplexes Skalarfeld
☞ Feldoperatoren
φ(x) =
φ† (x) =
Z
Z
n
o
f a(k) e−i k·x + b† (k) ei k·x
dk
n
o
f b(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
dk
☞ Interpretation:
• a† bzw. a sind Erzeuger bzw. Vernichter für Teilchen
• b† bzw. b sind Erzeuger bzw. Vernichter für Antiteilchen
☞ Antiteilchen
• propagieren vorwärts in der Zeit;
• tragen positiv zur Gesamtenergie bei;
• tragen entegengesetzt zu Teilchen zur U(1) Ladung bei.
Rotationsgruppe (I)
☞ Drehungen um die Raumachsen
Rx (ϕ)
Ry (ψ)
Rz (ϑ)

1
0
0
=  0 cos ϕ sin ϕ
0 − sin ϕ cos ϕ

cos ψ 0 − sin ψ
1
0
=  0
sin ψ 0 cos ψ

cos ϑ sin ϑ 0
=  − sin ϑ cos ϑ 0
0
0
1






Rotationsgruppe (II)
☞ Generatoren der Drehgruppe
Jx
=
Jy
=
Jz
=

0
1 dRx  0
=
i dϕ ϕ=0
0

0
1 dRy  0
=
i dψ ψ=0
−i

0
1 dRz  i
=
i dϑ ϑ=0
0
☞ Kommutatorrelation
[Ji , Jj ] = i εijk Jk

0 0
0 −i 
i 0

0 i
0 0 
0 0

−i 0
0 0 
0 0
Rotationsgruppe (III)
☞ Generatoren und Elemente der Drehgruppe
Rx (ϕ)
= exp(i Jx ϕ)
Ry (ψ)
Rz (ϑ)
= exp(i Jy ψ)
= exp(i Jz ϑ)
☞ Rotation bezüglich einer normierten Achse ~n um den
Winkel θ
~ · ~θ)
R~n (θ) = exp(i J
~ ·θ
mit ~θ = n
SU(2)
☞ Matrix–Gruppe SU(2)
U · U† =
12 und det U = 1
SU(2)
☞ Matrix–Gruppe SU(2)
U · U† =
12 und det U = 1
☞ Parametrisierung
a
b
U =
−b∗ a∗
mit a, b ∈ C und
|a|2 + |b|2 = 1
⇐⇒
det U = 1
Zweier–Spinoren
☞ Spinor bzw. “gedaggerter” Spinor
ξ1
and ξ† = [ξ1∗ , ξ2∗ ]
ξ =
ξ2
Zweier–Spinoren
☞ Spinor bzw. “gedaggerter” Spinor
ξ1
and ξ† = [ξ1∗ , ξ2∗ ]
ξ =
ξ2
☞ Transformation mit U ∈ SU(2)
ξ → Uξ
und
ξ† → ξ† U †
Zweier–Spinoren
☞ Spinor bzw. “gedaggerter” Spinor
ξ1
and ξ† = [ξ1∗ , ξ2∗ ]
ξ =
ξ2
☞ Transformation mit U ∈ SU(2)
ξ → Uξ
und
ξ† → ξ† U †
☞ ξ† ξ = |ξ1 |2 + |ξ2 |2 ist invariant
Zweier–Spinoren
☞ Spinor bzw. “gedaggerter” Spinor
ξ1
and ξ† = [ξ1∗ , ξ2∗ ]
ξ =
ξ2
☞ Transformation mit U ∈ SU(2)
ξ → Uξ
und
ξ† → ξ† U †
☞ ξ† ξ = |ξ1 |2 + |ξ2 |2 ist invariant
☞ Die Spinoren
ξ1
und
ξ =
ξ2
ε ξ∗ =
−ξ2∗
ξ1∗
mit ε =
0 −1
1 0
transformieren auf der gleichen Weise unter der SU(2)
Generatoren der SU(2)
☞ Entwicklung eines beliebigen U(2)–Elements
U(t) =
12 + i t T + O(t2 )
Generatoren der SU(2)
☞ Entwicklung eines beliebigen U(2)–Elements
U(t) =
12 + i t T + O(t2 )
☞ Definierende Bedingung
12 =! U † (t) U(t)
Generatoren der SU(2)
☞ Entwicklung eines beliebigen U(2)–Elements
U(t) =
12 + i t T + O(t2 )
☞ Definierende Bedingung
12 =! U † (t) U(t) = 12 + i t (T − T† ) + O(t2 )
Generatoren der SU(2)
☞ Entwicklung eines beliebigen U(2)–Elements
U(t) =
12 + i t T + O(t2 )
☞ Definierende Bedingung
12 =! U † (t) U(t) = 12 + i t (T − T† ) + O(t2 )
➥ Generatoren hermitesch
T† = T
Generatoren der SU(2)
☞ Entwicklung eines beliebigen U(2)–Elements
U(t) =
12 + i t T + O(t2 )
☞ Definierende Bedingung
12 =! U † (t) U(t) = 12 + i t (T − T† ) + O(t2 )
➥ Generatoren hermitesch
T† = T
☞ Standard–Wahl der SU(2) Generatoren
Ti = σi /2
mit Pauli–Matrizen σi
Generatoren der SU(2)
☞ Entwicklung eines beliebigen U(2)–Elements
U(t) =
12 + i t T + O(t2 )
☞ Definierende Bedingung
12 =! U † (t) U(t) = 12 + i t (T − T† ) + O(t2 )
➥ Generatoren hermitesch
T† = T
☞ Standard–Wahl der SU(2) Generatoren
Ti = σi /2
mit Pauli–Matrizen σi
☞ Kommutator–Relationen wie bei Rotationsgruppe/SO(3)
Ti , Tj
= i εijk Tk
Pauli–Matrizen
12
1
σ2i =
2
[σx , σy ] = 2i σz usw. zyklisch
4
5
σx σy σz = i 12
6
tr σi = 0
7
det σi = − 1
8
Falls [ai , σj ] = [bi , σj ] = 0 ∀i, j, so gilt
~
~ = a
~ + i~
~ σ
~ ×b
~ ·b
σ
~ ·a
~ ·b
σ· a
3
σx , σy
= 0 usw. zyklisch
σx σy = − σy σx = i σz usw. zyklisch
Zusammenhang SU(2) ↔ SO(3)
☞ Explizite Zuordnung
i ~
~
~
SO(3) ∋ exp i θ · J ↔ exp
θ·σ
~
∈ SU(2)
2
Zusammenhang SU(2) ↔ SO(3)
☞ Explizite Zuordnung
i ~
~
~
SO(3) ∋ exp i θ · J ↔ exp
θ·σ
~
∈ SU(2)
2
☞ Rotation
~ ~x .
~x → exp −i ~θ · J
impliziert Transformation des Spinors
i~
ψ↑
ψ↑
→ exp − θ · σ
~
ψ↓
ψ↓
2
Zusammenhang SU(2) ↔ SO(3)
☞ Explizite Zuordnung
i ~
~
~
SO(3) ∋ exp i θ · J ↔ exp
θ·σ
~
∈ SU(2)
2
☞ Rotation
~ ~x .
~x → exp −i ~θ · J
impliziert Transformation des Spinors
i~
ψ↑
ψ↑
→ exp − θ · σ
~
ψ↓
ψ↓
2
☞ “Zweideutigkeit”
exp(i 2π J2 ) =
12 während exp
i
2πσ2
2
= − 12
Lorentz–Boosts (I)
☞ Boost in x–Richtung

 0′ 
cosh ϕ sinh ϕ
x
 sinh ϕ cosh ϕ
 x1′ 
 2′  = 

 x 
0
0
x3′
0
0
|
{z
=Bx
0
0
1
0
  0
x
0
 x1
0 
·
0   x2
x3
1
}
☞ Boosts in y- bzw. z–Richtung analog




Lorentz–Boosts (II)
☞ Generatoren der Lorentz–Boosts
Kx
Ky
Kz
=
=
=

0
 1
1 ∂Bx = −i 
 0
i ∂ϕ ϕ=0
0

0
 0
1 ∂By = −i 
 1
i ∂ψ ψ=0
0

0
 0
1 ∂Bz = −i 
 0
i ∂ϑ ϑ=0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0 

0 
0

0
0 

0 
0

1
0 

0 
0
Generatoren der Lorentzgruppe
☞ Kommutator–Relationen
[Ki , Kj ] =
Ji , K j =
Ji , Jj =
−i εijk Jk
i εijk Kk
i εijk Jk
☞ Neue Generatoren
~ = 1 J
~ +iK
~
A
und
2
~ = 1 J
~ − iK
~
B
2
y Neue Kommutator–Relationen
[Ai , Aj ]
Bi , Bj
Ai , Bj
=
i εijk Ak
=
i εijk Bk
=
0
Zusammenhang SO(1, 3) ↔ SU(2) × SU(2)
☞ Darstellung der Generatoren durch Pauli–Matrizen
~
~ = ±iσ
K
2
und
~
~ = σ
J
2
Zusammenhang SO(1, 3) ↔ SU(2) × SU(2)
☞ Darstellung der Generatoren durch Pauli–Matrizen
~
~ = ±iσ
K
2
und
~
~ = σ
J
2
☞ Hermitesche Linearkombinationen
~ = 1 J
~ +iK
~
~ = 1 J
~ − iK
~
A
und B
2
2
Zusammenhang SO(1, 3) ↔ SU(2) × SU(2)
☞ Darstellung der Generatoren durch Pauli–Matrizen
~
~ = ±iσ
K
2
und
~
~ = σ
J
2
☞ Hermitesche Linearkombinationen
~ = 1 J
~ +iK
~
~ = 1 J
~ − iK
~
A
und B
2
2
➥ Vertauschungsrelationen wie bei SU(2) bzw. SO(3)
[Ai , Aj ]
Bi , Bj
Ai , Bj
=
=
i εijk Ak
i εijk Bk
=
0
Zusammenhang SO(1, 3) ↔ SU(2) × SU(2)
☞ Darstellung der Generatoren durch Pauli–Matrizen
~
~ = ±iσ
K
2
und
~
~ = σ
J
2
☞ Hermitesche Linearkombinationen
~ = 1 J
~ +iK
~
~ = 1 J
~ − iK
~
A
und B
2
2
➥ Vertauschungsrelationen wie bei SU(2) bzw. SO(3)
[Ai , Aj ]
Bi , Bj
Ai , Bj
=
=
i εijk Ak
i εijk Bk
=
0
☞ Beachte: SO(1, 3) und SU(2) × SU(2) nicht äquivalent
Spinordarstellung der Lorentz–Gruppe
☞ Zwei Spinoren: ξ und η
Spinordarstellung der Lorentz–Gruppe
☞ Zwei Spinoren: ξ und η
~ = σ
~ =0
☞ Spinor ξ: A
~ /2 und B
y
~
~ = σ
J
2
und
~
~ = iσ
K
2
Spinordarstellung der Lorentz–Gruppe
☞ Zwei Spinoren: ξ und η
~ = σ
~ =0
☞ Spinor ξ: A
~ /2 und B
y
~
~ = σ
J
2
und
~
~ = iσ
K
2
➥ Transformationsverhalten von ξ
ξ
σ
~
σ
~
~ ξ
→ exp i · ~θ + · ϕ
2
2
σ
~
= exp i ~θ − i ~ϕ ·
ξ =: M ξ
2
Spinordarstellung der Lorentz–Gruppe
☞ Zwei Spinoren: ξ und η
~ = σ
~ =0
☞ Spinor ξ: A
~ /2 und B
y
~
~ = σ
J
2
und
~
~ = iσ
K
2
➥ Transformationsverhalten von ξ
ξ
σ
~
σ
~
~ ξ
→ exp i · ~θ + · ϕ
2
2
σ
~
= exp i ~θ − i ~ϕ ·
ξ =: M ξ
2
☞ Analog: Transformationsverhalten von η
σ
~
~ ·
η → exp i ~θ + i ϕ
η = Nη
2
C
Lorentz–Gruppe und SL(2, )
☞ M und N: komplexe 2 × 2–Matrizen mit Determinante 1, d.h.
M, N ∈ SL(2, C).
C
Lorentz–Gruppe und SL(2, )
☞ M und N: komplexe 2 × 2–Matrizen mit Determinante 1, d.h.
M, N ∈ SL(2, C).
☞ SL(2, C)–Matrizen haben 6 unabhängige Parameter wie
die Lorentz–Gruppe
C
Lorentz–Gruppe und SL(2, )
☞ M und N: komplexe 2 × 2–Matrizen mit Determinante 1, d.h.
M, N ∈ SL(2, C).
☞ SL(2, C)–Matrizen haben 6 unabhängige Parameter wie
die Lorentz–Gruppe
☞ Für ε = −i σ2 gilt
ε · (~
σ)∗ · εT = − σ
~
C
Lorentz–Gruppe und SL(2, )
☞ M und N: komplexe 2 × 2–Matrizen mit Determinante 1, d.h.
M, N ∈ SL(2, C).
☞ SL(2, C)–Matrizen haben 6 unabhängige Parameter wie
die Lorentz–Gruppe
☞ Für ε = −i σ2 gilt
ε · (~
σ)∗ · εT = − σ
~
y
∗
ε·M ·ε
T
=
=
i ∗ ~
~ · (θ + i ϕ
~ ) · σ2
σ2 · exp − σ
2
i ∗ ~
exp σ
~ · (θ + i ϕ
~) = N
2
C
Lorentz–Gruppe und SL(2, )
☞ M und N: komplexe 2 × 2–Matrizen mit Determinante 1, d.h.
M, N ∈ SL(2, C).
☞ SL(2, C)–Matrizen haben 6 unabhängige Parameter wie
die Lorentz–Gruppe
☞ Für ε = −i σ2 gilt
ε · (~
σ)∗ · εT = − σ
~
y
∗
ε·M ·ε
T
=
=
i ∗ ~
~ · (θ + i ϕ
~ ) · σ2
σ2 · exp − σ
2
i ∗ ~
exp σ
~ · (θ + i ϕ
~) = N
2
➥ N = M ∗ (bis auf eine Ähnlichkeitstransformation)
C
Lorentz–Gruppe und SL(2, )
☞ M und N: komplexe 2 × 2–Matrizen mit Determinante 1, d.h.
M, N ∈ SL(2, C).
☞ SL(2, C)–Matrizen haben 6 unabhängige Parameter wie
die Lorentz–Gruppe
☞ Für ε = −i σ2 gilt
ε · (~
σ)∗ · εT = − σ
~
y
∗
ε·M ·ε
T
=
=
i ∗ ~
~ · (θ + i ϕ
~ ) · σ2
σ2 · exp − σ
2
i ∗ ~
exp σ
~ · (θ + i ϕ
~) = N
2
➥ N = M ∗ (bis auf eine Ähnlichkeitstransformation)
➥ η transformiert praktisch in der zu ξ komplex konjugierten
Darstellung
Darstellungsmatrizen für ξ und η
☞ Inäquivalente SL(2, C)–Darstellungsmatrizen der
Generatoren der Lorentz–Gruppe
R1 (M µν )
=
R2 (M µν )
=
1 µν
σ
2
1 µν
σ̄
2
Darstellungsmatrizen für ξ und η
☞ Inäquivalente SL(2, C)–Darstellungsmatrizen der
Generatoren der Lorentz–Gruppe
R1 (M µν )
=
R2 (M µν )
=
1 µν
σ
2
1 µν
σ̄
2
mit
σµν
=
σ̄µν
=
i µ ν
(σ σ̄ − σν σ̄µ )
2
i µ ν
(σ̄ σ − σ̄ν σµ )
2
σµ = (1, σi )
σ̄µ = (1, −σi )
Dirac–Gleichung (I)
☞ Zwei Arten von Spinoren: ξ und η
Dirac–Gleichung (I)
☞ Zwei Arten von Spinoren: ξ und η
☞ Paritätstransformation (Raumspiegelung)
P : ~v → − ~v
Dirac–Gleichung (I)
☞ Zwei Arten von Spinoren: ξ und η
☞ Paritätstransformation (Raumspiegelung)
P : ~v → − ~v
. . . vertauscht nicht mit Lorentz–Boosts
P B~v x = B−~v P x
Dirac–Gleichung (I)
☞ Zwei Arten von Spinoren: ξ und η
☞ Paritätstransformation (Raumspiegelung)
P : ~v → − ~v
. . . vertauscht nicht mit Lorentz–Boosts
P B~v x = B−~v P x
. . . aber mit Rotationen
P R~n·θ x = R~n·θ P x
Dirac–Gleichung (I)
☞ Zwei Arten von Spinoren: ξ und η
☞ Paritätstransformation (Raumspiegelung)
P : ~v → − ~v
. . . vertauscht nicht mit Lorentz–Boosts
P B~v x = B−~v P x
. . . aber mit Rotationen
P R~n·θ x = R~n·θ P x
➥ Wirkung auf Generatoren
~ → −K
~
P : K
und
~ → J
~
J
Dirac–Gleichung (I)
☞ Zwei Arten von Spinoren: ξ und η
☞ Paritätstransformation (Raumspiegelung)
P : ~v → − ~v
. . . vertauscht nicht mit Lorentz–Boosts
P B~v x = B−~v P x
. . . aber mit Rotationen
P R~n·θ x = R~n·θ P x
➥ Wirkung auf Generatoren
~ → −K
~
P : K
und
~ → J
~
J
➥ Spinoren werden ausgetauscht
P : ξ ↔ η
Dirac–Gleichung (II)
☞ Vierkomponentiger Spinor
ξ
Ψ =
η
Dirac–Gleichung (II)
☞ Vierkomponentiger Spinor
ξ
Ψ =
η
☞ Lorentztransformation
Lorentztransformation
ξ
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
η
~
ei 2 [~σ·(θ−i ~ϕ)]
0
1
0
~
ei 2 [~σ·(θ+i ϕ~ )]
1
!
ξ
η
Dirac–Gleichung (II)
☞ Vierkomponentiger Spinor
ξ
Ψ =
η
☞ Lorentztransformation
Lorentztransformation
ξ
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
η
~
ei 2 [~σ·(θ−i ~ϕ)]
0
☞ Paritätstransformation
Paritatstransformation
ξ
0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
η
1
1
1
0
0
~
ei 2 [~σ·(θ+i ϕ~ )]
1
ξ
η
!
ξ
η
Dirac–Gleichung (III)
☞ Lorentz–Boost
Lorentz−Boost
1
ξ −−−−−−−−−−−→ e 2 σ~ ·~ϕ ξ =
h
cosh
ϕ
2
~ sinh
+σ
~ ·n
ϕ i
2
ξ
Dirac–Gleichung (III)
☞ Lorentz–Boost
Lorentz−Boost
1
ξ −−−−−−−−−−−→ e 2 σ~ ·~ϕ ξ =
h
cosh
ϕ
2
~ sinh
+σ
~ ·n
ϕ i
2
ξ
➥ Zusammenhang zwischen Spinor im Ruhesystem und
bewegten System
1
ξ(~p) = exp − σ
~ ·ϕ
~ ξ(0)
2
~ mit n
~ =
ϕ
~ = ϕ·n
~p
|~p|
Dirac–Gleichung (III)
☞ Lorentz–Boost
Lorentz−Boost
1
ξ −−−−−−−−−−−→ e 2 σ~ ·~ϕ ξ =
h
cosh
ϕ
2
~ sinh
+σ
~ ·n
ϕ i
2
ξ
➥ Zusammenhang zwischen Spinor im Ruhesystem und
bewegten System
1
ξ(~p) = exp − σ
~ ·ϕ
~ ξ(0)
2
analog
E+m+σ
~ · ~p
η(~p) = p
η(0)
2m (E + m)
Dirac–Gleichung (IV)
☞ Ansatz für ~p = 0
ξ(0) = η(0)
Dirac–Gleichung (IV)
☞ Ansatz für ~p = 0
ξ(0) = η(0)
☞ Relationen zwischen Spinor mit ~p = 0 und ~p , 0
ξ(0)
=
η(0)
=
E+m+σ
~ · ~p
p
ξ(~p)
2m (E + m)
E+m−σ
~ · ~p
p
η(~p)
2m (E + m)
Dirac–Gleichung (IV)
☞ Ansatz für ~p = 0
ξ(0) = η(0)
☞ Relationen zwischen Spinor mit ~p = 0 und ~p , 0
ξ(0)
=
η(0)
=
E+m+σ
~ · ~p
p
ξ(~p)
2m (E + m)
E+m−σ
~ · ~p
p
η(~p)
2m (E + m)
➥ Kombination
ξ(~p) =
η(~p) =
E−σ
~ · ~p
η(~p)
m
E+σ
~ · ~p
ξ(~p)
m
γ–Matrizen
☞ γ–Matrizen (in der chiralen Darstellung)
0 12
0
σi
0
i
γ =
, γ =
12 0
−σi 0
oder kompakter
0 σµ
µ
γ =
σ̄µ 0
Dirac–Gleichung (V)
☞ Wir hatten gesehen
1 · p0 + σi pi
−m
ξ(~p)
= 0
·
η(~p)
1 · p0 − σi pi
−m
Dirac–Gleichung (V)
☞ Wir hatten gesehen
1 · p0 + σi pi
−m
ξ(~p)
= 0
·
η(~p)
1 · p0 − σi pi
−m
☞ Vierer–Spinor
ξ(~p)
Ψ(~p) =
η(~p)
Dirac–Gleichung (V)
☞ Wir hatten gesehen
1 · p0 + σi pi
−m
ξ(~p)
= 0
·
η(~p)
1 · p0 − σi pi
−m
☞ Vierer–Spinor
ξ(~p)
Ψ(~p) =
η(~p)
➥ Matrix–Gleichung
0
γ p0 − ~γ · ~p − m Ψ(~p) = 0
Dirac–Gleichung (V)
☞ Wir hatten gesehen
1 · p0 + σi pi
−m
ξ(~p)
= 0
·
η(~p)
1 · p0 − σi pi
−m
☞ Vierer–Spinor
ξ(~p)
Ψ(~p) =
η(~p)
➥ Matrix–Gleichung
0
γ p0 − ~γ · ~p − m Ψ(~p) = 0
↓
Korrespondenzprinzip
γµ pµ − m Ψ(x) = 0
↓
Weyl–Gleichungen
☞ Betrachte den Fall m = 0
p0 + σ
~ · ~p ξ(~p) = 0
p0 − σ
~ · ~p η(~p) = 0
Weyl–Gleichungen
☞ Betrachte den Fall m = 0
p0 + σ
~ · ~p ξ(~p) = 0
p0 − σ
~ · ~p η(~p) = 0
äquivalent zu
σ
~ · ~p
ξ(~p) =
|~p|
σ
~ · ~p
η(~p) =
|~p|
−ξ(~p)
η(~p)
➥ Spinoren ξ und η sind Eigenspinoren zu
σ
~ · ~p
|~p|
Interpretation der Spinoren ξ und η
~v
)
ξ
~v
)
η
Bilineare Kovarianten
☞ Allgemeine Struktur
Lorentz–Tensor = Ψ(x) M Ψ
Bilineare Kovarianten
☞ Allgemeine Struktur
Lorentz–Tensor = Ψ(x) M Ψ
☞ Konventionelle Basis der M–Matrizen

14
y Skalar


 µ

y Vektor
 γ
M =
y antisymmetrischer Tensor
Σµν = 2i [γµ , γν ]


i
γ
y
Pseudoskalar

5

 µ
γ γ5
y Pseudovektor
Matrix γ5
☞ Definition
γ5
=
=
i γ0 γ1 γ2 γ3
−12 0
12
0
(Chirale Darstellung)
Matrix γ5
☞ Definition
γ5
=
=
i γ0 γ1 γ2 γ3
−12 0
12
0
☞ Eigenschaften
γµ γ5
=
−γ5 γµ
(Chirale Darstellung)
Matrix γ5
☞ Definition
γ5
=
=
i γ0 γ1 γ2 γ3
−12 0
12
0
☞ Eigenschaften
γµ γ5
γ5 , Σµν
=
=
−γ5 γµ
0
(Chirale Darstellung)
Matrix γ5
☞ Definition
γ5
=
=
i γ0 γ1 γ2 γ3
−12 0
12
0
(Chirale Darstellung)
☞ Eigenschaften
γµ γ5
γ5 , Σµν
S γ5
=
=
=
−γ5 γµ
0
(det Λ) γ5 S
☞ det Λ = 1 für eigentliche Lorentz–Transformationen
Dirac–Darstellung (I)
☞ Superposition von ξ und η
ϕ
χ
ψ1
ψ2
1
= √ (η + ξ)
2
3 1
ψ
√ (η − ξ)
=
ψ4
2
=
Dirac–Darstellung (I)
☞ Superposition von ξ und η
ϕ
χ
ψ1
ψ2
1
= √ (η + ξ)
2
3 1
ψ
√ (η − ξ)
=
ψ4
2
=
☞ Chirale und Dirac–Darstellung
 1 
ψ
 ψ2 
ϕ
ξ


ΨC =
und ΨD =  3  =
η
χ
ψ
4
ψ
Dirac–Darstellung (I)
☞ Superposition von ξ und η
ϕ
χ
ψ1
ψ2
1
= √ (η + ξ)
2
3 1
ψ
√ (η − ξ)
=
ψ4
2
=
☞ Chirale und Dirac–Darstellung
 1 
ψ
 ψ2 
ϕ
ξ


ΨC =
und ΨD =  3  =
η
χ
ψ
4
ψ
☞ Basis- bzw. Darstellungs–Wechsel
1
1
ΨD = T ΨC
mit T = √
−1
2
1
1
Dirac–Darstellung (II)
☞ Dirac–Gleichung forminvariant
µ
i γD
∂µ − m ΨD = 0
Dirac–Darstellung (II)
☞ Dirac–Gleichung forminvariant
µ
i γD
∂µ − m ΨD = 0
☞ γ–Matrizen in Dirac–Darstellung
0
γD
=
i
γD
=
γ5
=
1
0 1
1 0
0
0
−σi
0
−1
σi
0
Raumspiegelung
☞ Paritätstransformation von Vektoren
~x ′ = − ~x ,
t′ = + t
Raumspiegelung
☞ Paritätstransformation von Vektoren
~x ′ = − ~x ,
t′ = + t
☞ Paritätstransformation von Spinoren
P : Ψ(x) → Ψ′ (x′ ) = P Ψ(x)
Raumspiegelung
☞ Paritätstransformation von Vektoren
~x ′ = − ~x ,
t′ = + t
☞ Paritätstransformation von Spinoren
P : Ψ(x) → Ψ′ (x′ ) = P Ψ(x)
☞ Explizite Matrix P in chiraler und Dirac–Darstellung
P = γ0
Raumspiegelung
☞ Paritätstransformation von Vektoren
~x ′ = − ~x ,
t′ = + t
☞ Paritätstransformation von Spinoren
P : Ψ(x) → Ψ′ (x′ ) = P Ψ(x)
☞ Explizite Matrix P in chiraler und Dirac–Darstellung
P = γ0
☞ Explizite Transformation in chiraler Darstellung
P
ξ −
→ η
Raumspiegelung
☞ Paritätstransformation von Vektoren
~x ′ = − ~x ,
t′ = + t
☞ Paritätstransformation von Spinoren
P : Ψ(x) → Ψ′ (x′ ) = P Ψ(x)
☞ Explizite Matrix P in chiraler und Dirac–Darstellung
P = γ0
☞ Explizite Transformation in chiraler Darstellung
P
ξ −
→ η
☞ Explizite Transformation in Dirac–Darstellung
P
ϕ −
→ ϕ und
P
χ −
→ −χ
Die Rolle von γ5
☞ Links- bzw. rechts–chiraler Anteil von Ψ
ΨL :=
1
1
(1 − γ5 ) Ψ bzw. ΨR := (1 + γ5 ) Ψ
2
2
Die Rolle von γ5
☞ Links- bzw. rechts–chiraler Anteil von Ψ
ΨL :=
1
1
(1 − γ5 ) Ψ bzw. ΨR := (1 + γ5 ) Ψ
2
2
☞ In Dirac–Darstellung
1
η+ξ
ΨD = √
η−ξ
2
=⇒
1
ΨR = √
2
η
η
,
1
ΨL = √
2
ξ
−ξ
Die Rolle von γ5
☞ Links- bzw. rechts–chiraler Anteil von Ψ
ΨL :=
1
1
(1 − γ5 ) Ψ bzw. ΨR := (1 + γ5 ) Ψ
2
2
☞ In Dirac–Darstellung
1
η+ξ
ΨD = √
η−ξ
2
=⇒
1
ΨR = √
2
☞ Chiralitäts–Projektions–Operatoren
ΠC
± =
1
(1 ± γ5 )
2
η
η
,
1
ΨL = √
2
ξ
−ξ
Dirac–Gleichung und Klein–Gordon–Gleichung
☞ Dirac–Gleichung
i γ µ ∂µ − m Ψ = 0
Dirac–Gleichung und Klein–Gordon–Gleichung
☞ Dirac–Gleichung
i γ µ ∂µ − m Ψ = 0
☞ Clifford–Algebra
{γν , γµ } = 2 ηµν
Dirac–Gleichung und Klein–Gordon–Gleichung
☞ Dirac–Gleichung
i γ µ ∂µ − m Ψ = 0
☞ Clifford–Algebra
{γν , γµ } = 2 ηµν
➥ Jede Komponente des Dirac–Spinors erfüllt
Klein–Gordon–Gleichung
+ m2 Ψ = 0
Lösungen zu negativen Energien
☞ Für ~p = 0 ergibt die Dirac–Gleichung
γ 0 p0 Ψ = m Ψ
γ0 =
12
0
y
0
−12
p0 Ψ = m γ 0 Ψ
Ψ =
ϕ
χ
Lösungen zu negativen Energien
☞ Für ~p = 0 ergibt die Dirac–Gleichung
γ 0 p0 Ψ = m Ψ
γ0 =
12
0
y
0
−12
p0 Ψ = m γ 0 Ψ
➥ E = m für ϕ und E = −m für χ
Ψ =
ϕ
χ
Löcher–Theorie
•
•
•
•
•
•
•
E=
0

Dirac-See

Löcher–Theorie und Paar–Erzeugung
•
γ
•
•
•
•
•
•
•
E=
0

Dirac-See

•
•
•
◦
•
•
•
ε′
E=
0

−ε Dirac-See

Löcher–Theorie und Paar–Erzeugung
•
γ
•
•
•
•
•
•
•
E=
0

Dirac-See

☞ (Um-)Interpretation
Zustand mit
Loch mit
↔
−E, −Q, ~p, s
E, Q, −~p, −s
•
•
•
◦
•
•
•
ε′
E=
0

−ε Dirac-See

Löcher–Theorie und Paar–Erzeugung
•
γ
•
•
•
•
•
•
•
E=
0

Dirac-See

☞ (Um-)Interpretation
Zustand mit
Loch mit
↔
−E, −Q, ~p, s
E, Q, −~p, −s
☞ Bild veraltet
•
•
•
◦
•
•
•
ε′
E=
0

−ε Dirac-See

Lösungen der Dirac–Gleichung für freie Teilchen
☞ Dirac–Gleichung im Impulsraum
γµ pµ − m u(p) = 0
Lösungen der Dirac–Gleichung für freie Teilchen
☞ Dirac–Gleichung im Impulsraum
γµ pµ − m u(p) = 0
☞ Ansatz für ~p = 0
(s)
u (~p = 0) =
mit
(1)
χ
=
1
0
√
m
und
χ(s)
χ(s)
(2)
χ
=
0
1
Lösungen der Dirac–Gleichung für freie Teilchen
☞ Dirac–Gleichung im Impulsraum
γµ pµ − m u(p) = 0
☞ Ansatz für ~p = 0
(s)
u (~p = 0) =
√
m
χ(s)
χ(s)
➥ Für ~p , 0
u(s) (p) =
√
p · σ χ(s)
√
p · σ̄ χ(s)
➥ Lösung zu positiven Frequenzen
X
Ψ(x) =
bs u(s) (p) e−i p·x
s
Lösungen der Dirac–Gleichung für freie Teilchen
☞ Lösung zu positiven Frequenzen
X
Ψ(x) =
bs u(s) (p) e−i p·x
s
Lösungen der Dirac–Gleichung für freie Teilchen
☞ Lösung zu positiven Frequenzen
X
Ψ(x) =
bs u(s) (p) e−i p·x
s
☞ Lösung zu negativen Frequenzen
X
Ψ(x) =
cs v(s) (p) ei p·x
s
mit
v(s) =
√
p · σ χ(s)
√
− p · σ̄ χ(s)
Lösungen der Dirac–Gleichung für freie Teilchen
☞ Lösung zu positiven Frequenzen
X
Ψ(x) =
bs u(s) (p) e−i p·x
s
☞ Lösung zu negativen Frequenzen
X
Ψ(x) =
cs v(s) (p) ei p·x
s
mit
v(s) =
√
p · σ χ(s)
√
− p · σ̄ χ(s)
☞ v(s) erfüllt
γµ pµ + m v(s) (p) = 0
Eigenschaften der Spinoren u(s) und v(s)
☞ „Normierung“
u(r) † u(s)
= 2 E δrs
u(r) u(s)
v(r) † v(s)
= 2 m δrs
= 2 E δrs
v(r) v(s)
= −2 m δrs
Eigenschaften der Spinoren u(s) und v(s)
☞ „Normierung“
u(r) † u(s)
= 2 E δrs
u(r) u(s)
v(r) † v(s)
= 2 m δrs
= 2 E δrs
v(r) v(s)
= −2 m δrs
☞ „Vollständigkeitsrelationen“
X
s
u(s) (p) u(s) (p) = γ · p + m
s
v(s) (p) v(s) (p) = γ · p − m
X
Dirac–Feld
☞ Lagrangedichte
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ
γ–Matrizen
Dirac
ViererSpinor
adjungierter
Spinor
γ–Matrizen
☞ Clifford-Algebra
γµ , γν = 2 ηµν
γ–Matrizen
☞ Clifford-Algebra
γµ , γν = 2 ηµν
☞ Dirac–Darstellung
12 0
0
γ =
0 −12
und
i
γ =
0
−σi
σi
0
γ–Matrizen
☞ Clifford-Algebra
γµ , γν = 2 ηµν
☞ Dirac–Darstellung
12 0
0
γ =
0 −12
und
i
γ =
0
−σi
σi
0
☞ Weyl–Darstellung
0 σµ
γµ =
σ̄µ 0
(σ̄µ ) = (12 , −~
σ)
(σµ ) = (12 , σ
~)
γ–Matrizen
☞ Clifford-Algebra
γµ , γν = 2 ηµν
☞ Dirac–Darstellung
12 0
0
γ =
0 −12
und
i
γ =
0
−σi
σi
0
☞ Weyl–Darstellung
0 σµ
γµ =
σ̄µ 0
☞ Zusammenhang zwischen Dirac- und Weyl–Darstellung
1
12 −12
µ
µ
γDirac
= U † γWeyl
U
mit U = √
12 12
2
Dirac–Gleichung
☞ Lagrangedichte
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ
γ–Matrizen
Dirac
ViererSpinor
adjungierter
Spinor
Dirac–Gleichung
☞ Lagrangedichte
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ
☞ Euler–Lagrange–Gleichungen
∂L
∂L
− ∂µ
= 0
∂Ψ
∂(∂µΨ)
Dirac–Gleichung
☞ Lagrangedichte
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ
☞ Euler–Lagrange–Gleichungen
∂L
∂L
− ∂µ
= 0
∂Ψ
∂(∂µΨ)
➥ Dirac–Gleichung
i γµ ∂µ − m Ψ(x) = 0
Dirac–Gleichung
☞ Lagrangedichte
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ
☞ Euler–Lagrange–Gleichungen
∂L
∂L
− ∂µ
= 0
∂Ψ
∂(∂µΨ)
➥ Dirac–Gleichung
i γµ ∂µ − m Ψ(x) = 0
☞ Feynman–„Dagger“
µ
p
= i ∂ =: i γ ∂µ
Dirac–Gleichung & Basis–Lösungen
☞ Dirac–Gleichung
i γµ ∂µ − m Ψ =: i ∂
−m Ψ = 0
Dirac–Gleichung & Basis–Lösungen
☞ Dirac–Gleichung
i γµ ∂µ − m Ψ =: i ∂
−m Ψ = 0
☞ Lösungen mit positiven und negativen Frequenzen
Ψpos (x) =
Ψneg (x) =
exp(−i p · x) u(s) (p)
exp(i p · x) v(s) (p)
Dirac–Gleichung & Basis–Lösungen
☞ Dirac–Gleichung
i γµ ∂µ − m Ψ =: i ∂
−m Ψ = 0
☞ Lösungen mit positiven und negativen Frequenzen
Ψpos (x) =
Ψneg (x) =
exp(−i p · x) u(s) (p)
exp(i p · x) v(s) (p)
☞ Spinoren u und v
√
p · σ χ(s)
(s)
√
u =
p · σ̄ χ(s)
χ(1) =
1
0
und
(s)
v
√
p · σ ε χ(s)
√
= −
p · σ̄ ε χ(s)
χ(2) =
0
1
Dirac–Gleichung & Basis–Lösungen
☞ Dirac–Gleichung
i γµ ∂µ − m Ψ =: i ∂
−m Ψ = 0
☞ Lösungen mit positiven und negativen Frequenzen
Ψpos (x) =
Ψneg (x) =
exp(−i p · x) u(s) (p)
exp(i p · x) v(s) (p)
☞ Spinoren u und v
√
p · σ χ(s)
(s)
√
u =
p · σ̄ χ(s)
ε =
und
(s)
v
0 1
−1 0
√
p · σ ε χ(s)
√
= −
p · σ̄ ε χ(s)
Dirac–Gleichung & Basis–Lösungen
☞ Dirac–Gleichung
i γµ ∂µ − m Ψ =: i ∂
−m Ψ = 0
☞ Lösungen mit positiven und negativen Frequenzen
Ψpos (x) =
Ψneg (x) =
exp(−i p · x) u(s) (p)
exp(i p · x) v(s) (p)
☞ Spinoren u und v
√
p · σ χ(s)
(s)
√
u =
p · σ̄ χ(s)
und
(s)
v
√
p · σ ε χ(s)
√
= −
p · σ̄ ε χ(s)
p·σ+m
√
p·σ = p
2 (p0 + m)
Dirac–Gleichung & Basis–Lösungen
☞ Dirac–Gleichung
i γµ ∂µ − m Ψ =: i ∂
−m Ψ = 0
☞ Lösungen mit positiven und negativen Frequenzen
Ψpos (x) =
Ψneg (x) =
exp(−i p · x) u(s) (p)
exp(i p · x) v(s) (p)
☞ Spinoren u und v
√
p · σ χ(s)
(s)
√
u =
p · σ̄ χ(s)
und
(s)
v
√
p · σ ε χ(s)
√
= −
p · σ̄ ε χ(s)
p
p · σ̄ + m
p · σ̄ = p
2 (p0 + m)
Eigenschaften der Spinoren u und v
☞ Definierende Eigenschaften
(s)
(p
− m) u (~p) =
(s)
(p
+ m) v (~p) =
0
0
Eigenschaften der Spinoren u und v
☞ Definierende Eigenschaften
(s)
(p
− m) u (~p) =
(s)
(p
+ m) v (~p) =
0
0
☞ Vollständigkeit
X
u(s) (p) u(s) (p) = p
+m
s
X
v(s) (p) v(s) (p) = p
−m
s
Klassisches Dirac–Feld
☞ Impulsfeld
π(x) =
∂L
(x) = i Ψ†
∂Ψ̇
Klassisches Dirac–Feld
☞ Impulsfeld
π(x) =
∂L
(x) = i Ψ†
∂Ψ̇
☞ Impulsfeld zu Ψ
π(x) =
∂L
= 0
˙
∂Ψ
☞ Hamiltondichte
H
=
=
π Ψ̇ − L
~ + m) Ψ = Ψ† i
Ψ† γ0 (−i ~γ · ∇
∂Ψ
∂t
Quantisierung des Dirac–Feldes
☞ Klassisches Feld
Ψ(x) =
Z
Z
d3 p 1 X (s)
−i p·x
(s)
+i p·x
√
b
(p)
u
(p)
e
+
c
(p)
v
(p)
e
s
s
(2π)3 2 p0 s
d4 p
δ(p2 − m2 ) ∝
(2π)4
Z
d3 p 1
relativistisch invariant
(2π)3 2 p0
Quantisierung des Dirac–Feldes
☞ Klassisches Feld
Ψ(x) =
Z
d3 p 1 X (s)
−i p·x
(s)
+i p·x
√
b
(p)
u
(p)
e
+
c
(p)
v
(p)
e
s
s
(2π)3 2 p0 s
☞ Naiver Feldoperator
Ψnaiv (x) =
Z
X
1
d3 p
(s)
−i p·x
(s)
+i p·x
p
c
(p)
u
(p)
e
+
d
(p)
v
(p)
e
s
s
(2π)3
2 p0 s
Vernichtet
Welle mit positiver
Frequenz
Vernichtet
Welle mit negativer
Frequenz
Quantisierung des Dirac–Feldes
☞ Klassisches Feld
Ψ(x) =
Z
d3 p 1 X (s)
−i p·x
(s)
+i p·x
√
b
(p)
u
(p)
e
+
c
(p)
v
(p)
e
s
s
(2π)3 2 p0 s
☞ Besserer Feldoperator
Ψ(x) =
Z
X
1
d3 p
†
(s)
−i p·x
(s)
+i p·x
p
c
(p)
u
(p)
e
+
d
(p)
v
(p)
e
s
s
(2π)3
2 p0 s
Vernichtet
Welle mit positiver
Frequenz
Erzeugt
Welle mit negativer
Frequenz
Quantisierung des Dirac–Feldes
☞ Klassisches Feld
Ψ(x) =
Z
d3 p 1 X (s)
−i p·x
(s)
+i p·x
√
b
(p)
u
(p)
e
+
c
(p)
v
(p)
e
s
s
(2π)3 2 p0 s
☞ Besserer Feldoperator
Ψ(x) =
Z
X
1
d3 p
†
(s)
−i p·x
(s)
+i p·x
p
c
(p)
u
(p)
e
+
d
(p)
v
(p)
e
s
s
(2π)3
2 p0 s
Vernichtet
Teilchen
Erzeugt
Anti–Teilchen
Quantisierung des Dirac–Feldes
☞ Klassisches Feld
Z
Ψ(x) =
d3 p 1 X (s)
−i p·x
(s)
+i p·x
√
b
(p)
u
(p)
e
+
c
(p)
v
(p)
e
s
s
(2π)3 2 p0 s
☞ Besserer Feldoperator
Z
Ψ(x) =
X
1
d3 p
†
(s)
−i p·x
(s)
+i p·x
p
c
(p)
u
(p)
e
+
d
(p)
v
(p)
e
s
s
(2π)3
2 p0 s
☞ Operator des adjungierten Spinorfeldes
Ψ(x) =
Z
X
d3 p
1
p
c†s (p) u(s) (p) e+i p·x + ds (p) v(s) (p) e−i p·x
3
(2π)
2 p0 s
Erzeugt
Teilchen
Vernichtet
Anti–Teilchen
Hamilton–Operator vs. Vertauschungsrelationen
☞ Hamilton–Operator
Z
i
Xh
d3 k
†
†
k
H =
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
0
s
s
s
s
(2π)3
s=1,2
Hamilton–Operator vs. Vertauschungsrelationen
☞ Hamilton–Operator
Z
i
Xh
d3 k
†
†
k
H =
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
0
s
s
s
s
(2π)3
s=1,2
☞ Fordern von Kommutationsrelationen für ds und d†s liefert
?
H =
Z
i
Xh
d3 k
†
†
k
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
+ Evac
0
s
s
s
s
(2π)3
s=1,2
kann
wegdiskutiert
werden
Hamilton–Operator vs. Vertauschungsrelationen
☞ Hamilton–Operator
Z
i
Xh
d3 k
†
†
k
H =
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
0
s
s
s
s
(2π)3
s=1,2
☞ Fordern von Kommutationsrelationen für ds und d†s liefert
?
H =
Z
i
Xh
d3 k
†
†
k
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
+ Evac
0
s
s
s
s
(2π)3
s=1,2
☞ Problem: H nicht nach unten beschränkt
Hamilton–Operator vs. Vertauschungsrelationen
☞ Hamilton–Operator
Z
i
Xh
d3 k
†
†
k
H =
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
0
s
s
s
s
(2π)3
s=1,2
☞ Fordern von Kommutationsrelationen für ds und d†s liefert
?
H =
Z
i
Xh
d3 k
†
†
k
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
+ Evac
0
s
s
s
s
(2π)3
s=1,2
☞ Problem: H nicht nach unten beschränkt
☞ Lösung: Fordere Anti–Kommutationsrelationen
n
cs (k), c†s′ (k′ )
o
=
n
ds (k), d†s′ (k′ )
o
= (2π)3 δ(3) (~k − ~k ′ ) δss′
Relationen für Fermi–Operatoren
☞ Anti–Kommutationsrelationen
n
o
n
o
cs (k), c†s′ (k′ ) = ds (k), d†s′ (k′ ) = (2π)3 δ(3) (~k − ~k ′ ) δss′
Relationen für Fermi–Operatoren
☞ Anti–Kommutationsrelationen
n
o
n
o
cs (k), c†s′ (k′ ) = ds (k), d†s′ (k′ ) = (2π)3 δ(3) (~k − ~k ′ ) δss′
☞ Normalordnung für Fermionen
: c†s (k) cs′ (k′ ) :
: cs′ (k′ ) c†s (k) :
=
=
c†s (k) cs′ (k′ )
− c†s (k) cs′ (k′ )
Relationen für Fermi–Operatoren
☞ Anti–Kommutationsrelationen
n
o
n
o
cs (k), c†s′ (k′ ) = ds (k), d†s′ (k′ ) = (2π)3 δ(3) (~k − ~k ′ ) δss′
☞ Normalordnung für Fermionen
: c†s (k) cs′ (k′ ) :
: cs′ (k′ ) c†s (k) :
=
=
c†s (k) cs′ (k′ )
− c†s (k) cs′ (k′ )
☞ Anti–Vertauschungsrelation für Ψ und Ψ†
n
Ψα (~x, t), Ψ†β (~x ′ , t)
o
= δ(3) (~x − ~x ′ ) δαβ
Dirac–Stromdichte
☞ Lagrangedichte des freien Dirac–Feldes
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ
Dirac–Stromdichte
☞ Lagrangedichte des freien Dirac–Feldes
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ
☞ U(1) Symmetrie
Ψ(x) → ei α Ψ(x)
Ψ(x) → e−i α Ψ(x)
Dirac–Stromdichte
☞ Lagrangedichte des freien Dirac–Feldes
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ
☞ U(1) Symmetrie
Ψ(x) → ei α Ψ(x)
Ψ(x) → e−i α Ψ(x)
☞ Klassischer Noether–Strom
jµ (x) = Ψ(x) γµ Ψ(x)
Dirac–Stromdichte
☞ Lagrangedichte des freien Dirac–Feldes
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ
☞ U(1) Symmetrie
Ψ(x) → ei α Ψ(x)
Ψ(x) → e−i α Ψ(x)
☞ Klassischer Noether–Strom
jµ (x) = Ψ(x) γµ Ψ(x)
☞ Zugehöriger Feldoperator
jµ (x) =
: Ψ(x) γµ Ψ(x) :
Erhaltene Ladung
☞ Operator für die erhaltene Ladung
Q =
=
Z
Z
d3 x j0 (x)
i
d3 k X h †
†
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
s
s
s
s
(2π3 ) s
Erhaltene Ladung
☞ Operator für die erhaltene Ladung
Q =
=
Z
Z
d3 x j0 (x)
i
d3 k X h †
†
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
s
s
s
s
(2π3 ) s
➥ Teilchen und Antiteilchen tragen entgegengesetzt zur
Ladungsbilanz bei
Erhaltene Ladung
☞ Operator für die erhaltene Ladung
Q =
=
Z
Z
d3 x j0 (x)
i
d3 k X h †
†
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
s
s
s
s
(2π3 ) s
➥ Teilchen und Antiteilchen tragen entgegengesetzt zur
Ladungsbilanz bei
☞ Ladung auf Quanten–Niveau nicht notwendigerweise
erhalten (y Anomalien)
Dirac–Propagator (I)
☞ Gesucht: Greensche Funktion S zur Dirac–Gleichung
(4)
(i ∂
− m) S(x − y) = i δ (x − y)
Dirac–Propagator (I)
☞ Gesucht: Greensche Funktion S zur Dirac–Gleichung
(4)
(i ∂
− m) S(x − y) = i δ (x − y)
☞ Bestimmungsgleichung für Fourier–Transformierte
b
(k
= i
− m) S(k)
Dirac–Propagator (I)
☞ Gesucht: Greensche Funktion S zur Dirac–Gleichung
(4)
(i ∂
− m) S(x − y) = i δ (x − y)
☞ Bestimmungsgleichung für Fourier–Transformierte
b
(k
= i
− m) S(k)
☞ Verwende
µ ν
2
2
(k
+ m) (k
− m) = k
k
− m 14 = kµ kν γ γ − m 14 =
➥ Fourier–Transformierte
i (k
+ m)
b
S(k)
= 2
k − m2
k2 − m2
14
Dirac–Propagator (II)
☞ Analogie zum Skalarfeld
(SF )αβ = h−| T Ψα (x) Ψβ (x′ ) |−i
Dirac–Propagator (II)
☞ Analogie zum Skalarfeld
(SF )αβ = h−| T Ψα (x) Ψβ (x′ ) |−i
➥ Polstruktur wie beim Feynman–Propagator
Z
i (k
d4 k −i k·x
+ m)
e
(SF )αβ =
(2π)4
k2 − m2 + i ε αβ
Im ω
−ωk + i ε
•
|
Re ω
|
•
ωk − i ε
Dirac–Propagator (II)
☞ Analogie zum Skalarfeld
(SF )αβ = h−| T Ψα (x) Ψβ (x′ ) |−i
➥ Polstruktur wie beim Feynman–Propagator
Z
i (k
d4 k −i k·x
+ m)
e
(SF )αβ =
(2π)4
k2 − m2 + i ε αβ
☞ Dirac–Propagator im Ortsraum
Z
i (k
d4 k −i k·x
+ m)
e
(SF )αβ =
(2π)4
k2 − m2 + i ε αβ