4. Schularbeit - Antonkriegergasse
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4. Schularbeit 1. 6A Von einer dreiseitigen Pyramide (s. allgemeine Skizze) kennt man alle 4 Punkte: ( ) ( ) ( ) ( ) A = 8 4 6 , B = 3 !4 8 , C = 10 !4 ! 6 , S = 9 !7 11 a) Zeige durch Berechnung der Längen von AB und BC , dass die Grundfläche G kein gleichseitiges Dreieck bildet! [4 Punkte] b) Berechne die Winkel !ABS und !CBS ! Was kann man über die Lage von BS bezüglich der Grundfläche aussagen? [4 Punkte] c) Berechne das Volumen der Pyramide auf zwei Arten: Mit der G!h Kreuzprodukt-Formel und mit der Formel . [6 Punkte] 3 d) Berechne die Oberfläche der Pyramide auf 2 Dezimalstellen genau! [6 Punkte] e) Berechne die Länge der Seitenhöhe FS ! Runde Zwischenergebnisse auf 3!Dezimalstellen, das Endergebnis auf 2 Dezimalstellen. [4 Punkte] Einige Ergebnisse (ohne Gewähr): V = 168 E3; O = 248,51 E2; F = ( 8,283 | 2,868 | 4,302 ) ACHTUNG! Schreib bei den Aufgaben 2—5 die Art der Kombination dazu: Permutation, gSmZ, uSoZ u.s.w. 2. 3. 4. 5. Beim Fußball-Toto werden die Symbole 1,2,X verwendet. Eine Kolonne hat 12 Tipps. Wie viele unterschiedliche Kolonnen sind möglich? [4 Punkte] Aus einer Sendung von 200 Kisten werden für eine Stichprobe 3 Kisten willkürlich ausgewählt. Wie viele verschiedene Stichproben sind damit möglich? Schreibe die Formel auf, die du zur Lösung dieser Aufgabe benötigst! [4 Punkte] Bei einer Tombola mit 200 Losen werden 10 Preise gezogen. Jemand kauft sich 4 Lose. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Preis zu gewinnen? [4 Punkte] Die Firma „LALILA“ veranstaltet ein Gewinnspiel: In einer Urne befinden sich 6 Kugeln, die mit den Buchstaben A, A, I, L, L, L beschriftet sind. Die Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wenn die Buchstaben L-A-L-I-L-A (in dieser Reihenfolge) gezogen werden gibt es einen Gewinn. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen? a) Löse diese Aufgabe mit einem Baum! [4 Punkte] b) Löse diese Aufgabe mit der Formel günstige Möglichkeiten ! [4 Punkte] alle Möglichkeiten c) Angenommen, der Spieleinsatz beträgt 1 ". Wie hoch müsste der Gewinn sein, damit das Spiel fair ist? [4 Punkte] Insgesamt 48 Punkte 0—23 Nicht genügend 24—30 Genügend 31—37 Befriedigend 38—43 Gut 44—48 Sehr gut Formeln für Geometrie: ! ! Fläche des Parallelogramms: A = a ! b Fläche des Dreiecks: A = ! ! ! ! Länge der Projektion von a auf b : d = a ! b0 ! ! a"b ! Winkel zwischen zwei Vektoren: ! = arccos ! | a | "| b | V der dreiseitigen Pyramide: V = 1 ! ! ! ! c ! a"b 6 ( ) Mittelpunkt von A und B: 1 ! ! ! a"b 2 A+B 2 4. Schularbeit 1. 6A Von einer vierseitigen Pyramide (s. Skizze) kennt man alle 5 Punkte: ( ) ( ) ( ) ( ) ( A = 0 2 2 , B = !12 !6 18 , C = !10 !14 6 , D = 2 !6 ! 10 , S = 1 !9 7 ) a) Zeige, dass die Grundfläche ein Parallelogramm bildet und berechne dessen Mittelpunkt M! [4 Punkte] b) Berechne die Winkel !AMS und !BMS ! Was kann man über die Lage der Spitze S bezüglich der Grundfläche aussagen? [4 Punkte] c) Berechne das Volumen der Pyramide auf zwei Arten: Mit der G!h Kreuzprodukt-Formel und mit der Formel . [6 Punkte] 3 d) Berechne die Oberfläche der Pyramide auf 2 Dezimalstellen genau! [6 Punkte] e) Berechne die Länge der Seitenhöhe FS ! Runde Zwischenergebnisse auf 3!Dezimalstellen, das Endergebnis auf 2!Dezimalstellen. [4 Punkte] Einige Ergebnisse (ohne Gewähr): V = 672 E3; O = 657,76 E2; F = ( 0,283 | 0,868 | 0,302 ) ACHTUNG! Schreib bei den Aufgaben 2—5 die Art der Kombination dazu: Permutation, gSmZ, uSoZ u.s.w. 2. 3. 4. 5. Wie viele 5-ziffrige Zahlen können aus den Ziffern (1,3,5,7,9) gebildet werden, wenn alle Ziffern verschieden sein müssen? [4 Punkte] Bei einer Tombola werden aus insgesamt 200 Losen 5 Hauptpreise gezogen, und zwar zuerst der 5., dann der 4. Preis u.s.w. Auf wie viele verschiedene Arten ist das möglich? Schreibe die Formel auf, die du zur Lösung dieser Aufgabe benötigst! [4 Punkte] In einem Bücherregal stehen 40 Bücher, darunter die 3 Bände von „Der Herr der Ringe“. Jemand sucht sich mit verbundenen Augen 7 Bücher aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Band von „Herr der Ringe“ dabei ist? [4 Punkte] Die Firma „BLUB“ veranstaltet ein Gewinnspiel: In einer Urne befinden sich 3 Kugeln, die mit den Buchstaben B, L, U beschriftet sind. Die Kugeln werden nacheinander mit Zurücklegen gezogen. Wenn die Buchstaben B-L-U-B (in dieser Reihenfolge) gezogen werden gibt es einen Gewinn. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen? a) Löse diese Aufgabe mit einem Baum! [4 Punkte] b) Löse diese Aufgabe mit der Formel günstige Möglichkeiten ! [4 Punkte] alle Möglichkeiten c) Angenommen, der Spieleinsatz beträgt 1 ". Wie hoch müsste der Gewinn sein, damit das Spiel fair ist? [4 Punkte] Insgesamt 48 Punkte 0—23 Nicht genügend 24—30 Genügend 31—37 Befriedigend 38—43 Gut 44—48 Sehr gut Formeln für Geometrie: ! ! Fläche des Parallelogramms: A = a ! b Fläche des Dreiecks: A = ! ! ! ! Länge der Projektion von a auf b : d = a ! b0 ! ! a"b ! Winkel zwischen zwei Vektoren: ! = arccos ! | a | "| b | V der vierseitigen Pyramide: V = 1 ! ! ! ! c ! a"b 3 ( ) Mittelpunkt von A und B: 1 ! ! ! a"b 2 A+B 2
