Prüfungsklausur Mathematik für Informatiker III (Stochastik)

B. Schmalfuß
Paderborn, den 22.02.07
Prüfungsklausur Mathematik für Informatiker III
(Stochastik)
1. Klausur
Allgemeine Hinweise:
• Zur Verfügung stehende Zeit: 120 min.
• Hilfsmittel: Formelsammlungen, nichtprogrammierbarer Taschenrechner!
• Das Benutzen von nicht erlaubten Hilfsmitteln bzw. der Informationsaustausch mit anderen Studenten wird mit der sofortigen Abnahme der
Klausur und mit der Note 5.0 bestraft!
• Falls gekürzte Brüche, Wurzeln oder e-Terme im Ergebnis auftreten, müssen
diese nicht in Dezimalbrüche umgewandelt werden, sofern diese Werte
nicht offensichtlich sind.
• Die Rechnungen sind in lesbarer Schrift unter den Aufgabenstellungen
bzw. auf der Rückseite auszuführen. Alle zur Lösung der Aufgabe notwendigen Rechenschritte müssen aufgeschrieben werden. Die farbigen Blätter
sind für Nebenrechnungen, die nicht bepunktet werden.
Vor- und Nachname des Studierenden (Blockschrift):
Matrikelnummer:
Studiengang:
Aufgabe 1(11P)
2(10P) 3(7P)
4(9P) 5(7P) 6(6P)
Zp(5P)1 Σ(50P)
Punkte
Note:
Prüfer:
Datum:
1In den Übungen erworbene Zusatzpunkte
1
2
Aufgabe 1:
Gegeben sei die Matrix

1/3
P =  1/3
1/3
1/3
1/3
1/2

1/3
1/3  .
a
(a) Man bestimme a so, dass P die Übergangsmatrix einer homogenen Markovkette X mit den Zuständen 0, 1, 2 ist. Man zeichne das Übergangsdiagramm.
(b) Man bestimme die Zweischrittübergangsmatrix P (2) . Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sich das System nach zwei Zeitschritten in den
Zuständen 0, 1, 2 aufhält, falls zur Anfangszeit T = 0 gilt:
P (X(0) = 0) = 1/3,
P (X(0) = 1) = 1/3,
(c) Man berechne die stationäre Verteilung.
P (X(0) = 2) = 1/3.
3
Aufgabe 2:
Gegeben sei die Funktion
a|x|3 : −2 ≤ x ≤ 2
0
:
sonst.
(a) Man berechne die Konstante a so, dass f (x) eine Dichtefunktion ist.
(b) Man berechne Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.
(c) Man berechne das 0.25 und das 0.75 Quantil der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.
f (x) =
4
Aufgabe 3:
Gegeben sei die Funktion f (x, y), wobei gilt
1 −y− xy
e
für (x, y) ∈ (0, ∞) × (0, ∞)
y
und f (x, y) = 0 für (x, y) 6∈ (0, ∞) × (0, ∞).
(a) Man zeige, dass f (x, y) eine Dichtefunktion eines zufälligen Vektors (X, Y )
ist. (Hinweis: Bezüglich der dazu notwendigen Integrationen integriere
man zuerst nach x und dann nach y.)
(b) Man berechne die Dichte der Randverteilung von Y und gebe den Erwartungswert von Y an.
f (x, y) =
5
Aufgabe 2:
Gegeben sei die Funktion f (x, y), wobei gilt
1 −y− xy
e
für (x, y) ∈ (0, ∞) × (0, ∞)
y
und f (x, y) = 0 für (x, y) 6∈ (0, ∞) × (0, ∞).
(a) Man zeige, dass f (x, y) eine Dichtefunktion eines zufälligen Vektors (X, Y )
ist. (Hinweis: Bezüglich der dazu notwendigen Integrationen integriere
man zuerst nach x und dann nach y.)
(b) Man berechne die Dichte der Randverteilung von Y und gebe den Erwartungswert von Y an.
Aufgabe 4:
Die Länge X einer Schraubensorte sei N (10, 0.5) verteilt (alle Angaben in Millimeter)
(a) Man berechne die Wahrscheinlichkeit, dass gilt:
f (x, y) =
P (X > 10.2),
P (10.1 < X < 10.3),
P (X ≥ 9.85).
(b) Man berechne g so, dass das Interval I = [10 − g, 10 + g] die zufällige
Länge X mit Wahrscheinlichkeit von 0.95 enthält.
6
Aufgabe 5:
(a) Gegeben sei eine Folge u1 , u2 , u3 , · · · von U (0, 1)–gleichmäßig verteilten
Zufallszahlen. Wie können daraus Weibull-verteilte Zufallszahlen berechnet werden. Man gebe dazu eine Formal an. Die Verteilungsfunktion der
Weibull–Verteilung sei gegeben durch:
p
1 − e−bx , x ≥ 0
FX (x) =
0,
x<0
(b > 0, p > 0).
(b) Gegeben sei mit X eine U (0, 1)–gleichmäßig verteilte Zufallsvariable. Man
berechne die Verteilungsfunktion von Y = ln X.
7
Aufgabe 6:
Von drei Maschinen gleichen Typs werden von der ersten Maschine 25 Prozent,
von der zweiten 25 Prozent und von der dritten 50 Prozent der Gesamtproduktion
hergestellt. Erfahrungsgemäß entstehen bei der ersten Maschine 4 Prozent, bei der
zweiten 6 Prozent und bei der dritten 5 Prozent Ausschuss.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein aus der Gesamtproduktion entnommenes Teil Ausschuss?
(b) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gefundenes Ausschussteil
von Maschine 1, Maschine 2, Maschine 3 stammt.